КИНЕМАТИКА

КИНЕМАТИКАКИНЕМАТИКА8. 8. ВВЕДЕНИЕ В КИНЕМАТИКУВВЕДЕНИЕ В КИНЕМАТИКУ

8.1. Способы задания движения точки8.1. Способы задания движения точкиКинематикой Кинематикой называют раздел механики, в котором называют раздел механики, в котором рассматривают движение тел и точек без учета сил, рассматривают движение тел и точек без учета сил, приложенных к нимприложенных к ним..

ССистемистема а отсчетаотсчета - реально - реальноее или условно или условноее тел телоо, , относительно которого определяют положение и относительно которого определяют положение и движение других тел.движение других тел.

Описание способов сводится к определению:Описание способов сводится к определению:а) самой системы отсчета; а) самой системы отсчета; б) положения точки в пространстве; б) положения точки в пространстве; в) уравнений движения точки; в) уравнений движения точки; г) формул, по которым могут быть найдены кинематические г) формул, по которым могут быть найдены кинематические характеристики движения точки.характеристики движения точки.

8.1.1. 8.1.1. Векторный способВекторный способ Уравнение движения точкиУравнение движения точки

- радиус-вектор- радиус-вектор tfr

Траекторией точкиТраекторией точки называют некоторую называют некоторую линию, представляющую собой послелинию, представляющую собой после--довательность положений точки довательность положений точки относительно системы отсчетаотносительно системы отсчета

Перемещением точкиПеремещением точки, , rr, за данный , за данный промежутокпромежуток времени называется вектор, времени называется вектор, соединяющий начальное и конечное соединяющий начальное и конечное положения точки на ее траекторииположения точки на ее траектории

Годографом радиуса-вектораГодографом радиуса-вектора называют линию, описываемую называют линию, описываемую его концомего концом

r

M1

M0

a

V

1r

0r

срV

i

j

k

r

O

Мгновенная скоростьМгновенная скорость

dt

rdVV ср

t

0lim

dt

Vda

Средняя скоростьСредняя скорость

t

r

tt

rrVср

01

01

Ускорение точкиУскорение точки - это векторная величина, - это векторная величина, ххарактеризуарактеризу--ющая изменение скорости точкиющая изменение скорости точки

8.1.2. Естественный способ8.1.2. Естественный способУравнение движения точкиУравнение движения точки

ОМ = ОМ = SS – – дуговая координатадуговая координата

tfS

dt

dSV

naaa

2

2

2

Va

dt

Sd

dt

dVa

n

b(+) τ

n V

na

a

a

O

M

a

na

(-) Ускорение точкиУскорение точки

Составляющие ускоренияСоставляющие ускорения

- - касательная со-касательная со- ставляющая;ставляющая;

- нормальная со-- нормальная со- ставляющая.ставляющая.

Скорость точкиСкорость точки

8.1.3. Координатный способ8.1.3. Координатный способУравнения Уравнения

движения движения точкиточки

tfz

tfy

tfx

M

M

M

3

2

1

tV

tV

tV

z

y

x

3

2

1

222zyx VVVV

.cos,cos,cos VVVVVV zyx

tdtzddtdVa

tdtyddtdVa

tdtxddtdVa

zz

yy

xx

322

222

122

222zyx aaaa

z

xy

M

a V

yM

xM

zMСкорость Скорость

точкиточки

Направляющие косинусы Направляющие косинусы

Ускорение точкиУскорение точки

9. 9. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛАДВИЖЕНИЕ ТЕЛА

9.1. 9.1. Поступательное движение телаПоступательное движение тела

ПостуПоступпательнымательным называется такое называется такое движение тела, при котором любая движение тела, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается прямая, проведенная в теле, остается при его движении параллельной самой себепри его движении параллельной самой себе

А

А В

прямолинейная траектория

криволинейная траектория

Пример поступательного движения телаПример поступательного движения тела

Свойства поступательного движенияСвойства поступательного движения

при поступательном движении все точки телапри поступательном движении все точки тела:: - - описывают одинаковые траекторииописывают одинаковые траектории;;- - имеют в любой момент времени равные по модулю имеют в любой момент времени равные по модулю и одинаковые по направлению скорости и ускоренияи одинаковые по направлению скорости и ускорения

А

В

А’

B’

ij

k

o

Br

Ar

ABrr AB

dt

ABd

dt

rd

dt

rd AB

AB VV

0

dtABd

2

2

2

2

dt

rd

dt

rd AB

AB aa

)(tfrA

9.2. 9.2. Вращательное движение телаВращательное движение тела

ВращательнымВращательным называется такое движение тела, при называется такое движение тела, при котором хотя бы две его точки остаются котором хотя бы две его точки остаются ннеподвижнымиеподвижными

I

II

φ dφ

dS

V

M

c

A

BУравнение вращательного движения

)(tf - угловая координата

dt

d

tt

0

limdt

d

tt

0

lim

h

dt

dh

dt

dSV

h

dt

dh

dt

hd

dt

dVa 2

22

hh

hVan

9.3. П9.3. Плоскопараллельное движение телалоскопараллельное движение тела Плоскопараллельным (плоским)Плоскопараллельным (плоским) называется такое называется такое движение тела,движение тела, при котором все его точки описывают при котором все его точки описывают траектории, параллельные некоторой неподвижной траектории, параллельные некоторой неподвижной плоскостиплоскости

Разложение плоского движения на составляющиеРазложение плоского движения на составляющие

A

B

A1

B1

B’

tf

tfy

tfx

A

A

Уравнения плоского движения телаУравнения плоского движения тела

Составляющие плоского Составляющие плоского движения:движения:

1)1) поступательная;поступательная;2)2) вращательная.вращательная.

Первые 2 уравнения описывают Первые 2 уравнения описывают поступательную составляющую поступательную составляющую движения, а последнее уравнение – движения, а последнее уравнение – вращательную составляющуювращательную составляющую

φ

Скорости точек при плоском движении телаСкорости точек при плоском движении тела

скорость произвольной точки М тела при его плоском движении скорость произвольной точки М тела при его плоском движении определяется как геометрическая сумма скорости другой какой-определяется как геометрическая сумма скорости другой какой-либо точки А, называемой полюсом, и скорости точки М, либо точки А, называемой полюсом, и скорости точки М, которую она получает при вращении тела вокруг полюсакоторую она получает при вращении тела вокруг полюса

OA

M

ArMr r

MV

MAV AV

AV

rrr AM

MA

MM

AA

Vdt

rd

Vdt

rd

Vdt

rd

dt

d

MAAM VVV

Теорема о проекциях скоростей 2-х точекТеорема о проекциях скоростей 2-х точекпроекции скоростей двух точек тела, совершающего проекции скоростей двух точек тела, совершающего плоское движение, на прямую, проходящую через эти плоское движение, на прямую, проходящую через эти точки, равны между собойточки, равны между собой

A

B

BV

AV

AV BAV

BAAB VVV

BAxAxBx VVV

x

cos BBx VV

cos AAx VV

090cos BABAx VV

coscos AB VV

Мгновенный центр скоростей (МЦС)Мгновенный центр скоростей (МЦС)

МЦСМЦС - точка сечения тела, скорость которой в - точка сечения тела, скорость которой в

данный момент времени равна нулю данный момент времени равна нулю

A B

BV

AV

P

90o

90o

поэтомуневозможночто

VVиVV

явыполнятьсдолжновременно

однотогдаVПусть

BPBPAPAP PBPA

p

,

,

,0

0PV

MPVилиVVравнатела

МточкиойпроизвольнСкорость

MMPM

ВЫВОДЫ:ВЫВОДЫ:

1) практическое значение МЦС заключается в 1) практическое значение МЦС заключается в том, что с его помощью геометрически том, что с его помощью геометрически сложное плоское движение тела можно сложное плоское движение тела можно рассматривать как простое мгновенно рассматривать как простое мгновенно вращательное движение относительно оси, вращательное движение относительно оси, проходящей через МЦС;проходящей через МЦС;

2) скорость произвольной точки тела, 2) скорость произвольной точки тела, совершающего плоское движение, совершающего плоское движение, определяется как скорость, которую она определяется как скорость, которую она получает при вращении тела вокруг МЦС получает при вращении тела вокруг МЦС

Частные случаи определения положения МЦС

AV

ω

P

AB

90o

90o

A

B

BV AV

BV

P

a)

b)

c)

P

A

B

C

ω

AV

BV

BP

V

AP

V BA CV

9.4. Движение тела с одной неподвижной 9.4. Движение тела с одной неподвижной точкойточкой

Уравнения движенияУравнения движения

φφ = <KOx –= <KOx –угол собственного вращенияугол собственного вращения

ΨΨ = = <x<x11OK – OK – угол прецессииугол прецессии

ΘΘ = = <z<z11OzOz – угол нутации – угол нутации

ОКОК – линия узлов – линия узлов

x1

y1

z1

x

yz

K

Oφ

ψ

θ

tf

tf

tf

3

2

1

Теорема Эйлера-Даламбера

всякое элементарное перемещение тела, имеющего одну неподвижную точку, можно представить как элементарный поворот относительно мгновенной оси вращения, проходящей через эту точку

ОК

Мh1

h2z

z1

N

P

dφ

dψ

dθ

0

..

,

,

21

21

dhdh

ет

dhdh

гдеМНайдем

dφ+dψ

Кинематические характеристики тела

P1

Pk

Pn

O

ω1

ωn

ε1

годограф ωdt

ddt

rdV M

M

М

Кинематические характеристики точки

V

Mr

O

Мh

α

rV

hrr sin

Vr

dt

rdr

dt

ddt

Vda

ra Van

P

99.5. Движение свободного тела.5. Движение свободного тела

AV AV

MAV

O

x1

y1

z1

A

M

MV

x y

z

P

tftftf

tfztfytfx

теладвиженияУравнения

AAA

654

312111

:

AMV

VVV

МточкиСкорость

MA

MAAM

:

MAAM aaa

МточкиУскорение

:

MAMA VAMa

1010. . Сложное движение точкиСложное движение точки

rV

eV

aV

x1

y1

z1

Mx

y

zO

O1

Относительным называется движение точки относительно подвижной системы отсчета

Переносным называется движение подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета

Сложным (абсолютным) называ-ется движение, являющееся геометрической суммой относительного и переносного движений

era VVV

1010.2. .2. Ускорение точкиУскорение точки

Ускорение КориолисаУскорение Кориолиса учитывает влияние относи учитывает влияние относи--тельного движения точки на переносную скорость и тельного движения точки на переносную скорость и переносного движения на относительную скоростьпереносного движения на относительную скорость

cera aaaa

rec Va 2 rerec VVa ,sin2

Правило Н.Е.Жуковского: спроектиро-вать вектор относительной скорости, Vr , на плоскость, перпендикулярную оси вращения, и полученную проекцию, Vrxy , довернуть в этой же плоскости на 90 по направлению вращения

ω

xy

rxyV

rV

ca

z

M

Случаи Случаи

aacc=0=0::

1) 1) ωωee=0=0 – – подвижная система отсчета подвижная система отсчета

движется поступательно;движется поступательно;

2) 2) VVrr=0=0 – в относительном движении – в относительном движении

скорость точки может быть скорость точки может быть

равна нулю, как частное равна нулю, как частное

значение;значение;

3) 3) - вектор - вектор

угловой скорости параллелен угловой скорости параллелен

вектору относительной скорости.вектору относительной скорости.

0,̂sin re V

O0l

rV

eA

B

0,

BArV