3. přednáška posloupnosti

BRVKABRVKA

Fibonacci(1170 – 1250)

Pro neprázdnou množinu M definujeme:Horní mez H množiny M, pokud pro Dolní mez d množiny M, pokud pro

HxMx :dxMx :

Jestliže je nějaké číslo horní mezí H množiny, tak potom každé větší číslo je také horní mezí této množiny. Pro dolní mez platí totéž: každé číslo menší než dolní mez d je také dolní mez dané množiny.

BRVKA

Horní mez

Dolní mez

Definice: Množina M se nazývá:Shora omezená, pokud má horní mez HZdola omezená, pokud má dolní mez dOmezená, pokud má horní i dolní mez

Např.: N je zdola omezená, d = 0, není shora omezená, není omezenáZ není omezená ani zdola ani shoraInterval (0,1) je omezený, d = 0, H = 1 (ale i např. 2 nebo 100)

BRVKA

Věta: Množina, která má konečný počet prvků, je omezená.

Mezi prvky této množiny najdeme ten nejmenší prvek – dolní mez potom bude buď tento prvek nebo kterýkoliv menší. Podobně najdeme největší prvek a zvolíme horní mez.

Definice: Nechť M je neprázdná množina MAXIMUM množiny M (max M) je největší prvek M MINIMUM množiny M (min M) je nejmenší prvek M SUPREMUM množiny M (sup M) je nejmenší horní mez M INFIMUM množiny M (inf M) je největší dolní mez M

… pokud existují.

Např.: M je polouzavřený interval max M = 2 min M neexistuje sup M = 2 inf M = –1

2,1

Vidíme, že pokud maximum existuje, je zároveň i supremem.

Supremum a infimum existují v R* vždy.

Maximum a minimum existovat nemusí.

BRVKA

Posloupnost značíme obvykle nebo

Čteme „posloupnost á en přes en (jdoucí) od jedné do nekonečna“ – tzv. nekonečná posloupnost.

Definice: Jako posloupnost se označuje uspořádaná sekvence (fronta) čísel, indexovaná přirozenými čísly.

Obecněji lze posloupnost chápat jako zobrazení, které každému přirozenému číslu přiřazuje reálné číslo.

1,3,5,7,9,….1,-1,1,-1,1,….

6,5,4,3,2,….4,7,10,13,16,….

1,1,2,3,5,8,….8,6,8,6,8,….

1nna

Jsou i konečné posloupnosti – nejdou do nekonečna, ale mají přesný počet členů.

BRVKA

Pozn.: slovo POSLOUPNOST zkracujeme při psaní na PLST.

1nna

Čísla v posloupnosti se označují členy ai, kde i je index, který určuje pořadí v posloupnosti.

Např.: a1 je první člen, a3 je třetí člen, an je n-tý („entý“) člen, an+1 je „en plus první člen“

BRVKA

Můžeme vytvořit graf posloupnosti, bude se skládat jen z bodů, které nepropojujeme, není to funkce.

an

1 n – pořadí členu

a1

a2a3

a4an an+1an-1

Násled(ov)níkPředchůdce

1 2 3 4…

Posloupnost můžeme zadat různými způsoby:

1) Neúplným výčtem

Hodí se, když si chceme udělat představu o tom, jak se daná posloupnost chová, bereme to jako pomocný zápis.

4,7,10,13,16,….

2) Vzorcem pro n-tý člen

Je to vzorec pro výpočet jednotlivých členů, stačí dosadit do vzorce za n a máme konkrétní člen an. Hodí se při výpočtech nejlépe ze všech typů zadání.

11 13 nebo 13, nnnn nnaa

BRVKA

3) Rekurentně = zadání pomocí předchozího členu (nebo více členů). Nevýhoda je, že k určení členu musíme znát všechny předchozí. Např.: dvojnásobek předchozího zvětšený o 1.

12 ,1, n111 aaaa nnn

Funguje podobně jako funkční předpis pro funkce. Chceme-li konkrétní člen, dosazujeme do vzorce jeho pořadí

Např.: Chceme pátý člen posloupnosti

10555.2 25 a

12 52 nnn

Lze i obecněji: Chceme n+1. člen posloupnosti 12 3 nn

4231231 2221 nnnnnan

Pozn.: Často se ve vzorci vyskytuje zápis typu:

Pro sudá n je to +1, pro lichá –1. Zápis vyjadřuje střídání znamének, tzv. oscilující posloupnost.

n1

,...4,4,4,44.1 1

nn

Pomocí předchozích členů. Je nutné zadat první člen a1 (nebo více) a „návod“ jak

pomocí n-tého členu an určit jeho následovníka an+1

Např.: Posloupnost je zadána: Určete několik prvních členů:

BRVKA

1.2,3 11 nn aaa

713.21.2 12 aa

1317.21.2 23 aa

27113.21.2 34 aa

53127.21.2 45 aa

Posloupnost by potom byla: –3,7,–13,27,–53,…

• Posloupnost je zadána jako součet předchozích dvou členů:

1221 ,1,1 nnn aaaaa

...8532

546

435

324

213

aaaaaaaaaaaa

Tzv. Fibonacciho posloupnost.

Množení králíků za idealizovaných podmínek: Jeden pár má každý měsíc další pár Králíci se množí od věku 2 měsíců Všichni přežívají

BRVKA

Na začátku – 0. měsíc, celkem máme 1 pár1Po měsíci se ještě nemnoží, celkem máme 1 pár (ten původní)

2 Po 2 měsících se narodí další pár, který se ještě nemnoží, celkem máme 2 páry (ten původní a potomky)

3 Po 3 měsících se původním narodí další pár, celkem máme 3 páry

Po 4 měsících se původním narodí další a začínají se množit králíci č.2, kteří mezitím dospěli, celkem máme 5 párů.

4 5

6 7 8

9 10 11

? Kolik jich bude po dalším měsíci?

12 13

Po 5 měsících se narodí další těm „zkušeným“ a nově i potomci od páru č.3, celkem máme 8 párů.

Po 6 měsících se narodí potomci i párům č.4 a 5 celkem máme 13 párů.

112358

1321345589

144233377

definovali jsme ji pro množiny čísel, pro posloupnosti je to stejné, to jsou to také množiny čísel (jenom jsou uspořádané).

BRVKA

an

SHORA OMEZENÁ

Horní mez H

an

ZDOLA OMEZENÁ

Dolní mez d

an

OMEZENÁ

Horní mez H

Dolní mez d

Definujeme: Posloupnost je:

BRVKA

nn

nn

nn

nn

aaNnÍNEKLESAJÍCaaNnNEROSTOUCÍ

aaNnKLESAJÍCÍaaNnROSTOUCÍ

1

1

1

1

::

:: 1nna

an an

anan

Rostoucí Klesající

Nerostoucí

Neklesající

Plst je monotónní, jestliže je rostoucí, klesající, nerostoucí nebo neklesající.

Jestliže je rostoucí nebo klesající, je ryze monotónní.

BRVKA

Při určování monotonie porovnáváme sousední členy.

klesající...0

konstantní...0

rostoucí...0

1 nn aa

Porovnání ROZDÍLEM: Porovnání PODÍLEM:

klesající...1

konstantní...1

rostoucí...11

n

n

aa

Pozn.: Konstantní plst je také monotónní – protože je zároveň nerostoucí i neklesající.

nnn aan 1123 22322323123 nnnn 0

Plst je klesající.

Zjistěte, zda jsou následující posloupnosti monotónní (rostoucí, klesající, neklesající, nerostoucí) a omezené.

1

1

1

133

133

313

n

n

n

nn

nn

nn

1

12

1

2

2

2

2

2

2

2

n

n

n

n

n

n

n

n

n

1

1

12

3

n

n

1

3

3

n

n

n

1

1

1

1

1

43

43

43

43

n

n

n

n

n

n

n

n

n

BRVKA

Aritmetická plst je taková, ve které je rozdíl každých dvou sousedních členů roven číslu d – diferenci.

BRVKA

naa

s

dsraa

dnaa

daa

nn

sr

n

nn

.2

1

1

11

1

Geometrická plst je taková, ve které je podíl každých dvou sousedních členů roven číslu q – kvocientu.

qq

as

qaa

qaa

qaa

n

n

srsr

nn

nn

11.

.

.

.

1

111

1

Rekurentní zadání-pomocí předchůdce-pomocí prvního členu

Libovolný člen

Součet prvních n členů

A to je pro dnešek vše,

děkuji za pozornost.

BRVKA