11 дифференцирование показательной и логарифмической...

Число e.

а > 1.xay

xy 2

1

1

0

035

xy 3 xey e = 2,7182818284590……

045048 045

Свойства функции xey :

1. );;()( fD2. не является четной , ни нечетной;3. возрастает; 4. не ограничена сверху, ограничена снизу;

5. не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6. непрерывна;7. );;0()( fE

8. выпукла вниз;

9. дифференцируема.

Производная функции y = f(x), где xexf )(

1. 145)0( otgf y = g(x), где g(x) = f(x-a)

2.

xey axey

axexg )(

1 ag

)()( xgeeeexf aaxax

xgexf a ageaf a

aeaf 1 ag

Cedxe

ee

xx

xx

Пример 1Пример 1. Провести касательную к графику функции в точке x=1.

xey Решение:

))(()( axafafy

1) a=12) f(a)=f(1)=e

.)1()(;)( efafexf x 3)4) y=e+e(x-1); y = ex

Ответ:

y=ex

Пример Пример 22.Вычислить значение производной функции в точке x=3.

124 xey

Решение:

124124 4)( xx eey

44)(3 01234 eey

Ответ:

4

Пример Пример 33.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=0, x=0, x=2,

xey Решение:

21

1

0

1202

20

2

0

eee

edxeS xx

Ответ:

12 eS

Пример Пример 44.Исследовать на экстремум и схематически изобразить график функции

xexy 2Решение:

1)

22

)(2

2222

xxeexxe

exexexyxxx

xx

2)

;)( fD

2 xxey x3)

-2x

0

+ +-

4) x=-2 – точка максимума

x=0 – точка минимума

5,04

4222

222max

eeeyy

00 02min ey

Ось абсцисс – горизонтальная асимптота графика.

0 1

1

Решите упражнения:

1620, 1623(a,б), 1624(а,б), 1628(а,б), 1629(а,б)

Решить дома: 1621, 1623(в,г), 1624(в,г), 1628(в,г), 1629(в,г), 1631.

Натуральные логарифмы:

7ln7log

2ln2log

e

e

a

xx

xe

re

e

a

x

r

ln

lnlog

ln

1ln

01ln

ln

1. );;0()( fD2. не является четной , ни нечетной;3. возрастает;

4. не ограничена сверху, не ограничена снизу;

5. не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6. непрерывна;7. );;()( fE

8. выпукла вверх;

9. дифференцируема.

Функция y=ln x, ее свойства, график.

0 1

1

Дифференцирование функция y=ln x.

y=lnx

xey

a

a

P(lna;a)

P

M

M(a;lna)

tgag ln

tgctg

tgtgaf

1

900

tgag ln

xx eexg )(

aeag a lnln

atg

af11

x

xf1

tg

af1

x

x1

ln

Cxx

dx ln

Дифференцирование функции xay aea ln

xaxaxx aaeaea lnln)()( lnln

axx ea ln

aaa xx ln)(

Например,

;2ln22 xx .5ln55

xx

Дифференцирование функции xy alog

axxa

xaa

xxy a

ln

11

ln

1

lnln

1

ln

ln)(log

axxa ln

1)(log