10_digraf eksentrik
Post on 27-Jan-2016
243 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
• Digraf Eksentrik pada suatu graf adalah graf
berarah (bisa bolak-balik) yang dapat
menggambarkan titik terjauh dari suatu
titik ke titik yang lain.
G
titik ke titik yang lain.
• Digraf Eksentrik pertama kali diperkenalkan
oleh Fred Buckley pada tahun 90-an.
• Setiap graf sederhana dan terhubung
dapat digambarkan digraf eksentriknya
� Jarak dari titik u ke titik v
Misal G adalah graf terhubung dengan himp. Titik V(G) dan
himp. Sisi E(G). Jarak dari titik u ke titik v di G, dinotasikan
dengan d(u,v) adalah panjang lintasan terpendek dari titik uke titik v .
Beberapa Pengertian:.
Contoh:
Jika diasumsikan panjang setiap lintasan pada graf berikut adalah 1,
Maka
d(v1,v
2) = d(v
1,v
3) = d(v
2,v
3) = d(v
2,v
4)
=d(v3,v
5) = d(v
4,v
5) = d(v
4,v
6) =d(v
5,v
6)
= 11v
3v
2v4v
6v
5v
d(v1,v
4) = d(v
1,v
5) =d(v
2,v
5) = d(v
2,v
6)
= d(v3,v
4) = d(v
3,v
6)= 2
d(v1,v
6) = 3
Jika diasumsikan panjang setiap lintasan pada graf berikut adalah 1,
Diberikan graf G = (V, E) teerhubung dan u,v,w di V(G)
1. d(u,u) = 0
2. d(u,v) > 0 jika u ≠ v
o Sifat-Sifat :
2. d(u,v) > 0 jika u ≠ v
3. d(u,v) = d(v,u) (Sifat Simetri)
4. d((u,v) ≤ d(u,w) + d(w, v) (Sifat Ketaksamaan Segitiga)
� Eksentrisitas
Eksentrisitas titik v dinotasikan dengan ec(v) adalah jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek) dari titik v ke setiap titik di graf G.
Jadi ec(v) = maks{d(v,u) | u∈V(G)} .
ec(v1) = maks{d(v
1,v
2), d(v
1,v
3),
v
Contoh:
Jika diberikan graf berikut, maka eksentrisitas titik v1 adalah
Temukan !
ec(v2) = ... ec(v
5) = ....
ec(v3) = .... ec(v
6)= ....
ec(v4) = ....
ec(v1) = maks{d(v
1,v
2), d(v
1,v
3),
d(v1,
v4),d(v
1,v
5),
d(v1,
v6)}
= maks{1, 1, 2, 2, 3}
=31v
3v
2v4v
6v
5v
Titik v disebut titik eksentrik dari u, jika jarak dari v ke u sama
dengan eksentrisitas dari u atau d(u,v) = ec(u).
� Titik Eksentrik
v v
Contoh:
Temukan titik eksentrik dari setiap titik pada graf ini
ec(v1)= 3 dengan titik eksentrik v
6
ec(v2)= 2 dengan titik eksentrik v
5,v
6
Titik eksentrik dari v3?
Titik eksentrik dari v4
?
Titik eksentrik dari v5
?
Titik eksentrik dari v6
?
1v
3v
2v4v
6v
5v
� Eksentrik Digraf
Eksentrik digraf pada graf G, dinotasikan dengan ED(G),
didefinisikan sebagai digraf yang mempunyai himpunan titik
yang sama dengan G atau V(ED(G))=V(G) dan himpunan
sisi berarah A(ED(G)) yang elemen-elemennya merupakan
sisi-sisi berarah uv yang menghubungkan titik u ke v jika
v adalah titik eksentrik dari u, dapat ditulis
A(ED(G))={uv|vec(u)=v}.
V(G)={v1,v2,v3,v4,v5,v6}V(G)={v ,v ,v ,v ,v ,v }
V(ED(G)=V(G)
A(ED(G))={v1v6,v2v5,v2v6,
v3v4, v3v6, v4v1,
v4v3,v5v1, v5v2, v6v1,}
Graf Prisma Yn,m adalah graf hasil perkalian kartesius
(Graph cartesian product) antara graf sikel berorder n
dengan graf lintasan berorder m (Yn,m = Cn x Pm).
Digraf Eksentrik dari graf Prisma Ym,n
Y4,3
Graf Prisma Y4,3 dan eksentrik digrafnya
� Radius dari graf G
Radius dari graf G, dinotasikan dengan r(G) merupakan
eksentrisitas minimum pada setiap titik di G.
dapat ditulis: r(G) = min{ec(v)|v∈V(G)}.
v
2v 4vContoh : Jika diberikan graf G sebagai berikut:
1v
3v
6v
5v
Radius dari graf adalah
r(G) =min{ec(v1), ec(v2), ec(v
3) ,ec(v
4), ec(v
5), ec(v
6)}
=min{3,2,2,2,2,3}
=2
Diameter dari graf G, dinotasikan dengan
diam(G) adalah eksentrisitas maksimum pada
setiap titik di G, dapat dituliskan sebagai
diam(G) = maks{ec(v)|v∈V(G)}.
� Diameter dari graf G
Contoh: v
1v
3v
2v4v
6v
5v
diam(G) = maks{ec(v1), ec(v2), ec(v
3), ec(v
4), ec(v
5), ec(v
6)}
= maks{3,2,2,2,3}
= 3
� Titik central/Titik pusat dari graf GTitik v di Graf G disebut titik pusat dari G jika
eksentrisitas titik v sama dengan radius G. Dkl : ec(v) = r(G).
� Subgraf dari graf G yang dibentuk oleh semua� Subgraf dari graf G yang dibentuk oleh semua
titik central G disebut central graf Gdinotasikan dengan cen(G).
� Graf yang hanya memuat satu titik sentral
disebut graf unicentral
Contoh 1 : Perhatikan graf G berikut.
Rad(G)=3
Diam(G)=5
Cen(G) : v6 v7
1v
3v
2v 4v
6v
5v
Contoh 2: Diberikan Graf sebagai berikut:
Karena ec(v2) = ec(v
3) = ec(v
4) = ec(v
5) = r(G)=2
Sehingga titik pusat dari G adalah titik v1, v
2,v
3
dan v4
dan cen(G) adalah :
3v
2v4v
5v
o Untuk setiap Graf non trivial terhubung G, berlaku :
rad(G) ≤ diam(G) ≤ 2rad(G)
Beberapa Teorema
o Untuk setiap dua titik yang bertetangga u dan v dalam graf
terhubung adalah maka ec(u) - ec(v) ≤ 1
o Setiap graf adalah pusat dari beberapa graf
terhubung adalah maka ec(u) - ec(v) ≤ 1
o Untuk setiap dua titik yang bertetangga u dan v dalam graf
terhubung adalah maka d(u,x) - d(v,x) ≤ 1, untuk setiap
titik x di G
Menentukan Pusat Kota dari suatu wilayah:
Misal diberikan Tabel jarak (dalam km) antar kota sebagai beriut:
Eksentrisitas Setiap
titik (kota)
Radius (G)=60,7 ; Diameter (G) =100
Pusat kota = Banyumas
1.1.1.1. Perhatikan graf G dan H sebagai berikut. Temukan eksentrisitas dari Perhatikan graf G dan H sebagai berikut. Temukan eksentrisitas dari Perhatikan graf G dan H sebagai berikut. Temukan eksentrisitas dari Perhatikan graf G dan H sebagai berikut. Temukan eksentrisitas dari setiap titik di graf H, rad(H), diam (H) , dan Cen(H) setiap titik di graf H, rad(H), diam (H) , dan Cen(H) setiap titik di graf H, rad(H), diam (H) , dan Cen(H) setiap titik di graf H, rad(H), diam (H) , dan Cen(H)
Graf G Graf H
4.4.4.4. JelaskanJelaskanJelaskanJelaskan bahwabahwabahwabahwa untukuntukuntukuntuk setiapsetiapsetiapsetiap duaduaduadua titiktitiktitiktitik u u u u dandandandan v v v v dalamdalamdalamdalam grafgrafgrafgraf
2. Untuk setiap bilangan bulat n 2. Untuk setiap bilangan bulat n 2. Untuk setiap bilangan bulat n 2. Untuk setiap bilangan bulat n ≥ 3, konstruksikan sebuah graf G 3, konstruksikan sebuah graf G 3, konstruksikan sebuah graf G 3, konstruksikan sebuah graf G
dengan jumlah titik n sedemikian sehingga diam (G) = 2 rad (G)dengan jumlah titik n sedemikian sehingga diam (G) = 2 rad (G)dengan jumlah titik n sedemikian sehingga diam (G) = 2 rad (G)dengan jumlah titik n sedemikian sehingga diam (G) = 2 rad (G)
3. Untuk setiap bilangan bulat n >1, konstruksikan sebuah graf G 3. Untuk setiap bilangan bulat n >1, konstruksikan sebuah graf G 3. Untuk setiap bilangan bulat n >1, konstruksikan sebuah graf G 3. Untuk setiap bilangan bulat n >1, konstruksikan sebuah graf G
berorder n , sehingga untuk 0 < k < n ada dua titik x,y di G berorder n , sehingga untuk 0 < k < n ada dua titik x,y di G berorder n , sehingga untuk 0 < k < n ada dua titik x,y di G berorder n , sehingga untuk 0 < k < n ada dua titik x,y di G
dengan d(x, y) = kdengan d(x, y) = kdengan d(x, y) = kdengan d(x, y) = k
terhubungterhubungterhubungterhubung makamakamakamaka ecececec(u) (u) (u) (u) ---- ecececec(v) (v) (v) (v) ≤ d(d(d(d(u,vu,vu,vu,v))))
5.5.5.5. MisalMisalMisalMisal u, v u, v u, v u, v titiktitiktitiktitik yang yang yang yang bertetanggabertetanggabertetanggabertetangga dalamdalamdalamdalam grafgrafgrafgraf terhubungterhubungterhubungterhubung G. G. G. G.
tunjukkantunjukkantunjukkantunjukkandddd((((u,xu,xu,xu,x))))----d(d(d(d(v,xv,xv,xv,x) ) ) ) ≤ 1 1 1 1 untukuntukuntukuntuk setiapsetiapsetiapsetiap titiktitiktitiktitik x x x x didididi GGGG
6. 6. 6. 6. MisalMisalMisalMisal G G G G grafgrafgrafgraf terhubungterhubungterhubungterhubung dandandandan u, v u, v u, v u, v didididi V(G) . V(G) . V(G) . V(G) .
TunjukkanTunjukkanTunjukkanTunjukkan bahwabahwabahwabahwa untukuntukuntukuntuk setiapsetiapsetiapsetiap bilanganbilanganbilanganbilangan bulatbulatbulatbulat k k k k dengandengandengandengan 0 < 0 < 0 < 0 <
k < d(k < d(k < d(k < d(u,vu,vu,vu,v) ) ) ) adaadaadaada w w w w didididi V(G) V(G) V(G) V(G) sedemikiansedemikiansedemikiansedemikian sehinggasehinggasehinggasehingga d(d(d(d(u,wu,wu,wu,w) = k) = k) = k) = k
top related