1ªaula do cap. 07 energia cinética e...
Post on 09-Nov-2018
220 Views
Preview:
TRANSCRIPT
• Introdução• Trabalho Mecânico e Produto Escalar• Energia Cinética• Teorema do Trabalho-Energia Cinética• Trabalho Realizado por força variável (Integral)
Referência:• Halliday, David; Resnick, Robert & Walker,
Jearl. Fundamentos de Física, Vol 1. Cap. 07 da 7a. ed. Rio de Janeiro: LTC.
James Prescott Joule (1818 - 1889)
x
1ªAula do Cap. 07 Energia Cinética e Trabalho
As leis de Newton permitem analisar vários movimentos. Essaanálise pode ser bastante complexa, necessitando de detalhes do
movimento simplesmente inacessíveis. Exemplo: qual é a velocidade final de um carrinho na chegada de um percurso demontanha russa? Despreze a resistência do ar e o atrito, mas
resolva o problema usando as leis de Newton.0=vv
?=vr
Energia
Aos poucos cientistas e engenheiros desenvolveram uma técnicamuitas vezes mais poderosa para analisar o movimento. Essa
maneira acabou sendo estendida a outras situações , tais como: reações químicas, processos geológicos e funções biológicas.
Essa técnica alternativa envolve o conceito de energia, queaparece em várias formas e tipos.
Energia: grandeza escalar associada a um estado de um ou mais corpos.
Essa definição é muito vaga e para chegar a algum lugar vamosnos concentrar inicialmente em uma forma apenas de energia.
Energia
Relação entre forças agindo sobre um corpo e a energia cinética:
1) A abordagem a partir do conceito de energia representa um bom atalho para resolução de problemas,
2) A idéia de energia revelar-se-á de fato fundamental na Física.
Problema 1D: corpo sob ação de uma força resultante constante:
mF
a ∑= xm
Fxavv Δ=Δ=− ∑222
02
20
2
21
21 mvmvxF −=Δ∑
Se um objeto está sujeito a uma força resultante constante, estaestá relacionada com a variação de velocidade.
Energia Cinética
A energia cinética não pode assumir valoresnegativos e é uma grandeza escalar.
O trabalho também é uma grandeza escalar epode assumir valores negativos…
Energia cinética
20
2if mv
21mv
21kkK −=−=Δ
Unidades:
2
21 mvK =
K = 2,0.108 J
Trabalho: "É o produto da força ou componente da força na direção do deslocamento, pelo deslocamento".
Expressão: W = ⏐ F⏐.⏐d⏐ cosθ
Observe que o trabalho é uma grandeza escalar porque é decorrente do produto escalar de duas grandezas vetoriais
F e d.
Trabalho mecânico & produto escalar:
W = F.d cosθ
W + ou -
Trabalho mecânico & produto escalar:
W = F.d cosθ
Quando um corpo é deslocado horizontalmente sobre uma mesa plana, a força normal n e a força peso mg não realizam trabalho, θ = 90º.
WN ou WP = F.d cos90º = 0
Instalação de uma escultura de Henry Moore
kgm 2000=
my 5,1=Δ JWJgW
4100,35,12000
×≈
××=
Trabalho realizado pelo guindasteao erguer a escultura:
Para manter a escultura erguida oguindaste não realiza trabalho
Trabalho Mecânico
my 5,1=Δ
Trabalho MecânicoExemplo: Para empurrar um caixote de 25,0 kg, numa rampa que faz um ângulo de 25º, conforme figura abaixo, um operário exerce uma força de 209 N paralela a rampa. Se o caixote se desloca de 1,5 m. (despreze o atrito entre o caixote e a rampa)
Determine: a) O trabalho realizado pelo operário. b) O trabalho realizado pelo peso do caixote durante este deslocamento? c) O trabalho executado pela força normal. d) O trabalho total executado sobre o caixote?
25º
Kmv21mv
21WxF 2
02
Fres Δ=−==Δ∑O trabalho realizado pela resultante das forças FR para deslocar um corpo de um ponto A a um ponto B, é a
diferença de energia cinética do corpo nos pontos B e A.
Teorema Trabalho - Energia Cinética
O trabalho da força resultante é dado por: ∑ Δ= xFWFres
Em 1 dimensão: )(xFF ≡
=== ∫∫ dxdtdvmdx)x(FW
f
i
f
i
x
x
x
x
X
( ) Kvvm21vdvmW 2
i2f
v
vFR
f
i
Δ=−== ∫
ma
Demonstração do teoremaTrabalho – Energia cinética
Trabalho realizado pelo cão:
Modelo para resolver o problema:
mg
F
N
fa
Δx
xFWc
Trabalho realizado pela força de atrito:
Δ=
xmgxfW catratr Δ−=Δ= μ
Teorema Trabalho - Energia Cinética
Se o carrinho se desloca com velocidade constante:
0=ΔKConsistente com o fato de que o trabalho total ser nulo:
0=+ atrc WWA força resultante é nula:
0=+=∑ afFF
…continuação do mesmo exemplo:
∑ Δ==−=Δ yFWKKK resif
mgF =0
000
<Δ<<>Δ
KWF
y
0000
>Δ><<Δ
KWF
y
Exemplo para o trabalho da força peso F = -mg
Teorema Trabalho - Energia Cinética
∑ Δ==−=Δ xFWKKK resif
Força peso: cálculo do trabalho de uma força constante em 1 dimensão
( ) )( if
y
y
yymgdygmWf
i
−−=−= ∫
JW 100=
kgm 2,10=
Teorema Trabalho - Energia Cinética
Trabalho devido a uma força Fem mais de uma dimensão:
θcosrFrFW Δ=Δ⋅=rr
rΔ
Fθ
Trabalho em 2 ou 3 dimensões(exemplo para uma força constante)
Uma força Fx varia co x conforme a figura abaixo. Calcular o trabalho feito pela força sobre o corpo que se desloca, sob a sua ação, de x = 0 até x = 6 m.
Exemplo:
W = área no gráfico
F(x) versus x
Trabalho Realizado por força variável
Uma força Fx varia co x conforme a figura abaixo. Calcular o trabalho feito pela força sobre o corpo que se desloca, sob a sua ação, de x = 0 até x = 6 m.
Trabalho Realizado por força variável
Em 1 dimensão F(x): Trabalho Realizado por força variável
O gráfico a seguir é uma reta e representa a variação da força resultante que atua em um corpo de 1,2 kg em função do deslocamento. Sabe-se que a velocidade na posição x = 2 m é de 4 m/s. Qual é a velocidade do corpo na posição x = 4 m?
Exemplo:
Trabalho Realizado por força variável
m =1,2 kg , x = 2 m v = 4 m/s. Qual é a velocidade do corpo em x = 4 m?
2 4
4
8
Exemplo:
F = k Δx
Trabalho Realizado por força variável
m =1,2 kg , x = 2 m v = 4 m/s. Qual é a velocidade do corpo em x = 4 m?
2 4
4
8
8 J
4 J
W = 12 J =Δ K
Trabalho Realizado por força variável
A área sob a curva entre os pontos xi e xf, será dada pela soma das áreas dos retângulos.
Δx
Fx
Trabalho Realizado por força variável
A área sob a curva entre os pontos x1 e x2, será dada pela soma das
áreas dos retângulos. ∑ ΔxF
Trabalho Realizado por força variável
A área sob a curva entre os pontos xi e xf, será dada pela soma das áreas dos retângulos. Quando o número de retângulos é muito grande, a soma passa à integral, no limite que o intervalo Δx, se torna um infinitésimo.
A área sob a curva, é a integral da função nos limites considerados.
Conceito de integral
∫∑ =Δ= Δ
f
i
x
xx dx)x(FxFlimW
A área sob a curva entre os pontos xi e xf, será dada pela soma das áreas dos retângulos. Quando o número de retângulos é muito grande, a soma passa à integral, no limite que o intervalo Δx, se torna um infinitésimo. A área sob a curva, é a integral da função nos limites considerados.
∫=f
i
x
x
dx)x(FWx
F(x)
∫∑ =Δ= Δ
f
i
x
xx dx)x(FxFlimW 0
x
F(x)xi xf
xi xf
Trabalho Realizado por força variável
1nx
x
x
n 1nf
i
dxx +
+=∫
∫∑ =Δ= →Δ
f
i
x
x0x dx)x(FxFlimW
3xdxx
3
12x2 12 == +
+
∫
Trabalho Realizado por força variável
1nxn 1ndxx +
+=∫
5xdxx
5
14x4 14
== +
+
∫
3x
5xdx)xx(
35
12x
14x24 1214
+=+=+ ++
++
∫
n = 4
Integral indefinidaIntegral indefinida
Trabalho Realizado por força variável
1nx
x
x
n 1nf
i
dxx +
+=∫
8,2422,024351
53
5xdxx
553
1
5
14x
3
1
4 14 =−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=== +
+
∫
375,4125,05,425,0
23
2xdxx
223
5,0
2
11x
3
5,0
11 =−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=== +
+
∫
Limites da integração
Limite inicial
Limite Final
Integral definidaIntegral definida
Substituir o limite superior menos limite inferior
Exemplo:A única força atuante em um corpo de 2,0 kg enquanto ele se move ao longo do sentido positivo do eixo x édada por
F(x) = (2x + 3x2 ) N , onde x está em metros e F(x) em newtons a velocidade do corpo em x = 2,0 m é de 6 m/s. a) qual o trabalho realizado por esta força durante o deslocamento entre x = 2 m e x = 4 m ? b) qual a velocidade do corpo em x = 4,0 m ?
Trabalho Realizado por força variável
Limites da integração
Substituir o limite superior “4” menos limite inferior “2”.
m = 2,0 kg , F(x) = (2x + 3x2 ) N , em x = 2,0 m é de 6 m/s.
a) qual o trabalho realizado por esta força durante o deslocamento entre x = 2 m e x = 4 m ?
3x3
2x2dx)x3x2(
32
12x3
11x22 1211
+=+=+ ++
++
∫J68
3x3
2x2dx ) 3x (2x
4
2
34
2
24
2
2 =+==+∫
b) qual a velocidade do corpo em x = 4,0 m ? F(x) = (2x + 3x2 ) N , x = 2,0 m x = 4 m
J68W=
W = Kf – Ki = >>>>>>>>> v = 10,2 m/s
( ) Kvvm21W 2
i2f Δ=−=
Trabalho Realizado por força variável
Forças que variam com a posição:
Exemplo a ser estudado: trabalho da força elástica: kxF −=
Força para esticar uma mola
Força restauradora da mola
sF
x
F
xi xf
)(21
)(
22if
x
x
x
xmola
xxk
xdxk
dxxFW
f
i
f
i
−−
=−
==
∫
∫
Se |xi| < |xf| ⇒ W < 0O trabalho sobre a mola pelo agente externoé o valor obtido acima com sinal trocado
Trabalho realizado pela força da mola
Exemplo:Um corpo de 4 kg está pousado numa mesa sem atrito e preso a uma mola horizontal que exerce uma força dada pela lei de Hooke F = - kx, com k = 400 N/m e x em metros medidos a partir da posição de equilíbrio da mola. Originalmente, a mola está comprimida com o corpo em x1 = - 5 cm. Calcular o trabalho feito pela mola sobe o corpo no deslocamento x1 = - 5 cm até a posição de equilíbrio x2 = 0 e a velocidade do corpo em x2 =0.
m = 4 kg , k = 400 N/m x1 = - 5 cm. x1 = - 5 cm até a posição de equilíbrio x2 = 0 e a velocidade em x2 =0.
)xx(k21xdxkdx)x(FW 2
i2f
x
x
x
xmola
f
i
f
i
−−=−== ∫∫
m = 4 kg , k = 400 N/m x1 = - 5 cm. x1 = - 5 cm até a posição de equilíbrio x2 = 0 e a velocidade em x2 =0.
m = 4 kg , k = 400 N/m x1 = - 5 cm. x1 = - 5 cm até a posição de equilíbrio x2 = 0 e a velocidade em x2 =0.
vrsdr
cFr
0=⋅= sdFdW crr
Pelo teorema trabalho – energia cinética:
.ctev =r
0=Δ= KW
Ausência de trabalho no movimentocircular uniforme
Trabalho dWf de uma força F agindo ao longo de um deslocamento infinitesimal
Forças que variam tanto de módulo quanto de direção
Trabalho dWf de uma força F agindo ao longo de um deslocamento infinitesimal
Forças que variam tanto de módulo quanto de direção
Exemplo: jixF ˆ4ˆ3 +=r
jir
jirˆ0ˆ3
ˆ3ˆ2
2
1
+=
+=r
r
V aumenta ou diminui? diminui V 00 <Δ⇒< KW
top related