354.doc)title (microsoft word - \364\370\367 14 - \364\351\372\345\354.doc) author prof. pizanti...

1

פיתול. 14

כללי14.1ובפרט באלמנטי� , מכל חומר, הטרחת פיתול טהור באלמנטי� של מבני�

במיעוט המקרי� בה� נתקלי� בפיתול הוא מלווה בכפיפה . נדירה מאד, מבטו� מזוי�

כאשר המאמצי� באלמנט עולי� על חוזק , כפי שיתברר בהמש�. ובגזירה עקב כפיפה

הוא נסדק על פני כל המעטפת מאחר ומאמצי ) נמו� מאדוזה בשלב עמיסה (המתיחה

בניגוד לקורות (כאשר האלמנט סדוק כולו . מתיחה ראשיי� מתפתחי� על פני מרביתה

הדפורמביליות גבוהה ) או טבלות מתוחות בכיוו� אחד בה� לא כל האיזורי� נסדקי�

לתי סדוקה מהקשיחות הב12 עד 15 החלק ה –לרוב (מאד ולכ� הקשיחות נמוכה מאד

]36 .( [

מסיבה זו בעיקר לא רצוי לתכנ� אלמנטי� להטרחת פיתול אלא בנסיבות בה�

בכל מקרה בו נית� . הפיתול הוא חלק ממערכת הסטטית הדרושה לקבלת העומסי�

.להפעיל מערכת סטטית אלטרנטיבית יש להשתדל לעשות זאת

דופ� בה� ית פיתול אלמנטי� העשויי� מדקייבפרק זה לא נדונה בע

ת הפיתול ינדונה רק בעי. warping resistanceההתנגדות לפיתול מתקבלת באמצעות

המתבטא במערכת מאמצי גזירה בחת� האלמנט הסובבי� , St. Venantהמכונה פיתול

.ההנחה היא כי הקורא מכיר את נושא הפיתול מתורת החוזק. סביב מרכז גזירה

פיתול בבטו� מזוי� כוללת כמה אוריה המייצגת את התופעה ששמה יהת

נעשו . נדבכי� אשר מתווספי� לתפיסה מחשבתית המקבלת תוק& בגבוי ניסויי בלבד

בעיקר –סויי� במש� השני� במקומות שוני� בעול� א� לגבי מעט סוגי חתכי� ינ

–כלומר , ] 36[חתכי� התואמי� צורות אשר מתקבלות בתבניות המצויות בבטו� מזוי�

אי� מידע נסויי לגבי חתכי� בעלי צורות . 'וכו, ארגז, טבעת, עגול, קמ', מלבני

.מיוחדות או חריגות

פלסטי� התנהגות מבני� מבטו� מזוי� כעשויי� מחומר אלסטו14.2

התנהגות אלסטית של אלמנטי� מוטרחי� בפיתול14.2.1

, ופיעבור גופי� העשויי� מחומר אלסטי הומוגני ואיזוטר, לפי תורת החוזק

:מאמצי הגזירה עקב פיתול נתוני� על ידי

)14.1 ( r

I

T

t

dtd ====ττττ

2010 נובמברפרק זה מעודכ� לחודש *

2

בפיתול) גזירה(מאמ' התכ� = ττττtd: בה

Td = תכ� בפיתולמומנט ה

It = מומנט האינרציה הפולרי

r = המרחק מציר האלמנט עד הסיב בו נקבעττττtd

:ונית� ג� לבטא על ידי

)14.2 (

t

dtd

W

T====ττττ

ברור כי למע� קבלת מאמ' הגזירה . מומנט ההתנגדות לפיתול =Wt: בה

Wt,min = It / rmax: המירבי יהיה

14.1ציור

) 14.1bציור (טבעת עבה , 14.1a)ציור ( עיגול–] 28[עבור שלושה חתכי� פשוטי�

מומנט, ) It(טויי� עבור מומנט האינרציה הפולרי יהב) 14.1cציור (וטבעת דקה

14.1' טבלה מס

טבעת דקה טבעת עבה עיגול

It 4d32

ππππ )dD(

32

44 −−−−ππππ 3

mdt4

ππππ

Wt 3d16

ππππ

D

)dD(

16

44 −−−−ππππ 2mdt

2

ππππ

ττττtd,max 3

d

d

T16

ππππ

d44

T)dD(

D16

−−−−ππππ

2m

d

dt

T

ππππ

נתוני� ) ττττtd,max( גזירה עקב פיתול –ומאמ' התכ� המירבי ) Wt( ההתנגדות לפיתול

) :פיתול ס� ונני, תורת האלסטיות ( 14.1' בטבלה מס

פרוס ) 14.2ציור (Prandtlלפי אנלוגית בועת הסבו� של , עבור חת� מלבני

כאשר המאמ' הגדול באמצע הדופ� , מאמצי הגזירה עקב פיתול הינו כמתואר בציור

Wt ו Itאת נית� לבטא . כתוצאה מאי הרציפות ש�0 ובפינות המאמ' dהארוכה

:להל� ) 14.4(ו ) 14.3(לפי הנוסחאות

3

)14.3( It = α α α α b3 d

)14.4 ( Wt = β β β β b2 d

' טבלה מס ( d/b עבור קבוצת ערכי�ββββ ו αααα נית� לקבל אתd ≥≥≥≥ bעבור

14.2:(

14.2' טבלה מס

∞ 6.0 4.0 3.0 2.0 1.5 1.0 d/b

0.333 0.299 0.281 0.263 0.229 0.196 0.140 αααα

0.333 0.299 0.282 0.267 0.249 0.231 0.208 ββββ

14.2ציור

:ערכו של מאמ' הגזירה המקסימלי בפיתול ייקבע לפי הנוסחה

)14.5 (

db

T2

dmax,td ββββ

ττττ ====

כאשר באופ� מעשי כבר החל 0.333 ל 0.208 נע בי� ββββנית� לראות כי הער�

.β = 0.333β = 0.333β = 0.333β = 0.333 אפשר להניח d/b ≥≥≥≥ 5בער�

התנהגות פלסטית– חת� מלבני 14.2.2

מאמ' הגזירה עקב , בגבול הנזילה , Nadaiשל " ערימת החול"לפי אנלוגית

כזכור לפי התורה (14.3aפיתול שווה בערכו על פני כל השטח ופריסתו כמתואר בציור

הפלסטית אי� קומפטיביליות בי� עיבורי� ומאמצי� ולכ� ההנחה על פריסת מאמצי�

4

בתור נפח " ערימת החול"לפי תורת , את מומנט הפיתול נית� לסכ�). יפהל הינה תק"כנ

כ ניפחה נתו� על ידי "סה . ττττtd bבה גובה הפירמידה , 14.3bהפירמידה הנתונה בציור

) :14.6(הנוסחה

)14.6 ( )

d

b

6

1

2

1(dbbb

3

1b)bd(

2

1T 2

tdtd22

tdd −−−−====++++−−−−==== ττττττττττττ

14.3ציור

: נובע כי מומנט ההתנגדות לפי התנהגות פלסטית יהיה (14.6)מהנוסחה

)14.7 ( dbdb)

d

b

6

1

2

1(W 22

t ψψψψ====−−−−====

= b = d ψψψψ : ברור איפוא כי עבור 1 = d/b = ∞∞∞∞ ψψψψ ועבור3/

1/2

ות שילוב בי� שתי התור 14.2.3

מצביעי� על כ� כי נית� להניח עבור חת� מלבני ) ואחרי�] (36[סויי� יהנ

= Wt: ערכי� קרובי� ל1/3 b

2d ו It =

1/3 b

3d , ערכי� שה�d/b = ∞∞∞∞ בגישה אלסטית

אורית י לגבי ת14.3וא� נוסי& את מה שייאמר בסעי& , בגישה פלסטית d/b=1ו

פלסטית של הבטו� המזוי� בפעולת 2אלסטותהיה הצדקה לדבר על התנהגות , הזרימה

. פיתול

אורית הזרימה בחת� סגורי ת14.3נידב� נוס& לקראת ניסוח ההתנהגות של אלמנטי� מבטו� מזוי� תחת השפעת

כא� נניח חת� דק . פיתול הינה המודל של זרימת מאמצי גזירה עקב פיתול בחת� סגור

נניח כי . 14.4 ציור 2 קבוע ושווה בהיק& החת� אשר אינו , bבעל עובי דופ� , סגור, דופ�

מומנט פיתול זה יוצר זרימת . Tdלחת� זה מרכז פיתול ובו פועל מומנט פיתול

5

14.4ציור

ds כוח גזירה קבוע ליחידת אור� מאמצי גזירה לאור� הדופ� כ� שבחת� הדופ� מתפתח

.t / b –עובי הדופ� לא קבוע א� מניחי� כי מאמ' הגזירה בו מחולק שווה . tוגודלו

)14.8 ( t = ττττtd b

אומטרי של מרכזי יהמקו� הג (s נית� לבטא על ידי אינטגרל לאור� Tdמומנט הפיתול

פעמי� המרחק ממנו עד מרכז הפיתול של החת� tשל הכוח ) b הדופ� הכובד של עובי

r . אול� לפי משפטStocks הידוע אינטגרל של איזה שהוא ער� לאור� היק& חת�

:סגור שווה לפעמיי� אותו ער� כפול בשטח החסו� על ידי אותו ההיק&

)14.9 ( Td = ∫∫∫∫s t r ds = t 2 Ak

:מכא� שלגבי כל קטע של החת� הסגור נית� לבטא את מאמצי הגזירה על ידי

)14.10 (

bA2

T

k

dtd ====ττττ

סויי� לגבי התנהגות אלמנטי� מבטו� מזוי� בפעולת פיתול י נ14.4נה של מנגנו� קבלת הנדב� האחרו� אשר יש להציב על מנת להשלי� את התמו

] . 36] [28[סויי� יהטרחת הפיתול על ידי אלמנטי� מבטו� מזוי� ה� מסקנות מנ

סויי� מלמדי� דברי� רבי� ולמעשה שו� הנחה לגבי מבני� מבטו� מזוי� לא יהנ

השפעת , כגו� חוזק הבטו�, נושאי� רבי�. מינימלי לפחות, תתקבל ללא גבוי נסויי

כל אלה –' פוע הסדקי� ורוחב� וכוי על הקשיחות וכ� על שכמויות הזיו� והפריסה שלו

כא� הכוונה ללקח פשוט ובסיסי הרבה , אול�. סויי�ימקבלי� אישור באמצעות הנ

6

14.5ציור

. b / h נתו� חת� מלבני במידות 14.5aבציור . תכי� נתוני� שני ח14.5בציור . יותר

בפריסה , נתו� חת� בעל מידות חיצוניות זהות וכ� בעל אות� כמויות זיו�14.5bבציור

בציור . חת� ארגז–העושה את החת� b1 / h1בחת� השני יש חלל פנימי במידות . זהה

14.5c נתו� חת� עגול בעל קוטר חיצוני d 14.5 ובציורdתו� אותו החת� ע� חור נ

. בשניה� אותה כמות זיו� ובפריסה שווה . d1בקוטר

סויי� מצביעי� על כ� שכאשר כמויות הזיו� ופריסת� שוות התסבולת יהנ

ואה בי� וואה בי� חת� הטבעתי והעגול המלא וכ� בהשולפיתול כמעט זהה לחלוטי� בהש

ל הטבעת או של חת� הארגז כל זאת כאשר עובי הדופ� ש(חת� הארגז והמלב� המלא

). לא דק מדי

כא� הלקח העיקרי והוא שהתסבולת לפיתול בנויה על היק& פעיל כל שהוא

אינו פעיל , בעיקר בסביבת מרכז החת�, המתרכז סביב הזיו� בהיק& החתכי� וכל היתר

.ואינו תור� לתסבולת האלמנט לפיתול

סביב הזיו� אשר , מנטסויי� מאשרי� את ההנחה הבסיסית שבהיק& האליהנ

אשר לאחר ) בהיק&(מרחבית וסגורה , נוצרת מערכת מסבכי�, אורכי ורוחבי, נית� ש�

הדגמת הפעולה . היא היחידה הפועלת ומקנה את התסבולת לפיתול, סדיקת האלמנט

.14.5של מסב� כזה נית� לראות בסעי&

חת� ארגז מבטו� מזוי�14.5פיתול באלמנט מבטו� מזוי� באמצעות מסב� להדגמת מנגנו� קבלת מומנט

המידות החיצוניות של . 14.6aניבח� את חת� הארגז הנתו� בציור, מרחבי בהיקפו

הזיו� האורכי מוק& . בכל אחת מפינות החת� מוט זיו� אורכיh / b .החת� ה�

t1 t2 t3עובי הדפנות של חת� הארגז הוא כמסומ� . ביניה�svחישוקי� במרחקי�

bk ו h בכיוו� hkנכנה את המרחק בי� מרכזי המוטות האורכיי� . בהתאמה t4ו

. bבכיוו�

7

אורית הזרימה בכל ילפי ת, ובעקבותיוTdנניח כי פועל על החת� מומנט פיתול

אוריה יהיה ילפי אותה הת. ליחידת אור� הדופ� tהדפנות מתפתח כוח גזירה בגודל

). 14.6bציור (ττττtd = t / ti על ידי נתו� iהמאמ' בדופ�

נפרוס את כל מעטפת חת� הארגז ונשקי& על ארבעת המיסבכי� אשר נוצרי�

, ניראה כי בכל המיסבכי� מתפתחי� כוחות אורכיי� בזיו� האורכי. 14.7aלפי ציור

אל ציר θθθθוכ� מוטות לחיצה מבטו� נטויי� בזווית ) החישוקי�(כוחות בזיו� ההיקפי

θθθθבאותה הזווית , בי� המוטות הלחוצי� מבטו� קיימי� סדקי� אלכסוניי�. האלמנטהיא תוצאה . צפיפות הסדקי� לא משפיעה על חוזק המוטות הלחוצי� ). 14.6b(כמוב�

.של תכנו� הזיו� ההיקפי

14.6ציור

8

על מנת לבחו� את הכוחות בזיו� האורכי נעמיד משואות שווי משקל לכוחות

:אופקיי� בכל ארבעת המיסבכי�

(14.11a) θθθθθθθθ

θθθθ cossin

btcosDT k

1 ========

A-Bעבור המיסב�

14.7ציור

(14.11b) θθθθθθθθ

θθθθ cossin

htcosDT k

2 ========

B-Cעבור המיסב�

(14.11c) θθθθθθθθ

θθθθ cossin

btcosDT k

3 ========

9

C-Dעבור המיסב�

(14.11d) θθθθθθθθ

θθθθ cossin

htcosDT k

4 ========

D-Aואחרו� עבור המיסב�

:נקבל) 14.11(כאשר נסכ� את ארבעת המשואות

)14.12 (θθθθθθθθ

cos)h2b2(sin

tT kk ++++====∑∑∑∑

ΣΣΣΣ T = Astl fsd 2כ כוח התכ� בזיו� האורכי "אול� סכו� הכוח בזיו� האורכי הינו סה

(2hk + 2bk) אינ� אלא uk היק& הגרעי� וא� נסמ� את – אשר יכונה Ak = bk hk

:נוכל לרשו�) 14.9( יכונה שטח הגרעי� בשימוש בנוסחה Akכאשר

)14.13 (θθθθcotfA2

uTA

sdk

kdstl ====

.Tdכ הזיו� האורכי הדרוש בחת� עליו פועל מומנט "מבטאת את סה) 14.13(הנוסחה

).ני� זה ילוב� בהמש�וע (θθθθהיא מביאה בחשבו� אפשרות של שנוי בזוית

ניקח את אחד ) החישוקי�(על מנת לבחו� את הכוחות בזיו� ההיקפי

החישוקי� ). 14.7bראה ציור (θθθθהמיסבכי� ונפריד במקביל לסדקי� הנטויי� בזווית

א� ניבח� שווי משקל של כוחות בכיוו� האנכי ניראה כי משתתפי� . חוצי� את הסדק

אורית הזרימה עבור י אשר הינו תולדה של ת tח האנכי בו רק הכוחות בחישוקי� והכו

).14.9(מומנט הפיתול והוא מוכר לנו מנוסחה

הרי hk הינו 14.7b וגובה המיסב� בו דני� בציור θθθθא� הסדק נטוי בזווית

הרי Astv fsdא� הכוח בחישוק בודד הינו . hk / tgθθθθשההיטל האופקי של הסדק הינו

שווי משקל של כוחות אנכיי� . Astv fsd / sv יהיה חישוקדת שהכוח בחישוקי� ליחי

:להל�) 14.14(נתו� איפוא במשואה

)14.14 (k

k

dkk

v

sdstv hA2

Tht

tg

1h

s

fA========

θθθθ

: יהיה sv הנית� כל Astvכ שטח חת� החישוקי� הדרוש "מכא� שסה

)14.15 ( θθθθtgfA2

sTA

sdk

vdstv ====

מקבלי� את הער� ) 14.13(במשואה cotθθθθ במשואה לעיל וכ� θθθθ = 45° tgθθθθבהנחה של

1.0.

10

חוזק המוטות הלחוצי� במסב� לפיתול14.6ברוב מצבי ההטרחה באלמנטי� מבטו� מזוי� בה� התסבולת בנויה מחלק�

ל הבטו� כנושא במאמצי של מוטות הפלדה כנושאי� בכוחות המתיחה ומחלקו ש

האפשרות להוסי& כמויות פלדה ועל כ� להגביר את היכולת של מרכיב , הלחיצה

כתוצאה מכ� התסבולת . מוגבלת כמעט באופ� בלעדי רק מטעמי ביצוע, המתיחה

על כ� בסופו של דבר היא תיקבע את , ללחיצה היא החוליה החלשה והמוגבלת

נוס& על פיו ככל שמוסיפי� " שוחק" תהלי� יש אפילו. התסבולת הסופית של האלמנט

. יותר מוטות זיו� החת� מתמלא בגופי� זרי� אשר מחלישי� את החתכי� הלחוצי�

לא רק שהתסבולת של הבטו� ללחיצה מוגבלת מטבעה אלא יש להבטיח ג� נגד –על כ�

.א� יש כזאת, הפרעה שנגרמת לחתכי� הלחוצי� מבטו�

על פני , אורכי ורוחבי, האלמנט מבחינת זיו� ניתחנו את צרכי 14.5בסעי&

ניראה בסעי& זה את תסבולת המוטות הלחוצי� ובאופ� זה תתאפשר . המעטפת שלו

.קביעת התסבולת הגבולית של חת� בשי� לב לבטו�

לפי המודל . 14.7' נשוב לש� כ� למערכת המסבכי� אשר ראינו בציור מס

בדקנו 14.7bהאורכי ולפי המודל אשר בציור בדקנו את הכוח בזיו� 14.7aאשר בציור

ולהעמיד שווי משקל 14.7aנוכל להשתמש במודל אשר בציור . את הכוח בזיו� ההיקפי

. של כוחות אנכיי�

t hkלש� כ� נניח כי הכוח החיצוני מטע� כוחות הגזירה עקב פיתול הינו

לעומתו יפעל ). 14.9( ע� מומנט הפיתול מנוסחה tכאשר ידוע לנו המקור והקשר של

הינו חלק העובי בכיוו� ניצב σσσσc .te והמאמ' בו te (hk cosθθθθ)מוט לחו' אשר שטחו

.על כ� יפורט להל�. למעטפת אשר מותר לנו להניח כעובי הפעיל של המיסב� המרחבי

)14.16 (k

k

dkeck h

A2

TSin)cosh(thtSinD ============ θθθθθθθθσσσσθθθθ

:במוטות הלחוצי� במסב�מכא� נובע מומנט הפיתול מבוטא באמצעות המאמ'

)14.17 (θθθθσσσσ 2SinAtT kecd ====

EN2 ] 45[ עבור קובע בתור גבול עליו� σσσσc את אותו הער� המשמש ג� עבור כוח

אשר הינו כזכור הקריטריו� להגדרת כוח הגזירה המקסימלי VRd,maxהגזירה המירבי

. להל�14.7 יינת� בסעי& הפירוט) . 11.4ראה סעי& (בחת�

.בסעי& הבא יש הוראות אשר יפורטו teלגבי ג�

3גליו� תיקו� ] 1 [466י " ת לפיתול לפי הנחיות התק� הישראלי7.14

כללי14.7.1

הערכי� הסטטיי� לחישוב מומנטי הפיתול יתקבלו מתו� חישוב סטטי

.אלסטי לינארי בלבד

11

קמ' או ריש (מלב� או צירופי מלבני� : ה�חתכי האלמנטי� בה� נית� לטפל

.'וכו, חת� מלא או חלול פוליגונלי כגו� משושה, עגול או טבעת עגולה, ארגז, )בלבד

הזיו� אשר יחושב בכל מקרה יהיה לא פחות . אי� אלמנטי� ללא זיו� לפיתול

.כפי שמפורט להל�, מהזיו� המינימלי לפיתול

נית� לראות לפי מודל של מסב� מרחבי התנהגות האלמנטי� בהטרחת פיתול

זווית הנטייה של המוטות θθθθ 2מותר להניח כי . 14.6 ו 14.5כמתואר בסעיפי�

בכל ).בהנחה שמרנית cotθθθθ ≤≤≤≤ 0.5 ≥≥≥≥ 2.0 או (cotθθθθ ≤≤≤≤ 0.5 ≥≥≥≥ 2.5 הלחוצי� מוגדרת לפי

.מקרה בתכ� של גזירה משולבת בפיתול יש לבחור באותה הזוית לאומד� התסבולת

תכ� חת� לפיתול14.7.2

דא כי וכאשר מתכנני� חת� יש לחשב את כמויות הזיו� הדרושות ויש לו

.Φ כל הזיו� יהיה מסוג ).של המוטות הלחוצי�(מומנט התכ� לא עולה על התסבולת

הינו ההיק& uk. היק& הגרעי�uk שטח הגרעי� ו Akלצור� חישוב הזיו� יוגדרו

מרכזי מוטות הזיו� האורכי או דר� (פעיל השקיל של החת� אמצע העובי ההעובר דר�

Astl 2ראה בהמש� ( .Ak הוא כל השטח החסו� ב uk.

וחוזק התכ� שלו Astlהזיו� לפיתול יכלול זיו� אורכי אשר שטחו הכולל יהיה

fsdl) זיו� אורכי שונה מהרוחבי ולכ� האבחנה בי� חוזקי התכ�סוג ניתנת האפשרות ל .(

300ו� האורכי יפוזר לאור� מעטפת האלמנט החיצונית במרחקי� שלא עולי� על הזי

.ואול� יהיה מוט אורכי בכל פינה או בכל מקו� בו יש שנוי כיוו� במעטפת' ממ

):14.13(המתאימה בכל ופותחה לפי ) 14.18(הזיו� האורכי יחושב לפי

)14.18 (min,stl

sdlk

kdstl Acot

fA2

uTA ≥≥≥≥==== θθθθ

בעלי שטח , ניצבי� לציר האלמנט בלבד, הזיו� הרוחבי יכלול חישוקי� בלבד

לא יעלה על הקט� מבי� sv . sv אשר ינתנו במרחקי� fsdv וחוזק תכ� Astvחת� של

uk / 8 כאשר ש רצוי . (' ממ300אוTd ≥≥≥≥ 2/3 TRd,max sv ממ200 ג� על לא יעלה '.(

:ופותחה לפיה) 14.15(המתאימה בכל ל ) 14.19(� הרוחבי יחושב לפי הזיו

)14.19 (min,stv

sdvk

vdstv Atg

fA2

sTA ≥≥≥≥==== θθθθ

Astv שטח ענ& בודד( כא� הינו שטח החישוק.(

).3 חלק 4466י "לפי ת (Φ כל הזיו� לפיתול יהיה מסוג מצולע

התסבולת המירבית של החת� לפיתול , TRd,max על לא יעלהTdמומנט התכ�

):14.17(המחושבת ופותחה לפי ) תסבולת המוטות הלחוצי�(

)14.20 (θθθθαααα 2sintAf]250

f7.01[64.0TT ekcdcw

ckmax,Rdd −−−−====≤≤≤≤

. עבור בטו� מזוי�ααααcw =1 :בבטוי זה

12

te –14.8כמתואר בציורי� , העובי הפעיל השקיל נקבעa 14.8 וb :וא בתור אומד� ה

ויהיה בדר� כלל , שטח החת� ברוטו מחולק בהיק& החת� ברוטו– A / uנקבע כ

מרחק מההיק& החיצוני הינו הc כאשר te ≥≥≥≥ 2 c: א� בנוס&; trמחצית העובי השקיל

u ואחרו� , מוט הזיו� האורכי ועד מרכז :te ≤≤≤≤ t כאשר t בדר� כלל . הינו עובי הדופ�

–החיצונית של החת� נוצר מסב� סביב הזיו� העוט& נכו� יהיה להניח כי במעטפת

אומד� טוב ובו בדר� כלל תהיה האיטראקציה הואte =≥≥≥≥ 2 cהאורכי והרוחבי ולכ�

.ע� הגזירה עקב כפיפה

14.8ציור

בדיקת חת� נתו� 14.7.3

של המוטות ( יש לוודא מה מומנט התסבולת נתו�כאשר בודקי� חת�

יש להביא בחשבו� כי לא . ומה התסבולת כפונקציה של כמויות הזיו� שניתנו) הלחוצי�

).כפי שנית� לצפות לו תוכנ� על ידנו(תמיד יש איזו� בי� הזיו� האורכי לרוחבי

כזכור היא . יש קוד� לבדוק אותהTRd,maxה ג� על משפיעθθθθמאחר והזווית

שטח ענ& בודד ( Astv ו ) כל הזיו� האורכי לפיתול( Astl –מושפעת משתי כמויות הזיו�

:נקבל) 14.19(ו ) 14.18( מתו� הנוסחאות θθθθא� נחל' את הזווית . )של החישוק לפיתול

)14.21(

vsdlstl

ksdvstv

sfA

ufAtg ====θθθθ

13

נוכל לחשב את תסבולת החת� הנתו� בשי� לב לכמויות ) 14.21(ב מתו� כמחושθθθθע�

וזה כמוב� בתנאי שרצינו לנצל נצול מלא את שתי (להל�) 14.22(הזיו� בו לפי הנוסחה

:)המתאימה θθθθ כמויות הזיו� ולכ� מצאנו את ה

)14.22( sdl

k

stlsdv

v

stvkd f

u

Af

s

AA2T ====

ייבדק לפי θθθθ . TRd,maxהתחשבות בשתי כמויות הזיו� וה� מבטאות ג� את ) 14.22(יש ב

) .14.21( כפי שניתקבלה ב θθθθתו� שימוש ב ) 14.20(נוסחה

ל אינו אלא בדיקת חוזק החתכי� לפי הזיו� ולפי סוג הבטו� "כמוב� שכל הנ

.'וכו, � מתאי� א� יש עיגו–למשל , ובעקבות זאת יש לשי� לב לפרטי הזיו�

.פיתול טהור בלבדכל המתואר בסעי& זה נכו� לבדיקה תחת הטרחה של

זיו� מינימלי לפיתול14.7.4

זיו� מינימלי לפיתול יש לתת כאשר מומנט הפיתול קט� עד כדי שהחת� לא

הקריטריו� לחת� לא בדוק יהיה כאשר מציבי� במקו� מאמ' הגזירה את . סדוק

:כ� ש ) fctd )fctd=fctk/1.5ה המאמ' הראשי במתיח

)14.23 (kctdec,Rdd A2ftTT ====≤≤≤≤

: בתנאיג�יש לעמוד , אול� במקרה של הטרחה משולבת של פיתול וגזירה עקב כפיפה

)14.24 (1

T

T

V

V

c,Rd

d

c,Rd

d ≤

+

).14.23( לפי TRd,c ו 11 ראה פרק VRd,cעבור : בו

14.9ציור

בציור . 14.9דרישת המינימו� בתק� הישראלי בנויה לפי מודל המפורט בציור

14.9a נתו� חת� אנכי ובו רואי� את השטח הפעיל המהווה את המסב� האורכי והוא

14

אי לכ� Astlזהו למעשה שטח ההשפעה עבור הזיו� האורכי . te ובעובי ukבעל היק&

. זיו� זה צרי� להיקבע כאחוזי� משטח זה

)11.25( η=ρ≥=ρ min,lke

stll

ut

A

ובו , 14.9aניצב לחת� אשר בציור , נתו� חת� אורכי באלמנט14.9bבציור

ענ& שטח ההשפעה של . י� המקיפה את אלמנט הנתו� לפיתולרואי� את סדרת החישוק

, בכיוו� עובי המסב� הפנימיte בכיוו� אור� האלמנט ו sv הינו במידות Asv חישוק בידד

:אי לכ� מנת זיו� החישוקי� תהיה

)14.26 (η=ρ≥=ρ min,vve

stvv

st

A

: נתו� על ידיηηηη וערכו של MPa נתו� ב fsd) 14.24(ו ) 14.25 (–בשתי הנוסחאות

η= 0.25%25 ו ב20 עבור בטוני� ב

η= 0.35% 40 ו ב30 עבור בטוני� ב

η= 0.45%60 ו ב50 עבור בטוני� ב

מינימלי זה מתייחס להטרחת פיתול בלבד ואינו מכסה חשוב לציי� כי זיו�

.בעיה של הטרחות משולבות

חת� קמ+ או ריש או קמ+ כפול14.7.5

יש . חת� קמ' או קמ' כפול או ריש נחשב לחת� המורכב ממלבני� צמודי�

לחלק את המומנטי� בי� חלקי חת� המרכיבי� אותו לפי יחסי הקשיחויות שלה�

:חהלפי הנוס, לפיתול

)11.27 ( 3

jj

j

31

3

ii31

ddith

thTT

∑∑∑∑====

הכלל . מלבני� משתתפי�j במומנט הפיתול בי� iהנוסחה מקצה את חלקו של מלב�

לגבי המלבני� המשתתפי� הוא שיש לקחת בתור מלב� ראשי את הגדול ביותר ולצר&

ות של המלבני� הקטני� קטנה עד כאשר הקשיח. חופפי� לואליו מלבני� צמודי� לו ו

בגליו� . זניחה ביחס למלב� הגדול יש להזניח אות� ולהתחשב א� ורק במלב� הגדול

ויותר מכלל הקשיחות 92%נקבע כי כאשר קשיחות המלב� הגדול היא ] 45 [3תיקו�

משתפי� את המלבני� הקטני� החלוקה . יש להזניח את קשיחות�–) 11.27(לפי

, לפיה� במלבני� הצמודי� למלב� הגדול, 14.10לפי הדוגמאות בציור ביניה� תיעשה

). 3ti( צלע� הקטנה רוחב פעמי� 3צלע� הארוכה לא תעלה על

15

14.10ציור

יש להזניח בחישוב 3ti הגדולה גדולה מ בכל חלק במלב� המשני הנוגע בראשי וצלעו

יני בתקרות מקשיות בה� יוצקי� את יהדבר אופ . 3tiלפיתול את חלק הצלע העולה על

.התקרה יחד ע� הקורות ובחתכי קמ' כפול בעלי אגפי� גדולי�

פעולה משולבת של פיתול ע� כפיפה וגזירה עקב כפיפה14.7.6

בשל היות החתכי� סדוקי� , פיפה ופיתולבפעולה משולבת של גזירה עקב כ

מאחר והחישוקי� .במלוא היקפ� אי� להביא בחשבו� את תרומת הבטו� לקבלת גזירה

של המוטות הלחוצי� θθθθפוע ימותר לשנות את זווית הש) 14.7ראה סעי& ( ניצבי� יהיו

ת תהיה אותה הזוויθθθθהתנאי החשוב הוא כי הזווית . המקי& את החת�מסב� במבטו�

θθθθ = 45מקרה פרטי הוא בחירת . בחישוב לגזירה עקב כפיפה ובחישוב לפיתולאול� 0

). גזירה– 11ראה פרק (הקביעה הזאת אינה כלכלית

, של המסב� המרחבי בפיתול) סביב ציר האלמנט(בגלל הצורה הסיבובית

,מתקבל מצב בו על פ� אחד, לעומת המסב� האחיד לקבלת כוחות גזירה עקב כפיפה

ועל θθθθשל האלמנט יש הצטברות כוחות לחיצה במוטות הלחיצה הנטויי� בזווית , בלבד

אבל התסבולת של מוטות אלה ) 14.11aציור ( כ� יש לצר& את הכוחות אחד אל השני

16

, לא עולה כתוצאה מעליית ההטרחה עליה� ולכ� יש גבול לתסבולת� המשותפת

):14.28(טוי ימבוטא על ידי הב

)11.28( 1

T

T

V

V

max,Rd

d

max,Rd

d ≤

+

14.11ציור

הכוח בזיו� החישוקי� מטע� הפיתול זור� סביב , בשל אותה סיבה בדיוק

ראה (כיוו� החת� אול� בגזירה עקב כפיפה הכוח זור� בשני ענפי החישוקי� באותו ה

מאחר והחישוק הוא אחד אי� ברירה אלא לתכנ� אותו לפי הכוח ) . 14.11bציור

החישוקי� ישאו בכל כוחות . דבר הקורה רק על פני אחת מדפנות החת�, המצטבר בו

. המתיחה עקב פיתול וגזירה בסופרפוזיציה ליניארית

. ורכי לפיתולכוחות המתיחה עקב כפיפה נוספי� אל כוחות המתיחה בזיו� הא

המחושבת לפיתול בפינות לחלק כמות הזיו�כמות הזיו� המחושבת לכפיפה מצורפת

).ראה דוגמת חישוב(התחתו� שלו ואהחת� בפ� העליו�

17

בדיקת חת� תחת הטרחה משולבת14.7.7

, הנתו� להטרחה משולבת של כפיפה) בדר� כלל קורה(בדיקת חת� של אלמנט

.הינה בדיקה הכוללת מספר שלבי�, � פיתולגזירה עקב כפיפה ע

תסבולת . יש להבחי� בי� בדיקת תסבולת הבטו� לבי� התסבולת לפי הזיו�

אול� בדר� כלל בסו& התהלי� , )14.28(המוטות הלחוצי� בבטו� תיעשה לפי נוסחה

.בלבד

הזיו� האורכי והזיו� : בדיקת התסבולת של הזיו� כוללת א& היא שני מרכיבי�

בחלק . בזיו� האורכי יש לבדוק את הזיו� לפעולה המשולבת של פיתול וכפיפה. חביהרו

מהיק& החת� הזיו� יהיה פונקציה של הטרחת הפיתול בלבד ובחלק אחר הזיו� יהיה

למשל בפ� העליו� של הקורה באיזור ( כפיפה ופיתול 2תוצאה של שילוב ההטרחה

).זור המומנט החיובי בשדההמומנט השלילי או בפ� התחתו� של הקורה באי

יש . פיתול וגזירה2זיו� החישוקי� א& הוא הינו נושא להטרחה משולבת

לבדוק להטרחה המשולבת ויש לזכור כי הטרחה משולבת זו מסתכמת על ענ& אחד של

).פעולתו הרי סיבובית(וכמוב� לענ& אחד בפיתול ) מתו� שניי�(החישוק לגזירה

עיגו� הזיו�8.14עיגו� זיו� הפיתול מהווה משימה מיוחדת במינה אשר קשה לתת לה כסוי

הבעיה כה –יחד ע� זאת . בתק� ולכ� ברוב התקני� אינה זוכה לתשומת לב מספקת

מאחר וכל , אי� חוזק לפיתול–דאות לומר כי באי� עיגו� מספיק וקריטית עד שנית� בו

כי� מרחבית הנוצרת בהיק& מנגנו� קבלת מומנט הפיתול תלוי באותה מערכת מסב

.האלמנט וכוחות המתיחה בזיו� זה צריכי� להיות מובטחי�

פרד עבור כל ג� הבעיה תידו� בנ, אורכי ורוחבי –מאחר ודובר על שני סוגי זיו�

. אחד מה�

אי לכ� , מעביר כוחות רצופי� בהיקפו, הוא זיו� החישוקי�, הזיו� הרוחבי

הסיו� הרגיל של חישוק על ידי . רכו צריכה להישמרהאפשרות של העברת כוח לכל או

יש . אינו מתאי� לפיתול) 14.12aראה ציור (וו או אוז� רגילי� אשר מספיק לגזירה

קטרי� לכל כיוו� מעבר לקשת הכיפו& על מנת להבטיח 10לתת וו אשר ממשי� בעוד

ציור –) 'מתוח וכו, איזור לחו'(את עיגונו בכל הנסיבות בה� הוא עשוי להימצא

14.12b . &במקורות (' ממ12 רצוי מאד לא לעלות בקוטר זיו� החישוקי� מעל –בנוס

מאחר וקוטר הכיפו& הלא גדול של החישוק מביא ) ' ממ14אחדי� מומל' לא לעלות על

.להפרעה בהעברת הכוח לאורכו ומקרב את הכיפו& למצב של עיגו� וו או אוז� תיקנית

18

14.12ציור

צרי� להביא בחשבו� כי הכשל בפיתול . בעיה קריטית יותר היא הזיו� האורכי

כלומר בזווית , עשוי להתרחש כאשר נעקר חלק מ� הקורה בכיוו� משוער של הסדקי�

θθθθ ,נראה את שני המקרי� הקיצוניי�. ובהתא� לכ� צרי� לראות את צרכי העיגו� :

נית� לראות את השבר הפוטנציאלי של אלמנט בפיתול הנסמ� 14.12cבציור

יש אפשרות שהשבר יהיה לפי מישור שאינו ניכנס לעומק הסמ� . בגוש בטו� גדול

אי� אפשרות להערי� . והאפשרות השניה היא כי השבר יהיה עמוק בתו� הסמ�

בר ולכ� כדאי להיער� למקרה הקיצוני שמביא בחשבו� את בוודאות היכ� יהיה הש

. עיגו� אל מעבר למישור השבר הפנימי–האפשרות מרחיקת הלכת יותר

, רואי� אלמנט הפועל לפיתול אשר חייב להישע� על סמ� צר14.12dבציור

כא� ברור כי האפשרות של החת� הנעקר ניכנס לתו� הסמ� היא המעשית . למשל קיר

לכ� יש להביא אותו אל קצה הקיר , אול� אי� לזיו� עומק כניסה מספיק, הבכל מקר

הכיפו& של המוט בתו� הקיר אל הדופ� החיצונית שלו צרי� . הרחוק ולכופ& אותו ש�

א� העיגו� בוו , להיות בקוטר כיפו& המאפשר את זרימת הכוח במוט אל החלק המכופ&

, בפ� החיצוני והפנימי של הקיר, זיו�בנוס& חייבי� לתת שתי רשתות. רגיל לא מספיק

אשר יקבלו את ריכוזי מאמצי המתיחה הגדולי� הנוצרי� במקומות עיגו� הזיו�

.האורכי

דוגמת חישוב 9.14

בת שני , נשענת על שלושה קירות קשיחי� , 14.13aנתונה הקורה אשר בציור

הקורה עשויה מבטו� . א"כ' מ6.0והמיפתחי� נטו ' ממ300עובי הקירות . מיפתחי�

', ממ300/700החת� העיקרי של הקורה הינו מלב� . Φ ומוטות זיו� מצולעי� 30ב

א הנתו� 2 לפי חת� אABבשדה : קצר וארו� יותר–אול� ממלב� זה יוצאי� שני זיזי�

19

שני הזיזי� BCבשדה . 14.13cב הנתו� בציור 2 לפי חת� בBC ובשדה 14.13bבציור

ה� לא מגיעי� עד הקירות אלא קיימת הפרדה ABקירות ואילו בשדה מגיעי� עד ה

. ' ממ200ביניה� ובי� הקירות ברוחב

פרט למשקל העצמי של המבנה פועל עליו עומס שימושי על כל ההיטל האופקי

qk = 4 kN/mבשיעור .יש לתכנ� את המבנה . 2

:פתרו�

:14.14חלקי� לפי ציור נחלק את המשקל העצמי לשלושה 2 :העומסי�. 1

gk1 = 0.12 1.5 24 = 4.32 kN/m

gk2 = 0.3 0.7 24 = 5.04 kN/m

gk3 = 0.12 0.6 24 = 1.73 kN/m Σgk = 11.09 kN/m

qk = (1.5 + 0.3 + 0.6) 4.0 9.6 kN/m

Fdmax = 11.09 1.4 + 9.60 1.6 = 30.90 kN/m 2 לכפיפה

הכל עמוס – הנחה כי הכל עמוס וכי כל המערכת תיבדק למצב עמיסה אחד 2 לפיתול

על העומס העצמי (' מ0.9העומס הגור� לפיתול הינו יתרת ה . לכל האור� Fdmaxב

בצד ' מ0.6לעומת ' מ1.5 2מתו� הזיז הארו� יותר ) שלה וע� העומס השימושי עליה

:הגור� לפיתול בהנחה שלעיל הינו, חלק עומס זה לבדו. השני

gk = 0.12 0.9 24 = 2.59 kN/m

qk = 0.9 4.0 = 3.6 kN/m

:מומנט הפיתול ליחידת אור� כל אחד משני השדות יהיה

mtd = (2.59 1.4 + 3.6 1.6) (0.15+0.60+0.45) = 11.27 kNm/m

–: החישוב הסטטי. 2

11.15בציור . גזירה עקב כפיפה ופיתול, החישוב הסטטי כולל את המרכיבי� לכפיפה

:מרוכזות כל התוצאות

. ' מ6.3אשר בי� מרכזי הסמכי� כ שדות 2 הסכימה הסטטית הינה :לכפיפה וגזירה

נית� להפחית את . 14.15aוני� בציור מומנטי הכפיפה לפני רדיסטריבוציה נת

מהל� המומנטי� לתכ� נתו� בציור 20%לאחר הפחתה של . Bהמומנט בסמ� המרכזי

14.15b . מהל� כוחות הגזירה על סמ� מהל� המומנטי� לאחר רדיסטריבוציה הינו

(0.5b+d)הכוח הקובע לצרכי תכנו� הגזירה הינו במרחק . 14.15cכנתו� לפי ציור

.14.15cיר הסמכי� וכוח זה נתו� ג� כ� בציור מצ

20

14.13ציור

14.14ציור

הקירות . מיפתח נקי כל אחד' מ6.0הסטטית הינה שני שדות בני הסכימה : לפיתול

אי� המשכיות ליפול . הקשיחי� משמשי� סמ� נגד סיבוב ולכ� ה� מהווי� סמ� לפיתול

21

פשוט ונתו� Mtdולכ� מהל� מומנטי הפיתול !) הסמ� המרכזי לא מסתובב(ואי� איזו�

.14.15dעבור כל אחד משני השדות בציור

ולכ� maxω > 0 10.בדיקה תוכיח כי . m.7 0= h m.66 0= d: � לכפיפההזיו. 3

לפיכ� . ניבחר באחרו�zmax = d – ds’ = 0.62m ו zmax = 0.95d = 0.627 mמתו�

:הזיו� המחושב בשלושת המקומות הקובעי� יהיה

565 mm2

___________________________∆_______ ∆

B 407 mm2 A

ZA = RA v/d = 0.5 RA = 38.9 kN AsA = 111 mm2

14.15ציור

22

א אינ� מגיעי� עד הקירות הקשיחי� ולכ� 2 שני הזיזי� בחת� א2: החישוב לפיתול . 4

הינו , החת� הפעיל לפיתול–אי לכ� . אינ� יכולי� להוות חלק מהחת� התור� לפיתול

ב נית� לבודד עוד שני 2 בחת� ב–לעומת זאת . מלב� אחד) 14.16aציור (א 2לפי חת� א

צלע ארוכה של המלב� לא (מתו� כלל הזיז ' ממ360מלבני� צרי� בעלי צלע ארוכה של

.14.16bלפי ציור , ולכ� יש ש� שלושה מלבני�) פעמי� העובי3עולה על

ט מתחלק בי� ב המומנ2א המלב� היחידי מקבל את כל המומנט ואילו בחת� ב2בחת� א

:שלושת המלבני� לפי היחסי� בי� מומנטי האינרציה לפיתול

kNm72.31

36012031270030031

7003003181.33M

33

3

2td ====++++

====

Mtd1 = Mtd3 = 1.045 kNm

נביא בחשבו� את חלק� של המלבני� הקטני� א& כי התק� ממלי' להטיל את הכול על

.המלב� הגדול

14.16ציור

:שטחי הגרעי� והיקפי הגרעי� עבור המלב� בגדול והמלבני� הקטני� ה� כדלקמ�

te = 40 mm קט�מלב� ה te = 30 mmבמלבני� הקטני�

Ak = 220 620 = 136400 mm גדול במלב� ה2

uk = 2 ( 220 + 620 ) = 1680 mm2

Ak = 60 300 = 18000 mm 2במלב� הקט� 2

uk = 2 ( 60 + 300 ) = 720 mm2

: חישוב הזיו� לפיתול

23

: א2בחת� א

2 2י הזיו� האורכ6

stl mm5953501364002

16801081.33A ==

2 זיו� החישוקי� v

v6

stv s354.03501364002

s1081.33A ==

:ב2בחת� ב

:במלב� הגדול

2 2הזיו� האורכי 6

2stl mm5583501364002

16801072.31A ==

2 זיו� החישוקי� v

v6

2stv s332.03501364002

s1072.31A ==

:במלבני� הקטני�

2 2הזיו� האורכי 6

1stl mm60350180002

72010045.1A ==

2 זיו� החישוקי� v

v6

1stv s083.0350180002

s10045.1A ==

זיו� החישוקי� עקב פיתול יצור& לזיו� החישוקי� עבור גזירה עקב כפיפה ורק אז

.תיקבע הכמות הסופית

:הזיו� הדרוש לגזירה עקב כפיפה. 5

כוח הגזירה מחושב לפי השיטה . כל כוח הגזירה מתקבל באמצעות זיו� לגזירה

.cotθ = 1 ולכ� ג� θ =45°בהנחת , הסטנדרטית

Vd = Vsdv = 2as/sv 350 0.9 660

Vd = 52.84 kN 2as/sv 350 0.9 660 as/sv = 0.127 עבור

Vd = 91.78 kN 2as/sv 350 0.9 660 as/sv = 0.221עבור

:סיכו� זיו� החישוקי� הינו. 6

∆_____________________∆ ∆_______________________∆

C B A

0.127 0.221 0.221 0.127

0.332 0.332 0.354 0.354

as/sv=0.459 0.553 as/sv=0.575 as/sv=0.481

24

):במעוגל(ל החישוקי� הדרושי� ה� "לפי החשבו� הנ

Φ8@110 Φ8@90 Φ8@90 Φ8@100

Φ8@200 באמצע בתור מינימו� Φ8@200

:מנת הזיו� המינימלית עבור זיו� החישוקי� מטעמי פיתול תהיה

Astv,min /sv = 0.0035 40 = 0.140 mm2/mm

: תהיהגזירה� המינימלית עבור זיו� החישוקי� מטעמי מנת הזיו

2astv,min /sv = 0.001 300= 0.150 mm2/mm

ולכ� ג� למע� ברור כי בכל מקו� מנת הזיו� הכוללת המחושבת גדולה מהמינימלית

:הפשטות הזיו� בשני השדות יסודר כדלקמ�

∆_____________________∆ ∆_______________________∆

Φ8@100 Φ8@90 Φ8@90 Φ8@100

Φ8@180 Φ8@180

:14.17תכנית החישוקי� במלב� העיקרי נתונה בציור

14.17ציור

: 14.18' נתו� בציור מסהזיו� הראשי לכפיפה ולפיתול. 7

הזיו� לכפיפה מסומ� במסגרת הקורה ומתחתיו בכל שדה נתו� הזיו� האורכי הדרוש

mm 595לפיתול דרושי� . לפיתול בכל אחד משני השדותmm 558 ו AB בשדה 2

2

עוברי� לכל אור� הקורה באמצע א� Φ 10 4: מוטות 8זיו� זה מחולק ל . BCבשדה

החתכי� 5התוצאה נתונה ב . הכמויות העליונות והתחתונות מצטרפות לזיו� לכפיפה

.ובפריסת מוטות הזיו� מתחתיה�

25

14.18ציור

):מוטות לחוצי�( לגזירה ופיתול הפעולה המשותפתבדיקת . 8

Td,max = 33.81 kNm Vd,max = 91.78 kN

TRd,max = 0.64[1-(0.7 30)/250]13 40 136400 10-6

= 41.58 kNm

VRd,max = 0.32[1-(0.7 30)/250] 13 300 0.9 660 10-3

= 679.04 kN

: מתקיי�במלב� הגדול תנאי הדרוש ה

1

58.41

81.33

04.679

78.91

T

T

V

V

max,Rd

max,d

max,Rd

max,d <

+

=

+

:המישטחי� האופקיי�. 9

ובו רואי� את זיו� הכפיפה הדרוש 14.19aנתו� בציור ) ABשדה (א 2המישטח בחת� א

בחת� זה מפני שכזכור בגלל ההפרדה בקצוות המיפתח שו� חלק מהזיזי� לא משתת&

. לפיתולבתסבולת

26

14.19ציור

ובו רואי� בנוס& לזיו� הכפיפה 14.19bנתו� בציור ) BCשדה (ב 2המישטח בחת� ב

אשר מקי& את שני Φ8 @250: א ג� תוספת זיו� לפיתול2שנית� בדיוק כמו בחת� א

. ונוס& לה� זיו� אורכי, המשתתפי� בקבלת הפיתול ) 120/360(המלבני� הקטני�

ג� זיו� החישוקי� וג� הזיו� האורכי הינ� מעל הכמות –מבחינת כמויות זיו�

.אול� מעשית קשה לתת כמות קטנה מזאת, המחושבת