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A DERIVADA Introdução:
O cálculo é a matemática das variações. O instrumento principal do cálculo para estudar as taxas de variação é um método conhecido como derivação. Neste estudo, vamos descrever esse método e mostrar como ele pode ser usado para determinar a taxa de variação de uma função [em qualquer um de seus pontos] e também a inclinação de qualquer reta tangente a uma curva. Exemplo intuitivo:
Num experimento científico em laboratório, um móvel se desloca sobre uma trajetória retilínea obedecendo à função
horária S(t) = 3t2 – 5t + 2 [sendo S em metros e t em segundos]. Assim:
a) Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 ; 4 ] ? b) Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 ; 3 ] ? c) Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 ; 2,1 ] ? d) Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 ; (2 + h) ], com h ≠ 0? e) Como você interpreta fisicamente a velocidade média da partícula no item anterior, quando “h” tende a zero? f) Qual a velocidade da partícula no instante t = 2 s?
Resolução:
a) A velocidade média mV de um móvel num certo intervalo de tempo é definida
pelo quociente entre o espaço percorrido liniciafinal SSS e o intervalo de
tempo gasto para percorrê-lo inicialfinal ttt . Assim:
132
26
2
430
24
)2()4(
SS
tt
SS
t
S
inicialfinal
liniciafinal
mV
Logo: smVm /13
b) Neste item, temos:
101
10
1
414
23
)2()3(
SS
tt
SS
t
S
inicialfinal
liniciafinal
mV
Logo: smVm /10
c) E neste item, temos:
3,71,0
73,0
1,0
473,4
21,2
)2()1,2(
SS
tt
SS
t
S
inicialfinal
liniciafinal
mV
Logo: smVm /3,7
d) Neste caso, calcularemos primeiramente )2( hS . Ao h denominamos ”incremento”. Então:
253)(2
tttS
2)2(5)2(3)2(2
hhhS
251044(3)2( )2
hhhhS
hhhhS 5831212)2(2
2374)2( hhhS
hh
hh
h
hh
h
hh
h
ShS
tt
SS
t
S
inicialfinal
liniciafinal
mV 37)37(37]4[]374[
22
)2()2( 22
Cálculos auxiliares:
253)(2
tttS
2)2(5)2(3)2(2
S
210)4(3)2( S
812)2( S
4)2( S
253)(2
tttS
2)4(5)4(3)4(2
S
220)16(3)4( S
1848)4( S
30)4( S
253)(2
tttS
2)3(5)3(3)3(2
S
215)9(3)3( S
1327)3( S
14)3( S
253)(2
tttS
2)1,2(5)1,2(3)1,2(2
S
25,1023,13)1,2( S
73,4)1,2( S
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Logo: smV hm /[ ]37
Observe que este item com o incremento genérico h na verdade engloba os itens calculados anteriormente. Veja:
No item (a) temos: sh 2 smVm /1367)2.(37
No item (b) temos: sh 1 smVm /1037)1.(37
No item (c) temos: sh 1,0 smVm /3,73,07)1,0.(37
e) No item anterior [d] obtivemos a velocidade média da partícula no intervalo de tempo ])2(,2[ h , com 0h .
Quando h tende a zero ]0[ h , o segundo extremo de intervalo de tempo tende a 2 e o referido intervalo tende para
]2,2[ , que podemos definir como um “intervalo de amplitude nula”, caracterizando exatamente o instante st 2 .
Assim, fisicamente, quando h tende a zero ]0[ h , a velocidade média tenderá para o que chamaremos de velocidade
instantânea da partícula no instante st 2 e esta velocidade poderá ser denotada por )2(V .
f) Considerando o exposto no item [e], concluímos que: smhVh
/7]37[lim)2(0
Nota: O gráfico abaixo representa a função 253)(2
tttS do exemplo intuitivo em questão. Trace a reta secante para
st 2 e st 4 e observe os valores utilizados para calcular a velocidade média nesse intervalo. Trace também a reta
tangente para st 2 e observe que isso resultou no cálculo da velocidade instantânea para esse instante.
Observação:
Taxas de variação normalmente podem ser identificadas através de suas unidades. São exemplos de taxas de variação:
m/s
km/h
ºC/min
m/s2
g/dia
habitantes/m2
litros/h
peças/min
libras/pol2
g/cm3
entre outras.
A velocidade média é uma TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA [TVM], pois indica a variação entre duas grandezas [o espaço
percorrido em relação ao tempo gasto para percorrê-lo] e é definida como: mVt
S
.
Quando calculamos a velocidade no instante st 2 encontramos a velocidade instantânea, e assim, temos neste caso uma
TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA [TVI], que chamaremos de derivada de “S” em relação à “t” no instante 2 s, e
podemos denotar por: smVdt
dS
t
/7)2(
2
De maneira análoga, para funções com as variáveis x e y , a derivada é a taxa de variação [instantânea] de y em
relação à x , e podemos denotar por: dx
dy.
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Agora podemos formalizar o conceito de derivada: DEFINIÇÃO Derivada de uma função:
A derivada de uma função )(xf em relação à x é a função )(xf [que se lê: “f linha de x”] dada por:
Uma função )(xf é derivável [ou diferenciável] num ponto ax , se )(xf existe, ou seja, se o limite [acima] existe no
ponto em que ax .
Observação: O processo para calcular uma derivada é chamado de derivação.
Notação de derivada [Operadores]:
A derivada )(xf muitas vezes é escrita na forma y , ou ainda, na forma: dx
dy. Nesta última notação, o valor da derivada
da função f no ponto em que ax , ou seja, )(af , é escrito na forma:
axdx
dy
. Assim:
axdx
dyaf
)(
Pronúncias e outras notações:
y [lê-se: “y linha”, ou melhor: derivada de y]
)(xy
[lê-se: “y linha de x”, ou melhor: derivada de y em relação à x]
dx
dy [lê-se: “dê y sobre dê x”, ou melhor: derivada de y em relação à x].
y
[lê-se: “y ponto”, ou melhor: derivada de y]
fDx
[lê-se: “dê-f de x”, ou melhor: derivada de f em relação à x]
dx
df [lê-se: “dê f sobre dê x”, ou melhor: derivada de f em relação à x].
Algumas similaridades de operadores:
Com indicação que a derivada é no ponto ax : )()()()( afDadx
dfay x
axdx
dyaf
Apenas a indicação do operador de derivação:
yfDdx
dfy x
dx
dyxf )(
Notas:
A notação dx
dy é devida a Leibnitz.
A notação )(xf é atribuída a Lagrange.
A notação y é atribuída a Newton.
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
Veja e Reflita:
Na TVM temos: x
y
TVM =
12
12 )()(
xx
xfxf
Na TV temos: dx
dy TV =
11
11
0
)()(lim
xhx
xfhxf
h
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Agora, revisitando o exemplo intuitivo visto anteriormente...
Para encontrarmos a velocidade no instante st 2 , calculamos a derivada da função 253)(2
tttS no ponto em
que st 2 . Assim:
smVSdt
dS
t
/7)2()2(
2
Isso implica em dizer que a derivada da função horária da posição nos fornece a função da velocidade, ou seja:
)(tVdt
dS
Veremos a seguir que, a derivada da função horária da velocidade nos fornece a função da aceleração, ou seja:
)(tadt
dV
A derivada como coeficiente angular da reta tangente à curva num determinado ponto
Seja f uma função derivável [qualquer] representada no gráfico abaixo:
Gostaríamos de encontrar a inclinação da reta tangente a este gráfico em um determinado ponto, vamos supor o ponto
),( yxP , que representaremos por ),( )(xfxP .
Sabemos que o coeficiente angular de uma reta nos dá a inclinação da mesma. Sendo assim, vamos encontrar o
coeficiente angular da reta tangente à curva [gráfico] no ponto ),( )(xfxP .
Agora, sejam ),( )(xfxP e ),( )( hxfhxQ dois pontos da função f onde h [incremento] representa a diferença
entre as abscissas de P e Q . Já é de nosso conhecimento como determinar o coeficiente angular da reta que passa por
P e Q utilizando os conceitos de trigonometria no triângulo retângulo PQR . Então:
y
xx
f x( )
y
xx
f x( )
f
P
f
P
s
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Seja s a reta secante ao gráfico de f pelos pontos P e Q .
y
x
Q
P
x x + h
f x( )
f x+h( )
f x( )
s
R
Observando o triângulo PQR , sabemos que o coeficiente angular sm da reta secante s é dado por:
PR
QR
adjcat
opcattgms
..
..
xhx
xfhxfms
)()(
h
xfhxfms
)()(
Agora, vamos considerar no gráfico de f os pontos nQQQQ ,...,,, 321
posicionados cada vez mais próximos de P .
Imagine que a reta s permaneça passando pelo ponto P , entretanto, o ponto Q será trocado gradativamente pelos
nQQQQ ,...,,, 321 que se aproximam de P . Isso fará com que a reta s que é secante à curva, “tenda” para a posição
de tangência no ponto P [tornando-se a reta t ] fazendo, consequentemente, o acréscimo [ou incremento] h , tender a
zero.
y
x
Q
P
x x + h
f x( )
f x+h( )
f x( )
s
RQ3
Q2
Q1
Assim, o coeficiente angular tm da reta tangente t à curva no ponto P , será dado por:
h
xfhxfm
ht
)()(lim
0
.
Note que o valor de tm coincide com o valor da derivada de uma função, conceito este visto anteriormente. Assim
concluímos que:
h
xfhxfxfm
ht
)()(lim)(
0
Conclusivamente:
A derivada de uma função f [diferenciável] no ponto ),( )(afaP é:
O coeficiente angular tm da reta tangente à curva da função f nesse ponto P .
ou
A [TV] taxa de variação )(af [da grandeza )(xf em relação à x ] nesse ponto P .
Simbolicamente temos: h
afhafafm
ht
)()(lim)(
0
f
f
t
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Considere o movimento de um corpo ao cair de uma grande altura. De acordo com a física clássica, em t segundos de
queda, o corpo percorre uma distância 2
9,4)( ttS metros. Suponha que estejamos interessados em determinar a
velocidade do corpo após 2 segundos. A menos que o corpo caia equipado por um velocímetro, é difícil medir diretamente a
velocidade. Entretanto podemos determinar a distância percorrida pelo corpo entre o instante 2t e ht 2 e calcular
a velocidade média durante esse intervalo de tempo e, fazendo 0h , teremos a velocidade instantânea em st 2 .
Resolução:
hh
hh
h
hh
h
h
h
ShS
t
SVm 9,46,19
9,46,19)4.(9,4)44.(9,4)2.(9,4)2.(9,4
22
)2()2(2222
Se o intervalo de tempo h é pequeno, a velocidade média está próxima da velocidade instantânea no instante st 2 .
Assim, é razoável determinar a velocidade instantânea tomando o limite da expressão anterior quando h tende a zero:
smhVh
/6,19]9,46,19[lim)2(0
ou, usando a notação de Leibnitz: smdt
dS
t
/6,192
Dessa forma, após 2 segundos de queda, o corpo estará viajando a uma velocidade de sm /6,19 .
2) [FLEMMING] Uma região X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de
pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é,
aproximadamente, dado por:
3
64)(
3t
ttN
Pergunta-se:
a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo 4t ?
b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo 8t ?
c) Quantas pessoas são atingidas pela epidemia no º5 dia?
Resolução:
A taxa com que a epidemia se propaga é dada pela razão de variação da função )(tN em relação à t .
Aplicaremos a definição de derivada para resolver os itens [a] e [b].
a) Para diast 4 : Aplicando a definição, temos: h
NhN
h
NhNN
hh
)4()4(lim
4)4(
)4()4(lim)4(
00
h
hhhh
h
hh
Nhh
3
704
3
)644812(25664
lim3
)4(4.64
3
)4()4(64
lim)4(
23
0
33
0
483
)12144(lim
3
)12144.(lim
3
12144lim)4(
2
0
2
0
23
0
hh
h
hhh
h
hhhN
hhh
Utilizando a notação de derivada [Leibnitz], temos: diaatingidaspessoasdt
dN
t
/484
b) Para diast 8 : Aplicando a definição, temos: h
NhN
h
NhNN
hh
)8()8(lim
8)8(
)8()8(lim)8(
00
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h
hhhh
h
hh
Nhh
3
1024
3
)51219224(51264
lim3
)8(8.64
3
)8()8.(64
lim)8(
23
0
33
0
03
)16(lim
3
)16.(lim
3
16lim)8(
2
0
2
0
23
0
hh
h
hhh
h
hhN
hhh
Utilizando a notação de derivada [Leibnitz], temos:
diaatingidaspessoasdt
dN
t
/08
Qual o significado deste resultado?
Ao lado, a representação gráfica de 3
64)(
3t
ttN .
Nota: Poderíamos “otimizar” os cálculos das questões [a] e
[b] calculando a derivada da função )(tN genericamente para
ht e somente ao final, substituir os valores de 4t e
8t [Veja o exemplo (2) de sala de aula, indicado a seguir!].
c) Para determinarmos quantas pessoas foram atingidas pela
epidemia no º5 dia, basta calcular )4()5( NN . Assim:
...66,433
131
3
704
3
835
3
)4()4.(64
3
)5()5.(64)4()5(
33
NN
Logo, no º5 dia serão atingidas pela epidemia aproximadamente 44 pessoas.
3) Uma partícula caminha sobre uma trajetória retilínea de modo que sua velocidade obedece à função 28)( ttV , com
V em m/s e t em segundos. Determine a aceleração da partícula no instante st 4 .
Resolução:
Para obter a aceleração instantânea da partícula no instante st 4 , deve-se inicialmente calcular a aceleração média da
mesma no intervalo de tempo ])4(,4[ h .
A aceleração média ma de um móvel num certo intervalo de tempo é definida pelo quociente entre a variação de velocidade
liniciafinal VVV e o intervalo de tempo correspondente: inicialfinal ttt . Assim:
88]30[]830[]2)4.(8[]2)4.(8[
4)4(
)4()4(
h
h
h
h
h
h
h
VhV
tt
VV
t
V
inicialfinal
liniciafinal
ma
Assim: 2
/8 smma
Para obtermos a aceleração instantânea em st 4 , devemos calcular )4(a fazendo com que 0h . Como 8ma é
uma função independente de h [função constante], quando 0h , a ma continua sendo 8 , ou seja: 2
/8)4( sma .
Veja: 2
0/8]8[lim)4( sma
h
[Quando a aceleração é constante temos um MUV!]
Utilizando a notação de derivada [Leibnitz], temos: 2
/84
smdt
dV
t
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Observe que a derivada da velocidade em função do tempo nos fornece a função aceleração: )()( tatVdt
dV .
Notação:
Quando derivamos a função horária da posição encontramos a velocidade. Se a derivarmos novamente encontramos a aceleração. Sendo assim, podemos dizer que a aceleração é a segunda derivada da posição e indicamos por:
)()( tVdt
dStS
e
)()(2
2
tadt
SdtS
Nota: Abordaremos esse conteúdo [derivadas sucessivas] com detalhes mais adiante!
4) Obtenha a equação da reta tangente à curva 2
xy no ponto )1,1(A .
Resolução:
Inicialmente, vamos calcular o coeficiente angular sm da reta secante à parábola dada, que passa pelos seus pontos de
abscissas 1x e hx 1 . Assim:
hh
hh
h
hh
h
hh
h
hms
2
)2.(21)21(
11
)1()1( 2222
O coeficiente angular tm da reta tangente à parábola no seu ponto )1,1(A será obtido a partir de sm , fazendo-se h
tender a zero. Desta forma:
2]2[lim0
hmh
t.
Então, a reta tangente à parábola no ponto )1,1(A tem coeficiente angular 2tm .
Substituindo em )( AA xxmyy temos:
)1.(21 xy 221 xy 12 xy
Logo, a equação da reta tangente à curva 2
xy no ponto )1,1(A é: 12 xy .
EXEMPLOS ADICIONAIS [resolução em sala]:
1) Determine a [fórmula da] derivada da função 65)(2
xxxf , através da definição de derivada e calcule
2
19f .
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Observação: Para simplificar o texto, poderemos escrever a questão 2(c) assim:
Determine o coeficiente angular da curva )(xf no ponto 2x .
2) Dada a função 42)(3
xxxf , determine:
a) a TV quando 0x .
b) a equação da reta t tangente à curva )(xf no ponto em que 1x .
c) o coeficiente angular da reta tangente à curva )(xf no ponto em que 2x . [veja observação abaixo]
Nota: O gráfico acima foi plotado no Winplot.
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3) Determine a derivada da função cbxaxxf 2
)( aplicando a definição.
EXERCÍCIOS – DEFINIÇÃO DE DERIVADA
1) Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer de modo que sua velocidade obedece à função: v(t) = t2 – 4t [sendo: “v” em m/s e “t” em segundos]. Sabe-se que a aceleração média da partícula [am] num certo intervalo de tempo, é dada por am = ∆v/∆t , determine:
a) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0 ; 1 ] ?
b) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0 ; 0,5 ] ?
c) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0 ; 0,1 ] ?
d) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0 , h ] , com h ≠ 0?
e) Como você interpreta fisicamente a aceleração média da partícula no item anterior, quando “h” tende a zero?
f) Qual a aceleração da partícula no instante t = 0 s?
2) Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer obedecendo à função horária: S(t) = t3 + t2 – 2t + 3 [com S em metros e t em segundos]. Determinar a velocidade no instante t = 5 s.
3) Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer obedecendo à função horária: S(t) = t2 – 7t + 10 [com S em metros e t em segundos]. Assim:
a) Determine a lei de sua velocidade em função do tempo.
b) Calcular a velocidade da partícula no instante t = 3 s
c) Obter a lei de sua aceleração em função do tempo.
d) Calcular a aceleração da partícula no instante t = 3 s.
4) Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer obedecendo a função horária: S(t) = 4t3 – 5t2 + 8t +1 [sendo S em metros e t em segundos]. Então:
a) Determine a lei de sua velocidade em função do tempo.
b) Calcular a velocidade da partícula no instante t = 1 s
c) Obter a lei de sua aceleração em função do tempo.
d) Calcular a aceleração da partícula no instante t = 4 s.
5) Encontre a equação da reta tangente à curva y = x2 – 2x + 1 no ponto (2 , 1).
6) Determine a equação da reta tangente à curva y = 2x2 +3 no ponto P(2 , 11).
7) Dada a função f(x) = 5x2 + 6x –1, calcule f’(2).
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Nota:
Com o objetivo de simplificar o “texto”,
onde escrevemos: “o coeficiente angular
da reta tangente à curva no ponto P”,
escreveremos: “o coeficiente angular da
curva no ponto P”.
8) Dada a função f(x) = 3x2 – 1 e g(x) = 5 – 2x, determinar:
a) f’(1) b) g’(1) c) f’(1) + g’(1)
9) Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções:
a) f(x) = 1 – 4x2 b) g(x) = 2x2 – x –1 c) h(x) = 3x + 2 d) y = x3
10) A população inicial de uma colônia de bactérias é 10000. Depois de t horas a colônia terá uma população P(t) que
obedece a lei: P(t) = 10000 + 8600t + 10000t2. Assim:
a) Determine o número de bactérias presentes depois de 10 horas.
b) Encontre a lei que dá a taxa de variação da população P em relação ao tempo t.
c) Determine a taxa de variação [instantânea] da população quando t = 10 horas.
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1a) –3 m/s2 1b) –3,5 m/s2 1c) –3,9 m/s2 1d) 4h 1e) aceleração instantânea 1f) – 4 m/s2 2) 83 m/s
3a) v(t) = 2t – 7 3b) v(3) = –1 m/s 3c) a(t) = 2 3d) a(3) = 2 m/s2 4a) v(t) = 12t2 – 10t + 8 4b) v(1) = 10 m/s 4c) a(t) = 24t – 10 4d) a(4) = 86 m/s2 5) y = 2x – 3 6) y = 8x – 5 7) f’(2) = 26 8a) f’(1) = 6 8b) g’(1) = –2 8c) 4 9a) f’(x) = –8x 9b) g’(x) = 4x – 1 9c) h’(x) = 3 9d) y’ = 3x2 10a) P(10) = 1.096.000 bactérias 10b) dP/dt = 8600 + 20000t 10c) 208600 bactérias/hora
Para refletir: O maior prazer de um homem inteligente é bancar o idiota diante de um idiota que banca o inteligente.
EXERCÍCIOS EXTRAS – DEFINIÇÃO DE DERIVADA
1. Determine:
a) o coeficiente angular da curva x
y1
no ponto em que 3x .
b) para qual valor de “ x ”, o coeficiente angular da curva x
y1
será
4
1 ?
c) o coeficiente angular da curva x
y1
no ponto em que ax e avalie o seu sinal [quando será positivo e/ou negativo].
Observação: represente graficamente a função x
y1
para avaliar melhor seus resultados.
2. [Queda livre em Júpiter] A equação para a queda livre na superfície de Júpiter é S = 11,44t2 , com S em metros e t em
segundos. Suponha que uma esfera de aço seja largada do topo de um penhasco de 500m de altura. Determine a velocidade
[em km/h] e a aceleração dessa esfera [em m/s2], quando t = 2s.
3. [Círculo de área variável] Qual é a taxa de variação da área de um círculo em relação ao raio, quando r = 3?
Lembre-se que a área do círculo é: 2
.)( rrA .
4. Mostre que a reta y = mx + n é sua própria tangente em qualquer um de seus pontos (x0 , mx0 + n).
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1a) –1/9 1b) para x = 2 1c) m < 0 para a * 2) v(2) = 164,736 km/h e a(2) = 22,88 m/s2 3) dA/dr = 6
Os exercícios extras acima foram extraídos/adaptados do livro: THOMAS, George B. Cálculo. V. 1. Pearson. São Paulo: 2002.
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x
y
REGRAS E TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO [Usando a Tabela de Derivadas] Inicialmente, vamos determinar a derivada de algumas funções “bem elementares”... Nota: você deverá ter em mãos a “nossa” tabela de derivadas [que também está apresentada no final deste material]. Derivada de uma Função Constante:
3)( xf Outras notações:
0dx
fd
0)( xf
0)3( dx
d
Generalizando, temos: ky 0y [ com Rk ] Regra 1 da Tabela!
Derivada de uma Função do 1º Grau:
xxf 2)( 2)( xf 13)( xxg 3)( xg
Nota: “Função Identidade”
xy 1y
Generalizando, temos:
nmxy my [ com *Rm e Rn ]
x
y
x
y
x
y
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A Derivação é uma TRANSFORMAÇÃO LINEAR.
Sejam: )(xuu
u é uma função com variável independente )(x .
)(xvv
v é uma função com variável independente )(x .
Rka ,
a e k são constantes reais.
Assim, dada a função genérica:
vkuaxf ..)( , a sua derivada [genérica] será:
)()()..( vdx
dku
dx
davkua
dx
d [Propriedade da Linearidade da Derivação]
Ou simplesmente: vkuaxf ..)(
Nota:
A Regra 2 da Tabela, indica como derivar uma função u que é multiplicada por uma constante k . Veja:
uky . uky .
“para derivar uma função que é multiplicada por uma constante, basta multiplicar a constante pela derivada da função”. Derivada de uma Função Polinomial [de qualquer grau]:
Observe a Regra 3 da Tabela: a
uy uuaya
..1
Exemplos:
a) 4
)( xxf b) 5
3)( xxg
c) 14342)(23
xxxxh
d) 345
2 25
xx
xy
Para concluir, veja:
)(xf x 2
x 3
x 4
x 5
x
)(xf 1 x2 23x
34x
45x
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Derivada de Funções Trigonométricas:
Veja na tabela: Regra 11: useny uuy cos.
Regra 12: uy cos usenuy .
Regra 13: utgy uuy2
sec.
Nota: Observe as regras [14 a 20] da nossa tabela de derivadas. Elas envolvem outras funções trigonométricas, inversas de trigonométricas e trigonométricas hiperbólicas. Exemplos:
a) )()( xsenxf Outra notação: xxsendx
dcos)(
b) )13(cos22 xy
Derivada de “Outras” Funções:
Exemplos:
a) 4
)32()( xxA [Aplicaremos a Regra 3]: a
uy uuaya
..1
b) 32
4)(
x
xB [Aplicaremos a Regra 4]: u
ay uaayu ..ln
c) x
xxC4
)32()( [Aplicaremos a Regra 10]:
vuy vuuuuvy
vv
.ln...1
Observação:
As Regras 3 e 4 são casos particulares da Regra 10.
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d) 14
)(
x
exD [Aplicaremos a Regra 5]: u
ey ueyu .
e) )4(log)(2
xxE [Aplicaremos a Regra 6]: uy alog u
u
ay
ln
1
Derivada de Funções com Radicais:
Você não encontrará na tabela, funções com “raízes”. Assim, para funções que contenham radicais, faremos inicialmente uma preparação para aplicarmos adequadamente alguma regra, geralmente, a Regra 3 da tabela.
A Regra 3 da Tabela: a
uy uuaya
..1
Lembre-se que: n mn
m
aa
Exemplo:
1310 xy
Nota:
Para: x
ey
Temos: x
ey
Observação:
Note que a Regra 5 é um caso particular da Regra 4.
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Derivada de Multiplicação [Produto] de Funções:
Regra 8: vuy vuvuy ..
Exemplos:
a) )42()(23
xxxxf
b) )(.42
xsenxy
Derivada de Divisão [Quociente] de Funções:
Regra 9: v
uy
2
..
v
vuvuy
Exemplos:
a) x
xy
7
13 2
b1) 3 142
4
xy
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Nota: Em alguns casos, como este, pode ser “interessante” evitarmos a aplicação da “Regra da Divisão”. Veja:
b2) 3 142
4
xy
Dica do Prof. Tomio! Para encontrar a derivada de funções [utilizando as regras e a tabela], seguiremos basicamente três passos: 1) identificar a(s) função(ões) a ser(em) derivada(s) e observar se é necessário “preparar” a expressão para melhor adaptá-
la à(s) regra(s) de derivação correspondente(s). 2) realizar a operação de derivação através da(s) regra(s), observando atentamente cada procedimento. 3) simplificar e organizar a expressão o máximo possível. Resumidamente, temos: 1) identificar função / prepará-la, se necessário. 2) derivar através da(s) regra(s). 3) simplificar a expressão.
Para descontrair [se puder] com o Calvin...
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REGRA DA CADEIA [Para Funções Compostas] Inicialmente, vamos relembrar de forma simples e breve, o conceito de composição de funções através de um exemplo. Veja:
Sejam as funções 6)(5 xxf e 42)(
3 xxg . Vamos encontrar a função composta de f com g , que é indicada
por ))(( xgf . Assim:
Agora...
Em muitas situações, a taxa de variação de uma grandeza pode ser expressa como um produto de outras taxas.
Por exemplo, um automóvel que esteja viajando a 80 hkm / e o consumo de gasolina a esta velocidade seja de 0,1 km/ .
Para calcularmos o consumo de gasolina, em litros por hora, basta multiplicarmos as duas taxas em questão. Veja:
hh
km
km/8801,0
Atente que, na situação acima, multiplicamos duas taxas de variação do problema para encontrar a taxa de variação de interesse. Essa expressão é um caso particular de uma regra importante conhecida como Regra da Cadeia. A partir dessa “ideia”, podemos diferenciar [derivar] funções compostas, aplicando o processo de diferenciação [derivação] separadamente nas funções que compõem essa função composta. Assim:
A Regra da Cadeia:
Se f e g forem diferenciáveis [deriváveis] e a função composta de f com g definida por ))(( xgfy , então y é
diferenciável e y é dada pelo produto:
)())(( xgxgfy
Na notação de Leibniz, se )(ufy e )(xgu forem funções deriváveis, então:
dx
du
du
dy
dx
dy
Reflita: O fracasso quebra as almas pequenas e engrandece as grandes, assim como o vento apaga a vela e atiça o fogo da floresta. [Benjamim Franklin]
Notação:
A função composta ))(( xgf , também pode
ser representada por gf ou ainda por
))(( xgf .
Observação:
Com as funções f e g também podemos
gerar outras funções compostas, tais como:
))(( xfg , ))(( xff , )))((( xfgf , entre
outras.
Como se lê:
))(( xgf f composta com g ou
simplesmente f de )(xg .
gf f composta com g ou
simplesmente f bola g .
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Exemplo:
1) Calcule a derivada de 6)42(53 xy utilizando a regra da cadeia.
2) Utilizando a regra da cadeia, determine dt
dy para )]2(5[ tsentgy .
Para descontrair...
Coleção: As Melhores Tiras – Cebolinha / Autor: Maurício de Souza / Editora: Globo
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APLICAÇÕES DE DERIVAÇÃO: Taxas de Variação A abordagem deste tema se dará através da resolução e discussão de situações-problema, dadas a seguir.
1) Um copo de limonada a uma temperatura de Fº40 é colocado em uma sala com temperatura constante de Fº70 .
Considerando um princípio da Física, denominado Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton, pode-se mostrar que,
se a temperatura da limonada atingir Fº52 em uma hora, então a temperatura T da limonada como função do tempo
decorrido é modelada aproximadamente pela expressão t
etT5,0
.3070)(
, onde T é dado em Fº e t , em horas.
Responda: a) Qual a fórmula que define a taxa de variação [instantânea] da temperatura T em relação ao tempo t ?
b) Qual a taxa de variação quando 1t e 5t
horas? [Explique o significado dos resultados encontrados]
c) Represente graficamente a função )(tT .
2) Analistas de produção verificaram que, em uma determinada fábrica montadora, o número de peças produzidas nas
primeiras x horas diárias de trabalho é dado por:
84,)1.(200
40,).(50)(
2
xparax
xparaxxxf
Pergunta-se:
a) Qual a razão de produção (em peças/hora) ao final de 3 horas de trabalho?
b) E ao final de 7 horas?
c) Quantas peças são produzidas na quarta e na oitava hora de trabalho?
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Observação: Para simplificar o texto, poderemos escrever a questão 1(a) assim:
Determine o coeficiente angular da curva )(xf no ponto 5x .
APLICAÇÕES DE DERIVAÇÃO: Problemas de Reta Tangente à Curva Já fizemos uma abordagem deste tema no momento em que estudamos a derivada de uma função através da sua definição. Com o objetivo de relembrar e fixar alguns conceitos, vamos resolver e discutir os problemas dados a seguir.
1) Dada a função 56)(2
xxxf , determine:
a) o coeficiente angular da reta tangente à curva )(xf no ponto em que 5x . [veja observação abaixo]
b) a equação da reta t tangente à curva )(xf no ponto em que 5x .
c) o coeficiente angular da curva )(xf no ponto em que 0x .
d) o ponto de )(xf em que a reta tangente a essa curva é horizontal.
2) Dada a função x
xseny
)( , determine:
a) a derivada dx
dy.
b) o coeficiente angular da curva no ponto em que 0x .
c) o que se pode concluir com o resultado encontrado em (b)?
Nota: Os gráficos acima foram plotados no Maple 13.
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EXERCÍCIOS – Regras e Técnicas de Derivação [Usando a Tabela de Derivadas] 1) Determine a derivada das funções dadas a seguir [as respostas estão na coluna da direita].
5 63
2
)1(.5
3
x
xy
4
2 12
23
)12(
5)(
x
x
xxf
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Curiosidade: Dizem que nenhum pedaço de papel pode ser dobrado ao meio mais de 7 vezes. Será verdade?
)(xx
eseney
)3()3sec(3 xtgxy
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2) Calcule a derivada das funções e encontre a taxa de variação indicada [as respostas estão na coluna da direita].
a) 2.)( rrA ?)10( A rrA ..2)( e 20)10( A
b) )2)(13( 45 xxy ?1
xdx
dy
348 43027 xxxdx
dy e 1
1
xdx
dy
c) xexxf .2)( ?)6( f )1(.2)( xexf x e
6.14)6( ef
d) 32
2)(
x
xxh ?)0( h
2)32(
7)(
xxh e
9
7)0( h
e) 21 x
ey
x
?
1
xdx
dy
22
2
)1(
)1(
x
xe
dx
dy x
e 0
1
xdx
dy
f) 54
53)(
xxxg ?)1( g
65
2512)(
xxxg e 37)1( g
g) )63(2
1)( 2 xx
x
xxy
?)0( y
2
23
)2(
1236276)(
x
xxxxy e 3)0( y
3) Derive as funções dadas a seguir, aplicando a Regra da Cadeia [as respostas estão na coluna da direita].
a) )3(ln)( 2 xxf 3
2)(
2
x
xxf
b) )4()( xsenxg )4(cos4)( xxg
c) )8(cos)( 2tth )8(.16)( 2tsentth
d) )12ln(2 ty 12
4
tdt
dy
e) xey 5
xedx
dy 5.5
f) 42 )3()( ttf
32 )3.(8 ttdt
df
g) 13 xy 13.2
3
xy
4) Em quais pontos do gráfico da função xxxy 22
3
3
1 23 é possível traçarmos uma reta tangente horizontal a
essa curva? Utilize um software gráfico para “visualizar” a resposta.
Resposta: Os pontos procurados são:
6
5,1 e
3
2,2 .
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EXERCÍCIOS – Aplicações de Derivação: Taxas de Variação
1) Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer obedecendo à função horária: S(t) = t3 + t2 – 2t + 3 [com S em metros e t em segundos]. Determinar a velocidade no instante t = 5 s.
2) [Queda livre em Júpiter] A equação para a queda livre na superfície de Júpiter é S = 11,44t2 , com S em metros e t em segundos. Suponha que uma esfera de aço seja largada do topo de um penhasco de 300m de altura. Determine a velocidade [em km/h], quando t = 3 s.
3) [FLEMMING / Adaptada] Uma região X é atingida por uma
moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o
número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um
tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia)
é, aproximadamente, dado por:
364)(
3t
ttN
A representação gráfica desse fenômeno se encontra ao lado.
Pergunta-se:
a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo 4t ?
b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo 8t ?
c) Quantas pessoas são atingidas pela epidemia em 8 dias?
d) Quantas pessoas são atingidas pela epidemia no º8 dia?
4) A população inicial de uma colônia de bactérias é 000.10 . Depois de t horas, a colônia terá a população )(tP que
obedece a lei: t
tP )2,1(000.10)( .
a) Qual o número de bactérias depois de 10 horas?
b) Encontre a lei que dá a variação da população P em relação ao tempo t .
c) Determine essa variação instantânea da população quando 10t horas.
5) Uma partícula se move segundo a equação S(t) = t3 – 2t2 + 5t – 1, sendo S medido em metros e t em segundos. Em que instante a sua velocidade vale 9 m/s?
6) Mariscos Zebra são mariscos de água doce que se agarram a qualquer coisa que possam achar. Apareceram primeiro no
Rio St. Lawrence no começo da década de 80. Estão subindo o rio e podem se espalhar pelos Grandes Lagos. Suponha que
numa pequena baía o número de mariscos zebra ao tempo t seja dado por 2
300)( ttZ , onde t é medido em meses
desde que esses mariscos apareceram nesse lugar. Assim:
a) Quantos mariscos zebra existirão na baía depois de quatro meses?
b) A que taxa a população está crescendo em quatro meses?
7) Um reservatório de água está sendo esvaziado e a função 2
)30(200)( ttV indica o volume [em litros] de água
presente no reservatório no tempo t [em minutos], com 300 t . Pergunta-se:
a) Qual a quantidade de água existente no reservatório depois de 8 minutos de escoamento?
b) A que taxa o volume de água do reservatório varia após 8 minutos?
c) Qual a taxa média de variação do volume de água durante os primeiros 8 minutos?
8) Sabe-se que o volume V de um cubo é função de seu lado. Assim, determine a taxa de variação do volume em relação ao lado quando este mede 5 uc. [Nota: pense em como você indicará a unidade da taxa de variação]
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9) [FLEMMING] Numa granja experimental, constatou-se que uma ave em desenvolvimento pesa, em gramas:
9060,6044,24
600,)4(2
120
)(
2
tpara
tparattw
t
, onde t é medido em dias.
a) Qual a razão do aumento do peso da ave quando t = 50 dias? b) Quanto esta ave aumentará no 51º dia? c) Qual a razão de aumento de peso quando t = 80 dias?
10) [THOMAS] A resposta R do corpo a uma dose de medicamento, às vezes, é representada por uma equação da forma
32
2 MCMR onde C é uma constante positiva e M é a quantidade de medicamento absorvida pelo sangue. Se
a resposta esperada for uma variação na pressão sanguínea, então R deverá ser medida em mmHg; se a resposta for
uma variação da temperatura, R será medido em Cº e assim por diante. Determine dM
dR. Essa derivada [em função de
M ] é chamada “sensibilidade do corpo ao medicamento”.
11) Um paraquedista salta de um avião. Supondo que a distância que ele cai, antes de abrir o paraquedas, é de
tttS 176)1835,0(986)( , onde S está em pés e t em segundos; calcule a velocidade instantânea (em m/s) do
paraquedista quando 15t segundos. Observação: 1 pé = 0,3048 m.
12) De uma pequena comunidade se obteve uma estimativa que, daqui a t anos, a sua população será de
.1
520)( pessoasdemilhares
ttP
Daqui a 18 meses, qual será a taxa de variação da população desta comunidade?
13) Certa imobiliária aluga salas comerciais por R$ 600,00 mensais. Este aluguel sofre um reajuste mensal de 2%. Calcule a taxa de variação do aluguel daqui a 10 meses.
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1) 83m/s
2) v(3) = 247,104 km/h
3a) N’(4) = 48 pessoas atingidas/dia 3b) N’(8) = 0 pessoas atingidas/dia 3c) N(8) 341 pessoas 3d) N(8) – N(7) 8 pessoas
4a) P(10) = 61917 bactérias 4b) P’(t) 1823.(1,2)t 4c) P’(10) = 11288 bactérias/hora
5) t = 2 s
6a) Z(4) = 4800 mariscos 6b) Z’(4) = 2400 mariscos/mês
7a) V(8) = 96.800 7b) V’(8) = – 8800 /min 7c) Vm = –10400 /min
8) V’(5) = 75 ua/uc
9a) w’(50) = 54 g/dia 9b) w(51) – w(50) = 54,5 g 9c) w’(80) = 24,4 g/dia
10) dR/dM = M(C – M)
11) v(15) 164,1 pés/s 50 m/s
12) P’(1,5) = 800 pessoas/ano
13) aprox. 14,48 reais/mês
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x
y
EXERCÍCIOS – Aplicações de Derivação: Problemas de Reta Tangente à Curva
1) Seja a função 2224 xxy e seu gráfico representado abaixo.
a) Determine dx
dy.
b) Calcule
2/1xdx
dy e
2/3xdx
dy.
c) Qual o significado geométrico dos valores encontrados no item (b)?
d) Encontre os valores de x , para os quais 0dx
dy.
e) O que os valores de x , encontrados no item (d),
representam geometricamente?
2) Determine:
a) o coeficiente angular da curva x
y1
no ponto em que 3x .
b) para qual valor de “ x ”, o coeficiente angular da curva x
y1
será
4
1 ?
c) o coeficiente angular da curva x
y1
no ponto em que ax e avalie o seu sinal [quando será positivo e/ou
negativo].
Observação: represente graficamente a função x
y1
para avaliar melhor seus resultados.
3) Determine a equação da reta tangente à curva 32)(2 xxf no ponto )11,2(P .
4) Determine a equação da reta tangente à curva )()( xsenxf no ponto )0,(Q .
5) As funções baxxxf 2
)( e 2
)( xcxxg têm uma tangente comum em )6,3(T . Encontre as funções em
questão e plote os seus gráficos no mesmo sistema cartesiano para verificar sua solução.
6) Mostre [através do processo de derivação] que a abscissa do vértice de uma parábola qualquer cbxaxy 2
pode
ser encontrada através da fórmula a
bxV
2 .
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1a) xxdx
dy44
3 1b)
2
3
2/1
x
dx
dy e
2
15
2/3
x
dx
dy 1d) }1,0,1{ 1c–1e) Resposta teórica
2a) 9
1m 2b) Para 2x ou 2x 2c)
2
1
am e m
será negativo para *Ra
3) 58 xy 4) xy 5) 187)(2
xxxf e xxxg 5)(2
NOTA:
Com o objetivo de simplificar o “texto”, onde
escrevemos: “o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto P”, escreveremos: “o coeficiente angular da curva no ponto P”.
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DERIVADAS SUCESSIVAS [Derivadas de Ordem Superior] As derivadas sucessivas [ou de ordem superior] têm diversas aplicações. Algumas delas estão na:
Construção e Interpretação de Gráficos;
Otimização de Funções [Máximos e Mínimos]; Cálculo Avançado [Equações Diferenciais, Séries, etc.];
Física Superior, Áreas Aplicadas da Tecnologia/Engenharia, entre outras.
Neste momento, vamos abordar o tema através de alguns exemplos. Veja:
1) Dada a função polinomial de 5º grau: 33)(25 xxxf , determine sua derivada de 6ª ordem.
2) Sendo )ln(2 xy , determine 4
4
dx
yd.
Lembre-se da similaridade das notações: )()()()(
xfDfDdx
fd
dx
ydxfy
nn
xn
n
n
nnn
Notações:
)(xf y
)(xf dx
dy
)(xf 2
2
dx
yd
)(xf 3
3
dx
yd
)()4(
xf 4
4
dx
yd
)()5(
xf 5
5
dx
yd
)()(
xfn
n
n
dx
yd
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3) Determine )(cos27
xDx , ou seja, para )(cos xy , encontre )27(
y .
4) Dada a função horária das posições 58102)(23
ttttS de um móvel em certa trajetória [no SI], determine a sua
velocidade, aceleração e arranque, no instante 3t s.
Nota: o arranque [também chamado de arranco ou de sobreaceleração] é a taxa de variação da aceleração em relação ao
tempo. No SI, sua unidade é o m/s3. A letra [símbolo] utilizada para representá-lo é o “j” [Jota], provavelmente oriundo da
palavra inglesa “jerk” que tem significado similar.
Reveja as Notações:
Velocidade: )()( tStv )(tvdt
dS
Aceleração: )()( tSta )()()( tStvta )(2
2
tadt
Sd
Arranque: )()( tStj
)()()()( tStvtatj
)(3
3
tjdt
Sd
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Utilizando derivadas para encontrar [calcular] LIMITES
A REGRA DE L'HOPITAL [ou L'Hôspital]
Ocorrendo, em limites, a forma indeterminada 0
0
ou
, então:
)(
)(lim
)(
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
xg
xf
axaxax até que “desapareça” a indeterminação!
Nota: Ra ou a .
Caso ocorra, num limite, uma das outras 5 indeterminações:
1,,0,0,00
, poderemos “transformá-la”
em 0
0 ou
para então aplicarmos a regra de L’Hopital, caso seja de interesse.
Exemplos: Calcule os limites:
a) 1
2lim
0 xx e
x
b) 30
)(lim
x
xsenx
x
c) 23
6lim
2
2
2
xx
xx
x
d) x
x
x 2
lnlim
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e) x
xx
1
)93(lim
As Origens da Regra de L'Hopital:
A regra de L'Hopital foi publicada pela primeira vez em 1696, no livro Analyse des Infiniment Petits, do matemático
Guillaume François Antoine, o Marquês de L'Hopital, mas na verdade ela foi descoberta em 1694 pelo matemático
suíço John (Johann) Bernoulli. Uma explicação para esse fato é que esses dois matemáticos fizeram um curioso acordo, que
dava ao Marquês de L'Hopital os direitos das descobertas de Bernoulli. Entretanto, parece não existir um consenso sobre a
história do tal “acordo”.
Baseado num texto de: STEWART, James. Cálculo. v.1. 5. ed. São Paulo: Thomson, 2006.
EXERCÍCIOS – Derivadas Sucessivas [Derivadas de Ordem Superior] + Regra de L'Hopital
1) Encontre as derivadas primeira e segunda das funções dadas a seguir.
a) e)
b) f)
c) g)
d)
h)
2) Determine para .
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3) Se , encontre .
4) Se , encontre . Nota: Você poderá optar por utilizar, em algum momento, a relação: .
5) Encontre uma fórmula para sabendo que: .
6) Determine .
7) Encontre um polinômio de 2º grau , tal que: , e .
8) Dois móveis têm seus movimentos sobre uma mesma trajetória retilínea, dados pelas equações
e . Determine as velocidades e as posições desses móveis quando as suas acelerações forem
iguais. Considere em metros e em segundos.
9) Num equipamento automatizado, um dispositivo móvel descreve uma trajetória definida pela equação
[ em
centímetros e em segundos]. Determine a velocidade e a aceleração do dispositivo após se deslocar cm.
10) Seja . Verifique que:
.
11) A equação é chamada equação diferencial pois envolve a função desconhecida e suas derivadas
e . Para que valores de , a função satisfaz a equação diferencial em questão?
12) Um objeto preso a uma mola vertical tem função posição dada por , onde é a amplitude de sua
oscilação e é uma constante. Assim:
a) Encontre a velocidade e a aceleração como função do tempo.
b) Mostre que a aceleração é proporcional ao deslocamento .
c) Mostre que a velocidade é máxima quando a aceleração é zero. 13) Calcule os limites [caso existam] aplicando a regra de L'Hopital, adequadamente.
a)
b)
–
c) d)
e)
f)
g)
– h)
–
i)
j)
k)
l)
Observação: O limite da letra [k]:
pode aparecer, principalmente em livros de origem norte-americana,
na forma:
. Lembre-se que a maioria das calculadoras científicas apresenta a função na
forma . Ambas representam a função inversa de . Fique ligado!
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14) Mostre, através da aplicação da regra de L'Hopital, que os limites fundamentais:
a)
b)
–
c)
15) Prove que
para todo inteiro positivo. Note que isso mostra que a função exponencial tende
mais rapidamente ao infinito que qualquer potência de .
16) Se um montante inicial de dinheiro for investido a uma taxa de juros composta vezes ao ano, o valor do investimento após anos será:
Se fizermos , chamamos isso de juros compostos contínuos. Use a regra de L'Hopital para mostrar que se os juros forem compostos continuamente, então o montante após anos será:
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 1a) e 1e) e
1b) e 1f) e
1c) e 1g) e
1d) e 1h) e
2) 3) 4)
5) 6) 7)
8) e com e
9) e 11)
12a) e
13a) 13b) 13c) 13d) 13e) 13f)
13g) 13h) 13i) 13j) 13k) 13l)
Para descontrair com o Calvin…
Para refletir… Namorar alguém de exatas é saber que você vair ter com quem contar. [Recebido de um colega através de mensagem em uma rede social]
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Nota:
Nem todas as retas podem ser representadas em todas as formas citadas ao lado.
RELEMBRANDO: TIPOS [FORMAS] DE EQUAÇÃO DE UMA RETA [NO PLANO] A equação de uma reta [no plano] pode ser escrita na forma:
↳ Geral
↳ Reduzida
↳ Segmentária
↳ Paramétrica
Detalhando um pouco, temos:
Equação Geral: 0 cbyax Sendo que na equação geral: b
am e
b
cn
Observe que, se na forma geral: 0 cbyax
Isolarmos o termo em y temos: caxby b
caxy
Agora, separando o denominador: b
cx
b
ay
b
cx
b
ay
Assim temos a equação da reta na sua forma reduzida: nmxy
Equação Reduzida: nmxy
↳ Coeficiente angular: tgm ou
AB
AB
xx
yym
Nota: A função polinomial do 1º grau é representada pela equação reduzida da reta.
Equação Segmentária: 1q
y
p
x
↳ Sendo que:
yinterceptoq
xinterceptop
Equações Paramétricas:
)(
)(
tgy
tfx
↳ Sendo que t é um parâmetro comum às equações. Veja um exemplo:
ty
tx
2
74
RELEMBRANDO: COMO ENCONTRAR [CALCULAR] A EQUAÇÃO DE UMA RETA Quando conhecemos:
2 pontos ),( AA yxA e ),( BB yxB : Substitua os pontos em: nmxy ou aplique: 0
1
1
1
BB
AA
yx
yx
yx
1 ponto ),( PP yxP + o coeficiente angular “ m ”: Aplique em: )( PP xxmyy
↳ “Equação Fundamental da Reta”
0
q
p ●
●
y
x
0
n
●
●
y
x
0m
0
n
●
●
y
x
0m
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[Relembrando] Exemplo 1: Escreva a equação da reta “s” na forma geral e reduzida, sabendo que ela passa pelo
ponto )2,1(P e tem coeficiente angular igual a 3 .
Resolução:
Aplicando a “equação fundamental da reta”, temos:
)( PP xxmyy Da equação reduzida da reta em questão, fazemos:
)1(32 xy 13 xy
332 xy 130 yx
s: 13 xy s: 013 yx
↳ equação reduzida da reta ↳ equação geral da reta
[Relembrando] Exemplo 2: A reta “ r ” está representada graficamente logo abaixo. Escreva a equação desta reta nas
formas: segmentária, geral e reduzida. Resolução: Observando o gráfico ao lado, temos:
r: 154
yx equação segmentária da reta
20
20
20
45
yx
2045 yx
r: 02045 yx equação geral da reta
2054 xy
4
205
xy r: 5
4
5
xy equação reduzida da reta
Para refletir: Não aprenda a desejar aquilo que não merece. [retirado de um biscoito da sorte chinês]
4
0
5
●
●
y
x
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TABELA DE DERIVADAS
Considere: ( ) , ( ) , ' 'dy du
u u x v v x y e udx dx
e ainda “k” e “a” como constantes
Propriedade da Linearidade: ( ) ( ) ( )d d dku v k u v
dx dx dx
Fórmulas:
1) y k
' 0y
11) y senu
' ' cosy u u
2) y ku
' 'y ku
12) cosy u
' 'y u sen u
3) y u
1' 'y u u
13) y tg u
2' 'y u sec u
4) , 1 0uy a a e a
' ln 'uy a a u
14) y cotgu 2' 'y u cosec u
5) uy e
' 'uy e u
15) y secu ' 'y u tgu secu
6) logay u
'1'ln
uy
a u
16) y cosecu ' 'y u cotgu cosecu
7) lny u
''
uy
u
17) y arcsenu 2
1' '
1y u
u
8) .y u v ' . ' . 'y u v v u 18) y arctg u 2
1' '
1y u
u
9) u
yv
2
. ' . ''v u u v
yv
19) y senhu ' 'y u coshu
10) vy u 1' ' 'v vy vu u u lnu v 20) y coshu ' 'y u senhu
Função Composta: Se )(xuu e )(txx , então: dt
dx
dx
du
dt
du [Regra da Cadeia]
Função Paramétrica: Se )(tyy e )(txx , então:
dt
dx
dt
dy
dx
dy
Função Inversa: Se )(xfy admite inversa, então: dydxdx
dy
/
1
Para refletir: A verdadeira viagem de descoberta não está em procurar novas paisagens, mas em adquirir novos olhos. [Marcel Proust, Em busca do tempo perdido]
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