26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα
Post on 04-Jul-2015
3.546 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Γραμμική Αλγεβρα
Προβολές και Ελάχιστα Τετράγωνα
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
18 Δεκεμβρίου 2013
Προβολή σε ευθεία του Rn
Να βρεθεί η προβολή p του b επάνω στην ευθείαπου ορίζει το a (το οποίο ας υποθέσουμε περνάειαπο την αρχή των αξόνων)
Γωνία μεταξύ διανυσμάτων στον Rn
cos θ =aTb
||a||||b||
Προβολή σε ευθεία του Rn
Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn
σε μια ευθεία a isin Rnπου
περνάει απο το 0
είναι το διάνυσμα p = aTbaT a
a
με αντίστοιχο πίνακα προβολής
P = aaT
aT aο οποίος είναι
συμμετρικός και τάξης 1
Προβολή σε ευθεία του Rn
Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn
σε μια ευθεία a isin Rnπου
περνάει απο το 0
είναι το διάνυσμα p = aTbaT a
a
με αντίστοιχο πίνακα προβολής
P = aaT
aT aο οποίος είναι
συμμετρικός και τάξης 1
Προβολή σε ευθεία του Rn
Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn
σε μια ευθεία a isin Rnπου
περνάει απο το 0
είναι το διάνυσμα p = aTbaT a
a
με αντίστοιχο πίνακα προβολής
P = aaT
aT a
ο οποίος είναι
συμμετρικός και τάξης 1
Προβολή σε ευθεία του Rn
Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn
σε μια ευθεία a isin Rnπου
περνάει απο το 0
είναι το διάνυσμα p = aTbaT a
a
με αντίστοιχο πίνακα προβολής
P = aaT
aT aο οποίος είναι
συμμετρικός και τάξης 1
Παράδειγμα
Προβολή του
123
στο111
Πίνακας προβολής στο
111
Πίνακας προβολής στο
[cos θsin θ
]
Παράδειγμα
Προβολή του
123
στο111
Πίνακας προβολής στο
111
Πίνακας προβολής στο
[cos θsin θ
]
Παράδειγμα
Προβολή του
123
στο111
Πίνακας προβολής στο
111
Πίνακας προβολής στο
[cos θsin θ
]
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b
και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε
μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b
rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb
rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Παράδειγμα
1 41 50 6
x =
456
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Ο πίνακας ATA
Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Προβολή σε ευθεία του Rn
Να βρεθεί η προβολή p του b επάνω στην ευθείαπου ορίζει το a (το οποίο ας υποθέσουμε περνάειαπο την αρχή των αξόνων)
Γωνία μεταξύ διανυσμάτων στον Rn
cos θ =aTb
||a||||b||
Προβολή σε ευθεία του Rn
Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn
σε μια ευθεία a isin Rnπου
περνάει απο το 0
είναι το διάνυσμα p = aTbaT a
a
με αντίστοιχο πίνακα προβολής
P = aaT
aT aο οποίος είναι
συμμετρικός και τάξης 1
Προβολή σε ευθεία του Rn
Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn
σε μια ευθεία a isin Rnπου
περνάει απο το 0
είναι το διάνυσμα p = aTbaT a
a
με αντίστοιχο πίνακα προβολής
P = aaT
aT aο οποίος είναι
συμμετρικός και τάξης 1
Προβολή σε ευθεία του Rn
Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn
σε μια ευθεία a isin Rnπου
περνάει απο το 0
είναι το διάνυσμα p = aTbaT a
a
με αντίστοιχο πίνακα προβολής
P = aaT
aT a
ο οποίος είναι
συμμετρικός και τάξης 1
Προβολή σε ευθεία του Rn
Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn
σε μια ευθεία a isin Rnπου
περνάει απο το 0
είναι το διάνυσμα p = aTbaT a
a
με αντίστοιχο πίνακα προβολής
P = aaT
aT aο οποίος είναι
συμμετρικός και τάξης 1
Παράδειγμα
Προβολή του
123
στο111
Πίνακας προβολής στο
111
Πίνακας προβολής στο
[cos θsin θ
]
Παράδειγμα
Προβολή του
123
στο111
Πίνακας προβολής στο
111
Πίνακας προβολής στο
[cos θsin θ
]
Παράδειγμα
Προβολή του
123
στο111
Πίνακας προβολής στο
111
Πίνακας προβολής στο
[cos θsin θ
]
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b
και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε
μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b
rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb
rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Παράδειγμα
1 41 50 6
x =
456
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Ο πίνακας ATA
Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Γωνία μεταξύ διανυσμάτων στον Rn
cos θ =aTb
||a||||b||
Προβολή σε ευθεία του Rn
Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn
σε μια ευθεία a isin Rnπου
περνάει απο το 0
είναι το διάνυσμα p = aTbaT a
a
με αντίστοιχο πίνακα προβολής
P = aaT
aT aο οποίος είναι
συμμετρικός και τάξης 1
Προβολή σε ευθεία του Rn
Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn
σε μια ευθεία a isin Rnπου
περνάει απο το 0
είναι το διάνυσμα p = aTbaT a
a
με αντίστοιχο πίνακα προβολής
P = aaT
aT aο οποίος είναι
συμμετρικός και τάξης 1
Προβολή σε ευθεία του Rn
Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn
σε μια ευθεία a isin Rnπου
περνάει απο το 0
είναι το διάνυσμα p = aTbaT a
a
με αντίστοιχο πίνακα προβολής
P = aaT
aT a
ο οποίος είναι
συμμετρικός και τάξης 1
Προβολή σε ευθεία του Rn
Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn
σε μια ευθεία a isin Rnπου
περνάει απο το 0
είναι το διάνυσμα p = aTbaT a
a
με αντίστοιχο πίνακα προβολής
P = aaT
aT aο οποίος είναι
συμμετρικός και τάξης 1
Παράδειγμα
Προβολή του
123
στο111
Πίνακας προβολής στο
111
Πίνακας προβολής στο
[cos θsin θ
]
Παράδειγμα
Προβολή του
123
στο111
Πίνακας προβολής στο
111
Πίνακας προβολής στο
[cos θsin θ
]
Παράδειγμα
Προβολή του
123
στο111
Πίνακας προβολής στο
111
Πίνακας προβολής στο
[cos θsin θ
]
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b
και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε
μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b
rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb
rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Παράδειγμα
1 41 50 6
x =
456
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Ο πίνακας ATA
Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Προβολή σε ευθεία του Rn
Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn
σε μια ευθεία a isin Rnπου
περνάει απο το 0
είναι το διάνυσμα p = aTbaT a
a
με αντίστοιχο πίνακα προβολής
P = aaT
aT aο οποίος είναι
συμμετρικός και τάξης 1
Προβολή σε ευθεία του Rn
Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn
σε μια ευθεία a isin Rnπου
περνάει απο το 0
είναι το διάνυσμα p = aTbaT a
a
με αντίστοιχο πίνακα προβολής
P = aaT
aT aο οποίος είναι
συμμετρικός και τάξης 1
Προβολή σε ευθεία του Rn
Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn
σε μια ευθεία a isin Rnπου
περνάει απο το 0
είναι το διάνυσμα p = aTbaT a
a
με αντίστοιχο πίνακα προβολής
P = aaT
aT a
ο οποίος είναι
συμμετρικός και τάξης 1
Προβολή σε ευθεία του Rn
Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn
σε μια ευθεία a isin Rnπου
περνάει απο το 0
είναι το διάνυσμα p = aTbaT a
a
με αντίστοιχο πίνακα προβολής
P = aaT
aT aο οποίος είναι
συμμετρικός και τάξης 1
Παράδειγμα
Προβολή του
123
στο111
Πίνακας προβολής στο
111
Πίνακας προβολής στο
[cos θsin θ
]
Παράδειγμα
Προβολή του
123
στο111
Πίνακας προβολής στο
111
Πίνακας προβολής στο
[cos θsin θ
]
Παράδειγμα
Προβολή του
123
στο111
Πίνακας προβολής στο
111
Πίνακας προβολής στο
[cos θsin θ
]
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b
και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε
μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b
rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb
rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Παράδειγμα
1 41 50 6
x =
456
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Ο πίνακας ATA
Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Προβολή σε ευθεία του Rn
Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn
σε μια ευθεία a isin Rnπου
περνάει απο το 0
είναι το διάνυσμα p = aTbaT a
a
με αντίστοιχο πίνακα προβολής
P = aaT
aT aο οποίος είναι
συμμετρικός και τάξης 1
Προβολή σε ευθεία του Rn
Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn
σε μια ευθεία a isin Rnπου
περνάει απο το 0
είναι το διάνυσμα p = aTbaT a
a
με αντίστοιχο πίνακα προβολής
P = aaT
aT a
ο οποίος είναι
συμμετρικός και τάξης 1
Προβολή σε ευθεία του Rn
Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn
σε μια ευθεία a isin Rnπου
περνάει απο το 0
είναι το διάνυσμα p = aTbaT a
a
με αντίστοιχο πίνακα προβολής
P = aaT
aT aο οποίος είναι
συμμετρικός και τάξης 1
Παράδειγμα
Προβολή του
123
στο111
Πίνακας προβολής στο
111
Πίνακας προβολής στο
[cos θsin θ
]
Παράδειγμα
Προβολή του
123
στο111
Πίνακας προβολής στο
111
Πίνακας προβολής στο
[cos θsin θ
]
Παράδειγμα
Προβολή του
123
στο111
Πίνακας προβολής στο
111
Πίνακας προβολής στο
[cos θsin θ
]
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b
και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε
μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b
rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb
rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Παράδειγμα
1 41 50 6
x =
456
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Ο πίνακας ATA
Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Προβολή σε ευθεία του Rn
Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn
σε μια ευθεία a isin Rnπου
περνάει απο το 0
είναι το διάνυσμα p = aTbaT a
a
με αντίστοιχο πίνακα προβολής
P = aaT
aT a
ο οποίος είναι
συμμετρικός και τάξης 1
Προβολή σε ευθεία του Rn
Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn
σε μια ευθεία a isin Rnπου
περνάει απο το 0
είναι το διάνυσμα p = aTbaT a
a
με αντίστοιχο πίνακα προβολής
P = aaT
aT aο οποίος είναι
συμμετρικός και τάξης 1
Παράδειγμα
Προβολή του
123
στο111
Πίνακας προβολής στο
111
Πίνακας προβολής στο
[cos θsin θ
]
Παράδειγμα
Προβολή του
123
στο111
Πίνακας προβολής στο
111
Πίνακας προβολής στο
[cos θsin θ
]
Παράδειγμα
Προβολή του
123
στο111
Πίνακας προβολής στο
111
Πίνακας προβολής στο
[cos θsin θ
]
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b
και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε
μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b
rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb
rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Παράδειγμα
1 41 50 6
x =
456
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Ο πίνακας ATA
Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Προβολή σε ευθεία του Rn
Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn
σε μια ευθεία a isin Rnπου
περνάει απο το 0
είναι το διάνυσμα p = aTbaT a
a
με αντίστοιχο πίνακα προβολής
P = aaT
aT aο οποίος είναι
συμμετρικός και τάξης 1
Παράδειγμα
Προβολή του
123
στο111
Πίνακας προβολής στο
111
Πίνακας προβολής στο
[cos θsin θ
]
Παράδειγμα
Προβολή του
123
στο111
Πίνακας προβολής στο
111
Πίνακας προβολής στο
[cos θsin θ
]
Παράδειγμα
Προβολή του
123
στο111
Πίνακας προβολής στο
111
Πίνακας προβολής στο
[cos θsin θ
]
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b
και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε
μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b
rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb
rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Παράδειγμα
1 41 50 6
x =
456
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Ο πίνακας ATA
Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Παράδειγμα
Προβολή του
123
στο111
Πίνακας προβολής στο
111
Πίνακας προβολής στο
[cos θsin θ
]
Παράδειγμα
Προβολή του
123
στο111
Πίνακας προβολής στο
111
Πίνακας προβολής στο
[cos θsin θ
]
Παράδειγμα
Προβολή του
123
στο111
Πίνακας προβολής στο
111
Πίνακας προβολής στο
[cos θsin θ
]
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b
και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε
μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b
rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb
rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Παράδειγμα
1 41 50 6
x =
456
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Ο πίνακας ATA
Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Παράδειγμα
Προβολή του
123
στο111
Πίνακας προβολής στο
111
Πίνακας προβολής στο
[cos θsin θ
]
Παράδειγμα
Προβολή του
123
στο111
Πίνακας προβολής στο
111
Πίνακας προβολής στο
[cos θsin θ
]
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b
και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε
μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b
rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb
rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Παράδειγμα
1 41 50 6
x =
456
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Ο πίνακας ATA
Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Παράδειγμα
Προβολή του
123
στο111
Πίνακας προβολής στο
111
Πίνακας προβολής στο
[cos θsin θ
]
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b
και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε
μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b
rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb
rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Παράδειγμα
1 41 50 6
x =
456
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Ο πίνακας ATA
Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b
και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε
μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b
rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb
rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Παράδειγμα
1 41 50 6
x =
456
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Ο πίνακας ATA
Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b
και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε
μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b
rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb
rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Παράδειγμα
1 41 50 6
x =
456
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Ο πίνακας ATA
Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε
μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b
rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb
rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Παράδειγμα
1 41 50 6
x =
456
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Ο πίνακας ATA
Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Εφαρμογή
Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε
μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b
rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb
rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Παράδειγμα
1 41 50 6
x =
456
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Ο πίνακας ATA
Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε
μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b
rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb
rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Παράδειγμα
1 41 50 6
x =
456
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Ο πίνακας ATA
Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b
rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb
rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Παράδειγμα
1 41 50 6
x =
456
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Ο πίνακας ATA
Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b
rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb
rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Παράδειγμα
1 41 50 6
x =
456
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Ο πίνακας ATA
Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb
rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Παράδειγμα
1 41 50 6
x =
456
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Ο πίνακας ATA
Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Παράδειγμα
1 41 50 6
x =
456
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Ο πίνακας ATA
Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Παράδειγμα
1 41 50 6
x =
456
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Ο πίνακας ATA
Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ελάχιστα Τετράγωνα
Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)
Ax = b rArr ATAx = ATb rArr
x =(ATA
)minus1ATb
Πράγματι AT (Ax minus b) = 0
Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
Παράδειγμα
1 41 50 6
x =
456
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Ο πίνακας ATA
Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Παράδειγμα
1 41 50 6
x =
456
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Ο πίνακας ATA
Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Ο πίνακας ATA
Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Προβολή στον χώρο στηλών
Ορισμός
Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών
ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι
p = A(ATA
)minus1ATb
Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός
πίνακα A είναι ο
P = A(ATA
)minus1AT
για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Ο πίνακας ATA
Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Ο πίνακας ATA
Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Λύση ελαχίστων τετραγώνων
Θεώρημα
Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn
τότε
Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb
Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο
ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA
)minus1ATb
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Ο πίνακας ATA
Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Ο πίνακας ATA
Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Ο πίνακας ATA
Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Ο πίνακας ATA
Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Προβολές στον χώρο στηλών
Αν το b
ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b
είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0
Αν ο Α
είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε
διανύσματος είναι ο εαυτός του
έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω
σε ευθεία
Ο πίνακας ATA
Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ο πίνακας ATA
Είναι τετραγωνικός
Είναι συμμετρικός
΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A
Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες
Ορισμός
Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν
είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1
δηλαδή όταν qTi qj =
0 i 6= j 1 i = j
Ορισμός
΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές
Παράδειγμα e1 =
10
0
e2 =01
0
en =
00
1
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του
Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x ||
Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x
( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα
Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT
Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη
τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες
||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των στηλών του Q
b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn
top related