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TEORÍA DE LOS ERRORES EN LA MEDICIÓN

INTRODUCCIÓN

El proceso de efectuar observaciones (mediciones), así como el de realizar el cálculo y análisis subsecuentes, son tareas fundamentales de los topógrafos. Tomar buenas mediciones necesita una combinación de habilidad humana y equipo adecuado, aplicamos ambos con buen juicio. Sin embargo no importa con cuanto cuidado se haga, las mediciones nunca son exactas y siempre tendrán errores. Los topógrafos ( Ingenieros en Geomántica) cuyo trabajo debe realizarse bajo estrictas normas de calidad, deben conocer los distintos tipos de errores, sus causas, sus posibles magnitudes bajo diferentes condiciones de trabajo, así como su manera de propagarse.Sólo entonces podrá seleccionar los instrumentos y procedimientos necesarios para reducir la magnitud de los errores a un nivel razonable.

ERRORESClasificación de los errores. Para su estudio podemos clasificar a los errores en dos clases.

CLASES DE ERRORES:

Sistemáticos Accidentales

ERRORES SISTEMÁTICOSSon aquellos que siguen siempre una ley definida física o matemática y, mientras las condiciones en que se ejecutan las medidas permanezcan invariables, tendrán la misma magnitud y el mismo signo algebraico; por lo tanto son acumulativos.

La magnitud de estos errores se puede determinar y se eliminan aplicando métodos sistemáticos en el trabajo de campo.

Los errores sistemáticos pueden ser instrumentales, personales o naturales.

ERRORES ACCIDENTALES

Son los que obedecen a una combinación de causas que no alcanza el observador a controlar y para las cuales no es posible obtener correcciones.

Los errores accidentales sólo se pueden reducir por medio de un mayor cuidado en las medidas y aumentando su número.

YERROS O EQUIVOCACIONES

Son las faltas involuntarias originadas por el mal criterio, falta de cuidado o de conocimientos, distracción o confusión del observador.Las equivocaciones se encuentran y se eliminan comprobando todo el trabajo.

ERRORES COMUNES EN LA MEDIDA DEDISTANCIAS CON CINTA

SISTEMÁTICOS:

Por longitud incorrecta de la cinta. Por mala alineación. Por inclinación de la cinta. Por catenaria (columpio). Por temperatura.

ACCIDENTALES:

Por puesta de ficha (inclinación de la ficha). Por variación de la tensión. Por apreciación de las fracciones al leer la cinta.

DISCREPANCIAEs la diferencia entre dos medidas de la misma magnitud: distancia, ángulo o desnivel.

VALOR MÁS PROBABLE DE UNA MAGNITUDEs el promedio de las medidas tomadas o media aritmética.Esto aplica tanto a ángulos como a distancias y desniveles.

TOLERANCIASe entiende por tolerancia el error máximo admisible en la medida de ángulos, distancias y desniveles.

EL ERROR en la medida de una magnitud, se encuentra comparando el resultado de dicha medida con el valor más probable de la magnitud.

ERROR RELATIVO

Es la razón que existe entre una unidad de error, entre un número dado de unidades medidas.

Se le conoce como precisión; entre mayor sea el denominador (número de unidades medidas) mayor será la precisión, esto por ser más pequeño el error.

Cuando la distancia no se conoce de antemano se procede midiendo 2 veces (ida y regreso) y la tolerancia se calcula aplicando el criterio siguiente:

CLASE DE TERRENO

PRECISIÓN O ERROR

RELATIVO( ER )

TOLERANCIA EN METROS ( T )

PLANO 1 / 5000 T = D*ER

Siendo D el valor más probable de la distancia medida ACCIDENTADO 1 / 3000

Se compara el error obtenido con la tolerancia, si: E < T se acepta la medición E > T debe repetirse la medición

EJERCICIOS

En la medición de una distancia en terreno plano, se midió de ida 30.050 m y de regreso 30.060 m

Determina:

a) la discrepancia b) el valor más probable c) el error d) la tolerancia e) indica si se acepta la medición o debe repetirse

DATOS:

DISCREPANCIA (D)DI = 30.050 m DR = 30.060 m Terreno plano; ER= 1 / 5000

CÁLCULO

a) DISCREPANCIA (D)

D = DT – DM

Donde:D = Discrepancia (Media aritmética)DT = Dato mayor DM = Dato menorRemplazando Valores tenemos: D = 30.060 – 30.050 = 0.010 m

b) VALOR MÁS PROBABLE (VP)

VP = DI + DR 2

Donde:VP = Valor ProbableDI = Distancia de idaDR = Distancia de retornoRemplazando Valores tenemos:

VP = DI + DR = 30.050 + 30.060 = 30.055 m 2

C) ERROR ( E )

E = DI – VPE = DR – VP

Donde: E = errorDI = distancia de idaDR = Distancia de retornoVP = Valor ProbableRemplazando Valores tenemos:

E = 30.050 – 30.055 = - 0.005E = 30.060 – 30.055 = + 0.005

∴ E = ± 0.005 m

d) TOLERANCIA ( T )

T = VP*ER

Donde:T = ToleranciaVP = Valor ProbableER = Error relativo (1/5000) Remplazando Valores tenemos:T = 30.055 (1/5000) = 0.006 T = ± 0.006 m

e) COMO

E < Tse acepta la distancia medida con valor de 30.055 m.

MEDICIONES Y ERRORES

TIPOS DE MEDICIONESEn topografía plana se utilizan cinco clases de mediciones:

Ángulos horizontales Distancias horizontales Ángulos verticales Distancias verticales Distancias inclinadas

Combinándolas se pueden determinar posiciones relativasentre puntos.

Nota: Combinándola con la altura del instrumento (i).

Las magnitudes de las mediciones son relativas a:

LONGITUD (L), ÁREA (L2), VOLUMEN (L3) ÁNGULO (S. Sexagesimal)(S.I. usado en la mayoría de países “Perú”)

UNIDADES PARA MEDIDAS DE LONGITUD:

Metro (m)1 metro = 100 CmOtrosPie, pulgada, yarda, cadena de Gunter.1 pie = 12 pulgadas1 yarda = 3 pies1 pulgada = 2.54 cm1 cadena de Gunter = 66 pies = 100 eslabones

UNIDADES PARA MEDIDAS DE ÁREA: m2OtrosPie 2 yarda 2Acre1 acre =10 cadenas de Gunter cuadradas1 acre = 10*(66 pie)2 = 43 560 pie2

UNIDADES PARA VOLUMEN:M3OtrosPie 3,Yarda cúbica, Acrepie.

UNIDADES PARA ÁNGULOS:Sistema sexagesimal

En 1960 la Conferencia General de Pesas y Medidas elaboró un sistema de unidades que estuviera basado en fenómenos físicos fundamentales, facilitando el entendimiento y la estandarización de las medidas.

La única excepción es la unidad de Masa, el kilogramo, que sigue estando referida a una “masa prototipo” de un cilindro de platino e iridio conservado en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas.

En el Perú se hizo obligatorio y oficial el SI; recoge la nomenclatura, definiciones, símbolos y recomendaciones para su uso.

ALGUNAS REGLAS PARA LA ESCRITURA EN EL SI:

El nombre completo de las unidades SI se escribe en minúsculas, con la única excepción del grado Celsius, salvo en el caso de comenzar la frase o luego de un punto. (metro, Metro, newton, Newton).

No existen más símbolos aparte de los reconocidos internacionalmente. ( m , mt, mts, M; s , seg; km/h , kph).

El separador decimal es la coma y no el punto. (10 234,9 10234.9).

En números de muchas cifras, éstas se agrupan de tres en tres, a partir de la coma, tanto para la parte entera como para la parte decimal.Entre cada grupo se debe dejar un espacio: La velocidad de la luz en el vacío es 299 792 458 m/s Una pulgada equivale a 0,025 4 m Debe existir un espacio entre el número y el símbolo.

ALGUNAS DEFINICIONES LONGITUD : ( metro – m ):Longitud del trayecto recorrido en el vacío por la luz, durante un intervalo de tiempo de 1/ 299 792 458 segundos. (17ª CGPM de 1983).

TIEMPO: (segundo – s ):Duración de 9 192 631 770 períodos de la radicación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133. (13ª CGPM 1967, resolución 1)

ALGUNAS REGLAS PARA LA ESCRITURA EN EL SI:

No se colocarán puntos luego de los símbolos, sus múltiplos o submúltiplos.Cuando, por norma, deba ir un signo ortográfico después del símbolo de la unidad, debe aparecer un espacio entre ellos. (kg , m , cm ,)

El símbolo de la unidad será el mismo para el singular que para el plural. (un metro = 1 m , mil doscientos treinta metros = 1230 m )

UNIDAD DE MEDIDA:Magnitud particular, definida y adoptada por convención, con la cual se comparan las otras magnitudes de la misma naturaleza para expresar cuantitativamente su relación con esta magnitud.

PRECISIÓN Y EXACTITUDP: Precisión E: Exactitud

P: NOE: NO

P: SIE: NO

PRECISIÓN Y EXACTITUDP: Precisión E: Exactitud

P: NOE: SI

P: SIE: SI

ERRORES

“Ninguna medición es exacta y nunca se conoce el valor verdadero de la cantidad que se está midiendo (los valores exactos o verdaderos existen, pero no pueden determinarse).”

⇒ Toda medición tiene un error.

⇒ La magnitud exacta del error tampoco se puede conocer.

EQUIVOCACIÓN:Diferencia con respecto al valor verdadero, causada por la falta de atención del topógrafo.

Por ejemplo, anotar 276,93 m en lugar de 267,93 m . Las equivocaciones se pueden eliminar si se trabaja concuidado y se revisa el trabajo hecho. ERROR: Diferencia con respecto al valor verdadero, ocasionada por la imperfección de los sentidos de una persona, por la imperfección de los instrumentos o por efectos climáticos.

FUENTES DE ERROR:

ERRORES PERSONALES:De percepción (diferentes y más pequeños que las equivocaciones).

ERRORES INSTRUMENTALES: De fabricación y falta de calibración.

ERRORES NATURALES:Producidos por el viento, temperatura u otro fenómeno natural.

ERROR SISTEMÁTICO:Es aquel que, en igualdad de condiciones, se repite siempre en la misma cantidad y con el mismo signo.

Este tipo de error tiende a acumularse en función del número de medidas que se tomen.

Todo error sistemático obedece siempre a una ley matemática o física, por lo tanto, puede determinarse su magnitud y aplicarse la corrección correspondiente.

Ejemplo:Que una cinta métrica mida más o menos de lo que dice es un error sistemático.

ERROR ACCIDENTAL O ALEATORIO:

Es aquel producido por factores que no pueden ser controlados por el observador.No puede aplicarse ninguna corrección en este caso, pues la magnitud y el signo del error en cada observación son casuales (aleatorios); sin embargo obedecen a la ley de probabilidades y, en ocasiones, tienden a compensarse en observaciones sucesivas.

CORRECCIONES DE LAS MEDICIONES CON WINCHA

1.- CORRECCIÓN POR LONGITUD VERDADERA.- La cinta por el constante uso, temperatura, tensión sufre una cierta dilatación aumentando en milímetros su longitud verdadera, al realizar una medición por tramos se está cometiendo un error acumulativo en todo el circuito, la corrección se realiza aplicando la fórmula

Ln

Lr*LmLc

FUENTE ING. GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

Donde: Lc = Longitud corregida Lr = Longitud real de la cinta graduada Ln = longitud nominal de la cinta. Lm = Longitud total medida.

Ejemplo No 1Con una cinta de 30 m Se mide una distancia de 189.80 m deseamos saber la longitud corregida, después de contrastar la Wincha en un laboratorio con la medida patrón resulta que tenía 29.996 m.SOLUCIÓN:Ln= 30 m.Lm= 189.80Lc= ¿ Lr= 29.996

mLnLrLm

Lc 775.18930

996.29*80.189*

FUENTE ING. GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

2.- CORRECCIÓN POR TEMPERATURA.- La temperatura de ambiente puede afectar mucho a la cinta, la medición de base debe hacerse a una temperatura aproximada de calibración, generalmente las Winchas vienen calibradas a 20° C.

Ct = LK*( t – to )

Donde:Ct = Corrección por temperatura.

L = Longitud verdadera del tramo.K = coeficiente de dilatación del acero (0.000012).t. = temperatura de campo.to = temperatura graduada de la Wincha

FUENTE ING. GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

Remplazando valores.Ct (AB) = 50 (0.000012) (23-20) = 0.00180Ct (BC) = 38.25 (0.000012) (18-20) = -0.00092Corrección total AC = 0.00088La longitud corregida por temperatura es:88.25 + 0.00088 = 88.251 m.

Ejemplo No 2.Con una cinta de 50m graduada a 20ºC se mide dos tramos, AB 50 m a 23ºC y BC = 38.25 a 18ºc, ¿cual es la corrección por temperatura?SOLUCIÓN:

Si. Ct = ?L = 50 y 38.25 m. = 88.25 m.K = 0.000012T = 23º C y 18º Cto = 20o CCt = LK (t-to)

FUENTE ING. GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

3.- CORRECCIÓN POR HORIZONTALIDAD.- Se realiza debido a la pendiente del terreno, no siempre una distancia se mide horizontalmente, para corregir este desnivel se aplica la fórmula.

L2

hCh

2

Donde: Ch = Corrección por horizontalidad. h= Diferencia vertical del tramo L = longitud del tramo

FUENTE ING. GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

Ejemplo No 3.Encontrar la corrección de una base de 85.48 m. medido con Wincha de 30 m, teniendo el desnivel entre AB, 0.08m, BC, 0.25m y CD, 0.15m.SOLUCIÓN:Ch = ?

h = 0.18, 0.25, 0.15m respectivamente. L = 30, 30, 25.48 respectivamente.

L2

hΔCh:Si

2

FUENTE ING. GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

TRAMO LONGITUD h 2L

AB 30 0.08 60 -0.00011

BC 30 0.25 60 -0.00104

CD 25.48 0.15 50.96 -0.00044

Corrección total -0.00159

Distancia corregida : 85.48 - 0.00159 = 85.478 m.

FUENTE ING. GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

4.- CORRECCIÓN POR CATENARIA.- La cinta al ser suspendida de sus extremos forma una catenaria, la corrección será la diferencia que existe entre la cuerda y el arco formado por los extremos, para corregir aplicamos la fórmula:

2

P

WL

24

LCc

Donde:Cc = Corrección por catenariaL = Longitud de catenariaW = Peso de la cinta en kg/m.l.P = Tensión aplicada en kg.

FUENTE ING. GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

Ejemplo No 4Con una Wincha de 30 m ,se mide una distancia de 80.45 m. en tres

tamos sabiendo que la cinta pesa 0.750 kg y la tensión aplicada es: AB=10 kg, BC=5 kg, y CD=10 kg.

SOLUCIÓN:Cc= Corrección por catenaria.L= 30, 30, 20.45 m. respectivamenteW= 0.75 kg/30 m.= 0.025 kg/m.l.P= 10, 5, 10 kg. Respectivamente.

Aplicando la fórmula para cada tramo tenemos:

FUENTE ING. GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

TRAMO LONGITUD W= Kg/m.l. p Cc

AB 30 0.025 10 -0.00703

BC 30 0.025 5 -0.02812

CD 20.45 0.025 10 -0.00223

Corrección total -0.03738

Distancia corregida. 80.45 – 0.03738 = 80.413m.

FUENTE ING. GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

5.- CORRECCIÓN POR TENSIÓN.- Cuando en la cinta se ejerce una fuerza en el momento de la medición esto sufre una variación en su longitud, la corrección que se aplica está en función a la fuerza y las características de la Wincha.

AE

)PP(LCp O

Donde:Cp= Corrección por tensión

L= Longitud del tramoP= Tensión de campoPo= Tensión Calibrada (Kg)

A= Sección transversal de la cinta.E= Módulo de la elasticidad del acero Kg/mm2

FUENTE ING. GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

Ejemplo No 5.Del ejemplo anterior encontrar la corrección por tensión si para el tramo AB 8Kg, BC 10Kg, CD 15Kg.SOLUCIÓN:Cp= Corrección por tensión.

L= 30, 30, 20.45mP= 8Kg, 10Kg y 15kg.Po= 10Kg

A= 6mm2

E= 24000 Kg/mm2

Aplicando la fórmula por tramo tenemos:

FUENTE ING. GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

TRAMO LONG. P Po A E Cp

AB 30 8 10 6 24000 -0.0004167

BC 30 10 10 6 24000 0.0000000

CD 20.45 15 10 6 24000 +0.00071

Corrección por Tensión +0.0002933

FUENTE ING. GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

Distancia corregida 80.45 +0.000 29 = 80.450 3 m cuando se aplica una tensión igual a la calibrada la corrección se hace cero.La base final corregida será el promedio de la corrección de ida y vuelta.

2

vuelta+Ida=CorregidaBase

Base = LC + CT - CH - CC + CP

FUENTE ING. GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

GRACIAS