หน่วยที่ 8 จำนวนเชิงซ้อน¸«น่วยที่-8... ·...

233

แบบทดสอบก(อนเรยน หน(วยท 8 จำนวนเชงซ9อน

จงเลอกคาตอบท/ถกตองท/สดเพยงขอเดยว

1. จงแปลงจานวนเซงซอนรป แกนมมฉาก ใหอยในรป เชงขGว

ก. ข.

ค. ง.

2. จงแปลงจานวนเซงซอนรป เชงขGว ใหอยในรป แกนมมฉาก

ก. ข.

ค. ง.

3. จงหาผลบวกของ

ก. ข.

ค. ง.

4. จงหาผลลบของ

ก. ข.

ค. ง.

5. ถา จงหา

ก. 7 ข. 1

ค. -12 ง. 25

6. ถา จงหา และ

ก. ข.

ค. ง.

7. จงหาผลคณ

ก. ข.

ค. ง.

8. จงหาผลหาร

ก. ข.

ค. ง.

9. จงหาผลหาร

ก. ข.

ค. ง.

4j3+

°-- 13.53/5 °- 13.53/5

°13.53/5 °86.36/5

°3.56/2.7

6j4-- 6j4+-

6j4- 6j4+

)6j5()4j3( +-+-

2j2+- 2j2+

2j1-- 1j2-

)45/07.7()5j5( °-++

5j10+ 10j5+

0j10+ 10j0-

4j3-=Z *ZZ

°= 60/15Z *Z *ZZ

225,60/15 ° 225,60/15 °-

225,60/30 °- 225,120/30 °

)2j2()4j5( ++

18j2+ 18j2-

18j2 +- 18j2--

)2j2()4j5(

++

25.0j25.2 -- 25.0j25.2 -

25.2j25.2 + 25.0j25.2 +

)90/15()120/60(

°°

°30/75 °210/75

°210/4 °30/4

234

10. จงหาผลคณ

ก. ข.

ค. ง.

)90/10)(30/6( °°

°60/4 °60/60

°120/4 °120/60

235

หน(วยท 8 จำนวนเชงซ9อน

สาระสาคญ

จำนวนเชงซอน(Complex Number) เปนตวดำเนนการทางคณตศาสตร ประกอบดวย จำนวน

จรง กบ จำนวนจนตภาพ การดำเนนการทางคณตศาสตรของจำนวนเชงซอน กเหมอนกบการดำเนนการ

ของจำนวนจรงคอ การบวก ลบ คณ หาร การบวกลบจำนวนเชงซอนนยมทำในรปแบบแกนมมฉาก

สวนการคณหารจะทำในรปแบบเชงขว

เน,อหาสาระ

8.1 จานวนเชงซอนในรปแบบแกนมมฉาก(Rectangular form) และ ในรปเชงขGว(Polar form)

8.2 การ บวก – ลบ จานวนเชงซอน

8.3 การ คณ – หาร จานวนเชงซอน

จดประสงคการเรยนร

จดประสงคท;วไป เพ/อใหผเรยนมความรและเขาใจในเร/อง :

8.1 จานวนเชงซอนในรปแกนมมฉาก(Rectangular) และรปเชงขGว(Polar)

8.2 การแปลงจานวนเชงซอนในรปแกนมมฉาก(Rectangular) และรปเชงขGว(Polar)

8.3 การบวก – ลบ จานวนเชงซอน 8.4 การคณ – หาร จานวนเชงซอน

จดประสงคเชงพฤตกรรม หลงจากเรยนจบบทเรยนนGแลว ผเรยนควรมความสามารถดงนG

8.1 แปลงจานวนเชงซอน จากรปแกนมมฉาก(Rectangular) เปนรปเชงขGว(Polar) ได

8.2 แปลงจานวนเชงซอน จากรปเชงขGว(Polar) เปนรปแกนมมฉาก (Rectangular) ได

8.3 หาผลลพธจากการ บวก – ลบ จานวนเชงซอน ได

8.4 หาผลลพธจากการ คณ – หาร จานวนเชงซอน ได

236

0

j-

j

2j

3j

¥-

2j-

3j-

¥+

0j- j 2j 3j¥-

2j-3j-¥+

หนวยท; 8 จานวนเชงซอน

จานวนเชงซอน(Complex Number) เปนตวดาเนนการทางคณตศาสตร ประกอบดวย

จานวนจรง และ จานวนจนตภาพ จานวนเชงซอน เม/อนามาดาเนนการทางคณตศาสตร เชน บวก ลบ

คณ และหาร การดาเนนการดงกลาว จะตองพจารณาทGง ขนาดและมม เชน ในวงจรไฟฟากระแสสลบ

แบบตางๆ

เลขจานวนจรง (Real Number)

เลขจานวนจรง คอ จานวนเลขท/เราสามารถทราบคาไดวามมากหรอนอยเพยงใด เลข

จานวนจรงมทGงคาบวก และคาลบ จากรปท/ 8.1 แสดงเสนจานวนจรง จดก/งกลาง คอ 0 ไปทางขวาเปน

คา บวก จนถง และทางซาย เปนคาลบ จนถง

รปท/ 8.1 แสดงเสนจานวนจรง

จานวนจนตภาพ (Imaginary Number)

จานวนจนตภาพ หมายถง จานวนท/ไมทราบคาแนนอนไดแก ตวเลขคาตดลบท/อยใน

เคร/องหมายรากท/ 2 เชน ท/ซ/ งไมอาจหาคาท/แนนอนได นกคณตศาสตรจงได

จดระบบตวเลขดงกลาวขGนมาอก เรยกวา จานวนจนตภาพ โดยกาหนดให เปนหนวยจนตภาพ มคา

เปนดงนG ดงนGน และ

รปท/ 8.2 แสดงเสนจานวนจนตภาพ

¥+ ¥-

....4,2,1 ---

j

1j -= 111j2 -=-´-= jjjj 23 -=´=

1)1)(1(jjj 224 =--=´=

237

jy+

jy-

4j3+=5j5+-=

4j6--=5j6 -=

x+x-

0j6 +=

6j0 +=

0j4+-=

Imagin

Real

1Z2Z

3Z

4Z

5Z 6Z

7Z

0

ระนาบเชงซอน(Complex Plane)

เม/อนาเอาเสนระบบจานวนจรง และเสนระบบจานวนจนตภาพ มาประกอบกน กจะไดระนาบ

เชงซอน ท/สามารถ ระบจดใดๆ ท/สามารถแทนคาจานวนเชงซอน ดงกลาวได ดงนGนระนาบเชงซอน

ประกอบดวย เสนจานวนจรงอยในแนวนอน( แกน x ) และเสนระบบจานวนจนตภาพ ใหอยในแนวตGง

( แกน y )

เลขของจานวนเชงซอน ท/เขยนอยในรปของ เม/อ x และ y เปนเลขจานวนจรงใด ๆ

โดยเรยกสวนของ x วาสวนจรง(Real : Re) และ y วาสวนจนตภาพ(Imaginary : Im) เลขจานวน

ดงกลาวนG เรยกวาจานวนเชงซอน ดงแสดงในรปท/ 8.3

รปท/ 8.3 แสดงคาจานวนเชงซอนท/กาหนดลงใน Complex Plane ในรปแบบของแกนมมฉาก

8.1 จานวนเชงซอน ในรปแบบแกนมมฉาก(Regtangular Form) และ ในรปแบบเชงข,ว(Polar Form)

จานวนเชงซอน ในรปแบบแกนมมฉาก คอรปแบบของจานวนเชงซอนท/เขยนในรปของ

เม/อนาไปเขยนลงใน ระนาบเชงซอน ตาแหนงของจานวนจรงจะบอกขนาดของ x และ

จานวนจนตภาพจะบอกขนาดของ y เม/อขดเสนตรงจากจดของจานวนเชงซอน ไปยงแกน x และ y

รปรางและขนาด จะมลกษณะเปนรปส/เหล/ยมผนผา หรอ จตรส ถาขนาดของจานวนจรง เทากนกบ

จานวนจนตภาพ ดงแสดงในรปท/ 8.4

yjx+

yjx +=Z

238

jy+

jy-

4j3+=5j5+-=

4j6--=5j6 -=

x+x-

Imagin

Real

1Z2Z

3Z

4Z

0

jy+

jyx+=

x+

Imagin

Real

Zq/rZ =

0q

x

y

r

รปท/ 8.4 แสดงรปรางของจานวนเชงซอนในรปแบบแกนมมฉาก

จานวนเชงซอนในรปแบบเชงขGว เขยนไดในรปของ โดยคาของ เรยกวาคา

สมบรณ (Absolute Value) ของ จานวนเชงซอน โดย เร/มจากจด origin ลากไปหาจด Z และ คอ

มมของ จานวนเชงซอน วดจากแกน x ขGนไปหาเสนตรง r ดงรปท/ 8.5

รปท/ 8.5 แสดงจานวนเชงซอนในรปแบบเชงขGวเทยบกบรปแบบแกนมมฉาก

พจารณารปท/ 8.5 ใชทฤษฎ พธากอรส และพGนฐานตรโกณมต จะไดความสมพนธระหวาง

จานวนเชงซอนในรปแบบเชงขGวเทยบกบรปแบบแกนมมฉาก ดงนG

q/r=Z r

r q

239

จาก

แปลงจานวนเชงซอนในรปแบบเชงขGว จาก รปแบบแกนมมฉาก ดงนG

หรอ …………….(8.1)

และ …………….(8.2)

แปลงจานวนเชงซอน รปแบบแกนมมฉาก จากรปแบบเชงขGว ดงนG

…………….(8.3)

…………….(8.4)

หรอ

ดงนGน …………….(8.5)

ตวอยางท; 8.1 จงแปลงจานวนเชงซอนแกนมมฉาก ใหเปนรป เชงขGว

วธทา จาก ดงนGน

จากสมการ(8.1)

และจากสมการ(8.2)

เพราะฉะนGน …. ……………..ตอบ

ตวอยางท; 8.2 จงแปลงจานวนเชงซอนเชงขGว ใหเปนรป แกนมมฉาก

วธทา จาก ดงนGน

จากสมการ(8.3 , 8.4) และ

จะได

และ

เพราะฉะนGน ……. ……………..ตอบ

q/r=Z

222 yxr +=22 yxr +=

÷øö

çèæ= -

xytan 1q

qcosrx =

qsinry =

qsinjrjy =

)sinj(cosr qq +=Z

40j30+=Z

40j30+=Z 04y,03x ==

)y(xr 22+=22 )40()30(r += 1600900+=

502500r ==

÷øö

çèæ= -

xytan 1q

÷øö

çèæ= -

3040tan 1q ( )33.1tan 1-=

°= 13.53q

°=+= 13.53/5040j30Z

°= 87.36/100Z

q/r=Z °== 87.36,50r q

qcosrx = qsinry =

( )°= 87.36cos100x

( ) 808.0100 ==

( )°= 87.36sin100y

( ) 606.0100 ==

60j8087.36/100 +=°=Z

240

ตวอยางท; 8.3 จานวนเชงซอนในรปเชงขGว จงแปลงเปนรปแกนมมฉาก

วธทา จาก

……….…….. ……..ตอบ

8.2 การบวกและลบจานวนเชงซอน

การบวกและลบจานวนเชงซอน ตองทาใหอยในรปแกนมมฉาก ทาไดโดยการ

บวกหรอลบสวนจรงกบสวนจรงและสวนจนตภาพกบสวนจนตภาพ

กาหนดให และ

จะได

และ

ตวอยางท; 8.4 จงทาใหเปนผลสาเรจ 1) และ 2)

วธทา 1)

…………..…….…..ตอบ

2)

……………...…….ตอบ

ตวอยางท; 8.5 จงหาผลลบจานวนเชงซอนตอไปนG

วธทา แปลงใหอยในรปแกนมมฉาก

และ

ดงนGน

…….………..…….ตอบ

°-= 70/50Z

)sinj(cosr qq +=Z

( ))70sin(j)70(cos50 °-+°-=Z

( ))9397.0j()342.0(05 -+=

47j17 -=Z

( )jyx+=Z

jba+=1Z jdc+=2Z

d)j(bc)(a +++=+ 21 ZZ

d)j(bc)(a -+-=- 21 ZZ

)4j2()3j1( ++- )7j2()5j1( ----

)43j()21()4j2()3j1( +-++=++-

j3+=

)75j()21()7j2()5j1( +-++=----

2j3+=

°-° 60/430/5

( )°+°=° 30sinj30cos530/5

( )5.0j866.05 +=

5.2j33.4 +=

( )°+°=° 60sinj60cos460/4

( )866.0j5.04 +=

464.3j2+=

( ) ( )464.3j25.2j33.460/430/5 +-+=°+°

964.0j33.2 -=

241

8.3 การคณและหารจานวนเชงซอน

8.3.1 การคณจานวนเชงซอน

ถาจานวนเชงซอน และ อยในรปเชงขGว คณกนไดโดยการนาคา มาคณกนและนาคา

มม มาบวกกน ดงนG

ถา

หนวยของ เปนองศา

ถาจานวนเชงซอนอยในรปแกนมมฉาก การคณทาไดโดยใชวธการคณแบบพชคณต

กาหนดให และ

ตวอยางท; 8.6 กาหนดให จงหาคา

วธทา

……………...………..ตอบ

ตวอยางท; 8.7 กาหนดให จงหาคา

วธทา

…………….….……..ตอบ

ตวอยางท; 8.8 ถา , จงหาคา

วธทา

………………….……ตอบ

1Z 2Z r

q

;/r 11 q=1Z 22 /r q=2Z

21 ZZ ´ 2211 /r/r qq ´=

)/(rr 2121 qq +´= q

jba+=1Z jdc +=2Z

jd)jb)(c(a ++=´ 21 ZZ

bdjjadjbcac 2+++=

,2j3+=1Z 3j4+=2Z 21ZZ

21ZZ )3j4)(2j3( ++=

6j8j9j12 2+++=

6)1(17j12 -++=

17j612 +-=

17j6+=

°=°= 45/5,60/6 21 ZZ 21ZZ

( )( )°+°´= 45/60/5621ZZ

°= 105/30

3j1+=1Z 2j2--=2Z 21ZZ

21ZZ )2j2()3j1( --+=

( ) ( ) ( ) ( ))2j(3j)2(3j)2j(1)2(1 -´+-´+-´+-´=

6j6j2j2 2----=

6)1(8j2 ----=

68j2 +--=

8j4-=

242

8.3.2 การ Conjugate จานวนเชงซอน

Conjugate ของจานวนเชงซอน คอ การเปล/ยนเคร/องหมายของสวนจนตภาพ สวน

เคร/องหมายของสวนจรงยงคงเดม เชน จานวนเชงซอน Conjugate ของจานวนเชงซอน ก

คอ หรอ Conjugate ของ คอ เปนตน ถา Conjugate ของ Z

เขยนแทนดวย (แซดสตาร) คอ

ตวอยางท; 8.9 ถา จงหาคาของ และ

วธทา

...........……..…………ตอบ

จะเหนวาเม/อนาจานวนเชงซอน และ Conjugate ของมนคณกนแลวผลท/ไดรบจะเหลอคาจรง

เพยงคาเดยวสาหรบจานวนเชงซอนในรปเชงขGว เขยนไดดงนG

ในรปเชงขGว ;

8.3.3 การหารจานวนเชงซอน

จานวนเชงซอนในรปเชงขGว 2 จานวนทาการหารกนทาไดโดย การนาคา r มาหารกน และ

นามม ของตวตGงลบกบมม ของตวหาร

ในกรณจานวนเชงซอนในรปแกนมมฉาก ถาจะทาการหารกนทาไดโดยใหนาเอา

Conjugate ของตวสวนคณทGงเศษและสวน

ตวอยางท; 8.10 จงหาผลหารของ

วธทา

……..………………ตอบ

ตวอยางท; 8.11 ถา และ จงหาคา

วธทา

4j2+

4j2- 6j3-- 6j3+- yjx+=Z*Z yjx-=*Z

5j2 -=Z *Z *ZZ

5j2+=*Z*ZZ )5j2()5j2( +-=

25j10j10j4 2--+=

29254 =+=

q/r=Z q-= /r*Z

q q

°-°

60/530/15

°-°

60/530/15 ))60(30/(

515

°--°=

°= 90/3

4j5-=1Z 2j3+=2Z2

1

ZZ

2

1

ZZ

2)j3()4j5(

+-

=2)j3(2)j3(

2)j3()4j5(

--

´+-

=

243

…………….......………ตอบ

4j6j6j98j21j10j15

2

2

-+-+--

=

4j98)1(22j15

2--+-

=

49822j15

+--

=

1322j7 -

=

69.1j54.0 --=

244

สรปสาระสำคญ

จานวนเชงซอนรป แกนมมฉาก เขยนไดดงนG

จานวนเชงซอน รปเชงขGว เขยนไดดงนG

สรปการแปลงจานวนเชงซอน รปแกนมมฉาก จากรปเชงขGว ดงนG

และแปลงจานวนเชงซอนรปเชงขGวจากรปแกนมมฉากจาก ดงนG

การบวก – ลบ เลขเชงซอนทาไดโดย นาคาจานวนจรงบวก – ลบ กน และคาจานวนจนตภาพ

บวก – ลบกน โดยการบวก – ลบ เลขเชงซอนตองอยในรปแกนมมฉาก เทานGน สวนการคณหารถา

แปลงใหอยในรปเชงขGว จะทาไดงายโดยนาคาจานวนจรงมาคณ – หาร แลวนาคามมมาบวก – ลบกน

yjx+=Z

q/r=Z

qcosrx =

qsinry =

)y(xr 22+=

÷øö

çèæ= -

xytan 1q

245

แบบฝBกหด หน(วยท 8 จำนวนเชงซ9อน

1. จงแสดงวธแปลงจานวนเชงซอนตอไปนGใหอยในรปเชงขGว

1.1) 1.2) 1.3) 1.4)

2. จงแสดงวธแปลงจานวนเชงซอนตอไปนGใหอยในรปแกนมมฉาก

2.1) 2.2) 2.3) 2.4)

3. จงหาผลบวกและผลลบเลขจานวนเชงซอนตอไปนG

3.1) 3.2) 3.3)

3.4)

4. จงหาคา และ

4.1) 4.2) 4.3) 4.4)

5. จงแสดงวธการคณและหารจานวนเชงซอนตอไปนG

5.1) 5.2) 5.3)

5.4)

คาตอบ

1.1) 1.2) 1.3) 1.4)

2.1) 2.2) 2.3) 2.4)

3.1) 3.2) 3.3) 3.4)

4.1) 4.2) 4.3) 4.4)

5.1) 5.2)

5.3) 5.4)

4j3+ 3j2+- 3.0j4.0 - 100j60-

°150/30 °-120/50 °- 45/20 °13.53/5

)10j(33)j5( --- )135/07.7()5j5( °-- )4j(26)j4( ++-

)8j5()45/25( --°

*Z *ZZ

5j3-=Z °= 60/10Z 8j6+=Z °-= 50/30Z

)90/35(,)135/70( °°- )4j3(,)10j5( -+ )8j6(,10j +

)120/6(,)50/12( °°

°13.53/5 °- 31.56/6.3 °- 86.36/5.0 °- 04.59/62.116

15j26+- 30.43j25-- 14.14j14.14 - 4j3+

7j2+ 10j10- 2j6 - 67.25j67.12 +

34,5j3- 100,60/10 °- 100,8j6- 900,50/30 °

°-°- 225/2,45/450,2 )2j1(,)10j55( +-+

)6.0j8.0(,)60j80( -+- °-° 70/2,170/72

246

แบบทดสอบหลงเรยน หน(วยท 8 จำนวนเชงซ9อน

จงเลอกคาตอบท/ถกตองท/สดเพยงขอเดยว

1. จงแปลงจานวนเซงซอนรป แกนมมฉาก ใหอยในรป เชงขGว

ก. ข.

ค. ง.

2. จงแปลงจานวนเซงซอนรป เชงขGว ใหอยในรป แกนมมฉาก

ก. ข.

ค. ง.

3. จงหาผลบวกของ

ก. ข.

ค. ง.

4. จงหาผลลบของ

ก. ข.

ค. ง.

5. ถา จงหา

ก. 7 ข. 25

ค. –12 ง. 1

6. ถา จงหา และ

ก. ข.

ค. ง.

7. จงหาผลคณ

ก. ข.

ค. ง.

8. จงหาผลหาร

ก. ข.

ค. ง.

9. จงหาผลหาร

ก. ข.

ค. ง.

4j3+

°13.53/5 °-- 13.53/5

°- 13.53/5 °86.36/5

°3.56/2.7

6j4-- 6j4+

6j4- 6j4+-

)6j5()4j3( +-+-

2j2+ 2j2+-

2j1-- 1j2-

)45/07.7()5j5( °-++

5j10+ 10j5+

10j0+ 0j10-

4j3-=Z *ZZ

°= 60/15Z *Z *ZZ

225,60/15 °- 225,60/15 °

225,60/30 °- 225,120/30 °

)2j2()4j5( ++

18j2- 18j2+

18j2 +- 18j2--

)2j2()4j5(

++

25.0j25.2 - 25.0j25.2 --

25.2j25.2 + 25.0j25.2 +

)90/15()120/60(

°°

°30/75 °210/75

°30/4 °210/4

247

10. จงหาผลคณ

ก. ข.

ค. ง.

)90/10)(30/6( °°

°60/4 °120/60

°120/4 °60/60

248

เอกสารอ9างอง

นภทร วจนเทพนทร. วจตร ศลคณ. ประเสรฐ ป/ นปฐมรฐ. วงจรไฟฟากระแสสลบ. กรงเทพฯ :

ศนยสงเสรมอาชวะ , 2543

มงคล ทองสงคราม . ทฤษฎวงจรไฟฟา2. กรงเทพฯ : หจก. ว.เจ.พรGนตGง , 2540

ไมตร วรวฒจรรยากล. ทฤษฎวงจรไฟฟา เลม 4 . กรงเทพฯ : ศนยการพมพพลชย , 2540

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. คณตศาสตร เลม 2 กลมสาระการเรยนรเพ/มเตม.

ชGนมธยมศกษาปท/5. กรงเทพฯ : โรงพมพครสภา ลาดพราว , 2552

สภาภรณ แกวศกดา. อเลกทรอนกส 1. พมพครG งท/ 9 . กรงเทพฯ : สานกพมพมหาวทยาลยรามคาแหง ,

2548

Alan Jeffrey . ESSENTIALS OF ENGIEERING MATHEMATICS. Singapore. Chapman & Hall. 1992

Charles K. Alexander Matthew N.O. Sadiku. Fundamentals of Electric Circuits. Second

Edition Singapore. McGraw-Hill. 2004

249

ภาคผนวก - เฉลยแบบทดสอบก(อนเรยนและหลงเรยน

- เฉลยแบบฝBกหดท9ายหน(วย

250

เฉลยแบบทดสอบก(อนเรยนและหลงเรยน

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยนหนวยท; 8

1. ค. 2. ง. 3. ก. 4. ค. 5. ง. 6. ข. 7 ก. 8. ข. 9. ง. 10. ง.

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยนหนวยท; 8

1. ก. 2. ข. 3. ข. 4. ง. 5. ข. 6. ก. 7 ข. 8. ก. 9. ค. 10. ข.

251

เฉลยแบบฝBกหด หน(วยท 8 จำนวนเชงซ9อน

1. จงแสดงวธแปลงจานวนเชงซอนตอไปนGใหอยในรปเชงขGว

1.1) 1.2) 1.3) 1.4)

1.1)

ดงนGนจะได ……………..…….…... ตอบ.

1.2)

ดงนGนจะได ……..............…… ตอบ.

1.3)

ดงนGนจะได ……….……......... ตอบ.

1.4)

ดงนGนจะได …………..………… ตอบ.

4j3+ 3j2+- 3.0j4.0 - 100j60-

4j3+

52543yxr 2222 ==+=+=

°=÷øö

çèæ=÷

øö

çèæ= -- 13.53

34tan

xytan 11q

°=+ 13.53/54j3

3j2+-

6.3133)2(yxr 2222 ==+-=+=

°-=÷øö

çèæ-

=÷øö

çèæ= -- 31.56

23tan

xytan 11q

°-=+- 31.56/6.33j2

3.0j4.0 -

5.025.0)3.0()4.0(yxr 2222 ==-+=+=

°-=÷øö

çèæ -=÷

øö

çèæ= -- 86.36

4.03.0tan

xytan 11q

°-=- 86.36/5.03.0j4.0

100j60-

62.116600,13)100()60(yxr 2222 ==+=+=

°-=÷øö

çèæ -=÷

øö

çèæ= -- 04.59

60100tan

xytan 11q

°-=- 04.59/62.116010j60

252

2. จงแสดงวธแปลงจานวนเชงซอนตอไปนGใหอยในรปแกนมมฉาก

2.1) 2.2) 2.3) 2.4)

2.1)

ดงนGน …………………… ตอบ

2.2)

ดงนGน …..……………… ตอบ

2.3)

ดงนGน …………………... ตอบ

2.4)

ดงนGน …………………… ตอบ

3. จงหาผลบวกและผลลบเลขจานวนเชงซอนตอไปนG

3.1) 3.2) 3.3)

3.4)

3.1)

จะได …………..……... ตอบ

°150/30 °-120/50 °- 45/20 °13.53/5

°150/30

98.25)866.0(30)150(cos30cosrx -=-=°== q

15)5.0(30)150(sin30sinry ==°== q

15j26150/30 +-=°

°-120/50

25)5.0(50)120(cos50cosrx -=-=°-== q

30.43)866.0(50)120(sin50sinry -=-=°-== q

3.43j25120/50 --=°-

°- 45/20

14.14)707.0(20)45(cos20cosrx ==°-== q

14.14)07.7(20)45(sin20sinry -=-=°-== q

14.14j14.1445/20 -=°-

°13.53/5

3)6.0(5)13.53(cos5cosrx ==°== q

4)8.0(5)13.53(sin5sinry ==°== q

4j313.53/5 +=°

)10j(33)j5( --- )135/07.7()5j5( °-- )4j(26)j4( ++-

)8j5()45/25( --°

10j3j35)10j3()3j5( +--=---

)10j(33)j5( --- 7j2+=

253

3.2)

แปลง ใหเปนรปแกนมมฉาก

จะได

ดงนGน …..……………... ตอบ

3.3)

…..……………... ตอบ

3.4)

แปลง ใหเปนรปแกนมมฉาก

จะได

ดงนGน …………..……….. ตอบ

4. จงหาคา และ

4.1) 4.2) 4.3) 4.4)

4.1)

……………………… ตอบ

4.2)

……………... ตอบ

4.3)

ดงนGน ……………..……… ตอบ

4.4)

…………….… ตอบ

)135/07.7()5j5( °--

°135/07.7

5)707.0(07.7)135(cos07.7cosrx -=-=°== q

5)707.0(07.7)135(sin07.7sinry ==°== q

5j5135/07.7 +-=°

10j10)5j5()5j5( -=+---

)4j(26)j4( ++-

4j6j24)4j(26)j4( +-+=++-

2j6 -=

)8j5()45/25( --°

)45/25( °

67.17)707.0(25)45(cos25cosrx ==°== q

67.17)707.0(25)45(sin25sinry ==°== q

67.17j67.1745/25 +=°

67.25j67.12)8j5()67.17j67.17( +=--+

*Z *ZZ

5j3-=Z °= 60/10Z 8j6+=Z °-= 50/30Z

5j3-=Z )5j3( +=\ *Z

25j15j15j9)5j3)(5j3( 2--+=+-=*ZZ

)25)(1(9 --=

34259 =+=

°= 60/10Z °-=\ 60/10*Z

1000/1006060/100)60/10)(60/10( =°=°-°=°-°=*ZZ

8j6+=Z 8j6-=\ *Z

64j48j48j36)8j6)(8j6( 2-+-=-+=*ZZ*ZZ 100643664)1(36 =+=--=

°-= 50/30Z °=\ 50/30*Z

9000/9005050/900)50/30)(50/30( =°=°-°=°-°=*ZZ

254

5. จงแสดงวธการคณและหารจานวนเชงซอนตอไปนG

5.1) 5.2) 5.3)

5.4)

5.1)

……………….. ตอบ

………..………. ตอบ

5.2)

………………… ตอบ

………………… ตอบ

5.3)

……….………... ตอบ

…………..……… ตอบ

5.4)

………………… ตอบ

………………… ตอบ

)90/35(,)135/70( °°- )4j3(,)10j5( -+ )8j6(,10j +

)120/6(,)50/12( °°

)90/35(,)135/70( °°-

°-=°+°-´=°°- 45/450,2)90135/()3570()90/35)(135/70(

( ) °-=°-°-÷øö

çèæ=

°°- 225/290135/

3570

)90/35()135/70(

)4j3(,)10j5( -+

40j20j30j15)4j3)(10j5( 2--+=-+

)40()1(10j15 --+=

10j55 +=

22

2

4340j20j30j15

4)j(34)j(3

4)j(310)j(5

4)j(310)j(5

++++

=++

´-+

=-+

2550j25

25(40))1(50j15 +-

=-++

=

2j1+-=

)8j6(,10j +

80j60j)8j6()10j0( 2+=++

08)1(06j -+=

60j80)8j6()10j0( +-=++

22

2

8680j60j

8)j(68)j(6

8)j(610)j(0

8)j(610)j(0

+-

=--

´++

=++

646380j60j

8)j(610)j(0 2

+-

=++

0.6j0.810060j80

-=+

=

)120/6(,)50/12( °°

°=°+°´=°° 170/72)12050/()612()120/6)(50/12(

( ) °-=°-°÷øö

çèæ=

°° 70/212050/

612

)120/6()50/12(