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1
Einführung in die Technische AkustikInhalt1 Grundbegriffe der Schwingungslehre
2 Schallfeldgrößen und Wellengleichung für fluide Medien
3 Ebene Schallwellen in fluiden Medien
4 Kugelwellen
5 Synthese von Schallquellen
6 Reflexion, Brechung und Beugung
7 Akustische Leitungen
8 Geometrische Akustik
Kapitel 6 / Einführung in die Technische Akustik / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
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2
6. Reflexion, Brechung und Beugung6.1 Elementarwellen
Huygensches Prinzip
Jeder von einer Welle getroffene Raumpunkt kann als Aus-gangspunkt einer sogenannten Elementarwelle aufgefasst werden.
Die von allen Punkten einer Wellenfront gleichzeitig ausge-sendeten Elementarwellen ergeben als Einhüllende eine Wel-lenfront die der Wellenfront des ursprünglichen Erregungs-zentrums entspricht.
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Unter einer Elementarwelle versteht man bei 2- bzw. 3dimen-sionaler Ausbreitung eine Kreis- bzw. Kugelwelle
3Kapitel 6 / Einführung in die Technische Akustik / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
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Ebene Welle Kreis- bzw. Kugelwelle
4Kapitel 6 / Einführung in die Technische Akustik / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
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Huygens-Fresnelsches Prinzip
Die an einem beliebigen Raumpunkt des Wellenfeldes beob-achtete Schwingung lässt sich durch die Überlagerung sämt-licher Elementarwellen, die von einer Wellenfront ausgehen, beschreiben.
Die Ausbreitung einer Welle vollzieht sich unter gegenseitiger Interferenz der von den Wellenfronten ausgehenden Elemen-tarwellen.
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6.2 Reflexion
Reflexion ebener Wellen an ebenen Grenzflächen
6
ε εr
1'
A E C
F
2'21
B D
Einfallslot
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Die Laufzeit der einfallenden Welle von B nach C ergibt sich zu
Der Radius der von A ausgehenden Elementarwelle beträgt nach der Zeit τC
Es gilt also
Alle Elementarwellen die von Punkten zwischen A und C aus-gehen, z.B. E, haben als Radien Zwischenwerte, z.B.
.C BC c
A Cr c AD
BC AD
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( ) 2E C Er c EF
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derart, dass sich als gemeinsame Tangente die Wellenfront ausbildet.
Die beiden Dreiecke ABC und ADC sind rechtwinklig (Wellenfront zur Ausbreitungsrichtung)
haben gemeinsame Basis und
gleichlange Seiten
Somit gilt für die gegen das Einfallslot gemessenen Winkel ε(Einfallswinkel) und εr (Aus- bzw. Reflexionswinkel) die Beziehung
CD
BC AD
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r .
AC
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ReflexionsgesetzDie Ausbreitungsrichtung der einfallenden Welle, das Einfalls-lot und die Ausbreitungsrichtung der reflektierten Welle liegen in einer Ebene, d.h. einfallender Strahl, Einfallslot und reflek-tierter Strahl sind in einer Ebene. Dann gilt, der Einfallswinkel ε ist gleich dem Reflexionswinkel εr .
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Reflexion von Kugelwellen an ebenen Grenzflächen
Kugelwellen werden an einer ebenen Grenzfläche so reflektiert, dass die re-flektierten Wellen von ei-nem Zentrum auszuge-hen scheinen, das bzgl. der Grenzfläche spiegel-symmetrisch zum wirk-lichen Zentrum liegt.
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Z
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6.3 Brechung
Brechung ebener Wellen an ebenen Grenzflächen
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Die Laufzeit der einfallenden Welle von B nach C berechnet sich in Medium 1 zu
Der Radius der von A ausgehenden Elementarwelle beträgt nach der Zeit τC in Medium 2
Alle Elementarwellen die von Punkten zwischen A und Causgehen, z.B. E, haben als Radien Zwischenwerte, z.B.
derart, dass sich als gemeinsame Tangente die Wellenfront ausbildet.
,2 2 2 1A Cr c c c BC AD
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1 .C BC c
,2 2( ) 2E C Er c EF
CD
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Aus den Dreiecken und folgt
und
Dividiert man beide Ausdrücke durcheinander, so erhält man mit
das bereits von Snellius 1621 experimentell gefundene und deshalb nach ihm benannte Snelliussche Brechungsgesetz.
1sinBC
AC
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1
sincAD BCcAC AC
1 1
2 2
sinconst.
sincc
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6.4 Beugung
Ebene Wellen treffen senkrecht auf
eine Wand mit Öffnung (Wellenfronten parallel zur Wand)
ein Hindernis (Wellenfronten parallel zum Hindernis)
Beugung an einer Öffnung
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d 7 2
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Beugung an einerÖffnung
Beugung an einerÖffnung
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d 7 4
d 3 8
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Beugung an einemHindernis
Beugung an einemHindernis
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d 14
d 7
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Die Erklärung das Wellen in den Schattenraum gelangen, also um die Berandung der Öffnung / des Hindernisses herum in den Schattenraum gebeugt werden, liefert wieder das Huygens-Fresnelsche-Prinzip.
Jeder Punkt des Mediums und somit jeder Punkt der Öffnung ist Ausgangpunkt einer Elementarwelle.
Die Überlagerung aller Elementarwellen liefert ein Interferenz-muster, dass im Schattenbereich zwar abgeschwächt ist, aber das dort nicht verschwindet.
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Streuung an einem Hindernis
Ist die Ausdehnung des Hindernisses d < λ, so spricht man von Streuung.
Die einfallende ebene Welle passiert das Hin-dernis fast ungestört.
Vom Hindernis geht nur eine schwache Kreis-wellen aus.
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6.5 Reflexions- und Transmissionskoeffizient
An einer Grenzschicht zwischen zwei Medien sind der einfallende reflektierte und transmittierte Schall
zu berücksichtigen.
reflektierte Welle
Medium 1ρ1, c1
Medium 2ρ2, c2
einfallende Welle
transmittierte Welle
1 1
2x
y
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Der Schalldruck der einfallenden, reflektierten und transmit-tierten ebenen harmonischen Welle ist gegeben durch
wobei
ist und die Amplitude des Schalldrucks der einfallenden Wel-le bezeichnet. Die Größen R und T geben den Reflexions- und Transmissionskoeffizienten einer vom Medium 1 auf die
ˆ exp ( )
ˆ exp ( )
ˆ exp ( ) ,
Te e
Tr r
Tt t
p p j t
p Rp j t
p Tp j t
k r
k r
k r
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p̂
( , )Tx yr
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Grenzschicht einfallenden und in das Medium 2 transmittiertenebenen Wellen an. Die Vektoren
bezeichnen dabei die Wellenvektoren der einfallenden, reflek-tierten und transmittierten ebenen Welle. Die Beträge der Wel-lenvektoren sind die Wellenzahlen
Die Wellenzahl hängt über 1 und 2 von den Eigenschaften der Medien ab.
1 1 21 1 2
1 1 2
sin sin sin, und
cos cos cose r tk k k
k k k
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k1
2
1
c
1
und k2
2
2
c
2
.
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Stetigkeitsbedingungen an der Grenzschicht
Die Stetigkeitsbedingung für den Schalldruck lautet
Die Stetigkeitsbedingung für die Senkrecht auf der Grenz-schicht stehende Komponente der Schallschnelle v⊥ kann mit
durch
ausgedrückt werden.
für ( ,0) .Te r tp p p x r
1 2
( )unde r tp p pv v
y t y t
1 2
( )1 1e r tp p pvt y y
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Einsetzen von pe , pr und pt in die beiden Stetigkeitsbedingung-en liefert für
und
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 1 1 2 2
2 2 1 1
( ) ( )( )
( sin cos ) ( sin cos ) ( sin cos )
sin sin sin
( sin sin )
ˆ ˆ ˆ
e
e
1 ( )
T TTe trj t j tj t
j k x k y j k x k y j k x k y
jk x jk x jk x
j k k x
pe Rpe T pe
e R T e
e R T e
R T e
k r k rk r
1
1
y
p̂e j(tkeTr) R p̂e j(tkr
Tr) 1
2
y
T p̂e j(tktTr)
1
1
y
e j(k1 sin1xk1 cos1 y ) Re j(k1 sin1xk1 cos1 y ) 1
2
y
T e j(k2 sin2xk2 cos2 y ) Kapitel 6 / Einführung in die Technische Akustik / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
( ,0)Txr
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Da der Reflexions- und Transmissionskoeffizient nicht von xabhängt, muss der Exponent in ( ) die Bedingung
befriedigen. Umformen liefert das Brechungsgesetz
24
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 2 2
( sin cos ) ( sin cos )1 1 1 1
1
( sin cos )2 2
2
( sin ) ( sin )1 21 2
1 2
1( cos ) cos e
1( cos ) für 0 gilt dann
cos cos(1 ) . ( )
j k x k y j k x k y
j k x k y
j k x j k x
k e k R
k T e y
k R e k T e
Kapitel 6 / Einführung in die Technische Akustik / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
k2sin
2k
1sin
10
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Außerdem folgt aus der Bedingung der Ausdruck
Mit dem Brechungsgesetz sowie den Substitutionen m = ρ2/ρ1und n = k2/k1 ergibt sich aus ( ) die Gleichung
Einsetzen von T = 1 + R liefert nach Umformungen gemäß
Kapitel 6 / Einführung in die Technische Akustik / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1 2 1 1 1
2 1 2 2 2
sin.
sink c f c
nk c f c
1 .R T
1 1( sin )21
1
cos (1 ) j k xR e
2 2( sin )2
21
cos j k xkT e
k
1 2cos (1 ) cos .m R n T
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für den Reflexionskoeffizienten den Ausdruck
bzw. mit
und deshalb
1 2
1 2 1 2
cos (1 ) cos (1 )
cos cos ( cos cos )
m R n R
m n m n R
22 2 2 1cos 1 sin und sin sinn
Kapitel 6 / Einführung in die Technische Akustik / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
2 2 2 2 22 2 1cos sin sinn n n n
1 2
1 2
cos coscos cos
m nR
m n
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die Beziehung
Der Transmissionskoeffizient ergibt sich durch Einsetzen von R in T = 1 + R schließlich zu
bzw.
27Kapitel 6 / Einführung in die Technische Akustik / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1 2 1
1 2 1 2
cos cos 2 cos1
cos cos cos cosm n m
Tm n m n
1
2 21 1
2 cos.
cos sin
mT
m n
2 21 1
2 21 1
cos sin
cos sin
m nR
m n
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Anmerkung:(Eigenschaften des Reflexions- und Transmissionskoeffizienten)
a) Wenn ε1 gegen π/2 strebt, dann streben R und T unab-hängig von den Parametern der Medien gegen −1 bzw. 0.
b) Für Einfallswinkel ε1 für die
gilt ist die Grenzschicht vollständig transparent.
c) Für n reell, sinε1 > n und kann der Reflexionskoeffizient durch
2 2
1 2sin , d.h. 01
m nR
m
2 2
1 1
2 21 1
cos sin, nur sinvoll
cos sin
m j nR j
m j n
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2 22 1cos sinn j n
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oder nach Umformung durch
ausgedrückt werden, d.h. es liegt Totalreflexion vor.
Ferner besitzen die einfallende und reflektierte Welle eine Phasendifferenz von ϑ an der Grenzschicht.
Der Einfallswinkel der sinε1 = n befriedigt wird kritischer Winkel genannt, d.h. ε1 = εcrit.
Für ε1 > εcrit und gilt für die Amplitude der transmittierten Welle
29
2 21
1
sinexp( ) mit 1 und 2arctan
cos
nR j R
m
2 21 1 1exp( ) mit sin , nur sinvoll .tp y k n jk
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2 22 2 1 2 1 1cos cos sink k n jk n
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Mit Hilfe der akustischen Impedanzen
kann der Reflexionskoeffizient durch
und der Transmissionskoeffizient durch
30Kapitel 6 / Einführung in die Technische Akustik / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1 2 2 1 1 1 2 2
1 2 2 1 1 1 2 2
2 2 1 1 1 2 2 1 1 2
2 2 1 1 1 2 2 1 1 2
2 2 1 1 1 2 2 1
2 2 1 1 1 2 2
cos cos cos coscos cos cos cos
cos cos cos coscos cos cos cos
cos cos cos coscos cos cos cos
m n c cR
m n c c
c c Z Zc c Z Z
Z Z Z ZZ Z Z
1Z
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
cos cos
cos cos
Z c Z
Z c Z
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31
ausgedrückt werden.
Beispiel: (Senkrechter Einfall, d.h. )
2 1 2
2 1 2 1
21 1
Z Z ZT R
Z Z Z Z
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1 1 1 2 1
1 1 1 2
1 1 1 2
a) angepasster Übergang, d.h. ,
0, 1
b) schallharter Übergang, d.h. ,
1, 2
c) schallweicher Übergang, d.h. , 0
1, 0
Z c Z Z
R T
Z c Z
R T
Z c Z
R T
1 1 2 2,Z Z Z Z
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32
zu b) schallharter Luft → Wasser Übergang
zu c) schallweicher Wasser → Luft Übergang
1
2
0,9994
1,9994L
W
Z Z R
Z Z T
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3 2
63 2
kg m kgLuft: 1,3 , 340 442
sm m skg m kg
Wasser: 1000 , 1480 1,48 10sm m s
L L L
W W W
c Z
c Z
1
2
0,9994
0.0006W
L
Z Z R
TZ Z
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33
Wegen
ergeben sich die Intensitäten der einfallenden, reflektierten und transmittierten Welle zu
und
2 2| | | |1 1 1Re
2 2 Re 2
p pI pv
Z c
2 2 2
1 1 1 1 1
2 22 2 2 22
1 1 1 1 1 1 1
| | ˆ ˆ,
2 2 2
| || | ˆ ˆ
2 2 2 2
ee
err
p p pI
c c Z
R pp R p pI R
c c c Z
Kapitel 6 / Einführung in die Technische Akustik / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
2 2 2 2 2 22
2 2 2 2 2 2 2
| | | | ˆ ˆ
2 2 2 2t e
t
p T p T p pI T
c c c Z
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Der Reflexions- und Transmissionskoeffizient der Intensitäten ist dann durch
gegeben. Nach Umformen von
in
Kapitel 6 / Einführung in die Technische Akustik / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
2 22 1
21 2
4 cos( cos cos )I
mn nT T
m m m n
1 1 22
2 1 2
cos 4 cos coscos ( cos cos )I
nmT
m n
2 2 2 21 1 1
2 2 2
und trI I
e e
II c Z nR R T T T T
I I c Z m
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wird deutlich, dass bei Vertauschen der Übertragungsrichtung
für schräg einfallende Schallwellen die Ungleichung
gilt. Die Grenzschicht ist also abgesehen vom senkrechten Schalleinfall nicht übertragungssymmetrisch.
Zum besseren Verständnis sei abschließend noch auf die phy-sikalische Bedeutung des Faktors 1 2 hingewiesen.
Aus der nachfolgenden Abbildung können für die Querschnitte des einfallenden, reflektierten und transmittierten Schallstrahl-
35Kapitel 6 / Einführung in die Technische Akustik / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1 2 1 2 1 2, ,c c
,1 2 ,2 1I IT T
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bündels die Beziehungen
hergeleitet werden.
Kapitel 6 / Einführung in die Technische Akustik / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
reflektiertes Schallstrahlbündel
Medium 1ρ1, c1
Medium 2ρ2, c2
einfallendes Schallstrahlbündel
bundle of transmitted rays
1 1
2x
yx
SeS
r
tS
11 2
2
coscos , cos und
cose
e r z t zt
SS S l x S l x
S
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Das Verhältnis vom Kosinus des Einfalls- zum Kosinus des Ausfallswinkels ist somit gleich dem Verhältnis der Quer-schnitte des einfallenden und transmittierten Schallstrahl-bündels.
Mithilfe der Leistungen der einfallenden, reflektierten und transmittierten Welle, d.h.
Pe = SeIe, Pr = SrIr und Pt = StIt ,
erhält man dann über die Reflexions- und Transmissions-koeffizienten der Leistungen
undKapitel 6 / Einführung in die Technische Akustik / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
2
2 1 2
1 2
cos coscos cos
tr r rP
e e e e
IP S I m nR R
P S I I m n
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38
auch eine Bestätigung des Energieerhaltungssatzes
RP + TP= 1 Pe = Pr + Pt.
Überdies kann man zeigen, dass das Vertauschen der Übertra-gungsrichtung, i.e.
RP and TP unverändert lässt.
22 2 1 1
1 1 2 2
2 22 1 1 2
2 21 1 2 1 2
cos coscos cos
cos 4 cos 4 cos coscos cos cos cos cos
t t t tP
e e e e
P S I I cT T
P S I I c
m nmnm m n m n
Kapitel 6 / Einführung in die Technische Akustik / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1 2 1 2 1 2, ,c c
I N S T I T U T E O F
W A T E R A C O U S T I C S,
S O N A R E N G I N E E R I N G A N D
S I G N A L T H E O R Y
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Literatur zu Kapitel 6[1] D.T. Blackstock, Fundamentals of Physical Acoustics,
Wiley, 2000
[2] L.M. Brekhovskikh und O.A. Godin, Acoustics of Layered Media I, Springer, 1997
[3] L. Cremer und M. Möser, Technische Akustik, Springer, 2003
[4] E. Hering, R. Martin und M. Stohrer, Physik für Ingenieure, Springer, 2002
[5] H. Kuttruff, Akustik: Eine Einführung, Hirzel Verlag, 2004
[6] R. Lerch, G. Sessler und D. Wolf, Technische Akustik: Grundlagen und Anwendungen, Springer, 2009
[7] P.A. Tipler, Physik, Spektrum, 1994
Kapitel 6 / Einführung in die Technische Akustik / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
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