16 จำนวนจริง ตอนที่3_ทฤษฎีบทตัวประกอบ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

จ านวนจรง (เนอหาตอนท 3)

ทฤษฎบทตวประกอบ

โดย

ศาสตราจารย ดร.กฤษณะ เนยมมณ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง จ านวนจรง สอการสอน เรอง จ านวนจรง มจ านวนตอนทงหมดรวม 17 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง จ านวนจรง 2. เนอหาตอนท 1 สมบตของจ านวนจรง

- ระบบจ านวนจรง - สมบตพนฐานของระบบจ านวนจรง

3. เนอหาตอนท 2 การแยกตวประกอบ - การแยกตวประกอบ

4. เนอหาตอนท 3 ทฤษฎบทตวประกอบ - ทฤษฎบทเศษเหลอ - ทฤษฎบทตวประกอบ

5. เนอหาตอนท 4 สมการพหนาม - สมการพหนามก าลงหนง - สมการพหนามก าลงสอง - สมการพหนามก าลงสง - การประยกตสมการพหนาม

6. เนอหาตอนท 5 อสมการ - เสนจ านวนและชวง - อสมการทเกยวของกบพหนามก าลงหนง - อสมการทเกยวของกบพหนามก าลงสง

7. เนอหาตอนท 6 เทคนคการแกอสมการ - อสมการในรปเศษสวน - การแกอสมการโดยวธการยกก าลงสอง - การแกอสมการโดยการแทนคาตวแปร - การประยกตโจทยการแกอสมการ

8. เนอหาตอนท 7 คาสมบรณ - คาสมบรณ - สมการคาสมบรณ

9. เนอหาตอนท 8 การแกอสมการคาสมบรณ - อสมการคาสมบรณ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

2

- โจทยประยกตอสมการคาสมบรณ 10. เนอหาตอนท 9 กราฟคาสมบรณ

- กราฟคาสมบรณ 11. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 12. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 13. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 14. แบบฝกหด (ขนสง) 15. สอปฏสมพนธ เรอง ชวงบนเสนจ านวน 16. สอปฏสมพนธ เรอง สมการและอสมการพหนาม (ก าลงไมเกนส) 17. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟคาสมบรณ

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง จ านวนจรง นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

3

เรอง จ านวนจรง (ทฤษฎบทตวประกอบ) หมวด เนอหา ตอนท 3 (3/9) หวขอยอย 1. ทฤษฎบทเศษเหลอ 2. ทฤษฎบทตวประกอบ จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน 1. ไดทบทวนการหารพหนาม 2. สามารถหาเศษเหลอจากการหารพหนาม โดยใชทฤษฎบทเศษเหลอ 3. สามารถแยกตวประกอบของพหนาม โดยใชทฤษฎบทตวประกอบ และทฤษฎบทตวประกอบตรรกยะ ผลการเรยนรทคาดหวง ผเรยนสามารถ 1. หาผลหารและเศษเหลอจากการหารพหนามโดยวธตงหารได 2. อธบายทฤษฎบทเศษเหลอ และน าไปใชในการหาเศษเหลอจากการหารพหนามได 3. อธบายทฤษฎบทตวประกอบ และทฤษฎบทตวประกอบตรรกยะได 4. น าทฤษฎบทตวประกอบ และทฤษฎบทตวประกอบตรรกยะไปใชในการแยกตวประกอบของพหนามได

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

4

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

5

1. ทฤษฎบทเศษเหลอ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

6

1. ทฤษฎบทเศษเหลอ ในสอตอนนผเรยนจะไดศกษาวธการแยกตวประกอบโดยใชทฤษฎบทตวประกอบ และทฤษฎบทตว

ประกอบตรรกยะ โดยในหวขอนเราจะเรมตนศกษาทฤษฎบทเศษเหลอกอน กอนทจะหาเศษเหลอจากการหารพหนาม โดยใชทฤษฎบทเศษเหลอ เราจะทบทวนการหารพหนาม

กอน ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง จงหาผลลพธและเศษเหลอจากการหาร 4 33 2 5 1x x x ดวย 2x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

7

วธท า เนองจาก

จะไดวา ผลลพธจากการหาร 4 33 2 5 1x x x ดวย 2x คอ 3 23 4 8 21x x x และเศษเหลอ คอ 43 #

ตวอยาง จงหาเศษเหลอจากการหาร 3 23 5 1x x x ดวย 1

2x

วธท า เนองจาก

จะไดวา เศษเหลอจากการหาร 3 23 5 1x x x ดวย 1

2x คอ 5

8 #

3 2

4 3

4 3

3

3 2

2

2

3 4 8 21

2 3 2 5 1

3 6

4 5 1

4 8

8 5 1

8 16

21 1

21 42

43

x x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x

2

3 2

3 2

2

2

7 13

2 41

3 5 12

1

2

75 1

2

7 7

2 4

131

4

13 13

4 8

5

8

x x

x x x x

x x

x x

x x

x

x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

8

ตวอยาง จงหาเศษเหลอจากการหาร 3 22 3 5x x x ดวย 1

2x

วธท า โดยทฤษฎบทเศษเหลอจะไดวา ถาเราหาร 3 22 3 5p x x x x ดวย 1

2x จะเหลอเศษเทากบ

3 2

1 1 1 1 132 3 5

2 2 2 2 2p

#

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

9

ตวอยาง จงหาคา a b ทท าให 3 2 2x ax x b หารดวย 1x และ 2x ลงตว วธท า ให 3 2 2p x x ax x b

เพราะวา 1x หาร p x ลงตว จะไดวา 1 0p

นนคอ 1 2 0a b 3 ............... 1a b

และเพราะวา 2x หาร p x ลงตว จะไดวา

2 0

8 4 4 0

4 12 ...............(2)

2 1 3 15

5

p

a b

a b

a

a

ดงนน 3 8b a ดงนน 5 8 3a b #

แบบฝกหดเพมเตม เรองทฤษฎบทเศษเหลอ

1. จงหาเศษเหลอจากการหาร 3 24 5 1x x x ดวย 1x 2. จงหาเศษเหลอจากการหาร 3 24 5 1x x x ดวย 2x

3. จงหาเศษเหลอจากการหาร 4 22 3 1x x x ดวย 1

2x

4. จงหาเศษเหลอจากการหาร 3 2 5x x x ดวย 1

3x

5. จงหา c ทท าให 1x หาร 2 3 2x x c เหลอเศษ 6 6. จงหา k ทท าให 3x หาร 4 23 6x x kx ลงตว 7. ถา 1x และ 2x เปนตวประกอบของ 4 2p x x x bx a แลวเศษจากการหาร p x ดวย

x a มคาเทากบเทาไร 8. ถา 1x หาร 3 23 5 1p x ax x x ลงตว แลวเศษจากการหาร p x ดวย 1x มคาเทากบเทาไร 9. ถา x a หาร 4 1x ลงตวแลว แลว a มคาเทากบเทาไร

10. ถา 1x หาร 3 2 5 3p x x ax x ลงตว แลวเศษจากการหาร p x ดวย x a มคาเทากบเทาไร

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

10

2. ทฤษฎบทตวประกอบ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

11

2. ทฤษฎบทตวประกอบ

ในหวขอน เราจะแยกตวประกอบพหนาม โดยใชทฤษฎบทตวประกอบและทฤษฎบทตวประกอบตรรกยะ

ตวอยาง จงตรวจสอบวา 5 43 5 1x x x หารดวย 1x ลงตวหรอไม วธท า ให 5 43 5 1p x x x x

เนองจาก 5 4

1 3 1 1 5 1 1 8p ซงไมเทากบ 0 โดยทฤษฎบทตวประกอบ จะไดวา 1x หาร

5 43 5 1x x x ไมลงตว #

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

12

ตวอยาง จงแยกตวประกอบ 3 26 11 6x x x วธท า ให 3 26 11 6p x x x x เลอก c จาก 1, 2, 3, 6 จะไดวา

3 21 1 6 1 11 1 6 0p

ดงนน 1 1x x เปนตวประกอบของ 3 26 11 6x x x เนองจาก

2

3 2

3 2

2

2

5 6

1 6 11 6

5 11 6

5 5

6 6

6 6

x x

x x x x

x x

x x

x x

x

x

จงไดวา 3 2 26 11 6 1 5 6x x x x x x

1 2 3x x x # ตวอยาง จงแยกตวประกอบ 4 3 27 6x x x x วธท า ให 4 3 27 6p x x x x x ทดลองเลอก c จาก 1, 2, 3, 6 จะไดวา

24 31 1 1 7 1 1 6 0p

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

13

ดงนน 1x เปนตวประกอบของ 4 3 27 6x x x x และจาก

3 2

4 3 2

4 3

3 2

3 2

2

2

2 5 6

1 7 6

2 7 6

2 2

5 6

5 5

6 6

6 6

x x x

x x x x x

x x

x x x

x x

x x

x x

x

x

ดงนน 4 3 2 3 27 6 1 2 5 6 ...............(1)x x x x x x x x ให 3 22 5 6h x x x x

ทดลองเลอก c จาก 1, 2, 3, 6 จะไดวา

3 21 1 2 1 5 1 6 0h

ดงนน 1x หาร 3 22 5 6x x x ลงตว เนองจาก

2

3 2

3 2

2

2

6

1 2 5 6

5 6

6 6

6 6

x x

x x x x

x x

x x

x x

x

x

ดงนน 3 2 22 5 6 1 6x x x x x x 1 3 2 ...............(2)x x x จาก 1 และ 2 จะไดวา 4 3 27 6 1 1 3 2x x x x x x x x #

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

14

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

15

ในบางครงการแยกตวประกอบพหนามดกรทมากกวาสาม อาจตองใชทฤษฎบทตวประกอบหลายครง

ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง จงแยกตวประกอบของพหนาม 4 3 22 5 5 5 3x x x x วธท า ให 4 3 22 5 5 5 3p x x x x x โดยทฤษฎบทตวประกอบตรรกยะ เราจะทดลองเลอก c ทจะท าให 0p c

จาก 1 31, , 3,

2 2

เนองจาก 1 2 5 5 5 3 0p ดงนน 1x หาร p x ลงตว และจาก

3 2

4 3 2

4 3

3 2

3 2

2

2

2 3 8 3

1 2 5 5 5 3

2 2

3 5 5 3

3 3

8 5 3

8 8

3 3

3 3

x x x

x x x x x

x x

x x x

x x

x x

x x

x

x

ดงนน 4 3 2 3 22 5 5 5 3 1 2 3 8 3 ...............(1)x x x x x x x x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

16

ตอไปเราจะแยกตวประกอบ 3 22 3 8 3h x x x x โดยทฤษฎบท แยกตวประกอบอกครง โดยจะทดลองเลอกคา c ทคาดวาจะท าให 0h c จาก

1 31, , 3,

2 2 จากการทดลอง เราไดวา 1 2 3 8 3 0h

ดงนน 1x เปนตวประกอบของ h x เพราะวา

2

3 2

3 2

2

2

2 5 3

1 2 3 8 3

2 2

5 8 3

5 5

3 3

3 3

x x

x x x x

x x

x x

x x

x

x

จะไดวา 3 2 22 3 8 3 1 2 5 3x x x x x x

1 2 1 3 ...............(2)x x x จาก 1 และ 2 จะไดวา 4 3 22 5 5 5 3 1 1 2 1 3x x x x x x x x #

ตวอยาง จงแกสมการ 4 3 22 5 5 5 3 0x x x x วธท า 4 3 22 5 5 5 3 0x x x x

1 1 2 1 3 0x x x x

11, 1, , 3

2x #

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

17

แบบฝกหดเพมเตม เรองทฤษฎบทแยกตวประกอบ

1-4 จงแยกตวประกอบของ

1. 3 23 10 24a a a 2. 3 23 4 12x x x 3. 3 22 9 18a a a 4. 3 25 8 4x x x

5-9 จงแยกตวประกอบของ 5. 4 33 3x x x 6. 4 3 22 9 2 8x x x x 7. 5 4 24 5x x x 8. 4 3 23 3 3 2x x x x 9. 4 3 210 2 24x x x x

10-14 จงแยกตวประกอบของ 10. 3 22 3 17 30x x x 11. 3 26 5 3 2x x x 12. 3 22 5 4 3x x x 13. 4 3 22 5 5 5 3x x x x 14. 4 3 22 3 3 1x x x x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

18

สรปสาระส าคญประจ าตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

19

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

20

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

21

แบบฝกหดระคน

1. ให p เปนจ านวนเฉพาะบวก และ ,m n เปนจ านวนเตม ถา 3x หาร 3 2x mx nx p ลงตว และ 1x หาร 3 2x mx nx p เหลอเศษ 4 แลว 2m n มคาเทาไร 1. 2 2. 4 3. 6 4. 8

2. ให a เปนจ านวนเตม ถา x a หาร 3 22 4 1x x x เหลอเศษ 1 แลวคาของ a คอขอใด 1. 0 2. 2 3. 2 2 5 4. 2

3. ขอใดตอไปนถกตอง ก. 2x หาร 2ax bx c ลงตว กตอเมอ 2 หาร c ลงตว ข. ถา 5p a แลว x a จะเปนตวประกอบของ 5p x 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด

4. ถา a และ b เปนจ านวนจรง ทท าให 2x ax b หาร 3 2 2x x x เหลอเศษ 3 แลว a b มคาเทากบเทาใด 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

5. ให 3 2 10f x x ax bx เมอหาร f x ดวย 2x จะเหลอเศษเทากบหาร f x ดวย 1x จงหาคา

3a b 1. 0 2. 5 3. 7 4. 7

6. ให เปนเอกภพสมพทธ และ 4 3 2| 2 5 5 5 3 0x x xS x x ขอใดตอไปนเปนจรง 1. S S 2. 3 2| 1 0S x x x x 3. S S 4. S S

7. ก าหนดให 6 4 2p x x ax x b ถา 1x หาร p x เหลอเศษ 1 และ 2x หาร p x เหลอเศษ 1 แลว 2x จะหาร p x เหลอเศษเทาไร 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

8. หาร 3 2 3 1p x ax bx x ดวย 1x เหลอเศษ 5 และเมอหารดวย 1x จะหารลงตว จงหาเศษ เหลอจากการหาร p x ดวย 1 1x x

1. 0 2. 10 3. 2

x 4. 5 5

2 2

x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

22

9. ถา 1x และ 2x เปนตวประกอบของ 4 3 2p x x x x ax b แลวเศษจากการหาร p x ดวย x ab มคาเทากบเทาไร

1. 0 2. 10 3. 20 4. 30 10. ขอใดตอไปนถกตอง ก. ถา 2 1x หาร p x ลงตว แลว 1x จะหาร p x ลงตวดวย ข. ถา x a หาร 3 2p x bx cx dx e ลงตว แลว a ตองหาร e ลงตว 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

23

ภาคผนวกท 2 การหารสงเคราะห

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

24

การหารสงเคราะห

โดยปกตเมอเราตองการหารพหนาม เราจะท าวธการหารดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง จงหาร 4 3 23 2 5x x x x ดวย 2x วธท า เนองจาก

3 2

4 3 2

4 3

3 2

3 2

2

2

5 8 17

2 3 2 5

2

5 2 5

5 10

8 5

8 16

17 5

17 34

29

x x x

x x x x x

x x

x x x

x x

x x

x x

x

x

เราจงสรปไดวา ผลลพธและเศษเหลอจากการหาร 4 3 23 2 5x x x x ดวย 2x คอ 3 25 8 17x x x และ 29 ตามล าดบ #

เราจะสงเกตไดวา วธการหารตามตวอยางขางตน คอนขางจะใชเวลา จงมผนยมใชวธการหารทสนลง ท

เรยกกนวา “การหารสงเคราะห” ดงกระบวนการตอไปน พจารณา ขนตอนของการหารสงเคราะห จากตวอยางตอไปน

ตวอยางท 1 จงหาผลลพธและเศษเหลอจากการหารพหนาม 4 3 23 2 5x x x x ดวย 2x วธท า แบงเปนล าดบขน ดงน ขนท 1 ให 4 3 23 2 5p x x x x x จากนน เขยนสมประสทธของพจนตางๆ ของ p x โดยเขยน

เรยงล าดบดกรของ x จากมากไปหานอย ถาพจนใดไมมใหถอวาสมประสทธพจนนนเปนศนย ดงนน จาก 4 3 23 2 5p x x x x x จะได

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

25

ดกร ส สาม สอง หนง ศนย

สมประสทธ 1 3 2 1 5

ขนท 2 การหารเรมตนจาก เขยนจ านวนแรกในแถวท 3 ซงเทากบจ านวนแรกในแถวท 1 (ซงมาจากสมประสทธ

ของตวตง) โดยตวหารคอ 2 (มาจากตว 2x ซงเปนตวหาร)

ขนท 3 น า c (คอ 2) ไปคณกบจ านวนแรกในแถวท 3 (คอ 1) เขยนผลคณในต าแหนงท 2 ของแถวท 2 ขนท 4 น าต าแหนงท 2 ของแถวท 1 (คอ 3) บวกกบต าแหนงท 2 ของแถวท 2 (คอ 2) เขยนผลบวกไวต าแหนงท 2

ของแถวท 3 ดงน ขนท 5 น า c (คอ 2) ไปคณกบจ านวนท 2 ของแถวท 3 เขยนผลคณไวต าแหนงท 3 ของแถวท 2 ดงน

2 1 3 2 1 5

............................................

1..........................................

แถวท 1 แถวท 2ท 2 แถวท 3

2 1 3 2 1 5

.........2..................................

1...........................................

แถวท 2ท 1

แถวท 1ท 1

แถวท 3ท 1

2 1 3 2 1 5

.........2.........10.....................

1.......5..................................

แถวท 2ท 1

แถวท 1ท 1 แถวท 3ท 1

2 1 3 2 1 5

.........2..................................

1.......5..................................

แถวท 2ท 1

แถวท 1ท 1

แถวท 3ท 1

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

26

ขนท 6 น าต าแหนงท 3 ของแถวท 1 บวกกบต าแหนงท 3 ของแถวท 2 เขยนผลบวกไวต าแหนงท 3 ของแถวท 3 ดงน ท าเชนนไปเรอยๆ จนถงจ านวนทอยต าแหนงสดทายของแถวท 3 จะไดผลเปนดงน หลกการตอบ จากขนตอนท 1 ถงขนตอนท 6 เรามหลกการตอบ ดงน 1. จ านวนทอยในแถวท 3 ยกเวน จ านวนสดทาย คอสมประสทธของผลลพธจากการหาร ซงจะเปนพหนามดกร

ทมดกรนอยกวาดกรของตวตง p x อย 1 เสมอ จาก 4 3 23 2 5p x x x x x ซงมดกรเปน 4 ดงนน พหนามผลลพธ เปนพหนามทมดกรเปน 3 โดยมสมประสทธเปนแถวท 3 ไมรวมจ านวนสดทาย

2 1 3 2 1 5

.........2.........10.......16.......34

1.......5..........8........17 ......29

นนคอ 3 25 8 17q x x x x

2. จ านวนสดทายในแถวท 3 คอ r x เปนเศษเหลอจากการหารนนเอง ในทนคอ 29

โดยหลกการหาร เราจงสรปไดวา ผลลพธและเศษเหลอ จากการหาร 4 3 23 2 5x x x x ดวย 2x คอ 3 25 8 17x x x และ 29 ตามล าดบ #

ตวอยาง จงหาผลลพธและเศษเหลอจากการหาร 3 22 4 2x x x ดวย 1x โดยวธหารสงเคราะห

2 1 3 2 1 5

.........2.........10.....................

1.......5..........8......................

แถวท 2ท 1

แถวท 1ท 1

แถวท 3ท 1

2 1 3 2 1 5

.........2.........10.......16.......34

1.......5..........8........17.......29

แถวท 2ท 1

แถวท 1ท 1

แถวท 3ท 1

แถวท 2

แถวท 1ท 1

แถวท 3ท 1

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

27

วธท า

ผลลพธคอ 21 3 1x x และเศษเหลอคอ 1 #

ตวอยาง จงหาผลลพธและเศษเหลอจากการหาร 4 3 27 6x x x x ดวย 2x วธท า

ผลลพธคอ 3 2 5 9x x x เศษเหลอคอ 12 #

ตวอยาง จงหาเศษเหลอจากการหาร 3 23 4 5x x x ดวย 1

2x

วธท า

ดงนนเศษเหลอจากการหารคอ 49

8 #

ตวอยาง จงหาผลหารและเศษเหลอจากการหาร 4 3 22 1p x x x x x ดวย 2 1x

1 1 2 4 2

1 3 1

1 3 1 1

2 1 1 7 1 6

2 2 10 18

1 1 5 9 12

11 3 4 5

2

1 7 9

2 4 8

7 9 491

2 4 8

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

28

วธท า เราจะเรมโดยการหาร p x ดวย 1

2x ซงจะไดผลลพธและเศษเหลอ ดงตอไปน

ดงนน 4 3 2 3 21 5 9 17 332 1

2 2 4 8 16x x x x x x x x

3 21 5 9 17 332 1

2 4 8 16 16x x x x

ดงนนผลลพธและเศษเหลอจากการหาร p x ดวย 2 1x คอ 3 21 5 9 17

2 4 8 16x x x และ 33

16

ตามล าดบ #

ขอควรระวง 1. พหนามทเปนตวตง ตองเรยงก าลงจากมากไปนอย และในกรณทก าลงมการกระโดดขาม เชน 4 23 2 5x x x เราจะเหนวา ไมมพจน 3x เราตองเขยนพหนาม 4 23 2 5x x x ในรป 4 3 20 3 2 5x x x x ดงตวอยางตอไปน ตวอยาง จงหาผลลพธและเศษเหลอจากการหาร 4 23 5x x x ดวย 1x วธท า เนองจาก 4 2 4 3 23 5 0 3 5x x x x x x x โดยวธการหารสงเคราะห จะไดวา

ดงนนผลลพธจากการหารคอ 3 2 2 1x x x และเศษเหลอคอ 6 #

11 2 1 1 1

2

1 5 9 17

2 4 8 16

5 9 17 331

2 4 8 16

1 1 0 1 3 5

1 1 2 1

1 1 2 1 6

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

29

แบบฝกหดเพมเตม เรอง การหารสงเคราะห

1. จงหาเศษเหลอจากการหาร 3 24 5 1x x x ดวย 1x 2. จงหาเศษเหลอจากการหาร 3 24 5 1x x x ดวย 2x

3. จงหาเศษเหลอจากการหาร 4 22 3 1x x x ดวย 1

2x

4. จงหาเศษเหลอจากการหาร 3 2 5x x x ดวย 1

3x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

30

ภาคผนวกท 3 เฉลยแบบฝกหด

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

31

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม เรอง ทฤษฎบทเศษเหลอ

1. 9 2. 3 3. 33

16 4. 124

27 5. 1

6. 20 7. 4200 8. 8 9. 1 10. 8

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม เรอง ทฤษฎบทตวประกอบ

1. 2 4 3a a a 2. 2 3 2x x x 3. 2 3 3a a a 4.

21 2x x

5. 21 3 1x x x x 6. 1 1 2 4x x x x 7. 2 21 5 5x x x x 8. 21 2 1x x x 9. 23 4 2x x x 10. 2 2 5 3x x x 11. 2 1 3 2 1x x x 12. 2 1 3 1x x x 13. 1 1 2 1 3x x x x 14.

21 2 1 1x x x

เฉลยแบบฝกหดระคน

1. 3 2. 1 3. 3 4. 2 5. 4 6. 2 7. 1 8. 4 9. 3 10. 2

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม เรอง การหารสงเคราะห

1. 9 2. 3 3. 33

16 4. 124

27

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

32

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

33

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

34

เรอง ตอน

ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1

ฟงกชนตรโกณมต 2

ฟงกชนตรโกณมต 3

กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

35

เรอง ตอน

การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1

แนวโนมเขาสสวนกลาง 2

แนวโนมเขาสสวนกลาง 3

การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1

การกระจายสมบรณ 2

การกระจายสมบรณ 3

การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได