8. linearna funkcija i jednadžba pravca · nultočka funkcije je broj kojem funkcija pridružuje...

8.8.

Linearna funkcija i jednadžba pravca

Linearna funkcija i jednadžba pravca

Funkcija je pravilo po kojem svakom elementu jednog skupapridružujemo točno jedan element nekog drugog ili tog istogskupa.

Kako čitamo ovo:f(2) = 5 → ef od 2 jednako je 5

Što to znači?To znači da funkcija f broju 2 pridružuje broj 5. 2 ↦↦↦↦ 5

Kako čitamo ovo:g(x) = 2·x → ge od x jednako je 2 puta x

Što to znači? Kakva pridruživanja vrši funkcija g?

Funkcija g svakom broju x pridružuje 2·x,tj. dvostruki broj.

Zadatak:Zadana je funkcija f(x) = 2x-7 .

Izračunajmo što ta funkcija pridružuje brojevima -1 i 3.

f (-1) = 2 · (-1) - 7f (-1) = -2 -f (-1) = -9

7Time smo izračunali da ova funkcija broju -1 pridružuje broj

f (3) = 2 · 3 - 7f (3) = 6 -f (3) = -1

7

-9.

Linearna funkcija je funkcija oblikaf(x) = ax + b ,

pri čemu su a i b

Za svaku od sljedećih funkcija reci da li je linearna:

g(x) = 2x - 7 → je, a = , b =2 -7

h(x) = -x + 5 → je, a = , b =-1 5

f(x) = x → je, a = , b =1 0

f(x) = x · x → nije

→ nijek(x) = 4x - __5x

f(x) = -0.3x + __89

__89→ je, a = , b =-0.3

racionalni brojevi, a ≠0.

Primjer:Zadana je funkcija f(x) = 2x-1 .

Ako želimo prikazati što ta funkcija pridružuje nekim brojevima, to možemo učiniti pomoću tablice:

x

f(x) = 2x-1

1 2 4 0 -1?1 ?3 ?7 ?-1 ?-3

Kako bismo u koordinatnom sustavu predočilita ista pridruživanja?

Primjer:Zadana je funkcija f(x) = 2x-1 .

x

f(x) = 2x-1

1 2 4 0 -11 3 7 -1 -3

0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1

12

34

-4-3

-2

-1x

5

-5

y

Sve ucrtane točke leže na istom ______.pravcuGraf linearnelinearne funkcijefunkcije uvijek je ______pravacpravac !

y=2x

-1

Primjer:Zadana je funkcija f(x) = 2x-1 .

x

f(x) = 2x-1

1 2 4 0 -11 3 7 -1 -3

0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1

12

34

-4-3

-2

-1x

5

-5

y

y=2x

-1

Očitaj sa grafa: f(-2) = -5f(2.5) = 4f(0.5) = 0f( ___ ) = -4-1.5

-1.5

Primjer:Zadana je funkcija f(x) = 2x-1 .

x

f(x) = 2x-1

1 2 4 0 -11 3 7 -1 -3

0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1

12

34

-4-3

-2

-1x

5

-5

y

y=2x

-1

Pripada li točka (20,40) tom grafu?To na crtežu ne vidimo, pa provjerimo računski:

f (20) = 2 · 20 -

f (20) = 39

1Dakle, točka (20,40) ne pripada grafu funkcije f,a pripada mu točka (20,39) .

Nultočka funkcije je broj kojem funkcija pridružujevrijednost nula.

Kolika je nultočka funkcije f iz prošlog primjera?Možemo li je očitati sa grafa?

0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1

12

34

-4-3

-2

-1x

5

-5

y

y=2x

-1Pogledamo u kojoj točki graf sijeće os x.Toj točki funkcija f pridružuje nulu!

0.50.5

Dakle, f(0.5) = 0,pa je 0.50.5 nultočka funkcije f.

Nultočka funkcije je broj kojem funkcija pridružujevrijednost nula.

A kako bismo računski našli nultočku iste funkcije, f(x) = 2x-1 ?

Pošto je nultočka vrijednost kojoj funkcija pridružuje nulu,krenimo od:

f(x) = 0

2x - 1 = 0 Nañimo x koji to zadovoljava!

2x = /: 2

x = 0.5

Došli smo do istog rješenja kao ikad smo očitavali sa grafa,nultočka je broj 0.50.5 .

1

Koeficijenti linearne funkcije:

f(x) f(x) == aa xx ++ bb

?koeficijent smjerakoeficijent smjera ?odsjeodsječčak na osi yak na osi y

- govori namda li funkcija raste ili pada

Ako je a > 0, tada funkcija _____.rasteAko je a < 0, tada funkcija _____.padaAko je a = 0, tada funkcija niti ne raste niti ne pada,

- govori nam u kojoj točkigraf funkcije sijeće os y

ili nagibnagib

njezin je graf vodoravan.

Zadatak:

0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1

1234

-4-3-2-1

x

5

-5

y

Što sa grafa možemo zaključiti o:- koeficijentu smjera ? a > 0 a > 0 (funkcija raste)- odsječku na osi y ? b = b = --22

- nultočki funkcije ? xx00 = 1= 1

Zadan je graf funkcije f:

Umjesto f(x) možemo pisati y , npr.yy == --2x2x ++ 11 .

Ako u koordinatnom sustavu nañemo sve točke (x,y) koje tozadovoljavaju, one će ležati na istom ______.pravcu

Stoga kažemo da je yy == --2x2x ++ 11 ______________.jednadjednadžžba pravcaba pravca

Kako nacrtati taj pravac?

0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1

1234

-4-3-2-1

x

5

-5

y

x

y =

1 2

-2x+1 ?-1 ?-3y=-2x+1

Ako dva pravca imaju jednake koeficijente smjerajednake koeficijente smjera, tada suti pravci _______.paralelniparalelni

Npr. koji su od ovih pravaca paralelni:

y = 3x - 4y = 2x - 4y = 3x + 1y = -2x - 4

Zadatak:U istom koordinatnom sustavu nacrtajmo pravce:

y = 4x - 5y = 4x = -2y = -xx = 4y = -3

0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1

1234

-4-3-2-1

x

5

-5

y

1 2x

y = 4x-5 ?-1 ?3

y=4x-5

y=4

x=-2

1 2x

y = -x ?-1 ?-2

y=-x

x=4

y=-3

Zadatak:Nañi jednadžbu pravca koji prolazi točkom (2,-4) i imakoeficijent smjera -1 .

y = ax + baa, bb = ?aa == --11

y = -1x + by = -x + b

bb = ?

x y

-4-2 + b = -4

b = -4 + 2b = -2bb == --22

yy ==

= - + Izračunajmo b!b

--xx -- 22

2

Time smo došli do kraja ponavljanja gradiva 7. razreda.

Gradiva je puno,no ako si u 7. razredu redovito radio,

vjerujem da si se brzo podsjetiosvega što si zaboravio.

Puno sreće i uspjehau 8. razredu!!!

Prezentaciju napravila:Prezentaciju napravila:

Antonija HorvatekAntonija HorvatekAntonija HorvatekAntonija HorvatekAntonija HorvatekAntonija HorvatekAntonija HorvatekAntonija Horvatek

rujan 2007.rujan 2007.

Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.

U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.

Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za

objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,

udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,

radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano

uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).

Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago

ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...

Antonija HorvatekAntonija Horvatek

ahorvatek@yahoo.com

http://public.carnet.hr/~ahorvate