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2. Theorie des Haushalts 2.4 Die individuelle Nachfrage
VWL I/WS 2007/08 156
2.4 Die individuelle Nachfrage Nachfrage des Haushalts nach Gütern x1 und x2
-- in Abhängigkeit von den Preisen p1 und p2,
-- in Abhängigkeit vom Einkommen.
2. Theorie des Haushalts 2.4 Die individuelle Nachfrage
VWL I/WS 2007/08
x1
x2
A
B U3
U2 U1
x1A
x1B
x2A
x2B
x1
p1
A
B
x1B
x1A
p1B
p1A
C x2C
x1C
Preis-Konsum-Kurve
x1C
p1C C
Nachfragekurve)I,p,p(xx 2111 =
Abbildung 2.38: Die Auswirkungen von
Preisänderungen
157
2. Theorie des Haushalts 2.4 Die individuelle Nachfrage
VWL I/WS 2007/08 158
x1
x2
A
x1A
x2A
Ex1,p1= 0
C
B
Ex1,p1= -1
Ex1,p1 < -1
0 > Ex1,p1< -1
Ex1,p1> 0
I/p10 I/p1
1
Abbildung 2.39: Die Preis-Konsum-Kurve und die Preiselastizität der Nachfrage
2. Theorie des Haushalts 2.4 Die individuelle Nachfrage
VWL I/WS 2007/08 159
� unterschiedliche Preise p1 gehen mit unterschiedlichen Nutzenniveaus einher -- GRS = p1/p2,
d.h. GRS ändert sich entlang der Nachfragekurve.
-- GRS⋅p2 = p1 (marginale Zahlungsbereitschaft)
2. Theorie des Haushalts 2.4 Die individuelle Nachfrage
VWL I/WS 2007/08
x1
x2
A
U3 U2
U1
x1A = 0
x2A
x1
p1
A
x1A
= 0
p1B
p1A
C x2C= 0
x1C
Preis-Konsum-Kurve
x1C=I/p1
C
p1C
C
Nachfragekurve )I,p,p(xx 2111 =
p1B/p2 = a/b
x1B
= I/p1B
Abbildung 2.40: Ableitung der Nachfragekurve bei
vollkommenen Substitutionsgütern (U = a⋅x1 + b⋅x2)
160
2. Theorie des Haushalts 2.4 Die individuelle Nachfrage
VWL I/WS 2007/08 161
perfekte Komplemente:
U(x1,x2) = min{a⋅x1, b⋅x2}
Nachfrage nach x1: ( )21
1apbp
bIx
+=
2. Theorie des Haushalts 2.4 Die individuelle Nachfrage
VWL I/WS 2007/08
x1
x2
A
U3 U2 U1
x1A
x2A
x1
p1
A
x1A
p1B
p1A
C x2C
x1C
x1C
p1C C
Nachfragekurve )I,p,p(xx 2111 =
Preis-Konsum-Kurve
x2 = (a/b)x1
x2B
x1B
B
B
x1B
Abbildung 2.41: Ableitung der Nachfragekurve bei
vollkommenen Komplementärgütern
162
2. Theorie des Haushalts 2.4 Die individuelle Nachfrage
VWL I/WS 2007/08
x1
x2
A
B U3
U2 U1
x1A
x1B
x2A
x2B
x1
p1
A B
x1B
x1A
p1A
C x2C
x1C
Einkommens-Konsum-Kurve
x1C
C
)I,p,p(xxA
2111 =
)I,p,p(xxB
2111 =
)I,p,p(xx C
2111 =
Abbildung 2.42: Die Auswirkungen von
Einkommensänderungen
163
2. Theorie des Haushalts 2.4 Die individuelle Nachfrage
VWL I/WS 2007/08 164
� „normales Gut“: Nachfrage des Haushalts nach dem Gut steigt, wenn sein Einkommen steigt (Einkommenselastizität ist positiv):
i
iiiI,x
x
I
I
x
I/I
x/xE
i ∆
∆=
∆
∆= >0
� „inferiores Gut“: Nachfrage des Haushalts nach dem Gut sinkt, wenn sein Einkommen steigt (Einkommenselastizität ist negativ):
i
iiiI,x
x
I
I
x
I/I
x/xE
i ∆
∆=
∆
∆= <0
2. Theorie des Haushalts 2.4 Die individuelle Nachfrage
VWL I/WS 2007/08 165
x1
x2
A
B
U3
U2
U1
x1A x1
B
x2A
x2B
C x2C
x1C
Abbildung 2.43: Ein inferiores Gut
2. Theorie des Haushalts 2.4 Die individuelle Nachfrage
VWL I/WS 2007/08 166
x1
x2
A
x1A
x2A
Ex1,I = 0
B
C
D
Ex1,I = 1
Ex1,I > 1
0 < Ex1,I < 1
Ex1,I < 0
Abbildung: 2.44: Einkommens-Konsum-Kurve und Einkommenselastizität
2. Theorie des Haushalts 2.4 Die individuelle Nachfrage
VWL I/WS 2007/08
x1
x2
A
B
U3
U2 U1
x1A x1
B
x2A
x2B
C x2C
x1C
x2
I
x1
I
IA/p1 I
B/p1 I
C/p1
A
B
C
x2A
x2B
x2C
IA
IB
IC
x1A x1
B x1
C
IA
IB
IC
)I,p,p(x 211
)I,p,p(x 212
Abbildung 2.45: Herleitung der Engelkurve aus der Einkommens-Konsum-Kurve
167
2. Theorie des Haushalts 2.4 Die individuelle Nachfrage
VWL I/WS 2007/08 168
x1
I
Engelkurve
)I,p,p(x 211
Abbildung 2.46: Engelkurve
2. Theorie des Haushalts 2.4 Die individuelle Nachfrage
VWL I/WS 2007/08 169
x1
I
inferior
normal
)I,p,p(x 211
Abbildung 2.47: Engelkurve für ein inferiores Gut
2. Theorie des Haushalts 2.4 Die individuelle Nachfrage
VWL I/WS 2007/08 170
Spezialfälle: perfekte Substitute:
U = a⋅x1 + b⋅x2 Einkommens-Konsum-Kurve fällt mit einer der beiden Achsen zusammen:
-- wenn p1/p2 > MU1/MU2 (= a/b), dann x1 = 0. -- wenn p1/p2 < MU1/MU2 (= a/b), dann x1 = I/p1 .
2. Theorie des Haushalts 2.4 Die individuelle Nachfrage
VWL I/WS 2007/08
x1
x2
A
U3
U2
U1
x1 (x2)
I
A
IB
IC
C
x1C
Einkommens-Konsum-Kurve
IA
C
x1 = I/p1
B
x1B
x1A
B
x1C
x1B
x1A
x2 = 0
Abbildung 2.49: Ableitung der Engelkurve für
vollkommene Substitutionsgüter I
171
2. Theorie des Haushalts 2.4 Die individuelle Nachfrage
VWL I/WS 2007/08
x1
x2
A
U3 U2 U1
x1
I
A
IB
IC
C x2
C
Einkommens-Konsum-Kurve
IA
C
B x2B
x2A
B
x1 = 0
Abbildung 2.50: Ableitung der Engelkurve für
vollkommene Substitutionsgüter II
172
2. Theorie des Haushalts 2.4 Die individuelle Nachfrage
VWL I/WS 2007/08 173
perfekte Komplemente:
U(x1,x2) = min{a⋅x1, b⋅x2} Einkommens-Konsum-Kurve:
x2 = (a/b)⋅x1 Nachfrage nach x1:
( )21
1apbp
bIx
+=
2. Theorie des Haushalts 2.4 Die individuelle Nachfrage
VWL I/WS 2007/08
x1
x2
A
U3 U2 U1
x1A
x2A
x1
I
A
x1A
IB
IA
C x2C
x1C
x1C
IC C ( )21
1apbp
bIx
+=
Einkommens-Konsum-Kurve
x2 = (a/b)x1
x2B
x1B
B
B
x1B
Abbildung 2.51: Ableitung der Engel-Kurve für
vollkommene Komplementärgüter
174
2. Theorie des Haushalts 2.4 Die individuelle Nachfrage
VWL I/WS 2007/08 175
Cobb-Douglas-Nutzenfunktion:
U(x1,x2) = x1αx2
1-α
Haushaltsoptimum: ( )
2
1
1
2
p
p1
x
x
α
α−= , d.h.
( )1
2
12 x
p
p1x
α
α−= .
Nachfragefunktionen:
Ip
x1
1α
=
Ip
1x
22
α−=
2. Theorie des Haushalts 2.4 Die individuelle Nachfrage
VWL I/WS 2007/08
x1
x2
A
B U3
U2
U1
x1A
x1B
x2A
x2B
x1
I
A
B
x1B x1
A
IC
C x2
C
x1C
x1C
C
2
2
12 x
p
p1x
α
α−=
Ip
x1
1
α=
IB
IA
Abbildung 2.42: Engel-Kurven für die Cobb-
Douglas-Nutzenfunktion
175
2. Theorie des Haushalts 2.4 Die individuelle Nachfrage
VWL I/WS 2007/08 177
Eine lineare Engelkurve durch den Ursprung bedeutet eine Einkommenselastizität von eins! Beweis: x1 = kI (lineare Engelkurve)
1kI
Ik
x
I
I
xE
1
1I,1x ==
∂
∂=
2. Theorie des Haushalts 2.4 Die individuelle Nachfrage
VWL I/WS 2007/08 178
Die Summe der mit ihren Ausgabenanteilen gewichteten Einkommenselastizitäten aller Güter muß gleich eins sein:
dII
xpdI
I
xpdI 2
21
1∂
∂+
∂
∂=
⇔ I
xp
I
xp1 2
21
1∂
∂+
∂
∂=
⇔ 2
222
1
111
x
I
I
x
I
xp
x
I
I
x
I
xp1
∂
∂+
∂
∂=
⇔ I,2x2xI,1x1x ESES1 += ,
mit Sx,j = pjxj/I als dem Anteil des Gutes j an den Ausgaben des Haushalts.
2. Theorie des Haushalts 2.4 Die individuelle Nachfrage
VWL I/WS 2007/08 179
Nutzenfunktionen, die lineare Einkommens und Konsumkurven erzeugen, nennt man homothetisch. � Bei homothetischen Nutzenfunktionen ist die GRS entlang einer Ursprungsgerade konstant.
-- Die GRS ist gleich im Punkt (x1,x2) und im Punkt (tx1,tx2) für alle t>0.
2. Theorie des Haushalts 2.4 Die individuelle Nachfrage
VWL I/WS 2007/08 180
Eigenschaften der Marshall’schen Nachfragefunktion (nutzenmaximierende Nachfrage): � Homogenität vom Grade null in Preisen und Einkommen
xi(p1,p2,I) = xi(µp1, µp2, µI) i=1,2 Ursache: Budgetgerade ändert sich nicht:
µI = µp1x1 + µp2x2 ⇔ I = p1x1 + p2x2,
2. Theorie des Haushalts 2.4 Die individuelle Nachfrage
VWL I/WS 2007/08 181
Budgetgerade:
x2 = 12
1
2
xp
p
p
I−
Steigung: 2
1
2
1
p
p
p
p−=
µ
µ−
x2-Achsenabschnitt: 22 p
I
p
I=
µ
µ
2. Theorie des Haushalts 2.4 Die individuelle Nachfrage
VWL I/WS 2007/08 182
Indirekte Nutzenfunktion: Einsetzen der Nachfragefunktionen in die Nutzenfunktion ergibt die indirekte Nutzenfunktion U[x1(p1,p2,I), x2(p1,p2,I)] = V(p1, p2, I). � Die Homogenität der Nachfragefunktionen in Preisen und Einkommen vom Grade null führt dazu, daß auch die indirekte Nutzenfunktion homogen vom Grade null in Preisen und Einkommen ist.
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