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4.MedidasdeDispersiónESTADÍST ICA DESCR IPT IVA

DR. FRANCISCORABADÁNPÉREZ

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Índice1.MedidasdeDispersión

2.MedidasdeDispersiónAbsolutas

3.MedidasdeDispersiónRelativas

3.1Tipificación

3.2Problemasalcomparardispersionesconladesviaciónestándar

3.3CoeficientedeVariacióndeKarlPearson

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1.MedidasdeDispersiónObjetivo:buscamosmedirelgradoenquesealejanentresílosvaloresdelavariable.

Elconceptodedispersión estárelacionadoconseparación dedatosovariabilidad enladistribución.

Fuente:https://sites.google.com/site/estadisticaguileca/medidas-de-dispersion3

1.MedidasdeDispersión

Larepresentatividad deunamedidade

posiciónsemidecomolaseparación(o

dispersión)entreelconjuntodevaloresxi y

esamedidadeposición.

Diagramadedispersión:http://matematicas1bc.blogspot.com.es/2012/05/estadistica.html

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1.MedidasdeDispersiónMedidasdeDispersión

Absolutas(enunidadesdex)

Recorrido(Re)

RecorridoIntercuartílico (RI)

Desviaciónmedia

Respectoala

media

Respectoala

mediana

Varianza Desviacióntípica

Relativas(adimensionales)

Coeficientede

apertura

Recorridosemi-

intercuartíclico

Coeficientede

variaciónde

Pearson

Índicededispersió

nrespecto

alaMediana

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2.MedidasdeDispersiónAbsolutasMedida Cálculo Interpretación

Recorrido 𝑅𝑒 = 𝑥% − 𝑥' • Máximadiferenciaqueencontraremos entredosvalorescualesquieradeladistribución.

RecorridoIntercuartílico 𝐼𝑄𝑅 = 𝐶+ − 𝐶' • Amplituddelintervalo enqueestáel50%delosvalorescentrales

Desviaciónmediarespectoalamedia

𝐷 = ∑ 𝑥. − �̅�%01

%.2'

• Mediaaritméticadelasdistanciasabsolutasdelosvaloresala�̅�

• Recordemosm1=0

Desviaciónmediarespectoalamediana

𝐷34 = ∑ 𝑥. − 𝑀𝑒%01

%.2'

• Mediaaritméticadelasdistanciasabsolutasdelosvaloresala Me

�̅� hacemínimaslasdesviacionescuadráticasperolaMehacemínimalasdesviacionesabsolutas,portanto… 𝐷34 < 𝐷

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2.MedidasdeDispersiónAbsolutasMedida Cálculo Interpretaciónyconsideraciones

Varianza 𝑆8 = ∑ 𝑥. − �̅� 8 %01

%.2' • Mediadelasdesviacionescuadráticas

• Difícilinterpretación:Unidadesalcuadrado• Nopermiteestablecercomparacionesentredistintasmagnitudes.

Cuasivarianza 𝑆'8 = ∑ 𝑥. − �̅� 8 %019'

%.2' • Laveremosenmasprofundidad enlaEstadísticaII(Esmejor

estimadorquelavarianza)

Desviacióntípicaoestándar 𝑆 = : 𝑥. − �̅� 8 𝑛.

𝑁

%

.2'

�• Raízcuadrada positivadelavarianza.• Seinterpreta comoloquesealejantípicamentelosvaloresxi de�̅�• Fácilinterpretación:enlasmismasunidadesque lavariable

K.Pearsonladesarrolloen1894parasolucionarelproblemadequelamediadelasdesviacionesrespectoa�̅� escero(m1=0).Ver:http://www.expansion.com/diccionario-economico/desviacion-tipica.html

𝐷34 < 𝐷 < 𝑆(MartínPliego,2011;pág.86)

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2.Cálculodelavarianza(ejemplo)

(MartínPliego,2011;pág.85)

Ejemplo:Calculese lavarianzadeunadistribucióndefrecuenciasreferentealosresultadosobtenidoscon50lanzamientosdeundado

𝒙𝒊 𝒏𝒊 𝒙𝒊𝒏𝒊 𝒙𝒊𝟐𝒏𝒊1 6 6 62 11 22 443 6 18 544 7 28 1125 9 45 2256 11 66 396

SUMAS 50 185 837

𝒔𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝒂𝟏𝟐 =

=∑ 𝑥.8𝑛.%.2'𝑁 −

∑ 𝑥.𝑛.%.2'𝑁

8

=

=83750 −

18550

8

= 3,05

8

2.MedidasdeDispersiónAbsolutasPropiedadesdelavarianza:

◦ P-1:𝑆8 ≥ 0

◦ P-2:𝑆8 eslamedidacuadráticadedispersiónóptima

◦ P-3:𝑆8 = 𝑚8 = 𝑎8 − 𝑎'8 = 𝑎8 − �̅� 8 (“fórmulafácildelavarianza”…)

◦ P-4:𝑆8noseveafectadaporloscambiosdeorigen

◦ P-5:𝑆8 quedaafectadaporcambiosdeescaladelasiguienteforma

𝑥.; 𝑛.; 𝑆8 → 𝑥.R = 𝑥. S 𝑘, ; 𝑛.; 𝑆R8 = 𝑘8𝑆8

𝑆8varianzamuestral

𝜎8varianzapoblacional

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2.MedidasdeDispersiónAbsolutasPropiedadesdeladesviacióntípica:

◦ P-1:𝑆 ≥ 0

◦ P-2:𝑆 esunamedidadedispersiónóptima

◦ P-3:S= 𝑎8 − 𝑎'8� = 𝑎8 − �̅� 8�

◦ P-4:Snoseveafectadaporloscambiosdeorigen

◦ P-5:quedaafectadaporcambiosdeescala:𝑆R = 𝑘 S 𝑆

𝑆Desviaciónestándar

muestral

𝜎8Desviaciónestándar

poblacional

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3.MedidasdeDispersiónRelativasMedida Cálculo Interpretación

CoeficientedeApertura

𝐴 =𝑥%𝑥'

• Presentamuchosinconvenientes (Vid.Martín-Pliego,211,pág.87)

RecorridoSemi-Intercuartílico 𝑅W =

𝐶+ − 𝐶'𝐶+ + 𝐶'

• Pretendecompararlavariaciónenel50% centraldeladistribuciónconunteórico100%deladistribuciónnoafectadoporvaloresextremos

Coeficiente devariacióndePearson 𝐶𝑉 =

𝑆�̅�

• Expresala desviacióntípicaenmediasaritméticas.• Presentaproblemascuando�̅� ≃ 0• Funcionamuybiencuandolosrangosdelasvariablesson

similares.

ÍndicededispersiónrespectoalaMe 𝑉34 =

𝐷34𝑀𝑒 =

∑ 𝑥. − 𝑀𝑒 𝑛.%.2'𝑁 S 𝑀𝑒

• Mideladesviaciónmediarespecto alamedianaenmedianas.• EsunconceptosimilaraldePearson,peropresentaunamayor

dificultadrespectoalageneralizaciónalapoblación.

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3.EjemploParacompararlosrendimientosentreempresasespañolasynorteamericanas,pertenecientesaunsectormuyespecializado,seseleccionan20empresasconcaracterísticassemejantesdecadalugar,obteniéndoselossiguientesresultados,

(MartínPliego,2011;pág.89,90)

EmpresasEspañolas Empresas Norteamericanas

Beneficios(€)𝑥[

Frecuencias𝑛[

Beneficios($)𝑦]

Frecuencias𝑛]

1.000.000 4 10.000 2

1.100.000 6 11.000 2

1.200.000 6 12.000 4

1.300.000 2 13.000 4

1.400.000 2 14.000 4

15.000 2

16.000 2

Sepide:obtenerelrendimientomedioencadapaís,precisandoencuáldelosdoshaymenosdispersiónrelativa.

b)enlasempresasnorteamericanas

�̅� = :𝑥.𝑛.𝑁

�

�

= 1.160.000

𝑠a8 =∑ 𝑥. − �̅� 8𝑛.��

𝑁 = 14.400.000.000

𝑠a = 𝑠a8�

= 120.000

𝑉a =120.0001.1.60.000 =

1216 = 0,1034

𝑦d =:𝑦e𝑛.𝑁

�

�

= 13.000

𝑠a8 =∑ 𝑦e −𝑦d

8𝑛.��

𝑁 = 3.000.000

𝑠f = 𝑆f8� = 1.732,0508

𝑉f =1.732,050813.000 = 0,1332

a)enlasempresasespañolas

Delacomparaciónentreloscoeficientesdevariaciónresultaquelasempresasespañolas(0,1034 < 0,13) tienenmenordispersiónrelativaquelasnorteamericanas

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3.1.Tipificación

𝑧 =𝑥 − �̅�𝑆

Variabletipificada• Latipificacióntransformalavariabletantoenescalacomoenorigen.

• Elvalorzi esequivalenteaxi peroenunadistribucióndemediaceroydesviacióntípicauno.

• Esespecialmenteútilparacompararlaposiciónqueocuparíaunindividuoendiferentescolectivos;

teóricamente,quenotahubierasacadounalumnosihubieraestadoenungrupodistinto….

CUIDADO:habitualmenteseconfundelavariableZconlaN(0,1),perolatipificaciónsóloafectaalorigenyalaescala,noalaformadeladistribución.

𝑧 =𝑥 − �̅�𝑆

𝑥 𝑧

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3.1.Tipificación

𝑧 =𝑥 − �̅�𝑆

Variabletipificada

Ejemplo:Queremoscomparardeformarelativalanotaquedosalumnoshansacadoendiferentesgruposparadeterminarcualocupaunaposiciónrelativamejor.

Gasparocupaunaposiciónquesuperalevementealamedia,mientrasqueTomásocupaunaposicióninferioralamediaalejándosenegativamenteen1,5desviacionestípicasenunadistribucióndemediaceroydesviacióntípica1.Conclusión:GasparesmejoralumnoqueTomás.Sihubieranestadoenungruposimilar,lesuperaríaen1,625desviacionestípicas.

𝑧jklán =𝑥 − �̅�𝑠a

=4 − 5,51 = −1,5

𝑧opnqpr =𝑦 − 𝑦d𝑠f

=4,5 − 44 = 0,125

GrupoTomás GrupoGaspar

�̅� = 5,5 𝑦d = 4Sx =1 Sy =4

Nota:4 Nota:4,5

Comparando valores de distintas variables de forma adimensional con la tipificación

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3.1.Tipificación

𝑥 = 𝑧𝑆 + �̅�Calcularxenbasealavariabletipificada

Traslación equivalente a otras distribuciones basándonos en la tipificación

GrupoTomás GrupoGaspar

�̅� = 5,5 𝑦d = 4Sx =1 Sy =4

Nota:4 Nota:4,5

𝑧jklán =𝑥 − �̅�𝑠a

=4 − 5,51 = −1,5

𝑧opnqpr =𝑦 − 𝑦d𝑠f

=4,5 − 44 = 0,125

SiquisiéramosencontrarlanotadeTomásenelgrupodeGaspar

𝑦sklán = −1,5 ∗ 4 + 4 = −2SiquisiéramosencontrarlanotadeGasparenelgrupodeTomás

𝑥opnqpr = 0,125 ∗ 1 + 5,5 = 5,625

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3.2.Problemasalcomparardispersionesconladesviaciónestándar

Snonossirve

Sidosvariablesvienenexpresadasendistintasunidadesdemedida

(nosepuedencompararañosycm).

silospromediossondistintos.

Necesitamosunamedidadedispersión

adimensional,esdecir,quenoseveaafectadaporlasunidadesde

medida.

𝐶𝑉 =𝑆�̅�

CoeficientedevariacióndePearson

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3.2.AplicacióndelCoeficientedeVariacióndeKarlPearson.

Características

Númerodevecesquescontienea�̅�

SiaumentaelCV:

• aumentaladispersión• �̅� esmenosrepresentativa• CV>0(cuidadosi�̅� ≃ 0)

Ventajas

Adimensional

Intervienentodoslosvaloresysusfrecuencias

Inconvenientes

Si�̅�=0(habitualenlavariabletipificada)

Noesinvariantefrenteacambios

deorigen

¿Frenteacambiosdeescala?

𝐶𝑉 =𝑆�̅�

CoeficientedevariacióndePearson

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3.2.InterpretacióndelCV

0<CV<' +⁄�̅� muy

representativa Poca dispersión

'+⁄ <CV<+ w⁄

�̅�medianamenterepresentativa

DispersiónMedia

CV>+ w⁄�̅� poco

representativaMucha

dispersión

�̅� 𝑆8

𝐶𝑉 =𝑆�̅�

CoeficientedevariacióndePearson

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EjerciciosyprácticasEjerciciosdel1al5(Martín-Pliego,2011;pág.90-97)

Ejerciciosenclase

Recursoswebyaulavirtual.

Textosrecomendados

• Martín-Pliego,IntroducciónalaEstadísticaEconómicayEmpresarial,EditorialAC,2011,3ªEdición

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