2 - 1. 11 - 2 moto rettilineo : posizione, velocità accellerazione moto uniforme v=cost moto...
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2 - 1
11 - 2
Moto rettilineo :
posizione, velocità accellerazione
Moto uniforme v=cost
Moto uniformemente accelerato a=cost
problema 1
problema 2
problema 3
Moto Curvilineo : Posizione, Velocità ed Accellerazione
Derivate di Vettoridipendenti dal tempo
Componenti Rettangolari della velocità ed Accellerazione
Moto Relativo ad un sistema in traslazione
Componenti Normali e Tangenziali
Problema 4
Problema 5
rappresentazioni grafiche della cinematica del moto rettilineo
Lunedi (2h)Oggi
+ 1h di esercizi alla lavagna
11 - 3
• Cinematica: studio della geometria del moto. La cinematica viene utilizzata per collegare spostamento, velocità, accelerazione, e il tempo senza far riferimento alla causa del moto.
• Dinamica: studio delle relazioni esistenti tra le forze agenti su un corpo, la massa del corpo, e il moto del corpo. La dinamica è usata per predire il movimento causato dalla proposta forze o per determinare le forze necessarie per produrre un dato movimento.
• Moto rettilineo: posizione, velocità e accelerazione di una particella che si muove lungo una linea retta.
• Movimento curvilineo: posizione, velocità e accelerazione di una particella che si muove lungo una linea curva in due o tre dimensioni.
Movimento Rettilineo (1D) : posizione, velocità ed accelerazione
• Una particella in movimento lungo una linea retta si dice che è in moto rettilineo.
• La coordinata x della posizione di una particella è definita dalla misura della sua distanza da un'origine fissa sulla linea. La coordinata x della posizione può essere sia positiva che negativa
• Il moto di una particella è noto se la sua coordinata di posizione x(t) è nota ad ogni valore del tempo t. Il moto della particella può essere espresso nella forma di una funzione del tempo, ad esempio,
326)( tttx
ed in un grafico x vs. t.
t
x(t1+ t)
pend
enza
2 - 5
t
txttxvm
)()( 11
Velocità media
x
tpe
nden
za
x(t1+ t)
tpe
nden
za
x(t1+ t)
tpe
nden
za
x(t1+ t)
tt1
penden
za
velocità istantanea
tttdt
dx
t
xtv
t1
0),(lim)(
x(t1)
x(t)
Tangente alla curva in P(t1,x(t1))
Velocità, moto rettilineo
ed in un grafico x vs. t.
ed in un grafico x vs. t.
2 - 6
grafico x vs. t.
12
12 )()(
tt
txtxvm
Velocità media
sms
mm
ss
sxsxvm /8
2
1632
24
)2()4(
sms
mm
ss
sxsxvm /16
2
320
46
)4()6(
11 - 7
• Queste velocità possono essere positive o negative. Il loro modulo (cioè la radice quadrata del quadrato) è sempre positivo.(speed –velocity).
• Consideriamo una particella che occupa la posizione P al tempo t e successivamente si trova in P’ a t+t,
t
xv
t
x
t
0lim
Velocità Media
Velocità istantanea
• Dalla definizione di derivata
dt
dx
t
xv
t
0
lim
ad esempio
2
32
312
6
ttdt
dxv
ttx
Velocità, moto rettilineo
11 - 8
• Consideriamo una particella con velocità v al tempo t e v’ al tempo t+t,
Accellerazione Istantanea t
va
t
0lim
tdt
dva
ttv
dt
xd
dt
dv
t
va
t
612
312e.g.
lim
2
2
2
0
• Dalla definizione di derivata
• L’accellerazione puo’ essere :- Positiva se: aumenta una velocità positiva
oppure diminuisce una V negativa
- Negativa se: diminuisce una v positiva
Oppure aumenta una v negativa
t
vam
Accellerazione Media
11 - 9
• t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2
• t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0
• t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 m/s2
• t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s2
326 ttx Spazio - tempo
tdt
xd
dt
dva 612
2
2
Accellerazione - tempo
2312 ttdt
dxv
Velocità- tempo
11 - 10
• Data una equazione oraria x(t), la curva v(t) è uguale alla pendenza della x(t).
• Data la curva v(t) , la curva a(t) è uguale alla pendenza della v(t).
Rappresentazione grafica della derivata temporale in cinematica
Determinazione del moto di una particella
11 - 11
• Ricordate, il moto di una particella è noto se la sua posizione X è nota ad ogni istante di tempo t.
• Tipicamente, le condizioni del moto sono specificate dal tipo di accellerazione a cui è soggetta la particella. Visto le relazioni tramite le derivate temporali tra a , v , e x, la determinazione della velocità e della posizione , nota l’accellerazione, richiede due successive operazioni di integrazione nel tempo
• Tre classi di moto possono essere definite a seconda che si conosca:
- accelerazione in funzione del tempo, a = a(t)
- accelerazione in funzione del posizione, a = a(x)
- accellerazione in funzione della velocità, a = a(v)
Interpretrazione grafica degli integrali nel tempo
11 - 12
• Data la curva a(t), la variazione in velocità tra t1 e t2 è uguale all’area sottesa dalla curva a(t) tra t1 e t2.
• Data la curva v(t), la variazione in posizione tra t1 e t2 è uguale all’area sottesa dalla curva v(t) tra t1 e t2.
DERIVATE ED INTEGRALI !!
Almeno delle funzioni elementari dovete impararli a fare …SUBITO!!!
t
dttavtv0
)0()( t
dttvxtx0
)0()(
11 - 13
- accellerazione in funzione della posizione, a = a(x)
x
x
x
x
xv
v
dxxavxvdxxadvvdxxfdvv
xadx
dvva
dt
dva
v
dxdt
dt
dxv
000
202
12
21
- accellerazione in funzione del tempo, a = a(t)
tttx
x
tttv
v
dttvxtxdttvdxdttvdxtvdt
dx
dttavtvdttadvdttadvtadt
dv
0
0
0
0
0
0
0
0
11 - 14
• accellerazione in funzione della velocità, a = a(v):
tv
v
tv
v
tx
x
tv
v
ttv
v
va
dvvxtx
va
dvvdx
va
dvvdxva
dx
dvv
tva
dv
dtva
dvdt
va
dvva
dt
dv
0
00
0
0
0
0
2 - 15
Accellerazione nulla, velocità costante a=0, v=cost. MOTO UNIFORME
tvxtx
inizialeposizionexdtvxdtvxtx
dtvxtxdtvdxdtvdxtvdt
dx
tvinizialevelocitàvtv
tvtvadt
dv
tt
tttx
x
00
0
0
00
0
00
0
00
0
00
0
0
)(
)()(
cos;)()(
0)0(00
0
200
00
00
0
00
0
0
0
0
0
0
2
1)(
)()(
)(
)0(
0
0
attvxtx
tdtadtvxdtatvxtx
dttvxtxdttvdxdttvdxtvdt
dx
atvtv
attavtvdtadvdtadvadt
dv
ttt
tttx
x
ttv
v
2 - 16
Accellerazione costante, a=cost. MOTO UNIFORMEMENTE ACCELLERATO
2 - 17
• accellerazione in funzione della velocità, a = f(v) ; a=cost
Se a è costante nel tempo vuol dire che è costante anche al variare della velocità !!
))((1
)0()(
))((11
20
2
20
2)(
0
00
vtva
xtx
vtva
vdvaa
dvvxtx
tv
v
tv
v
2 - 18
accellerazione in funzione della posizione, a = cost
dx
dvva
Otteniamo lo stesso risultato
)(1 2
02
0 vva
xx ff
Problema
11 - 19
Determinare:• velocità ed altezza rispetto al suolo al
tempo t, • La massima altezza raggiunta ed il
tempo impiegato• Il tempo di arrivo al suolo e la
corrispondente velocità finale.
Una p.m. (palla) è lanciata con velocità verticale vo= 10 m/s da una finestra posta ad altezza yo = 20 m dal suolo.
• Cerchiamo il tempo t al quale la velocità è uguale a zero (tempo al quale viene raggiunta la massima altezza) e utilizziamolo per valutare la corrispondente altezza massima
• Cerchiamo il tempo t al quale l’altezza rispetto al suolo è uguale a zero (tempo d’impatto) e utilizziamolo per calcolare la velocità al momento dell’impatto
• Il moto della palla è un moto uniformemente accellerato, con accellerazione g=-9.81 m/s2 diretta verso il suolo.
11 - 20
tvtvdtdv
adt
dv
ttv
v
81.981.9
sm81.9
00
2
0
ttv
2s
m81.9
s
m10
2
21
00
81.91081.910
81.910
0
ttytydttdy
tvdt
dy
tty
y
22s
m905.4
s
m10m20 ttty
• Integriamo, per trovare v(t) ed ancora una volta per trovare y(t).
11 - 21
• Troviamo t tale che, v=0
• … la corrispondente altezza ymax
0s
m81.9
s
m10
2
ttv
s019.1t
22max
22
s019.1s
m905.4s019.1
s
m10m20
s
m905.4
s
m10m20
y
ttty
m1.25max
y
11 - 22
• Calcolare il tempo t tale che y(t)=0
• Calcolare la corrispondente velocita
0s
m905.4
s
m10m20 2
2
ttty
s28.3
s243.1 scartatasoluzion e,impossibil o,significat di privo
t
t
s28.3s
m81.9
s
m10s28.3
s
m81.9
s
m10
2
2
v
ttv
s
m2.22vvelocità al momento dell’impatto
11 - 23
Alla stazione ferroviaria un “freno terminale” dei binari dei treni consiste di un pistone attaccato ad un asse, libero dimuoversi di moto rettilineo all’interno di un cilindro pieno di olio. All’urto con la locomotrice in arrivo, l’asse viene spinto verso l’interno del cilindro con velocità iniziale v0, il pistone a sua volta, muovendosi con la stessa velocità, comprime l’olio che può passare ma con difficoltà verso sinistra, attraverso dei sottili fori nel pistone consentendo l’avanzamento del cilindro ma causando una decellerazione proporzionale alla velocità
Determinare v(t), x(t), e v(x).
kva
• Integrare a = dv/dt = -kv per trovare v(t).
• Integrare v(t) = dx/dt per trovare x(t).
• Integrare a = v dv/dx = -kv
per trovare v(x).
• accellerazione in funzione della velocità, a = f(v) ; a=cost
11 - 24
SOLUZIONE:
• Integrare a = dv/dt = -kv per trovare v(t).
kt
v
tvdtk
v
dvkv
dt
dva
ttv
v
00
ln0
ktevtv 0
• Integrare v(t) = dx/dt per trovare x(t).
tkt
tkt
tx
kt
ek
vtxdtevdx
evdt
dxtv
00
00
0
0
1
ktek
vtx 10
0
ln0
v
tve v
tv
11 - 25
• Integrare a = v dv/dx = -kv
per trovare v(x).
kxvv
dxkdvdxkdvkvdx
dvva
xv
v
0
00
kxvv 0
• Alternativamente,
0
0 1v
tv
k
vtx
kxvv 0
0
0 or v
tveevtv ktkt
ktek
vtx 10con
e
Infine:
Moto rettilineo uniforme
11 - 26
v=costante a=0
vtxx
dtvdx
vdt
dx
tx
x
0
00
constante
Moto uniformemente accellerato
11 - 27
Un aparticella in moto rettilineo uniformemente accellerato
a=costante
atvv
atvvdtadvadt
dv tv
v
0
000
constant
221
00
221
000
000
attvxx
attvxxdtatvdxatvdt
dx tx
x
00
020
2
020
221
2
222
constant00
xxavv
xxavv
xxavvdxadvvadx
dvv
x
x
v
v
Moti di piu’ parti: moto relativo
11 - 28
• Consideriamo due punti materiali, A e B, che si muovono di moto rettilineo lungo la stessa linea.
• Il tempo deve essere registrato a partire da uno stesso istante iniziale e gli spostamenti dovrebbero essere misurati dalla stessa origine usando la stessa direzione orientata per indicare il verso positivo
ABAB xxx posizione relativa di B rispetto ad A
ABAB xxx
ABAB vvv velocità relativa di B rispetto ad A
ABAB vvv
ABAB aaa accellerazione di B rispetto ad A
ABAB aaa
Problema
11 - 29
Un palla è lanciata da yo=12m di altezza, con vo= 18 m/s verso l’alto, lungo il condotto di una piattaforma-ascensore. In quello stesso istante, la piattaforma si trova a 5 m di altezza dal suolo e si muove vero su con vE= 2 m/s.
Determinare (a) quando e dove la palla colpisce la piattaforma e (b) la velocità relativa della palla ed elevatore al contatto
SOLUZIONE:
• Per la palla: Sostituire la posizione x0 e la velocità v0
iniziali e l’accellerazione costante g=-9.81 m/s2 nelle equazioni generali per il moto uniformemente accellerato .
• Per la piattaforma :Sostituire la posizione x0 e la velocità v0 costante iniziale della pioattaforma nelle equazioni generali per il moto uniforme.
• Scrivere l’equazione per la posizione relativa della palla rispetto alla piattaforma e risolvere imponendo che la posizione relativa sia nulla, cioe la posizione verticale alla quale avviene l’impatto, tempo impatto tf
• Sostituite il tempo di impatto nelle equazioni per la posizione della piataforma e la relativa velocità della palla al momento dell’impatto
11 - 30
SOLUZIONE:• Sostituire la posizione x0 e la velocità v0 iniziali e l’accellerazione
costante g=-9.81 m/s2 nelle equazioni generali per il moto uniformemente accellerato .
22
221
00
20
s
m905.4
s
m18m12
s
m81.9
s
m18
ttattvyy
tatvv
B
B
• Sostituire la posizione x0 e la velocità v0 costante iniziale della pioattaforma nelle equazioni generali per il moto uniforme.
ttvyy
v
EE
E
s
m2m5
s
m2
0
11 - 31
• Scrivere l’equazione per la posizione relativa della palla rispetto alla piattaforma e risolvere imponendo che la posizione relativa sia nulla, cioe la posizione verticale alla quale avviene l’impatto, tempo impatto tf
025905.41812 2 ttty EB
s65.3
smeaningles s39.0
t
t
• Sostituite il tempo di impatto nelle equazioni per la posizione della piataforma e la relativa velocità della palla al momento dell’impatto
65.325Eym3.12Ey
65.381.916
281.918
tv EB
s
m81.19EBv
11 - 32
• Data una equazione oraria x(t), la curva v(t) è uguale alla pendenza della x(t).
• Data la curva v(t) , la curva a(t) è uguale alla pendenza della v(t).
La derivata temporale in grafici
lettura grafica degli integrali nel tempo
11 - 33
• Data la curva a(t), la variazione in velocità tra t1 e t2 è uguale all’area sottesa dalla curva a(t) tra t1 e t2.
• Data la curva v(t), la variazione in posizione tra t1 e t2 è uguale all’area sottesa dalla curva v(t) tra t1 e t2.
•Sistemi di più punti materiali : Moto Reletivo
11 - 34
• Particelle (punti materiali, p.m.) che si muovono lungo la stessa linea.
• Dopo aver definito un sistema di riferimento comune con la stessa origine e direzione per gli spostamenti e lo stesso istante di tempo iniziale, possiamo scrivere
ABAB xxx Posizione relativa di B rispetto ad A
ABAB xxx
ABAB vvv Velocità relativa di B rispetto ad A
ABAB vvv
ABAB aaa Accellerazione relativa di B rispetto ad A
ABAB aaa
Sistemi di più punti materiali (o di piu’ parti)
11 - 35
• La posizione di un p.m. può dipendere dalla posizione degli altri p.m
• Ad esempio la posizione del blocco B dipende dalla posizione di A. Poichè la fune ha lunghezza costante ne segue che deve essere costante la somma dei segmenti
BA xx 2 const (1 grado di libertà)
• la posizione dei tre bocchi è dipendente
CBA xxx 22 const (2 gradi di libertà)
• Relazioni simili valgono per le velocità e le accellerazioni
022or022
022or022
CBACBA
CBACBA
aaadt
dv
dt
dv
dt
dv
vvvdt
dx
dt
dx
dt
dx
Problema 5
11 - 36
La puleggia D che può scorrere verticalmente lungo l’asse viene messa in movimento verso il basso con vD =3m/s a t = 0. Conseguentemente il manicotto A inizia a muoversi dalla posizione K con accellerazione costante e zero velocità iniziale. Sappiamo inoltre che la velocità di A è 12 m/s non appena passa L. Determinare il cambiamento in altezza, velocità ed accellerazione del blocco B quando A è alla posizione L.
• Definire l’origine alla superficie orizzontale superiore con direzione positiva per gli spostamenti verso il basso.
• A ha un moto rettilineo uniformemente accellerato. Usiamolo per trovare l’accellerazione ed il tempo t* per raggiungere L.
• D ha un moto rettilineo uniforme; calcoliamo il cambiamento di posizione al tempo t*
• Il moto di B dipende dai moti di A e di D. Scrivere le relazioni di moto relativo per trovare lo spostamento di B al tempo t*. Diffrenziatele per trovare velocità ed accellerazione di B
11 - 37
• A ha un moto rettilineo unif. acc. Possiamo ricavare l’accellerazione ed il tempo t* per rraggiungere L.
2
2
0
2
02
s
m9m82
s
m12
2
AA
AAAAA
aa
xxavv
s 333.1s
m9
s
m12 **
2
0
tt
tavv AAA
• Definire l’origine alla superficie orizzontale superiore con direzione positiva per gli spostamenti verso il basso.
8m
12m/s
11 - 38
m 4s333.1s
m30
*0
DD
DDD
xx
tvxx
• Block B motion is dependent on motions of collar A and pulley D. Write motion relationship and solve for change of block B position at time t.
Total length of cable remains constant,
0m42m8
02
22
0
000
000
BB
BBDDAA
BDABDA
xx
xxxxxx
xxxxxx
m160 BB xx
• La puleggia D ha un moto rettilineo uniforme, calcoliamo il cambiamento di posizione al tempo t*
3m/s
11 - 39
• Diffrenziate 2 volte per trovare rispettivamente velocità ed accellerazione di B
• .
0s
m32
s
m12
02
const2
B
BDA
BDA
v
vvv
xxx
s
m18Bv
0s
m9
02
2
B
BDA
v
aaa
2s
m9Ba
• Il vettore posizione del p.m. al tempo t è definito come il vettore tra l’origine O di un sistema fisso di riferimento e la posizione occupata dal p.m
r
• al tempo t+t il p.m. si sposta nella posizione P’, percorrendo l’arco di curva s.
•Sia il vettore posizione del p.m. in P’ 'r
s=spazio percorso
)()(' trttrrrr
•Il vettore spostamento è definito come: r
Moto curvilineo: posizione
• Un p.m. che non si muove in linea retta si dice che si muove di moto curvilineo
Moto curvilineo: velocità
11 - 41
• Un p.m. che non si muove in linea retta si dice che si muove di moto curvilineo
• Il vettore posizione del p.m. al tempo t è definito come il vettore tra l’origine O di un sistema fisso di riferimento e la posizione occupata dal p.m
• Definiamo la velocità media (vettore) del p.m. che occupa la posizione P al tempo t e P’ a t + t,
vdt
ds
dt
rd
dt
ds
t
sv
dt
rd
t
rv
t
t
0
0
lim
lim
Velocità istantanea (vettore)
Velocità istantanea (scalare)
t
rvm
Moto curvilineo: accellerazione
11 - 42
dt
vd
t
va
t
0
lim
accellerazione Istantanea (vettore)
• Consideriamo la velocità di un p.m. al tempo t e la sua
velocità a t + t :v
v
• In generale, il vettore accelerazione non è tangente al percorso della particella e quindi non è parallelo al vettore velocità.
Derivate di funzioni vettoriali
11 - 43
uQeuP
• Derivata della somma di due vettori
du
Qd
du
Pd
du
QPd
du
PdfP
du
df
du
Pfd
• Derivata del prodotto con uno scalare f
• Derivata del prodotto scalare
du
QdPQ
du
Pd
du
QPd
sono vettori e funzioni della variabile continua u
La derivata è tangente alla curva !
Componenti lungo gli assi cartesiani
11 - 44
• La posizione P di un p.m. in un riferimento cartesiano è data da:
kzjyixr
• Vettore velocità ,
kvjviv
kdt
dzj
dt
dyi
dt
dxv
zyx
• Vettore accellerazione
kajaia
kdt
dvj
dt
dvi
dt
dvk
dt
zdj
dt
ydi
dt
xda
zyx
zyx
2222
2
2
2
2
2
11 - 45
• il moto si puo’ scomporre in tre moti indipendenti sugli assi cartesiani (mi sapete dire quando non è possibile?)
002
2
2
2
2
2
dt
zd
dt
dvag
dt
yd
dt
dva
dt
xd
dt
dva z
zy
yx
x
Con condizioni iniziali
0,,0 000000 zyx vvvzyx
Integrando due volte
0
02
21
00
00
zgtyvytvx
vgtvvvv
yx
zyyxx
• Il moto nella direzione orizzontale x è uniforme
• Il moto del p.m. può essere scomposto in due moti rettilinei indipendenti
Esempio 2D
• Il moto nella direzione verticale y è uniformemente accellerato
applico le equazioni della cinematica monodimensionale:
1.moto rettilineo orizzontale (x): uniforme
2.moto rettilineo verticale (y) : uniformenmente accellerato (caduta di un grave)
2 - 46
Applicazione:moto del proiettile [qualunque oggetto lanciato in aria]
Ipotesi: 1.accelerazione di gravità g costante 2.resistenza dell’aria trascurabile
Il moto orizzontale e verticale sono indipendenti
la traiettoria è sempre una parabola [dimostrare]
0
02
21
00
00
zgtyvytvx
vgtvvvv
yx
zyyxx
x y z
2 - 47
Applicazione:moto del proiettile
2 - 48
2 - 49
2 - 50
?2 - 51
?
?
2 - 52
Luce stroboscopica : flash ad intervalli uguali t
Moto relativo ad un sistema di riferimento in movimento relativo uniforme
11 - 53
• Consideriamo un sistema fisso di riferimento O(xyz) ed uno mobile A(x’y’z’) che al più trasla rispetto al prima con velocità costante .
• I vettori posizione per i p.m. A e B rispetto al sistema fisso Oxyz sono :
. e BA rr
• Il vettore che unisce A e B definisce la posizione di B rispetto al sistema di riferimento mobile Ax’y’z’. Risulta:
ABr
ABAB rrr
• Si ottiene:
ABv
Velocità di B rispetto ad A.ABAB vvv
ABa
Accellerazione di B rispetto ad A.ABAB aaa
• Il moto “assoluto di B può essere ricavato combinando il moto di A con il moto relativo di B rispetto al sistema di riferimento mobile attaccato ad A.
Componenti tangenziale e normale
• La velocità è un vettore sempre tangente alla traettoria del p.m. In genere, l’accellerazione non lo è ! E’ conveniente esprimere il vettore accellerazione in termini di componenti tangenziali e normali (ortogonali alla direzione del moto cioe’ alla tangente)
• Siano i versori tangenti alla traettoria in P e P’. Riportiamoli sull’origine e chimiamo l’angolo tra di loro
tt ee ed
ttt eee
tnt
n
nnt
t
eed
ede
eee
e
;
2
2sinlimlim
2sin2
00
traettoria
Non fate confusione, questa non è la taettoria
/2
vedt
ds
ds
d
d
ed
dt
edn
tt *1
s
;s
rad
s
2360
2*
Ad esempio: Circonferenza cerchio di raggio ?
+
tnt
n eed
ede
;
=
Componenti tangenziale e normale dell’accellerazione tevv• Esprimendo la velocità come :
l’accellerazione della p.m. può essere scritta come :
dt
ds
ds
d
d
edve
dt
dv
dt
edve
dt
dv
dt
vda t
tt
t
ma
vdt
dsdsde
d
edn
t
Sostituendo
22 va
dt
dvae
ve
dt
dva ntnt
ma
• La componente tangenziale dell’accellerazione riflette il cambio di intensità della velocità (velocità scalare) mente la componente normale riflette il cambio di direzione del moto.
• La componente tangenziale può essere positiva o negativa. La componente normale punta sempre verso il centro della curvatura.
nntt eaeaa
Problema
11 - 57
Una automobile compie una curva a 60 km/h. Il guidatore frena causando una decellerazione uniforme
Sapendo che dopo t = 8 s la velocità è stata ridotta a v2=45 Km/h, determinare l’accellerazione un attimo prima di frenare
• Calcolare le componenti tangenziali e normali dell’accellerazione.
• Determinare il modulo dell’accellerazione e la direzione rispetto alla tangente alla curva.250 m
vA=60 Km/h
Problema
Km/h v
Km/hv
45
60
2
1
• Calcolate le comp. tangenziale e normale dell’accellerazione di una p.m.
2
221
s
m10.1
Km25.0
hKm60
50.03600
1000*
8
15
s 8
/60452
v
a
s
m
s
hKm
t
va
n
sm
t
• Determinare il modulo dell’accellerazione e la direzione rispetto alla tangente alla curva.
2222 1.15.0 nt aaa 2s
m21.1a
5.0
1.1tantan 11
t
n
a
a 5.65
0.5 m/s2
1.1 m/s2
Problema
11 - 59
Il braccio meccanico ruota attorno al punto fisso O con legge orararia = 0.15t2 dove è in radianti e t in secondi. Il collare B scorre lungo il braccio secondo la seguente legge orarria r = 0.9 - 0.12t2 dove r è espresso in metri.
Dopo che il braccio ha ruotato di 30° , determinare (a) la velocità totale del collare, (b) l’accellerazione totale del collare (c) l’accellerazione relativa del collare rispetto al braccio.
• Valutare t* per = 30o.
• Calcolare la posirione radiale (r) ed angolare (, e le due derivate, prima (velocità) e seconda (accellerazine), rispetto al tempo a t=t*.
• Calcolare la velocità ed accellerazione in coordinate cilindriche
• Calcolare l’accellerazione del collare rispetto al braccio
11 - 60
• Valutare t* per = 30o.
s 869.1rad524.030
0.15 2
t
t
• Calcolare la posirione radiale (r) ed angolare (, e le due derivate, prima (velocità) e seconda (accellerazi0ne), rispetto al tempo a t=t*.
22
2
2
sm24.0
sm449.024.0
m 481.012.09.0
dtrda
tdtdrv
tr
r
r
22
2
2
srad30.0
srad561.030.0
rad524.03015.0
dt
d
tdt
d
t
• Calcolo per velocità ed accelerazione.
rr
r
v
vvvv
dt
drv
sv
122 tan
sm270.0srad561.0m481.0
m449.0
0.31sm524.0 v
6.42sm531.0 a
rr
r
a
aaaa
dt
d
dt
dr
dt
dra
dt
dr
dt
rda
122
2
2
2
2
2
22
2
2
2
tan
sm359.0
srad561.0sm449.02srad3.0m481.0
2
sm391.0
srad561.0m481.0sm240.0
11 - 62
• Calcolare l’accellerazione del collare rispetto al braccio
2/ sm240.0ra OAB
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