5-módulo teoría de programación líneal-pl

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PROCESO INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES-MÉTODOS

CUANTITATIVOS-EN LA PRÁCTICA-

7.0 PROGRAMACIÓN LINEAL

P67

P77P66

P56

P55

P45

P44

P34

P33

P23

P22

P21

P12

P11

E1 Planeación E2 ProgramaciónE3 SC

E4 M.A.R

E5 Programación Lineal

E6 P.T

E7 Inventarios

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CONSTRUCCIÓN DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL (PL)La programación lineal sirve para optimizar recursos finitos, mediante la formulación de planteamientos de modulado matemático. Es importante saber que estos modelos son utilizados en todos los campos de la operación, industrial, comercial y de servicios.Veamos cómo vamos construyendo un modelo de programación lineal, paso por paso y para ello tomemos el siguiente ejemplo:

LA COMPAÑÍA REDDY MIKKS.Reddy Mikks produce pinturas tanto para interiores como para exteriores, a partir de dos materias primas, M1 y M2. La siguiente tabla proporciona los datos básicos del problema:

Toneladas de materia prima por tonelada de

Pintura para Exteriores

Pintura para Interiores

DisponibilidadMáxima diaria

(toneladas)Materia prima M1 6 4 24Materia prima M2 1 2 6

Utilidad por tonelada(1000 dólares)

5 4

Una encuesta de mercado restringe la demanda máxima diaria de pintura para interiores a 2 toneladas. Además, la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a la pintura para exteriores por más de 1 tonelada. Reddy Mikks quiere determinar la mezcla de producto óptimo de pinturas para interiores y exteriores que maximice la utilidad total diaria.

CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONESComo la programación lineal hace parte de la I.O., tiene que cumplir con los puntos para desarrollar un modelo de I.O.; que son los siguientes:

1. Lo primero que hay que establecer son las variables de decisión.2. Definir el objetivo o meta a alcanzar.3. Establecer las restricciones que debe cumplir; de acuerdo a las exigencias de un

mercado.

Para el caso de la compañía de pinturas, se plantea el modelo de la siguiente manera.1. Las variables de decisión las establecemos así:

X1= Toneladas diarias producidas de pintura para exteriores.X2= Toneladas diarias producidas de pintura para interiores.

2. La meta que se requiere la definimos de la forma siguiente:Z=5X1+4X2

Esta es la función que se define de acuerdo a las condiciones que se tienen para desarrollar las necesidades de la compañía de pinturas; pero el objetivo es la maximización, es decir:

Maximizar Z=5X1+4X2

3. Las restricciones para este caso se plantean teniendo en cuenta las disponibilidades de materia prima y las condiciones del mercado, de la forma siguiente:Sujeto a:

3

6X1+4X2≤ 24 X1+2X2≤ 6 -X1+X2≤ 1 X2≤ 2 X1; X2 ≥ 0

El modelo en forma completa para el caso de la compañía productora de pinturas, se presenta de la manera siguiente:

Maximizar Z=5X1+4X2

Sujeto a:

6X1+4X2≤ 24 X1+2X2≤ 6 -X1+X2≤ 1 X2≤ 2 X1; X2≥ 0

Lo que se pretende es establecer el espacio de soluciones factibles y de estas seleccionar la solución factible optima; por esto se llama solución factible óptima. Es importante tener en cuenta que siempre existirán infinitas soluciones factibles y en estas se encuentra la óptima; que es una sola.Cualquier solución es factible si cumple con todas y cada una de las restricciones, por ejemplo, si X1=3 y X2=1 toneladas de pintura, es factible porque cumple con todas las restricciones, incluyendo la de no negatividad.Para comprobar esto sustituimos los valores de las variables en cada una de las restricciones, así:

6(3) + 4(1) ≤ 24; 22 ≤ 24 (3) + 2(1) ≤ 6; 5≤6 -(3) + (1) ≤ 1; -2 ≤ 1 (1) ≤ 2; 1≤ 2 (X1= 3); (X2 =1) ≥ 0

En la programación lineal todas las ecuaciones o funciones deben ser lineales y para cumplir con esto se requiere de dos condiciones:

1. Proporcionalidad; se requiere que la contribución de las variables de decisión sean proporcionales a su valor tanto en la fusión objetivo, como en las restricciones. Cualquier condición que aleje a las variables de decisión, como son por ejemplo las promociones, no se generan ecuaciones lineales; debido a que a partir de cierto punto ya no son proporcionales a su valor, como es pague 3 y lleve 4.

2. Aditividad; esta condición exige que las variables de decisión tengan una contribución total, igual a la suma individual de cada variable; tanto en la función objetivo como en las restricciones. Por ejemplo no cumple con esta condición, cuando dos productos son competidores, es decir cuando las

4

ventas de un afectan las ventas del otro en sentido contrario, debido a la disponibilidad de materiales.

Así pues, tenemos que:

Maximizar: 5 X1 + 4 X2

6 X1 + 4 X2 ≤ 241 X1 + 2 X2 ≤ 6-1 X1 + 1 X2 ≤ 10 X1 + 1 X2 ≤ 2

X1, X2 ≥ 0

Entonces, para hallar la solución óptima, pasamos el problema a la forma estándar, añadiendo variables de exceso, holgura, y artificiales según corresponda (mostrar/ocultar detalles)• Como la restricción 1 es del tipo '≤' se agrega la variable de holgura X3.• Como la restricción 2 es del tipo '≤' se agrega la variable de holgura X4.• Como la restricción 3 es del tipo '≤' se agrega la variable de holgura X5.• Como la restricción 4 es del tipo '≤' se agrega la variable de holgura X6.

Obtenemos que:Maximizar: 5 X1 + 4 X2 + 0 X3 + 0 X4 + 0 X5 + 0 X66 X1 + 4 X2 + 1 X3 = 241 X1 + 2 X2 + 1 X4 = 6-1 X1 + 1 X2 + 1 X5 = 10 X1 + 1 X2 + 1 X6 = 2X1, X2, X3, X4, X5, X6 ≥ 0

Pasamos la información a la Tabla 1. En donde se identifica el número pivote.

Tabla 1

5 4 0 0 0 0

Base Cb P0P1

P2P3

P4P5

P6

P3 0 24 6 4 1 0 0 0

P4 0 6 1 2 0 1 0 0

P5 0 1 -1 1 0 0 1 0

P6 0 2 0 1 0 0 0 1

Z 0 -5 -4 0 0 0 0

Así pues, sabiendo que el número pivote es el 6, la variable que sale de la base es P3 y la que entra es P1.

Realizamos las operaciones requeridas para obtener la segunda tabla. Así:

5

Fila pivote (Fila 1)24 / 6 = 46 / 6 = 14 / 6 = 2 / 31 / 6 = 1 / 60 / 6 = 00 / 6 = 00 / 6 = 0

Fila 2:6 - (1 * 4) = 21 - (1 * 1) = 02 - (1 * 2 / 3) = 4 / 30 - (1 * 1 / 6) = -1 / 61 - (1 * 0) = 10 - (1 * 0) = 00 - (1 * 0) = 0

Fila 3:1 - (-1 * 4) = 5-1 - (-1 * 1) = 01 - (-1 * 2 / 3) = 5 / 30 - (-1 * 1 / 6) = 1 / 60 - (-1 * 0) = 01 - (-1 * 0) = 10 - (-1 * 0) = 0

Fila 4:2 - (0 * 4) = 20 - (0 * 1) = 01 - (0 * 2 / 3) = 10 - (0 * 1 / 6) = 00 - (0 * 0) = 00 - (0 * 0) = 01 - (0 * 0) = 1

Fila Z:0 - (-5 * 4) = 20-5 - (-5 * 1) = 0-4 - (-5 * 2 / 3) = -2 / 30 - (-5 * 1 / 6) = 5 / 60 - (-5 * 0) = 00 - (-5 * 0) = 00 - (-5 * 0) = 0

Entonces, obtenemos la Tabla 2 y, en esta identificamos el nuevo número pivote.

Tabla 2

5 4 0 0 0 0

Base Cb P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6

P1 5 4 1 2 / 3 1 / 6 0 0 0

P4 0 2 0 4 / 3 -1 / 6 1 0 0

P5 0 5 0 5 / 3 1 / 6 0 1 0

P6 0 2 0 1 0 0 0 1

Z 20 0 -2 / 3 5 / 6 0 0 0

De este modo, se observa que el nuevo número pivote es 4/3 y la variable que sale de la base es P4 y la que entra es P2.

Con este número pivote, realizamos las operaciones para obtener la nueva tabla. Así:6

Fila pivote (Fila 2):2 / 4 / 3 = 3 / 20 / 4 / 3 = 04 / 3 / 4 / 3 = 1-1 / 6 / 4 / 3 = -1 / 81 / 4 / 3 = 3 / 40 / 4 / 3 = 00 / 4 / 3 = 0

Fila 1:4 - (2 / 3 * 3 / 2) = 31 - (2 / 3 * 0) = 12 / 3 - (2 / 3 * 1) = 01 / 6 - (2 / 3 * -1 / 8) = 1 / 40 - (2 / 3 * 3 / 4) = -1 / 20 - (2 / 3 * 0) = 00 - (2 / 3 * 0) = 0

Fila 3:5 - (5 / 3 * 3 / 2) = 5 / 20 - (5 / 3 * 0) = 05 / 3 - (5 / 3 * 1) = 01 / 6 - (5 / 3 * -1 / 8) = 3 / 80 - (5 / 3 * 3 / 4) = -5 / 41 - (5 / 3 * 0) = 10 - (5 / 3 * 0) = 0

Fila 4:2 - (1 * 3 / 2) = 1 / 20 - (1 * 0) = 01 - (1 * 1) = 00 - (1 * -1 / 8) = 1 / 80 - (1 * 3 / 4) = -3 / 40 - (1 * 0) = 01 - (1 * 0) = 1

Fila Z:20 - (-2 / 3 * 3 / 2) = 210 - (-2 / 3 * 0) = 0-2 / 3 - (-2 / 3 * 1) = 05 / 6 - (-2 / 3 * -1 / 8) = 3 / 40 - (-2 / 3 * 3 / 4) = 1 / 20 - (-2 / 3 * 0) = 00 - (-2 / 3 * 0) = 0

Entonces, para la tabla 3, se obtiene que ya no hay que realizar más iteraciones, por lo que se identifica inmediatamente la solución óptima

Tabla 3

5 4 0 0 0 0

Base Cb P0 P1P2

P3 P4P5

P6

P1 5 3 1 0 1 / 4 -1 / 2 0 0

P2 4 3 / 2 0 1 -1 / 8 3 / 4 0 0

P5 0 5 / 2 0 0 3 / 8 -5 / 4 1 0

P6 0 1 / 2 0 0 1 / 8 -3 / 4 0 1

Z 21 0 0 3 / 4 1 / 2 0 0

Entonces, la solución óptima es Z= 21X1= Toneladas diarias producidas de pintura para exteriores = 3

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X2= Toneladas diarias producidas de pintura para interiores = 3/2

En consecuencia, se deben producir 3 Ton de pintura de exteriores y 1,5 Ton de pintura para interiores, para maximizar las utilidades hasta 21 mil dólares.

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