3rdtmc_round1_m5.pdf

- 1 -

ตอนทหนง ขอ 1 – 12 ตอบถกไดคะแนนขอละ 4 คะแนน ไมตอบไดคะแนนขอละ 1 คะแนน ตอบผด 0 คะแนน

1. สามเหลยมมมฉาก ABC มมม C เปนมมฉาก และ AB = 10 หนวย

D เปนจดบนดาน AC ซงทาให DBCABD ∠=∠31 และ ∠ADB = 135°

พนทของรปสามเหลยม ABD เทากบกตารางหนวย

ก. )13(225

− ข. )32(325

−

ค. )32(2

325− ง. )13(

3325

−

จ. 3

225

2. ถา °⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°

=80tan70tan50tan40tan20tan10tan85tan65tan55tan35tan25tan5tant

แลว ขอสรปในขอใดตอไปนถกตอง

ก. t < 1 ข. t = 1 ค. 1 < t < 2

ง. t = 2 จ. t > 2

A

B C

D

- 2 -

3. สาหรบทกคาของจานวนจรง x

กาหนด f และ g เปนฟงกชนซงสอดคลองกบเงอนไข 36log)()( xxgxf =+ และ 4log)()( xxgxf =−

คาของ )9()3(2 gf ⋅ เทากบเทาใด

ก. 2

2log1 3+ ข. 2

2log21 3+ ค. 2log3

ง. 2log1 3+ จ. 2log21 3+ 4. ถา xxf 2log)( = แลว คาของ (f o f o f)(256) เทากบขอใดตอไปน

ก. log 2 ข. log 3 ค. 3log

1

2

ง. 2log

1

3 จ. จาก ก – ง ไมมตวเลอกในขอใดถกตอง

- 3 -

5. คาในขอใดตอไปนใกลเคยงกบคาของ 9999100 − มากทสด

ก. 0.004 ข. 0.006 ค. 2011

ง. 2001 จ.

1991

6. กาหนด 1)1(5)1(10)1(10)1(5)1( 2345 −+++−+++−+= xxxxxy

ถาเขยน y ในรป 012

23

34

45 axaxaxaxax +++++ โดยท a4, a3, a2, a1 และ a0

เปนคาคงท ซงเปนจานวนจรงแลว a4 มคาเทากบเทาใด

ก. 0 ข. -1 ค. 1

ง. -2 จ. 2

- 4 -

7. จานวนนบทถกสรางจากเลขโดด 0, 1, 2, 3 โดยทเลขโดดในแตละหลกมคา ไมซ ากน มทงหมดกจานวน ซงมคานอยกวา 2013

ก. 6 ข. 7 ค. 28

ง. 36 จ. 37

8. ในการสอบแขงขนคณตศาสตรประเทศไทยครงท 3 รอบประเมนศกยภาพ

ขณะทใกลจะหมดเวลาสอบ ปวณเหลอขอสอบทยงไมไดทาอก 8 ขอ จงจาเปนตองเดา โดยเขาไดวางแผนไววาจะเลอกเดา ขอ ก 2 ขอ เดาขอ ข 2 ขอ และเดาขอ ค 4 ขอ

จงหาวาปวณจะมวธเดาขอสอบ 8 ขอทเหลอนตามทวางแผนไวทงหมดกวธ

ก. 210 วธ ข. 280 วธ ค. 420 วธ ง. 560 วธ จ. 840 วธ

- 5 -

9. กาหนด G เปนกราฟทมเสนเชอมทงหมด 19 เสน และจดยอดแตละจดมดกรอยางนอย 3

ถาใหกราฟ G มจานวนของจดยอดมากทสดเทาทเปนไปได

แลว จดยอดของกราฟ G ทมดกรเทากบ 4 จะมไดอยางมากทสดกจด

ก. 0 ข. 1 ค. 2

ง. 3 จ. 4

10. ถาจานวนเชงซอน 21

23

−= iz แลว คาของ zz +2

1 เทากบเทาใด

ก. 2 ข. 1 ค. i31 −

ง. -2 จ. -1

- 6 -

11. กาหนด u , v และ w เปนเวกเตอรหนงหนวย โดยท θ เปนมมระหวาง u และ v

ถา wvu2

1=+ แลว θcos มคาเทากบขอใดตอไปน

ก. -1 ข. 43

− ค. 22

−

ง. 21

− จ. 41

− 12. กาหนด {an} เปนลาดบเลขคณต ซงม Sn เปนผลบวกของ n พจนแรก

ถา 25625 nnSn +=

แลว เลขโดดในขอใดตอไปนไมปรากฏอยเปนหลกใด หลกหนงของพจนท 13

ก. 1 ข. 2 ค. 3

ง. 4 จ. 5

- 7 -

ตอนทสอง ขอ 13 – 24 ตอบถกไดคะแนนขอละ 6 คะแนน ไมตอบไดคะแนนขอละ 1.5 คะแนน ตอบผด 0 คะแนน 13. กาหนดเอกภพสมพทธ คอเซตของจานวนจรง

ให A เปนเซตของคาตอบของสมการ )10(log2)10(log 222 xxxx −=−

และ B เปนเซตของคาตอบของสมการ )10(log)10(loglog 2xxxx −=−+

ขอสรปในขอใดตอไปนถกตอง ก. A และ B เปนเซตจากด โดยท )()( BnAn =

ข. A และ B เปนเซตจากด โดยท )()( BnAn >

ค. A และ B เปนเซตจากด โดยท )()( BnAn <

ง. A เปนเซตจากด แต B เปนเซตอนนต จ. A เปนเซตอนนต แต B เปนเซตจากด

- 8 -

14. กาหนด x และ y เปนจานวนจรงทมคาอยในชวง )2

,2

( ππ−

ถา yxyxyx

tantantantantantan =⋅=+

แลว )(tan yx − เทากบคาในขอใดตอไปน

ก. 31 ข.

21 ค. 1

ง. 2 จ. 3 15. ABCD เปนรปสเหลยมผนผา โดยม AB = 2BC

M และ N เปนจดบนดาน BC และ CD ตามลาดบ

โดยท BM : MC = CN : ND = 1 : 2

จงหาคาของ MAN∠sin

ก. 375

14 ข. 375

21 ค. 375

22

ง. 375

27 จ. 375

28

- 9 -

16. กาหนด a , b และ c เปนเวกเตอรในปรภมสามมต ซงไมมคใดขนานกน และตางไมเทากบ 0

ถา 0=++ cba แลว abbcca ×+×+× เทากบเวกเตอรในขอใดตอไปน ก. 0 ข. )( ba ×− ค. )(3 ba ×− ง. )( ba × จ. )(3 ba ×

- 10 -

17. กาหนด 11 =a และ nnn aaa +=+2

1 สาหรบทกจานวนเตมบวก n

ถา 1

1...1

11

11

1100321 +

+++

++

++

=aaaa

S

แลว ขอสรปในขอใดตอไปนถกตอง

ก. 0 < S < 1 ข. S = 1 ค. 1 < S < 2

ง. S = 2 จ. S > 2

- 11 -

18. ถาจานวนในแตละตวเลอกตอไปนมอยเพยงจานวนเดยวเทานนทเปน

จานวนเฉพาะแลว จานวนในขอใดเปนจานวนเฉพาะ ก. 999,973 ข. 999,983 ค. 999,991

ง. 1,000,001 จ. 7,999,973

19. ถาจานวนเชงซอน °+°= 3cos3sin iz

แลว 20z เทากบคาในขอใดตอไปน

ก. i21

23+− ข. i

21

23+ ค. i

21

23−

ง. i23

21+ จ. i

23

21−

- 12 -

20. กาหนด P(x) เปนพหนามทมสมประสทธทกตวเปนจานวนเตม

ถา P(3i) = P(2 + i) = 0

แลว คาในขอใดตอไปนคอคาทเปนไปไดของ P(2) ก. 103 ข. 1001 ค. 2013

ง. 2556 จ. 3113 21. เดกกลมหนงประกอบดวยเดกผหญง และเดกผชายเปนจานวนเทากน ในการ

จดเดกทงหมดใหเขาแถวหนากระดาน ปรากฎวาจานวนวธทเดกผชายทกคนจะถกจดให

ยนแยกกน มคาเปนหาเทาของจานวนวธทเดกผชายทกคนจะถกจดใหยนสลบกบเดกผหญง

จานวนวธในการเลอกเดก 3 คน จากกลมน โดยใหมจานวนของเดกผชายมากกวาจานวนของเดกผหญงเทากบขอใดตอไปน

ก. 182 วธ ข. 280 วธ ค. 408 วธ

ง. 570 วธ จ. 770 วธ

- 13 -

22. ในการทดสอบวชาคณตศาสตรครงหนงของนกเรยนจานวน 10 คน

จานวนขอทนกเรยนแตละคนตอบถก คอ x1, x2, . . ., x10 ขอ ซงมคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยมเทากบ 5, 4 และ 3 ขอ ตามลาดบ และมสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 2 ขอ ให yi แทนคะแนนทนกเรยนแตละคนไดรบ โดยท

yi = 5xi + 10 เมอ i = 1, 2, . . ., 10

จงพจารณาขอความเกยวกบคะแนนสอบทนกเรยนแตละคนไดรบ (yi) ตอไปน (1) คาสมบรณของผลตางระหวางคาเฉลยเลขคณต และมธยฐานของคะแนนสอบของนกเรยนกลมน มคาเทากบคาสมบรณของผลตางระหวางมธยฐาน และฐานนยมของคะแนนสอบของนกเรยนกลมน

(2) ผลรวมของคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยมของคะแนนสอบของนกเรยนกลมน มคาเทากบ 90 คะแนน (3) สวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบของนกเรยนกลมนเทากบ 15 คะแนน

ขอสรปในขอใดถกตอง

ก. ขอความ (1) และ (2) เทานนถกตอง ข. ขอความ (1) และ (3) เทานนถกตอง ค. ขอความ (2) และ (3) เทานนถกตอง ง. ถกตองทงสามขอความ

จ. มขอความทถกตองนอยกวา 2 ขอความ

- 14 -

23. ขอสอบชดหนงเปนขอสอบแบบเลอกคาตอบ ซงมโจทยทงหมด 30 ขอ โดยทในแตละขอ ผทตอบถกจะไดคะแนนขอละ 5 คะแนน ผทตอบผดจะได 0 คะแนน และผทไมตอบจะไดคะแนนขอละ 1 คะแนน

ภายหลงการสอบสนสดลง นกเรยนหาคนซงเขาสอบในครงนไดประเมนคะแนน

ทตวเองจะไดรบไวดงน

วเชยรกลาววา “ฉนทาคะแนนได 147 คะแนน”

วชยกลาววา “ฉนทาคะแนนได 144 คะแนน”

วไลกลาววา “ฉนทาคะแนนได 143 คะแนน”

วภากลาววา “ฉนทาคะแนนได 141 คะแนน”

วมลกลาววา “ฉนทาคะแนนได 139 คะแนน”

คากลาวของนกเรยนคนใดมความเปนไปไดทจะถกตอง

ก. วเชยร ข. วชย ค. วไล

ง. วภา จ. วมล

- 15 -

24. กาหนด d เปนจานวนเตมบวก ซงหาร 10! ลงตว

ถา S แทนผลบวกของคา d ทเปนไปไดทงหมด

แลว จานวนเฉพาะในขอใดตอไปนทไมเปนตวหารของ S

ก. 7 ข. 11 ค. 31

ง. 71 จ. 73

- 16 -

ตอนทสาม ขอ 25 – 29 ตอบถกไดคะแนนขอละ 6 คะแนน ตอบผด หรอไมตอบ 0 คะแนน

ในกรณทนกเรยนคานวณไดคาตอบทไมเปนจานวนเตม ใหตอบเปนจานวนเตม ทมคาใกลเคยงทสด และในกรณทนกเรยนคานวณไดคาตอบทมคามากกวาหาหลก ใหตอบเฉพาะตวเลขในหาหลกสดทาย

25. ถาผลบวก !6!5

1!7!4

1!8!3

1!9!2

1!10!1

1!11!0

1+++++ สามารถถกเขยนใหอย

ในรป !n

m เมอ m และ n เปนจานวนเตมบวก ซงไมมตวประกอบรวมกน

แลว คาของ m + n เทากบเทาใด

- 17 -

26. สาหรบจานวนจรง x ใดๆ

สญลกษณ ⎣ ⎦x หมายถงจานวนเตมทมากทสด ซงมคานอยกวา หรอเทากบ x

กาหนด ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦xxxxxf tan1000tan100tan10tan)( +++=

จงหาคาของ )3

(πf

27. กาหนด 432=a และ 342=b

ถาจานวนเฉพาะทแตกตางกน ซงหาร a + b ลงตว มทงหมดสามจานวน

แลว ผลบวกของจานวนเฉพาะทงสามจานวนดงกลาว มคาเทากบเทาใด

- 18 -

28. กาหนด O เปนจดศนยกลางของวงกลม 201322 =+ yx

ถา A และ B เปนจดบนเสนรอบวงของวงกลม ซงทาให 363=⋅ OBOA

แลว พนทของรปสามเหลยม OAB เทากบกตารางหนวย

- 19 -

29. ให A, B และ C เปนเหตการณ ซงเปนสบเซตของปรภมตวอยาง S

โดยท S เปนเซตจากด และ n(S) = 1000

และให k เปนจานวนเตมบวกทมากทสด ซงทาใหความนาจะเปนของเหตการณ

A – B, B – C และ C – A เปนดงน

1000)( kBAP =− ,

10002)( kCBP =− และ

10003)( kACP =−

ถาคาสงสดทเปนไปไดของความนาจะเปนทจะเกดเหตการณ A มคาเทากบ nm

เมอ m และ n เปนจานวนเตมบวกทไมมตวประกอบรวมกน

แลว คาของ m + n เทากบเทาใด

- 20 -

ขอโบนส เลอกทาหรอไมทากได ถาตอบถกจะได 15 คะแนน ตอบผด -5 คะแนน ไมตอบ 0 คะแนน

ในกรณทนกเรยนคานวณไดคาตอบทไมเปนจานวนเตม ใหตอบเปนจานวนเตม ทมคาใกลเคยงทสด และในกรณทนกเรยนคานวณไดคาตอบทมคามากกวาหาหลก ใหตอบเฉพาะตวเลขในหาหลกสดทาย 30. กาหนด a1, a2, a3, . . . เปนลาดบของจานวนเตมบวก ซงสอดคลองกบเงอนไข

an + 2 = an + 1 + an สาหรบทกคาของจานวนเตมบวก n

ถา a10 = 2556 แลว คาสงสดทเปนไปไดของ a1 เทากบเทาใด