ก ก ก ˘ ˇ ˆ 5.pdf · กก 1 12 ˘1 ก 7 1) aaaaa. 2) aaaaa. 3) aaaaa. 4) aa = a. 6. ˘...
Post on 12-Jul-2020
3 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
�����ก�ก�ก� � ��� ���������� �
�������� 4 � �!" �#ก� �$�"�������% �&���
����$� � 31101 �������� � 7
$+�#,�#�-ก�%.��� 1
�/�� ก0�1��ก/0
�1�����"� � ����2���� �$1���3ก�
4 "� ���5���ก �!" �1��ก"���6�7 +����ก� �-ก�7��/40ก �6� 1
$/&��� 5
� �!" ก� �ก�45���%93��
�#ก� �$�"�������% �&���
�������� 4 � �!" �#ก� �$�"�������% �&���
����$� � 31101 �������� � 7
$+�#,�#�-ก�%.��� 1
$/&��� 5
� �!" ก� �ก�45���%93���#ก� �$�"�������% �&���
�/�� ก0�1��ก/0
�1�����"� � ����2���� �$1���3ก�
4 "� ���5���ก �!" �1��ก"���6�7 +����ก� �-ก�7��/40ก �6� 1
����������� ก�����������������ก����ก��ก����������ก��ก��� !"��"�# $%��&�'���ก��(!����%"���)������ *��� ก�+ �,�-%"'%ก��ก���ก��(!����%"���)������ �.&�'$/�%�ก����%�������%���+ ��!0�ก��ก���ก� �ก�1��)/�ก *��ก/%�ก!�ก��� ���/�ก/�� ���$/�����������'����'�ก���2�)�����#ก�����%��� *���������������������ก��ก����-�/�� 5 (2� ���%�-
(2���� 1 ��&�'������)���������.�%0# (2���� 2 ��&�'���ก�����"'�,'���ก� (2���� 3 ��&�'�����"!ก���1ก�% (2���� 4 ��&�'�ก��ก���ก��(!����%"���)������ (2���� 5 ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������
�������� �/����):%'�1��!���1�����ก��ก��� !"��"�#��&�'���ก��(!����% "���)��������&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������(2�%�-���):%)��*�(%#'�1��!��$%ก�%�)�ก�)89/ก��%�ก����%�������%��1�,�$����.�;%ก�����%ก��'%$%��&�'�ก��ก���ก�$%�����(�-%��0��� ก�)<���1 $/����!��, -% �2%�� ก���ก2�
�%
���� �% ����9 �(�-��� �2�)�����#ก�����%��� 1 ������'�ก1'%����% 3 $�������ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������ 5 �����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 "'%��� 1 8 �����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 "'%��� 2 10 �����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 "'%��� 3 11 �����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 "'%��� 4 16 �����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 "'%��� 5 20 ������'�/�������% 26 ��� %2ก�� 28 @��%�ก 30
�A��������'�ก1'%����% 31 �A��������'�/�������% 32 �A�������ก��ก��ก�����%���� !"��"�# "'%��� 1 B 5 33 ก�����"'�������'�ก1'%����% 45 ก�����"'�������'�/�������% 46
����9
�����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����% "���)������ (�-%��0��� ก�)<��� 1 ��1�%�-����-�/�� 5 �����ก $/�)C!��"!���%�- 1. '1%�2�)�����#ก�����%��������ก��ก��$/��,�$� 2. �������'�ก1'%����% 3. � ก�$����������"��'�1�$/��,�$�ก1'%������ก��ก��ก�����%���� !"��"�#�2ก���-� 4. $/�%�ก����%���&'��ก)C!��"!/����ก� ก�$����������"��'�1� �.&�'$/��ก!���ก�����(%9 /ก��1�,�$�$%��(1�� ��"'%$/�ก����)� ก�$����������"��'�1��.!���"!�$/�1 5. ��&�'� ก�$����������"��'�1� ����� �������ก��ก��ก�����%���� !"��"�# ������$/�%�ก����%�ก����'�/�������% 6. %�����%%���%� ก�����%� ก�����ก��ก��ก1'%����% B /�������% ����)����������.&�'�����,'�ก�.�;%ก�����%���� !"��"�# *��$(������ก��ก��ก�����%���� !"��"�# ��&�'�ก��ก�*���#��ก��(!����%"���)������ 7. %�ก����%���+"����'����+�ก"�'�������'�ก1'%����%B /�������% ��������ก��ก��ก�����%���� !"��"�#����'��ก�A���"'�"'%���,'�(2������ก�"1��(2�*����,�'����1/���)F���ก1'%������ก��ก��ก�����%���� !"��"�# 8. %�ก����%�,�'$��!�$/��2 ����):%���'0!��(�-�%��.!���"!� �.&�'%�ก����% ������ก��,,�'�ก.�1'�$%,�'����!�$/�+�ก"�'�
�(�-���
1 �����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������
1. �ก�45���%93���#ก� �$�"�������% �&���
��#�;��ก� �����"< =&�
5/&% ��"��ก� � ��� ��
2. 7?���ก��0�ก ����ก� �ก�%93����"
�������� �@�ก� %A����"��=&�
ก�!��1������ก�ก�� �#��1� ����&�!�ก�!�� ���
ก�ก�!���� �
3
�����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������
����&�!�ก�!�� ��� $/&��� 5 ก� �ก�45���%93���#ก� �$�"�������% �&���
�1�$�+�5" ����&'ก × $%/��,�'�"'����+�ก"�'�����2��.����"'������
1. (�%���-���ก1ก���2%�, �,%��/���2%�,ก��/���ก1������ก�% 36 /�� �"1��&�'%��, ��"�#��-��'�.��1��,��1ก�%.'�� �,���-���ก1�กก�1�2%�,ก��"��
ก. 20 "�� ,. 18 "�� �. 16 "�� �. 12 "��
2. ��&�' 5 )<�������A�%'�2 19 )< '�ก m )<,��/%� A�%��'�2ก��)< ก. m + 19 )< ,. m + 5 )< �. 24 + m )< �. 14 + m )<
3. "�'�����!% 5
3 ,'���!%"!K� +�"!K�����!% 300 �� ��/�1"�'�����!%��1��
ก. 60 �� ,. 180 �� �. 300 �� �. 500 ��
4. �'���1,'��%�%/% ����กก��������!�/� ,�'$��,��%)��*����9��ก� #��� +�ก"�'� ก. 2k + 3 = 15 ,. 2k B 15 = 3 �. 2(k + 3) = 15 �. 2(k + 3) + 3 = 15
5. )8��2��%A�%��'�2 a )< '�ก 5 )<,��/%�A�%����'�2 17 )< ,�'$��,��%��9��ก� # ���+�ก"�'�
ก. a B 5 = 17 ,. a + 5 = 17 �. 5a + 5 = 17 �. 5(a + 5) = 17
4 �����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������
6. % 3 ��''ก�ก�%�%/% ������% 8 �� ����%�-%����� 24 �%�%%�-%�&',�'$� ก. 5 ,. 6 �. 7 �. 9
7. �!�'�2�):%����1,'��2"� +��!���'�2 36 )< �2"�'�2��1�� ก. 12 )< ,. 14 )< �. 16 )< �. 18 )<
8. (�%�%/% ��Q �����-��/�� �'�%������1����):%��1��/% �"1����1/��"�/�"��% ����/�&'/���!�/��!���1�) '�ก������1/��$%�'ก ��1��'%�'ก�1���ก�.����/% ��ก�,�'%�-��1��� +��,�$��!0��!���1�!��'� ก. 3 "�� ,. 12 "�� �. 15 "�� �. 20 "��
9. /%���&'��1�/% ���� 380 /%� �"R�'1%�)���� 19
3 ,'��%�%/%���-�/��
����/�&'��������1���'1%'�กก��/%� ก. 20 /%� ,. 60 /%� �. 320 /%� �. 360 /%�
10. �%�%/% ���� ก���)������������.0#�):% 96 ���,��%��ก� ก. y = 96 B 8 ,. 8y + 96 = 8 �. 8y = 96 �. ��1��,�'+�ก
$���T%U �ก/%1'���1�):%��
5 �����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������
@����# ��
�1�$�+�5" $/�%�ก����%�����,�$� ������9 �"1����&�'� ����������ก��ก�� ���ก/%�$/� ก� �ก�45���%93��6!"�#ก� �$�"�������% �&���
$%(��!")�����%�2ก��%%�- %�ก����%��.��1��)89/�ก���ก!�, -% Q ����)89/���+/�"'�����1� ��)89//�"'�����ก �"1�����+�)89/%�-%$/� /�"'�����1�, -% *��ก��,��%)89/%�-%$/�'��1$%��)��ก� ���$(�������$% ก��ก���ก�/�"'� Q ��/��กก��ก�*���#��ก��(!����%"���)������ �����%�-
1. �!����/#*���#�.&�'/�1 *���#ก/%�'����$/� ����$/�/'��� 2. ก/%�"���)���%�!�����*���#$/�//�&'��%�!������ก����,�'�ก���!�����*���#$/�/ 3. �,��%��ก�"���&�'%�,$%*���# 4. �ก���ก��.&�'/�"'����*���#"�'�ก� 5. "����'��"'�������ก����&�'%�,$%*���#
��=��@$����
$%)< 1945 %�ก� !"��"�# (&�' George Polya ����!���)���ก��ก�*���#)89/ ���-���ก Q ����,�-%"'%���%�- ,�-%��� 1 "�'������,�$�)89/ก1'% ,�-%��� 2 ����%//������.�%0#��/�1�,�'���ก��"���)� ( �!�������1��� ) ����������.�%0#,'�)89/$%��)��ก��ก,�'������$/�� ,�-%��� 3 ��%!%ก�"���% ,�-%��� 4 "����'���'%ก����1 ก��ก�)89/+�ก"�'�/�&'��1
6 �����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������
��!���" ก� �ก�45���%93���#ก� �$�"�������% �&���
��!���"��� 1 �%�����!%�กก�1 2 ��1,'���!%,'��*%('��1 500 �� +���-� �'��%����!%���ก�% 2,900 �� ��!��*%(����!%��1��
��,��1� $/��*%( ����!% k �� �%�����!%�กก�1 2 ��1,'��*%('��1 500 �� ���%�-% �%�����!% 2k + 500 ��
�%�����*%(����!%���ก�% (2k + 500) + k �� 45���ก1���& �%�����*%(����!%���ก�% 2,900 ��
��ก� �&' (2k + 500) + k = 2,900 3k + 500 = 2,900 % B 500 ���ก��-��'�,��,'���ก� 3k + 500 + (B 500) = 2,900 + (B 500) 3k = 2,400 %
3
1 ��� ��-��'�,��,'���ก�
3k × 3
1 = 2,400 × 3
1
k = 800 �!� ��!��*%(����!% 800 ��
7�����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������
��!���"��� 2 ����ก�!_'1'%ก�1��.� 7 )< +���-��'��%��'�2���ก�% 19 )< ��/'�2
,'�����ก�!_ ��,��1� $/� '�2,'�����ก�!_�):% m ����ก�!_'1'%ก�1��.� 7 )< ���%�-%��.�'�2 m + 7 )< ��-��'��%��'�2���ก�%��1ก�� 19 ��ก��&' m + m + 7 = 19 2m + 7 = 19 % B7 ���ก��-��'�,��,'���ก�
2m + 7 + ( B 7 ) = 19 + ( B 7 ) 2m = 12 %
2
1 ��� ��-��'�,��,'���ก�
2m × 2
1 = 12 × 2
1
m = 6 �!� '�2,'�����ก�!_ 6 )< ��!���"��� 3 �'���1,'��%�%/% ����กก�� 44 ��1ก�� 32 ��/�%�%%�-% ��,��1� $/��%�%%�-%��%���� n ��ก��&' 2n + 44 = 32 % B 44 ���ก��-��'�,��,'���ก�
2n + 44 + ( B 44 ) = 32 + (B 44 ) 2n = B 12 %
2
1 ��� ��-��'�,��,'���ก�
2n × 2
1 = (B12 ) × 2
1
n = B 6 �!� �%�%%�-%�&' B6
8 �����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������
�!���� 1
ก� �6����30ก�����6�!���#� !% �4��
�1�$�+�5" $/� x ��%�%�%�%�%/% �� ���,��%��9��ก� #��%,�'���/�&' )��*����Q���&'��$%(1'��1�
6�!���#/% �4�� �30ก��
1. �%�%�%�%/% �����ก�� 27 �������.0#�):% 35 1) �%�%�%�%/% �� 2) �%�%�%�%/% �����ก�� 27 3) �%�%�%�%/% �����ก�� 27�������.0#�):% 35
1) x 2) x + 27 3) ........................
2. �%�%�%�%/% ��/�ก''ก 12 ���/�&' 23 1) �%�%�%�%/% �� 2) �%�%�%�%/% ��/�ก''ก 12 3) �%�%�%�%/% ��/�ก''ก 12 ���/�&' 23
1) aaaaaa. 2) aaaaaa. 3) aaa=aaa
3. ����1,'��%�%�%�%/% �����ก�� 5�������.0#�):% 75 1) �%�%�%�%/% �� 2) ����1,'��%�%�%�%/% �� 3) ����1,'��%�%�%�%/% �����ก�� 5 4) ����1,'��%�%�%�%/% �����ก�� 5 �������.0#�):% 75
1) aaaaa 2) aaaaa 3) aaaaa 4) a..= ...a
9 �����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������
4. ����'��1�%��,'��%�%�%�%/% ���กก�1 7 '��1 8 1) �%�%�%�%/% �� 2) ����'��1�%��,'��%�%�%�%/% �� 3) ����'��1�%��,'��%�%�%�%/% ���กก�1 7 4) ����'��1�%��,'��%�%�%�%/% ���กก�1 7 '��1 8
1) .aaaaa 2) .aaaaa 3) aaaaa. 4) aa =aa.
5. ������1�%/�,'��1�%����%�%�%�%/% ���กก�1 12 ��1ก�� 7 1) �%�%�%�%/% �� 2) �1�%����%�%�%�%/% ���กก�1 12 3) ������1�%/�,'��1�%����%�%�%�%/% ���กก�1 12 4) ������1�%/�,'��1�%����%�%�%�%/% ���กก�1 12 ��1ก�� 7
1) aaaaa. 2) aaaaa. 3) aaaaa. 4) aa = a.
6. ������1�%���,'����������%�%�%�%/% ��ก�� 12 ��1ก�� 20 1) �%�%�%�%/% �� 2) �����,'��%�%�%�%/% ��ก�� 12 3) ������1�%���,'����������%�%�%�%/% ��ก�� 12 4) ������1�%���,'����������%�%�%�%/% ��ก�� 12 ��1ก�� 20
1) aaaaa. 2) aaaaa. 3) aaaaa. 4) aa = aa
�1'� U �!� �1'� U � $���T%U %1��ก���
10 �����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������
�!���� 2 ก� �6����#ก� �$�"�������% �&�������;��ก� ��
�1�$�+�5" $/�%�ก����%�,��%��ก��(!����%"���)��������%�+%ก� #"1�U ���ก/%�
��!���" �)���1,'��%�%�%�%/% ���กก�1 3 '��1 93 ��ก��&' 8n B 3 = 93
1. /���1,'�����ก,'��%�%/% ��ก�� 3 �):% 45 ��ก��&' ...............................................................
2. ����ก,'��%�%���%�%���'��1"!�ก�%��1ก�� 33 ��ก��&' ...............................................................
3. ����1,'��%�%/% �� /�ก''ก 5 ���1�):% 25 ��ก��&' ..............................................................
4. 12 ���1%�'�ก�1�%�%�%�%/% ��'��1 10 ��ก��&' ..............................................................
5. ����1,'��%�%�%�%/% ���กก�1 8 '��1 2 ��ก��&' ..............................................................
6. �%�%��1�'��%�%�����ก�% ��&�'����ก,'��'��%�%%�-%�):% 30 ��ก��&' ..............................................................
7. �%�%�%�%/% �� ��&�'% 6 �� ����% 9 ��''ก����1ก�� 90 ��ก��&' .............................................................
8. ����ก,'��%�%�%�%/% ��ก���� ��/% ��,'��%�%%�-%��1ก�� 15 ��ก��&' .............................................................
9. '�ก 10 )< ��.�����'�2 47 )< ��ก��&' .............................................................
10. ��&�'% 4 ��''ก�ก�%�%/% �������� ���� 3 �����1 75 ��ก��&' .............................................................
11 �����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������
�!���� 3
�1�$�+�5" $/�%�ก����%� ก�"��'�1���� 1 B 2 ���������!0�ก��ก�*���#)89/
��ก��(!����%"���)������
��!���"��� 1 ��T���1,'��%�%�%�%/% ���กก�1 4 '��1 80 ��/�%�%%�-% ��,��1� $/� n ��%�%�%%�-% ��T���1,'��%�%�%�%%�-%�กก�1 4 '��1 80 ���%�-% ��ก� �&' 7n B 4 = 80 % 4 ���ก��-��'�,��,'���ก� 7n B 4 + 4 = 80 + 4 7n = 84 %
7
1 ��� ��-��'�,��,'���ก�
7n × 7
1 = 84 × 7
1
n = 12 �!� �%�%%�-%�&' 12
12 �����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������
��!���"��� 2 4 ��1,'��%�%�%�%/% �� ��&�'/�ก''ก���� 1 ������1�''ก�):% 3 �1�% ���1 5 ��,��1� $/� n ��%�%�%%�-% 4 ��1,'��%�%/% ��/�ก''ก���� 1 ������1�''ก�):% 3 �1�% ���1 5 ���%�-% ��ก� �&' 4n 1
3
− = 5
% 3 ��� ��-��'�,��,'���ก� 4n 1
3
− × 3 = 5 × 3
4n B 1 = 15 % 1 ���ก��-��'�,��,'���ก� 4n B 1 + 1 = 15 + 1 4n = 16 %
4
1 ��� ��-��'�,��,'���ก�
4n × 4
1 = 16 × 4
1
n = 4 �!� �%�%%�-%�&' 4
13 �����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������
1. ����1,'��%�%�%�%/% ���กก�1 13 '��1 20 ��/�%�%%�-%
��,��1� $/� n ��%�%�%%�-% ����1,'� n �กก�1 13 '��1 20 ���%�-% ��ก��&' 3n B 13 = 20 % aa..�..........��-��'�,��,'���ก� aaaaaaa = aaaaaaa aaaaaaa = aaaaaaa % aaaaaa��-��'�,��,'���ก�
aaaaaaa = aaaaaaa aaaaaaa = aaaaaaa
�!� aaaaaa..
2. �%�%�%�%/% ����&�'���ก�� 5 ������1��� �������1��1ก�� 20 ��/�%�%%�-%
��,��1� $/� n ��%�%�%%�-% n ��&�'���ก�� 5 ������1��� �� �����1��1ก�� 20 ���%�-% ��ก��&' aaaaaaa = aaaaaaa % aaa� aa..��-��'�,��,'���ก�
aaaaaaa = aaaaaaa aaaaaaa = aaaaaaa
% aaa� aa.��-��'�,��,'���ก� aaaaaaa = aaaaaaa
aaaaaaa = aaaaaaa �!� �%�%%�-%�&'.............
14 �����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������
3. +�% 6 �� �%�%�%�%/% ������% 20 ��''ก�ก���� ���������.0#�):% 76 ��/�%�%%�-%
��,��1� $/��%�%%�-%�):% a +�% 6 �� a ����% 20 ��''ก�ก���� ���������.0#�):% 76 ���%�-% ��ก��&' aaaaa = aaaaaaa
% .........�...........��-��'�,��,'���ก� .aaaaa = aaaaaaa .aaaaa = aaaaaaa % .........�...........��-��'�,��,'���ก�
aaaaa = aaaaaaa aaaaa = aaaaaaa �!� �%�%%�-%�&'.................
4. �%�%�%�%/% ����&�'% 6 �� ���������� 9 ����1ก�� ��&�'% 4 �� �%�%%�-%���� ��ก���� 11 ��/�%�%%�-%
��,��1� $/��%�%%�-%�):% n ��&�'% 6 �� n ���������� 9 ����1ก����&�'% 4 �� �%�%%�-%������ก���� 11 ���%�-% ��ก��&'aaaaaaa = aaaaaaa
%...........�..............��-��'�,��,'���ก� .aaaaaa.. = aaaaaaa aaaaaaa = aaaaaaa %............�..............��-��'�,��,'���ก�
aaaaaaa = aaaaaaa aaaaaaa = aaaaaaa
%............�..............��-��'�,��,'���ก� aaaaaaa = aaaaaaa aaaaaaa = aaaaaaa �!� �%�%%�-%�&'....................
15 �����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������
5. �%�%��1 ���%�%�����ก�%���ก�%��� 60 ��/�%�%��1��-����%�%%�-% ��,��1� �%�%��1�%�%��ก�&' n �%�%��1�%�%����'��&'................... �%�%��1�%�%������&'...................
�%�%��1 ���%�%�����ก�%���ก�%��� 60 ���%�-% ��ก��&'aaaaaaa = aaaaaaa
����� aaaaaaa = aaaaaaa %...........�..............��-��'�,��,'���ก�
aaaaaaa = aaaaaaa aaaaaaa = aaaaaaa
%...........�..............��-��'�,��,'���ก� aaaaaaa = aaaaaaa aaaaaaa = aaaaaaa
�!� �%�%���%�%%�-% �&'....................
16 �����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������
�!���� 4
�1�$�+�5" %�ก����%� ก�"��'�1���� 1B2 ���������!0�ก��ก�*���#)89/��ก� �(!����%"���)������
��!���"��� 1 �����1,'�'�2� ��&�'�.!��$/�'�ก 8 )< ����� 60 )<.'�� ��/'�2� ��,��1� $/� ���'�2 y )<
�����1,'�'�2� ��&�'�.!��$/�'�ก 8 )< ����� 60 )< ���%�-% ��ก� �&' 4y + 8 = 60 % B8 ���ก��-��'�,��,'���ก� 4y + 8 + (B 8) = 60 + (B 8) 4y = 52 %
4
1 ��� ��-��'�,��,'���ก�
4y × 4
1 = 52 × 4
1
y = 13 �!� �'�2 13 )<
��!���"��� 2 ����!%'��1�%�%/% �� ��&�'%��.!��'�ก 80 �� ������1��):% 5 �1�% ������1�%�� 60 �� ��/�1��!�����!%'��1��1��
��,��1� $/� x ��%��!%�%�%%�-% ��!%�%�%/% ��%��.!��'�ก 80 �� ������1��):% 5 �1�%������1�%�� 60 ��
���%�-% ��ก� �&' x 80
5
+ = 60
% 5 ��� ��-��'�,��,'���ก� x 80
5
+
× 5 = 60 × 5
x + 80 = 300 % B80 ���ก��-��'�,��,'���ก� x + 80 + (B80) = 300 + (B 80) x = 220
�!� ��!�����!% 220 ��
17 �����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������
1. �'���1,'���!%���"�'���'��1�กก�1"�'� 45 �� �):%�%�%��!% 135 �� ��/"�'�����!%��1��
��,��1� $/�"�'�����!%'��1 y �� �'���1,'���!%���"�'���'��1 �กก�1"�'� 45 �� �):%�%�%��!% 135 ��
���%�-% ��ก��&' 2y B 45 = aaaaaaaa. % 45 ���ก��-��'�,��,'���ก� aaaaaaa = aaaaaaa. aaaaaaa = aaaaaaa.
% 2
1 ��� ��-��'�,��,'���ก�
aaaaaaa = aaaaaaa. aaaaaaa = aaaaaaa. �!� "�'�����!% aaa��
2. ��!% 25 �� ���ก�� 1
4 ,'����'���� �!��):%��!% 37 �� ��/���'����
��,��1� $/��'���� �� m ��
��!% 25 �� ���ก�� 1
4 ,'����'���� �!��):%��!% 37 ��
���%�-% ��ก� �&' 25 + 1m
4 = 37
% B25 ���ก��-��'�,��,'���ก� aaaaaaa = aaaaaaa. aaaaaaa = aaaaaaa.
% 4 ��� ��-��'�,��,'���ก� aaaaaaa = aaaaaaa. aaaaaaa = aaaaaaa. �!� �'������ ..............��
18 �����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������
3. �'ก��'�2�):% 4
3 ��1,'�"1' +��'ก'�2 12 )< "1'��'�2��1��
��,��1� $/�"1'��'�2 y )<
+��'ก'�2 12 )< �'ก��'�2�):% 4
3 ��1,'�"1'
���%�-% ��ก��&' 4
3 y = 12
% ............. �� ��-��'�,��,'���ก� aaaaaaa = aaaaaaa. aaaaaaa = aaaaaaa. aaaaaaa = aaaaaaa. �!� "1'��'�2 ..............)<
4. )�� /�'�''��!%�2ก��% ��%�� 5 �� +�)�� ��!��/�'�''��!% $%��%��� 1 �ก��� 2550 + � 5 ก2�@.�%0# 2550 )�� ������!%ก���� ��,��1� $/� )�� ����!% n �� )�� /�'�''��!%�2ก��%��%�� 5 �� "�-��"1 1 �ก��� 2550 + � 5 ก2�@.�%0# 2550 �):%�%�% .......................��% ���%�-% ��ก��&' n = aaaaaa
n = ..aaaaa. �!� )�� ����!% ..............��
19 �����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������
5. )8��2��%�!���'�2 66 )< ��&�' 6 )<�1��������2"�'�2�):% 5
12 ,'��!�
)8��2��%�2"���'�2ก��)< ��,��1�
)8��2��% �!���'�2 66 )< �2"���'�2 a )< ��&�' 6 )<�1������� �!���'�2 ........)< �2"���'�2...........)<
���%�-% ��ก��&' ................... = aaaaaaaa % ............. ��-��'�,��,'���ก�
aaaaaaa = aaaaaaa. aaaaaaa = aaaaaaa. aaaaaaa = aaaaaaa. �!� )8��2��%�2"���'�2 ..............)<
20 �����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������
�!���� 5
�1�$�+�5" $/�%�ก����%� ก�"��'�1���� 1 B 2 ���������!0�ก��ก�*���#)89/ ��ก��(!����%"���)������
��!���"��� 1 ����1�%-��)����/������&%������%����ก�1�'���1,'���%ก���'��1 6 ��"� +���%��,'����%-�� 50 ��"� ��/�����,'���%ก���
��,��1� $/� p ��%�����,'���%ก�������1�%- ����1�%-����%���� 50 ��"�
����1�%-����%����ก�1�'���1,'���%ก���'��1 6 ��"� ���%�-% ��ก� �&' 50 B 2p = 6
% B50 ���ก��-��'�,��,'���ก� 50 B 2p + (B 50) = 6 + (B 50) B2p = B44
% B2
1 ��� ��-��'�,��,'���ก�
B2p × (2
1− ) = B44 × (
2
1− )
p = 22 �!� ����1�%-����%ก����� 22 ��"�
21 �����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������
��!���"��� 2 $%��%�!�,��(������)��29������)�กC�1�):%������'�2 2
3 ,'�����)�1��
��29��-�/�� +�������'�2���%�% 100 �% ����)��29��������-�/��ก���% ��,��1� $/�������)��29��������-�/�� a �%
�):%������'�2 2
3 ,'�����)�1����29��-�/��
������'�2���%�% 100 �%
���%�-% ��ก� �&' 2a
3 = 100
% 2
3 ��� ��-��'�,��,'���ก�
2a
3 ×
2
3 = 100 × 2
3
a = 100 × 23
a = 150
�!� ������)��29��������-�/�� 150 �%
22 �����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������
1. ��)���/�����/%�������)/% ����c%�� 13 �Q%"!��"� ��������%�'���)�� 35 �Q%"!��"� ��/��%'�ก 2 ��%����%����1��
��,��1� $/���%,'����/�����/%���������%�� m �Q%"!��"�
��c%�� 13 �Q%"!��"� ��������%�'���)�� 35 �Q%"!��"� ���%�-% ��ก��&'.............................. = 35
aaaaaaa = aaaaaaa. % ................��ก��-��'�,��,'���ก�
aaaaaaa = aaaaaaa. aaaaaaa = aaaaaaa.
% .................�� ��-��'�,��,'���ก� aaaaaaa = aaaaaaa. aaaaaaa = aaaaaaa.
�!� ��%,'����/���������%�� ..............�Q%"!��"�
2. �!���1�����!%$/��2"� 3 �% �%����1U ก�% ���������%�� 144 "��� �/�&'�):%���)��ก��%,'��!� 72 "��� �!�������!%��-�/��ก��"���
��,��1� $/� �!�������!%��-�/�� y "��� ��1�����!%$/��2"� 3 �% ��1Uก�%����%�� 144 "��� �/�&')��ก��%,'��!� 72 "��� ���%�-% ��ก� �&' ................................................................
aaaaaaa = aaaaaaa. aaaaaaa = aaaaaaa.
�!� �!�������!%��-�/��.............."���
23 �����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������
3. ��ก�!(���%!�!"�):%.��%�'�ก�% ��ก�!(��/%����ก��+���% *��$(����
2
1 ,'�������%!�!"�ก��,�� +���ก�!($(���� 30 %�� %!�!"$(������1��
��,��1� $/�%!�!"$(�����ก��,�� d %��
��ก�!(ก����%$(���� 2
1 ,'�������%!�!"�ก��,��
��ก�!($(���� 30 %�� ���%�-% ��ก� �&' .............. = 30 % .................�� ��-��'�,��,'���ก�
aaaaaaa = aaaaaaa. aaaaaaa = aaaaaaa. �!� %!�!"$(���� ..............%��
4. ��!�����2�'��1�%�%/% �� ��&�'��ก%�ก����% 10 �% �%����1U ก�% �"1��1.'��ก���� ��)Q&-'��.!��'�ก 15 ��1� ������ก$/�%�ก����% ����%�� 8 ��1�.'�� ��/�%�%��2������'��1��!�
��,��1� $/���!�����2� m ��1�
��ก%�ก����% 10 �% �%����1Uก�%��1.'��ก� �Q&-'��.!��'�ก 15 ��1� ����%�� 8 ��1�.'��
���%�-% ��ก� �&' ............. = 8 % .................�� ��-��'�,��,'���ก�
aaaaaaa = aaaaaaa. aaaaaaa = aaaaaaa.
% .................��ก��-��'�,��,'���ก� aaaaaaa = aaaaaaa. aaaaaaa = aaaaaaa. �!� ��!�����2� ..............��1�
24 �����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������
5. $%ก�'1%/%���&'��1�/% �� ��%��ก'1%��� 5
2 ,'���1� ��%"1'�'1%
���'�ก 50 /%� ����'���%'1%����� ����1�.'�� $/�/�1/%���&'��1�%�-��ก��/%� ��,��1�
$/�/%���&'��1�%�- �� w /%�
��%��ก'1%��� 5
2 ,'���1� ..................
��%"1'�'1%��� 50 /%� ����'���%'1%����� ����1�.'�� ���%�-% ��ก� �&' .............. = ......................... % ............................��-��'�,��,'���ก�
aaaaaaa = aaaaaaa. aaaaaaa = aaaaaaa.
% ............................��-��'�,��,'���ก� aaaaaaa = aaaaaaa. aaaaaaa = aaaaaaa. aaaaaaa = aaaaaaa.
% ............................��-��'�,��,'���ก� aaaaaaa = aaaaaaa. aaaaaaa = aaaaaaa. �!� /%���&'��1�%�-�� ............../%�
�1������ก�ก��� F5�0��� �#��1� ����&�!��0"� ���
��� �
26
����&�!��0"� ���
$/&��� 5 � �!" ก� �ก�45���%93���#ก� �$�"�������% �&���
�����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������
�1�$�+�5" ����&'ก × $%/��,�'�"'����+�ก"�'�����2��.����"'������
1. �'���1,'��%�%/% ����กก��������!�/� ,�'$��,��%)��*����9��ก� #��� +�ก"�'� ก. 2k + 3 = 15 ,. 2k B 15 = 3 �. 2(k + 3) = 15 �. 2(k+3)+3 = 15
2. )8��2��%A�%��'�2 a )< '�ก 5 )<,��/%�A�%����'�2 17 )< ,�'$��,��%��9��ก� #��� +�ก"�'� ก. a B 5 = 17 ,. a + 5 = 17 �. 5a + 5 = 17 �. (a + 5) = 17
3. % 3 ��''ก�ก�%�%/% ������% 8 �� ����%�-%����� 24 �%�%%�-%�&',�'$� ก. 5 ,. 6 �. 7 �. 9
4. �!�'�2�):%����1,'��2"� +��!���'�2 36 )< �2"�'�2��1�� ก. 12 )< ,. 14 )< �. 16 )< �. 18 )<
5. (�%���-���ก1ก���2%�, �,%��/���2%�,ก��/���ก1������ก�% 36 /�� �"1��&�'%��,��"�# ��-��'�.��1��,��1ก�%.'�� �,���-���ก1�กก�1�2%�,ก��"�� ก. 20 "�� ,. 18 "�� �. 16 "�� �. 12 "��
27 �����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������
6. ��&�' 5 )<�������A�%'�2 19 )< '�ก m )<,��/%� A�%��'�2ก��)< ก. m + 19 )< ,. m + 5 )< �. 24 + m )< �. 14 + m )<
7. "�'�����!% 5
3 ,'���!%"!K� +�"!K�����!% 300 �� ��/�1"�'�����!%��1��
ก. 60 �� ,. 180 �� �. 300 �� �. 500 ��
8. (�%�%/% ��Q �����-��/�� �'�%������1����):%��1��/% �"1����1/��"�/�"��% ����/�&'/���!�/��!���1�) '�ก������1/��$%�'ก ��1��'%�'ก�1���ก�.����/% ��ก�,�'%�-��1��� +��,�$��!0��!���1�!��'� ก. 3 "�� ,. 12 "�� �. 15 "�� �. 20 "��
9. /%���&'��1�/% ���� 380 /%� �"R�'1%�)���� 19
3 ,'��%�%/%���-�/��
����/�&'��������1���'1%'�กก��/%� ก. 20 /%� ,. 60 /%� �. 320 /%� �. 360 /%�
10. �%�%/% ���� ก���)����� �������.0#�):% 96 ���,��%��ก� ก. y = 96 B 8 ,. 8y + 96 = 8 �. 8y = 96 �. ��1��,�'+�ก
28 � ���/ก #
ก%ก��� '2� ก�ก2� ���� (�� ����!9���.�#. (2547). �����ก�&�0�% ��#��G0
ก� � ��� ���������� �7 +�2�� #. 1 �0�# 2. ก�2���.�/%��: ��'��2��#. ก%ก��� '2� ก�ก2�, '��� �29��T%, +%'� (%9.�%0#, �.�� ����, '��.� �!(����� ��� (%0!( ��"�.�/� #. (�.).).). ���# !�� ��#�!��������� �7 +�2��
#. 1 ��!# 1 �0���!# 2. ก�2���.�/%��: @��!�� g!". � �ก���ก�ก�� ก�,�-%.&-%c%, �%�ก�% (2549). �����"ก� 5&ก� � ��� ���7 �!
7?���ก�ก� ��&���� ����. ก�2���.�/%��: �%�ก�!(ก�����"�c%ก�� ก� �%�ก�%� �ก���ก�ก�� ก�,�-%.&-%c%.
���# )8h%%!��, �!%� '��1�):%�2,, '2��� "�-��, �� � �2�0!��� ����2.��( .!%!�('�. (�.).).). ���# ! H �� ��#�!��������� �7 +�2�� $��"$+���� 3 (#.1-#.3) #.1
�0�#��� 2. ก�2���.�/%��: @��!�� g!". %��%�'� ���!9��, ก%ก��� '2� ก�ก2�, )����# ��((����2, �2��. �29Q�'%, ����2.�(� .!%!�('�. (�.).).). �����ก�7 �!7?��ก ����ก� � ��� ���������� � #. 1
� 102 ��!#%0��. ก�2���.�/%��: ��'��2��#. .�� � �!�)��;%%�%�#. (#.%.%.) �������� � � 102 H � 032 $+�#,�#�-ก�%.��� 1. ก�2���.�/%��: iF�!ก�#�Q%�"'�#. �2.!% .!.!0ก2� ����!�!.� �!.�#��.(�.).).). ��"� !�� �#�ก��������� � � 102. ก�2���.�/%��: ��'����"'�#ก�2j). ��(�.��# *ก�2�0����!����# ���� �. (2546). �G�ก� 5&ก� � ��� ��ก0/�#�� �
ก� � ��� ���������� �$+�#,�#�-ก�%.��� 1 K��� ������ 1. ก�2���.�/%��: 0%0�(ก�.!�.#. �!(ก�,ก��. (2549). �!ก�� % �ก!��0ก��� ก� �-ก�6+�7 +�2�� 7/�,�ก �$ 2544
���# !ก� 5&ก� � ��� �� ก0/�#�� �ก� � ��� ���������� �. ก�2���.�/%��: *��.!�.#'��#ก�����1��!%�����.���2@� g#.
29
�����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������ � ก�0!ก�, ก������ �+��%�1����!�ก��'%�!����"�#������*%*���. (2542). ก� �"�� ���� �%���ก� 7?���ก�K�76!"�&Fก=�� &����ก�ก� � ���.
ก�2���.�/%��: *��.!�.#ก���%. � ก�0!ก�, ก������ �+��%�1����!�ก��'%�!����"�#������*%*���. (2539). ���ก� 5&ก�5ก #�� �#� ��"�# ;K�7��"�������� � 4� "ก� !� #
� � $+�#,�#�-ก�%.��� 2 %. 2539. ก�2���.�/%��: *��.!�.#ก���%. � ก�0!ก�, ก������ �+��%�1����!�ก��'%�!����"�#������*%*���. (2546).
��"� !� ����� �ก� � ��� ��7 +�2���������� � �0�# 2
ก0/�#�� �ก� � ��� ���������� � $+�#,�#�-ก�%.��� 1. ก�2���.�/%��: *��.!�.#�2�2�@��.���.
�2%�%� �2%��)�����!c. (�.).).) %A� �%ก� � ��� ��ก� �-ก�ก��/����
�/�� % ��� �2. �.).�.
�����ก�ก�ก� � ��� ���������� �
$/&��� 5 � �!" ก� �ก�45���%93���#ก� �$�"�������% �&���
31 �����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������
(�L0�) ����&�!�ก�!�� ���
ก , � � ���%%������
1 × ���%%�"T� 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 ×
32 �����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������
(�L0�) ����&�!��0"� ���
ก , � � ���%%������ 1 × ���%%�"T� 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 ×
33 �����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������
�!���� 1 (�A��) ก��,��%��9��ก� #��%,�'���/�&')��*��
6�!���#/% �4�� �30ก��
1. �%�%�%�%/% �����ก�� 27 �������.0#�):% 35 1) �%�%�%�%/% �� 2) �%�%�%�%/% �����ก�� 27 3) �%�%�%�%/% �����ก�� 27 �������.0#�):% 35
1) x 2) x + 27 3) x + 27 = 35
2. �%�%�%�%/% ��/�ก''ก 12 ���/�&' 23 1) �%�%�%�%/% �� 2) �%�%�%�%/% ��/�ก''ก 12 3) �%�%�%�%/% ��/�ก''ก 12 ���/�&' 23
1) x 2) x B 12 3) x B 12 = 23
3. ����1,'��%�%�%�%/% �����ก�� 5 �������.0#�):% 75 1) �%�%�%�%/% �� 2) ����1,'��%�%�%�%/% �� 3) ����1,'��%�%�%�%/% �����ก�� 5 4) ����1,'��%�%�%�%/% �����ก�� 5 �������.0#�):% 75
1) x 2) 3 x 3) 3 x + 5 4) 3 x + 5 = 75
34 �����ก��ก��ก�����%���� !"��"�# (2���� 5 ��&�'�ก��ก�*���#)89/��ก��(!����%"���)������
4. ����'��1�%��,'��%�%�%�%/% ���กก�1 7 '��1 8 1) �%�%�%�%/% �� 2) ����'��1�%��,'��%�%�%�%/% ��
3) ����'��1�%��,'��%�%�%�%/% ���กก�1 7
4) ����'��1�%��,'��%�%�%�%/% ���กก�1 7 '��1 8
1) x
2) 2
3x
3) 2
3x B 7
4) 2
3x B7 = 8
5. ������1�%/�,'��1�%����%�%�%�%/% ���กก�1 12 ��1ก�� 7 1) �%�%�%�%/% �� 2) �1�%����%�%�%�%/% ���กก�1 12 3) ������1�%/�,'��1�%����%�%�%�%/% ���กก�1 12 4) ������1�%/�,'��1�%����%�%�%�%/% ���กก�1 12 ��1ก�� 7
1) x 2) x B 12 3) 3
5( x B12)
4) 3
5( x B12) = 7
6. ������1�%���,'����������%�%�%�%/% ��ก�� 12 ��1ก�� 20 1) �%�%�%�%/% �� 2) �����,'��%�%�%�%/% ��ก�� 12 3) ������1�%���,'�������%�%�%�%/% ��ก�� 12 4) ������1�%���,'����������%�%�%�%/% ��ก�� 12 ��1ก�� 20
1) x 2) x + 12 3) 3
4( x +12 )
4) 3
4( x +12) = 20
top related