8 位能與力學能守恆定律

88 位能與力學能守恆定位能與力學能守恆定律律

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8-1位能8-2保守力8-3重力位能的普遍形式

8-4彈性位能8-5力學能守恆定律

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8-1 8-1 位能位能

伽利略發現擺動的單擺之弦線若受到木栓阻止，單擺依然可上升到相同的高度，此實驗發現提供了日後形成能量守恆的重要參考。

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一﹑直線路徑

質量 m 的物體在地表附近所受的重力 Fg(=mg) ，若此物體自高度為 y 初處，自由下落至高度 y 末處， 則重力對此物體作功。

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重力對此物體所作的功

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重力對物體所作的功，視為物體在不同位置 y 初與 y 末所對應之一種新的能量變化量。將 mgy 此僅與位置有關的量，定義為一新物理量。

稱為重力位能（ gravitational potential energy）或簡稱為位能

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重力對物體所作的功，等於物體之初重力位能與末重力位能的差。

ΔU 定義為 U 末－U 初

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二﹑斜面路徑

質量為 m 的物體受重力作用後，若非沿直線自由落下，而是沿著一光滑傾斜面，自頂端 y 初高度處，下滑至垂直高度為 y 末。( 設底面位置為 0 ，向上為正。 )

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正向力方向永遠與路徑方向垂直故合力對物體所作的功﹐即等於重力對此物體所作的功

θ 為重力與物體運動方向的夾角

Scosθ為垂直高度差 y 初－ y 末

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重力對物體所作的功 = 物體的初位能與末位能的差。

重力位能 U ＝ mgy只與質量或物體在重力方向的

坐標 y 有關

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三﹑任意路徑

質量為 m 的物體受重力作用，沿著任意路徑，自離水平面垂直高度為 y 初處，運動至垂直高度為 y 末。

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將物體的運動路徑分割成許多小區間，則重力對物體沿總路徑所作的功，即為重力對此物體在每一個小區間所作功之和。

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重力對物體在每一小區間所作的功，只與垂直高度的變化有關。

重力所做的功等於物體的初重力位能與末重力位能之差，且僅與起點及終點之間的垂直高度差有關。

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8-2 8-2 保守力保守力

對物體所作的功與運動路徑無關的力﹐統稱為保守力（ conservative force）

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物體自空間中某一起點 A，不論經過何種路徑，如 1 、 2 、 3 或 4 ，抵達終點 B 。重力對物體所分別作的功均相同。

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保守力對物體所作的功﹐等於起點 A 與終點 B 位置所對應的某種位置函數 U 初與 U 末之差

位置函數 U 稱為物體在該位置所對應的位能

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對重力來說，任意點之位置函數或位能 U ，

為重力 mg乘上該點在水平零位面上（此參考面可由自己選定）之垂直位置

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只有在保守力作用下﹐功與物體的運動路徑

無關﹐而僅與兩端點之位置有關﹐且也唯有如此﹐才會有對應之位能可言

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若一作用力對物體所作的功與路徑有關，則無法表示成起點與終點兩位置函數的差，此種作用力

稱為非保守力（ non-conservative

force）

非保守力

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常見的保守力與非保守力

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8-3 8-3 重力位能的普遍形重力位能的普遍形式式質量為 M 的地球對其周圍質量為 m 的衛星﹐或者太陽對其周圍的行星﹐彼此之間的萬有引力或重力大小為

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萬力引力也屬於一種保守力﹐存在有位置函

數或重力（萬有引力）位能﹐且其形式經推導出來為

其值為負值

規定兩物體距離無限遠時﹐萬有引力的位能值為 0（即在無限遠處為零位能點）

重力位能的普遍形式重力位能的普遍形式

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當物體 m 從無限遠處﹐移至與 M 相距 r處的過程中，萬有引力會對物體 m 作正功

U （ r ）＜ 0 ，代表距地心 r 處之物體，其萬有引力位能為負值。

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在地表附近受重力作用下，物體在位能較大的高處，會朝向位能較小的低處運動。

在地球極遠處的衛星，位能較大（接近於 0 ） ，會朝向位能較小（位能為負）的地球附近運動。

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質量為 m 之物體，在地球表面上 h 處之位能，與地球表面位能之差為

M 與 RE 分別為地球之質量與半徑

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當 h ＜＜ RE 時﹐ RE ＋h ～ RE﹐故位能差為

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重力加速度 g 之定義

地球表面重力位能地球表面重力位能 UU （（ y)y) ＝＝ mgymgy

重力位能普遍形式下的特殊情形

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地球附近一般重力位能的表示式為

選擇距地球非常遠處r ＝∞之位能 U=0

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在地球表面重力為固定值

選擇地面之位能 U ＝0 ，在地面上h 高處，質量為 m 物體之位能為U ＝ mgh

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8-4 8-4 彈性位能彈性位能

彈力─保守力與彈簧連接的物體﹐自起點 x 初移動至 x 末﹐彈力對物體所作的功

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彈力對物體作用，使其自 x 初移動至 x末，不論經由路徑 1或路徑 2 ，所作的功均相等。彈力所作的功，僅與物體運動的起點與終點的位置有關，與中間過程無關 。彈力是一種保守力

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在彈力作用下，物體所受之彈力為 F ＝－ kx ，所對應之彈性位能為

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定義定義

物體在不同位置所對應之彈性位能（ elastic potential ）為

x 為以平衡點為原點所對應之物體位置﹐可為正﹑負或 0

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相對於平衡點的位能﹐任何一點之彈性位能均為正值正值

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在保守力保守力（如重力或彈力）的作用下﹐它們對物體所作的功﹐僅與物體的起點及終點有關﹐並可由所對應之位能形式來表示﹐即

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位能函數 位能函數 UU 及其所對應的保守力 及其所對應的保守力 FF

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8-5 8-5 力學能守恆定律力學能守恆定律

一﹑作用力為保守力時

考慮兩種物體的受力情形：( 一 ) 物體僅受單一保守力作用： 落體運動 、行星繞日運動，物體分別只受 單一的重力或萬有引力作用。

( 二 ) 物體所受外力含單一保守力及與運動路徑處 處垂直的正向力作用： 在平面、斜面或曲面上的運動物體，或在水 平面上與彈簧連接的運動物體，分別僅受單 一的重力或彈力，以及正向力作用。

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正向力（ N ）對物體永不作功，故在此兩種受力情形下，合力對物體所作的功 W 合

力，即為單一保守力所作的功 W 保守力

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不論路徑為何， W 合力為物體末動能與初動能的差。

不論運動路徑為何， W 保守力皆可表示成物體初位置與末位置所對應的狀態函數─位能─之差。

功能定理功能定理：

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ΔK 代表末動能與初動能之差ΔU 代表末位能與初位能之差

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物體在末位置所對應的動能與位能和

= 物體在初位置所對應的動能與位能和

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動能與位能分別與運動物體的速率與位置有關，故合稱為力學能（ mechanical energy）。

力學能力學能

EE ＝＝ KK ＋＋UU

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力學能守恆定律力學能守恆定律（ conservation law of mechanical energy）

在保守力作用下，不論其運動路徑為何，末狀態與初狀態的力學能永遠維持固定不變的值。

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物體所損失的動能 ∆ K ＜ 0 ，會造成物體獲得位能 ∆ U ＞ 0 。物體所損失的位能 ∆ U ＜ 0 ，可造成物體獲得動能 ∆ K ＞ 0 。即動能與位能可以互相轉換，但其總改變量 ΔE 依然為 0 ，亦即總力學能 E 不會增加，也不會減少。

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若保守力為重力﹑萬有引力或彈力﹐則力學能守恆律可分別表示成

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一物體繫於彈簧的一端，在無摩擦的水平面上來回作簡諧運動，利用力學能守恆觀點來描述。

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在彈力作用下，任何位置處物體的動能與位能關係變化圖，物體的總力學能永遠維持不變。

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一單擺所懸掛的擺錘來回擺動時，在不同位置所對應的動能及位能關係圖

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二﹑力學能守恆的條件——保守力與隔離系統

隔離系統（ isolated system）

與系統外的環境無任何交互作用，或說無任何其他外力作用在此系統內的質點上。

保守力之重力與彈力之力學能守恆定律才會成立

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重力之力學能守恆定律成立的隔離系統，由於地球之質量相對於物體而言，質量非常大，可被視為靜止，而無動能。

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彈力之力學能守恆定律成立的隔離系統，由於牆壁之質量相對於物體而言，質量非常大，可被視為靜止﹐而無動能。

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三﹑作用力含非保守力時

若隔離系統中之一物體，同時受一保守力及摩擦力 fk 作用。依功能定理：

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保守力部分所作的功：

W 保守力＝ U 初－ U 末

含摩擦力之力學能關係為

或

力學能不再守恆

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物體自起點至終點之路徑長為 d ，動摩擦力為 fk ， fk 可對物體作負功 W 摩擦力＝－ fkd ，故力學能關係式可表示

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有非保守力對物體作功時，物體的力學能將不再守恆 。

力學能會有損失﹐損失的量即為非保守力（或摩擦力）所作的功－ fkd

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1、重力對物體垂直下落或沿斜面運動所作的功，

等於物體的初重力位能與末重力位能的差。

8 － 1 　位能

2 、重力對物體沿任意路徑所作的功為

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8 － 2 　保守力

3 、對物體所作的功與運動路徑無關的力，統稱 為保守力。

4 、由於保守力對物體所作的功與物體移動路徑 無關﹐因此保守力對物體所作的功﹐即等於 起點 A 與終點 B 位置所對應的某種位置函數 U 初與 U 末之差

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5 、只有在保守力作用下﹐物體才會有對應之位 能可言。在地表重力作用下﹐物體的位能為

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8 － 3 　重力位能的普遍形式

6 、萬有引力屬於一種保守力﹐所對應的位能為

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8 － 4 　彈性位能

7 、彈力所作的功，僅與所考慮物體運動的起點 與終點位置有關，而與中間過程無關。

彈力是一種保守力。且所對應之彈力位能為：

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8 － 5 　力學能守恆定律8、動能與位能合稱為力學能，可以 E ＝ K ＋ U 來代表。 在保守力作用下，不論其運動路徑為何，末狀態 與初狀態的力學能永遠維持固定不變的值。稱為 力學能守恆。

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9 、力學能守恆定律式

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10、只在所探討的系統為一隔離系統，即無任何 其他外力作用此系統內的質點上，力學能守 恆定律才會成立。

11、有摩擦力 ( 非保守力）作用時﹐力學能關係式 為

物體的力學能將不再守恆﹐力學能損失的量即為非保守力所作的功－ fkd

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概念圖

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