ค าน า - thaischool1.in.th€¦ · พาราโบลา ( parabola ) วงรี (...

ค าน า

แบบฝกทกษะเรอง ภาคตดกรวย เลมท 5 เรอง สวนประกอบของวงร จดท าขนเพอประกอบการเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม ค31202 ส าหรบนกเรยน ชนมธยมศกษาป ท 4 โดยจดกจกรรมการเรยนรควบคกบการจดการเรยนรโดยใชรปแบบการสอนแบบรวมมอกนเร ยนร เทคนค STAD ซงเปนรปแบบการเรยนรทจะชวยพฒนานกเรยนใหประสบผลส าเรจในการเรยนคอ พฒนานกเรยนทางดานสตปญญา ดานสงคม โดยใหนกเรยนท างานรวมกนเปนกลมเลกๆ ก าหนดบทบาทของสมาชก นกเรยนแตละคน มความรบผดชอบในงานของตน นกเรยนทเรยนเกงชวยเหลอนกเรยนทเรยนออน สนบสนนความคด ความส าเรจซงกนและกน สามารถท างานรวมกบผอนไดอยางมความสข โดยนกเรยนจะตองค านงถงรางวลหรอเปาหมายของกลม ความหมายของแตละบคคลในกลม และสมาชกแตละคนในกลมมโอกาสทจะชวยใหกลมประสบความส าเรจเทาเทยมกน

แบบฝกทกษะนจะชวยสงเสรมการเรยนรใหผเรยนไดฝกฝนทกษะเพมเตม เพอใหเกดความรความเขาใจในบทเรยนเรองภาคตดกรวย ทกษะกระบวนการทางคณตศาสตร และสงเสรมใหนกเรยนมทศนคตทดตอการเรยน คณตศาสตร ภายในเลมประกอบด วย ใบความร แบบฝกทกษะ และแบบทดสอบทายวงจรปฏบตการจะมปรากฏเฉพาะเลมท 3, เลมท 6, เลมท 9 และเลมท 12 โดยแบบฝกทกษะแตละเลมเนนทกษะการคดค านวณ ความสมเหตสมผล การเชอมโยงกบเนอหาตางๆ ทไดเรยนมา

การจดท าแบบฝกทกษะไดส าเรจลลวงไปดวยด ไดรบการสนบสนนสงเสรมจากผอ านวยการโรงเรยนสมทรสาครวทยาลย คณะครโรงเรยนสมทรสาครวทยาลย และผอ านวยการโรงเรยน พระปฐมวทยาลย คณะครโรงเรยนพระปฐมวทยาลย และขอบพระคณทกทานทไดน าแบบฝกทกษะคณตศาสตร เรองภาคตดกรวย ไปท าการทดลองใชพรอมทงใหขอเสนอแนะ และค าแนะน าจนท าใหแบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง เรองภาคตดกรวย ชนมธยมศกษาปท 4 ทง 12 เลมเสรจสมบรณ

ผจดท าหวงเปนอยางยงวาแบบฝกทกษะนจะเปนประโยชน ตอการจดการเรยนรวชาคณตศาสตรเพมเตม ระดบชนมธยมศกษาปท 4 ตอไป

ประยทธ ธนากาญจโนภาส

สารบญ

หนา

ค าชแจงในการใชแบบฝกทกษะ 1

บทบาทและหนาทของนกเรยน 2

สาระส าคญ 3

จดประสงคการเรยนร 3

สาระการเรยนร 3

ใบความรท 5.1 เรอง สวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางทจด (0, 0) 4

แบบฝกทกษะ 5.1 เรอง สวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางทจด (0, 0) 11

แบบฝกทกษะ 5.2 เรอง สวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางทจด (0, 0) 12

ใบความรท 5.2 เรอง สวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางอยทจด (h, k) 16

แบบฝกทกษะ 5.3 เรอง สวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางอยทจด (h, k) 22

แบบฝกทกษะ 5.4 เรอง สวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางอยทจด (h, k) 23

ภาคผนวก

เฉลยแบบฝกทกษะ 5.1 27

เฉลยแบบฝกทกษะ 5.2 28

เฉลยแบบฝกทกษะ 5.3 32

เฉลยแบบฝกทกษะ 5.4 33

แผนการจดการเรยนรท 6 36

แผนการจดการเรยนรท 7 45

บรรณานกรม 55

สวนประกอบของวงร 1

ค าชแจงในการใชแบบฝกทกษะ

**********************************************************

ขอตกลงในการใชแบบฝกทกษะ การท าแบบฝกทกษะเรอง ภาคตดกรวย เลมท 5 เรอง สวนประกอบของวงร เลมน จะท า

แบบฝกควบคไปกบการจดกจกรรมการเรยนรโดยใชรปแบบการสอนแบบรวมมอกนเรยนร เทคนค STAD ( Student Teams Achievement Divisions) ซงเปนรปแบบการเรยนรทจะชวยพฒนานกเรยนใหประสบผลส าเรจในการเรยนคอ พฒนานกเรยนทางดานสตปญญา ดานสงคม โดยใหนกเรยนท างานรวมกนเปนกลม กลมละ 4 - 5 คน ก าหนดบทบาทของสมาชก นกเรยนแตละคน มความรบผดชอบในงานของตน นกเรยนทเรยนเกงชวยเหลอนกเรยนทเรยนออน สนบสนนความคด ความส าเรจซงกนและกน สามารถท างานรวมกบผอนไดอยางมความสข โดยสมาชกในกลมประกอบดวยนกเรยนเกง ปานกลาง และออน นกเรยนควรมความซอสตยตอตนเอง ไมเปดดเฉลยกอน เพราะถานกเรยนเปดดเฉลยกอนเทากบวานกเรยนลอกค าตอบซงท าใหนกเรยนไมไดทดสอบความรความเขาใจสงทไดศกษาไป

ค าแนะน าในการใชแบบฝกทกษะ

1. นกเรยนในกลมมบทบาทหนาท ทแตกตางกนไป โดยชวยกนศกษาเอกสารจากแบบฝกทกษะ ควบคไปกบการจดกจกรรมการเรยนรโดยใชรปแบบการสอนแบบรวมมอกนเรยนร เทคนค STAD โดยมครคอยแนะน า

2. นกเรยนทกคนท าแบบฝกทกษะ โดยภายในกลมตองชวยเหลอซงกนและกน คนเกงชวยเหลอคนทมความสามารถทางดานคณตศาสตรนอยกวา

3. เมอท าแบบฝกทกษะเสรจ สมาชกภายในกลมตองชวยกนตรวจค าตอบจากเฉลยทายแบบฝกทกษะ และชวยกนแกไขเมอมค าตอบผด

สวนประกอบของวงร 2

บทบาทและหนาทของนกเรยน

ครตองชแจงใหนกเรยนทราบถงบทบาทของนกเรยน ดงน 1. หวหนากลม มหนาทดงน

1) เปนผน าในการปฏบตกจกรรมกลม โดยท าหนาทอานใบความรเพอใหทกคนท าตาม ค าชแจงในการท ากจกรรมใหเปนไปตามขนตอน

2) ควบคมดแลการท ากจกรรม และกจกรรมกลม ใหเปนไปดวยความเรยบรอย ไมสงเสยงดงรบกวนกลมอน

3) ตรวจเชคความถกตองใหเรยบรอยหลงจากเสรจสนการท ากจกรรมการเรยนแลว 4) เปนผตดตอสอสารกบครเมอมปญหาภายในกลม 5) คอยกระตนใหสมาชกในกลมเหนความส าคญของคะแนนการพฒนาของรายบคคล

และของกลมเพอความรความเขาใจในกลม และความภาคภมในของทกคน 6) รวมอภปรายและสรปผลการปฏบตกจกรรม

2. สมาชกกลม มหนาทดงน

1) ปฏบตกจกรรมดวยความตงใจ และใหทนตามก าหนดโดยไมชวนเพอนคยหรอเลน 2) ศกษาใบความร แบบฝกทกษะ และปรกษาหารอวธคดหาค าตอบภายในกลม 3) รวมอภปราย และสรปผลการปฏบตกจกรรม

3. เลขานการ มหนาทคอ

1) บนทกสรปความรทไดรบในการอภปรายกลม เพออธบายความรทไดรบใหเพอน ทยงไมเขาใจฟงเพมเตม

2) เปนผแจกแบบฝกทกษะ และรวบรวมน าไปสงครเมอสมาชกทกคนท าเสรจเรยบรอยแลว

3) เปนผอานเฉลยแตละกจกรรมใหเพอนฟงเพอตรวจค าตอบ 4) รวมอภปราย และสรปผลการปฏบตกจกรรม

สวนประกอบของวงร 3

แบบฝกทกษะวชาคณตศาสตร ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4 ทเนนการจดกจกรรมการเรยนการสอนแบบ STAD

เรอง ภาคตดกรวย เลมท 5 เรอง สวนประกอบของวงร

สาระส าคญ

ภาคตดกรวย ( Conic Section ) หมายถง เสนโคง ซง ไดแก วงกลม( circle ) พาราโบลา ( parabola ) วงร ( ellipse ) และไฮเพอรโบลา ( hyperbola ) ทเกดจากการน าระนาบไปตดกรวยกลมตรง

วงร ( ellipse ) คอ เซตของจดทงหมดในระนาบ ซงผลบวกของระยะทางจากจดใด ๆไปยงจด F1 และ F2 ทตรงอยกบท มคาคงตว โดยคาคงตวนตองมากกวาระยะหางระหวางจดทตรงอยกบททงสองจด จดสองจดทตรงอยกบทนเรยกวา โฟกส (focus) ของวงร

จดประสงคการเรยนร 1. หาสวนประกอบตางๆ ของวงรทจดศนยกลางอยทจดก าเนดไดอยางถกตอง 2. หาสวนประกอบตางๆ ของวงรทจดศนยกลางอยทจด (h, k) ไดอยางถกตอง 3. เปลยนสมการวงรในรปทวไปใหเปนรปมาตรฐาน และบอกสวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางอยทจดก าเนด และ (h, k) ใหได

สาระการเรยนร 1. สวนประกอบตางๆ ของวงร 2. การเปลยนสมการวงรในรปทวไปใหเปนสมการวงรในรปมาตรฐาน

สวนประกอบของวงร 4

ใบความรท 5.1 วชาคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4

เรอง สวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางทจด (0, 0)

ในการหาสมการรปแบบอยางงายของวงร เราสรางระบบพกดฉากใหโฟกสอยบนแกน X ท F (- c, o) และ F(c, 0) จดก าเนดอยกงกลางระหวางโฟกส ดงรป

เพอความสะดวก ใหผลบวกของระยะทางจากจดใด ๆ บนวงรถงโฟกสทงสองเทากบ 2a

โดยท a > c จะไดวา ถา P(x, y) เปนจดใด ๆ บนวงรแลว PF+ PF = 2a

จากสตรระยะทางจะไดวา 22 yc)(x + 22 yc)-(x = 2a

หรอ 22 yc)(x = 2a 22 yc)-(x

ยกก าลงสองทงสองขางจะได

x2 + 2xc + c2 + y2 = 4a2 4a 22 yc)-(x + x2 2xc + c2+ y2

หรอ 4a 22 yc)-(x = 4a2 4xc

หารดวย 4 แลวยกก าลงสองทงสองขาง จะไดวา

a2[(x c)2 + y2] = (a2 cx)2

a2x22a2cx + a2c2 + a2y2 = a4 2a2cx + c2x2

(a2 – c2)x2 + a2y2 = a2(a2 – c2)

Y

X

P(x, y)

F (-c, 0) F(c, 0) 0

สวนประกอบของวงร 5

จาก (a2 – c2)x2 + a2y2 = a2(a2 – c2)

จะเหนวา a > c ดงนน a2 – c2 > 0 และน า a2(a2 – c2) หารตลอดจะไดวา

2

2

ax +

22

2

cay

= 1

เพอความสะดวกให b2 = a2 – c2 (โดยท b > 0) เนองจาก b2 < a2 จะไดวา b < a และ

สมการสดทายทจะไดคอ 2

2

ax +

2

2

by = 1 เมอ a > b สมการนเปนสมการวงรทก าหนดให

ในการเขยนกราฟของวงรน เราตองทราบระยะตดแกน X และระยะตดแกน Y

ให y = 0 จะไดวา 2

2

ax = 1

x2 = a2

x = a

ดงนน วงรตดแกน X ท จด (- a, 0) และ (a, 0) จดทงสองนเรยกวา จดยอด (vertrices) ของวงร สวนเสนตรงทเชอมจดยอดเรยกวา แกนเอก (major axis) ของวงร ความยาวแกนเอกเทากบ 2a จดกงกลางของแกนเอกเรยกวา จดศนยกลาง(center) ของวงร วงรนจะมจดศนยกลางอยทจดก าเนด

ในท านองเดยวกน ถาให x = 0 เราจะได y = b ดงนน วงรตดแกน Y ท (0, - b) และ (0, b) สวนของเสนตรงทเชอมจดทงสองนเรยกวา แกนโท (minor axis) ของวงร ความยาวแกนโท เทากบ 2b จะสงเกตวา 2a > 2b ดงนนแกนเอกยาวกวาแกนโท ดงรป

b

(c, 0) c (-c, 0) 0

(0, b)

(0, - b)

Y

X (a, 0) (-a, 0)

สวนประกอบของวงร 6

ถาเราสรางระบบพกดฉากใหโฟกสของวงรอยบนแกน Y ทจด (0, c) ดงรปขางลาง จะได

วงรในแนวตง และสมการของวงรเปน 2

2

ax +

2

2

by = 1 เมอ a > b

Y

b

(0, c)

c

(0, -c) 0

(b, 0) (-b, 0) X

(0, a)

(0, -a)

สวนประกอบของวงร 7

ขอสรปเกยวกบวงรทมจดศนยกลางอยทจด (0, 0) เปนดงน

2

2

ax + 2

2

by = 1 สมการรปแบบมาตรฐาน 2

2

bx + 2

2

ay = 1

แกน X

C (0, 0)

V ( a, 0)

F ( c, 0)

a2b2

ac

y = 0

x = 0

แกน Y

C (0, 0)

V (0, a)

F (0, c)

a2b2

ac

x = 0

y = 0

a2 = b2 + c2

X

Y

(-a, 0)

b

V V

(a, 0) F F

(c, 0) (-c, 0)

-b

C

V

V (0, a)

F

F (0, c)

(0, -c)

(0, -a)

b -b C X

Y

แกนเอก

Center

โฟกส

L.R

สมการแกนเอก

สมการแกนโท

e

จดยอด

สวนประกอบของวงร 8

ขอสงเกต

ตวอยางท 1 จากสมการวงร 25x 2

+ 9y2

= 1 จงเขยนวาดกราฟ และหาจดยอดและ

โฟกสของวงร

วธท า จาก 25x 2

+ 9y2

= 1 จะไดวา จดศนยกลาง อยทจด (0, 0)

เปรยบเทยบกบสมการ 2

2

ax + 2

2

by = 1 เนองจากตวเลขใตแกน X มากกวา

เนองจาก แกนเอกคอแกน X เพราะตวเลขใตแกน X มากกวาจะวาดรปไดดงน

ในสมการรปแบบมาตรฐาน ทขวามอเปน 1

2

2

ax + 2

2

by = 1 และ 2

2

bx + 2

2

ay = 1

จะเหนวาตวเลขใตแกนใดมาก แกนนนเปนแกนเอก

ในรปสมการทวไป Ax2 + By2 = AB และ A B

จะเหนวา สมประสทธของแกนใดนอย แกนนนเปนแกนเอก

X

Y

-5

3

V V

5 F F

4 -4

-3

C

และ c2 = a2 – b2 c2 = 25 – 9 c = 4

จะได a2 = 25 และ b2 = 9 a = 5 และ b = 3

สวนประกอบของวงร 9

จากรป จะไดวา 1. วงร มแกน X เปนแกนเอก และสมการแกนเอก คอ y = 0 มแกน Y เปนแกนโท และสมการแกนโท คอ x = 0 2. จดยอด คอ V ( 5, 0) 3. โฟกส คอ F ( 4, 0)

ตวอยางท 2 จากสมการวงร 2

2

8x +

2

2

10y = 1 จงเขยนวาดกราฟ และหาจดยอด และ

โฟกสของวงร

วธท า จาก 2

2

8x +

2

2

10y = 1 จะไดวา จดศนยกลาง อยทจด (0, 0)

เปรยบเทยบกบสมการ 2

2

bx +

2

2

ay = 1 เนองจากตวเลขใตแกน Y มากกวา

เนองจาก แกนเอกคอแกน Y เพราะตวเลขใตแกน Y มากกวาจะวาดรปไดดงน

จากรป จะไดวา 1. วงร มแกน Y เปนแกนเอก และสมการแกนเอก คอ x = 0 มแกน X เปนแกนโท และสมการแกนโท คอ y = 0 2. จดยอด คอ V ( 10, 0) 3. โฟกส คอ F ( 6, 0)

และ c2 = a2 – b2 c2 = 100 – 64 c = 6

จะได a2 = 102 และ b2 = 82 = 10 และ b = 8

V

V 10

F

F 6

-6

- 10

8 -8 C X

Y

สวนประกอบของวงร 10

ตวอยางท 3 จากสมการวงร 25x2 + 16y2 = 400 จงเขยนกราฟของวงร และหาสวนประกอบตางๆงวงร วธท า จาก 25x2 + 16y2 = 400 ปรบสมการโดยน า 400 หารตลอด

จะได 16x2

+ 25y2

= 1 และ มจดศนยกลางอยทจด (0, 0)

เปรยบเทยบกบสมการ 2

2

bx + 2

2

ay = 1 เนองจากตวเลขใตแกน Y มากกวา

เนองจาก แกนเอกคอแกน Y เพราะตวเลขใตแกน Y มากกวาจะวาดรปไดดงน จากรป จะไดวา 1. วงร มแกน Y เปนแกนเอก และสมการแกนเอก คอ x = 0 มแกน X เปนแกนโท และสมการแกนโท คอ y = 0 2. จดยอด คอ V (0, 5) 3. โฟกส คอ F (0, 4)

4. Latus Rectun = L.R = a

2b2 =

532

5. ความเยองศนยกลาง คอ e = ac =

53

V

V 5

F

F 3

-3

- 5

4 -4 C X

Y

และ c2 = a2 – b2 c2 = 25 – 16 c = 3

จะได a2 = 25 และ b2 = 16 a = 5 และ b = 4

สวนประกอบของวงร 11

แบบฝกทกษะ 5.1

วชา คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง สวนประกอบตาง ๆของวงรทมจดศนยกลางอยทจด (0, 0)

ชอ……………………………………………………………..………………………………ชน ม. 4 / ….. เลขท ……. ค าชแจง ใหน าตวอกษร A – G ซงเปนจดยอดและโฟกสของวงรตางๆ มาใสดานหนาของสมการวงรดงตอไปน

………………1. 9x2

+ 36y2

= 1

………………2. 81x2

+ 49y2

= 1

………………3. 100x2

+ 81y2

= 1

………………4. 2x2 + 3y2 = 18

………………5. 100 x2 + 64y2 – 6400 = 0

V(0, 6 ) F (0, 3)

A

V( 9, 0 ) F( 4 2 , 0)

E

V( 10, 0 ) F( 19 , 0)

F

V( 3, 0 ) F( 3 , 0)

B

V( 10, 0 ) F( 6, 0)

D

V(0, 10 ) F(0, 6)

G

V(0, 6 ) F (0, 3 3 )

C

สวนประกอบของวงร 12

แบบฝกทกษะ 5.2 วชา คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4

เรอง สวนประกอบตาง ๆของวงรทมจดศนยกลางอยทจด (0, 0) ชอ……………………………………………………………..………………………………ชน ม. 4 / ….. เลขท ……. ค าชแจง ใหนกเรยนเตมขอความลงในชองวางใหถกตองครบถวนและสมบรณ

1. จากสมการวงร 9x2

+ 4y2

= 1 จงเขยนกราฟวงรและหาสวนประกอบตางๆของวงร

วธท า จาก 9x2

+ 4y2

= 1 จะไดวา จดศนยกลาง อยทจด (0, 0)

เปรยบเทยบกบสมการ 2

2

ax + 2

2

by = 1 เนองจากตวเลขใตแกน X มากกวา

เนองจาก แกนเอกคอแกน X เพราะตวเลขใตแกน X มากกวาจะวาดรปไดดงน 1) วงร มแกน X เปนแกนเอก และสมการแกนเอก คอ y = 0 มแกน Y เปนแกนโท และสมการแกนโท คอ x = 0

และ c2 = a2 – b2 c2 = 9 – 4 c = 5

จะได a2 = 9 และ b2 = 4 a = 3 และ b = 2

Y

X 0

2

2 4 6 8 -2

-2

-4

-6

4

6

-4 -6

F V V F

สวนประกอบของวงร 13

2) จดยอด คอ __________________________________ 3) จดโฟกส คอ __________________________________ 4) Latus Rectun เทากบ ___________________________

2. จากสมการวงร 25x2

+ 36y2

= 1 จงเขยนกราฟวงรและหาสวนประกอบตางๆของวงร

วธท า จาก 25x2

+ 36y2

= 1 จะไดวา จดศนยกลาง อยทจด (0, 0)

เปรยบเทยบกบสมการ 2

2

bx + 2

2

ay = 1 เนองจากตวเลขใตแกน X มากกวา

เนองจาก แกนเอกคอแกน Y เพราะตวเลขใตแกน Y มากกวาจะวาดรปไดดงน

1) วงร มแกน Y เปนแกนเอก และสมการแกนเอก คอ x = 0

มแกน X เปนแกนโท และสมการแกนโท คอ y = 0 2) จดยอด คอ _________________________________________ 3) จดโฟกส คอ __________________________________________

4) Latus Rectun = ___________________________________________ 5) ความเยองศนยกลาง คอ _________________________________________

Y

X 0

2

2 4 6 8 -2

-2

-4

-6

4

6

-4 -6

และ c2 = a2 – b2 c2 = ___________ c = ___________

จะได a2 = 36 และ b2 = 25 a = ____ และ b = _____

สวนประกอบของวงร 14

3. จากสมการวงร 25x2 + 9y2 = 225จงเขยนกราฟของวงร และหาสวนประกอบตางๆงวงร

วธท า จาก 25x2 + 9y2 = 225 ปรบสมการโดยน า 400 หารตลอด

จะได 9x2

+ 25y2

= 1 และ มจดศนยกลางอยทจด (0, 0)

เปรยบเทยบกบสมการ 2

2

ax + 2

2

by = 1 เนองจากตวเลขใตแกน Y มากกวา

เนองจาก แกนเอกคอแกน Y เพราะตวเลขใตแกน Y มากกวาจะวาดรปไดดงน

1) วงร มแกน Y เปนแกนเอก และสมการแกนเอก คอ x = 0 มแกน X เปนแกนโท และสมการแกนโท คอ y = 0 2) จดยอด คอ ________________________________________

3) จดโฟกส คอ ________________________________________

4) Latus Rectun = L.R = ____________________________

5) ความเยองศนยกลาง คอ _______________________________

Y

X 0

2

2 4 6 8 -2

-2

-4

-6

4

6

-4 -6

และ c2 = a2 – b2 c2 = _________ c = _________

จะได a2 = ______ และ b2 =______ a = ______ และ b = ______

สวนประกอบของวงร 15

4. จากสมการวงร 3x2 + 9y2 – 27 = 0 จงเขยนกราฟของวงร และหาสวนประกอบ ตางๆงวงร

วธท า ______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

เนองจาก แกนเอกคอแกน X เพราะตวเลขใตแกน X มากกวาจะวาดรปไดดงน

1) วงร มแกน X เปนแกนเอก และสมการแกนเอก คอ y = 0 มแกน Y เปนแกนโท และสมการแกนโท คอ x = 0

________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

Y

X 0

2

2 4 6 8 -2

-2

-4

-6

4

6

-4 -6

และ c2 = a2 – b2 c2 = 9 – 3 c = 6

จะได a2 = 9 และ b2 = 3 a = 3 และ b = 3

สวนประกอบของวงร 16

ใบความรท 5.2

วชาคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง สวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางอยทจด(h, k)

ในกรณทวไป ส าหรบสมการใด ๆ ในตวแปร x และ y ถาเราแทน x ดวย x – h หรอ x + h กราฟของสมการใหมกคอกราฟของสมการเดมทเลอนไปตามแนวนอน ถาเราแทน y ดวย y – k หรอ y + k กราฟของสมการใหมกคอกราฟของสมการเดมทเลอนไปตามแนวตง จะสรปไดวา

จากรปในดานลาง ถาเราเลอนวงรรปนใหจดศนยกลางของวงรไปอยทจด (h, k) แลวสมการของวงรรปใหมจะเปนดงรปดานลาง

การเลอนกราฟของสมการ ถา h และ k เปนจ านวนจรงบวก แลว การแทน x ดวย x – h หรอ x + h และการแทน y ดวย y – k หรอ y + k จะมผลตอกราฟของสมการใด ๆ ในตวแปร x และ y ดงน วธการแทน กราฟเลอนไปอยางไร 1. แทน x ดวย x – h ไปทางขวา h หนวย 2. แทน x ดวย x + h ไปทางซาย h หนวย 3. แทน y ดวย y – k ไปขางบน k หนวย 4. แทน y ดวย y + k ลงขางลาง k หนวย

2

2

ax +

2

2

by = 1

2

2

ah)-(x +

2

2

bk)-(y = 1

X

Y

0 h k

(x – h, y – k)

(x , y)

(h , k)

สวนประกอบของวงร 17

ตวอยาง การเขยนกราฟของ41)(x 2 +

92)(y 2 = 1 โดยอาศยการเลอนกราฟ

และหาโฟกส

วธท า วงรทก าหนดให 41)(x 2 +

92)(y 2 = 1 มจดศนยกลางอยท (1, - 2) เกดจาก

การ เลอนวงร 4x 2

+ 9y2

= 1 ซงมจดศนยกลางอยทจดก าเนด ไปทางขวา 1 หนวย

และลงลาง 2 หนวย จดปลายของแกนเอกและแกนโทของวงร 4x 2

+ 9y2

= 1 คอ

(0, 3), (0, –3) และ(2, 0), (–2, 0) ถาเลอนจดเหลานไปทางขวา 1 หนวย และลงลาง 2 หนวย จะไดจดปลาย

ของแกนเอกและแกนโทของวงรทก าหนดใหดงน (0, 3) เลอนไปยงจด (0 + 1, 3 – 2) = (1, 1) (0, –3) เลอนไปยงจด (0 + 1, –3 – 2) = (1, –5) (2, 0) เลอนไปยงจด (2 + 1, 0 – 2) = (3, –2) (–2, 0) เลอนไปยงจด (–2 + 1, 0 – 2) = (–1, –2) จดเหลานจะชวยใหเราเขยนกราฟไดงายขน ดงรปดานลางน

Y

X 0

2

2 4 6 8 -2

-2

-4

-6

4

6

-4 -6

4x2

+ 9y2

= 1

41)-(x 2

+ 92)(y 2

= 1

สวนประกอบของวงร 18

อาศยหลกการเลอนขนาน เราสามารถสรปเกยวกบวงรทมจดศนยกลางอยท (h, k) ไดดงน

2

2

ah) (x + 2

2

bk)(y = 1 สมการรปแบบมาตรฐาน 2

2

bh)(x + 2

2

ak)(y = 1

ขนาน แกน X

C(h, k)

V ( h a , k )

F ( h c , k )

a

2b2

ac

y - k = 0

x - h = 0

ขนานแกน Y

C(h, k)

V( h, k a )

F(h, k c)

a

2b2

ac

x - h = 0

y - k = 0

a2 = b2 + c2

x

a

X

Y

V V

h

F F

k

c

C

y

(h+a , k) (h+c , k)

X

Y

V

V (h, k+ a)

F

F (h, k+c)

h

k c C

a

x

y

แกนเอก

Center

โฟกส

L.R

สมการแกนเอก

สมการแกนโท

e

จดยอด

สวนประกอบของวงร 19

ขอสงเกต

ตวอยางท 1 จงหาจดศนยกลาง จดยอดและจดโฟกสของวงร 36

6)(x 2 + 16

4)(y 2 = 1

วธท า จะไดวา แกนเอก ขนานกบแกน X (เลขใตแกน X มากกวา) จะได a2 = 36, a = 6 และ b2 = 16, b = 4

c2 = 36 – 16 และ c = 20 ดงนน จดศนยกลาง คอ (6, 4) จดยอด คอ V ( 6 6 , 4) หรอ ( 12 , 4 ) และ (0 , 4) และ โฟกส คอ F( 6 20 , 4) หรอ F( 6 + 20 , 4) และF ( 6 – 20 , 4)

ตวอยางท 2 จงหาจดศนยกลาง จดยอดและจดโฟกสของวงร 91)(x 2 +

252)(y 2 = 1

วธท า จะไดวา แกนเอก ขนานกบแกน Y (เลขใตแกน Y มากกวา) จะได a2 = 25 , a = 5 และ b2 = 9, b = 3

c2 = 25 – 9 และ c = 4 ดงนน จดศนยกลาง คอ (–1, –2) จดยอด คอ V (–1, –2 5) หรอ (–1 , 3 ) และ (–1 , –7) และ โฟกส คอ F (–1, –2 4) หรอ (–1 , 2 ) และ (–1 , –6)

ในสมการรปแบบมาตรฐาน ทขวามอเปน 1

2

2

ah)(x + 2

2

bk)(y = 1 และ 2

2

bh)(x + 2

2

ak)(y = 1

จะเหนวาตวเลขใตแกนใดมาก แกนนนเปนแกนเอก

ในรปสมการทวไป Ax2 + By2+ Cx + Dy + E = 0 และ A B

จะเหนวา สมประสทธของแกนใดนอย แกนนนเปนแกนเอก

สวนประกอบของวงร 20

ตวอยางท 3 จงเขยนกราฟและหาสวนตาง ๆ ของวงรทมสมการเปน 16(x – 1)2 + 25(y – 3)2 = 400

วธท า จากสมการ 16(x – 1)2 + 25(y – 3)2 = 400 น า 400 หารตลอด

จะไดวา 2

2

51)(x + 2

2

43)(y = 1

จะเหนวา แกนเอก ขนานกบแกน X (เลขใตแกน X มากกวา)

เปรยบเทยบกบสมการ 2

2

ah)(x + 2

2

bk)(y = 1

1. สมการแกนเอก คอ y – 3 = 0 หรอ y = 3 สมการแกนโท คอ x – 1 = 0 หรอ x = 1 2. จดศนยกลาง คอ C(1, 3) 3. จดยอด คอ V(6 , 3) และ V (–4 , 3) 4. จดโฟกส คอ F(4 , 3) และ F (–2 ,3)

5. Latus Rectun = L.R = a

2b2 =

532

6. ความเยองศนยกลาง คอ e = ac =

53

จะวาดกราฟไดดงน

Y

X 0

2

2 4 6 8 -2

-2

-4

-6

4

6

-4 -6

B

F V

B

V F C

และ c2 = 25 – 16 c = 3

จะได a2 = 25 และ b2 = 16 a = 5 และ b = 4

สวนประกอบของวงร 21

ตวอยางท 4 จงเขยนกราฟและหาสวนตาง ๆ ของวงรทมสมการเปน 9x2 + 4y2 + 36x + 24y + 36 = 0

วธท า จากรปทวไป ท าใหเปนก าลงสองสมบรณ ซงอยในรปมาตรฐาน (9x2 + 36x ) + (4y2 + 24y ) = –36 9(x2 + 4x + 22) + 4(y2 + 6y +32) = –36 +9(22) + 4(32) 9(x + 2)2 + 4(y + 3)2 = 36

41)(x 2 +

93)(y 2 = 1 (น า 36 หารตลอด)

จะไดวา แกนเอก ขนานกบแกน Y (เลขใตแกน Y มากกวา)

เปรยบเทยบกบสมการ 2

2

bh)(x + 2

2

ak)(y = 1

1. สมการแกนเอก คอ x = –1 หรอ x + 1 = 0 สมการแกนโท คอ y = –3 หรอ y + 3 = 0 2. จดศนยกลาง คอ C (–1, –3) 3. จดยอด คอ V(–1, 0) และ V (–1, –6) 4. จดโฟกส คอ F(–1, –3+ 5 ) และ F (–1, –3 – 5 )

5. Latus Rectun = L.R = a

2b2 =

38

6. ความเยองศนยกลาง คอ e = ac =

35

จะวาดรปไดดงน

และ c2 = 9 – 4 c = 5

จะได a2 = 9 และ b2 = 4 a = 3 และ b = 2

Y

X 0

2

2 4 6 8 -2

-2

-4

-6

4

6

-4 -6

C

V

F

V

F

สวนประกอบของวงร 22

แบบฝกทกษะ 5.3 วชา คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4

เรอง สวนประกอบตางๆ ของวงรทมจดศนยกลางอยทจด (h, k)ชอ…………………………………………………..………………………………………ชน ม. 4 / ….. เลขท …….

ก าหนดพกดจดใหดงตอไปน

ค าชแจง ใหนกเรยนเลอกพกดจดจากดานบน ทเปนจดศนยกลาง จดยอดและโฟกสของสมการวงรดงตอไปนเตมลงในชองวางใหถกตองครบถวน

1. 16

1)(x 2 + 49

2)(y 2 = 1

จดศนยกลาง คอ ……………. จดยอด คอ ……………… โฟกส คอ ………………

2. 25

4)(x 2 + 91)(y 2 = 1

จดศนยกลาง คอ ……………. จดยอด คอ ……………… โฟกส คอ ………………

3. 96)(x 2 +

44)(y 2 = 1

จดศนยกลาง คอ ……………. จดยอด คอ ……………… โฟกส คอ ………………

4. 7x2

+ 16

3)(y 2 = 1

จดศนยกลาง คอ ……………. จดยอด คอ ……………… โฟกส คอ ……………… 5. 9x2 + 25y2 – 54x – 100y – 44 = 0 จดศนยกลาง คอ ……………. จดยอด คอ ……………… โฟกส คอ ………………

( 1 , 2 ) (–4 , 1 ) ( 6 , 4 ) ( 3 , 2 ) ( 0 , –3 )

( 0 , –3 3 )

( 1 , 2 7 )

( 1 , 2 33 )

( 6 3 , 4 )

(–4 5 , 1 )

( 3 5 , 2 )

(–4 4 , 1 )

( 6 5 , 4 )

( 0 , –3 4 )

( 3 4 , 2 )

สวนประกอบของวงร 23

แบบฝกทกษะ 5.4

วชา คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง สวนประกอบตางๆ ของวงรทมจดศนยกลางอยทจด ( h , k )

ชอ……………………………………….……………………………………………………ชน ม. 4 / ….. เลขท ……. ค าชแจง ใหนกเรยนหาสวนประกอบตางๆ ของวงรและวาดกราฟ โดยเตมขอความลงในชองวางใหถกตองครบถวน จากสมการวงรทก าหนดใหตอไปน

1. 92)(x 2 +

43)(y 2 = 1

วธท า ไดวา แกนเอก ขนานกบแกน X (เลขใตแกน X มากกวา)

เปรยบเทยบกบสมการ 2

2

ah)(x + 2

2

bk)(y = 1

1.1 สมการแกนเอก คอ y – 3 = 0 1.2 สมการแกนโท คอ x – 2 = 0 1.3 จดศนยกลาง คอ (2, 3) 1.4 จดยอด คอ __________________________________________ 1.5 จดโฟกส คอ __________________________________________

1.6 Latus Rectun เทากบ ___________________________________ จะวาดกราฟได

และ c2 = __________ c = __________

จะได a2 = ______ และ b2 = ______ a = ______ และ b = ______

Y

X 0

2

2 4 6 8 -2

-2

-4

-6

4

6

-4 -6

สวนประกอบของวงร 24

2. 16(x – 2)2 + 25(y + 3)2 – 400 = 0 (น า 400หารตลอด)

วธท า ปรบสมการใหเขารปแบบมาตรฐาน จะได 25

2)(x 2 + 16

23)(y = 1

ไดวา แกนเอก_____________________________________________

เปรยบเทยบกบสมการ 2

2

ah)(x + 2

2

bk)(y = 1

2.1 สมการแกนเอก คอ y + 3 = 0

2.2 สมการแกนโท คอ ___________________________________ 2.3 จดศนยกลาง คอ (2, - 3) 2.3 จดยอด คอ ___________________________________ 2.4 จดโฟกส คอ ___________________________________ 2.5 Latus Rectun เทากบ _______________________________ 2.6 ความเยองศนยกลาง คอ _______________________________ จะวาดกราฟได

Y

X 0

2

2 4 6 8 -2

-2

-4

-6

4

6

-4 -6

และ c2 = __________ c = __________

จะได a2 = _____ และ b2 = _____ a = _____ และ b = _____

สวนประกอบของวงร 25

3. 9x2 + 5y2 – 18x + 30y + 9 = 0 วธท า จากรปทวไป ท าใหเปนก าลงสองสมบรณ ซงอยในรปมาตรฐาน

(9x2 – 18x ) + (5y2 + 30y ) = –9 9(x2 – 2x + 12) + 5(y2 + 6y +32) = –9 + 9(12) + 5(32)

____________________________________________________________________________________________________________________________________

จะไดวา แกนเอก _______________________________________________

เปรยบเทยบกบสมการ 2

2

bh)(x + 2

2

ak)(y = 1

3.1 สมการแกนเอก คอ ___________________________________________ 3.2 สมการแกนโท คอ y + 3 = 0 3.3 จดศนยกลาง คอ ___________________________________________

3.4 จดยอด คอ ___________________________________________ 3.5 จดโฟกส คอ ___________________________________________

จะวาดกราฟได

Y

X 0

2

2 4 6 8 -2

-2

-4

-6

4

6

-4 -6

และ c2 = __________ c = __________

จะได a2 = _____ และ b2 = _____ a = _____ และ b = _____

สวนประกอบของวงร 26

ภาคผนวก

สวนประกอบของวงร 27

เฉลยแบบฝกทกษะ 5.1 วชา คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4

เรอง สวนประกอบตาง ๆของวงรทมจดศนยกลางอยทจด (0, 0) ชอ……………………………………………………………..………………………………ชน ม. 4 / ….. เลขท …….

ค าชแจง ใหน าตวอกษร A – G ซงเปนจดยอดและโฟกสของวงรตางๆ มาใสดานหนาของสมการวงรดงตอไปน

………………1. 9x2

+ 36y2

= 1

………………2. 81x2

+ 49y2

= 1

………………3. 100x2

+ 81y2

= 1

………………4. 2x2 + 3y2 = 18

………………5. 100 x2 + 64y2 – 6400 = 0

V(0, 6 ) F (0, 3)

A

V( 9, 0 ) F( 4 2 , 0)

E

V( 10, 0 ) F( 19 , 0)

F

V( 3, 0 ) F( 3 , 0)

B

V( 10, 0 ) F( 6, 0)

D

V(0, 10 ) F(0, 6)

G

V(0, 6 ) F(0, 3 3 )

C

C

E

G

B

D

สวนประกอบของวงร 28

เฉลยแบบฝกทกษะ 5.2 วชา คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4

เรอง สวนประกอบตาง ๆของวงรทมจดศนยกลางอยทจดก าเนด ชอ…………………………………………………………………………………..…………ชน ม. 4 / ….. เลขท ……. 1. ค าชแจง ใหนกเรยนเตมขอความลงในชองวางใหถกตองครบถวนและสมบรณ

1.1 จากสมการวงร 9x2

+ 4y2

= 1 จงเขยนกราฟวงรและหาสวนประกอบตางๆของวงร

วธท า จาก 9x2

+ 4y2

= 1 จะไดวา จดศนยกลาง อยทจด (0, 0)

เปรยบเทยบกบสมการ 2

2

ax + 2

2

by = 1 เนองจากตวเลขใตแกน X มากกวา

เนองจาก แกนเอกคอแกน X เพราะตวเลขใตแกน X มากกวาจะวาดรปไดดงน

1) วงร มแกน X เปนแกนเอก และสมการแกนเอก คอ y = 0 มแกน Y เปนแกนโท และสมการแกนโท คอ x = 0

และ c2 = a2 b2 c2 = 9 – 4 c = 5

จะได a2 = 9 และ b2 = 4 a = 3 และ b = 2

Y

X 0

2

2 4 6 8 -2

-2

-4

-6

4

6

-4 -6

F V V F

สวนประกอบของวงร 29

2) จดยอด คอ __________________________________ 3) จดโฟกส คอ __________________________________ 4) Latus Rectun เทากบ ___________________________

2. จากสมการวงร 25x2

+ 36y2

= 1 จงเขยนกราฟวงรและหาสวนประกอบตางๆของวงร

วธท า จาก 25x2

+ 36y2

= 1 จะไดวา จดศนยกลาง อยทจด (0, 0)

เปรยบเทยบกบสมการ 2

2

bx + 2

2

ay = 1 เนองจากตวเลขใตแกน X มากกวา

เนองจาก แกนเอกคอแกน Y เพราะตวเลขใตแกน Y มากกวาจะวาดรปไดดงน

1) วงร มแกน Y เปนแกนเอก และสมการแกนเอก คอ x = 0

มแกน X เปนแกนโท และสมการแกนโท คอ y = 0 2) จดยอด คอ _________________________________________ 3) จดโฟกส คอ __________________________________________

4) Latus Rectun = _______________________________________ 5) ความเยองศนยกลาง คอ ___________________________________

Y

X 0

2

2 4 6 8 -2

-2

-4

-6

4

6

-4 -6

V

V

F

F

V(3, 0) และ V (–3, 0)

F( 5 , 0) และF (– 5 , 0)

38

38

และ c2 = a2 b2 c2 = 36 – 25 c = 11

จะได a2 = 36 และ b2 = 25 a = 6 และ b = 5

V (0, 6) และ V (0, –6)

F (0, 11 ) และ F (0, – 11 )

a22b =

650

e = 611

สวนประกอบของวงร 30

3. จากสมการวงร 25x2 + 9y2 = 225 จงเขยนกราฟของวงร และหาสวนประกอบตางๆงวงร วธท า จาก 25x2 + 9y2 = 225 ปรบสมการโดยน า 400 หารตลอด

จะได 9x2

+ 25y2

= 1 และ มจดศนยกลางอยทจด (0, 0)

เปรยบเทยบกบสมการ 2

2

bx + 2

2

ay = 1 เนองจากตวเลขใตแกน Y มากกวา

เนองจาก แกนเอกคอแกน Y เพราะตวเลขใตแกน Y มากกวาจะวาดรปไดดงน

1) วงร มแกน Y เปนแกนเอก และสมการแกนเอก คอ x = 0

มแกน X เปนแกนโท และสมการแกนโท คอ y = 0 2) จดยอด คอ ________________________________________

3) จดโฟกส คอ ________________________________________

4) Latus Rectun = L.R = ____________________________

5) ความเยองศนยกลาง คอ _______________________________

และ c2 = a2 b2 c2 = 25 – 9 c = 4

จะได a2 = 25 และ b2 = 9 a = 5 และ b =3

Y

X 0

2

2 4 6 8 -2

-2

-4

-6

4

6

-4 -6

V

V

F

F

V(0, 5) และ V (0, –5)

F(0, 4) และ F (0, –4)

518

e = 54

สวนประกอบของวงร 31

4. จากสมการวงร 3x2 + 9y2 – 27 = 0 จงเขยนกราฟของวงร และหาสวนประกอบ ตางๆงวงร

วธท า ______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

เนองจาก แกนเอกคอแกน X เพราะตวเลขใตแกน X มากกวาจะวาดรปไดดงน

1) วงร มแกน X เปนแกนเอก และสมการแกนเอก คอ y = 0 มแกน Y เปนแกนโท และสมการแกนโท คอ x = 0

________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

และ c2 = a2 - b2 c2 = 9 - 3 c = 6

จะได a2 = 9 และ b2 = 3 a = 3 และ b = 3

Y

X 0

2

2 4 6 8 -2

-2

-4

-6

4

6

-4 -6

F V V F

จาก 3x2 + 9y2 = 27 ปรบสมการโดยน า 27 หารตลอด

จะได 9x2

+ 3y2

= 1 และ มจดศนยกลางอยทจด (0, 0)

เปรยบเทยบกบสมการ 2

2

ax + 2

2

by = 1 เนองจากตวเลขใตแกน X

มากกวา

2) จดยอด คอ V(3, 0) และ V (–3, 0) 3) จดโฟกส คอ F( 6 , 0) และ F (– 6 , 0)

4) Latus Rectun เทากบ 36 = 2

5) ความเยองศนยกลาง คอ e = 36

สวนประกอบของวงร 32

เฉลยแบบฝกทกษะ 5.3

วชา คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง สวนประกอบตางๆ ของวงรทมจดศนยกลางอยทจด (h, k)

ชอ…………………………………………………………………………………………ชน ม. 4 / ….. เลขท ……. ก าหนดพกดจดใหดงตอไปน

ค าชแจง ใหนกเรยนเลอกพกดจดจากดานบน ทเปนจดศนยกลาง จดยอดและโฟกสของสมการวงรดงตอไปนเตมลงในชองวางใหถกตองครบถวน

1. 16

1)(x 2 + 49

2)(y 2 = 1

จดศนยกลาง คอ ……………. จดยอด คอ ……………… โฟกส คอ ………………

2. 25

4)(x 2 + 91)(y 2 = 1

จดศนยกลาง คอ ……………. จดยอด คอ ……………… โฟกส คอ ………………

3. 96)(x 2 +

44)(y 2 = 1

จดศนยกลาง คอ ……………. จดยอด คอ ……………… โฟกส คอ ………………

4. 7x2

+ 16

3)(y 2 = 1

จดศนยกลาง คอ ……………. จดยอด คอ ……………… โฟกส คอ ……………… 5. 9x2 + 25y2 – 54x – 100y – 44 = 0

( 1 , 2 ) (–4 , 1 ) ( 6 , 4 ) ( 3 , 2 ) ( 0 , –3 )

( 0 , –3 3 )

( 1 , 2 7 )

( 1 , 2 33 )

( 6 3 , 4 )

(–4 5 , 1 )

( 3 5 , 2 )

(–4 4 , 1 )

( 6 5 , 4 )

( 0 , –3 4 )

( 3 4 , 2 )

จดศนยกลาง คอ …………… จดยอด คอ ……….……… โฟกส คอ …..…………

(1, 2) (1, 2 7) (1, 2 33 )

(–4, 1) (–4 5, 1) (–4 4, 1)

(6, 4) (6 3 , 4) ( 6 5 , 4)

(0, –3) (0, –3 4 ) (0, –3 3)

(3, 2) (3 5 , 2)

(3 4 , 2)

สวนประกอบของวงร 33

B

F

B

F V V C

Y

X 0

2

2 4 6 8 -2

-2

-4

-6

4

6

-4 -6

เฉลยแบบฝกทกษะ 5.4

วชา คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง สวนประกอบตางๆ ของวงรทมจดศนยกลางอยท (h, k)

ชอ……………………………………………………………………………………………ชน ม. 4 / ….. เลขท ……. ค าชแจง ใหนกเรยนหาสวนประกอบตางๆ ของวงรและวาดกราฟ โดยเตมขอความลงในชองวางใหถกตองครบถวน จากสมการวงรทก าหนดใหตอไปน

1. 92)(x 2 +

43)(y 2 = 1

วธท า ไดวา แกนเอก ขนานกบแกน X (เลขใตแกน X มากกวา)

เปรยบเทยบกบสมการ 2

2

ah)(x + 2

2

bk)(y = 1

1.1 สมการแกนเอก คอ y – 3 = 0 1.2 สมการแกนโท คอ x – 2 = 0 1.3 จดศนยกลาง คอ (2, 3) 1.4 จดยอด คอ __________________________________________ 1.5 จดโฟกส คอ __________________________________________

1.6 Latus Rectun เทากบ ___________________________________ จะวาดกราฟได

และ c2 = 9 – 4 c = 5

จะได a2 = 9 และ b2 = 4 a = 3 และ b = 2

V(5, 3) และ V (–1, 3) F(2+ 5 , 3) และ F (2 – 5 , 3)

38

สวนประกอบของวงร 34

2. 16(x – 2)2 + 25(y + 3)2 – 400 = 0

วธท า ปรบสมการใหเขารปแบบมาตรฐาน

จะได 25

2)(x 2 + 16

)(y 23 =1(น า 400หารตลอด)

ไดวา แกนเอก_____________________________________________

เปรยบเทยบกบสมการ 2

2

ah)(x + 2

2

bk)(y = 1

2.1 สมการแกนเอก คอ y + 3 = 0 2.2 สมการแกนโท คอ ___________________________________ 2.3 จดศนยกลาง คอ (2, 3) 2.3 จดยอด คอ ___________________________________ 2.4 จดโฟกส คอ ___________________________________ 2.5 Latus Rectun เทากบ _______________________________ 2.6 ความเยองศนยกลาง คอ _______________________________ จะวาดกราฟได

และ c2 = 25 – 16 c = 3

จะได a2 = 25 และ b2 = 16 a = 5 และ b = 4

Y

X 0

2

2 4 6 8 -2

-2

-4

-6

4

6

-4 -6

F F V V C

ขนานกบแกน X (เลขใตแกน X มากกวา)

x 2 = 0

V(–3 , –3) และ V (7 , –3) F(5, –3) และ F (–1, –3)

532

53

สวนประกอบของวงร 35

3. 9x2 + 5y2 – 18x + 30y + 9 = 0 วธท า จากรปทวไป ท าใหเปนก าลงสองสมบรณ ซงอยในรปมาตรฐาน

(9x2 – 18x) + (5y2 + 30y) = –9 9(x2 – 2x + 12) + 5(y2 + 6y +32) = –9 + 9(12) + 5(32)

_________________________________________________________________ _________________________________________________________________

จะไดวา แกนเอก _______________________________________________

เปรยบเทยบกบสมการ 2

2

bh)(x + 2

2

ak)(y = 1

3.1 สมการแกนเอก คอ ___________________________________________

3.2 สมการแกนโท คอ y + 3 = 0 3.3 จดศนยกลาง คอ ___________________________________________

3.4 จดยอด คอ ___________________________________________ 3.5 จดโฟกส คอ ___________________________________________

จะวาดกราฟได

และ c2 = 9 - 5 c = 2

จะได a2 = 9 และ b2 = 5 a = 3 และ b = 5

Y

X 0

2

2 4 6 8 -2

-2

-4

-6

4

6

-4 -6

C

V

F

V

F

9(x – 1)2 + 5(y + 3)2 = 45

51)(x 2 +

93)(y 2 = 1

ขนานกบแกน Y (เลขใตแกน Y มากกวา)

x – 1 = 0

(1, –3) V(1 , 0) และ V (1 , –6) F(1, –1) และ F (1, –5)

36

แผนการจดการเรยนรท 6 สาระการเรยนรคณตศาสตร วชา คณตศาสตรเพมเตม รหส ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4 หนวยการเรยนรท 2 ภาคตดกรวย เวลา 19 ชวโมง เรอง สวนประกอบตาง ๆ ของวงร เวลา 1 ชวโมง สอนวนท 30 เดอน พฤศจกายน พ.ศ. 2559 ภาคเรยนท 2 ปการศกษา 2559 ผสอน นายประยทธ ธนากาญจโนภาส ........................................................................................................................................................

มาตรฐาน ค 6.1 มความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล การสอสาร การสอความหมาย ทางคณตศาสตร และการน าเสนอ การเชอมโยงความรตาง ๆ ทางคณตศาสตรและเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอน ๆ และมความคดรเรมสรางสรรค

ผลการเรยนร 1. เขยนกราฟและหาสวนตาง ๆ ของวงวงรเมอก าหนดความสมพนธของกราฟวงวงรใหได

สาระส าคญ ภาคตดกรวย ( Conic Section ) หมายถง เสนโคง ซง ไดแก วงกลม( circle ) พาราโบลา

( parabola ) วงร ( ellipse ) และไฮเพอรโบลา ( hyperbola ) ทเกดจากการน าระนาบไปตดกรวยกลมตรง วงร ( ellipse ) คอ เซตของจดทงหมดในระนาบ ซงผลบวกของระยะทางจากจดใด ๆไปยงจด F1 และ F2 ทตรงอยกบท มคาคงตว โดยคาคงตวนตองมากกวาระยะหางระหวางจดทตรงอยกบททงสองจด จดสองจดทตรงอยกบทนเรยกวา โฟกส (focus)ของวงร

จดประสงคการเรยนร ดานความร

1) หาสวนประกอบตางๆ ของวงรทจดศนยกลางอยทจด (0, 0) ไดอยางถกตอง 2) เปลยนสมการวงรในรปทวไปใหเปนรปมาตรฐาน และบอกสวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางอยทจดก าเนดใหได

ดานทกษะ/กระบวนการ 1) การแกปญหา 2) การใหเหตผล

ดานคณลกษณะอนพงประสงค 1) การมระเบยบวนย 2) ความตรงตอเวลา

37

สาระการเรยนร 1) สวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางอยทจด (0, 0)

1.1) สมการวงร 2a

2x + 2b

2y = 1 เมอ a > b > 0 และ b2 = a2 – c2 จะมจด

ศนยกลางอยท (0, 0) แกนเอกอยบนแกน x โฟกสอยท (c, 0) และ (- c, 0) จดยอดอยทจด (a, 0) และ (- a, o)

1.2) สมการวงร 2b

2x + 2a

2y = 1 เมอ a > b > 0 และ b2 = a2 – c2 จะมจด

ศนยกลางอยท (0, 0) แกนเอกอยบนแกน y โฟกสอยท (0, c) และ (0, - c) จดยอดอยทจด (0, a) และ (0, - a) กจกรรมการเรยนร (การเรยนรแบบรวมมอเทคนค STAD)

ขนท 1 ขนน าเขาสบทเรยน 1. ครชแจงจดประสงคการเรยนร 2. ใหนกเรยนท าใบกจกรรมท 6.1 เรอง ความสมพนธระหวางคา a, b และ c 3. ใหนกเรยนตอบค าถาม เพอสรปประเดนขอคดทไดดงน - ความสมพนธระหวางคา a, b และ c เปนอยางไร - การหาคาตวแปรทเหลอ นกเรยนมวธหาไดอยางไร 4. นกเรยนรวมกนสรปวา “ความสมพนธระหวางคา a, b และ c คอ a2 = b2 + c2 และในการหาคา c2 กตองเปลยนความสมพนธเปน c2 = a2 - b2 หรอถาเราจะหา b2 กตองเปลยนความสมพนธเปน b2 = a2 - c2 (ในสวนของการหาคา a, b และc นนท าไดโดยการหารากทสองของ a2 , b2 และc2 นนเอง )

ขนท 2 ขนการเสนอบทเรยนตอทงชน 1. ใหนกเรยนท าใบกจกรรมท 6.2 เรอง สวนประกอบทส าคญของวงร และใหนกเรยนตอบ

ค าถามเพอสรปประเดนขอคดทไดดงน - รปวงรทก าหนดใหมจดศนยกลางอยทไหน

- ถาแกนเอกอยบนแกน X หรอ แกน Y ลกษณะของวงรเปนอยางไร - ถาวงรแนวนอน จะมสมการในรปทวไปเปนอยางไร - ถาวงรแนวตง จะมสมการในรปทวไปเปนอยางไร - ลกษณะของจดยอดและโฟกสเปนอยางไร 2. นกเรยนรวมกนสรปใบกจกรรมท 6.2 สวนประกอบทส าคญของวงร วาวงรทก าหนดใหมจดศนยกลางอยทจด (0, 0) แกนเอกอยบนแกน X จะเปนวงรแนวนอน แตถาแกนเอกอยบนแกน Y

จะเปนวงรแนวตง วงรแนวนอนจะมสมการในรปมาตรฐานคอ 2a

2x + 2b

2y = 1 สวนวงรแนวตงจะม

38

สมการในรปมาตรฐาน คอ 2b

2x + 2a

2y = 1 ถาแกนเอกอยบนแกน X จะท าใหจดยอดและโฟกสอย

บนแกน X ดวย เชนเดยวกน ถาแกนเอกอยบนแกน Y กจะท าใหจดยอดและโฟกสอยบนแกน Y ดวย 3. ใหนกเรยนท าใบกจกรรมท 6.3 เรอง สวนประกอบของวงร 4. ใหนกเรยนรวมกนอภปราย หลกการหาสวนประกอบของวงร วา จากสมการในรปมาตรฐานทก าหนดมาให เราตองรวาเปนวงรแนวไหน โดยดจากตวเลขทเปนตวสวนของ x2 และ y2 - ถาตวเลขมากอยใต x2 แสดงวาตวเลขนนคอ a2 ซงจะเปนวงรแนวนอน สวน b2 กคอตวเลขทอยใต y2 หลงจากนนกหาคา a, b และ c จากความสมพนธ a2 = b2 + c2 แลวน าไปใชหาคาสวนประกอบของวงร - ถาตวเลขมากอยใต y2 แสดงวาตวเลขนนคอ a2 ซงจะเปนวงรแนวนอน สวน b2 กคอตวเลขทอยใต x2 หลงจากนนกหาคา a, b และ c จากความสมพนธ a2 = b2 + c2 แลวน าไปใชหาคาสวนประกอบของวงร

ขนท 3 ขนสรป 1. ใหนกเรยนรวมกนสรป วา วงรทมศนยกลางอยทจด (0, 0) แกนเอกอยบนแกน X จะเปน

วงรแนวนอน แตถาแกนเอกอยบนแกน Y จะเปนวงรแนวตง วงรแนวนอนจะมสมการในรปมาตรฐาน

ไป คอ 2a

2x + 2b

2y = 1 สวนวงรแนวตงจะมสมการในรปมาตรฐานคอ 2b

2x + 2a

2y = 1 ถาแกนเอก

อยบนแกน X จะท าใหจดยอดและโฟกสอยบนแกน X ดวย เชนเดยวกน ถาแกนเอกอยบนแกน Y กจะท าใหจดยอดและโฟกสอยบนแกน Y ดวย 2. ใหนกเรยนรวมกนสรป วธการหาสวนประกอบของวงรทมจดศนยกลางอยท (0, 0) โดยมแนวตอบดงน ในการหาสวนประกอบของวงรทมจดศนยกลางอยท (0, 0) นกเรยนจะตองรวาเปนวงรแนวไหน และกตองหาคา a และ b จากสมการรปมาตรฐานทโจทยก าหนดให และใชความสมพนธ a2 = b2 + c2 หาคา c ใหได เพอน าไปใชในการหาสวนประกอบตาง ๆ แตถาสมการอยในรปทวไปเราตองปรบสมการใหอยในรปมาตรฐานเสยกอน ขนท 4 ขนการศกษากลมยอย

1. นกเรยนศกษาใบความรท 5.1 เรอง สวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางทจด (0, 0) ในแบบฝกทกษะเลมท 5 เรอง สวนประกอบของวงร ใหนกเรยนท างานโดยมการอางองเหตและผลทถกตอง ชดเจน เสนอแนวคดประกอบการตดสนใจไดอยางสมเหตสมผล มวธการแกปญหาอยางมประสทธภาพ และแกไขปญหาตางๆไดอยางส าเรจลลวง อธบายเหตผลในการใชวธการดงกลาวไดชดเจน โดยคนเกงชวยเหลอคนทออนกวา ขณะเดยวกนครคอยใหค าแนะน าชวยเหลอเมอนกเรยนมปญหา

2. เมอนกเรยนศกษาใบความรเขาใจแลว ใหนกเรยนแตละคน ท าแบบฝกทกษะท 5.1 เรอง สวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางทจด (0, 0) และแบบฝกทกษะท 5.2 เรอง สวนประกอบ

39

ตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางทจด (0, 0) ในแบบฝกทกษะเลมท 5 เรอง สวนประกอบของวงร ครกระตนใหนกเรยนเนนการอภปรายกลม โดยชวยเหลอซงกนและกน รบผดชอบในการเรยนรของตนเอง ท างาน สะอาดเรยบรอย และมความถกตอง ปฏบตตนอยในขอตกลงทก าหนดใหท ารวมกนทกครง สงงานตามก าหนดนดหมาย ปฏบตงานทไดรบมอบหมายดวยตนเอง เปนแบบอยางทดใหกบเพอน แนะน าเพอนใหปฏบตตามได

3. ครแจกเฉลยแบบฝกทกษะท 5.1 เรอง สวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางทจด (0, 0) และแบบฝกทกษะท 5.2 เรอง สวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางทจด (0, 0) ในแบบฝกทกษะเลมท 5 เรอง สวนประกอบของวงร โดยเปลยนกนตรวจระหวางกลม ถาผดขอใดใหสมาชกในกลมศกษาขอผดพลาดและท าความเขาใจรวมกน

สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. ใบกจกรรมท 6.1 เรอง ความสมพนธระหวางคา a, b และ c 4. บตรเฉลยใบกจกรรมท 6.1 เรอง ความสมพนธระหวางคา a, b และ c 5. ใบกจกรรมท 6.2 เรอง สวนประกอบทส าคญของวงร 4. ใบกจกรรมท 6.3 เรอง สวนประกอบของวงร 6. ใบความรท 5.1 เรอง สวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางทจด (0, 0) ในแบบฝก

ทกษะเลมท 5 เรอง สวนประกอบของวงร 7. แบบฝกทกษะ ท 5.1 เรอง สวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางทจด (0, 0) ใน

แบบฝกทกษะเลมท 5 เรอง สวนประกอบของวงร 8. แบบฝกทกษะ ท 5.2 เรอง เรอง สวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางทจด (0, 0)

ในแบบฝกทกษะเลมท 5 เรอง สวนประกอบของวงร

การวดผลและประเมนผล 1. วธการวด

1.1 ตรวจแบบฝกทกษะท 5.1 เรอง สวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางทจด0, 0)

1.2 ตรวจแบบฝกทกษะท 5.2 เรอง สวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางทจด0, 0)

1.3 สงเกตพฤตกรรม เพอประเมนทกษะ/กระบวนการ 1.4 สงเกตพฤตกรรม เพอประเมนคณลกษณะอนพงประสงค

2. เครองมอวด 2.1 แบบฝกทกษะ 2.2 แบบประเมนทกษะ/กระบวนการ 2.3 แบบประเมนคณลกษณะอนพงประสงค

40

3. เกณฑการประเมน 3.1 นกเรยนสามารถท าแบบฝกทกษะเลมท 5 เรอง สวนประกอบของวงร ไดถกตอง

ไมนอยกวารอยละ 75 ถอวาผานเกณฑ 3.2 นกเรยนผานเกณฑการประเมนดวยแบบประเมนทกษะ/กระบวนการไมนอยกวา

รอยละ 75 ถอวาผานเกณฑ 3.3 นกเรยนผานเกณฑการประเมนดวยแบบประเมนคณลกษณะอนพงประสงคไม

นอยกวา รอยละ 75 ถอวาผานเกณฑ

41

ใบกจกรรมท 6.1

ประกอบแผนการจดการเรยนรท 6 สวนประกอบของวงร เรอง ความสมพนธระหวางคา a, b และ c

วชาคณตศาสตรเพมเตม ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ภาคตดกรวย

ชอ.............................................................................. ชน..................คะแนนทได.................

ค าชแจง ใหนกเรยนพจารณาความสมพนธของคา a, b และ c ในขอท 1 และเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตอง ขอ 1 a2 = 25 b2 = 9 c2 = 16 ขอ 2 a2 = 49 b2 = c2 = 13 ขอ 3 a2 = 25 b2 = 16 c = ขอ 4 a = 5 b2 = 9 c = ขอ 5 a = b = 8 c = 6 ขอ 6 a2 = 100 b2 = c2 = 36 ขอ 7 a2 = b2 = 64 c2 = 36 ขอ 8 a2 = 100 b2 = 36 c = ขอ 9 a = 10 b2 = c = 8 ขอ 10 a = 6 b = 4 c =

สรปความสมพนธระหวางคา a, b และ c จะไดวา …….………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….

42

ใบกจกรรมท 6.2

ประกอบแผนการจดการเรยนรท 6 สวนประกอบของวงร เรอง สวนประกอบทส าคญของวงร

วชาคณตศาสตรเพมเตม ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ภาคตดกรวย

ค าชแจง ใหนกเรยนพจารณารปและตารางแสดงจดส าคญของวงรตอไปน แลวเขยนสรปความรทได

สมการรปแบบมาตรฐาน จดศนยกลาง แกนเอก จดยอด โฟกส

2a

2x + 2b

2y = 1 (0, 0) แกน X V ( a, 0) F ( c, 0)

2b

2x + 2a

2y = 1 (0, 0) แกน Y V (0, a) F (0, c)

ขอสรปความรเกยวกบ “ ลกษณะและสวนทส าคญของวงร ”

.....................................................................................................................................................................

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

.....................................................................................................................................................................

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

X

Y

(-a, 0)

b

V V

(a, 0) F F

(c, 0) (-c, 0)

-b

C

V

V (0, a)

F

F (0, c)

(0, -c)

(0, -a)

b -b C X

Y

43

ใบกจกรรมท 6.3

ประกอบแผนการจดการเรยนรท 6 สวนประกอบของวงร เรอง สวนประกอบของวงร

วชาคณตศาสตรเพมเตม ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ภาคตดกรวย

ค าชแจง ใหนกเรยนพจารณาตวอยางตอไปน แลวเขยนสรปความรทไดเกยวกบการหา สวนประกอบของวงร

ตวอยางท 1 จากสมการวงร 100x2

+ 64y2

= 1 จงหาจดยอดและโฟกสของวงร

วธท า จาก 100x2

+ 64y2

= 1 จะไดวา จดศนยกลาง อยทจด (0, 0)

เปรยบเทยบกบสมการ 2

2

ax + 2

2

by = 1 เนองจากตวเลขใตแกน X มากกวา

จะไดวา 1. วงร มแกน X เปนแกนเอก และสมการแกนเอก คอ y = 0 มแกน Y เปนแกนโท และสมการแกนโท คอ x = 0 2. จดยอด คอ V ( 10, 0) 3. โฟกส คอ F ( 6, 0)

ตวอยางท 2 จากสมการวงร 24

2x + 25

2y = 1 จงหาจดยอดและโฟกสของวงร

วธท า จาก 24

2x + 25

2y = 1 จะไดวา จดศนยกลาง อยทจด (0, 0)

เปรยบเทยบกบสมการ 2

2

bx +

2

2

ay = 1 เนองจากตวเลขใตแกน Y มากกวา

และ c2 = a2 – b2 c2 = 100 – 64 c = 6

จะได a2 = 100 และ b2 = 64 a = 10 และ b = 8

และ c2 = a2 – b2 c2 = 25 – 16 c = 3

จะได a2 = 52 และ b2 = 42 = 5 และ b = 4

44

จะไดวา 1. วงร มแกน Y เปนแกนเอก และสมการแกนเอก คอ x = 0 มแกน X เปนแกนโท และสมการแกนโท คอ y = 0 2. จดยอด คอ V ( 5, 0) 3. โฟกส คอ F ( 3, 0)

ตวอยางท 3 จากสมการวงร 169x2 + 144y2 = 24,336 จงหาสวนประกอบตางๆงวงร วธท า จาก 169x2 + 144y2 = 24,336 ปรบสมการโดยน า 24,336 หารตลอด

จะได 144x2

+ 169y2

= 1 และ มจดศนยกลางอยทจด (0, 0)

เปรยบเทยบกบสมการ 2

2

bx + 2

2

ay = 1 เนองจากตวเลขใตแกน Y มากกวา

จะไดวา 1. วงร มแกน Y เปนแกนเอก และสมการแกนเอก คอ x = 0 มแกน X เปนแกนโท และสมการแกนโท คอ y = 0 2. จดยอด คอ V (0, 13) 3. โฟกส คอ F (0, 5)

4. Latus Rectun = L.R = a

22b = 13144

5. ความเยองศนยกลาง คอ e = ac =

135

และ c2 = a2 – b2 c2 = 169 – 144 c = 5

จะได a2 = 169 และ b2 = 144 a = 13 และ b = 12

ขอสรปความรเกยวกบ “ การหาสวนประกอบของวงร ”

.....................................................................................................................................................................

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

.....................................................................................................................................................................

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

45

แผนการจดการเรยนรท 7 สาระการเรยนรคณตศาสตร วชา คณตศาสตรเพมเตม รหส ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4 หนวยการเรยนรท 2 ภาคตดกรวย เวลา 19 ชวโมง เรอง สวนประกอบตาง ๆ ของวงร(ตอ) เวลา 1 ชวโมง สอนวนท 1 เดอน ธนวาคม พ.ศ. 2559 ภาคเรยนท 2 ปการศกษา 2559 ผสอน นายประยทธ ธนากาญจโนภาส ........................................................................................................................................................

มาตรฐาน ค 6.1 มความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล การสอสาร การสอความหมาย ทางคณตศาสตร และการน าเสนอ การเชอมโยงความรตาง ๆ ทางคณตศาสตรและเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอน ๆ และมความคดรเรมสรางสรรค

ผลการเรยนร 1. เขยนกราฟและหาสวนตาง ๆ ของวงรเมอก าหนดความสมพนธของกราฟวงรใหได

สาระส าคญ ภาคตดกรวย ( Conic Section ) หมายถง เสนโคง ซง ไดแก วงกลม( circle ) พาราโบลา

( parabola ) วงร ( ellipse ) และไฮเพอรโบลา ( hyperbola ) ทเกดจากการน าระนาบไปตดกรวยกลมตรง วงร ( ellipse ) คอ เซตของจดทงหมดในระนาบ ซงผลบวกของระยะทางจากจดใด ๆไปยงจด F1 และ F2 ทตรงอยกบท มคาคงตว โดยคาคงตวนตองมากกวาระยะหางระหวางจดทตรงอยกบททงสองจด จดสองจดทตรงอยกบทนเรยกวา โฟกส(focus)ของวงร

จดประสงคการเรยนร ดานความร

1) หาสวนประกอบตางๆ ของวงรทจดศนยกลางอยทจด (h, k) ไดอยางถกตอง 2) เปลยนสมการวงรในรปทวไปใหเปนรปมาตรฐาน และบอกสวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางอยทจด (h, k) ใหได

ดานทกษะ/กระบวนการ 1 ) การแกปญหา 2 ) การใหเหตผล

ดานคณลกษณะอนพงประสงค 1) การมระเบยบวนย 2) ความตรงตอเวลา

สาระการเรยนร 1) สวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางอยทจด (h, k)

46

1.1) สมการวงร 2a

2h) -(x + 2b

2k) - (y = 1 เมอ a > b > 0 และ b2 = a2 – c2

จะมจดศนยกลางอยท (h, k) แกนเอกขนานกบแกน x โฟกสอยท (h + c, k) และ(h – c , k) จดยอดอยทจด (h + a, k) และ (h – a , k)

1.2) สมการวงร 2b

2h) -(x + 2a

2k) - (y = 1 เมอ a > b > 0 และ b2 = a2 – c2

จะมจดศนยกลางอยท (h, k) แกนเอกขนานกบแกน y โฟกสอยท (h, k + c) และ(h, k – c) จดยอดอยทจด (h, k + a) และ (h, k – a)

กจกรรมการเรยนร (การเรยนรแบบรวมมอเทคนค STAD)

ขนท 1 ขนน าเขาสบทเรยน 1. ครชแจงจดประสงคการเรยนร 2. ใหนกเรยนดคลปวดโอ จากอนเตอรเนต ในเวบไซต www.youtube.com เพลง อาว..วงร ซงมเนอหาของเพลงทเกยวกบการสรปบทเรยน เรอง สวนประกอบของวงร เมอนกเรยนดจบ ครและนกเรยนสนทนาทบทวนความรเดม ดวยการสรปการหาสวนประกอบวงรทมจดศนยกลางอยทจด (0, 0) นกเรยนชวยกนรองเพลงอก 1 รอบพรอมกบชวยกนปรบมอใหจงหวะไปดวย

3. ใหนกเรยนท าใบกจกรรมท 7.1 เรอง สวนประกอบทส าคญของวงร และใหนกเรยนตอบค าถามเพอสรปประเดนขอคดทไดดงน - รปวงรทก าหนดใหมจดศนยกลางอยทไหน

- ถาแกนเอกขนานกบแกน X หรอ ขนานกบแกน Y ลกษณะของวงรเปนอยางไร - ถาวงรแนวนอน จะมสมการในรปทวไปเปนอยางไร - ถาวงรแนวตง จะมสมการในรปทวไปเปนอยางไร - ลกษณะของจดยอดและโฟกสเปนอยางไร 4. นกเรยนรวมกนสรปใบกจกรรมท 7.1 สวนประกอบทส าคญของวงร วาวงรทก าหนดใหมจดศนยกลางอยทจด (h, k) แกนเอกขนานกบแกน X จะเปนวงรแนวนอน แตถาแกนเอกขนานกบแกน

Y จะเปนวงรแนวตง วงรแนวนอนจะมสมการในรปมาตรฐานคอ 2a

2 ) h (x + 2b

2k)(y = 1 สวนวงร

แนวตงจะมสมการในรปมาตรฐาน คอ 2b

2 ) h (x + 2a

2k)(y = 1 ถาแกนเอกขนานกบ X จะไดวาจด

ยอดอยท (h a, k) และโฟกสอยท (h c, k) เชนเดยวกน ถาแกนเอกขนานกบแกน Y กจะไดวาจดยอดอยท (h, k a) และโฟกสอยท (h, k c)

ขนท 2 ขนการเสนอบทเรยนตอทงชน 1. ใหนกเรยนท าใบกจกรรมท 7.2 เรอง สวนประกอบตาง ๆของวงรทมจดศนยกลางอยทจด (h, k)

47

2. ใหนกเรยนรวมกนอภปราย หลกการหาสวนประกอบของวงร วา จากสมการในรปมาตรฐานทก าหนดมาให เราตองรวาเปนวงรแนวไหน โดยดจากตวเลขทเปนตวสวนของ (x – h)2 และ (y – k) 2 - ถาตวเลขมากอยใต (x – h)2 แสดงวาตวเลขนนคอ a2 ซงจะเปนวงรแนวนอน สวน b2 กคอตวเลขทอยใต (y – k)2 หลงจากนนกหาคา a, b และ c จากความสมพนธ a2 = b2 + c2 แลวน าไปใชหาคาสวนประกอบของวงรทเหลอ - ถาตวเลขมากอยใต (y – k)2 แสดงวาตวเลขนนคอ a2 ซงจะเปนวงรแนวนอน สวน b2 กคอตวเลขทอยใต (x – h)2 หลงจากนนกหาคา a, b และ c จากความสมพนธ a2 = b2 + c2 แลวน าไปใชหาคาสวนประกอบของวงรทเหลอ

ขนท 3 ขนสรป 1. ใหนกเรยนรวมกนสรป วา วงรทมศนยกลางอยทจด (h, k) แกนเอกขนานกบแกน X จะ

เปนวงรแนวนอน แตถาแกนเอกขนานกบแกน Y จะเปนวงรแนวตง วงรแนวนอนจะมสมการในรป

มาตรฐานไป คอ 2a

2h) -(x + 2b

2k) - (y = 1 สวนวงรแนวตงจะมสมการในรปมาตรฐาน

คอ 2b

2 ) h (x + 2a

2k)(y = 1 ถาแกนเอกขนานกบแกน X จะไดวาจดยอดอยท (h a, k) และโฟกส

อยท (h c, k) เชนเดยวกน ถาแกนเอกขนานกบแกน Y กจะไดวาจดยอดอยท (h, k a) และโฟกสอยท (h, k c) 2. ใหนกเรยนรวมกนสรป วธการหาสวนประกอบของวงรทมจดศนยกลางอยท (h, k) โดยมแนวตอบดงน ในการหาสวนประกอบของวงรทมจดศนยกลางอยท (h, k) นกเรยนจะตองรเปนวงรแนวไหน โดยการดตวเลขทเปนตวสวนของ (x – h)2 กบ (y – k)2 วาตวไหนมคามากกวา ถาตวสวนทอยใต (x – h)2 มคามากกวา แสดงวาแกนเอกขนานกบแกน X ถาตวสวนทอยใต (y – k)2 มคามากกวา แสดงวาแกนเอกขนานกบแกน Y และกตองหาคา a และ b จากสมการรปมาตรฐานทโจทยก าหนดให และใชความสมพนธ a2 = b2 + c2 หาคา c ใหได เพอน าไปใชในการหาสวนประกอบตาง ๆ แตถาสมการอยในรปทวไปเราตองปรบสมการใหอยในรปมาตรฐานเสยกอน

ขนท 4 ขนการศกษากลมยอย 1. นกเรยนศกษาใบความรท 5.2 เรอง สวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางทจด

(h, k) ในแบบฝกทกษะเลมท 5 เรอง สวนประกอบของวงร ใหนกเรยนท างานโดยมการอางองเหตและผลทถกตอง ชดเจน เสนอแนวคดประกอบการตดสนใจไดอยางสมเหตสมผล มวธการแกปญหาอยางมประสทธภาพ และแกไขปญหาตางๆไดอยางส าเรจลลวง อธบายเหตผลในการใชวธการดงกลาวไดชดเจน โดยคนเกงชวยเหลอคนทออนกวา ขณะเดยวกนครคอยใหค าแนะน าชวยเหลอเมอนกเรยนมปญหา

48

2. เมอนกเรยนศกษาใบความรเขาใจแลว ใหนกเรยนแตละคน ท าแบบฝกทกษะท 5.3 เรอง

สวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางทจด (h, k) และแบบฝกทกษะท 5.4 เรอง สวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางทจด (h, k) ในแบบฝกทกษะเลมท 5 เรอง สวนประกอบของวงร ครกระตนใหนกเรยนเนนการอภปรายกลม โดยชวยเหลอซงกนและกน รบผดชอบในการเรยนรของตนเอง ท างาน สะอาดเรยบรอย และมความถกตอง ปฏบตตนอยในขอตกลงทก าหนดใหท ารวมกนทกครง สงงานตามก าหนดนดหมาย ปฏบตงานทไดรบมอบหมายดวยตนเอง เปนแบบอยางทดใหกบเพอน แนะน าเพอนใหปฏบตตามได

3. ครแจกเฉลยแบบฝกทกษะท 5.3 เรอง สวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางทจด (h, k) และแบบฝกทกษะท 5.4 เรอง สวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางทจด (h, k) ในแบบฝกทกษะเลมท 5 เรอง สวนประกอบของวงร โดยเปลยนกนตรวจระหวางกลม ถาผดขอใดใหสมาชกในกลมศกษาขอผดพลาดและท าความเขาใจรวมกน

สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. คลปวดโอ ใน youtube เพลง อาว เวอรชน วงร 2. ใบกจกรรมท 7.1 เรอง สวนประกอบทส าคญของวงร 3. ใบกจกรรมท 7.2 เรอง สวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางอยทจด (h, k) 4. ใบความรท 5.2 เรอง สวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางทจด (h, k) ในแบบฝก

ทกษะเลมท 5 เรอง สวนประกอบของวงร 5. แบบฝกทกษะ ท 5.3 เรอง สวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางทจด (h, k) ใน

แบบฝกทกษะเลมท 5 เรอง สวนประกอบของวงร 6. แบบฝกทกษะ ท 5.4 เรอง เรอง สวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางทจด (h, k)

ในแบบฝกทกษะเลมท 5 เรอง สวนประกอบของวงร

การวดผลและประเมนผล 1. วธการวด

1.1 ตรวจแบบฝกทกษะท 5.3 เรอง สวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางทจด (h, k)

1.2 ตรวจแบบฝกทกษะท 5.4 เรอง สวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางทจด (h, k)

1.3 สงเกตพฤตกรรม เพอประเมนทกษะ/กระบวนการ 1.4 สงเกตพฤตกรรม เพอประเมนคณลกษณะอนพงประสงค

2. เครองมอวด 2.1 แบบฝกทกษะ 2.2 แบบประเมนทกษะ/กระบวนการ 2.3 แบบประเมนคณลกษณะอนพงประสงค

49

3. เกณฑการประเมน

3.1 นกเรยนสามารถท าแบบฝกทกษะเลมท 5 เรอง สวนประกอบของวงร ไดถกตอง ไมนอยกวารอยละ 75 ถอวาผานเกณฑ

3.2 นกเรยนผานเกณฑการประเมนดวยแบบประเมนทกษะ/กระบวนการไมนอยกวา รอยละ 75 ถอวาผานเกณฑ

3.3 นกเรยนผานเกณฑการประเมนดวยแบบประเมนคณลกษณะอนพงประสงคไมนอยกวา รอยละ 75 ถอวาผานเกณฑ

50

เนอเพลง อาว เวอรชน วงร

เรองวงร มสวนประกอบอย แปดอยางรวมตวเขาดวยกน จดศนยกลางเหมอนวงกลม จดโฟกสคอคาc จดยอดกคอV คาa มสองแกน แกนทยาว เรยกวาแกนเอก แกนโทกสนกวา แกนโทมคาสองบ แกนเอกมคาสองเอ ตางกนทคา เอ และบ กตอนนน เนอหายงงายอย อย ๆ อะไรลาตสเรกตม มาจากไหน

ออ มนคอ สองบก าลงสอง สวนเอ นนไง แลวครกออกอยากไป ยงจ าไดไหมเพอนรก อาวเหย ไมเหมอนทครสอนไวนนา ทบอกจะออกทเรยน แลวท าไมไปออกสวนไหน อาวเหย ขอสอบไมเหนจะงายเลยหวา อยามวเสยเวลานงท าอะไร มาจ าสตรนเลยทกคน

51

ใบกจกรรมท 7.1

ประกอบแผนการจดการเรยนรท 7 สวนประกอบของวงร เรอง สวนประกอบตางๆของวงร

วชาคณตศาสตรเพมเตม ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ภาคตดกรวย

ค าชแจง ใหนกเรยนพจารณารปและตารางแสดงจดส าคญของวงรตอไปน แลวเขยนสรปความรทได

สมการรปแบบมาตรฐาน จดศนยกลาง แกนเอก จดยอด โฟกส

2

2

ah) (x + 2

2

bk)(y = 1 (h, k) ขนานกบแกน X V (h a, k) F (h c, k)

2

2

bh)(x + 2

2

ak)(y = 1 (h, k) ขนานกบแกน Y V (h, k a) F (h, k c)

ขอสรปความรเกยวกบ “ ลกษณะและสวนทส าคญของวงร ”

.....................................................................................................................................................................

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

.....................................................................................................................................................................

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

x

a

X

Y

V V

h

F F

k

c

C

y

(h+a , k) (h+c , k)

X

Y

V

V (h, k+ a)

F

F (h, k+c)

h

k c C

a

x

y

52

ใบกจกรรมท 7.2

ประกอบแผนการจดการเรยนรท 7 สวนประกอบของวงร(ตอ) เรอง สวนประกอบตาง ๆ ของวงรทมจดศนยกลางอยทจด(h, k)

วชาคณตศาสตรเพมเตม ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ภาคตดกรวย

ค าชแจง ใหนกเรยนพจารณาตวอยางตอไปน แลวเขยนสรปความรทไดเกยวกบการหา สวนประกอบของวงร

ตวอยางท 1 จงหาจดศนยกลาง จดยอดและจดโฟกสของวงร 25

2)(x 2 + 16

1)(y 2 = 1

วธท า จะไดวา แกนเอก ขนานกบแกน X (เลขใตแกน X มากกวา) จะได a2 = 25 , a = 5 และ c2 = 25 – 16 b2 = 16 , b = 4 และ c = 3 จดศนยกลาง คอ (2, 1) จดยอด คอ V( 2 5, 1) หรอ (7, 1) และ (- 3, 1) และ โฟกส คอ F(2 3, 1) หรอ (5, 1) และ (- 1, 1)

ตวอยางท 2 จงหาจดศนยกลาง จดยอดและจดโฟกสของวงร 93)(x 2 +

254)(y 2 = 1

วธท า จะไดวา แกนเอก ขนานกบแกน Y (เลขใตแกน Y มากกวา) จะได a2 = 25 , a = 5 และ c2 = 25 – 9 b2 = 9 , b = 3 และ c = 4 จดศนยกลาง คอ (- 3, - 4) จดยอด คอ V (- 3, - 4 5) หรอ (- 3, 1 ) และ (- 1, - 9) และ โฟกส คอ F (- 3, - 4 4) หรอ (- 3, 0 ) และ (- 1, - 8)

53

ตวอยางท 3 จงเขยนกราฟและหาสวนตาง ๆ ของวงรทมสมการเปน 9(x – 2)2 + 25(y + 1)2 = 225

วธท า จากสมการ 9(x – 2)2 + 25(y + 1)2 = 225 น า 225 หารตลอด

จะไดวา 2

2

52)(x + 2

2

31)(y = 1

จะเหนวา แกนเอก ขนานกบแกน X (เลขใตแกน X มากกวา)

เปรยบเทยบกบสมการ 2

2

ah)(x + 2

2

bk)(y = 1

1. สมการแกนเอก คอ y + 1 = 0 หรอ y = - 1 สมการแกนโท คอ x – 2 = 0 หรอ x = 2 2. จดศนยกลาง คอ C (2, - 1) 3. จดยอด คอ V (7, - 1) และ V (- 3, - 1) 4. จดโฟกส คอ F (6, - 1) และ F (- 2, - 1)

5. Latus Rectun = L.R = a

22b = 5

18

6. ความเยองศนยกลาง คอ e = ac =

54

จะวาดกราฟไดดงน

และ c2 = 25 – 9 c = 4

จะได a2 = 25 และ b2 = 9 a = 5 และ b = 3

B

F V

B

V F C

Y

X 0

2

2 4 6 8 -2

-2

-4

-6

4

6

-4 -6

54

ขอสรปความรเกยวกบ “ การหาสวนประกอบของวงรทมจดศนยกลางอยทจด (h, k) ”

.....................................................................................................................................................................

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

.....................................................................................................................................................................

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

55

กนกวล อษณกรกล. (2553). คณตศาสตรเพมเตมชนมธยมศกษาปท 4 เลม 2. กรงเทพมหานคร. เดอะบคส.

เจรญ ภภทรพงศ. คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เลม 2. กรงเทพมหานคร. SCIENCE CENTER.

ถนอมวรรณ ประเสรฐเจรญสข. (2543). รปแบบการสอนแบบรวมมอกนเรยนร (Cooperative Leaning Model). ขอนแกน : มหาวทยาลยขอนแกน.

ทรงวทย สวรรณธาดา. แบบฝกคณตศาสตรเพมเตม ม.4. กรงเทพมหานคร. แมค. วฒนาพร ระงบทกข. (2541). การจดการเรยนการสอนทเนนนกเรยนเปนศนยกลาง. กรงเทพมหานคร.ตนออ 1999.

บญชม ศรสะอาด. (2541). วธการทางสถตส าหรบการวจย เลม 1. พมพครงท 2. กรงเทพมหานคร : สวรยสาสน.

_______. (2541). การวจยเบองตน. กรงเทพมหานคร : สวรยสาสน. วฒนาพร ระงบทกข. (2541). การจดการเรยนการสอนทเนนนกเรยนเปนศนยกลาง. กรงเทพมหานคร : ตนออ 1999.

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2547). หนงสอเรยนสาระการเรยนร เพมเตมคณตศาสตร เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 4. กรงเทพมหานคร : โรงพมพครสภา

ลาดพราว. สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2551). หนงสอเรยนสาระการเรยนร

เพมเตมคณตศาสตร เลม 2 ม.4. กรงเทพมหานคร : โรงพมพ สกสค. สมย เหลาวานชย. (ม.ป.ป.). Mathematics Problems โจทยคณตศาสตร ม. 4-5-6.

กรงเทพมหานคร : ไฮเอดพบลชชง จ ากด. ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน. (2553). แนวทางการจดกจกรรมการเรยนร

เพอพฒนาทกษะการคด ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ระดบมธยมศกษา. กรงเทพมหานคร : โรงพมพชมนมสหกรณการเกษตรแหงประเทศไทย จ ากด.

อ ารง จนทรวานช. (2543). ปฏรปการเรยนรทเนนนกเรยนเปนส าคญทสด. พมพครงท 3. กรงเทพมหานคร : ครสภาลาดพราว.

บรรณานกรม

ความรพนฐานของวงร Student Team - Achievement Division