4. proiectarea optimala a unui reductor cu rdcdi cu o treapta.pdf
Post on 15-Dec-2016
235 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
44.. PROIECTAREA OPTIMALĂ A UNUI REDUCTOR CU ROłI DINłATE CILINDRICE CU DINłI ÎNCLINAłI CU O TREAPTĂ
4.1.4.1.4.1.4.1. Formularea problemeiFormularea problemeiFormularea problemeiFormularea problemei
În acest subcapitol se prezintă rezultatele optimizării mono-obiectiv ale unui subansamblu (alcătuit din arborele de intrare, arborele de ieşire, rulmenŃii radiali-axiali cu role conice utilizaŃi pentru montarea acestora şi manşetele de rotaŃie cu buză de etanşare) al unui reductor cu o treaptă.
u4_1u0_1
u4_1
u7_1
u8_2u0_2
u3_2u8_2 u12_2
u3_2
u10_1
u7_1 u4_1
u12_2
10_1
Figura 4.1 Reductor cilindric cu o treapta
2
4.1.1.4.1.1.4.1.1.4.1.1. Date de intrareDate de intrareDate de intrareDate de intrare
� Puterea motorului electric de antrenare: 9.2=P kW; � Raportul de transmitere total: 55.312 =i ;
� TuraŃia arborelui de intrare: 9251 =n rot/min;
Caracteristicile materialului arborelui de intrare
� Materialului arborelui: 41MoCr11 îmbunătăŃit; � RezistenŃa de rupere a materialului arborelui: 1000=σr MPa;
� Tensiunea admisibilă la solicitarea de încovoiere (solicitarea statică): 330I =σai MPa;
� Tensiunea admisibilă la solicitarea de încovoiere (solicitarea pulsatoare): 150II =σai
MPa; � Tensiunea admisibilă la solicitarea de încovoiere (solicitarea alternant-simetrică):
90III =σai MPa;
� Tensiunea de rupere la oboseală (ciclu alternant-simetric): 5001 =σ− MPa;
� Tensiunea de rupere la oboseală (ciclu alternant-simetric): 275τ 1 =− MPa;
� Tensiunea de rupere la oboseală (ciclu pulsator): 495τ0 = MPa;
� Coeficient care ia în considerare modul diferit de variaŃie al solicitărilor de încovoiere respectiv de torsiune: 6.0=α ;
Caracteristicile materialului arborelui de ieşire
� Materialului arborelui: OLC 45; � RezistenŃa de rupere a materialului arborelui: 700=σr MPa;
� Tensiunea admisibilă la solicitarea de încovoiere (solicitarea statică): 230I =σai MPa;
� Tensiunea admisibilă la solicitarea de încovoiere (solicitarea pulsatoare): 110II =σai
MPa; � Tensiunea admisibilă la solicitarea de încovoiere (solicitarea alternant-simetrică):
65III =σai MPa;
� Tensiunea de rupere la oboseală (ciclu alternant-simetric): 3501 =σ− MPa;
� Tensiunea de rupere la oboseală (ciclu alternant-simetric): 5.1921 =τ− MPa;
� Tensiunea de rupere la oboseală (ciclu pulsator): 5,3460 =τ MPa;
� Coeficient care ia în considerare modul diferit de variaŃie al solicitărilor de încovoiere respectiv de torsiune: 591.0=α ;
� Coeficientul de siguranŃa admisibil: 5.1=ac ;
� Săgeata admisibilă: 053,0=δa mm;
� Unghiul de deformaŃie admisibil (rulmenŃi radiali-axiali cu role conice): 053.0=φa
rad; � Densitatea materialului arborelui: 61085.7 −⋅=ρmat kg/mm3;
� Modulul de elasticitate longitudinal al materialului arborelui: 5101.2 ⋅=E MPa; � Modulul de elasticitate transversal al materialului arborelui: 86000=G MPa;
Caracteristicile angrenajului reductorului
� Modulul normal: 1=nm mm;
� DistanŃa dintre axe: 801_ =wa mm;
� Unghiul de înclinare al danturii pe cilindrul de divizare: °=β 5.121_ ;
3
� Numărul de dinŃi ai pinionului: 341 =z ;
� Numărul de dinŃi ai roŃii dinŃate: 1212 =z ;
� LăŃimea pinionului: 551 =b ;
� LăŃimea roŃii dinŃate: 502 =b ;
ForŃele în angrenajul reductorului
� Momentul de torsiune corespunzător arborelui de intrare: 296391 =T Nmm;
� Momentul de torsiune corespunzător arborelui de ieşire: 1044252 =T Nmm; � ForŃa de întindere din curea: 830=S N; � ForŃele tangenŃiale corespunzătoare pinionului: 168921 == tt FF N;
� ForŃele radiale: 66921 == rr FF N;
� ForŃele axiale: 37421 == aa FF N.
4.1.2.4.1.2.4.1.2.4.1.2. GeneleGeneleGeneleGenele problemei de optimizare problemei de optimizare problemei de optimizare problemei de optimizare
În cele ce urmează se prezintă cele şase variabilele (genele) ce se consideră că descriu complet problema de proiectare.
Gena 1: i1 – indicele capătului arborelui de intrare (standardizat): (variabilă întreagă discretă cu valori în domeniul 0...63);
Gena 2: i2 – indicele manşetei de rotaŃie cu buză de etanşare al arborelui de intrare (variabilă întreagă discretă cu valori în domeniul 0...127);
Gena 3: i3 – indicele rulmentului radial-axial cu role conice al arborelui de intrare (variabilă întreagă discretă cu valori în domeniul 0...63);
Gena 4: i4 – indicele rulmentului radial-axial cu role conice al arborelui de ieşire (variabilă întreagă discretă cu valori în domeniul 0...63);
Gena 5: i5 – indicele manşetei de rotaŃie cu buză de etanşare al arborelui de ieşire
(variabilă întreagă discretă cu valori în domeniul 0...127); Gena 6: i6 – indicele capătului arborelui de ieşire (standardizat): (variabilă
întreagă discretă cu valori în domeniul 0...63).
4.1.3.4.1.3.4.1.3.4.1.3. Mărimi necesare descrierii proMărimi necesare descrierii proMărimi necesare descrierii proMărimi necesare descrierii problemei de optimizareblemei de optimizareblemei de optimizareblemei de optimizare
Luând în considerare datele de intrare şi genele mai sus menŃionate, este necesar să se determine o serie de mărimi esenŃiale pentru descrierea funcŃiei obiectiv şi a restricŃiilor problemei de optimizare.
4.1.3.1.4.1.3.1.4.1.3.1.4.1.3.1. Arborele de intrareArborele de intrareArborele de intrareArborele de intrare
u 10_1u 7_1 u 8_1u 6_1
u 5_1
u 3_1
u 2_1
u 0_1 u 4_1u 1_1
u 9_1
Figura 4.2 Arborele de intrare
Mărimi necesare pentru verificarea arborelui de intrare la solicitări compuse
4
Pentru calculul la solicitări compuse, arborele de intrare va fi reprezentat sub forma unei grinzi, rezemate cu forŃe exterioare concentrate, provenite din interacŃiunea acestuia cu organele de maşini susŃinute. Schema de încărcare a arborelui de intrare este prezentată în Figura 4.3.
u 4_1
u10_1
u 7_1
u 0_1
S
H1_1 H2_1
F a1
F r1
M7_1
u 4_1
u10_1u 7_1u 0_1
F t1
V1_1 V2_1u 4_1
u 7_1
u 10_1
[H]
[V]
Figura 4.3 Schema de încărcare a arborelui de intrare
ReacŃiunile în plan orizontal, [N]:
( )1_41_10
1_71_1011_71_101_1
uu
uuFMuSH
r
−
−⋅−−⋅= (4.1)
( )
1_41_10
1_71_41_711_41_2
uu
MuuFuSH
r
−
+−⋅−⋅−= (4.2)
ReacŃiunile în plan vertical, [N]:
( )
1_41_10
1_71_1011_1
uu
uuFV
t
−
−⋅= (4.3)
( )
1_41_10
1_41_711_2
uu
uuFV
t
−
−⋅= (4.4)
Lungimile tronsoanelor arborelui se determină pe baza notaŃiilor din Figura 4.2 şi Figura 4.4 cu ajutorul relaŃiilor: 01_0 =u (4.5)
2
1_1_1
pcalu = (4.6)
2
1_1_2
calu = (4.7)
1_1_21_3 eluu += (4.8)
1_1_1_1_31_4 aBTuu rr ++−= (4.9)
1_1_31_5 rBuu += (4.10)
21
1_71_6
buu −= (4.11)
2_2_
2_2_1_1_1_51_7 2 d
b
rrrr ll
CTCTuu ++−++−= (4.12)
21
1_71_8
buu += (4.13)
5
1_51_71_9 2 uuu −⋅= (4.14)
1_1_1_91_10 aTuu r −+= (4.15)
unde: lca_1 – lungimea capătului arborelui de intrare, [mm]; lpca_1 – lungimea penei corespunzătoare capătului arborelui de intrare, [mm]; le_1 – lungimea tronsonului de etanşare, [mm]; Tr_1 – lăŃimea rulmentului radial-axial cu role conice, [mm]; Br_1 – lăŃimea inelului interior al rulmentului radial-axial cu role conice, [mm]; a_1 – centrul de presiune al rulmentului radial-axial cu role conice, [mm]; lb_2 – lăŃimea butucului roŃii dinŃate, [mm]; ld_2 – lăŃimea distanŃierului utilizat ca sprijin pentru roata dinŃată, [mm].
Lungimea tronsonului pe care se realizează etanşarea (Figura 4.4) este: ( )1_1_1_11_1_21_1_1_1_ ,2max rrpssprcrre BTlhlklllBTcl −+++++++−+⋅= (4.16)
d 1m
_1
Dr_
1
db
min
_1
dca_
1
le_1lca_1 B r_1
ls
T r_1lc_1c
k lr_1lp2_1
c
K
df1
lpca_1a
hs_1lp1_1
dr_
1
f
1
Figura 4.4 Detaliul de montaj al manşetei de rotaŃie cu buză de etanşare şi a rulmentului radial-
axial cu role conice
unde: c – teşirea capacului rulmentului radial-axial cu role conice, [mm]; lc_1 – lungimea de centrare a capacului rulmentului radial-axial cu role conice,
[mm];
)5 ,5.0max( 1_1_ rc Dl ⋅= (4.17)
Dr_1 – diametrul exterior al rulmentului radial-axial cu role conice, [mm]; lr_1 – grosimea setului de reglare a jocului din rulment, [mm]; lp2_1 – grosimea peretelui capacului în zona de fixare, [mm]; k – grosimea capului şurubului de fixare al capacului rulmentului, [mm]; ls – distanŃa de siguranŃă dintre manşeta de rotaŃie cu buză de etanşare şi rulment,
[mm]; hs_1 – lăŃimea locaşului din capacul rulmentului în care se introduce manşeta de
rotaŃie cu buză de etanşare, [mm]; 2.11_1_ += ms bh (4.18)
bm_1 – lăŃimea manşetei de rotaŃie cu buză de etanşare, [mm]. Momentul încovoietor în plan orizontal în secŃiunea de abscisă x:
( ) ( )( ) ( )
≤≤+−⋅+−⋅+⋅−
<<−⋅+⋅−
≤≤⋅−
=
1_10171_71_711_41_1
1_7141_41_1
1_410
1_
dacã
dacã
dacã
uxuMuxFuxHxS
uxuuxHxS
uxuxS
xM
_r
_
_
iH (4.19)
6
Momentul încovoietor în plan vertical în secŃiunea de abscisă x:
( ) ( )( ) ( )
≤≤−⋅−−⋅
<<−⋅
≤≤
=
1_10171_711_41_1
1_7141_41_1
1_410
1_
dacã
dacã
dacã0
uxuuxFuxV
uxuuxV
uxu
xM
_t
_
_
iV (4.20)
Momentul încovoietor rezultant în secŃiunea de abscisă x:
( ) ( ) ( )xMxMxM iViHi
21_
21_1_ += (4.21)
Modulul de rezistenŃă axial în secŃiunea x:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
≤<⋅π
≤≤∨≤<⋅π
≤<∨≤<⋅π
≤<⋅π
≤<⋅π
≤≤⋅
−⋅⋅−
⋅π
=
1_816
31
1_9181_615
31min_
1_101_91_513
31_
1_312
31_1
1_211
31_
1_1101_
21_11_1_11_
31_
1_
dacã32
dacã32
dacã32
dacã32
dacã32
dacã232
uxud
uxuuxud
uxuuxud
uxud
uxud
uxud
tdtbd
xW
_
f
__
b
_
r
_
m
_
ca
_
ca
cacacapcaca
z (4.22)
unde: dca_1 – diametrul capătului arborelui de intrare, [mm]; d1m_1 – diametrul manşetei de rotaŃie cu buză de etanşare, [mm]; dr_1 – diametrul interior al rulmentului radial-axial cu role conice, [mm]; dbmin_1 – diametrul de sprijin al rulmentului radial-axial cu role conice, [mm]; df1 – diametrul cercului de picior al pinionului, [mm]; bpca_1 – lăŃimea penei corespunzătoare capătului arborelui de intrare, [mm]; t1ca_1 – adâncimea canalului de pană din capătul de arbore, [mm].
Momentul de inerŃie axial în secŃiunea x:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
≤<⋅π
≤<∨≤<⋅π
≤<∨≤<⋅π
≤<⋅π
≤<⋅π
≤≤−⋅⋅
−⋅π
=
1_816
41
1_91_81_615
41min_
1_101_91_513
41_
1_312
41_1
1_211
41_
1_110
21_11_1_11_
41_
1_
dacã64
dacã64
dacã64
dacã64
dacã64
dacã464
uxud
uxuuxud
uxuuxud
uxud
uxud
uxutdtbd
xI
_
f
_
b
_
r
_
m
_
ca
_
cacacapcaca
z (4.23)
Modulul de rezistenŃă polar în secŃiunea x:
( )( )
( )
>⋅
≤≤⋅
−⋅⋅−
⋅π
=
171_
1_7101_
21_11_1_11_
21_
1_
dacã2
dacã216
_z
_
ca
cacacapcaca
p
uxxW
uxud
tdtbd
xW (4.24)
7
Momentul de inerŃie polar în secŃiunea x: ( ) ( )xIxI zp 1_1_ 2 ⋅= (4.25)
Tensiunea de încovoiere în secŃiunea x:
( )( )
( )xW
xMx
z
i
i
1_
1_1_ =σ (4.26)
Tensiunea de torsiune în secŃiunea x:
( )( )
( )xW
xTx
p
t
1_
11_ =τ (4.27)
Tensiunea echivalentă în secŃiunea x:
( ) ( ) ( )( )21_
21_1_ 4 xxx tie τ⋅α⋅+σ=σ (4.28)
unde: α – coeficient care ia în considerare modul diferit de variaŃie al solicitărilor de
încovoiere şi de torsiune.
Verificarea arborelui de intrare la oboseală
Scopul calculului la solicitări variabile este de a evita ruperea arborilor prin oboseala materialului şi constă în determinarea unui coeficient de siguranŃă în secŃiunile în care există concentratori de tensiuni (salturi de diametre, degajări, canale de pană, caneluri, filete, ajustaje presate etc.) şi compararea acestuia cu un coeficient de siguranŃă admisibil, determinat experimental. Pentru determinarea coeficientului de siguranŃă la oboseală pentru arborele de intrare s-a realizat o funcŃie care returnează valoarea acestuia în orice secŃiune x a arborelui. Expresia acestei funcŃii este:
( )( ) ( )
( ) ( )ParamParam
ParamParamParam
22τσ
τσ
+
⋅=
CC
CCCSO (4.29)
unde: Cσ(Param) – coeficient de siguranŃă la oboseală pentru solicitarea de încovoiere; Cτ(Param) – coeficient de siguranŃă la oboseală pentru solicitarea de torsiune;
Parametrii funcŃiei CSO(Param) sunt: � tipul concentratorului:
0 – arbore neted; 1 – canal de pană; 2 – salt de diametre;
� rezistenŃa de rupere a materialului arborelui, σr; � rezistenŃa la oboseală pentru ciclu alernant-simetric σ-1; � rezistenŃa la oboseală pentru ciclu alernant-simetric τ-1; � coeficient al materialului (ψτ); � tipul tratamentului termic: � calitatea suprafeŃei Ra;
0 – netratat; 1 – călit cu curenŃi de înaltă frecvenŃă (CIF);
� diametrul (mai mic) ce se racordează, d; � diametrul (mai mare) ce se racordează, D; � raza de racordare (0 dacă nu este cazul), r; � tensiunea de încovoiere în secŃiunea x, σi(x); � tensiunea de torsiune în secŃiunea x, τt(x). Coeficientul de siguranŃă la oboseală pentru solicitarea de încovoiere:
8
( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )( )x
drtiptipRd
drtipxxrDdRtipxC
i
contta
rconk
tiattr
σ⋅β⋅β⋅ε
σβ
σ=τσψτσσ
σ
σ
−τ−−σ
,,,
,,,,,,,,,,,,,,
21
111 (4.30)
Coeficient de siguranŃă la oboseală pentru solicitarea de torsiune:
( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )( )x
drtiptipRd
drtipxxrDdRtipxC
t
contta
rconk
tiattr
τ⋅
ψ+
β⋅β⋅ε
σβ
τ⋅=τσψτσσ
τ
τ
τ
−τ−−τ
,,,
,,,
2,,,,,,,,,,,
21
111 (4.31)
unde: βkσ(x) – coeficient în funcŃie de tipul concentratorului de tensiuni şi de rezistenŃa de
rupere a materialului arborelui pentru solicitarea de încovoiere; βkτ(x) – coeficient în funcŃie de tipul concentratorului de tensiuni şi de rezistenŃa de
rupere a materialului arborelui pentru solicitarea de torsiune; εσ(x) – coeficient în funcŃie de tipul oŃelului (carbon sau aliat) şi de diametrul
arborelui pentru solicitarea de încovoiere; ετ(x) – coeficient în funcŃie de tipul oŃelului (carbon sau aliat) şi de diametrul
arborelui pentru solicitarea de torsiune; β1(x) – coeficientul în funcŃie de calitatea suprafeŃei; β2(x) – coeficient dependent de tratamentul termic aplicat stratului superficial.
CoeficienŃii de siguranŃă la oboseală pentru solicitarea de încovoiere s-au determinat cu relaŃii analitice deduse prin interpolarea punctelor de pe diagramele prezentate în Figura 4.5.
Figura 3.5a Coeficientul de concentrare a tensiunilor βkσ(x) pentru σr=400-500 Mpa
EcuaŃiile curbelor din Figura 4.5a scrise sub forma unor funcŃii polinomiale de ordinul şase sunt prezentate mai jos:
( ) 654321 79.532073.545181.1910063.1903471.390234.1215955.2 xxxxxxxC ⋅−⋅+⋅−⋅−⋅+⋅−= (4.32)
( ) 654322 22.302928.310604.10297179.314058.57086.1435415.2 xxxxxxxC ⋅−⋅+⋅−⋅−⋅+⋅−= (4.33)
( ) 654323 16.271546.2960929.99330529.95792.667301.1551793.2 xxxxxxxC ⋅−⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−= (4.34)
( ) 654324 066.937987.763793.176596.326028.1202439.2072701.2 xxxxxxxC ⋅−⋅+⋅+⋅−⋅+⋅−= (4.35)
unde: Ci(x) – funcŃia polinomială de ordinul şase corespunzătoare curbei i (i=1, 2...4); x – reprezintă raportul dintre raza de racordare r şi diametrul mai mic ce se
racordează d,
=
d
rx .
9
Figura 4.6b Coeficientul de concentrare a tensiunilor βkσ(x) pentru σr=600 Mpa
Pentru curbele din Figura 4.6b avem: ( ) 65432
1 26.34495.480465.2317355.41259245.87806.1015536.2 xxxxxxxC ⋅−⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−= (4.36)
( ) 654322 4617.6344.208833.1482584.2663414.310745.1443415.2 xxxxxxxC ⋅−⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−= (4.37)
( ) 654323 95.703498.835724.3624192.60791207.83534.1457251.2 xxxxxxxC ⋅−⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−= (4.38)
( ) 654324 42.645181.554506.193821.484631.1206519.2082918.2 xxxxxxxC ⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−= (4.39)
Figura 4.7c Coeficientul de concentrare a tensiunilor βkσ(x) pentru σr=700 Mpa
( ) 654321 148547.1415386.4951507.7144151.1036158.91746.2 xxxxxxxC ⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅⋅−= (4.40)
( ) 654322 2.170531602594.5397855.6845465.175166.1343828.2 xxxxxxxC ⋅−⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−= (4.41)
( ) 654323 7.202852.2014356.737235.11177921.211472.1357147.2 xxxxxxxC ⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅−= (4.42)
( ) 654324 1.382984.354581.1185196.154208083.62823.2094881.2 xxxxxxxC ⋅−⋅−⋅−⋅−⋅+⋅−= (4.43)
Figura 4.8d Coeficientul de concentrare a tensiunilor βkσ(x) pentru σr=800 Mpa
( ) 654321 06.255034.2173286.74128.2036227.655402.1330771.2 xxxxxxxC ⋅+⋅−⋅+⋅−⋅−⋅−= (4.44)
( ) 654322 2.130881294212.516264.1143149.177944.2060386.2 xxxxxxxC ⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−= (4.45)
( ) 654323 45.228122.2005821.358235.199197.107974.1974479.2 xxxxxxxC ⋅−⋅+⋅+⋅−⋅+⋅−= (4.46)
( ) 654324 2.882175.84586.3506258.926696.1854974.2503816.3 xxxxxxxC ⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−= (4.47)
10
Figura 4.9e Coeficientul de concentrare a tensiunilor βkσ(x) pentru σr=1200-1400 Mpa
( ) 654321 83.314087.1864944.134086.36871.1265535.2197268.2 xxxxxxxC ⋅−⋅+⋅+⋅−⋅+⋅−= (4.48)
( ) 654322 7.104883.1092624.4087267.5540863.367255.1927606.3 xxxxxxxC ⋅−⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−= (4.49)
( ) 654323 74.686409.695486.2350509.1520784.925753.2454278.3 xxxxxxxC ⋅−⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−= (4.50)
( ) 654324 17.1262359.379514.698261.56244.1862642.3191003.3 xxxxxxxC ⋅−⋅+⋅+⋅−⋅+⋅−= (4.51)
CoeficienŃii de siguranŃă la oboseală pentru solicitarea de torsiune s-au determinat în mod similar cu coeficienŃii de siguranŃă la oboseală pentru solicitarea de încovoiere utilizând diagramele din Figura 4.10.
Figura 4.10a Coeficientul de concentrare a tensiunilor βkτ(x) σr=500-800 Mpa
( ) 654321 1.146661329206.4243822.4850592.1830944.857934.1 xxxxxxxC ⋅−⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−= (4.52)
( ) 654322 8.182567.1812651.660676.10010369.2730833.872059.1 xxxxxxxC ⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅−= (4.53)
( ) 654323 12.367686.360043.1763542.574631.1241993.1605108.2 xxxxxxxC ⋅+⋅+⋅+⋅−⋅+⋅−= (4.54)
( ) 654324 277.221776.24055.227561.340447.1273204.2033998.2 xxxxxxxC ⋅+⋅+⋅+⋅−⋅+⋅−= (4.55)
Figura 4.11b Coeficientul de concentrare a tensiunilor βkτ(x) σr=800-1000 Mpa
( ) 654321 6.275908.2011798.216992.1806612.714765.1180343.1 xxxxxxxC ⋅−⋅+⋅−⋅−⋅+⋅−= (4.56)
( ) 654322 8.136731.1295039.437501.5433307.217589.1193465.1 xxxxxxxC ⋅−⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−= (4.57)
( ) 654323 1.153619.1492656.5289224.7575063.39435.100238.2 xxxxxxxC ⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅−= (4.58)
( ) 654324 647.5342275.81727.561161.417335.1303721.2038855.2 xxxxxxxC ⋅−⋅+⋅+⋅−⋅+⋅−= (4.59)
11
Figura 4.12c Coeficientul de concentrare a tensiunilor βkτ(x) σr=1000-1200 Mpa
( ) 654321 68.299923.2675651.7404693.217283.5083994.971924.1 xxxxxxxC ⋅−⋅+⋅−⋅−⋅+⋅−= (4.60)
( ) 654322 27.2575408.870351.797383.575363.1482412.1807395.2 xxxxxxxC ⋅−⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−= (4.61)
( ) 654323 2.39460398546.1599306.3313293.3934218.2827975.2 xxxxxxxC ⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−= (4.62)
( ) 654324 3.399455.409873.1692586.3679949.4666996.3560805.2 xxxxxxxC ⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−= (4.63)
Expresia coeficientului de concentrare a tensiunilor βkσ(x) este:
( )
( )
=σ
=σ⋅⋅+σ⋅⋅−
−σ⋅⋅+σ⋅⋅−
−σ⋅+σ⋅−
=
=σβ
σβ
σ
2tipdacă,,,F
1tipdacă17-e70484.213-e24372.1
10-e354451.27-e34808.2
000129762.00365703.031067.5
0tipdacă1
,,,,tip
con
con65
43
2
con
con
krdD
Ddr
r
rr
rr
rr
rk (4.64)
unde: ( )x
σβkF – funcŃie care returnează valoarea coeficientului de concentrare al tensiunilor
βkσ(x), (concentrator – rază de racordare). Parametrii acestei funcŃii sunt:
� rezistenŃa de rupere a materialului arborelui, σr; � diametrul (mai mare) ce se racordează, D; � diametrul (mai mic) ce se racordează, d; � raza de racordare, r.
( )
( )
( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )
( )
≥σ
≤σ<σ
≤σ<σ
≤σ<σ
≤σ<σ
≤σ
=σ
σ
σσ
σσ
σσ
σσ
σ
σ
β
ββ
ββ
ββ
ββ
β
β
1200dacă,,,4V
1200800dacă,,,,4V,,,,3V,1200,800I
800700dacă,,,,3V,,,,2V,800,700I
700600dacă,,,,2V,,,,1V,700,600I
600500dacă,,,,1V,,,,0V,600,500I
500dacă,,,0V
,,,F
k
kk
kk
kk
kk
k
k
r
rr
rr
rr
rr
r
r
rdD
rdDrdD
rdDrdD
rdDrdD
rdDrdD
rdD
rdD (4.65)
unde: ( )x
σβkV – funcŃie care returnează valoarea coeficientului de concentrare al tensiunilor
βkσ(x), pentru cazul în care rezistenŃa de rupere a materialului arborelui, σr are valori corespunzătoare uneia din volorile prezentate în diagramele din Figura 4.5 (concentrator – rază de racordare).
Parametri acestei funcŃii sunt: � numărul diagramei, i; � D, d şi r au aceeaşi semnificaŃie ca în cazul funcŃiei
σβkF .
12
( )
>
≤<
≤<
≤<
≤
=σβ
2dacă
23.1dacă,,,,2,3.1I
3.12.1dacă,,,,3.1,2.1I
2.11.1dacă,,,,2.1,1.1I
1.1dacă
,,,V
4
4131
3121
2111
1
k
d
DC
d
D
d
DxCC
d
D
d
DxCC
d
D
d
DxCC
d
DC
rdDi (4.66)
unde: I(x) – funcŃie care realizează interpolarea între curbele din diagrame respectiv între
diagramele prezentate în Figura 4.5 şi Figura 4.10. Parametri acestei funcŃii sunt:
� valoarea de început, î; � valoarea de sfârşit, s; � curba (diagrama) de început; � curba (diagrama) de sfârşit; � parametrul x.
Pentru determinarea coeficientului de concentrare a tensiunilor pentru solicitarea de torsiune βkτ(x) se vor utiliza aceleaşi funcŃii ca în cazul coeficientului de concentrare a tensiunilor pentru solicitarea de încovoiere, folosind diagramele aferente acestuia (Figura 4.10).
( )
( )
=σ
=σ⋅⋅+σ⋅⋅−
−σ⋅⋅+σ⋅⋅−
−σ⋅+σ⋅−
=
=σβ
τβ
τ
2tipdacă,,,
1tipdacă17-e72111.513-e75733.2
10-e42524.57-e55491.5
000310523.00882135.01196.11
0tipdacă1
,,,,
con
con65
43
2
con
rdDF
Ddrtip
r
rr
rr
rr
rconk
k
(4.67)
Pentru determinarea expresiei coeficienŃilor εσ(x) şi ετ(x) s-a utilizat diagrama prezentată în Figura 4.13.
Figura 4.13 CoeficienŃii dimensionali εσ(x) şi ετ(x)
( )
>σ⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+
+⋅⋅−⋅⋅+⋅−
≤σ⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+
+⋅⋅−⋅+⋅−
=εσ
800dacă41-e7666.121-e74794.79-e61692.1
7-e96427.35-e49069.80961303.0887348.0
800dacă31-e14459.111-e50335.78-e94378.1
6-e55797.2000194058.00111193.000985.1
654
35
654
32
r
r
ddd
ddd
ddd
ddd
d (4.68)
( )
654
32
41-e91386.911-e29049.78-e97118.1
6-e28387.25-e62714.700545707.0922898.0
ddd
dddx
⋅⋅−⋅⋅−−⋅⋅+
+⋅⋅+⋅⋅−⋅−=ε τ (4.69)
Expresia coeficientului de calitate al suprafeŃei β1(x) s-a determinat pe baza diagramei din Figura 4.14.
13
Figura 4.14 Coeficientul de calitate al suprafeŃei β1(x)
=σ⋅−
=σ⋅⋅−
=σ⋅⋅−
≤
=β
5.12dacã000227908.001072.1
2.3dacã5-e07299.7961508.0
6.1dacã5-e10827.5981253.0
8.0dacã1
)(1
ar
ar
ar
a
a
R
R
R
R
R (4.70)
( ) ( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( )
β≤∧=
<β≤∧=
<β≤∧=
=
=β
σ
σ
σ
dr
dr
drdrtiptip
k
k
k
contt
,,tip8.11tipdacã2.2
8.1,,tip5.11tipdacã1.6
5.1,,tip11 tipdacã4.1
0tipdacã1
),,,(
contt
contt
contt
tt
2 (4.71)
SecŃiunile arborelui de intrare în care se realizează verificarea la oboseală sunt prezentate în figura de mai jos.
0 2 3 5 6 8 9 Figura 4.15 SecŃiunile în care se realizează verificarea la oboseală a arborelui de intrare
Pentru fiecare dintre aceste secŃiuni parametrii funcŃiei CSO sunt prezentaŃi mai jos: ( ) ( ) ( )( )1_01_1_01_1_1_1_11_11_ ,,0,,0,2.3,0,,,,,1Param
1_01_0uudCSOCSO ticaruu τσψτσσ= τ−− (4.72)
( ) ( ) ( )( )1_21_1_21_1_1_11_1_11_11_ ,,1,,,6.1,0,,,,,1Param1_21_2
uuddCSOCSO ticamruu τσψτσσ= τ−− (4.73)
( ) ( ) ( )( )1_31_1_31_1_11_1_1_11_11_ ,,1,,,6.1,0,,,,,1Param1_31_3
uuddCSOCSO timrruu τσψτσσ= τ−− (4.74)
( ) ( ) ( )( )1_51_1_51_1min_121_1min_1_1_11_11_ ,,,,,6.1,0,,,,,1Param1_51_5
uurddCSOCSO tirbruu τσψτσσ= τ−− (4.75)
( ) ( ) ( )( )1_61_1_61_1min_11_1_11_11_ ,,1,,,2.3,0,,,,,1Param1_61_6
uuddCSOCSO tibfruu τσψτσσ= τ−− (4.76)
( ) ( ) ( )( )1_81_1_81_1min_11_1_11_11_ ,,1,,,2.3,0,,,,,1Param1_81_8
uuddCSOCSO tibfruu τσψτσσ= τ−− (4.77)
( ) ( ) ( )( )1_91_1_91_1min_121_1min_1_1_11_11_ ,,,,,2.3,0,,,,,1Param1_91_9
uurddCSOCSO tirbruu τσψτσσ= τ−− (4.78)
Verificarea arborelui de intrare la deformaŃiile de încovoiere
Sub acŃiunea forŃelor exterioare, arborii sunt supuşi la deformaŃii de încovoiere (flexionale) şi de torsiune (torsionale). Calculul la deformaŃii este un calcul de verificare, efectuat în scopul preîntâmpinării unei funcŃionări necorespunzătoare a organelor de maşini susŃinute (în special roŃile dinŃate) şi a lagărelor. Verificarea arborilor la deformaŃii de încovoiere constă în stabilirea deformaŃiilor efective – săgeŃi în dreptul forŃelor exterioare şi unghiuri de rotire în lagăre – şi compararea acestora cu deformaŃiile maxime admise de angrenaje, respectiv de reazemele arborilor. Calculul deformaŃiilor se poate efectua prin una din metodele cunoscute din rezistenŃa materialelor,
14
metode bazate pe integrarea ecuaŃiei diferenŃiale a fibrei medii deformate sau pe expresiile energiei de deformaŃie. Metodele bazate pe integrarea ecuaŃiei diferenŃiale a fibrei medii deformate sunt analitice – metoda de integrare analitică a ecuaŃiei diferenŃiale a fibrei medii deformate – şi metode grafo-analitice: metoda grinzilor fictive; metoda ecuaŃiilor celor două rotiri şi a celor două săgeŃi; metoda celor trei săgeŃi (ecuaŃia lui Clapeyron). Indiferent de metoda utilizată pentru calculul la deformaŃii de încovoiere, arborii cu diametrul variabil în trepte pot fi consideraŃi ca atare sau având diametrul constant, de valoare medie – atunci când diferenŃele între diametrele treptelor sunt mici. De asemenea, arborele în trepte se poate înlocui cu un arbore de secŃiune constantă, pentru care să poată fi aplicate metode de calcul a deformaŃiilor pentru arbori cu diametru constant, numit arbore echivalent. Pentru ca deformaŃia arborelui echivalent să fie aceeaşi cu a arborelui real, este necesar ca odată cu schimbarea rigidităŃii pe anumite porŃiuni să se modifice, în acelaşi sens şi în acelaşi raport, forŃele şi momentele încovoietoare de pe porŃiunile respective. Modul efectiv de calcul se desfăşoară astfel:
� Arborele se împarte în porŃiuni cu moment de inerŃie constant, stabilindu-se reacŃiunile din legături;
� PorŃiunile de arbore se reduc la acelaşi moment de inerŃie Iz (acelaşi diametru), sarcinile care încarcă porŃiunile i înmulŃindu-se cu raportul Iz/ Izi;
� Arborele se transformă într-un arbore echivalent, cu diametru constant , refăcându-se legăturile dintre tronsoane şi stabilindu-se încărcarea echivalentă a arborelui.
Pentru verificarea arborelui la deformaŃiile de încovoiere s-a utilizat metoda grafo-analitică Mohr-Maxwel-Vereşceaghin. Conform acestei metode neglijând energia datorată forŃelor axiale şi tăietoare relaŃiile de calcul a săgeŃilor şi unghiurilor de rotire în diferite secŃiuni ale arborelui sunt:
dxIE
MMn
i
u
Z
ii
∑∫=
δ
⋅
⋅=δ
1 0
, dxIE
MMn
i
u
Z
ii
∑∫= ⋅
⋅=φ
1 0
(4.79)
unde: Mi – momentul încovoietor, [Nmm]; Mδ – momentul încovoietor creat de o forŃă unitară, [Nmm]; Mφ – momentul încovoietor creat de un moment unitar aplicat în reazemul în care
se calculează deformaŃia unghiulară, [Nmm]; E – modulul de elasticitate longitudinal al materialului arborelui de intrare, [MPa].
Rezolvarea integralei din relaŃia (4.79) se face în funcŃie de legea de variaŃie a momentelor încovoietoare. În cazul arborilor reductoarelor sarcinile exterioare se consideră concentrate şi ca urmare momentele încovoietoare care intervin în expresia (4.79) au pe fiecare porŃiune de lungime ui variaŃii liniare continui. Ca urmare, integralele care intervin în calculul deformaŃiilor au pe fiecare tronson expresiile:
( ) ( )[ ])(2)()()()(2)(61 0
sidissidid
z
in
i
u
Z
i xMxMxMxMxMxMIE
udx
IE
MMi
⋅+⋅++⋅⋅⋅⋅⋅
=⋅
⋅δδ
=
δ∑∫ (4.80)
( ) ( )[ ])(2)()()()(2)(61 0
sidissidid
z
in
i
u
Z
i xMxMxMxMxMxMIE
udx
IE
MMi
⋅+⋅++⋅⋅⋅⋅⋅
=⋅
⋅φφ
=
∑∫ (4.81)
unde: Mi(xs) – momentul încovoietor la începutul intervalului de lungime x, [Nmm]; Mi(xd) – momentul încovoietor la sfârşitul intervalului de lungime x, [Nmm]; Mδ(xs) – momentul încovoietor determinat de forŃa unitară aplicată în secŃiunea în care
se calculează deformaŃia la începutul intervalului de lungime x; Mδ(xd) – momentul încovoietor determinat de forŃa unitară aplicată în secŃiunea în care
se calculează deformaŃia la sfârşitul intervalului de lungime x;
15
MФ(xs) – momentul încovoietor determinat de momentul încovoietor unitar aplicat în lagărul în care se calculează deformaŃia unghiulară la începutul intervalului de lungime x;
MФ(xd) – momentul încovoietor determinat de momentul încovoietor unitar aplicat în lagărul în care se calculează deformaŃia unghiulară la sfârşitul intervalului de lungime x.
Datorită faptului că forŃele exterioare acŃionează atât în plan orizontal cât şi în plan vertical se determină separat deformaŃiile din cele două plane, iar deformaŃiile totale se obŃin prin însumarea geometrică a deformaŃiilor din cele două plane:
22VH δ+δ=δ (4.82)
φ
φ⋅φ+
φ
φ⋅φ=φ
H
V
V
H
V
H arctgsinarctgcos (4.83)
Momentul încovoietor creat de o forŃa unitară S necesar pentru calculul deformaŃiilor de încovoiere (săgeata) în punctul de abscisă u0_1 în plan orizontal este:
( ) ( )
≤<−
−⋅
≤≤−
=δ
1_101_41_41_10
1_101_4
1_41_0
udacã
udacã
uxuu
uxu
uxx
xM S (4.84)
Pe baza relaŃiei (4.80) putem scrie:
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]1011001
0101 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHSiHiHS
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.85)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]2122112
1212 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHSiHiHS
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.86)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]3233223
2323 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHSiHiHS
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.87)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]4344335
3434 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHSiHiHS
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.88)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]5455445
4545 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHSiHiHS
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.89)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]6566556
5656 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHSiHiHS
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.90)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]7677667
6767 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHSiHiHS
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.91)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]8788777
7878 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHSiHiHS
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.92)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]9899889
8989 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHSiHiHS
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.93)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]10910109910
910910 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHSiHiHS
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.94)
DeformaŃia de încovoiere (săgeata) în punctul de abscisă u0_1 în plan orizontal va fi:
( )E
TTTTTTTTTTuH
⋅
+++++++++=δ
6910897867564534231201
0 (4.95)
DeformaŃia totală de încovoiere în punctul de abscisă u0_1 se va calcula cu ajutorul relaŃiei (4.82) Ńinând cont de faptul că deformaŃia în planul vertical este 0=δV .
16
Momentul încovoietor creat de o forŃa unitară Fr1 în plan orizontal necesar pentru calculul deformaŃiilor de încovoiere în punctul de abscisă u7_1 este:
( ) ( )
( )
≤≤−⋅−
−
<≤−⋅−
−
<≤
=δ
1_101_71_101_41_10
1_41_7
1_71_41_41_41_10
1_101_7
1_41_0
dacã
dacã
dacã0
1
uxuuxuu
uu
uxuuxuu
uu
uxu
xMrF (4.96)
Momentul încovoietor creat de o forŃa unitară Ft1 în plan vertical necesar pentru calculul deformaŃiilor de încovoiere în punctul de abscisă u7_1 este:
( ) ( )
( )
≤≤−⋅−
−
<≤−⋅−
−
<≤
=δ
1_101_71_101_41_10
1_41_7
1_71_41_41_41_10
1_71_10
1_41_0
dacã)(
dacã)(
dacã0
1
uxuxuuu
uu
uxuuxuu
uu
uxu
xMtF (4.97)
Pe baza relaŃiei (4.80) putem scrie expresiile deformaŃiei de încovoiere în plan orizontal:
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]1011001
0101 22
11uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHFiHiHF
Zrr
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.98)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]2122112
1212 22
11uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHFiHiHF
Zrr
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.99)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]3233223
2323 22
11uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHFiHiHF
Zrr
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.100)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]4344335
3434 22
11uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHFiHiHF
Zrr
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.101)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]5455445
4545 22
11uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHFiHiHF
Zrr
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.102)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]6566556
5656 22
11uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHFiHiHF
Zrr
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.103)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]7677667
6767 22
11uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHFiHiHF
Zrr
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.104)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]8788777
7878 22
11uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHFiHiHF
Zrr
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.105)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]9899889
8989 22
11uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHFiHiHF
Zrr
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.106)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]10910109910
910910 22
11uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHFiHiHF
Zrr
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.107)
DeformaŃia de încovoiere (săgeata) în punctul de abscisă u7_1 în plan orizontal va fi:
( )E
TTTTTTTTTTuH
⋅
+++++++++=δ
6910897867564534231201
7 (4.108)
Pe baza relaŃiei (4.80) putem scrie expresiile deformaŃiei de încovoiere în plan vertical:
17
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]1011001
0101 22
11uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVFiViVF
ztt
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.109)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]2122112
1212 22
11uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVFiViVF
ztt
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.110)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]3233223
2323 22
11uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVFiViVF
ztt
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.111)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]4344334
3434 22
11uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVFiViVF
ztt
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.112)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]5455445
4545 22
11uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVFiViVF
ztt
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.113)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]6566555
5656 22
11uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVFiViVF
ztt
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.114)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]7677667
6767 22
11uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVFiViVF
ztt
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.115)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]8788777
7878 22
11uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVFiViVF
ztt
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.116)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]9899889
8989 22
11uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVFiViVF
ztt
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.117)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]10910109910
910910 22
11uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVFiViVF
ztt
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.118)
DeformaŃia de încovoiere (săgeata) în punctul de abscisă u7_1 în plan vertical va fi:
( )E
TTTTTTTTTTuV
⋅
+++++++++=δ
6910897867564534231201
7 (4.119)
DeformaŃia totală de încovoiere în punctul de abscisă u7_1 se va calcula cu ajutorul relaŃiei (4.82).
Momentul încovoietor creat de un moment unitar M aplicat în reazemul 1 (punctul de abscisă u4_1) al arborelui de intrare necesar pentru calculul unghiului de rotire în lagăr (în cele două plane) este:
( )
>−
−
≤≤
=φ14
1_41_10
1_10
1_410
4 dacã
dacã0
_
_
H uxuu
xu
uxu
xM (4.120)
( )
>−
−
≤≤
=φ4_1
1_41_10
1_10
1_41_0
4 uxdacã
dacã0
uu
xu
uxu
xM V (4.121)
Pe baza relaŃiei (4.82) putem scrie expresiile deformaŃiei de încovoiere (unghiul de rotire) în plan orizontal în punctul de abscisă u4_1:
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]101410041
0101 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.122)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]212421142
1212 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.123)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]323432243
2323 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.124)
18
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]434443344
3434 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.125)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]545454445
4545 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.126)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]656465545
5656 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.127)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]767476647
6767 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.128)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]878487747
7878 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.129)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]989498849
8989 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.130)
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]10910410994
10
910910 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.131)
DeformaŃia de încovoiere (unghiul de rotire) în punctul de abscisă u4_1 în planul orizontal este:
( )E
TTTTTTTTTTuHM
⋅
+++++++++=φ
6910897867564534231201
4 (4.132)
Pe baza relaŃiei (4.82) putem scrie expresiile deformaŃiei de încovoiere (unghiul de rotire) în planul vertical:
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]101410041
0101 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.133)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]212421142
1212 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.134)
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]32343224
3
2323 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.135)
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]43444334
4
3434 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.136)
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]54545444
5
4545 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.137)
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]65646554
5
5656 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.138)
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]76747664
7
6767 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.139)
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]87848774
7
7878 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.140)
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]98949884
9
8989 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.141)
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]10910410994
10
910910 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.142)
DeformaŃia de încovoiere (unghiul de rotire) în punctul de abscisă u4_1 în planul vertical este:
19
( )E
TTTTTTTTTTuVM
⋅
+++++++++=φ
6910897867564534231201
4 (4.143)
DeformaŃia de încovoiere totală (unghiul de rotire) în punctul de abscisă u4_1 se va determina pe baza relaŃiei (4.83).
Momentul încovoietor creat de un moment unitar M aplicat în reazemul 2 (punctul de abscisă u10_1) al arborelui de intrare necesar pentru calculul unghiului de rotire în lagăr (în cele două plane) este:
( )
>−
−
≤≤
=φ14
1_41_10
1_4
1_410
10 dacã
dacã0
_
_
H uxuu
xu
uxu
xM (4.144)
( )
>−
−
≤≤
=φ14
1_41_10
1_4
1_41_0
10 dacã
dacã0
_V ux
uu
xu
uxu
xM (4.145)
Pe baza relaŃiei (4.80) putem scrie expresiile deformaŃiei de încovoiere (unghiul de rotire) în planul orizontal:
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]10110100101
0101 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.146)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]21210211102
1212 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.147)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]32310322103
2323 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.148)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]43410433104
3434 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.149)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]54510544105
4545 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.150)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]65610655105
5656 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.151)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]76710766107
6767 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.152)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]87810877107
7878 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.153)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]98910988109
8989 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.154)
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]1091010109910
10
910910 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.155)
DeformaŃia de încovoiere (unghiul de rotire) în punctul de abscisă u10_1 în planul orizontal este:
( )E
TTTTTTTTTTuH
⋅
+++++++++=φ
6910897867564534231201
10 (4.156)
Pe baza relaŃiei (4.80) putem scrie expresiile deformaŃiei de încovoiere (unghiul de rotire) în planul vertical:
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]10110100101
0101 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.157)
20
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]21210211102
1212 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.158)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]32310322103
2323 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.159)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]43410433104
3434 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.160)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]54510544105
4545 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.161)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]65610655105
5656 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.162)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]76710766107
6767 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.163)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]87810877107
7878 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.164)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]98910988109
8989 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.165)
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]1091010109910
10
910910 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.166)
DeformaŃia de încovoiere (unghiul de rotire) în punctul de abscisă u10_1 în planul vertical este:
( )E
TTTTTTTTTTuV
⋅
+++++++++=φ
6910897867564534231201
10 (4.167)
DeformaŃia totală de încovoiere (unghiul de rotire) în punctul de abscisă u10_1 se va calcula cu ajutorul relaŃiei (4.83).
Verificarea arborelui de intrare la deformaŃiile de torsiune
Verificarea arborelui la deformaŃiile de torsiune constă în stabilirea unghiului efectiv de răsucire θ şi compararea acestuia cu valoarea admisibilă. Unghiul de răsucire în cazul arborilor cu diametru variabil în trepte se determină cu relaŃia:
∑=
⋅=θ
n
i ip
ii
I
uT
G 1
1 (4.168)
unde: Ti – momentul de torsiune care solicită arborele, [Nmm]; u, ui – lungimea arborelui respectiv lungimea tronsonului i al acestuia, [mm]; Ip, Ip(x)– momentul de inerŃie polar, respectiv momentul de inerŃie polar al tronsonului
în secŃiunea x, [mm4]; G – modulul de elasticitate transversal al materialului arborelui, [MPa].
Verificarea rulmenŃilor radiali-axiali cu role conice
ForŃa radială corespunzătoare rulmentului 1 respectiv 2, [N]:
21_1
21_11_ VHFrI += (4.169)
21_2
21_21_ VHFrII += (4.170)
ForŃa axială proprie din rulmentul 1 respectiv rulmentul 2, [N]:
Y
FF
rI
a
1_'1_1 5.0 ⋅= (4.171)
21
Y
FF
rII
a
1_'1_2 5.0 ⋅−= (4.172)
unde: Y – factorul forŃei axiale.
ForŃa rezultantă din arbore, [N]: '
1_21_1'
1_11_ aaaarb FFFF +−= (4.173)
ForŃa axială totală corespunzătoare rulmentului 1 respectiv rulmentului 2, [N]:
≥
<+−=
0Fdacã
0Fdacã
arb_1'
1_1
arb_1'
1_11_1_
a
aarb
aIF
FFF (4.174)
≥−
<−=
0Fdacã
0Fdacã
arb_1'
1_21_
arb_1'
1_21_
aarb
a
aIIFF
FF (4.175)
Sarcina dinamică echivalentă corespunzătoare rulmentului 1 respectiv rulmentului 2, [N]:
≥⋅+⋅
≤
=
eF
FFYF
eF
FF
P
rI
aI
aIrI
rI
aI
rI
e
1_
1_1_1_
1_
1_1_
1_1
dacã4.0
dacã
(4.176)
≥⋅+⋅
≤
=
eF
FFYF
eF
FF
P
rII
aII
aIIrII
rII
aII
rII
e
1_
1_1_1_
1_
1_1_
1_2
dacã4.0
dacã
(4.177)
Sarcina dinamică echivalentă corectată, [N]: ( )1_21_11_ ,max eeec PPfP ⋅= (4.178)
unde: f – coeficient de corecŃie.
Durabilitatea efectivă, [h]:
p
ec
hP
LL
⋅=
1_
6
1_
10 (4.179)
unde: p – exponent care are valoarea 3 pentru rulmenŃii cu bile şi 10/3 pentru rulmenŃii
cu role.
Verificarea penei de pe capătul de arbore
Tensiunea de strivire, [MPa]:
1_1_1_
11_
4
capcapca
sdlh
T
⋅⋅
⋅=σ (4.180)
Tensiunea de forfecare, [MPa]:
1_1_1_
11_
2
capcapca
fdlb
T
⋅⋅
⋅=τ (4.181)
Calculul masei (volumului) arborelui de intrare
Masa arborelui de intrare, [kg]: rulmatarbarb mVM ⋅+ρ⋅= 21_1_ (4.182)
unde: Varb_1 – volumul arborelui de intrare, [mm3];
22
ρmat – densitatea materialului arborelui, [kg/mm3]; mrul – masa unui rulment radial-axial cu role conice, [kg].
Volumul arborelui de intrare, [mm3]:
11_1_1_1_1_ zltrecaarb VVVVVV ++++= (4.183)
unde: Vca_1 – volumul capătului arborelui de intrare, [mm3]; Ve_1 – volumul tronsonului pe care se realizează etanşarea, [mm3]; Vtr_1 – volumul tronsonului pe care se montează rulmentul, [mm3]; Vl_1 – volumul tronsoanelor care asigură rezemarea rulmenŃilor, [mm3];
1zV – volumul pinionului, [mm3].
Volumul capătului de arbore, [mm3]: 1_1_1_ pdcapcaca VVV += (4.184)
unde: Vpca_1 – volumul capătului arborelui de intrare, [mm3]; Vpdca_1 – volumul penei situate în exteriorul canalului de pană din tronsonul capătului
de arbore, [mm3].
4
1_2
1_1_
caca
pca
ldV
⋅⋅π= (4.185)
( ) ( )1_11_
21_
1_1_1_1_ 4 capca
pca
pcapcapcapdca thb
bblV −⋅
⋅π+⋅−= (4.186)
4
1_2
1_11_
em
e
ldV
⋅⋅π= (4.187)
4
1_2
1_1_
rr
tr
BdV
⋅⋅π= (4.188)
( )
41_81_91_51_6
21min_
1_
uuuudV
b
liber
−+−⋅⋅π= (4.189)
11
21
1 411b
bdzAV
f
zz ⋅
⋅⋅π+⋅= (4.190)
unde:
1zA – aria dintelui suprafeŃei frontale a pinionului, [mm2];
z1 – numărul de dinŃi ai pinionului; df1 – diametrul de picior al pinionului, [mm]; b1 – lăŃimea pinionului, [mm].
4.1.3.2.4.1.3.2.4.1.3.2.4.1.3.2. Arborele de ieşireArborele de ieşireArborele de ieşireArborele de ieşire
Schema arborelui de ieşire este prezentată în Figura 4.16.
u10_2
u 7_2
u 8_2
u 6_2u 5_2u 3_2
u 2_2u 0_2 u 4_2u 1_2
u 9_2 u 12_2u11_2
Figura 4.16 Arborele de ieşire
23
Verificarea arborelui de ieşire la solicitări compuse
Schema de încărcare a arborelui de ieşire este prezentată în Figura 4.17.
u 0_2
u 8_2u 3_2
H1_2 H2_2M3_2
u 0_2
u 8_2u 3_2
F t2
V1_2 V2_2u 3_2
u 7_2
u10_2
[H]
[V]
F a2F r2u12_2
u12_2
Figura 3.17 Schema de încărcare a arborelui de ieşire
ReacŃiunile în plan orizontal, [N]:
2_8
2_32_32_822_1
)(
u
MuuFH
r −−⋅= (4.191)
2_8
2_32_322_2
u
MuFH
r +⋅= (4.192)
ReacŃiunile în plan vertical, [N]:
2_8
2_32_822_1
)(
u
uuFV
t −⋅−= (4.193)
2_8
2_322_2
u
uFV
t ⋅−= (4.194)
lpr_2
ld_2
B r_2
Tr_2
a_2 lpca_2
lca_2le_2
lb_2
Figura 4.18
Lungimile tronsoanelor arborelui de ieşire se determină pe baza notaŃiilor din Figura 4.16 şi Figura 4.18, cu ajutorul relaŃiilor: 02_0 =u (4.195)
22_2_2_2_1 ++−= dr laTu (4.196)
2
22_2_1_22_2
−−+=
prb lluu (4.197)
22
2_1_22_3 −+=
bluu (4.198)
2_2_22_4 prluu += (4.199)
24
22_1_22_5 −+= bluu (4.200)
2_2_52_6 uluu −= (4.201)
2
2_2_2_32_7
b
d
lluu ++= (4.202)
2_2_2_72_8 aTuu r −+= (4.203)
2_2_72_9 rBuu += (4.204)
2_2_92_10 eluu += (4.205)
2
2_2_2_102_11
pcaca lluu
−+= (4.206)
2
2_2_102_12
caluu += (4.207)
unde: lu_2 – lungimea umărului de sprijin al roŃii dinŃate, [mm]; lca_2 – lungimea capătului arborelui de ieşire, [mm]; lpca_2 – lungimea penei corespunzătoare capătului arborelui de ieşire, [mm]; lpr_2 – lungimea penei utilizată pentru montarea roŃii dinŃate, [mm]; le_2 – lungimea tronsonului de etanşare, [mm]; Tr_2 – lăŃimea rulmentului radial-axial cu role conice, [mm]; Br_2 – lăŃimea inelului interior al rulmentului radial-axial cu role conice, [mm]; a_2 – centrul de presiune al rulmentului radial-axial cu role conice, [mm].
Momentul încovoietor în plan orizontal în secŃiunea de abscisă x este:
( ) ( )
≥
<≤+−⋅−⋅
<≤⋅
=
2_8
2_8232_32_322_1
2_3202_1
2_
dacã0
dacã
dacã
ux
uxuMuxFxH
uxuxH
xM _r
_
iH (4.208)
Momentul încovoietor în plan vertical în secŃiunea de abscisă x este:
( ) ( )
≥
<≤−⋅+⋅
<≤⋅
=
2_8
2_8232_322_1
2_3202_1
2_
dacã0
dacã
dacã
ux
uxuuxFxV
uxuxV
xM _t
_
iV (4.209)
Momentul încovoietor rezultant în secŃiunea x este:
( ) ( ) ( )xMxMxM iViHi
22_
22_2_ += (4.210)
Modulul de rezistenŃă axial în secŃiunea de abscisă x:
25
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
≤<−⋅⋅
−⋅π
≤<⋅π
≤<⋅π
≤<⋅π
≤<⋅π
<<−⋅⋅
−⋅π
≤<∨≤≤⋅π
≤<∨≤≤⋅π
=
2_12211
22_12_2_12_
32_
2_11210
32_
2_1029
32_1
2_726
32min_
2_625
32_
2_422
22_12_2_12_
32_
2_5242_221
32_
2_9272_120
32_
2_
dacã3232
dacã32
dacã32
dacã32
dacã32
dacã3232
dacã32
dacã32
uxutdtbd
uxud
uxud
uxud
uxud
uxutdtbd
uxuuxud
uxuuxud
xW
_
cacacapcaca
_
ca
_
m
_
b
_
u
_
rarbrprarb
__
arb
__
r
z
(4.211)
unde: dr_2 – diametrul interior al rulmentului radial-axial cu role conice, [mm]; darb_2 – diametrul arborelui pe care se montează roata dinŃată, [mm]; bpr_2 – lăŃimea penei utilizată pentru montarea roŃii dinŃate, [mm]; t1r_2 – adâncimea canalului de pană din tronsonul arborelui de ieşire pe care se
montează roata dinŃată, [mm]; du_2 – diametrul de sprijin al roŃii dinŃate, [mm]; d1m_2 – diametrul manşetei de rotaŃie cu buză de etanşare, [mm]; dbmin_2 – diametrul de sprijin al rulmentului, [mm]; dca_2 – diametrul capătului arborelui de ieşire, [mm]; bpca_2 – lăŃimea penei corespunzătoare capătului arborelui de ieşire, [mm]; t1ca_2 – adâncimea canalului de pană din capătul de arbore, [mm].
Momentul de inerŃie axial în secŃiunea x este:
26
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
≤<−⋅⋅
−⋅π
≤<⋅π
≤<⋅π
≤<⋅π
≤<⋅π
≤<−⋅⋅
−⋅π
≤≤∨≤<⋅π
≤<∨≤≤⋅π
=
2_12211
22_12_2_12_
42_
2_11210
42_
2_1029
42_1
2_726
42min_
2_625
42
2_422
22_12_2_12_
42_
2_5242_221
42_
2_92_72_120
42_
2_
dacã464
dacã64
dacã64
dacã64
dacã64
dacã464
dacã64
dacã64
uxutdtbd
uxud
uxud
uxud
uxud
uxutdtbd
uxuuxud
uxuuxud
xI
_
cacacapcaca
_
ca
_
m
_
b
_
u
_
rarbrprarb
__
arb
_
r
z
(4.212) Modulul de rezistenŃă polar în secŃiunea x:
( )
( )
( )
( ) ( )
≤<∨≤≤⋅
≤<⋅
−⋅⋅−
⋅π
≤<⋅
−⋅⋅−
⋅π
=
2_112_42_22_02_
2_122111_
22_12_2_12_
22_
2_4221_
22_12_2_12_
22_
2_
dacã)(2
dacã216
dacã216
uxuuxuxW
uxud
tdtbd
uxud
tdtbd
xW
z
_
ca
cacacapcaca
_
ca
rarbrprarb
p (4.213)
Momentul de inerŃie polar în secŃiunea x: ( ) ( )xIxI zp 2_2_ 2 ⋅= (4.214)
Tensiunea de încovoiere în secŃiunea x:
( )( )( )xW
xMx
z
i
i
2_
2_2_ =σ (4.215)
Tensiunea de torsiune în secŃiunea x:
( )( )
( )xW
xTx
p
t
2_
22_ =τ (4.216)
Tensiunea echivalentă în secŃiunea x:
( ) ( )( )22_
22_2_ 4)( xxx tie τ⋅α⋅+σ=σ (4.217)
Verificarea arborelui de ieşire la oboseală
SecŃiunile arborelui de ieşire în care se realizează verificarea la oboseală sunt prezentate în Figura 4.19.
27
1 3 5 6 7 9 10 12
Figura 4.19 SecŃiunile în care se realizează verificarea la oboseală a arborelui de ieşire
Pentru fiecare dintre aceste secŃiuni parametrii funcŃiei CSO sunt prezentaŃi mai jos: ( ) ( ) ( )( )2_12_2_12_2min_122_2min_2_2_12_12_ ,,,,,6.1,0,,,,,1Param
2_12_1uurddCSOCSO tirbruu τσψτσσ= τ−− (4.218)
( ) ( ) ( )( )2_32_2_32_2_2_2_12_12_ ,,0,,0,6.1,0,,,,,1Param2_32_3
uudCSOCSO tiarbruu τσψτσσ= τ−− (4.219)
( ) ( ) ( )( )2_52_2_52_2_2_2_2_12_12_ ,,1,,,6.1,0,,,,,1Param2_52_5
uuddCSOCSO tiarburuu τσψτσσ= τ−− (4.220)
( ) ( ) ( )( )2_62_2_62_2min_2_2_2_12_12_ ,,5.1,,,2.3,0,,,,,1Param2_62_6
uuddCSOCSO tiburuu τσψτσσ= τ−− (4.221)
( ) ( ) ( )( )2_72_2_72_2_2min_2_2_12_12_ ,,5.1,,,2.3,0,,,,,1Param2_72_7
uuddCSOCSO tirbruu τσψτσσ= τ−− (4.222)
( ) ( ) ( )( )2_92_2_92_2_2min_2_2_12_12_ ,,5.1,,,2.3,0,,,,,1Param2_92_9
uuddCSOCSO tirbruu τσψτσσ= τ−− (4.223)
( ) ( ) ( )( )2_102_2_102_2_12_2_2_12_12_ ,,5.1,,,2.3,0,,,,,1Param2_102_10
uuddCSOCSO timrruu τσψτσσ= τ−− (4.224)
( ) ( ) ( )( )2_122_2_122_2_2_2_12_12_ ,,0,,0,2.3,0,,,,,1Param2_122_12
uudCSOCSO ticaruu τσψτσσ= τ−− (4.225)
Verificarea arborelui de ieşire la deformaŃiile de încovoiere
Momentul încovoietor creat de o forŃa unitară Fr2 necesar pentru calculul deformaŃiilor de încovoiere (săgeata) în punctul de abscisă u3_2 în plan orizontal este:
( )( )
≥
<≤−⋅
<≤⋅−
=δ
2_8
2_8232_8
2_82_3
2_3202_8
2_32_8
dacã0
dacã
dacã
2
ux
uxuu
xuu
uxuxu
uu
xM _
_
Fr (4.226)
Momentul încovoietor creat de forŃa unitară Ft2 în plan vertical este:
( )( )
≥
<≤−⋅
−
<≤⋅−
−
=δ
2_8
2_8232_8
2_82_3
2_3202_8
2_32_8
dacã0
dacã
dacã
2
ux
uxuu
xuu
uxuxu
uu
xM _
_
Ft (4.227)
Pe baza relaŃiei (4.80) putem scrie:
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]1011001
0101 22
22uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHFiHiHF
Zrr
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.228)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]2122112
1212 22
22uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHFiHiHF
Zrr
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.229)
28
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]3233223
2323 22
22uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHFiHiHF
Zrr
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.230)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]4344333
3434 22
22uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHFiHiHF
Zrr
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.231)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]5455445
4545 22
22uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHFiHiHF
Zrr
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.232)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]6566556
5656 22
22uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHFiHiHF
Zrr
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.233)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]7677667
6767 22
22uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHFiHiHF
Zrr
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.234)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]7788779
7878 22
22uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHFiHiHF
Zrr
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.235)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]8899889
8989 22
22uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHFiHiHF
Zrr
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.236)
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]99101099
10
910910 22
22uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHFiHiHF
Zrr
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.237)
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]101111111010
11
10111011 22
22uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHFiHiHF
Zrr
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.238)
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]111212121111
12
11121112 22
22uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHFiHiHF
Zrr
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.239)
DeformaŃia de încovoiere (săgeata) în punctul de abscisă u3_2 în planul orizontal este:
( )E
TTTTTTTTTTTTuH
⋅
+++++++++++=δ
611121011910897867564534231201
3 (4.240)
Pe baza relaŃiei (4.80) putem scrie:
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]1011001
0101 22
22uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVFiViVF
Ztt
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.241)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]2122112
1212 22
22uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVFiViVF
Ztt
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.242)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]3233223
2323 22
22uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVFiViVF
Ztt
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.243)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]4344333
3434 22
22uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVFiViVF
Ztt
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.244)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]5455445
4545 22
22uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVFiViVF
Ztt
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.245)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]6566556
5656 22
22uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVFiViVF
Ztt
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.246)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]7677667
6767 22
22uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVFiViVF
Ztt
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.247)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]7788779
7878 22
22uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVFiViVF
Ztt
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.248)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]8899889
8989 22
22uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVFiViVF
Ztt
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.249)
29
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]9910109910
910910 22
22uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVFiViVF
Ztt
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.250)
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]101111111010
11
10111011 22
22uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVFiViVF
Ztt
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.251)
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]111212121111
12
11121112 22
22uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVFiViVF
Ztt
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= δδ (4.252)
DeformaŃia de încovoiere (săgeata) în punctul de abscisă u3_2 în planul vertical este:
( )E
TTTTTTTTTTTTuV
⋅
+++++++++++=δ
611121011910897867564534231201
3 (4.253)
Cunoscând deformaŃia de încovoiere în punctul de abscisă u3_2 în planul orizontal (relaŃia (4.240)) cât şi în planul vertical (relaŃia (4.253)), se va putea determina deformaŃia totală în acest punct.
Momentul încovoietor în plan orizontal respectiv vertical creat de un moment unitar M aplicat în reazemul 1 (punctul de abscisă u0_2) al arborelui de ieşire necesar pentru calculul unghiului de rotire în lagăr este:
( )
>
≤≤−
=φ
2_8
2_8202_8
2_8
0
dacã0
dacã
ux
uxuu
xu
xM_
H (4.254)
( )
>
≤≤−
=φ
2_8
2_80_22_8
2_8
0
dacã0
udacã
ux
uxu
xu
xM V (4.255)
Pe baza relaŃiei (4.80) putem scrie expresiile deformaŃiei de încovoiere (unghiul de rotire) în planul orizontal în punctul de abscisă u0_2:
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]101010001
0101 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.256)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]212021102
1212 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.257)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]323032203
2323 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.258)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]434043303
3434 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.259)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]545054405
4545 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.260)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]656065506
5656 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.261)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]767076607
6767 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.262)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]778087709
7878 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.263)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]889098809
8989 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.264)
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]9910010990
10
910910 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.265)
30
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]10111101110100
11
10111011 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.266)
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]11121201211110
12
11121112 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.267)
DeformaŃia de încovoiere (unghiul de rotire) în punctul de abscisă u0_2 în planul orizontal este:
( )E
TTTTTTTTTTTuH
⋅
++++++++++=φ
6111210119108978675634231201
0 (4.268)
DeformaŃiei de încovoiere (unghiul de rotire) în planul vertical în punctul de abscisă u0_2 (conform relaŃiei (4.80)) este:
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]101010001
0101 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.269)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]212021102
1212 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.270)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]323032203
2323 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.271)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]434043303
3434 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.272)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]545054405
4545 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.273)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]656065506
5656 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.274)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]767076607
6767 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.275)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]778087709
7878 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.276)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]889098809
8989 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.277)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]991001099010
910910 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.278)
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]10111101110100
11
10111011 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.279)
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]11121201211110
12
11121112 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.280)
Unghiul de rotire în punctul de abscisă u0_2 în planul vertical este:
( )E
TTTTTTTTTTTuV
⋅
++++++++++=φ
6111210119108978675634231201
0 (4.281)
DeformaŃia totală de încovoiere în punctul de abscisă u0_2 se va determina cu relaŃia (4.83). Momentul încovoietor în plan orizontal creat de un moment unitar M aplicat în reazemul 2
(punctul de abscisă u8_2) al arborelui de ieşire este:
( )
>
≤≤−=φ
2_8
2_8202_88
dacã0
dacã
ux
uxuu
x
xM_
H (4.282)
31
Momentul încovoietor în plan vertical creat de un moment unitar M aplicat în reazemul 2 (punctul de abscisă u8_2) al arborelui de ieşire este:
( )
>
≤≤−=φ
2_8
2_8202_88
dacã0
dacã
ux
uxuu
x
xM_
V (4.283)
Pe baza relaŃiei (4.80) putem scrie:
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]101810081
0101 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.284)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]212821182
1212 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.285)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]323832283
2323 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.286)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]434843383
3434 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.287)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]545854485
4545 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.288)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]656865586
5656 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.289)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]767876687
6767 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.290)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]778887789
7878 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.291)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]889898889
8989 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.292)
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]9910810998
10
910910 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.293)
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]10111181110108
11
10111011 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.294)
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]11121281211118
12
11121112 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iHiHHiHiHH
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.295)
DeformaŃia de încovoiere (unghiul de rotire) în punctul de abscisă u8_2 în planul orizontal este:
( )E
TTTTTTTTTTTuH
⋅
++++++++++=φ
6111210119108978675634231201
8 (4.296)
Pe baza relaŃiei (4.80) putem scrie:
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]101810081
0101 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.297)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]212821182
1212 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.298)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]323832283
2323 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.299)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]434843383
3434 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.300)
32
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]545854485
4545 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.301)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]656865586
5656 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.302)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]767876687
6767 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.303)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]778887789
7878 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.304)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]889898889
8989 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.305)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]991081099810
910910 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.306)
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]10111181110108
11
10111011 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.307)
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]11121281211118
12
11121112 22 uMuMuMuMuMuM
uI
uuT iViVViViVV
Z
⋅+⋅++⋅⋅⋅−
= φφ (4.308)
DeformaŃia de încovoiere (unghiul de rotire) în punctul de abscisă u8_2 în planul vertical este:
( )E
TTTTTTTTTTTuV
⋅
++++++++++=φ
6111210119108978675634231201
8 (4.309)
DeformaŃia totală de încovoiere în punctul de abscisă u8_2 se va determina cu relaŃia (4.83).
Verificarea rulmenŃilor radiali-axiali cu role conice
ForŃa radială totală corespunzătoare rulmentului 1 respectiv 2, [N] este:
22_1
22_12_ VHFrI += (4.310)
22_2
22_22_ VHFrII += (4.311)
Y
FF
rI
a
2_'2_1 5.0 ⋅= (4.312)
Y
FF
rII
a
2_'2_2 5.0 ⋅−= (4.313)
ForŃa rezultantă din arbore, [N] este: '
2_22_1'
2_12_ aaaarb FFFF ++= (4.314)
ForŃa axială totală corespunzătoare rulmentului 1 respectiv rulmentului 2, [N] este:
≥
<+−=
0dacã
0dacã
2'
2_1
2'
2_12_2_
arb_a
arb_aarb
aIFF
FFFF (4.315)
≥−
<−=
0dacã
0dacã
2'
2_22_
2'
2_22_
arb_aarb
arb_a
aIIFFF
FFF (4.316)
Sarcina dinamică echivalentă corespunzătoare rulmentului 1 respectiv rulmentului 2, [N] este:
33
≥⋅+⋅
≤
=
eF
FFYF
eF
FF
P
rI
aI
aIrI
rI
aI
rI
e
2_
2_2_2_
2_
2_2_
2_1
dacã4.0
dacã
(4.317)
≥⋅+⋅
≤
=
eF
FFYF
eF
FF
P
rII
aII
aIIrII
rII
aII
rII
e
2_
2_2_2_
2_
2_2_
2_2
dacã4.0
dacã
(4.318)
Sarcina dinamică echivalentă corectată, [N]: ( )2_22_12_ ,max eeec PPfP ⋅= (4.319)
Durabilitatea efectivă, [h]:
p
ec
hP
LL
⋅=
2_
6
2_
10 (4.320)
Calculul masei (volumului) arborelui de ieşire
Masa arborelui de ieşire poate fi exprimată prin relaŃia: rulzmatarbarb mVVM ⋅++ρ⋅= 2
22_2_ (4.321)
unde: Varb_2 – volumul arborelui de ieşire, [mm3];
2zV – volumul roŃii dinŃate montate pe arborele de ieşire, [mm3];
mrul – masa unui rulment radial-axial cu role conice, [kg]. 2_2_2_2_2_2_2_ caelutrdtrarb VVVVVVV +++++= (4.322)
unde: Vtr_2 – volumul tronsonului pe care se montează rulmentul, [mm3]; Vtrd_2 – volumul tronsonului pe care se montează roata dinŃată, [mm3]; Vu_2 – volumul tronsonului care asigură rezemarea roŃii dinŃate, [mm3]; Vl_2 – volumul tronsonului care asigură rezemarea rulmentului (din partea dreaptă),
[mm3]; Ve_2 – volumul tronsonului pe care se realizează etanşarea, [mm3]; Vca_2 – volumul capătului arborelui de ieşire, [mm3].
( )
4
22 2_2_2
2_2_
++⋅⋅⋅π=
drr
tr
lBdV (4.323)
2_2_2_ pmrdmrdtrd VVV += (4.324)
unde: Vmrd_2 – volumul tronsonului de montare al roŃii dinŃate, [mm3]; Vpmrd_2 – volumul porŃiunii penei situate în exteriorul canalului de pană, [mm3].
4
)2( 2_2
2_2_
−⋅⋅π=
barb
mrd
ldV (4.325)
( )2_12_
22_
2_2_2_2_ 4)( rpr
pr
prprprpmrd thb
bblV −⋅
⋅π+⋅−= (4.326)
222_2_ 22bzAVVV zdbz ⋅⋅++= (4.327)
unde: Vb_2 – volumul butucului roŃii dinŃate, [mm3]; Vd_2 – volumul discului roŃii dinŃate, [mm3];
34
2zA – aria dintelui suprafeŃei frontale a roŃii dinŃate, [mm2];
z2 – numărul de dinŃi ai roŃii dinŃate; b2 – lăŃimea roŃii dinŃate, [mm].
2_2_22_
22_
22_
2_ 44 brpr
arbb
b ltbdd
V ⋅
⋅−
⋅π−
⋅π= (4.328)
unde: db_2 – diametrul butucului roŃii dinŃate, [mm]; t2r_2 – adâncimea canalului penei din butucul roŃii dinŃate, [mm].
( )22_
22
22_ 4 bfd dd
bV −⋅
⋅π= (4.329)
4
2_2
2_2_
uu
u
ldV
⋅⋅π= (4.330)
unde: du_2 – diametrul tronsonului care realizează rezemarea roŃii dinŃate, [mm]; lu_2 – lăŃimea tronsonului care realizează rezemarea roŃii dinŃate, [mm].
4
)( 2_62_72
2min_2_
uudV
b
l
−⋅⋅π= (4.331)
4
2_2
2_12_
em
e
ldV
⋅⋅π= (4.332)
Lungimea tronsonului pe care se realizează etanşarea se va calcula ca şi în cazul arborelui de intrare utilizând notaŃiile aferente arborelui de ieşire. 2_2_2_ pdcapcaca VVV += (4.333)
unde: Vpca_2 – volumul capătului arborelui de ieşire, [mm3]; Vpdca_2 – volumul penei situate în exteriorul canalului de pană din tronsonul capătului
arborelui de ieşire, [mm3].
4
2_2
2_2_
caca
pca
ldV
⋅⋅π= (4.334)
( )2_12_
22_
2_2_2_2_ 4)( capca
pca
pcapcapcapdca thb
bblV −⋅
⋅π+⋅−= (4.335)
4.1.4.4.1.4.4.1.4.4.1.4. FuncŃia obiectivFuncŃia obiectivFuncŃia obiectivFuncŃia obiectiv
S-a considerat ca funcŃie obiectiv masa (volumul) subansamblului (alcătuit din arborele de intrare, arborele de ieşire, rulmenŃii radiali-axiali cu role conice utilizaŃi pentru montarea acestora şi manşetele de rotaŃie cu buză de etanşare) reductorului cu o treaptă. Se doreşte minimizarea acestei funcŃii. Obj. 1. Masa subansamblului este: min2_1_ →+= arbarbsubansmblu MMM (4.336)
4.1.5.4.1.5.4.1.5.4.1.5. RestricŃiile proRestricŃiile proRestricŃiile proRestricŃiile problemei de optimizareblemei de optimizareblemei de optimizareblemei de optimizare
R1. Asigurarea existenŃei umărului roŃii de curea şi a posibilităŃilor de teşire a zonei de etanşare.
35
115.11_1
1_1 −⋅=
m
ca
d
dg (4.337)
R2. Diametrul de montare al rulmentului-radial axial cu role conice trebuie să fie mai mare sau egal cu diametrul demontare al manşetei.
11_
1_12 −=
r
m
d
dg (4.338)
R3. Asigurarea posibilităŃii de sprijin al inelului exterior al rulmentului radial-axial cu role conice şi a montării manşetei de rotaŃie cu buză de etanşare.
11
1min_
1_23 −
+=
a
m
D
dg (4.339)
unde: d2m_1 – diametrul exterior al manşetei, [mm]; Damax_1 – diametrul maxim de sprijin corespunzător inelului exterior, [mm].
d 1m
_1
Da
min
_1
Dr_
1
db
min
_1
d2m
_1
dca_
1
Figura 3.20
R4. Asigurarea posibilităŃilor de prelucrare a pinionului.
11
1min_4 −=
f
b
d
dg (4.340)
R5. Verificarea la solicitări compuse a arborelui de intrare.
1)(1_
5 −σ
σ=
aiIII
e xg (4.341)
R6. RezistenŃa la oboseală a capătului de arbore.
( )
1Param
1_0
6 −=u
a
CSO
cg (4.342)
R7. RezistenŃa la oboseala a secŃiunii de trecere de la diametrul capătului de arbore la diametrul de etanşare.
( )
1Param
1_2
7 −=u
a
CSO
cg (4.343)
R8. RezistenŃa la oboseală a secŃiunii de trecere de la diametrul de etanşare la diametrul pe care se realizează montarea rulmentului.
( )
1Param
1_3
8 −=u
a
CSO
cg (4.344)
R9. RezistenŃa la oboseală a secŃiunii de trecere de la diametrul pe care se realizează montarea rulmentului la diametrul de sprijin al acestuia.
36
( )
1Param
1_5
9 −=u
a
CSO
cg (4.345)
R10. RezistenŃa la oboseală a secŃiunii de trecere de la diametrul de sprijin al rulmentului la diametrul cercului de picior al pinionului.
( )
1Param
1_6
10 −=u
a
CSO
cg (4.346)
R11. RezistenŃa la oboseala a secŃiunii de trecere de la diametrul cercului de picior al pinionului la diametrul de sprijin al rulmentului.
( )
1Param
1_8
11 −=u
a
CSO
cg (4.347)
R12. RezistenŃa la oboseala a secŃiunii de trecere de la diametrul de sprijin al rulmentului la diametrul de montare al acestuia.
( )
1Param
1_9
12 −=u
a
CSO
cg (4.348)
R13. Verificarea arborelui de intrare la deformaŃiile de încovoiere (săgeata) în punctul de abscisă u0_1.
11_0
13 −δ
δ=
a
ug (4.349)
R14. Verificarea arborelui de intrare la deformaŃiile de încovoiere (săgeata) în punctul de abscisă u7_1.
11_7
14 −δ
δ=
a
ug (4.350)
R15. Verificarea arborelui de intrare la deformaŃiile de încovoiere (unghiul de rotire în lagăr) în punctul de abscisă u4_1.
11_4
15 −φ
φ=
a
ug (4.351)
R16. Verificarea arborelui de intrare la deformaŃiile de încovoiere (unghiul de rotire în lagăr) în punctul de abscisă u10_1.
11_10
16 −φ
φ=
a
ug (4.352)
R17. Verificarea arborelui de intrare la deformaŃiile de torsiune.
11_17 −
θ
θ=
a
g (4.353)
R18. Verificarea rulmenŃilor radiali-axiali cu role conice de pe arborele de intrare.
11_
_18 −=
h
nech
L
Lg (4.354)
R19. Asigurarea existenŃei umărului roŃii de curea şi a posibilităŃilor de teşire a zonei de etanşare.
11.12_1
2_19 −⋅=
m
ca
d
dg (4.355)
R20. Diametrul de montare al rulmentului-radial axial cu role conice trebuie să fie mai mare sau egal cu diametrul demontare al manşetei.
12_
2_120 −=
r
m
d
dg (4.356)
37
R21. Asigurarea posibilităŃii de sprijin al inelului exterior al rulmentului radial-axial cu role conice şi a montării manşetei de rotaŃie cu buză de etanşare.
11
2min_
2_221 −
+=
a
m
D
dg (4.357)
R22. Asigurarea posibilităŃilor de prelucrare a roŃii dinŃate.
11
2
2_22 −
+=
f
b
d
dg (4.358)
R23. Verificarea la solicitări compuse a arborelui de ieşire.
1)(2_
23 −σ
σ=
aiIII
e xg (4.359)
R24. RezistenŃa la oboseală a secŃiunii de trecere de la diametrul de montare al rulmentului la diametrul de montare al roŃii dinŃate.
( )
1Param
2_1
24 −=u
a
CSO
cg (4.360)
R25. RezistenŃa la oboseală în secŃiunea canalului de pană de pe tronsonul pe care se montează roata dinŃată.
( )
1Param
2_3
25 −=u
a
CSO
cg (4.361)
R26. RezistenŃa la oboseală a secŃiunii de trecere de la diametrul de montare al roŃii dinŃate la diametrul de sprijin al acesteia.
( )
1Param
2_5
26 −=u
a
CSO
cg (4.362)
R27. RezistenŃa la oboseală a secŃiunii de trecere de la diametrul de rezemare al roŃii dinŃate la diametrul de sprijin al rulmentului.
( )
1Param
2_6
27 −=u
a
CSO
cg (4.363)
R28. RezistenŃa la oboseală a secŃiunii de trecere de la diametrul de sprijin al rulmentului la diametrul de montare al acestuia.
( )
1Param
2_7
28 −=u
a
CSO
cg (4.364)
R29. RezistenŃa la oboseală a secŃiunii de trecere de la diametrul de montare al rulmentului la diametrul pe care se montează manşeta de rotaŃie cu buză de etanşare.
( )
1Param
2_9
29 −=u
a
CSO
cg (4.365)
R30. RezistenŃa la oboseală a secŃiunii de trecere de la diametrul pe care se montează manşeta de rotaŃie cu buză de etanşare la diametrul capătului de arbore.
( )
1Param
2_10
30 −=u
a
CSO
cg (4.366)
R31. RezistenŃa la oboseală a capătului de arbore.
( )
1Param
2_12
31 −=u
a
CSO
cg (4.367)
R32. Verificarea arborelui de ieşire la deformaŃiile de încovoiere (săgeata) în punctul de abscisă u3_2.
38
12_3
32 −δ
δ=
a
ug (4.368)
R33. Verificarea arborelui de ieşire la deformaŃiile de încovoiere (unghiul de rotire în lagăr) în punctul de abscisă u0_2.
12_0
33 −φ
φ=
a
ug (4.369)
R.34 Verificarea arborelui de ieşire la deformaŃiile de încovoiere (unghiul de rotire în lagăr) în punctul de abscisă u8_2
12_8
34 −φ
φ=
a
ug (4.370)
R35. Verificarea arborelui de ieşire la deformaŃiile de torsiune.
12_35 −
θ
θ=
a
g (4.371)
R36. Verificarea rulmenŃilor radiali-axiali cu role conice de pe arborele de ieşire.
12_
_36 −=
h
nech
L
Lg (4.372)
R37. În planul de separaŃie distanŃa dintre axa rulmenŃilor trebuie să fie cel puŃin 15 mm.
12
30
2_1_1_37 −
−−⋅=
rrw DDag (4.373)
R38-39. Verificarea penei de pe capătul de arborelui de intrare.
11_38 −
σ
σ=
sa
sg (4.374)
11_39 −
τ
τ=
fa
fg (4.375)
R40-41. Verificarea penei utilizată pentru montarea roŃii dinŃate.
12_40 −
σ
σ=
sa
sg (4.376)
12_41 −
τ
τ=
fa
fg (4.377)
R42-43. Verificarea penei de pe capătul arborelui de ieşire.
12_42 −
σ
σ=
sa
sg (4.378)
12_43 −
τ
τ=
fa
fg (4.379)
4.1.6.4.1.6.4.1.6.4.1.6. Rezultatele problemei de optimizareRezultatele problemei de optimizareRezultatele problemei de optimizareRezultatele problemei de optimizare
În rezolvarea problemei de proiectare optimală s-a utilizat soft-ul Cambrian v.3.2. În Tabelul 4.1 s-a realizat o comparaŃie între valorile genelor corespunzătoare soluŃiei subansamblului cu masă (volum) minimă şi valorile clasice.
39
Tabelul 3.1 ComparaŃie între valorile genelor celor două variante (clasică – optimală)
Valori Nr. Gene SoluŃia clasică SoluŃia optimă
Dimensiunile capătului arborelui de intrare, dca_1 × lca_1, [mm] 1.
24 × 36 20 × 36 Manşeta de rotaŃie cu buză de etanşare corespunzătoare arborelui de intrare
2. CR 28 × 47 × 7 HMS4 R CR 24 × 35 × 7 HMS5 RG d1m_1, [mm] 28 24 d2m_1, [mm] 47 35 bm_1, [mm] 7 7
Rulment radial-axial cu role conice corespunzător arborelui de intrare 3.
32006 X/Q 32005 X/Q dr_1, [mm] 30 25 Dr_1, [mm] 55 47 a_1, [mm] 18 11 Tr_1, [mm] 17 15 Cr_1, [mm] 13 11.5
mrul, [kg] 0.17 0.11 Rulment radial-axial cu role conice corespunzător arborelui de ieşire
4. 32009 X/Q 32008 X/Q dr_2, [mm] 45 40 Dr_2, [mm] 75 68 a_2, [mm] 16 15 Tr_2, [mm] 20 19 Cr_2, [mm] 15.5 14.5
mrul, [kg] 0.34 0.27 Manşeta de rotaŃie cu buză de etanşare corespunzătoare arborelui de ieşire
5. CR 42 × 55 × 7 HMS5 RG CR 40 × 50 × 8 HMS5 RG d1m_2, , [mm] 42 40 d2m_2, [mm] 55 50 bm_2, [mm] 7 8
Dimensiunile capătului arborelui de ieşire 6.
dca_2 × lca_2, [mm] 40 × 82 35 × 56
4.1.7.4.1.7.4.1.7.4.1.7. Concluzii Concluzii Concluzii Concluzii
In Figura 4.21 este prezentată varianta optimală a subansamblului. Masa subansamblului optimal a scăzut de la 9.26 kg la 8.10 kg ceea ce înseamnă o reducere a masei reductorului cu 12.5%. Posibilitatea reducerii masei este direct proporŃională cu valoarea distanŃei dintre axe, motiv pentru care diminuarea masei cu 12.5% este remarcabilă (în condiŃiile în care distanŃa axială este de 80 mm).
40
27
8
296
Figura 4.21 Varianta optimală a reductorului cu o treaptă
top related