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5. FUNZIONI TRIGONOMETRICHE
Dalla geometria: angolo 𝛼 tra due segmenti con un estremità in comune
𝛼
Angolo 𝛼 in radianti: 𝛼 = 𝑙 𝑅
O A
P
𝑅
𝑙
𝛼 Valore dell’angolo indipendente dalla scelta del raggio 𝑅
Angolo giro = 2𝜋
Sono definiti angoli 𝛼 < 0 e 𝛼 > 2𝜋
Corrispondenza con gli angoli misurati in gradi sessagimali gradi: 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° radianti: 0 𝜋 6 𝜋 4 𝜋 3 𝜋 2 𝜋 3𝜋 2 2𝜋
1
2
Funzioni seno e coseno dalla rappresentazione cartesiana del punto
sin (𝛼) ≔ 𝑦 𝑅
cos (𝛼) ≔ 𝑥 𝑅
P=(𝑥, 𝑦)
O 𝑥 𝑅
𝑦
𝛼
−1 ≤ sin (𝛼) ≤ 1
−1 ≤ cos (𝛼) ≤ 1
(𝑅, 𝛼): coordinate polari del punto P
Dalle coordinate polari alle coordinate cartesiane: 𝑥 = 𝑅 cos 𝛼, 𝑦 = 𝑅 sin 𝛼
Proprietà fondamentale delle funzioni trigonometriche: cos 𝛼 2 + sin𝛼 2 = 1 𝑅2 = 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2 cos 𝛼 2 + 𝑅2 sin 𝛼 2
Per fissato angolo 𝛼, data una funzione trigonometrica, risulta determinata il
valore assoluto dell’altra, ad esempio sin 𝛼 = 1 − cos𝛼 2
Il segno è determinabile secondo il quadrante: 1° quadrante: 0 ≤ 𝛼 < 𝜋 2, sin 𝛼, cos 𝛼 ≥ 0 2° quadrante: 𝜋 2 ≤ 𝛼 < 𝜋, sin 𝛼 ≥ 0, cos 𝛼 ≤ 0 3° quadrante: π ≤ 𝛼 < 3𝜋 2, sin 𝛼, cos 𝛼 ≤ 0
4° quadrante: 3𝜋 2 ≤ 𝛼 < 3𝜋, sin 𝛼 ≤ 0, cos 𝛼 ≥ 0
3
-1,25
-1
-0,75
-0,5
-0,25
0
0,25
0,5
0,75
1
1,25
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
sin𝛼
𝛼
cos 𝛼
𝜋 𝜋2 −𝜋
2 3𝜋2 2𝜋 5𝜋
2 3𝜋
Sono ambedue funzioni periodiche con periodo 2𝜋: ∀𝑛 ∈ ℤ: sin 𝛼 + 𝑛2𝜋 = sin𝛼 cos 𝛼 + 𝑛2𝜋 = cos 𝛼
4
Simmetria delle funzioni trigonometriche: 1) Riflessione del punto rispetto all’asse delle ascisse
sin −𝛼 = −sin𝛼 funzione dispari rispetto all’argomento
cos −𝛼 = cos 𝛼 funzione pari rispetto all’argomento
𝛼
−𝛼
2) Riflessione del punto rispetto all’asse delle ordinate
sin 𝜋 − 𝛼 = sin𝛼 cos 𝜋 − 𝛼 = −cos𝛼
𝛼
𝜋 − 𝛼
3) Rotazione di 𝜋 dell’argomento
sin 𝛼 + 𝜋 = −sin𝛼
cos 𝛼 + 𝜋 = −cos𝛼 𝛼 𝛼 + 𝜋
5
3) Riflessione rispetto alla bisettrice del primo quadrante
sin𝜋
2− 𝛼 = cos 𝛼
cos𝜋
2− 𝛼 = sin𝛼 𝛼
𝜋
2− 𝛼
6
Valori particolari delle funzioni trigonometriche
𝛼 = 𝜋 6 (30°)
𝛼
P
P’
O
𝑅 OPP’= triangolo equilatero: 𝑅 = 2𝑦 = 2𝑅 sin 𝜋 6
sin 𝜋 6 = 1 2
cos 𝜋 6 = 1 − cos 𝜋 6 2 = 3 2
𝛼 = 𝜋 6 (45°)
OPH= triangolo rettangolo isoscele: 𝑥 = 𝑦 = 𝑅 2 sin 𝜋 4 = cos 𝜋 4 = 1 2
𝛼
P
O
𝑅
H 𝛼 = 𝜋 3 (60°)
OPP’= triangolo equilatero: 𝑅 = 2𝑥 = 2𝑅 cos 𝜋 3
cos 𝜋 3 = 1 2
sin 𝜋 3 = 1 − sin 𝜋 3 2 = 3 2 𝛼
P
O
𝑅
P’
7
Definizione della funzione tangente di un angolo: ∀𝑛 ∈ ℤ, 𝛼 ≠ 2𝑛 + 1 𝜋 2 , tan𝛼 ≔ sin 𝛼 cos 𝛼
Proprietà di simmetria: Spesso viene indicata con il simbolo tg𝛼
tan −𝛼 =sin −𝛼
cos −𝛼=−sin 𝛼
cos 𝛼= − tan𝛼
tan 𝜋 − 𝛼 =sin 𝜋 − 𝛼
cos 𝜋 − 𝛼=
sin 𝛼
−cos 𝛼= − tan𝛼
tan 𝛼 + 𝜋 =sin 𝛼 + 𝜋
cos 𝛼 + 𝜋=−sin 𝛼
−cos 𝛼= tan𝛼
La funzione tangente è periodica con periodo 𝜋!
tan 𝜋2−𝛼 =
sin 𝜋2 − 𝛼
cos 𝜋2 − 𝛼
=cos𝛼
sin𝛼=
1
tan𝛼
8
Noto il valore di una delle tre funzioni trigonometriche sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan𝛼 in un dato quadrante, si può calcolare il valore delle altre due. Ad esempio, noto che 𝑎 = tan𝛼
𝑎 = sin 𝛼 cos𝛼 𝑎2 cos 𝛼 2 = sin𝛼 2 = 1 − cos𝛼 2
cos 𝛼 2 =1
1 + 𝑎2 |cos 𝛼| =
1
1 + 𝑎2=
1
1 + tan𝛼 2
-6
-4
-2
0
2
4
6
-1,6 -1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2 1,6 𝛼
tan𝛼
−𝜋2
𝜋2
9
Esercizio: risolvere l’equazione tan 𝑥 = − 3 e calcolare i corrispondenti valori delle funzioni seno e coseno
−𝜋 2 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 2 : tan 𝑥 =sin 𝑥
cos 𝑥= − 3 ⇒ sin 𝑥 = − 3 cos 𝑥
sin 𝑥 2 = 1 − cos 𝑥 2 = 3 cos 𝑥 2 ⇒ cos 𝑥 2 = 1 4 ⇒ cos 𝑥 = 1 2 ⇒ 𝑥 = −𝜋/3
𝑥 + 𝜋
𝑥 Periodicità secondo 𝜋: 𝑥 = −𝜋 3 + 𝑛𝜋 ∀𝑛 ∈ ℤ
𝑛 = pari: 𝑥 = −𝜋 3 + 2𝑚𝜋 ∀𝑚 ∈ ℤ
sin 𝑥 = sin −𝜋 3 = − 3 2 cos 𝑥 = 1 2
𝑛 = dispari: 𝑥 = −𝜋 3 + (2𝑚 + 1)𝜋 ∀𝑚 ∈ ℤ
sin 𝑥 = sin 2 𝜋 3 = 3 2 cos 𝑥 = cos 2𝜋 3 = − 1 2
10
Addizione e sottrazione negli argomenti delle funzioni trigonometriche, relazione fondamentale:
cos 𝛼 − 𝛽 = cos𝛼 cos 𝛽 + sin𝛼 sin𝛽
A
𝛽
𝑅
𝛼 𝛼 − 𝛽
B
C
D Dimostrazione: per 𝛼 > 𝛽
A: 𝑅, 0 B: 𝑅 cos 𝛼 − 𝛽 , 𝑅 sin 𝛼 − 𝛽 C: 𝑅 cos 𝛽 , 𝑅 sin𝛽 D: 𝑅 cos𝛼 , 𝑅 sin 𝛼
Distanza tra i punti A e B: 𝑑𝐴𝐵
𝑑𝐴𝐵2 = 𝑅 cos 𝛼 − 𝛽 − 𝑅 2 + 𝑅 sin 𝛼 − 𝛽 2
= 𝑅2 2 − 2 cos 𝛼 − 𝛽
Distanza tra i punti C e D: 𝑑𝐶𝐷
𝑑𝐶𝐷2 = 𝑅 cos𝛼 − 𝑅 cos𝛽 2 + 𝑅 sin𝛼 − sin𝛽 2
= 𝑅2 2 − 2 cos 𝛼 cos 𝛽 − 2 sin𝛼 sin𝛽
La relazione fondamentale si deduce dall’uguaglianza 𝑑𝐴𝐵 = 𝑑𝐶𝐷 delle due distanze che sono sottese da uno stesso angolo.
La relazione è valida anche per 𝛼 < 𝛽 poiché, per simmetria: cos 𝛼 − 𝛽 = cos 𝛽 − 𝛼
11
cos 𝛼 − 𝛽 = cos𝛼 cos 𝛽 + sin𝛼 sin𝛽
Dalle proprietà di simmetria delle funzioni trigonometriche le altre relazioni per l’addizione/sottrazione degli argomenti:
cos 𝛼 + 𝛽 = cos 𝛼 − (−𝛽) = cos 𝛼 cos −𝛽 + sin𝛼 sin −𝛽 = = cos𝛼 cos 𝛽 − sin𝛼 sin𝛽
sin 𝛼 + 𝛽 = cos 𝜋 2 − (𝛼 + 𝛽) = cos (𝜋 2 − 𝛼) − 𝛽 = = cos (𝜋 2 − 𝛼) cos 𝛽 + sin (𝜋 2 − 𝛼) sin 𝛽 = = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin𝛽
sin 𝛼 − 𝛽 =sin 𝛼 + (−𝛽) = sin𝛼 cos −𝛽 + cos𝛼 sin −𝛽 = = sin𝛼 cos 𝛽 − cos𝛼 sin𝛽
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Note le funzioni trigonometriche per alcuni valori dell’angolo, si possono calcolare le funzioni per altri angoli sfruttando le relazioni si somma/differenza degli argomenti.
Ad esempio si può raddoppiare l’angolo:
cos 2𝛼 = cos 𝛼 + 𝛼 = cos 𝛼 cos 𝛼 − sin 𝛼 sin 𝛼 = cos 𝛼 2 − sin𝛼 2 = = 2 cos 𝛼 2 − 1
sin 2𝛼 = sin 𝛼 + 𝛽 = sin𝛼 cos 𝛼 + cos 𝛼 sin 𝛼 = 2sin 𝛼 cos 𝛼
o dimezzare l’angolo: 𝛽 ≔ 2𝛼
cos 𝛽 = 2 cos 𝛽 2 2 − 1 ⇒ cos 𝛽 2 =1 + cos𝛽
2
sin𝛽 = 2 sin 𝛽 2 cos 𝛽 2 ⇒ sin 𝛽 2 =sin𝛽
2cos 𝛽 2
⇒ sin 𝛽 2 2 =sin𝛽 2
4 cos 𝛽 2 2=1 − cos𝛽 2
2 1 + cos𝛽=1 − cos𝛽
2
⇒ sin 𝛽 2 =1 − cos𝛽
2
13
Esercizio: calcolare il valore delle funzioni trigonometriche principali per 𝛼 = 𝜋 12 (15°) e β = 5𝜋 12 (75°)
𝛾 = 𝜋 6 30° : sin 𝛾 = 1 2 cos 𝛾 = 3 2
𝛼 = 𝛾 2 cos 𝛼 = cos 𝛾 2 =1 + cos 𝛾
2=
1 + 3 2
2=
2 + 3
2
sin 𝛼 = 1 − cos𝛼 2 = 1 −2 + 3
4=
2 − 3
2
tan𝛼 =sin𝛼
cos 𝛼=
2 − 3
2 + 3= 2 − 3
𝛽 =𝜋
2− 𝛼 cos 𝛽 = sin𝛼 =
2 − 3
2
sin𝛽 = cos 𝛼 =2 + 3
2
tan𝛽 =sin𝛽
cos 𝛽=cos 𝛼
sin𝛼=
1
tan𝛼=
1
2 − 3= 2 + 3
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Rielaborando le relazioni per la somma/differenza degli angoli
cos 𝛼 − 𝛽 = cos𝛼 cos 𝛽 + sin𝛼 sin𝛽
cos 𝛼 + 𝛽 = cos 𝛼 cos 𝛽 − sin𝛼 sin𝛽
sin 𝛼 + 𝛽 = sin𝛼 cos𝛽 + cos𝛼 sin𝛽
sin 𝛼 − 𝛽 = sin𝛼 cos𝛽 − cos𝛼 sin𝛽
si ottengono le relazioni per la somma/differenza tra le funzioni trigonometriche
𝑝 ≔ 𝛼 + 𝛽 𝑞 ≔ 𝛼 − 𝛽 ⇒ 𝛼 =𝑝 + 𝑞
2 𝛽 =
𝑝 − 𝑞
2
cos 𝑝 + cos 𝑞 = cos 𝛼 + 𝛽 + cos 𝛼 − 𝛽 = 2 cos 𝛼 cos 𝛽 = 2 cos𝑝 + 𝑞
2cos
𝑝 − 𝑞
2
cos 𝑝 − cos 𝑞 = cos 𝛼 + 𝛽 − cos 𝛼 − 𝛽 = −2 sin𝛼 sin𝛽 = −2 sin𝑝 + 𝑞
2sin
𝑝 − 𝑞
2
sin 𝑝 + sin 𝑞 = sin 𝛼 + 𝛽 + sin 𝛼 − 𝛽 = 2 sin𝛼 cos 𝛽 = 2 sin𝑝 + 𝑞
2cos
𝑝 − 𝑞
2
sin 𝑝 − sin 𝑞 = sin 𝛼 + 𝛽 − sin 𝛼 − 𝛽 = 2 cos 𝛼 sin𝛽 = 2 cos𝑝 + 𝑞
2sin
𝑝 − 𝑞
2
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