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1. Schadenprozesse und Schadenverteilungen
INRIVER Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 1
INRIVER
Grundlagen der Versicherungsproduktion
Dr. Andrea Boos
Bitte beachten Sie, dass dieser Foliensatz in keiner Weise den Besuch der Vorlesung
ersetzen kann. Die Folien bilden das Gerüst für die Vorlesung und werden in den
Veranstaltungen um wesentliche Inhalte und Beispiele ergänzt.
1. Schadenprozesse und Schadenverteilungen
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1. Schadenprozesse und Schadenverteilungen
1.1. Stochastische Prozesse
Charakteristika der Dienstleistung Versicherung:
zeitraumbezogen (Zeit) und
stochastisch (Zufall)
Modellierung:
dynamische und
stochastische Beschreibungsmodelle
Stochastische Prozesse
1. Schadenprozesse und Schadenverteilungen
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Denn: stochastische Prozesse modellieren stochastische Zeitabläufe.
Beispiel: (endliche) Zeitreihe
x1 = x(t1), x2 = x(t2), ... , xn = x(tn),
wobei xi der Wert einer Zufallsgröße zum Zeitpunkt ti ist, also z.B.:
Schadenzahl einer versicherungstechnischen Einheit in gleichlan-
gen Beobachtungsintervallen oder Gesamtschadensumme eines
Kollektivs zu bestimmten Zeitpunkten.
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Abb. 1.1.: Zeitreihe
N(ti)
t1 t2 t3 t4 t5 t
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Zeitreihe (Abb. 1.1.) ist Beispiel für stochastischen Prozess
{N(ti) i} mit diskretem Zeitparameter t.
Beispiel für einen stochastischen Prozess {X(t) t 0} mit stetigem
Zeitparameter t: die Gesamtschadensumme eines Kollektivs im
Zeitintervall [0,t] (Abb. 1.2.).
1. Schadenprozesse und Schadenverteilungen
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Abb. 1.2.: stochastischer Prozess
X(t)
t1 t2 t3 t4 t
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Es sei N(t) die Anzahl der Schäden im Zeitintervall [0,t].
Dann geben die Realisationen des stochastischen Prozesses
{N(t)t 0} eine Antwort auf die Frage:
Wieviele Schäden sind im Zeitintervall [0,t] eingetreten?
Die Realisationen des Schadenzahlprozesses können in Form von
Punktprozessen
bzw.
Zählprozessen
abgebildet werden.
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Der Punktprozess bildet Eintrittszeitpunkte ti der zufälligen
Ereignisse (Schäden) ab, der zugehörige Zählprozess gibt an,
wieviele zufällige Ereignisse (Schäden) innerhalb eines bestimmten
Zeitintervalles eingetreten sind. Der Zählprozess ist also die
Summe der zufälligen Ereignisse eines Punktprozesses.
Abb. 1.3.: Punktprozess
n(ti)
1
t1 t2 t3 t4 t
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Abb. 1.4.: Zählprozess
n(ti)
t1 t2 t3 t4 t
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Charakteristika stochastischer Prozesse bzw. von Punkt- und
Zählprozessen sind die Eigenschaften der
Zuwächse eines Zählprozesses
Für s < t ist N(t) – N(s) die Anzahl der Schäden im Zeitintervall
(s,t].
Insb.: N1 = N(1) – N(0), N2 = N(2) – N(1), ....
N1, N2, N3, ... modelliert die Schadenzahl eines
Versicherungsnehmers oder eines Kollektivs im Jahr 1, 2, 3, ....
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Sind für alle disjunkten Zeitintervalle (ti-1,ti], i = 1,..., n, die
Zuwächse N(ti) – N(ti-1) stochastisch unabhängig, d.h.
Schadenzahl im Jahr ti-1 beeinflusst Schadenzahl im Jahr ti
nicht,
dann ist dies ein Prozess mit
Unabhängigen Zuwächsen
Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen lassen epidemische Effekte
(Wahrscheinlichkeitsansteckung) oder Lerneffekte (“aus Schaden
wird man klug”) nicht zu.
1. Schadenprozesse und Schadenverteilungen
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Ist die Wahrscheinlichkeit von n Schäden in einem Zeitintervall nur
abhängig von der Länge des Intervalls, nicht aber von dessen Lage
auf der Zeitachse (“Stationarität in der Zeit”), d.h.,
ist die Eintrittswahrscheinlichkeit von Schäden im Sommer
im Vergleich zum Winter gleich,
dann ist dies ein Prozess mit
stationären Zuwächsen
(homogenen Zuwächsen)
Gegenbeispiel: Wahrscheinlichkeit von Waldbränden oder die bei
winterlichen Straßenverhältnissen höhere Unfallwahrscheinlichkeit
1. Schadenprozesse und Schadenverteilungen
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Die Zuwächse N(t + h) – N(s + h) haben für alle h 0 die gleiche
Verteilung wie N(t) – N(s) für alle s t, d.h.
h
h
( ] ( ] s t s+h t+h
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Ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem kleinen Zeitintervall mehr
als ein Ereignis eintritt, klein im Vergleich zur Länge des
betrachteten Zeitintervalls, d.h. es gibt keine
“Massenkarambolagen”, also mehrere Schadenereignisse
gleichzeitig,
dann ist dies ein
Regulärer Prozess
Folge: Der zu einem regulären Prozess zugehörige Zählprozess ist
eine Treppenfunktion mit Sprunghöhe 1 (vgl. Abb. 1.3. und 1.4.).
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Sind in einem Zeitpunkt mehrere Ereignisse möglich, ist die Höhe
der Treppenstufe im Zählprozess also nicht mehr notwendigerweise
gleich 1, erhält man Modelle für die Schadensumme bzw. den
Gesamtschaden in einem Kollektiv innerhalb bestimmter Zeitinter-
valle oder für das Phänomen der Massenkarambolage, das durch
das zeitgleiche Eintreten mehrerer zufälliger Ereignisse (Schäden)
charakterisiert ist. Modellierung:
Verallgemeinerter Punktprozess
Verallgemeinerter Zählprozess
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Abb. 1.5.: Verallgemeinerter Punktprozess
n(ti)
t1 t2 t3 t4 t
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Abb. 1.6.: Verallgemeinerter Zählprozess
n(ti)
t1 t2 t3 t4 t
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1.2. Homogener Poisson-Prozess und gemsichter Poisson-
Prozess
Ein Zählprozess {N(t) t 0} heißt
homogener Poisson-Prozess,
wenn
1. N(0) = 0
2. N(t) besitzt unabhängige Zuwächse,
3. N(t) besitzt stationäre Zuwächse,
4. N(t) ist ein regulärer Prozess,
5. für alle t > 0 gilt: 0 < P(N(t) > 0) < 1.
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Aus diesen Axiomen kann gefolgert werden, dass es eine Konstante
> 0 gibt, mit
Die Anzahl der Schäden im Intervall [0,t] folgt somit einer Poisson-
Verteilung:
E(N(t)) = Var(N(t)) = t
!n
n)t(te)n)t(N(P
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Zu den Bedingungen 1. bis 5.:
1. Normierung
2. unabhängige Zuwächse, also keine Kettenreaktionen,
3. stationäre Zuwächse, also Ausschluss saisonaler Effekte,
4. regulärer Prozess, also Ausschluss multipler Ereignisse,
5. im Intervall [0,t] kann ein Schaden eintreten, muss aber nicht.
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Gemischter Poisson-Prozess
Erweiterung des homogenen Poisson-Prozesses:
Heterogenitätsmodell
oder
Modell der schwankenden Grundwahrscheinlichkeiten
homogene Kollektive
sind durch für alle Risiken (versicherungstechnische Einheiten)
identische Zufallsgesetzmäßigkeiten charakterisiert.
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Jeder VN eines homogenen Kollektivs besitzt den gleichen Scha-
denerwartungswert, die gleiche Schadenvarianz usw..
Rechtfertigung homogener Kollektive:
Die Kollektive werden auf der Basis
objektiver,
messbarer Kriterien,
die ex ante bekannt sind
also auf der Basis: objektiver Risikofaktoren bzw.
Tarifvariablen, gebildet.
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Subjektive Risikofaktoren, also solche Kriterien, die
i.d.R. ex ante unbekannt sind,
die meist nicht messbar sind,
da an eine Person gebunden sind,
bleiben bei dieser Form der Risikoklassifikation unberücksichtigt.
Konsequenz: Die Kollektive sind nicht so homogen, wie unterstellt.
Das Kollektiv ist relativ homogen bzgl. der objektiven Risiko-
faktoren.
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Die individuellen Zufallsgesetzmäßigkeiten, der individuelle Scha-
denerwartungswert, die individuelle Schadenvarianz usw. sind nicht
für alle Risiken des Kollektivs gleich, vielmehr rufen die un-
berücksichtigten Risikofaktoren eine beträchtliche Heteroge-
nität in dem Kollektiv hervor.
In einem homogenen Kollektiv ist die durchschnittliche Schaden-
zahl für alle Risiken des Kollektivs identisch. Liegt als Schaden-
zahlmodell der homogene Poisson-Prozess zugrunde, gilt für alle
Risiken des homogenen Kollektivs pro Periode:
E(N) = Var(N) = .
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Um die durch subjektive Risikofaktoren hervorgerufene
Heterogenität abzubilden, wird die durchschnittliche Schadenzahl
als Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion U aufgefasst.
Die Verteilungsfunktion U heißt:
Strukturfunktion
oder
mischende Verteilung
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1. Risiken eines homogenen Kollektivs sind identisch bzgl. der
objektiven Risikofaktoren. Die vorhandene relative Homogeni-
tät wird durch eine für alle Risiken des Kollektivs identische
Strukturfunktion modelliert.
2. Die durch subjektive Risikofaktoren hervorgerufene Heteroge-
nität wird durch die für jedes Risiko unterschiedliche ex-post
Ausprägung (Realisation) der Zufallsvariablen
modelliert. spiegelt die individuelle Schadenneigung wieder.
U(): Wählt man aus einem Kollektiv zufällig ein Risiko aus, dann
ist die Wahrscheinlichkeit, dass die individuelle Schadenneigung
dieses Risikos kleiner oder gleich einem 0 ist, gerade gleich U(0) .
1. Schadenprozesse und Schadenverteilungen
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Für die Schadenzahlverteilung eines solchen Risikos gilt:
Falls U eine Dichte u besitzt:
)(dUe
!n
t)n)t(N(P t
0
n
d)(ue!n
t)n)t(N(P t
0
n
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Ist die Strukturfunktion eine Gammaverteilung mit Dichte
Dann gilt:
1kcekc)k(
1)(u
nk
1kck
0
nt
n
ct
t
tc
c
n
1nk
dec)k(
1
!n
)t(e)t(p
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INRIVER Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 29
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Dies ist eine negative Binomialverteilung, mit
c
t1
c
kt))t(N(Var
c
kt))t(N(E
Ein mit einer Gammaverteilung gemischter Poisson-Prozess heißt:
Pólya-Prozess
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1.3. Schadensummenverteilungen
Exponentialverteilung
nur ein Parameter, wenig flexibel, theoretisches Interesse
(n-fache Faltung ist berechenbar, vgl. Kap. 1.3. Modelle des
Gesamtschadens)
0x,
0x,
e1
0)x(F
0x,
0x,
e
0)x(f
xx
2
1)X(Var
1)X(E
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Exponentialverteilung für = 2
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Logarithmische Normalverteilung
Zufallsgröße X ist lognormalverteilt mit Parametern µ und σ2,
wenn die Zufallsvariable Y mit Y = logX normalverteilt mit
Parametern µ und σ2 ist.
2222
2
2
1
)Y(Var1ee)X(Var
)Y(Ee)X(E
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Logarithmische Normalverteilung für verschiedene Parameter
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Gammaverteilung
hohe Flexibilität, 2 Parameter (a,b), für a = 1: Exponentialver-
teilung, häufige Anwendung z.B. als Strukturfunktion beim ge-
mischten Poisson-Prozess (vgl. VT II, Kap. 1.1.5. und 1.2.2.)
0x,ex)a(
b)x(f bx1a
a
2b
a)X(Varund
b
a)X(E
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Gammaverteilung für b = 1 und verschiedene a
a = 0,5
a = 1
a = 2
a = 5
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Pareto-Verteilung
logarithmische Form der Exponentialverteilung
)x(x
1)x(Fx
)x(f1
22
12)X(Var
1)X(E
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Pareto-Verteilung für β = x0= 1000 und α = 3
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Betaverteilung
Definitionsbereich: ]a,b[ mit Parametern p,q (p,q > 0). Sehr
flexibel; Modell für Schadensatzverteilung, falls a = 0 und b =
1. Für a und b beliebig, ideal als Modell für den
Gesamtschaden.
0b,a,q,p;bxa
ab
xbax
)q,p(B
1)x(f
1qp
1q1p
1qpqp
pqab)X(Var
qp
paba)X(E
2
2
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Betaverteilung für verschiedene Verteilungsparameter
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Normalverteilung:
„Gaußsche Glockenkurve“. Normalverteilung hat zentrale
Bedeutung als Schadensummen- und Gesamtschaden-
verteilung. (Zentraler Grenzwertsatz).
Definitionsbereich: ]-,+ [ bzw. [0, + [.
2 Parameter: = E(S) und 2 = Var(S).
Standardnormalverteilung: = 0 und = 1.
Transformation u = (x-)/ führt jede Normalverteilung in die
Standardnormalverteilung über.
22
2x
2e
2
1)x(f
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Standardnormalverteilung Φ(0,1)
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1.4. Gesamtschadenprozesse
Möglichkeiten der Modellierung des Gesamtschadens bzw. der
Gesamtentschädigung eines Versicherungsnehmers bzw. eines
Kollektivs.
1. Diskrete Modellierung:
S1, S2, S3, ..., Sn Gesamtschaden im Jahr 1, 2, 3, ..., n.
Kritik: großer Informationsverlust bezüglich der Zusammenset-
zung des Gesamtschadens aus Schadenzahl und Einzelschaden-
höhe. Darüber hinaus werden Schwankungen innerhalb einzel-
ner Perioden nicht erfasst.
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2. Zeitstetige Modellierung:
S(t) Gesamtschaden im Zeitintervall [0,t]
Zusammenhang zwischen diskreter und zeitstetiger Modellie-
rung: Betrachte Zuwächse: S(t) – S(t-1) = Gesamtschaden in der
Periode t, d.h. aus zeitstetiger Modellierung folgt die diskrete
Modellierung des Gesamtschadens.
1. Schadenprozesse und Schadenverteilungen
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3. zeitstetige Modellierung unter Berücksichtigung der Kom-
ponenten des Gesamtschadens, der Schadenzahl und der
Schadensumme
Es sei:
N(t) Schadenzahlprozess
Xi Höhe des i-ten Schadens. Dann ist der Gesamtschaden S(t) die
Summe der Einzelschäden Xi:
Problem: doppelt stochastische Summe
)t(N
0ii
X)t(S
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Beachte: Schadenhöhe ist zeitunabhängig, d.h. z.B. inflations- oder
trendbereinigt.
Realisationen eines Gesamtschadenprozesses S(t) darstellbar als
verallgemeinerte Punkt- und Zählprozesse.
Stochastische Gesetzmäßigkeit von S(t)?
Annahmen:
1. Schadenhöhe zeitunabhängig
2. Einzelschadenhöhen Xi sind i.i.d. (identically, independent
distributed), X ~ F
3. Schadenzahl N und Schadenhöhe X sind stochastisch unabhän-
gig
1. Schadenprozesse und Schadenverteilungen
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P(S(t) 1000) = ?
Das Ereignis, dass die Gesamtschadensumme im Zeitintervall [0,t]
kleiner gleich 1000.-- ist, kann auf verschiedene Weise eintreten:
1. im Zeitintervall [0,t] kein Schaden oder
2. im Zeitintervall [0,t] ein Schaden und die Schadenhöhe dieses
Schadens ist kleiner gleich 1000
(x1 1000) oder
3. im Zeitintervall [0,t] zwei Schäden und die Schadenhöhe dieser
beiden Schäden ist kleiner gleich 1000
(x1 + x2 1000) oder
1. Schadenprozesse und Schadenverteilungen
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4. im Zeitintervall [0,t] drei Schäden und die Schadenhöhe dieser
drei Schäden ist kleiner gleich 1000
(x1 + x2 + x3 1000) oder
5. usw.
P(S(t) x) = P(N(t) = 0) + P(N(t) = 1)P(X1 1000) +
P(N(t) = 2)P(X1 + X2 1000) +
P(N(t) = 3)P(X1 + X2 + X3 1000) + ...
„“ entspricht „und“ (stochastische Unabhängigkeit)
„+“ entspricht „oder“
1. Schadenprozesse und Schadenverteilungen
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Gesamtschadensumme x ist, wenn die Anzahl der eingetretenen
Schäden gleich n ist. Diese Wahrscheinlichkeit wird über die
n-fache Faltung F*n(x) berechnet
0n
n
0ii xXP)n)t(N(P)x)t(S(P
diedass,lichkeitWahrscheinbedingtedieistxXPn
0i
i
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F*n(x) = F F F F F (n-mal)
)x(*F)n)t(N(P)x)t(S(P0n
n
)y(dG)yz(F)x(dF)xz(GGF
z
0
z
0
dy)y(g)yz(fdx)x(f)xz(ggf
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Beispiel: Berechnung der 2-fachen Faltung der Exponentialver-
teilung
Dichte der Exponentialverteilung: f(x) = ae-ax
Die n-fache Faltung einer Verteilung ist nur in selten Fällen - wie
z.B. bei der Exponentialverteilung - in einer geschlossenen Form,
hier eine Gammaverteilung, darstellbar.
zeaxeadxeadxaeaeff az2z
0az2az
z
0
2axz
0
)xz(a
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Verallgemeinerter Poisson-Prozess
Gesamtschadenprozess, bei dem der Schadenzahlprozess ein Pois-
son-Prozess ist.
mit
)x(*F)n)t(N(P)x)t(S(P0n
n
!n
)t(e)n)t(N(P
nt
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Gemischter verallgemeinerter Poisson-Prozess
Gesamtschadenprozess, bei dem der Schadenzahlprozess ein ge-
mischter Poisson-Prozess ist.
)x(*F)n)t(N(P)x)t(S(P0n
n
)(dU
0!n
ntte)n)t(N(P
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Kontrollfragen zu
“Schadenprozesse und Schadenverteilungen ”
1. Gegeben sei der folgende Punktprozess. Leiten Sie den assoziierten Zählprozess ab.
Abb.1: Punktprozess
f(ti)
t1 t2 t3 t4 t5 t
2. Erläutern Sie an mindestens zwei Beispielen, welche zufälligen Ereignisse durch den Punktprozess der Abbildung 1 modelliert werden
können.
3. Beschreiben Sie die Eigenschaften des homogenen Poisson-Prozesses.
4. Erläutern Sie anhand von drei Beispielen, inwieweit der homogene Poisson-Prozess ein idealtypisches Abbild der Realität ist.
5. Beschreiben Sie das Konzept des gemischten Poisson-Prozesses.
6. Beschreiben Sie den Pólya-Prozess.
7. Was wird mit der Strukturfunktion modelliert?
8. Beschreiben Sie drei allgemeine Formen zur Modellierung des Gesamtschadens. Erläutern Sie die Vor- und Nachteile dieser Modelle.
9. Erklären Sie charakteristische Eigenschaften der Exponentialverteilung, der Pareto-Verteilung und der Gammaverteilung.
10. Beschreiben Sie die Komponenten des Gesamtschadenprozesses.
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11. Beschreiben Sie den verallgemeinerten Poisson-Prozess.
12. Beschreiben Sie den gemischten verallgemeinerten Poisson-Prozess.
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