5 flujo (2)
Post on 11-Jul-2015
86 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Model ado de Si s t emas de Pot enci a
Flujo de carga en Sistemas de Potencia.
CONTENI DO:
• Concept os básicos.
• Plant eo del pr oblema del f luj o de car ga.
• Solución del f luj o de car ga.
• Mét odo de Newt on Raphson par a la r esolución del f luj o de car ga.
• Mét odo Desacoplado r ápido.
•Mét odo de Gauss-Seidel.
PROPÓSI TO DEL FLUJO DE CARGA:
Determinación de voltajes, intensidades y
potencias activas y reactivas en distintos puntos
de una red eléctrica.
HI PÓTESI S DE TRABAJO:
Sistemas en régimen, equilibrados, sinusoidales,
sin anomalías.
I mport anci a de l os f l uj os de carga
• Per mit e det er minar los f luj os de pot encia act iva y r eact iva en una r ed eléct r ica.
• Per mit e det er minar los volt aj es en las bar r as de una r ed eléct r ica.
• Per mit e calcular las pér didas en una r ed eléct r ica.
• Per mit e est udiar las alt er nat ivas par a la planif icación de nuevos sist emas o ampliación de los ya exist ent es.
• Per mit e evaluar los ef ect os de pér didas t empor ales de gener ación o de cir cuit os de t r ansmisión.
I mport anci a de l os f l uj os de carga
• Per mit e evaluar los ef ect os de r econf igur ar los cir cuit os de un SEP (por ej emplo ant e la pér dida de una línea de t r ansmisión).
• Per mit e evaluar las mej or as que se pr oducen ant e el cambio en la sección de los conduct or es de un SEP.
Conceptos básicosProbl ema del f l uj o de carga
Ej emplo: Pr oblema de f luj o de car ga par a una r ed eléct r ica de dos bar r as:
Vs∠0º
Vs -dadoj X
Vr ∠θ ?
G Ps, Qs = ?
Pr, Qr - dado
(car ga)
Conceptos básicosPot enci a compl ej a
Pot encia complej a const ant eent r egada a la car ga.
Car ga P & Qconst ant es.
ϕ
Q = P tan ϕ
V
II
VIVS ˆ=
ϕϕ sencos jVIVIjQPS +=+=
Conceptos básicosProbl ema de f l uj o de carga
Relación no lineal!r
rrrs
rs
V
jQPjXVV
IVS
IjXVV
ˆ
ˆ
−=−
=
=−
Vs ∠0
jX
Vr ∠θ ?
G Ps, Qs = ?
Pr, Qr - dado
(car ga)I
Conceptos básicosProbl ema de f l uj o de carga
Solución Analít ica: (posible solo par a casos muy simples)
r
rrrs V
jQPjXVV
−⋅=−
)(ˆ)( rrrrs jQPjXVVV −⋅=⋅−
rrrrs XQjXPVjVV +=−− 2)sen(cos θθ
rrs
rrrs
XPVV
XQVVV
−==−
θθ
sen
cos 2
Conceptos básicosProbl ema de f l uj o de carga
rrs
rrrs
XPVV
XQVVV
−==−
θθ
sen
cos 2
2222222 )()()sen(cos rrrrs XPXQVVV −++=+ θθ
rrrrsrr VQPXVVXQV ⇒=++⋅−+ 0)()2( 222224
θθ ⇒−= senX
VVP rsr
Conceptos básicosProbl ema de f l uj o de carga
0)()2( 222224 =++⋅−+ rrrsrr QPXVVXQV θsenX
VVP rsr −=
Dat os:
008779.0
9112.0
0008.092.0
0008.092.0
)(1.0
)(4.08.0
2
1
22
24
==
⇓
=+⋅−⇒=
=+⋅−
=+=+⇒
H
H
HHVH
VV
puX
pujjQP
r
rr
rr
Posibles soluciones
Vr θ comentario
+0.9545 -4.807 buena
+0.0937 -58.93 mala
-0.9545 +4.807 mala
-0.0937 +58.93 mala
Número de soluciones posibles:
!22
Un procedimiento iterativo (Gauss Seidel)
r
rrrs
V
jQPjXVV
ˆ−⋅=−
El algor it mo:
1. Fij ar el índice de it er ación i en 0.
2. Pr obar con un valor inicial par a Vr (i) (módulo y f ase - usualment e V=1 θ=0)
3.Calcular
4. Calcular nuevo
5. Calcular
6. Si el cr it er io de conver gencia no es sat isf echo, f ij ar i=i+1 e ir a 3.
)(ˆ iV
jQPjXVV
r
rrrs
−⋅=−
)(ˆ 1+iVr
ε≤−+ )()1( iViV rr
Cálculo de las potencias de entrada
Ps, Qs = ?
Vs ∠0
jX
Vr ∠θ
G Ps, Qs = ?
Pr, Qr - dado
(car ga)I
( )4878080
8074807495450
4080
..
).sen().cos(.
..
ˆˆ
jjQP
j
jjQP
V
jQPVIVjQP
ss
ss
r
rrssss
+=+−+−
+=+
+==+
Transporte de potencia activa(Qr=0)
Pr
Vs ∠0 jX
Vr ∠θ
Ps,Qs
Pr Vr θ Ps Qs
0.5 0.999 -2.87 0.5 0.025
1 0.995 -5.77 1 0.1
1.6 0.987 -9.33 1.6 0.26
Qr
Vs ∠0 jX
Vr ∠θ
Ps,Qs
Transporte de potencia reactiva(Pr=0)
Qr Vr θ Ps Qs
0.5 0.947 0 0 0.53
1 0.887 0 0 1.127
1.6 0.8 0 0 2
Control de potencia activa y reactiva
rrs
rrrs
XPVV
XQVVV
−==−
θθ
sen
cos 2
)(
sen
rsrs
r
rsr
X
VVP
X
VVP
θθ
θ
−≈
−=
)(
)cos(
rsr
r
rsr
r
VVX
VQ
VVX
VQ
−≈
−= θ
La pot encia act iva depende en f or ma pr opor cional de la dif er encia ent r elos ángulos de f ase de los volt aj es de las bar r as.
La pot encia r eact iva depende en f or mapr opor cional de la dif er encia ent r e losmódulos de los volt aj es de las bar r as.
Ejercicio
Realizar el cálculo de f luj o de car ga par a el sist ema de dos bar r as:
Vs ∠0 R+jX
Vr ∠θ ?
Ps,Qs=? Pr,Qr dados
Pr=0.5pu, Qr=0.3pu, R=0.01pu, X=0.1 pu
(Vr=0.9677 ∠-2.99º)
Flujo de carga para dos barras inter- conectadas mediante una línea
de transmisión.
Línea de t r ansmisión de 110kV
V1 V2 = 110kV
20MW10MVar
P1,Q1=?
Long. de linea 1-2 Resistenciar’[Ω/km]
Reactanciax’[Ω/km]
SusceptanciaShuntb’ [µS/km]
60km 0.200 0.430 2.60
Modelo de línea de transmisión.
i kikik jXR +
2sjB
2sjB
Balance de Potencia.
ikik jXR +
G+T L
2/sy 2/sy
1 2
1V 2V
1P
1Q
'1P
'1Q
'2P
'2Q 2P2P
20Q20P10P10Q
01888.012110156
21322..0121
8.25
099174.0121
12
6 =⋅⋅=⋅=
===
===
−b
b
b
ZBb
Z
Xx
Z
Rr
Parámetros de líneas de transmisión.
SLbB
LxX
LrR
µ1566062
82560430
126020
===Ω===
Ω===
*.'*
.*.'*
*.'*
MVAS
kVV
b
b
100
110
==
Ω=== 121100
11022
b
bb S
VZ
Cálculo de balance de Potencia.
2
2V
'2P
'2Q 2P2P
20Q20P
Demanda de Carga
1.0
2.0
2
2
==
Q
P
09056.000944.01.0'
2.0'
944.0
00944.02
01888.01
2
2022
22
20
2220
=−=−===
=
=⋅=⋅=
QQQ
PP
MVArQ
bVQ
Cálculo de caída de tensión.
0336630039140
099174009056021322020
213220090560099174020
2
22
2
2221
..
)....(
)....(
''''
jV
j
V
V
rQxPj
V
xQrPVVV
+=∆⋅−⋅+
⋅+⋅=∆
=−++=∆=−
Voltaje de entrada
º.
.
..
..
861
37114
0336630039141
033663003914001
1
1
21
=
=
=+=+++
=∆+=
θV
j
jj
VVV
Cálculo de las pérdidas en la línea
MVArjMWS
jS
j
jS
Z
V
Z
VVIVS
se
se
se
sese
sese
031480
0103000480
2132200991740
03366300391402
2
..ˆ
..ˆ
..
..ˆ
ˆˆ
ˆˆ
+=
+=
−+
=
∆=
∆⋅∆=⋅∆=
Generación.
G+T
2/sy
1
1V
1P
1Q
'1P
'1Q
10P10Q
100860
20480
090560
20
0103000480
1
1
2
2
.'
.'
.'
.'
..
==
==
+=
Q
P
Q
P
jS se
Generación.
G+T
2/sy
1
1V
1P
1Q
'1P
'1Q
10P10Q
09065001020100860
20480
010202
01888003971
2
039710336630039141
1011
11
2110
11
...'
.'
..
.
...
=−=−===
=⋅=⋅=
=⇒+=
QQQ
PP
bVQ
VjV
Resumen del balance de potencia
ikik jXR +
G+T L
2/sy 2/sy
1 2
1V 2V
1P
1Q
'1P
'1Q
'2P
'2Q 2P2P
20Q20P10P10Q
09065.0
2048.0
1
1
==
Q
P
00944.0
0048.0
==
loss
loss
Q
P
1.0
2.0
2
2
==
Q
P
Carga, generación y modelado de la red en análisis de f lujo de carga.
Modelado de los componentes del sistema.
• Líneas de transmisión - cir cuit o Pi
• Transformadores - impedancia
• Generadores - Pot encia act iva const ant e con
capacidad de cont r ol (limit ado) de volt aj e del
pr imar io (P = ct e, V= ct e).
• Cargas - Pot encia complej a const ant e (P = ct e,
Q= ct e).
Línea de transmisión.i k
ikik jXR +
2sjB
2sjB
i kikY
2sjB
2sjB
Generadores y Cargas.
•Generadores
Pot encia Act iva - inyección const ant e
Pot encia r eact iva - r egulación de volt aj e
•Demanda de carga
I nyección const ant e de pot encia act iva y r eact iva
Flujo de carga & Balance de potencia
Carga
i
1
k
n
giS
diS
iS
1iS
ikS
inS
Análisis Vol t aj e - Corri ent e versus
Análisis vol t aj e - pot enci a.
Carga
i
1
k
n
giI
diI
iI
1iI
inI
∑=
==−=
nk
kikdigii IIII
1
Análisis Vol t aj e - Corri ent ey la Matriz Ybus
Carga
i
1
k
n
giI
diI
iI1iI
inI
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]injbus
shunti
n
iikii
ikik
businj
nk
kikdigii
IYV
YYy
kiYy
VYI
IIII
⋅=
+=
≠−=
⋅=
=−=
−
=
=
=
∑∑
∑
1
1
1
,
Vtierra=0
Sistema de ecuaciones lineales
Análisis Vol t aj e - Pot enci a
i
1
k
n
giS
diS
1iS
ikS
inS
G
Inyección en la red
∑=
==−=
nk
kikdigii SSSS
1
iii IVS ˆ⋅=
∑∑=
=
=
=⋅=
⋅=
nk
kkiki
nk
kkikii VyVVyVS
11
ˆˆ*
Sistema de ecuacionesno lineales
Forma de las ecuaciones de f lujo de carga.
∑=
=⋅=
nk
kkikii VyVS
1
ˆˆ
Voltaje en forma polar Voltaje en forma rectangular
Admitancia en forma polar Admitancia en forma rectangular
ijii eVV θ=
ikjikik eyy δ=
imi
reii jVVV +=
ikikik jbgy +=
Forma polar de las ecuaciones de f lujo de carga
∑
∑
=
=
=
=
−⋅+⋅⋅=
−⋅⋅⋅=
nk
kikikikikkii
nk
kikik
jkii
jbgjVVS
jbgeVVS ik
1
1
)()sen(cos
)(
θθ
θ
El voltaje está expresado en coordenadas polares, mientras que la admitancia está expresada en coordenadas rectangulares.
Balance de potencia activa y reactiva.
i
1
k
n
giQ
diQ
1iQ
ikQ
inQ
G
i
1
k
n
giP
diP
1iP
ikP
inP
G
∑=
=
=−=nk
kikdigii PPPP
1∑
=
=
=−=nk
kikdigii QQQQ
1
Ecuaciones de f lujo de carga
∑
∑=
=
=
=
−⋅⋅=
+⋅⋅=
nk
kikikikikki
calci
nk
kikikikikki
calci
bgVVQ
bgVVP
1
1
)cossen(
)sencos(
θθ
θθ
i=1,2,3...n
calci
spi
calci
spi
PP
=
=
balance de pot. activa y reactiva
especificadofunciones de voltajescomplejos desconocidos
calci
spi
calci
spi
PP
=
=
Ecuaciones de f lujo de carga
digispi
digispi
QQQ
PPP
−=
−=
Si la potencia activa o reactiva para la barra i no es especificada, la ecuación de balance de energía no puede ser definida.
(si la barra i no tiene generación o carga, la potencia especificada es igual a cero.)
Potenciales variables desconocidas:
iiii VQP θ,,,
Tipos de barras
• Barras de carga (PQ):
• No hay generación
• Potencia activa y reactiva
especificada
• Barras de generación (PV):
• Voltaje constante y especificado
• Potencia activa especificada
dispi
dispi
PP
−=
−=
spii
digispi
VV
PPP
=
−=
Número de incógnitas y número de ecuaciones
• Hipótesis: Sistema de n barras
Ng - cantidad de barras de generación y voltaje controlado
Nd - cantidad de barras de carga
n = Ng + Nd
• Para cada barra de generación tengo:
• una ecuación de balance de potencia activa
• el voltaje de la barra especificado
• Para cada barra de carga tengo:
• una ecuación de balance de potencia activa
• una ecuación de balance de potencia reactiva
calci
spi PP =
Número de incógnitas y número de ecuaciones
spii VV =
calci
spi PP =
calci
spi QQ =
Número de incógnitas y número de ecuaciones
• Cuatro variables por cada barra: iiii VQP θ,,,
ecuaciones dcalci
spi NQQ =
ecuaciones nPP calci
spi =
incógnitas V
incógnitas
i d
i
N
nθ
Las potencias reactivas Qi de las barras de generación pueden ser calculadas una vez determinados los voltajes de las barras (módulos y fases)
Barra f lotante
• ¿Es posible especificar la potencia activa inyectada por todos los generadores y la potencia activa consumida por las cargas en forma independiente?
∑ ∑−= digipérdidas PPP
Las pérdidas RI2 no son conocidas inicialmente
Barra f lotante
• Una barra del sistema puede realizar el balance de potencia activa demandada y potencia activa consumida (BARRA FLOTANTE)
• ¿Es este criterio razonable?
• La potencia activa se transmite “bien” a través del sistema
Barra f lotante
• ¿Cómo se realiza el balance de potencia reactiva en el sistema?
• ¿Es posible utilizar una única barra para realizar el balance de reactiva en el sistema?
• La potencia reactiva no se transmite “bien” a través del sistema (produce caídas de tensión importantes)
• Cada barra PV realiza el balance de reactiva en forma local
Modelado de sistemas de potencia.
Resolviendo el pr oblema de f luj o
de car ga.
Ejercicio: Ecuaciones de f lujo de carga.
• For mar Mat r iz Ybus del sist ema.
• Det er minar t ipos de bar r as.
• List ar var iables conocidas y desconocidas.
• Escr ibir las ecuaciones de f luj o de car ga.
12
3
P=0.5V=1
P=1, V=1
j0.1
j0.2 j0.25
1.5+j0.8
Ybus.
−−
−=+=
945
41410
51015
jjj
jjj
jjj
jBGY
Tipos de barras.
Bar r a 1: Flot ant e (V1 y θ1 dados)
Bar r a 2: Bar r a PQ (V2 y θ2
desconocidos)
2 ecuaciones - balance de
pot encia act iva y r eact iva.
Bar r a 3: Bar r a PV - θ3 desconocido
(V3 especif icado)
1 ecuación: balance de
pot encia act iva.
1 2
3
P=0.5V=1
P=1, V=1
j0.1
j0.2 j0.25
1.5+j0.8
Ecuaciones.
[ ]
[ ]
[ ])cos(4cos10148.0
cos
)sen(4sen51
sen
)sen(4sen105.1
sen
32321222
12222
232313
13333
323212
12222
θθθ
θ
θθθ
θ
θθθ
θ
−+−=−
⋅−=
−+=
⋅=
−+=−
⋅=
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
VVVV
bVVQ
VVV
bVVP
VVV
bVVP
nk
kkkk
nk
kkkk
nk
kkkk
Métodos para resolver las ecuaciones de f lujo de carga.
• Ecuaciones de f lujo de carga:
Sist ema de ecuaciones algebr aicas no lineales.
• Métodos:
Mét odo de Gauss-Seidel.
Mét odo de Newt on-Raphson.
Algor it mo de desacoplado r ápido de f luj o de
car ga.
Método de Newton Raphson.Idea básica.
1 4 6
?,0)(
,045)( 2
===+−=
xxf
xxxf 60 =x
Método de Newton - Raphson.Ejemplo
,045)( 2 =+−= xxxf 60 =x
xxdx
xdffxf
xdx
xdf
xdx
xdfxfxxf
x
xx
rr
r
∆+=∆⋅+≈∆+
−=
≈∆⋅+≈∆+
=
=
710)(
)6()6(
52)(
0)(
)()(
6
¿Qué tan buena es esta aproximación?
Método de Newton Raphson.Ejemplo
08.449.157.4
49.014.4/04.2
014.404.2)(
)57.4()57.4(
57.443.16
43.17/10
0710)(
)6()6(
57.4
6
=−=∆+=−=−=∆
=∆+=∆⋅+≈∆+
=−=∆+=−=−=∆
=∆+=∆⋅+≈∆+
=
=
xxx
x
xxdx
xdffxf
xxx
x
xxdx
xdffxf
oldnew
x
oldnew
x
Método de Newton Raphson.Ejemplo
0)4(
408.008.4
08.016.3/24.0
016.324.0)(
)08.4()08.4(08.4
=
=−=∆+=−=−=∆
=∆+=∆⋅+≈∆+=
f
xxx
x
xxdx
xdffxf
oldnew
x
Método de Newton- Raphson.Ejemplo
,045)( 2 =+−= xxxf 60 =x
000.4002.0004.306.0002.44
002.4077.0157.3242.0079.43
079.4492.0142.4039.2571.42
571.4429.1000.700.10000.61
)( 1
−−−−
∆ +rr xxdx
dfxfxr
Método de Newton- Raphson.Resumen
El caso de una dimensión:,045)( 2 =+−= xxxf 60 =x
xxx
dx
xdfxfx
xdx
xdfxfxxf
rr
xx
r
xx
rr
r
r
∆+=
⋅−≈∆
≈∆⋅+≈∆+
+
−
=
=
1
1)(
)(
0)(
)()(
Sistemas de ecuaciones no lineales.
f1,...fn, son funciones dadas, x1,...xn, son incógnitas.
Sistema general de ecuaciones algebraicas no lineales simultáneas.
=
==
0),...,(
.........
0),...,(
0),...,(
1
12
11
nn
n
n
xxf
xxf
xxf
=
nf
f
f
F...2
1
=
nx
x
x
x...2
1
0)( =xF
Método de Newton- Raphson
Aproximación lineal por Taylor:
nn
nnnn
nn
nn
xx
xfx
x
xfxfxxf
xx
xfx
x
xfxfxxf
xx
xfx
x
xfxfxxf
∆∂
∂++∆∂
∂+≈∆+
∆∂
∂++∆∂
∂+≈∆+
∆∂
∂++∆∂
∂+≈∆+
)(....
)()()(
...............
)(....
)()()(
)(....
)()()(
11
21
1
222
11
1
111
Método de Newton- Raphson
Supongamos que tomamos una estimación inicial de la solución x=xr
0)(
....)(
)()(
...............
0)(
....)(
)()(
0)(
....)(
)()(
11
21
1
222
11
1
111
=∆∂
∂++∆∂
∂+≈∆+
=∆∂
∂++∆∂
∂+≈∆+
=∆∂
∂++∆∂
∂+≈∆+
==
==
==
n
xxn
n
xx
nrn
rn
n
xxnxx
rr
n
xxnxx
rr
xx
xfx
x
xfxfxxf
xx
xfx
x
xfxfxxf
xx
xfx
x
xfxfxxf
rr
rr
rr
Método de Newton- Raphson
Estimación del error ∆x:
=
∆
∆∆
⋅
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
+
0
...
0
0
...
)(......
)(............
)(...
)()(
)(...
)()(
)(
...
)(
)(
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
n
n
nn
n
n
rn
r
r
x
x
x
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xfx
xf
x
xf
x
xf
xf
xf
xf
Método de Newton- Raphson
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
n
nn
n
n
r
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xfx
xf
x
xf
x
xf
xJ
)(......
)(............
)(...
)()(
)(...
)()(
)(
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
=
)(
...
)(
)(
)( 2
1
rn
r
r
r
xf
xf
xf
xF
∆
∆∆
=∆
nx
x
x
x...2
1
Matriz Jacobiana Vector de apartamiento
estimador lineal del error
Método de Newton- Raphson
⋅
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
−≈
∆
∆∆
−
)(
...
)(
)(
)(......
)(............
)(...
)()(
)(...
)()(
...2
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
rn
r
r
n
nn
n
n
n xf
xf
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xfx
xf
x
xf
x
xf
x
x
x
estimador lineal del error
Método de Newton- Raphson
∆
∆∆
+
=
+
+
+
nrn
r
r
rn
r
r
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.........2
1
2
1
1
12
11
Estimador mejorado del valor supuesto inicialmente
Método de Newton Raphson.Aplicación al f lujo de carga del sistema de
potencia
Elegir las var iables de est ado (x):
(a) Par a bar r as PQ, elegir la magnit ud del volt aj e de bar r a y su ángulo de f ase asociado.(b) Par a bar r as PV, elegir el ángulo de f ase (la magnit ud del volt aj e es f ij a)
Par a bar r a f lot ant e (r ef er encia), t ant o magnit ud de volt aj e como ángulo de f ase son cant idades especif icadas.
=V
xθ PQ&PV
PQ
Método de Newton Raphson.Aplicación al f lujo de carga del sistema de
potencia
0)(
)()(
)(
)(
=
−−
=
=
=
sp
sp
ispi
ispi
QxQ
PxPxF
xQQ
xPPespecificado funciones de x desconocidas
∑
∑=
=
=
=
−−=∆
+−=∆
nk
kikikikikki
spii
nk
kikikikikki
spii
bgVVQQ
bgVVPP
1
1
)cossen(
)sencos(
θθ
θθ
Método de Newton Raphson.Aplicación al f lujo de carga del sistema de
potencia
0)(
)()( =
∆∆
−=r
rr
xQ
xPxF
)()(0)()( rrrr xFxxJxxJxF −=∆⋅=∆⋅+
[ ]
∆∆
=
∆∆
⋅)(
)(r
r
xQ
xP
VJ
θ PQ&PVPQ
PQ&PVPQ
∆∆
=
∆
∆⋅
)(
)(
/ r
r
rr
rr
xQ
xP
VVLM
NH θ
Método de Newton Raphson.Aplicación al f lujo de carga del sistema de
potencia
( )
( ))cossen(
)sencos(
ikikikikkik
iik
iiiriii
nk
ikk
ikikikikkii
iii
bgVVP
H
VbQH
gbVVP
H
θθθ
θθθ
−=∂
∆−∂
−=
−=∂
∆−∂
=
=
≠=
= ∑2
1
Método de Newton Raphson.Aplicación al f lujo de carga del sistema de
potencia
( )
( ))sencos(
)sencos(
ikikikikkik
iik
iiiriii
nk
ikk
ikikikikkii
iii
bgVVQ
M
VgPM
bgVVQ
M
θθθ
θθθ
+−=∂
∆−∂
−=
+=∂
∆−∂
=
=
≠=
= ∑2
1
Método de Newton Raphson.Aplicación al f lujo de carga del sistema de
potencia
ikk
ikik
iiiri
i
iiii
ikk
ikik
iiiri
k
iiii
HV
QVL
VbQV
QVL
MV
PVN
VgPV
PVN
=∂
∆−∂=
−=∂∆−∂
=
−=∂
∆−∂=
+=∂
∆−∂=
)(
)(
)(
)(
2
2
Método de Newton Raphson.Aplicación al f lujo de carga del sistema de
potencia
PQ&PVPQ
∆∆
=
∆
∆⋅
)(
)(
/ r
r
rr
rr
xQ
xP
VVLM
NH θ
∆∆
⋅
=
∆
∆−
)(
)(
/
1
r
r
rr
rr
xQ
xP
LM
NH
VV
θ
∆∆
+=+
Vxx rr θ1
Método de Newton Raphson.Aplicación al f lujo de carga del sistema de
potencia
Car act er íst icas del mét odo:
1. Velocidad de conver gencia ‘cuadr át ica’ (el númer o de cif r as signif icat ivas se duplica luego de cada it er ación)
2. Conf iable, no sensible a la elección de la bar r a f lot ant e.
3. Solución pr ecisa obt enida luego de 4-6 it er aciones.
4. J debe ser r e-calculada e inver t ida luego de cada it er ación. (J es una mat r iz espar sa, t iene est r uct ur a simét r ica, per o los valor es no son simét r icos)
Método de Newton RaphsonEjemplo
12
3
V=1, θ=0
P=1, V=1
j0.1
j0.2 j0.25
1.5+j0.8
Resolver el pr oblema de f luj o de car ga usando el mét odo de NR:
Método de Newton- RaphsonEjemplo
1 2
3
V=1, θ=0
P=1, V=1
j0.1
j0.2 j0.25
1.5+j0.8Bar r a 1: Flot ant e (V1 y θ1 dados)
Bar r a 2: Bar r a PQ
(V2 y θ2 desconocidos)
2 ecuaciones - balance de
pot encia act iva y r eact iva.
Bar r a 3: Bar r a PV - θ3 desconocido
(V3 especif icado)
1 ecuación: balance de
pot encia act iva.
Método de Newton- RaphsonEjemplo
=
−−
−=+=
222322
323332
222322
2
3
2
232
945
41410
51015
LMM
NHH
NHH
Q
P
PV
J
jjj
jjj
jjj
jBGY
θθ
Método de Newton- RaphsonEjemplo
[ ]
[ ]
[ ])cos(4cos1014cos
)sen(4sen5sen
)sen(4sen10sen
32321222
12222
2323131
3333
3232121
2222
θθθθ
θθθθ
θθθθ
−+−=−=
−+==
−+==
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
VVVVbVVQ
VVVbVVP
VVVbVVP
nk
kkkk
nk
kkkk
nk
kkkk
Método de Newton- RaphsonEjemplo
0,0,0,1,1,1 03
02
01
03
02
01 ====== θθθVVV
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ][ ] 00cos140cos1101114
)cos(4cos1014
00sen140sen151)sen(4sen5
00sen140sen1101)sen(4sen10
323212222
2323133
3232122
=⋅+⋅−⋅=−+−=
=⋅+⋅=−+=
=⋅+⋅=−+=
θθθ
θθθ
θθθ
VVVVQ
VVVP
VVVP
Método de Newton- RaphsonEjemplo
∑
∑=
=
=
=
−−=∆
+−=∆
nk
kikikikikki
spii
nk
kikikikikki
spii
bgVVQQ
bgVVPP
1
1
)cossen(
)sencos(
θθ
θθ
−
−=
−−−−−
=
∆∆∆
8.0
0.1
5.1
08.0
00.1
05.1
2
3
2
Q
P
P
Método de Newton- RaphsonEjemplo
−
−=
+−−−−+−−−
−−+−=
0001400000000
000000090004
0000000400014
144
494
414
2
3
2
232
22232322
32322333232
23232222
2
3
2
232
...
...
...................
)sen(
)sen()cos(
)cos(
Q
P
PV
J
VQVVP
VVVQVV
PVVVQ
Q
P
P
V
J
θθ
θθθθθθ
θθθθ
Método de Newton- RaphsonEjemplo
=−
0714.00000.00000.0
0000.01273.00364.0
0000.00364.00818.01J
−
−⋅
=
∆∆∆
8.0
0
5.1
0714.00000.00000.0
0000.01273.00364.0
0000.00364.00818.0
/ 22
3
2
VV
θθ
−
−=
∆∆∆
0571.0
0727.0
0864.0
/ 22
3
2
VV
θθ
Método de Newton- RaphsonEjemplo
9429.00571.011
0727.00727.00
0864.00864.00
2
202
02
12
303
13
202
12
=⋅−=∆+=
=+=∆+=
−=−=∆+=
V
VVVV
θθθθθθ
Est o complet a la pr imer it er ación.Ahor a r e-calculamos las pot encias de la bar r a con los nuevos valor es de las var iables de est ado:
Método de Newton- RaphsonEjemplo
0727.0,0864.0,0,1,9429.0,1 13
12
11
13
12
11 =−===== θθθVVV
[ ][ ]
[ ] 6715.0)cos(4cos1014
9608.0)sen(4sen5
4107.1)sen(4sen10
323212222
2323133
3232122
−=−+−=
=−+=−=−+=
θθθθθθ
θθθ
VVVVQ
VVVP
VVVP
−
−=
−−−+−
=
∆∆∆
1285.0
0392.0
0893.0
6715.08.0
9608.00.1
4107.15.1
2
3
2
Q
P
P
Método de Newton- RaphsonEjemplo
−−
−−=
+−−−−+−−−
−−+−=
7742115975041071
597507106872383
4107172383117213
144
494
414
2
3
2
232
22232322
32322333232
23232222
2
3
2
232
...
...
...
)sen(
)sen()cos(
)cos(
Q
P
PV
J
VQVVP
VVVQVV
PVVVQ
Q
P
P
V
J
θθ
θθθθθθ
θθθθ
Método de Newton- RaphsonEjemplo
−−=−
0861.00022.00086.0
0022.013707.00369.0
0086.00369.00876.01J
−
−⋅
−−=
∆∆∆
1285.0
0392.0
0893.0
0861.00022.00086.0
0022.013707.00369.0
0086.00369.00876.0
/ 22
3
2
VV
θθ
−
−=
∆∆∆
0119.0
021.0
075.0
/ 22
3
2
VV
θθ
Método de Newton- RaphsonEjemplo
9316.09429.00119.09429.0
07485.00021.00727.0
09385.00075.00864.0
2
212
12
22
313
23
212
22
=⋅−=∆+=
=+=∆+=
−=−−=∆+=
V
VVVV
θθθθθθ
Est o complet a la segunda it er ación.Ahor a r e-calculamos las pot encias de la bar r a con los nuevos valor es de las var iables de est ado:
Método de Newton- RaphsonEjemplo
07485.0,09385.0,0,1,9316.0,1 23
22
21
23
22
21 =−===== θθθVVV
[ ][ ]
[ ] 7979.0)cos(4cos1014
9995.0)sen(4sen5
4987.1)sen(4sen10
323212222
2323133
3232122
−=−+−=
=−+=−=−+=
θθθθθθ
θθθ
VVVVQ
VVVP
VVVP
−
−=
−−−+−
=
∆∆∆
0021.0
0005.0
0013.0
7979.08.0
9995.00.1
4987.15.1
2
3
2
Q
P
P
Método de Newton- RaphsonEjemplo
−−
−−=
+−−−−+−−−
−−+−=
3529116257049871
625706596867363
4987177363948812
144
494
414
2
3
2
232
22232322
32322333232
23232222
2
3
2
232
...
...
...
)sen(
)sen()cos(
)cos(
Q
P
PV
J
VQVVP
VVVQVV
PVVVQ
Q
P
P
V
J
θθ
θθθθθθ
θθθθ
Método de Newton- RaphsonEjemplo
−−=−
0895.00024.00097.0
0024.01313.00370.0
0097.00370.00888.01J
−
−⋅
−−=
∆∆∆
1285.0
0392.0
0893.0
0895.00024.00097.0
0024.01313.00370.0
0097.00370.00888.0
/ 22
3
2
VV
θθ
−
−=
∆∆∆
00020.0
00002.0
00012.0
/ 22
3
2
VV
θθ
Método de Newton- RaphsonEjemplo
9314.09316.00002.09316.0
7486.000002.007485.0
09397.000012.009385.0
2
222
22
32
323
33
222
32
=⋅−=∆+=
=+=∆+=
−=−−=∆+=
V
VVVV
θθθθθθ
Est o complet a la t er cer a it er ación.El mét odo ha conver gido ya que el vect or de apar t amient o es casi cer o.
Método de Newton- RaphsonEjemplo
07486.0,09397.0,0,1,9314.0,1 33
32
31
33
32
31 =−===== θθθVVV
[ ][ ]
[ ] 8.0)cos(4cos1014
1)sen(4sen5
5.1)sen(4sen10
323212222
2323133
3232122
−=−+−=
=−+=−=−+=
θθθθθθ
θθθ
VVVVQ
VVVP
VVVP
=
∆∆∆
0
0
0
2
3
2
Q
P
P
Desacoplado rápido del f lujo de carga (FD)Desacoplando las ecuaciones
VVLQVVLM
HPVVNH
Q
P
VVLM
NH
//
/
/
∆≈∆=∆⋅+∆⋅∆≈∆=∆⋅+∆⋅
∆∆
=
∆
∆⋅
θθθ
θ PQ&PV
PQ
Desacoplado rápido del f lujo de carga (FD)Desacoplando las ecuaciones
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]QVVL
PH
∆=∆⋅
∆=∆⋅
/
θ PQ&PV
PQ
Las ecuaciones están desacopladas pero los coeficientes de las matrices H y L son interdependientes: H depende del módulo del voltaje, L depende del ángulo de fase. Este esquema requiere evaluación de las matrices en cada iteración.
Simplif icaciones de Stott & Alsac
1. Las diferencias entre los ángulos de fase de barras típicas del sistema son usualmente pequeñas:
2. Las susceptancias de línea Bikson mucho mayores que las conductancias de línea Gik:
3. La potencia reactiva inyectada en cualquier barra es mucho menor que la potencia reactiva que circularía si todas las líneas que parten de esa barra se corticircuitaran al neutro del sistema:
1≈− )cos( ki θθ kiki θθθθ −≈− )sen(
)cos()sen( kiikkiik BG θθθθ −<<−
iiii BVQ2<<
Elementos JacobianosPotencia activa
kikiik
ikikikikkiik
iiiiii
iiiriii
VbVH
bgVVH
VbVH
VbQH
⋅⋅−=
−⋅⋅=
⋅⋅−=
−−=
)cossen( θθ
2
Elementos JacobianosPotencia reactiva
kikiik
ikikikikkiik
iiiiii
iiiriii
VbVL
bgVVL
VbVL
VbQL
⋅⋅−=
−⋅⋅=
⋅⋅−=
−−=
)cossen( θθ
2
Modif icaciones posteriores
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]QVVVBV
PVBV
∆=∆⋅⋅⋅−
∆=∆⋅⋅⋅−
/''
' θ PQ&PV
PQ
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]VQVVVB
VPVB
//''
/'
∆=∆⋅⋅−
∆=∆⋅⋅− θ PQ&PV
PQ
Modif icaciones posteriores
PQ&PV
PQ
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]VQVVVB
VPVB
//''
/'
∆=∆⋅⋅−
∆=∆⋅⋅− θ
PQ&PV
PQ
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]VQVB
VPB
/''
/'
∆=∆⋅−
∆=∆⋅− θ
Desacoplado rapidode las ecuaciones.
Método de desacoplado rápidoCaracterísticas
PQ&PV
PQ
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]VQVB
VPB
/''
/'
∆=∆⋅−
∆=∆⋅− θ
1. B’ y B’’ son matrices esparsas reales.
2. B’ y B’’ son aproximaciones del Jacobiano con gradiente constante. (El resultado final es el correcto!)
3. Aunque FD requiere más iteraciones, la solución se puede obtener mucho más rápido.
4. FD es más robusto que NR (puede encontrar soluciones donde NR falla)
5. Problemas potenciales en redes con R>X.
Método de desacoplado rápidoEjemplo
12
3
V=1, θ=0
P=1, V=1
j0.1
j0.2 j0.25
1.5+j0.8
Resolver el pr oblema de f luj o de car ga usando el mét odo FD:
Método de desacoplado rápidoEjemplo
1 2
3
P=1, V=1
j0.1
j0.2 j0.25
1.5+j0.8Bar r a 1: Flot ant e (V1 y θ1 dados)
Bar r a 2: Bar r a PQ
(V2 y θ2 desconocidos)
2 ecuaciones - balance de
pot encia act iva y r eact iva.
Bar r a 3: Bar r a PV - θ3 desconocido
(V3 especif icado)
1 ecuación: balance de
pot encia act iva.
Método de desacoplado rápidoEjemplo
[ ] [ ]22222
3
2
3332
2322
33
22
945
41410
51015
VbVQ
bb
bb
VP
VP
jjj
jjj
jjj
jBGY
∆⋅−=∆
∆∆
⋅
−=
∆∆
−−
−=+=
/
/
/
θθ
Método de desacoplado rápidoEjemplo
∆∆
⋅
=
∆∆
∆∆
⋅
−
−−=
∆∆
∆∆
⋅
−=
∆∆
33
22
3
2
3
2
33
22
3
2
3332
2322
33
22
1273003640
0364008180
94
414
VP
VP
VP
VP
bb
bb
VP
VP
/
/
..
..
/
/
/
/
θθ
θθ
θθ
Método de desacoplamiento rápidoEjemplo
0,0,0,1,1,1 03
02
01
03
02
01 ====== θθθVVV
[ ] [ ]
[ ] [ ]
−=
∆∆
=⋅+⋅=−+=
=⋅+⋅=−+=
1
51
0014015145
001401101410
033
022
2323133
3232122
.
/
/
sensen)sen(sen
sensen)sen(sen
VP
VP
VVVP
VVVP
θθθ
θθθ
Apartamiento de potencia activa
Método de desacoplado rápidoEjemplo
0727300727300
0863600863600
072730
086360
1
51
1273003640
0364008180
303
13
202
12
3
2
3
2
..
..
.
.
.
..
..
=+=∆+=
−=−=∆+=
−=
∆∆
−⋅
=
∆∆
θθθθθθ
θθ
θθ
Método de desacoplado rápidoEjemplo
[ ] [ ] [ ]22222 VbVQ ∆⋅−=∆ / [ ] [ ] [ ]222 14 VVQ ∆⋅=∆ /
[ ] [ ] [ ]222 07140 VQV /. ∆⋅=∆
[ ][ ] [ ][ ] [ ][ ]
93660063410
0634108878007140
8878010878080
0878041014
02
12
2
22
323212222
..
...
./)..(/
.)cos(cos
=−=
−=−=∆−=−−=∆
=−+−=
VV
V
VQ
VVVVQ θθθ
Apartamiento depotencia reactiva
Método de desacoplado rápidoEjemplo
072700864001936601 13
12
11
13
12
11 .,.,,,., =−===== θθθVVV
931440000040074860093970000050000060
93144000042007486093960000570000700
0931470005070074810093920005820008270
931860061970074390093410043190098640
93660887800727300863600015001223232
......
......
......
......
......
−−−−−−−−−−−−−−−
∆∆∆ VQPP θθ
top related