(142~187)232교과4(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:38 pm...

170 Ⅳ.다항함수의적분법

정적분의활용

로렌츠 곡선

누적 인구(%)0 100

100

0

누적 소득( )%

{ 의 넓이`}

{ 의 넓이`}\100{지니 계수}=

자료 없음

30 40 50 60 7020

어떻게활용될까?

로렌츠 곡선과 대각선 사이의 넓이를

삼각형의 넓이로 나누어 수치화한 것

을 지니 계수라고 한다. 경제학자들은

이 수치로 국가별 소득의 분배 상태를

비교하는데활용한다.

무엇을알수있을까?

지니계수가커질수록한나라의부자인인구와

가난한인구사이의소득격차가커진다.

이단원을배우면서다음과제를해결하여보자. 175`쪽

로렌츠곡선을이용하여지니계수를구할수있을까?

이단원을배우면서다음과제를해결하여보자.이단원을배우면서다음과제를해결하여보자.이단원을배우면서다음과제를해결하여보자.이단원을배우면서다음과제를해결하여보자.이단원을배우면서다음과제를해결하여보자.이단원을배우면서다음과제를해결하여보자.이단원을배우면서다음과제를해결하여보자.이단원을배우면서다음과제를해결하여보자.이단원을배우면서다음과제를해결하여보자.이단원을배우면서다음과제를해결하여보자.이단원을배우면서다음과제를해결하여보자.이단원을배우면서다음과제를해결하여보자.이단원을배우면서다음과제를해결하여보자.이단원을배우면서다음과제를해결하여보자.이단원을배우면서다음과제를해결하여보자.이단원을배우면서다음과제를해결하여보자.이단원을배우면서다음과제를해결하여보자.

2로렌츠곡선은무엇일까?

한 나라의 국민들의 소득 분배 정도를 나

타내는 곡선으로 가로축에 소득이 낮은 인

구에서높은순으로누적하고, 그에대응하

는누적소득을세로축에나타낸곡선이다.

이 곡선이 대각선에 가까울수록 소득 분배

가균등하다고할수있다.

국민의 소득 분배를 측정하다.

<출처: www.cia.gov>

(142~187)232교과4(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:38 PM 페이지170 mac02 T

2.정적분의활용 171

함수 y=f(x)가구간 [a, b]에서연속일때, 곡선 y=f(x)와x축및두직선x=a,

x=b로둘러싸인도형의넓이S를구하여보자.

⁄ 구간 [a, b]에서 f(x)æ0일때

넓이S는정적분의정의에의하여

S=:Ab f(x)dx

¤ 구간 [a, b]에서 f(x)…0일때

넓이 S는곡선 y=f(x)를 x축에대하여대칭이동시킨

곡선 y=-f(x)와 x축및두직선 x=a, x=b로둘러

싸인도형의넓이S'과같으므로

S=:Ab {-f(x)}dx=:Ab |f(x)|dx

‹ 구간 [a, c]에서 f(x)æ0이고, 구간 [c, b]에서

f(x)…0일때

S=:Ac f(x)dx+:Cb {-f(x)}dx

=:Ac |f(x)|dx+:Cb |f(x)|dx

=:Ab |f(x)|dx

01●곡선으로둘러싸인도형의넓이를구할수있다.

넓이

aS

b

y=f{x}

O x

y

y=-f{x}

y=f{x}

a S

S'

bO x

y

y=f{x}

a cb

S

O x

y

곡선과 x축 사이의 넓이는 어떻게 구하는가?

탐구 활동 오른쪽그림과같이직선 y=2x와 x축및직선 x=2로둘러

싸인 부분의 넓이를 S¡, 직선 y=2x와 x축 및 직선 x=-1

로둘러싸인부분의넓이를 S™라고할때, 다음 물음에답하여

보자.

1. 넓이 S¡을구하고, :)2 2xdx의값과비교하여보자.

2. 넓이 S™를구하고, :_0! 2xdx의값과비교하여보자.

O x

y y=2x

2

4

-1

-2

S¡

S™

(142~187)232교과4(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:38 PM 페이지171 mac02 T

172 Ⅳ.다항함수의적분법

이상을정리하면다음과같다.

곡선과 x축사이의넓이

함수 y=f(x)가 구간 [a, b]에서 연속일 때, 곡선 y=f(x)와 x축 및 두 직선 x=a, x=b

로둘러싸인도형의넓이 S는

S=:Ab |f(x)|dx

예제 01

⑴주어진곡선은오른쪽그림과같이구간 [0, 4]에서 yæ0

이므로구하는넓이 S는

S=:)4 (-x¤ +4x)dx

S=[- x‹ +2x¤ ]4)=

⑵주어진 곡선은 오른쪽 그림과 같이 구간 [-1, 0]에서

yæ0이고, 구간 [0, 2]에서 y…0이므로구하는넓이 S는

S=:_0! (x¤ -4x)dx+:)2 (-x¤ +4x)dx

S=[ x‹ -2x¤ ]0_!+[- x‹ +2x¤ ]2)=

답 ⑴ ⑵23143

32143

23143

113

113

32143

113

다음곡선과직선으로둘러싸인도형의넓이를구하여라.

⑴ y=-x¤ +4x, x축

⑵ y=x¤ -4x, x축, x=-1, x=2

풀이

O x

yy=-x@+4x

4

Ox

y

2

-4

-1

5y=x@-4x

다음곡선과 x축으로둘러싸인도형의넓이를구하여라.

⑴ y=(x+1)(x-2) ⑵ y=x‹ -x¤ -2x

1문제

다음곡선과 x축및직선 x=3으로둘러싸인도형의넓이를구하여라.

⑴ y=x¤ -2x ⑵ y=x‹ -3x¤ +2x

2문제

(142~187)232교과4(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:38 PM 페이지172 mac02 T

2.정적분의활용 173

이제두곡선으로둘러싸인도형의넓이를구하는방법을알아보자.

두 함수 y=f(x)와 y=g(x)가 구간 [a, b]에서 연속일 때, 두 곡선 y=f(x)와

y=g(x) 및두직선x=a, x=b로둘러싸인도형의넓이S를구하여보자.

⁄ 구간 [a, b]에서 f(x)æg(x)æ0일때

넓이S는도형PABQ의넓이에서도형P'ABQ'의

넓이를뺀것과같으므로

S=:Ab f(x)dx-:Ab g(x)dx

=:Ab { f(x)-g(x)}dx

¤ 구간 [a, b]에서 f(x)æg(x)이고 f(x) 또는

g(x)가음의값을가질때

오른쪽그림과같이두곡선을 y축의방향으로

k만큼평행이동하여

f(x)+kæg(x)+kæ0

이되게할수있다.

따라서넓이 S는곡선 y=f(x)와 y=g(x)를

y축의방향으로 k만큼평행이동시킨곡선 y=f(x)+k와 y=g(x)+k 및두직선

x=a, x=b로둘러싸인도형의넓이S'과같으므로

S=:Ab [{ f(x)+k}-{g(x)+k}]dx

=:Ab { f(x)-g(x)}dx

두 곡선 사이의 넓이는 어떻게 구하는가?

탐구 활동

y=f{x}

y=Ì{x}

S

a bO x

y

A B

Q'P'

PQ

y=f{x}+k

y=Ì{x}+k

y=f{x}

y=Ì{x}

ab

S'

S

kO

x

y

오른쪽 그림은 한 변의 길이가 100 m인 정사각형 모양

의 공원을 좌표평면 위에 나타낸 것이다. 이 공원 안에

있는 산책로의 경계선을 나타내는 식을 각각 y=f(x),

y=g(x)라고할때, 다음물음에답하여보자.

1. 산책로의 넓이를 S라고 할 때, S를 구하는 방법을 말하

여보자.

2. 산책로의넓이 S를정적분을이용하여나타내어보자.

100

100

x=100

y=f{x}

y=Ì{x}S

O x

y

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174 Ⅳ.다항함수의적분법

‹ 구간 [a, b]에서 f(x)…g(x)일때, 넓이S는앞의⁄, ¤와같은방법으로

S=:Ab {g(x)-f(x)}dx

이상을정리하면다음과같다.

다음곡선과직선으로둘러싸인도형의넓이를구하여라.

⑴ y=x¤ +1, y=2x+4 ⑵ y=-x¤ -2x, y=x-4

3문제

다음두곡선으로둘러싸인도형의넓이를구하여라.

⑴ y=x¤ -1, y=-x¤ +4x+5 ⑵ y=x‹ +2x¤ -2, y=-x¤ +2

4문제

예제 02

⑴주어진곡선과직선의교점의 x좌표를구하면

x¤ -2x-1=x-1에서　x=0 또는 x=3

이때구간 [0, 3]에서 x-1æx¤ -2x-1이므로구하

는넓이 S는

S=:)3 {(x-1)-(x¤ -2x-1)}dx

S=:)3 (-x¤ +3x)dx=[- + x¤ ]3)=

⑵주어진두곡선의교점의 x좌표를구하면

-x¤ +5x-6=x¤ -3x에서　x=1 또는 x=3

이때 구간 [1, 3]에서 -x¤ +5x-6æx¤ -3x이므로

구하는넓이 S는

S=:!3 {(-x¤ +5x-6)-(x¤ -3x)}dx

S=-2:!3 (x¤ -4x+3)dx=-2[ -2x¤ +3x]3!=

답 ⑴ ⑵813

912

813

x‹143

912

312

x‹143

다음곡선과직선또는두곡선으로둘러싸인도형의넓이를구하여라.

⑴ y=x¤ -2x-1, y=x-1 ⑵ y=-x¤ +5x-6, y=x¤ -3x

풀이

두곡선사이의넓이

두 함수 y=f(x)와 y=g(x)가 구간 [a, b]에서 연속일 때, 두 곡선 y=f(x)와 y=g(x) 및

두직선 x=a, x=b로둘러싸인도형의넓이 S는

S=:Ab |f(x)-g(x)|dx

O x

y

3-1

1

y=x@-2x-1y=x-1

xO31 2

y y=x@-3x

y=-x@+5x-6

(142~187)232교과4(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:38 PM 페이지174 mac02 T

2.정적분의활용 175

도형의넓이를구할때, 도형의모양에따라 y에대하여

적분하는것이편리한경우가있다. x가 y의함수로주어

진경우도형의넓이를구하여보자.

이와같은함수 x=g(y)가구간 [c, d]에서연속일때,

곡선 x=g(y)와 y축및두직선 y=c, y=d로둘러싸인

도형의넓이S는다음과같다.

S=:Cd |g(y)|dy

x=Ì{y}

c

d

O x

y

다음곡선과직선으로둘러싸인도형의넓이를구하여라.

⑴ x=y¤ -2y, y축, y=1, y=3 ⑵ x=y¤ , x=y+2

5문제

앞의단원과제에대하여다음을해결하여보자.

다음은 2011년 5월 통계청에서 발표한 우리나라의 소

득점유율을나타낸것이다. 이 자료를바탕으로로렌츠

곡선을그리면오른쪽과같다.

컴퓨터를이용하여로렌츠곡선을다항식으로나타내면그식 L(x)는

L(x)=2.0xfi -3.3x› +1.6x‹ +0.5x¤ +0.1x (0…x…1)

와같다. 이 식을이용하여우리나라의지니계수를구하여라. (단, L(x)의계수는소수

둘째자리에서반올림한것이다.)

곡선 x=y¤과 y축및두직선 y=1, y=3으로둘러싸인도형의넓이 S는

S=:!3 y¤ dy=[ ]3!=26133

y‹133

보기

1y=L{x}

1

0.594

0.3570.1820.057

인구 누적비

로렌츠 곡선

소득

누적비

O

y

소득분위

월평균소득(천원)

소득점유율(%)

누적비

1분위

1106.3

5.7

0.057

2분위

2409.6

12.5

0.182

3분위

3370.9

17.5

0.357

4분위

4568.3

23.7

0.594

5분위

7831.3

40.6

1

(142~187)232교과4(미적분Ⅰ) 2013.8.8 6:40 PM 페이지175 mac01 T

176 Ⅳ.다항함수의적분법

02●정적분을활용하여속도와거리에대한문제를해결할수있다.

속도와거리

수직선위를움직이는점 P의시각 t에서의속도 v(t)가주어졌을때, 점 P의위치

x=f(t)를구하여보자.

v(t)= =f'(t)이므로시각 tº에서의점P의위치를 f(tº)=xº이라고하면

:Tt)v(t)dt=f(t)-f(tº)=x-xº

이다. 따라서시각 t에서의점P의위치x는

x=xº+:Tt)v(t)dt

이고, 또시각 t=a에서 t=b까지점P의위치의변화량은다음과같다.

f(b)-f(a)=[xº+:Tb)v(t)dt]-[xº+:Ta

)v(t)dt]

f(b)-f(a)=:Tb)v(t)dt-:Ta

)v(t)dt=:Ab v(t)dt

dx12dt

정적분을활용하여속도와거리를어떻게구하는가?

탐구 활동 직선 도로 위를 매초 30 m의 속도로 달리던 자동차가 제동을 걸기 시작하여 t초 후의 위

치가 x(t)=30t-5t¤ (m)일때, 다음물음에답하여보자.

1. t초후의속도 v(t)를구하여보자.

2. :)3 v(t)dt의값을구하고, t=3일때의자동차의위치와비교하여보자.

생각 열기

위치 속도미분

적분^jjj&

안전거리

자동차를운전할때운전자가브레이크를밟는순간부터자동차가정지할때까지의

거리를제동거리라고한다. 고속국도의차간안전거리는위험을인식하고브레이

크가실제로작동하기까지움직인거리인공주거리와제동거리를고려하여정한다.

ÓΔΔΔΔΔΔΔ 제동거리 ΔΔΔΔΔΔΔÓΔΔΔΔΔΔ 일반적으로시속 100 km/h일때 ΔΔΔΔΔΔ

안전거리는 100 m 이상

(142~187)232교과4(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:38 PM 페이지176 mac02 T

2.정적분의활용 177

이제시각 t=a에서 t=b까지수직선위에서점P가움직인거리, 즉경과거리 s를

구하여보자.

⁄ v(t)>0일때

⁄ 점P의위치 x=f(t)는증가하므로수직선의양의

방향으로움직인다. 따라서점P가움직인거리 s는

시각 t=b일때의위치 f(b)에서시각 t=a일때의위치 f(a)를뺀것과같다.

s=f(b)-f(a)=:Ab v(t)dt

¤ v(t)<0일때

⁄ 점P의위치 x=f(t)는감소하므로수직선의음의

방향으로움직인다. 따라서점P가움직인거리 s는

시각 t=a일때의위치 f(a)에서시각 t=b일때의위치 f(b)를뺀것과같다.

s=f(a)-f(b)=:Ba v(t)dt=-:Ab v(t)dt

⁄, ¤에의하여　s=:Ab |v(t)|dt

이상을정리하면다음과같다.

속도와거리

수직선위를움직이는점 P의시각 t에서의속도를 v(t), 시각 tº에서의점 P의위치를 xº이

라고하면

⑴시각 t에서의점 P의위치: x=xº+:Tt)v(t)dt

⑵시각 t=a에서 t=b까지점 P의위치의변화량: :Ab v(t)dt

⑶시각 t=a에서 t=b까지점 P가움직인거리: s=:Ab |v(t)|dt

f{a} f{b}P s

증가

f{a}f{b}

Ps

감소

원점을출발하여수직선위를움직이는점 P의시각 t에서의속도가 v(t)=3t¤ -6t일때

⑴시각 t=0에서 t=3까지점 P의위치의변화량

:)3 (3t¤ -6t)dt=[t‹ -3t¤ ]3)=0

⑵시각 t=0에서 t=3까지점 P가움직인거리

v(t)=3t¤ -6t=3t(t-2)이므로 구간 [0, 2]에서 v(t)…0이고, 구간 [2, 3]에서

v(t)æ0이다. 따라서움직인거리 s는

s=:)2 (-3t¤ +6t)dt+:@3 (3t¤ -6t)dt

s=[-t‹ +3t¤ ]2)+[t‹ -3t¤ ]3@=8

보기

(142~187)232교과4(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:39 PM 페이지177 mac02 T

178 Ⅳ.다항함수의적분법

예제 01

⑴시각 t=0에서의위치가 20 m이므로, 10초후의위치 x는

x=20+:)1 0 (49-9.8t)dt=20+[49t-4.9t¤ ]1)0 =20(m)

⑵ v(t)=49-9.8t=0에서 t=5이므로구간 [0, 5]에서 v(t)æ0이고, 구간 [5, 10]에

서 v(t)…0이다. 따라서움직인거리 s는

s=:)1 0 |49-9.8t|dt=:)5 (49-9.8t)dt+:%1 0 (9.8t-49)dt

s=[49t-4.9t¤ ]5)+[4.9t¤ -49t]1%0 =245(m) 답 ⑴ 20 m ⑵ 245 m

지면으로부터 20 m의 높이에서 49 m/s의 속도로 똑바로 쏘아 올린 로켓의 t초 후의

속도가 v(t)=49-9.8t(m/s)라고할때, 다음을구하여라.

⑴로켓을발사하고 10초후의위치

⑵로켓을발사하고 10초동안움직인거리

풀이

수직선 위를 움직이는 어떤 물체의 시각 t에서의 속도가 v(t)=t¤ -3t+2일 때, 다음을 구

하여라. (단, t=0일때의물체의위치는 1이다.)

⑴시각 t=2에서의물체의위치

⑵시각 t=1에서 t=3까지물체의위치의변화량

⑶시각 t=1에서 t=3까지물체가움직인거리

1문제

직선궤도를 60 m/s의속도로달리는열차에제동을걸면 t초후의속도가

v(t)=60-3t(m/s)라고한다. 제동을 건후정지할때까지걸린시간과이때까지열차가

움직인거리를구하여라.

2문제

엘리베이터를타고어느건물의 1층에서옥상까지중간

에 멈추지 않고 올라가는데 처음 4초 동안은 t m/s의

속도로, 다음 8초 동안은 4 m/s의 속도로, 그 다음 4초

동안은 (16-t)m/s의 속도로 올라가 옥상에서 정지하

였다. 이 건물의 1층에서 옥상까지 엘리베이터가 움직

인거리를구하여라.

사고력기르기▶추론

▶의사소통

▶문제 해결

(142~187)232교과4(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:39 PM 페이지178 mac02 T

2.정적분의활용 179

1 다음곡선과 x축으로둘러싸인도형의넓이를구하여라.

⑴ y=x¤ -x-2

⑵ y=x(x+1)(x+2)

3 다음곡선과직선으로둘러싸인도형의넓이를구하여라.

⑴ y=x¤ -1, y=x+1

⑵ y=x‹ , y=x

5 수직선위를움직이는물체의시각 t에서의속도가

v(t)=-t¤ +4t-3

일때, 다음을구하여라.

⑴시각 t=0에서 t=2까지물체의위치의변화량

⑵시각 t=0에서 t=2까지물체가움직인거리

2 오른쪽그림과같이곡선 y=x¤ -3x와 x축및두직

선 x=-1, x=2로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여

라.

중단원 기초 수준별학습

x

y

O2

-2

-1

4y=x@-3x

4 오른쪽그림과같이두곡선

y=x¤ -2x, y=-x¤ +4로 둘러싸인 도형의 넓

이를구하여라.

O x

y

y=-x@+4

y=x@-2x4

2-2

곡선과 x축 사이의 넓이

01 넓이

곡선과 x축 사이의 넓이

01 넓이

곡선과 직선 사이의 넓이

01 넓이

두 곡선 사이의 넓이

01 넓이

02 속도와거리

[̀해답 p.̀211 ]̀

(142~187)232교과4(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:39 PM 페이지179 mac02 T

180 Ⅳ.다항함수의적분법

중단원 기본 수준별학습

1 곡선 y=x‹ -(a+2)x¤ +2ax (a>2)와 x축으로둘러싸인두도형의넓이

가서로같을때, 상수 a의값을구하여라.

4 함수 f(x)=x‹ -2x¤ +2x의역함수를 g(x)라고할때, 두곡선 y=f(x)와

y=g(x)로둘러싸인도형의넓이를구하여라.

5 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P

의 시각 t에서의 속도 v(t)가 오른쪽 그림과

같이주어졌을때, 다음설명중에서옳은것

을모두찾아라.

3 곡선 y=x¤ -2x와 x축으로둘러싸인도형의넓이가직선 y=mx에의하여

이등분될때, (m+2)‹ 의값을구하여라.

2 다음두곡선으로둘러싸인도형의넓이를구하여라.

⑴ y=x¤ -4x+5, y=-x¤ +6x-3

⑵ y=x‹ -x¤ , y=x¤

O t

v{t}

-1

1

1 23 4

ㄱ. t=1에서의점 P의위치는 1이다.

ㄴ. t=1에서 t=3까지점 P의위치의변화량은 1이다.

ㄷ. t=1에서 t=4까지점 P가움직인거리는 2이다.

곡선과 x축 사이의 넓이

01 넓이

01 넓이

01 넓이

두 곡선 사이의 넓이

01 넓이

02 속도와거리

[̀해답 p.̀212 ]̀

(142~187)232교과4(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:39 PM 페이지180 mac02 T

2.정적분의활용 181

중단원 실력 수준별학습

3 곡선 y=-x¤ +1과 이 곡선 위의 점 (a, -a¤ +1)에서의 접선 및 두 직선

x=0, x=1로둘러싸인도형의넓이를 S라고할때, S의최솟값을구하여

라. (단, 0<a<1)

4 직선의 철로 위를 25 m/s의 속도로 달리던 열차의 기관사가 xm 앞에 있

는장애물을발견하고급제동을걸었다. 제동을걸기시작하여 t초후열차

의속도가

v(t)=25-4t(m/s)

라고 할 때, 이 열차가 장애물과 부딪히지 않고 정지하기 위한 x값의 범위

를구하여라.

1 오른쪽그림과같이연속함수 y=f(x)의그

래프에서색칠한부분의넓이를 S(t)라고하

자. f(2)=4일때, 의

값을구하여라.

S(2+h)-S(2)11111113h

limh⁄ 0

O x

y

t2

4y=f{x}

S{t}

2 오른쪽 그림과 같이 곡선 y=-x¤ +4x-3과

이 곡선 위의 두 점 (0, -3), (4, -3)에서의

접선으로둘러싸인도형의넓이를구하여라.

O x

y

{0,`-3} {4,`-3}

y=-x@+4x-3

01 넓이

곡선과 접선 사이의 넓이

01 넓이

넓이의 최대·최소

01 넓이

02 속도와거리

[̀해답 p.̀212 ]̀

(142~187)232교과4(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:39 PM 페이지181 mac02 T

182 Ⅳ.다항함수의적분법

댐의설계와적분법

물을가두고있는댐은엄청난수압을받는

다. 따라서댐을설계할때에는이점을중요

하게고려해야한다.

수면으로부터의 깊이가 x m인 지점에서

댐에수직으로미치는수압은 1 m¤당 x t, 즉

x t/m¤라고 한다. 이를테면 깊이가 10 m인

곳에서는10 t/m¤ 의압력을받게되는것이다.

일반적으로단위넓이에미치는힘이압력

이므로어떤물체에미치는힘은(압력)_(넓이)로구할수있다.

폭이 50 m인댐에 20 m 높이까지물이찼을때, 이댐에미치는힘을구하려고한다.

다음물음에답하여보자.

오른쪽그림과같이수면에서깊이가 xm인지점에서

(x+Dx) m인지점까지의넓이를구하여보자.

| 과 제 | 1

과제 1에서구한넓이에미치는힘을구하여보자. (단, 수면에서깊이가 xm인지점에서 (x+Dx)m인지점까지댐에수직으로미치는수압은 x t/m¤로동일하다고가정한다.)

| 과 제 | 2

정적분을 이용하여 수면으로부터의 깊이가 20 m일 때, 이 댐에 미

치는힘을구하여보자.

| 과 제 | 3

수압

50`m

x`mûx

수압

50`m

20`m

수행 과제

(142~187)232교과4(미적분Ⅰ) 2013.8.8 6:40 PM 페이지182 mac01 T

대단원학습내용정리 183

대단원 학습 내용 정리

부정적분

부정적분

F'(x)=f(x)일때,

: f(x)dx=F(x)+C (단, C는적분상수)

실수배, 합, 차의 부정적분

⑴ : kf(x)dx=k: f(x)dx (단, k는상수)

⑵ : { f(x)+g(x)}dx=: f(x)dx+: g(x)dx

⑶ : { f(x)-g(x)}dx=: f(x)dx-: g(x)dx

1

구분구적법

구분구적법

도형의넓이나부피를여러개의간단한도형으로세분하여그

들의넓이나부피의합의극한값으로구하는방법

2

정적분의 계산

정적분의 성질

임의의실수 a, b, c를포함하는구간에서두함수 f(x), g(x)

가연속일때,

⑴ :Ab kf(x)dx=k:Ab f(x)dx (단, k는실수)

⑵ :Ab { f(x)+g(x)}dx=:Ab f(x)dx+:Ab g(x)dx

⑶ :Ab { f(x)-g(x)}dx=:Ab f(x)dx-:Ab g(x)dx

⑷ :Ac f(x)dx+:Cb f(x)dx=:Ab f(x)dx

4

정적분

정적분의 정의

함수 f(x)가구간 [a, b]에서연속일때,

:Ab f(x)dx=`f(x˚)Dx

{Dx= , x˚=a+kDx}

정적분과 미분의 관계

함수 f(x)가구간 [a, b]에서연속일때,

;dÎ[;:A/ f(t)dt=f(x) (단, a<x<b)

미적분의 기본 정리

f(x)가구간 [a, b]에서연속이고F'(x)=f(x)라고하면

:Ab f(x)dx=[F(x)]bA=F(b)-F(a)

b-a112n

n

¡

k=1limnڦ

3

넓이

곡선과 x축 사이의 넓이

구간 [a, b]에서 연속인 함수 y=f(x)의 그래프와 x축 및 두

직선 x=a, x=b로둘러싸인도형의넓이는

:Ab |f(x)|dx

두 곡선 사이의 넓이

구간 [a, b]에서 연속인 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프와

두직선 x=a, x=b로둘러싸인도형의넓이는

:Ab |f(x)-g(x)|dx

5

속도와 거리

점 P의시각 t에서의속도를 v(t)라고할때

⑴시각 t=a에서 t=b까지점 P의위치의변화량은

:Ab v(t)dt

⑵시각 t=a에서 t=b까지의점 P가실제로움직인거리 s는

s=:Ab |v(t)|dt

6

용어와 기호 부정적분, 적분상수, 구분구적법, 정적분, 미적분의기본정리, : f(x)dx, :Ab f(x)dx, [F(x)]bA

(142~187)232교과4(미적분Ⅰ) 2013.8.9 2:19 PM 페이지183 mac01 T

184 Ⅳ.다항함수의적분법

대 /단 /원 평가 문제

함수 f(x)의 부정적분 중 하나가 3x› -2x+5

일때, f(0)의값은?

①-4 ②-2 ③ 0

④ 2 ⑤ 4

1

{1+ }3 = :!a x‹ dx일때,

상수 a의값은?

① 2 ② 3 ③ 4

④ 5 ⑤ 6

112

2k12n

11n

n¡

k=1limnڦ5

:!/ |t-5|dt의값은?

①-3 ②-1 ③ 0

④ 4 ⑤ 5

1112x-1

limx⁄ 18

부정적분 : dx+: dx를구하면?

(단, C는적분상수)

① x¤ +C

② x¤ +x+C

③ x¤ +2x+C

④ x‹ + x¤ +C

⑤ x‹ + x¤ +x+C112

113

112

113

112

112

x112x+1

x¤112x+12

연속함수 f(x)에대하여

:!4 f(x)dx=A, :#5 f(x)dx=B, :#4 f(x)dx=C

일때, :!5 f(x)dx를 A, B, C를이용하여바르

게나타낸것은?

①A+B+C ②A-B+C

③A+B-C ④B-A+C

⑤A-B-C

6

연속함수 f(x)에 대

하여

F(x)=:)/ f(t)dt

일때, xæ0인구간에

서 y=F(x)의 그래

프는오른쪽그림과같다. 다음중옳은것은?

① f(a)>0 ② f(b)>0 ③ f(c)=0

④ f(d)<0 ⑤ f(0)<0

7

Ⅳ. 다항함수의적분법

선 택 형

O x

y

a

y=F{x}

b cd

모든실수 x에대하여 : (2x-4)dx>0이성립

하도록하는 : (2x-4)dx의적분상수C의값이

될수있는수는?

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

4

함수 f(x)에 대하여 : xf(x)dx=x‹ -2x

일때, f(3)의값은?

① 1 ② 3 ③ 5

④ 7 ⑤ 9

d12dx3

(142~187)232교과4(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:39 PM 페이지184 mac02 T

대단원평가문제 185

오른쪽그림과같이곡선

y=x¤ -4x+k와 x축,

y축으로둘러싸인두도

형 A, B의넓이의비가

1 : 2일때, 상수 k의값

은?

① ② ③ 2

④ ⑤813

713

513

413

9

양의정수 n에대하여

a«=:)n 3x¤ dx

일 때, 의 값을 구하

여라.

a¡+a™+a£+y+a«111111111n›

limnڦ

14

두 점 (0, 2)와 (1, 0)을 지나는 곡선 y=f(x)

위의 점 (x, f(x))에서의 접선의 기울기가 x‹

에비례할때, f(x)를구하여라.

13

곡선 y=x‹ +1과이곡선위의점 (1, 2)에서의

접선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 풀이

과정과답을서술하여라.

15

|서|술|형 |̀

|서|술|형 |̀

함수 f(x)=x‹ -x¤ +x의역함수를 g(x)라고할

때, :!2 f(x)dx+:!6 g(x)dx의값은?

① 10 ② 11 ③ 12

④ 13 ⑤ 14

11

두곡선 y=2x‹ -x¤ -5x, y=-x¤ +3x로둘러

싸인도형의넓이는?

① 10 ② 12 ③ 14

④ 16 ⑤ 18

10

수직선위에좌표가 10인점에서출발하여수직

선위를움직이는점 P의 t초후의속도가

v(t)=8-4t일때, 다음물음에답하여라.

⑴점 P의운동방향이바뀌는것은몇초후인

지구하고, 이때점 P의좌표를구하여라.

⑵점 P가출발하여원점에올때까지의걸리는

시간을 구하고, 이때 점 P가 움직인 거리를

구하여라.

16

O x

y y=x@-4x+k

AB

서 답 형

채연이는 하루에 30분씩 러닝머신 위에서 달리

기를한다. 다음그림은채연이가달리는러닝머

신에표시된속도그래프이다. 채연이가러닝머

신위에서달린거리는?

12

O t(분)

속도{km/h}

10 25 30

8

① 2 km ② 3 km ③ 4 km

④ 5 km ⑤ 6 km

[̀해답 p.̀212 ]̀

(142~187)232교과4(미적분Ⅰ) 2013.8.8 6:41 PM 페이지185 mac01 T

요즘우리나라사람들의화두는단연건강이다. 웰빙바람과함께시작된건강에대한관심이높아지며수

많은책들이출간되고있고, 각종매스컴에서는저마다건강식품과운동방법을소개하고있다. 여기에의료

수준의향상으로사람들의평균수명은해를거듭할수록꾸준히늘고있다.

2012년11월14일인구보건복지협회가발간한‘유엔인구기금(UNFPA) 2012세계인구현황보고서

한국어판’에따르면, 기대수명은세계평균이남성67.1세, 여성71.6세로집계되었다. 선진국의경우남

녀가각각 74.6세, 81.3세인반면, 개발도상국은 65.6세, 69.4세로나타나선진국과개발도상국

간평균기대수명의차이가남성은9살, 여성은12살가량났다. 우리나라남성의평균기대

수명은 77.3세로세계 26위, 여성은 84.0세로세계 8위였다. 북한은남

성65.9세와여성72.1세로모두117위였다. 남북한의기대수명

차이는약11~12년이었다.

그렇다면우리나라사람들의사망원인1위는무엇일까?

최근통계청은‘2011년사망원인통계’에서우리나라총사망자

수는 25만 7396명이며, 사망통계를작성한이래역대최고치를

기록했다고발표했다. 흔히암이가장주된사망원인이라고생

각하고있지만, 실제로는뇌졸중, 동맥경화, 심근경색과같은

혈관질환이우리나라 65세이상의고령인구에서사망원인 1위

의질환이라고한다. 이런혈관질환대부분은혈액이어떤저항때

문에혈관을따라잘흐르지못하기때문에생기는질환이다.

Real Life

심장은적분으로뛴다.

수 학 실 생 활

186 Ⅳ.다항함수의적분법

(142~187)232교과4(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:39 PM 페이지186 mac02 T

심장의건강상태를알아보는한가지방법은단위시

간에심장으로부터뿜어져나오는혈액의양인심박출량

을측정하는것이다.

혈액은대정맥을통해몸으로부터되돌아와서심장의

우심방으로들어가(①) 폐동맥을거쳐(②) 폐로들어가

서산소와결합한다. 그리고폐정맥을거쳐좌심방으로

들어가서(③) 대동맥을 통해 다시 몸 전체로 전달된

다.(④)

심박출량은염료희석법으로측정하는데, 염료를우심

방으로주입하면심장을거쳐대동맥으로들어간다. 대동맥으로삽입된탐침이심장을떠나는염료의

농도를염색약이없어질때까지일정한시간간격으로측정하여염료의농도를구하고, 이를이용하여

심박출량을계산한다. 염료의농도를측정하는시간구간을 [0, T]라하고c(t)를시각 t에서염료의농

도라고하면심박출량F는다음과같이계산한다.

F= (단, A는염료의양)

예를들어 5 mg의염료를우심방에주입하여염료의농도를L당mg으로대동맥에서 1초간격으

로측정하여다음표를얻었다고하자. 이때염료의농도는시간이흐를수록점점진해지다가다시약

해져서나중에는0이될것이다.

심박출량을알기위해서는정적분 :)1 0 c(t)dt를계산해야

하는데, 그값은왼쪽그래프에서색칠한부분의넓이로어림

잡아생각할수있다. 따라서A=5이고색칠한부분의넓

이는 약 41.87이므로 심장은 다음과 같이 1초당 약

120 mL의혈액을온몸에공급하고있음을알수있다.

F= = =0.12(L/s)

우리가적분을모른다고하더라도우리의혈액순환계통은이미수학적으로

매우아름답게설계되어있다. 수학이별로소용되는곳이없는학문이라고생

각하고있는그순간에도여러분의뇌와혈관그리고몸의모든조직들은이

미수학을이용하고있다.

511241.87

A111134:)1 0 c(t)dt

A111134:)

T

c(t)dt

수학플러스 187

O t

c{t}

10.4

2.8

6.5

1.12.34.06.1

8.99.8

2 3 4 5 6 7 8 910

t(초)

c(t)(mg/L)

0

0

1

0.4

2

2.8

3

6.5

4

9.8

5

8.9

6

6.1

7

4.0

8

2.3

9

1.1

10

0

수 학 실 생 활

대동맥

대정맥

대정맥

폐동맥

폐동맥

폐정맥

폐정맥

우심방

좌심방

(142~187)232교과4(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:39 PM 페이지187 mac02 T