5. tendensi sentral

Mahdalena

Pengukuran Tendensi SentralPengukuran Tendensi Sentral = = Pengukuran gejala pusatPengukuran gejala pusat

Ukuran Penempatan = Ukuran Penempatan = Ukuran letak sebagai Ukuran letak sebagai pengembangan dari beberapa pengembangan dari beberapa penyajian data yg berbentuk penyajian data yg berbentuk tabel dan diagramtabel dan diagram

Rata-rata hitung untuk sampel bersimbol x (dibaca eks bar atau eks garis)

Rata-rata hitung untuk populasi bersimbol μ (dibaca myu atau mu)

∑∑XiXiX = X =

nnKeterangan :X X == Mean∑∑XiXi = Jumlah tiap data= Jumlah tiap datann = Jumlah data= Jumlah data

Contoh :Jika ada 6 orang mahasiswa mengikuti tes perbaikan mempunyai nilai masing masing 80, 70, 90, 50, 85, 60Carilah nilai rata-ratanya!

∑∑XiXiX = X =

nn80+70+90+50+85+6080+70+90+50+85+60 435435

X = X = = =66 6 6

X= 72,5

Jadi nilai rata-rata keenam mahasiswa adalah 72,5

i

i

f xx

f

Keterangan :f1 = frekuensiX = titik tengah kls interval

i

i

f xx

f

NilaiNilai Frekuensi Frekuensi (f)(f)

Titik Tengah Titik Tengah (X)(X)

f.Xf.X

60 – 6465 – 6970 – 7475 – 7980 – 8485 – 8990 - 94

26

15201674

62677277828792

124402

108015401312609368

= 70= 70 = 5435f fX

Adalah nilai dari beberapa data yg mempunyai frekuensi tertinggi dalam suatu distribusi atau nilai yang sering muncul

Contoh :80,70,60,60,50,75Nilai Modus adalah 60

? ? 1 2

( )ibMo b pb b

Keterangan :Mo = modus b = batas bawah kelas yg mengandung modusp = panjang kelas modusb1 = selisih antara frek. modus dg frek.sebelumnyab2 = selisih antara frek. modus dg frek.sesudahnya

1 2

( )ibMo b pb b

1 2

( )ibMo b pb b

Nilai (f)60 – 6465 – 6970 – 7475 – 7980 – 8485 – 8990 – 94

26

15201674

Σf=70

b =74,5 p =5 b1=20-15 = 5 b2=20-16 = 4

5Mo = 74,5 + 5(--------)

5 + 4 = 74,5 + 2,78

=77.28Jadi kelas modus pada

interval 75-79 dg nilai 77,28

20

15

16

Adalah nilai tengah dari gugusan data yang telah diurutkan (disusun) dari data terkecil sampai data terbesar atau sebaliknya

Letak median

Nilai median adalah nilai dimana data ada pada letak median

Me = ½ (n+1)Me = ½ (n+1)

Letak Median = ½ (n+1)½ (6+1) = 3 ½

50, 60, 60, 70, 75, 80 Nilai Median adalah ½ (60+70) = 65Jadi letak median antara data ke-3 dan ke-4 dgn nilai 65

? 12

f FiMe b p

f

Keterangan :Me = median b = batas bawah kelas median akan terletakp = panjang kelas medianΣf = jumlah dataf = frekuensi kelas medianF = frekuensi kumulatif sebelum kelas median

12

f FiMe b p

f

NilaiNilai ff FF

60 – 6465 – 6970 – 7475 – 7980 – 8485 – 8990 – 94

2615201674

282343596670

ΣΣf=70f=70

b = 74,5 p = 5 Σf=70 F=23 f=20

Me = 74,5 +3Me = 77,5Jadi median terletak pd

interval 75-79 dgn nilai 77,5

20

2370.2/155,74Me

ukuran yg menunjukkan tinggi rendahnya perbedaan data yang diperoleh dari rata-ratanya.

ialah data tertinggi dikurangi data terendah ditulis :

Rumus (R) = data tertinggi – data terendah

Contoh : Data nilai UTS statistik Kelas A: 90 80 70 90 70 100 80 50 75

70Kelas B: 80 80 75 95 75 70 95 60 85

60Langkah menjawab urutkan dulu kemudian dihitung rentangnya :

Kelas A: 50 70 70 70 75 80 80 90 90 100

Kelas B: 60 60 70 75 75 80 80 85 95 95

Rentangan Kelas A : 100 – 50 = 50Rentangan Kelas B : 95 – 60 = 35

Rentangan Antar Kuartil (RAK) adalah selisih antara kuartil ketiga dengan kuartil pertama ditulis dengan rumus :

RAK = K3 – K1

Contoh : Diketahui data nilai peserta pelatihanTabel 4.1

Nilai (f)60 – 6465 – 6970 – 7475 – 7980 – 8485 – 8990 – 94

26

15201674

70

K1 = 72,7K3 = 82,5RAK= 82,5 – 72,7

= 9,8Dapat ditarik kesimpulan

bahwa 50 % nilai tersebut paling rendah 72,7 dan paling tinggi 82,5 dengan perbedaan paling tinggi 9,8.

Rentangan Semi Antar Kuartil atau Simpangan Kuartil (SK) ialah setengah dari RAK ditulis dengan rumus :

SK = ½ RAK

Simpangan rata-rata ialah nilai rata-rata dari harga mutlak semua simpangan terhadap rata-rata (mean) kelompoknya. Maksud harga mutlak di sini semua nilai simpangan negatif dianggap positif.

Nilai simpangan diberi simbol (x), sedangkan harga mutlak diberi simbol |x| sehingga ditulis rumus :

x X x

catatan :ΙxΙ = simpangan data dari rata-ratanyaX = data yang diketahuix = mean kelompok data

Rumus Simpangan Rata-rata (SR) data tunggal

X xSR

n

atau x

SRn

Rumus Simpangan Rata-rata (SR) data kelompok

f xSR

f

NilaiNilaiXX

Rata-rataRata-rata ( )( )

60657075808590

7575

15105051015

∑∑X = 525X = 525 = 60= 60

xX x

x

x

Xx

n

= 525 757

60 8,577

xSR

n

artinya rata-rata nilai UAS 7 orang mahasiswa sebesar 75 dengan simpangan 8,57

Xx

n

= 525 757

60 8,577

xSR

n

artinya rata-rata nilai UAS 7 orang mahasiswa sebesar 75 dengan simpangan 8,57

contoh data kelompok : diketahui data distribusi seperti (Tabel 4.3)

X x

xfX f x

NilaiFrekuensi

(f)

Titik Tengah

(X)

f.X ff

60 – 6465 – 6970 – 7475 – 7980 – 8485 – 8990 - 94

26

15201674

62677277828792

124402

108015401312609368

15,6410,645,640,644,369,36

14,36

31,2863,8484,612,8

69,7665,5257,44

=70= 5435 = 385,24

f

x

. 5435 77,6470

f Xx

f

385,24 5,570

f xSR

f

Jadi rata-rata nilai dari 70 peserta pelatihan sebesar 77,64 dengan simpangan rata-rata 5,5

Simpangan baku ialah suatu nilai yang menunjukkan tingkat (derajat) variasi kelompok data atau ukuran standar penyimpangan dari meannya. Simbol simpangan baku populasi ( atau ) sedangkan simbol sampel (, sd atau s). Rumus simpangan baku yaitu :

1

2

2

nnX

Xs

Simpangan Baku Data Tunggal

No X X²12345678910

757080856075100909575

56254900640072253600

5625 1000081009025

5625

n=10

ΣХ= 805

ΣХ²= 66125

1

2

2

nnX

Xs

Simpangan baku (sd) sampel untuk data distribusi (dikelompokkan)

Simpangan baku (sd) populasi untuk data distribusi (dikelompokkan)

1

).(.2

2

ffXfXf

sd

2

2 ..

n

f Xf X

ff

Contoh : Diketahui data nilai peserta pelatihanTabel 4.1

Nilai (f)60 – 6465 – 6970 – 7475 – 7980 – 8485 – 8990 – 94

26

15201674

70

contoh data kelompok : diketahui data distribusi seperti (Tabel 1)

NilaiNilai Frekuensi Frekuensi (f)(f)

Titik Tengah Titik Tengah (X)(X)

f.Xf.X

60 – 6465 – 6970 – 7475 – 7980 – 8485 – 8990 - 94

26

15201674

62677277828792

124402

108015401312609368

= 70= 70 = 5435f fX

contoh data kelompok : diketahui data distribusi seperti (Tabel 4)

NilaiFrekuensi

(f)

Titik Tengah

(X)

f.X XX²² f.Xf.X²²

60 – 6465 – 6970 – 7475 – 7980 – 8485 – 8990 - 94

26

15201674

62677277828792

124402

108015401312609368

3844448951845929672475698464

76882693477760

1185801075845298333856

Σf=70 ΣfX= 5435

ΣΣX²= X²= ΣfX²= 425385

2(5435) 29539225425385 42538570 70

70 1 69425385 421988,93 3396,07 49, 22 7,016

69 69

Sd

1

).(.2

2

f

fXfXf

sd

contoh : Diketahui 20 orang pegawai yang mengikuti pelatihan kearsipan setelah dibagi 3 kelompok diuji dengan hasil sebagai berikut :Kelompok 1 : 70 75 73 80 84 86Kelompok 2 : 82 85 67 68 74 75Kelompok 3 : 74 76 85 83 71 76 86 90Berapakah simpangan gabungan ketiga kelompok ini ?

2

2 2 21 1 2

1 2

( 1) ( 1) ...( 1)...

k k

k

n Sd n Sd n SdSdg

n n n k

s1= 6,356 s1²= 40,45 s2= 7,25 s2²= 52,56 s3 = 6,75 s3²= 45,56

2 2 31 1 2 2 3 3

1 2 3

( 1) ( 1) ( 1)g

n Sd n Sd n SdSdn n n k

(6 1)40, 45 (6 1)52,56 (8 1)45,566 6 8 3gSd

202, 25 262,8 318,9220 3gSd

783,97 46,1 6,7917gSd

Varians ialah kuadrat dari simpangan baku. Simbol varians untuk populasi = atau sedangkan untuk sampel

Contoh : simpangan baku = Sd = s = 7,016 (data sampel)Varians = Sd² = s² = 7,016² = 49,2243

2

22 2

1nSd s

Perbandingan antara sd dg rata-ratanya yg dinyatakan dg %.

Gunanya utk mengamati variasi data atau sebaran data dari meannya, artinya semakin kecil KV semakin seragam (homogen) datanya

Rumusnyasd

KV = ------ X 100 %x

Rata-rata klpk 1 = 78 s1= 6,356Rata-rata klp 2 = 75,17 s2= 7,25Rata-rata klp 3 = 80,13 s3 = 6,75

6,356

KV = --------- X 100 % = 8,14%787,25

KV = --------- X 100 %= 9,64%75,176,75

KV = --------- X 100 % = 8,42%80,13