หน วยการเรียนรู ที่...

Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th

0 1 32 4 5 6 7 8

1 1+1 2+1 3+1

หนวยการเรียนรูที่ 2

จํานวนเต็ม

ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. ระบุหรือยกตัวอยางจาํนวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และศูนยได

2. เปรียบเทยีบจาํนวนเต็มและใชเคร่ืองหมายมากกวา นอยกวา และเทากับไดถูกตอง

3. หาผลบวก ผลลบ บนเสนจาํนวนได

2.1 ศูนยและจํานวนเต็มบวก

0 ไมใชจํานวนนับเพราะเราไมนิยมพูดวามีสมอยู 0 ผล หรือมีดินสอ 0 แทง เราพูดวา ไมมีสม ไมมี

ดินสอ เมื่อเราไมมีส่ิงของ เราก็ไมนับ ในกรณีเชนนี ้0 แทนความไมม ี

แต 0 ไมไดแทนความไมมเีสมอไป เชน เมื่อเราพูดวาอุณหภูมิของน้าํแข็งเปน 0 องศาเซลเซยีส เรา

ไมไดหมายความวา น้ําแข็งไมมอุีณหภูมิ แตหมายความวา น้ําแข็งมีความเย็นระดับหนึง่ ซึง่กาํหนดวา เปน

0 องศาเซลเซยีส

1 เปนจํานวนนับทีน่อยที่สุด จํานวนนับอ่ืนๆ เกิดจาก 1 ดังนี ้1 , 1 + 1 แทนดวย 2 , 2 + 1 แทนดวย 3

ฯลฯ การเพิม่ทีละ 1 ทาํใหเกิดจํานวนนับไมมีที่ส้ินสุด และแสดงบนเสนจํานวนไดดังนี ้

1. ใหนักเรียนนับเพิ่มทีละหนึง่ใหมากที่สุดที่จะมากได นักเรียนนับถงึจํานวนอะไร

2. นํา 1 ไปบวกจาํนวนที่นกัเรียนนับได ผลลัพธจะมากกวาหรือไม

3. จํานวนทีน่ักเรียนนับไวตอนแรกจะเปนจาํนวนทีม่ากที่สุดหรือไม

4. มีจํานวนนับทีม่ากที่สุดหรือไม

จํานวนเต็ม

จํานวนนับ เรียกอีกอยางหนึ่งวา จํานวนเต็มบวก

คณิตศาสตรระดับมัธยมศึกษาปท่ี 1

2.2 จํานวนเต็มลบ

ในชีวิตประจาํวัน จํานวน 1 , 2 , 3 , . . . เปนจาํนวนชนิดเดียวทีน่ักเรียนจะใชในการนับ ใช

เศษสวน เชน 1

3, . . . และใชทศนิยม เชน 0.5 , 1.75 , . . . ในการบอกปริมาณที่ไมเปนจํานวนเต็ม

อยางไรก็ตามวิชาคณิตศาสตรไมใชวิชาทีส่อนการนับและการหาปริมาณเทานัน้ ในการเรียนวิชา

คณิตศาสตรนักเรียนจะตองรูจักจํานวนชนดิอ่ืนๆ ที่จาํเปนสําหรับวชิานี้ ในหวัขอนี้นักเรียนจะไดรูจัก

จํานวนเต็มลบ

นักเรียนเคยไดยินคําวา จํานวนเต็มลบ มากอนหรือไม

นักเรียนเคยไปเที่ยวเมืองหมิะหรือไม นักเรียนทราบไหมวาอุณหภูมิในเมืองที่มหีมิะเปนอยางไร

นักเรียนคงเคยไดยินอุณหภูมิ ที่ภูกระดึงหนาหนาวในเมืองไทย และอุณหภูมิ 26.5− ° ที่เมืองอลาสกา

ประเทศสหรัฐอเมริกา นัน่คือ นักเรียนไดรูจักจํานวนเต็มลบมาบางแลว

เราเร่ิมจากปญหางายๆ ตอไปนี้

กําธรมีเงินอยู 4 บาท ถาเขาใหนอง 1 บาท จงหาวากําธรเหลือเงนิเทาไร นักเรียนมวีิธีหาคําตอบ

อยางไร

ใหนักเรียนเขียนวธิีหาจํานวนเงนิที่เหลือ ถากําธรใหเงินนอง

1. 2 บาท

2. 3 บาท

3. 4 บาท

นักเรียนสังเกตเห็นหรือไมวา ในสัญลักษณแสดงการลบตอไปนี้ ตัวลบมีคาเพิม่ข้ึน

4 – 1

4 – 2

4 – 3

4 – 4

ถาใหตัวลบมคีาเพิ่มข้ึนเร่ือยๆ เราอาจเขียนเปนสัญลักษณได เชน

4 – 5

4 – 6

4 – 7

4 – 8

ฯลฯ

0 1 2 3 4 5

4 – 8 4 – 7

4 – 6

4 – 5 4 – 4

4 – 3

4 – 2 4 – 1

0 1 2 3 4 -1-2-3 -4

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

นักเรียนทราบหรือไมวา การลบขางตนมคํีาตอบอยางไร เราอาจแสดงการหาคําตอบโดยใชเสน

จํานวนดังนี ้

คําตอบสําหรับ 4 – 5 , 4 – 6 , . . . เปนจํานวนทีน่ักคณิตศาสตรสรางข้ึนเรียกวา จํานวนเต็มลบ

ให 4 – 5 เปนจํานวนซ่ึงแทนดวยสัญลักษณ –1 อานวา ลบหน่ึง

4 – 6 เปนจาํนวนซ่ึงแทนดวยสัญลักษณ –2 อานวา ลบสอง

นักเรียนคิดวา 4 – 7 , 4 – 8 , 4 – 9 จะเปนจํานวนอะไร

จํานวนเต็มลบ -1 , -2 , -3 , . . . แทนดวยจุดที่อยูทางซายมือของ 0 บนเสนจํานวนดังนี ้

0 1 2 3 4-1-2-3 -4

0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 5 -5

ดังนัน้ จาํนวนเต็มแบงออกเปน 3 พวก คือ

1. จํานวนเต็มบวก ไดแก 1 , 2 , 3 , 4 , . . .

2. จํานวนเต็มศูนย ไดแก 0

3. จํานวนเต็มลบ ไดแก –1 , -2 , -3 , -4 , . . .

ดังแสดงดวยเสนจํานวนดังนี ้

2.3 การเปรียบเทียบจํานวนเต็ม

สมมุติวานักเรียนหนกั 35 กโิลกรัม เพื่อนหนกั 38 กิโลกรัม นักเรียนจะตอบไดหรือไม เพราะเหตุใด จึง

ทราบวาเพื่อนหนกักวา

ถาเราตองการทราบวาในเดือนเมษายน จงัหวัดแถบภูเขา เชน เชียงใหมกับจังหวัดแถบชายทะเล เชน

สงขลา โดยเฉลี่ยแลวจังหวัดใดรอนกวากัน นักเรียนจะวัดไดอยางไร

ถานกัเรียนทราบวาอุณหภูมเิฉล่ียในเดือนเมษายนที่จังหวัดเชียงใหมประมาณ 36 องศาเซลเซยีส และ

ที่จังหวัดสงขลา 30 องศาเซลเซียส นักเรียนจะตอบไดหรือไมวา จงัหวดัใดรอนกวากนั

ถานกัเรียนทราบวา อุณหภูมิเฉล่ียในฤดูหนาวของจังหวดัแมฮองสอนประมาณ 5 องศาเซลเซยีส และ

ที่จังหวัดเลยประมาณ 0 องศาเซลเซยีส นกัเรียนจะตอบไดหรือไมวาจงัหวัดใดหนาวกวากนั และถา

นักเรียนไดยินวิทยปุระกาศวา ปนีท้ี่จังหวัดเลย อุณหภูมตํ่ิาสุดเปน –5 องศาเซลเซยีส นักเรียนคิดวาอากาศ

ที่จังหวัดเลยปนี้หนาวกวาหรืออุนกวาปกติ

นักเรียนจะพบวา ถาอากาศย่ิงรอน อุณหภูมิจะยิ่งสูงข้ึน

ถาอากาศย่ิงหนาว อุณหภูมจิะยิ่งติดลบมากข้ึน

ในทาํนองเดียวกัน ในการเปรียบเทียบเพื่อดูวา จาํนวนใดนอยกวา จาํนวนใดมากกวา เราจะเหน็ไดงาย

จากเสนจํานวน

เมื่อกลาวถงึจาํนวนเต็มจะหมายถึงจาํนวนเต็มบวก

หรือจํานวนเต็มลบหรือศูนยก็ได

บนเสนจํานวนนี้ นักเรียนทราบแลววา สําหรับทางดานขวามือของศูนย จาํนวนทีอ่ยูทางซายจะนอย

กวาจาํนวนทีอ่ยูทางขวา เชน 2 < 3

นักเรียนจะเหน็วา -1 , -2 , -3 , . . . ไดจากการลดลงทีละหนึ่ง ดังนัน้สําหรับดานซายมือของศูนย

จํานวนที่อยูทางซายก็จะนอยกวาจํานวนที่อยูทางขวาเชนกนั

ดังนัน้ -2 นอยกวา -1 ใชสัญลกัษณ -2 < -1

-3 นอยกวา -2 ใชสัญลักษณ -3 < -2

ฯลฯ

ใหนักเรียนดูเสนจํานวนขางตนแลวตอบคําถามตอไปนี ้

1. -4 และ -5 จํานวนใดนอยกวากนั

2. เมื่อนับไปทางซายของศูนยทีละหนึง่จะไดจํานวนทีน่อยลงหรือมากข้ึน

3. นักเรียนคิดวามีจํานวนทีน่อยที่สุดหรือไม เพราะเหตุใด

4. จงเขียนจํานวนเต็มลบต้ังแต -10 ถึง -20 ตามลําดับจากนอยไปมาก

5. จงเรียงลําดับจํานวนตอไปนี้จากมากไปนอย

-2 , -5 , -7 , -10 , -6 , -1

6. จงเติมจํานวนตามทีก่ําหนดใหตอไปอีก 3 จํานวน

-1 , -4 , -7 , -10 , . . .

ใหนักเรยีนตอบคําถามตอไปน้ี ขอ 1. 0.5 เปนจํานวนเต็มหรือไม........................................................................................

ขอ 2. 1

เปนจํานวนเต็มหรือไม........................................................................................

ขอ 3. 4

2 เปนจํานวนเต็มหรือไม........................................................................................

ขอ 4. 1.2

4 เปนจํานวนเต็มหรือไม........................................................................................

ขอ 5. –5.8 เปนจํานวนเต็มลบใชหรือไม................................................................................

ขอ 6. –9.6 เปนจํานวนเต็มลบใชหรือไม................................................................................

แบบฝกหัดที่ 1

ขอ 7. 3

− เปนจํานวนเต็มลบใชหรือไม................................................................................

ขอ 8. จาํนวนใดบางเปนจํานวนเต็มลบ –1 , –3.4 , 1

− , 6

3− , – 6.0 ,

.................................................................................................................................................

ขอ 9. –333 อยูทางซายมือหรือขวามือของศูนยบนเสนจํานวน

ขอ 10. 25 อยูทางซายมือหรือขวามือของศูนยบนเสนจํานวน

ขอ 11. –20 มีคามากกวาหรือนอยกวา 0

ขอ 12. 40 มีคามากกวาหรือนอยกวา 0

ขอ 13. จงเติมเคร่ืองหมาย > หรือ < หรือ = ลงในชองวางใหถกูตอง

♠ –60...............–16 ♠ –72 ...................... –71

♠ 80...............–80 ♠-1001....................... -1011

ขอ 14. จงเรียงจํานวนตอไปนี้จากมากไปหานอย

-19 , 10 , -14 , 0 , 18 , -13 , 9.......................................................................................

-1177 , -1717 , -1771 , -1777 , -1117 , -1171...............................................................

ขอ 15. จงเรียงจํานวนตอไปนี้จากนอยไปหามาก

-49 , -37 , -47 , -31 , -35 , -46.......................................................................................

-792 , -297 , -729 , -972 , -279 , -927...........................................................................

ใหนักเรยีนแสดงวธิีทํา (ลงในสมุด)

ขอ 1. จงเขียนเสนจํานวนแสดงศูนยและจํานวนเต็มลบถึง -20

ขอ 2. จงเติมจาํนวนอีก 3 จาํนวนตามลําดับตามแบบที่กาํหนดให

0 , -2 , -4 , -6 , . . .

0 , -5 , -10 , . . .

0 , -7 , -14 , . . .

-3 , -7 , -11 , -15 , . . .

แบบฝกหัดเพ่ิมเติม 1

-9 , -14 , -19 , . . .

ขอ 3. จงเขียนจํานวน 5 จาํนวนตอจาก 0 โดยลดทีละ 3

ขอ 4. จงเขียนจํานวน 5 จาํนวนตอจาก -1 โดยลดทีละ 2

ขอ 5. จงเขียนจํานวน 5 จาํนวนตอจาก -10 โดยเพิ่มทีละ 1

ขอ 6. จงเขียนจํานวน 5 จาํนวนตอจาก -15 โดยเพิ่มทีละ 3

ขอ 7. จงเติมจาํนวนเต็มอีก 3 จํานวนตามลําดับตามแบบที่กาํหนดให

-2 , -4 , -6 , . . .

-1 , -3 , -5 , . . .

-3 , -6 , -9 , . . .

-2 , -7 , -12 , . . .

-20 , -16 , -12 , . . .

-41 , -36 , -31 , . . .

ขอ 8. จงเรียงจํานวนตอไปนี้จากนอยไปมาก

-3 , -7 , -31 , -1 , 0 , -6 , -13

-8 , -10 , -2 , 3 , -5 , 4

7 , 0 , -2 , -17 , -4 , -9

99 , -80 , 76 , 67 , -50 , -60

ขอ 9. จงหาจํานวนที่นอยทีสุ่ดและจํานวนที่มากที่สุด

-3 , -4 , -5 , -2 , 0

12 , -3 , -1 , 1 , -12

-13 , -15 , -2 , -6 , -4

-3 , 0 , 3 , -4 , -5

ขอ 10. จงใสเคร่ืองหมาย < หรือ > เพื่อใหเปนประโยคทีเ่ปนจริง

(-3) (-4)

(-7) (-8)

(-8) (-5)

0 (-1)

(-10) 0

(-20) (-30)

ขอ 11. จงเรียงสารตอไปนี้ตามลําดับจุดเดือดจากตํ่าไปสูง

คลอรีน -35 องศาเซลเซยีส

ออกซิเจน -183 องศาเซลเซยีส

ไฮโดรเจน -253 องศาเซลเซยีส

ไนโตรเจน -196 องศาเซลเซยีส

ขอ 12.

น้ํา เอทิลแอลกอฮอล คารบอนไดออกไซด ออกซิเจน ไฮโดรเจน ปรอท

0 -114 -57 -219 -259 -39

ตารางขางบนแสดงอุณหภูมิเปนองศาเซลเซียสที่สารเปลีย่นสภาพเปนของแข็ง

จงหาวาสารชนิดใดแข็งตัวเร็วที่สุด

จงเรียงลําดับสารตามอุณหภูมิแข็งตัวเร็วที่สุดไปหาแข็งตัวชาที่สุด

ขอ 13. ขอความตอไปนี้จริงหรือไม

0 เปนจํานวนเต็ม

500 เปนจาํนวนเต็ม

-500 ไมเปนจาํนวนเต็ม

1.5 เปนจํานวนเต็ม

2 ไมเปนจํานวนเต็ม

ขอ 14. จงเรียงลําดับจํานวนเต็มตอไปนี้จากนอยไปมาก

2 , -2 , 5 , 1 ,0 , -15 , -10 , -8 , 3

ขอ 15. จงเติมจํานวนเต็ม 3 จํานวนตามลําดับตามแบบที่กําหนดให

-8 , -6 , -4 , . . .

-7 , -4 , -1 , . . .

4 , 2 , 0 , . . .

15 , 10 , 5 , . . .

6 , 2 , -2 , . . .

-9 , -4 , 1 , . . .

ขอ 16. จงใสเคร่ืองหมาย < หรือ > เพื่อทาํใหประโยคตอไปนี้เปนจริง

(-4) (-5)

7 (-7)

0 (-5)

18 (-12)

20 (-2)

ขอ 17. ใหนกัเรียนใชตารางแสดงอุณหภูมิของอากาศที่ระดับความสูงตางๆ วัดทีก่รุงเทพฯ หา

คําตอบของปญหาตอไปนี ้

ความสูงจากระดับน้ําทะเล

(กิโลเมตร)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

อุณหภูมิของอากาศ

(องศาเซลเซียส)

28 22 17 11 6 0 -6 -11 -17 -22

อุณหภูมิของอากาศท่ี 2 กิโลเมตร เหนือระดับน้ําทะเล ตางจากอุณหภูมิของอากาศที่ 3

กิโลเมตร เหนอืระดับน้ําทะเลเทาไร

ขอ 18. ถา a แทนจํานวนเต็มจํานวนหนึ่ง a จะตองแทนจํานวนเต็มบวกใชหรือไม ถาไมใช a จะ

แทนจํานวนใดไดบาง

ขอ 19. ถา b แทนจํานวนเต็มลบ b จะเปนจํานวนเต็มหรือไม

ขอ 20. ประโยคตอไปนี้ ประโยคใดเปนจริง ประโยคใดเปนเทจ็

0 เปนจาํนวนเต็มบวก

จํานวนเต็มบวกคือจํานวนนบั

มีจํานวนเต็มบวกมากมายนับไมถวน

20 เปนจํานวนเต็มบวก

ถา a เปนจาํนวนเต็มบวก เราสามารถหาจํานวนเต็มบวกที่มากกวา a ไดเสมอ

0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 5 -5

0 1 2 3 4-1-2-3 -4 5 -5

0 1 2 -1 -2

ขอ 21. จงเลือกจํานวนเต็ม จากจํานวนในแตละขอตอไปนี ้

2 , 1 ,

-1 , -2 , 3 , -3

2 , 4 , -4 , 0.1 , 3.78

5 , -5 , 1

5 , 6 , -

ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. บอกจํานวนตรงขามของจํานวนเต็มใดๆ ได

2. บอกคาสัมบูรณของจํานวนเต็มใดๆ ได

2.4 คาสัมบูรณของจํานวนเต็ม

2 อยูหางจาก 0 เปนระยะ 2 หนวย

เรากลาววา คาสัมบูรณของ 2 เทากับ 2

-2 อยูหางจาก 0 เปนระยะ 2 หนวย

เรากลาววา คาสัมบูรณของ -2 เทากับ 2

ใหนักเรียนทําแบบฝกหัดตอไปนี้

1. จงหาคาสัมบูรณของ 5 , -5 , 9 , -9 , 10 , -10 , 11 , -11

2. คาสัมบูรณของจํานวนเต็มบวกเปนจํานวนบวกหรือจํานวนลบ

3. คาสัมบูรณของจํานวนเต็มลบเปนจาํนวนบวกหรือจํานวนลบ

4. คาสัมบูรณของจํานวนใดบางที่เปนจาํนวนลบ

นักเรียนสังเกตหรือไมวา มีจํานวนเต็มบวกและจํานวนเต็มลบเปนคูๆ ที่มีคาสัมบูรณเทากนั

ใหนักเรียนยกตัวอยางมาสัก 2 คู

จํานวนเต็มบวกและจํานวนเต็มลบที่มีคาสัมบูรณเทากันจะอยูคนละขางของ 0 และอยูหาง

จากศูนยเปนระยะเทากัน เชน -1 และ 1 เรากลาววา

-1 เปนจํานวนตรงขามของ 1

และ 1 เปนจํานวนตรงขามของ -1

สวน 0 เปนจํานวนตรงขามของตัวเอง

ใหนักเรียนหาจํานวนตรงขามของจํานวนตอไปนี้

4. -350

แบบฝกท่ี 2

ใหนักเรยีนตอบคําถามตอไปน้ี ขอ 1. คาสัมบูรณของ 48 คือ..................................................................................................

ขอ 2. คาสัมบูรณของ -120 คือ...............................................................................................

ขอ 3. 8 เปนคาสัมบูรณของจํานวนใด...................................................................................

ขอ 5. คาสัมบูรณของ 56 คือ..................................................................................................

ขอ 6. คาสัมบูรณของ -56 คือ...............................................................................................

ขอ 9. จาํนวนตรงขามของ 148 คือ.......................................................................................

ขอ 10. จาํนวนตรงขามของ -3537 คือ.......................................................................................

ขอ 11. คือ..............................................................................................................

ถา a เปนจํานวนใดๆ จํานวนตรงขาม ของ a

มีเพียงจํานวนเดียว และเขียนแทนดวย -a

ขอ 12. 76− คือ........................................................................................................

ขอ 13. 35− คือ........................................................................................................

ขอ 14. 12− − คือ........................................................................................................

ขอ 15. 919− คือ........................................................................................................

ขอ 16. จงเติมเคร่ืองหมาย > หรือ < หรือ =

81− ........... 18−

25 ............. 25−

102− ......... 120−

1011− ........ 1101−

28− .......... 28− −

ใหนักเรยีนแสดงวธิีทํา (ลงในสมุด) ขอ 1. จงหาคาสัมบูรณของ 0

........................................................

ขอ 2. จงหาคาสัมบูรณของ -37 , -38 , -39 , -40

........................................................

ขอ 3. จงเติมขอความในชองวางใหถกูตอง

คาสัมบูรณของ 51 และ -51 ตางเทากับ ...............

คาสัมบูรณของ 470 และ ................ ตางเทากับ 470

คาสัมบูรณของ ............... และ -132 ตางเทากับ 132

56 เปนคาสัมบูรณของ ............... และ ...............

142 เปนคาสัมบูรณของ ............... และ ...............

................ เปนคาสัมบูรณของ 318 และ -318

ขอ 4. จงเติมคําวา “มากกวา” “นอยกวา” หรือ “เทากับ” ลงในชองวาง

เพื่อทาํใหประโยคตอไปนี้เปนจริง

21 ............... -21

คาสัมบูรณของ 21 ............... คาสัมบูรณของ -21

-6 ................ 6

คาสัมบูรณของ -6 ................ คาสัมบูรณของ 6

คาสัมบูรณของ -5 ................ คาสัมบูรณของ -7

คาสัมบูรณของ 13 ................ คาสัมบูรณของ -19

ขอ 5. จงหาจํานวนตรงขามของ -11 , -13 , -15 , -16 , -20

ขอ 6. จงหาจํานวนตรงขามของ 11 , 13 , 15 , 16 , 20

ขอ 7. จงหาจํานวนตรงขามของ -5 , 5 , 20 , -20 , 9 , -9

ขอ 8. จงหาจาํนวนที่แทนตัวแปร แลวทําใหไดประโยคที่เปนจริง

67 + y = 67

a – 43 = 0

z + 0 = 91

x + x = 0

0 + u = 0

9 – v = 9

b × 1 = 1

20 × y = 0

9 × z = 9

a × a = 0

6 – v = 0

7 ÷ u = 1

25 ÷ w = 25

c ÷ 1 = 99

a ÷ 20 = 1

0 × 15 = x

ขอ 9. จงหาผลคูณ

1 × 25

(-35) × 1

(-72) × 1

(-1271) × 1

1 × (-592)

1 × 1

1 × b

b × 1

1 × c

c × 1

ขอ 10. จงหาผลหาร

−−

ขอ 11. จงหาคําตอบ

0 + (-21)

(-480) + 0

0 + (-5)

0 – 5

0 – 7

0 – 47

0 – b

0 – 0

0 – (-4)

0 – (-20)

0 – (-35)

0 – (-43)

0 – (-c)

0 – (-z)

0 – z

0 × 1

0 × 0

0 × (-5)

0 × (-1)

(-2000) × 0

350 × 0

(-490) × 0

t × 0

0 × t

0 × (-a)

2497−

0 + (-7)

(-7) + 7

5 × 6 × 0

( 5 + 6 ) × 0

(-21) ÷ (-21)

(-19) ÷ (-1)

(-200) ÷ 200

0 ÷ ( 1 ÷ 2 )

[(-441) ÷ 21] ÷ 0

ขอ 14. จงหาคา z ทีท่าํใหประโยคตอไปนี้เปนจริง

3 × z = 0

z × (-7) = 0

a × z = 0 แต a ≠ 0

z × z = 0

ขอ 15. ส่ีเทาของจํานวนจํานวนหน่ึงเทากับหาเทาของจํานวนเดิม จํานวนนั้นเปนเทาไร

ขอ 16. คร่ึงหนึ่งของจํานวนจํานวนหนึ่ง เทากบัสองเทาของจํานวนเดิม จาํนวนนัน้เปนเทาไร

ขอ 17. จงหาจํานวนที่แทนตัวแปร แลวทาํใหไดประโยคที่เปนจริง

37 + 26 = x + 37

31 × 24 = 24 × a

( 56 + 2 ) + 13 = 56 + ( d + 13 )

8 × ( 7 × 6 ) = ( b × 7 ) × 6

4 × ( y × 7 ) = ( 4 × 3264 ) × 7

ขอ 18. จงเติมจํานวนหรือตัวแปรในชองที่เวนไว เพื่อใหแตละประโยคตอไปนี้เปนจริง สําหรับทุกๆ

คาของตัวแปร

7 + ( a + 3 ) = ( 7 + …….. ) + 3

x + ( 6 + a ) = ( x + 6 ) + ……..

a + ( b + c ) = ( …….. + …….. ) + c

( …….. + …….. ) + 7 = 8 + ( x + 7 )

( x + …….. ) + y = …….. + ( a +…….. )

7 × ( c × 3 ) = ( 7 × …….. ) × 3

( a × 6 ) × b = a × ( 6 × …….. )

a × ( b × c ) = ( …….. × …….. ) × c

( …….. × …….. ) × 7 = 8 × ( c × 7 )

( a × …….. ) × b = …….. × ( y × …….. )

ขอ 19. นกัเรียนคิดวาการลบมีสมบัติการเปล่ียนกลุมหรือไม

นั่นคือ ประโยค a – ( b – c ) = ( a – b ) – c

เปนจริงสําหรับจํานวน a , b , c ใดๆ หรือไม เพราะเหตุใด

ขอ 20. การหารมีสมบัติการเปลี่ยนกลุมหรือไม เพราะเหตุใด

ขอ 21 จงเติมจํานวนในชองที่เวนไว เพื่อใหแตละประโยคตอไปนี้เปนจริง

6 × ( 10 + 7 ) = ( 6 × …….. ) + ( 6 × …….. )

8 × ( 50 + 4 ) = ( …….. × 50 ) + ( …….. × 4 )

( 30 + 9 ) × …….. = ( 30 × 5 ) + ( 9 × 5 )

( 9 × 5 ) + ( 9 × 6 ) = 9 × ( …….. + …….. )

( 5 × 200 ) + ( 5 × 30) + ( 5 × 8 ) = 5 × ( …….. + …….. + …….. )

ขอ 22. จงหาจํานวนที่แทนตัวแปรแลวทําใหไดประโยคที่เปนจริง

( 6 × 5 ) + ( 6 × 1 ) = 6 × a

( 17 × 9 ) + ( 8 × 9 ) = d × 9

a × 253 = ( 7 × 200 ) + ( 7 × 50 ) + ( 7 × 3 )

b × 6 = ( 4000 × 6 ) + ( 700 × 6 ) + ( 50 × 6 ) + ( 3 × 6 )

( 12 × c ) + ( 19 × 5 ) = 31 × 5

( 12 × 55 ) + ( 12 × d ) = 12 × 100

ขอ 23. จงตรวจดูวาประโยคตอไปนี้เปนจริงหรือไม

5 × ( 8 – 3 ) = ( 5 × 8 ) – ( 5 × 3 )

6 × ( 7 – 2 ) = ( 6 × 7 ) – ( 6 × 2 )

( 5 – 4 ) × 9 = ( 5 × 9 ) – ( 4 × 9 )

( 7 – 6 ) × 4 = ( 7 × 4 ) – ( 6 × 4 )

ขอ 24. จงเติมจํานวนในชองที่เวนไว เพื่อใหประโยคเปนจริงสําหรับทุกๆ คาของตัวแปร

a × ( b + c ) = ( a × b ) + ………………

( x + y ) × a = ……………. + ( y × a )

( 3 × c ) + ( 3 × d ) = ……………. × ( c + d )

( d × b ) + ( z × b ) = ( …………. + z ) × b

y × ( a + ………… ) = ( y × a ) + ( y × z )

………………. = ( a × 4 ) + ( b × 4 )

( b × x ) + ( b × y ) = ………………

( 2 × x ) + ( 3 × x ) = ( ………… + ………… ) × x

( 7 × a ) + ( 8 × a ) = ………………

20c = ( ………… × c ) + ( 11 × c )

10x + 20x = ………………

ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. บอกสมบัติของ 0 และ 1 ได

2. นําสมบัติของ 0 และ 1 ไปใชได

2.5 สมบัติของ 0 และ 1 สมบัติของหนึ่ง 1. จํานวนใดๆ คูณกับ 1 จะไดจํานวนนัน้ เชน

1 32× = 32 1× = 32

1 ( 32)× − = ( 32) 1− × = -32

1 ( 1)× − = ( 1) 1− × = -1

สมบัติขอนี้เขียนเปนสัญลักษณไดดังนี ้

2. จํานวนใดๆ หารดวย 1 จะไดจํานวนนั้น เชน

สมบัติของศูนย 1. จํานวนใดๆ บวกกับ 0 จะไดจํานวนนัน้ เชน

5 + 0 = 0 + 5 = 5

(-7) + 0 = 0 + (-7) = -7

1 1a a a× = × = เมื่อ a แทนจํานวนใดๆ

aa= เมื่อ a แทนจํานวนใดๆ

a=a+0=0+a เมื่อ a แทนจํานวนใดๆ

2. จํานวนใดๆ คูณกับ 0 ได 0 เชน

0×2 = 2×0 = 0

( 5) 0− × = 0 ( 5)× − = 0

3. 0 หารดวยจํานวนใดๆ ที่ไมใช 0 จะได 0 เชน 0

9− = 0

4. ถาผลคูณของจํานวนสองจํานวนใดๆ เทากับ 0 จํานวนใดจํานวนหนึ่งอยางนอยหน่ึง

จํานวนตองเปน 0 เขียนเปนสัญลักษณไดดังนี ้

สมมุติวาจะหารจํานวนใดๆ ดวย 0 จะมีปญหาอยางไร

1. กําหนดให a=0

0 ใหนักเรียนเปล่ียนเปนประโยคการคูณ

2. จงหาคา a ที่จะทําใหประโยค 0=a×0 เปนจริง

3. นักเรียนหาคา a ในขอ 2 ไดมากกวาหนึง่คําตอบหรือไม

4. จากขอ 3 นักเรียนจะบอกไดแนนอนหรือไมวา 0

0 เปนเทาไร เพราะเหตุใด

5. ใหนักเรียนหา 0

9 โดยวิธีเดียวกนั ไดกี่คําตอบ

ถาหารจํานวนใดๆ ดวย 0 จะเกิดปญหา คือ

มีจํานวนใดเปนคําตอบก็ได หรือไมมีคําตอบเลย

เนื่องจากการหารดวยศูนยมีปญหาเชนนี ้นัก

คณิตศาสตรจึงไมใชศูนยเปนตัวหาร

0=a×0=0×a เมื่อ a แทนจํานวนใดๆ

0เมื่อ a แทนจํานวนใดๆ ท่ีไมใช 0

ถา 0=b×a ดังนั้น 0=a หรือ 0=b เมื่อ b,a แทนจํานวน

ไมใช 0 เปนตัวหาร

นักเรียนเคยทราบวาจํานวนนับทีม่ี 2 เปนตัวประกอบ หรือจํานวนนับที่ 2 หารลงตัว เรียกวา

จํานวนคู สวนจํานวนนับที่ไมมี 2 เปนตัวประกอบหรือจํานวนนบัที่ 2 หารไมลงตัว เรียกวา

จํานวนค่ี

ในทางคณิตศาสตรบทนยิามของจํานวนคูและจํานวนค่ี อาจเขียนไดดังนี ้

ใหนักเรียนตอบคําถามตอไปนี ้

1. นักเรียนคิดวา 0 เปนจํานวนคูหรือจํานวนค่ี

2. จํานวนเต็มใดบาง ที่เปนจํานวนคู

3. จํานวนเต็มใดบาง ที่เปนจํานวนค่ี

ใหนักเรยีนตอบคําถามตอไปน้ี ขอ 1. จงหาคาของ

1) 0 × (-83) = 2) -22 × 1 =

3) (-14) × (-18) × 0 = 4) 1 × (-88) =

5) -a × 0 = 6) -c × 1 =

7) 0 + (-88) = 8) 0 ÷ 46 =

9) (-21) + 0 = 10) 0

21− =

ขอ 2. จงหาคาของตัวแปรทีแ่ทนประโยคแลวเปนจริง

1) a × 5 = 0 2) c ÷ c = 1

3) x + 8 = 0 4) 4 – y = 0

5) 12 × a = 1 6) c ÷ 1 = c

7) a × a = 1 8) c ÷ 12 = 1

9) 12 × x = 12 10) y ÷ 8 = 0

บทนิยาม จํานวนคู คือ จํานวนเต็มที่ 2 หารลงตัว และ จํานวนค่ี คือ จํานวนเต็มที่

2 หารไมลงตัว

11) 3a = 0 12) 7 ÷ x = 7

13) 5 + x = 5 14) 6 × a = 1

15) a( a – 4 ) = 0 16) ( a – 5 )( a + 3 ) = 0

17) 0 ÷ a = 0 18) a + a = 0

19) a – a = 0 20) a × a = a

2.6 สมบัติการเทากัน สมบัติการบวกและการคูณของจาํนวนเต็มบวก เมื่อนักเรียนบวกจํานวนสองจํานวน เชน 27 กับ 48 นักเรียนจะใชจํานวนใดเปนตัวต้ังก็ได

เพราะผลลัพธเทากัน นัน่คือ

27 + 48 = 48 + 27

จํานวนเต็มบวกทุกจํานวนและศูนยมีสมบัติการบวกดังกลาวขางตน เราเรียกสมบัตินี้วา สมบัติ

การสลับที่สําหรับการบวก

ในทาํนองเดียวกันเมื่อคูณจํานวนเต็มบวก( หรือศูนย ) สองจํานวนใดๆ เชน 62 กับ 100 จะได

62 × 100 = 100 × 62

สมบัติขอนี้เรียกวา สมบัติการสลับที่สําหรับการคูณ

พิจารณาการบวกจํานวนมากกวาสองจํานวนข้ึนไป เชน ในการหาผลบวกของ 5 + 15 + 32

สมมุติวาจะไมเปล่ียนแปลงลําดับของจํานวนทัง้สามที่เรียงไว

ถาจะหา 5 + 15 กอน เขียน 5 + 15 ไวในวงเล็บแลวหาผลบวกดังนี ้

( 5 + 15 ) + 32 = 20 + 32 = 52

ถาจะหา 15 + 32 กอน เขียน 15 + 32 ไวในวงเล็บแลวหาผลบวกดังนี ้

5 + ( 15 + 32 ) = 5 + 47 = 52

จะเหน็วา ( 5 + 15 ) + 32 = 5 + ( 15 + 32 )

จํานวนเต็มบวกทุกจํานวนและศูนยมีสมบัติดังกลาว เรียกสมบัตินีว้า สมบัติการเปลี่ยนกลุม

สําหรับการบวก

นักเรียนคิดวา จํานวนเต็มบวกทุกจํานวนและศูนยมสีมบัติการเปล่ียนกลุมสําหรับการคูณ

หรือไม ใหยกตัวอยาง

ในการเขียนสมบัติตางๆ ของจํานวนเต็มบวกเพื่อใหส้ันและกะทัดรัด เราใชประโยคที่มีตัวแปร

แทนจํานวนเต็มบวกใดๆ ประโยคขางลางเปนจริงสําหรับทุกจํานวนที่แทน a , b และ c

( a + b ) + c = a + ( b + c )

a + b = b + a ab = ba

สมบัติการเปลี่ยนกลุม

ให a , b และ c แทนจํานวนเต็มบวกใดๆ ให a , b และ c แทนจํานวนเต็มบวกใดๆ

( ab )c = a( bc )

การบวก การคูณ

สมบัติการสลับท่ี

ให a และ b แทนจํานวนเต็มบวกใดๆ ให a และ b แทนจํานวนเต็มบวกใดๆ

สมบัติการแจกแจงเปนสมบัติที่เชื่อมระหวางการบวกและการคูณดังในตัวอยาง

3 (7 5)× + = (3 7) (3 5)× + ×

(10 3) 4+ × = (10 4) (3 4)× + ×

สมบัติการแจกแจง

ให a , b และ c แทนจํานวนเต็มบวกใดๆ

a( b + c ) = ( ab ) + ( ac )

( b + c )a = ( ba ) + ( ca )

อันที่จริงแลว สมบัติการสลับที่สําหรับการบวกและการคูณ สมบัติการเปล่ียนกลุมสําหรับการ

บวกและการคูณ และสมบัติการแจกแจงสําหรับการคูณบนการบวก เปนสมบัติของจํานวนทกุ

จํานวน ซึ่งนักเรียนจะไดพบในตอนตอไป

จากประโยคทีเ่ขียนแสดงสมบัติตางๆ ขางตน นกัเรียนควรสงัเกตไดวามีการใชวงเล็บเพื่อ

แสดงลําดับของการคํานวณ เชน เมื่อเขียน a× ( b + c ) หมายความวา ตองหาผลบวกของ b กับ

c กอน แลวจงึนาํผลบวกมาคูณกับ a แตถาเขียน ( a× b ) + ( a× c ) หมายความวา a× b และ

a× c เสร็จแลวนําผลคูณมาบวกกัน

ใหนักเรยีนตอบคําถามตอไปน้ี ขอ 1. จงบอกวาแตละขอตอไปนี้ใชสมบัติการเทากนัในขอใด ( สมบัติการสลับที ่ , สมบัติ

การเปล่ียนกลุม หรือ สมบัติการแจกแจง )

1) ( a + b )× 2 = 2× ( a + b ) ………………………………...

2) mn + ( xy + pq ) = ( mn + xy ) + pq ………………………………...

3) ( 3× 50 ) + ( 3× 20 ) – ( 3× 10 ) = 3× 60 ………………………………...

4) 2x + 2y + 2z = 2( x + y + z ) ………………………………...

5) ( a + b )c = ac + bc ………………………………...

6) [ (-2) + (-3) ] + (-4) = (-2) + [ (-3) + (-4) ] ………………………………...

7) ( 3 + m )× ( 2 – n ) = ( 2 – n )× ( 3 + m ) ………………………………...

8) ( a2× b2 )× c2 = a2

× ( b2× c2 ) ………………………………...

9) (-21) + (-12) = (-12) + (-21) ………………………………...

10) ( a× b )× c = c× ( a× b ) ………………………………...

11)mn + ( xy + pq ) = ( mn + xy ) + pq ………………………………...

12) ( 3× 50 ) + ( 3× 20 ) – ( 3× 10 ) = 3× 60 ………………………………...

13) 2x + 2y + 2z = 2( x + y + z ) ………………………………...

14) ( a + b )c = ac + bc ………………………………...

15) [ (-2) + (-3) ] + (-4) = (-2) + [ (-3) + (-4) ] ………………………………...

16) ( 3 + m )× ( 2 – n ) = ( 2 – n )× ( 3 + m ) ………………………………...

17) ( a2× b2 )× c2 = a2

× ( b2× c2 ) ………………………………...

18) (-21) + (-12) = (-12) + (-21) ………………………………...

19) ( a× b )× c = c× ( a× b ) ………………………………...

ขอ 2. จงเติมคําตอบลงในชองวางใหถูกตอง

1) 35 + 38 = ( ใชสมบัติการสลับที่ )

2) 25× (-36) = ( ใชสมบัติการสลับที่ )

3) ( a + b )× ( x + y ) = ( ใชสมบัติการสลับที่ )

4) mx + my = ( ใชสมบัติการสลับที่ )

5) 24 + ( 36 + 48 ) = ( ใชสมบัติการเปลี่ยนกลุม )

6) [ (-32)× (-18) ]× (-7) = ( ใชสมบัติการเปลี่ยนกลุม )

7) ( abc + pqr ) + xyz = ( ใชสมบัติการเปลี่ยนกลุม )

8) 2a× ( 3b× 4c ) = ( ใชสมบัติการเปลี่ยนกลุม )

9) 4× ( 5 + 9 ) = ( ใชสมบัติการแจกแจง )

10) ( 8 – 2 )× 7 = ( ใชสมบัติการแจกแจง )

11) a× ( 8 – 7 + 6 ) = ( ใชสมบัติการแจกแจง )

12) ( x + y – z )× 3 = ( ใชสมบัติการแจกแจง )

ขอ 3. จงเติมคําตอบลงในชองวางใหถูกตอง พรอมทัง้บอกสมบัติการเทากนัที่ใชในแตละขอ

1) 2× ( a – b ) = – ( 2× b )