โรงเรียนสอาดเผดิมวิทยา 15 2....

โรงเรยนสอาดเผดมวทยา ความสมพนธและฟงกชน 15

2. ฟงกชน (Function)

พจารณาแผนภาพแสดงความสมพนธตอไปน 1r 2r

A B A B 3r 4r

A B A B นนคอ ),(,),(,),( 635241r1 เปนฟงกชน ไมเปนฟงกชน ),(,),(,),( 535241r2 เปนฟงกชน ไมเปนฟงกชน ),(,),(,),(,),( 63525141r3 เปนฟงกชน ไมเปนฟงกชน ),(,),(,),( 434241r4 เปนฟงกชน ไมเปนฟงกชน

วธการตรวจสอบฟงกชน ม 3 แบบ ดงน ความสมพนธแบบแจกแจงสมาชก ** ดทสมาชก ตวหนา ของคอนดบ ** - ถาตวหนาซ า ตวหลงตองซ าดวยจงจะเปนฟงกชน แตถาตวหลงไมซ าดวยไมเปนฟงกชน - ถาตวหนาไมซ า เปนฟงกชนแนนอน ความสมพนธแบบบอกเงอนไข ** จดรปสมการ y ในเทอม x ** แลวแทนคา x หนงคาลงในสมการ ถา - ได y หนงคาเทานน เปนฟงกชน - ได y มากกวาหนงคา ไมเปนฟงกชน ความสมพนธแบบกราฟ ** ลากเสนตรงขนานแกน Y แลวดการตดของกราฟ ** - ถาตดกราฟ 1 จด เปนฟงกชน - ถาตดกราฟมากกวา 1 จด ไมเปนฟงกชน

นยาม ฟงกชน คอ ความสมพนธซงในสองคอนดบใด ๆ ของความสมพนธนน ถามสมาชกตวหนาเหมอนกนแลว สมาชกตวหลงตองไมตางกน

1 2 3

4 5 6

1 2 3

4 5 6

1 2 3

4 5 6

1 2 3

5

4

6

โรงเรยนสอาดเผดมวทยา ความสมพนธและฟงกชน 16

ตวอยางท 21 จงพจารณาความสมพนธตอไปนวาความสมพนธใดเปนฟงกชน 1. 2. 3. 4. 5. 5r 1,2 , 3,4 , 1,5 , 4,7 6. 6r 1,7 , 2,4 , 3,5 , 2,4

7. 7r (x, y) y 2 8. 8r (x, y) y x

9. 2

9r (x, y) y 3x 10. 10r (x, y) y x , x 0

11. 2

11r (x, y) y x, x 0 12. 12r (x, y) y x

ตวอยางท 22 จงพจารณากราฟของความสมพนธตอไปนวากราฟใดเปนฟงกชน 1. Y 2. Y

เปนฟงกชน ไมเปนฟงกชน

เปนฟงกชน ไมเปนฟงกชน

เปนฟงกชน ไมเปนฟงกชน

เปนฟงกชน ไมเปนฟงกชน

1r 2r

3r 4r

เปนฟงกชน ไมเปนฟงกชน

เปนฟงกชน ไมเปนฟงกชน

r r

X X

โรงเรยนสอาดเผดมวทยา ความสมพนธและฟงกชน 17

3. Y 4. Y

5. Y 6. 7. 8. 9. 10.

แบบฝกหดท 1.4 1. จงหาวาแผนภาพทก าหนดตอไปนแผนภาพใดแสดงความสมพนธทเปนฟงกชน 2. จงพจารณาวาความสมพนธแตละขอตอไปน เปนฟงกชนหรอไม 1. 0}15y10x|y) {(x,r 2. 0}52x|y) {(x,r

เปนฟงกชน ไมเปนฟงกชน

r

X

เปนฟงกชน ไมเปนฟงกชน

r

X

เปนฟงกชน ไมเปนฟงกชน

r

X

เปนฟงกชน ไมเปนฟงกชน

เปนฟงกชน ไมเปนฟงกชน

เปนฟงกชน ไมเปนฟงกชน

เปนฟงกชน ไมเปนฟงกชน

เปนฟงกชน ไมเปนฟงกชน

โรงเรยนสอาดเผดมวทยา ความสมพนธและฟงกชน 18

3. 0}43y|y) {(x,r 4. }yx|y) {(x,r 4

5. 16}4y2x|y) {(x,r 22 6. 1}xy|y) {(x,r

7. 16}4y2x|y) {(x,r 22 8. 164y2x|y) {(x,r 22 และ 0}x

9. 164y2x|y) {(x,r 22 และ 0}y 10. 1}yx|y) {(x,r

ขอตกลงเกยวกบสญลกษณของฟงกชน ถา f เปนฟงกชนและ fyx, แลว เรากลาววา y เปนคาของฟงกชน f ท x และคาของ ฟงกชน f ท x เขยนแทนดวย f(x) อานวา เอฟของเอกซ ดงนน y = f(x) ซงเขยนแสดงดวยแผนภาพ ไดดงน การเขยนแทนฟงกชนทเขยนในรปของเซตแบบบอกเงอนไขของสมาชกในเซต สามารถเขยนเฉพาะเงอนไขของฟงกชนซงอยในรปสมการ โดยก าหนด คา y ในรป x หรอก าหนด f(x) แทน y เชน ฟงกชน f ทเขยนแทนดวย 3x}y|y){(x, ยงสามารถเขยนแทนดวย 3xy หรอ 3xxf

x xfy

f

โรงเรยนสอาดเผดมวทยา ความสมพนธและฟงกชน 19

ตวอยางท 23 ก าหนดให 5xxf 2 จงหาคาของฟงกชน f ท x = 0, 1, 4

ตวอยางท 24 ก าหนดให 5x2xxf 2 จงหาคาของ xf เมอ 1,0,1}{x

ตวอยางท 25 ก าหนดให 5x

32xxf

จงหาคาของ f(0), f(a) และ f(a+1)

Note : ในกรณทไมไดก าหนดโดเมนของฟงกชนให จะถอวา โดเมนของฟงกชนเปนสบเซตของจ านวนจรง

ตวอยางท 26 จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชนตอไปน 1. f (x,y)|y 2x 2. f (x,y)|y 2x 1

3. 1f (x,y)|y

2

4. 2f (x,y)|y x 2

5. 2f (x,y)|y x 1 6. f (x,y)|y x 2

7. f (x,y)|y x 1 8. f (x,y)|y x 1

โรงเรยนสอาดเผดมวทยา ความสมพนธและฟงกชน 20

แบบฝกหดท 1.5 1. ก าหนดให f แทนฟงกชนทม 1,0,1,2}2,{Df จงเขยนเซตของคอนดบทแทนฟงกชน f เมอก าหนดให

1) 1xxf 2 2) 1x

3xxf

2

3) 2xxf 4) 4xxf 2. จากแผนภาพทก าหนดให จงหา df ,cf ,bf ,af 1) 2) 3. จงหาคาของฟงกชนทก าหนดใหตอไปน 1. 2xxxg 2 1) 2g 2) 3g

2. 1s

1sf

1) 4f 2) 1f

โรงเรยนสอาดเผดมวทยา ความสมพนธและฟงกชน 21

4. จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชนตอไปน 1) 12xy 5) 3xy 2

2) 2x5

3y

6) 25xy 2

3) 4xy 7) 23xy

4) y4y 8) 2

1y

5. จงหาโดเมนและเรนจ จากกราฟของฟงกชนตอไปน

6. จงหาคาประมาณของฟงกชนท x ทก าหนดใหจากกราฟตอไปน

โรงเรยนสอาดเผดมวทยา ความสมพนธและฟงกชน 22

ชนดของฟงกชน (Kinds of Functions) ฟงกชนและกราฟของฟงกชนสามารถน าไปใชแกปญหาทใชตวแปร และปญหาทเกยวกบ

ชวตประจ าวนได ดงนนเราจงไดน าบางฟงกชนมาเรยนในบทน 3.ฟงกชนเชงเสน (Linear Function) คอ ฟงกชนทอยในรป baxy เมอ ba, เปนจ านวนจรง และ 0a กราฟของฟงกชนเชงเสนจะเปนเสนตรง เชน

1) y = x 2) y = 2x + 1 3) y = -3x

หมายเหต

เพมเตม ในกรณทฟงกชน baxy เมอ 0a จะไดฟงกชนทอยในรป by ซงเราจะเรยกวา “ฟงกชนคงตว” (Constant Function) กราฟของฟงกชนคงตวจะเปนเสนตรงทขนานแกน X เชน

1y = 5 และ

2y = -5

X -1 0 1 Y

X 0 Y 0

X -1 0 1 Y

ฟงกชนทอยในรป baxy เมอ ba, เปนจ านวนจรง และ 0a กราฟของฟงกชนเชงเสนจะเปนเสนตรง ซงแบงออกไดเปน 2 ลกษณะคอ 1) ถา a > 0 กราฟเสนตรงจะท า มมแหลม กบแกน X 2) ถา a < 0 กราฟเสนตรงจะท า มมปาน กบแกน X

1. ฟงกชนทอยในรป baxy เมอ ba, เปนจ านวนจรง และ 0a แต b = 0 กราฟจะผานจด (0,0) เสมอ และเพอความรวดเรวในการวาดกราฟ เลอกคา X อยางนอย 3 จด เชน เลอกเปน -1, 0 และ 1 2. การวาดกราฟของฟงกชนทอยในรป baxy เมอ ba, เปนจ านวนจรง และ 0a ใหเลอกจดตดแกน X (y = 0) เลอกจดตดแกน Y (x = 0) แลวลากเสนตรงผานสองจดดงกลาว

1. ถา b > 0 กราฟจะอย เหนอ แกน X 2. ถา b < 0 กราฟจะอย ใต แกน X

โรงเรยนสอาดเผดมวทยา ความสมพนธและฟงกชน 23

ตวอยางท 27 จงเขยนกราฟของฟงกชนเชงเสนตอไปนบนระนาบเดยวกน 1. 5xy,3x y,x y 321

จะสงเกตเหนวา คา a ยงมาก กราฟยงชน ตวอยางท 28 จงเขยนกราฟของฟงกชนเชงเสนตอไปน พรอมทงหาจดตดแกน X 1. 3xy 2. x5y

จดตดแกน X คอ จดตดแกน X คอ ตวอยางท 29 จงเขยนกราฟของฟงกชนเชงเสนตอไปน บนระนาบเดยวกน 1. y1 = x + 1 , y2 = x + 2 , y3 = x + 4 2. y1 = x - 1 , y2 = x - 2 , y3 = x - 4

x -1 0 1

1y

2y

3y

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

โรงเรยนสอาดเผดมวทยา ความสมพนธและฟงกชน 24

ตวอยางท 30 จงเขยนกราฟของ 52xy และหาวาจด (1, 3) และ (-1, 4) อยบนกราฟหรอไม ตวอยางท 31 พนกงานขายเครองส าอางไดรบเงนเดอนจากบรษทเดอนละ 10,000 บาท และเขาไดรบเงนอก 10 % ของยอดขายทเขาขายได

1. จงเขยนความสมพนธของรายไดของพนกงานผนกบยอดขายสนคา พรอมทงเขยนกราฟของความสมพนธดงกลาว

2. จงหาวา ถาในเดอนทเขามยอดขาย 30,000 บาท เขาจะไดรบเงนในเดอนนนเทาใด วธท า 1. ให x แทน ยอดขายเครองส าอาง f(x) แทน เงนเดอนทไดรบจากบรษทในแตละเดอน จะได f(x) =

2. ถาในเดอนทเขามยอดขาย 30,000 บาท เขาจะไดรบเงนในเดอน f(30,000)

ยอดขาย (บาท) (x)

จ านวนเงนเดอนทไดรบ (บาท) f(x)

10,000 20,000 30,000

40,000 50,000

Y

X

โรงเรยนสอาดเผดมวทยา ความสมพนธและฟงกชน 25

แบบฝกหดท 1.6

1. จงเขยนกราฟของฟงกชนตอไปนบนระนาบเดยวกน 1) 34xy3,4xy 21 2) 5xy5,xy 21 3) x3yx,3y 21 4) 1xy1,xy 21 2. จงหาวาจดทก าหนดใหตอไปนอยบนกราฟของความสมพนธทก าหนดใหหรอไม

1) จด (7, 5) เมอ 1x7

3y 2) จด (-4, 5) เมอ 3y2x

3) จด (4, 5) เมอ 4y 4) จด (4, -5) เมอ y 1

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

โรงเรยนสอาดเผดมวทยา ความสมพนธและฟงกชน 26

3. ในปแรกยอดขายสนคาชนดใหมของบรษทอยท 20,000 ชน/ป ถาบรษทตองการใหยอดขายสนคา แตละปเพมขนปละ 10% ของยอดขายในปแรก

1) จงเขยนสมการแทนยอดขายสนคาของแตละป 2) อก 5 ปถดไป บรษทนควรจะมยอดขายสนคาเทาใด 4. คาขนสงสนคาคดตามน าหนก กโลกรมละ 10 บาท โดยมคาใชจายในการขนสงเบองตน 150 บาท 1) จงเขยนสมการแสดงความสมพนธระหวางคาใชจายในการขนสงสนคา กบน าหนกสนคา 2) ถาตองการขนสงสนคาซงมน าหนก 75 กโลกรม จะเสยคาใชจายในการขนสงเทาไร …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. ฟงกชนก าลงสอง (Quadratic Function)

ฟงกชนก าลงสอง คอ ฟงกชนทอยในรป cbxaxy 2 เมอ Rcb,a, และ 0a

ลกษณะของกราฟจะขนอยกบคา cb,a, และเมอ 0a กราฟจะหงาย หรอ 0a กราฟจะคว า

หากเปนกราฟของ พาราโบลาหงาย จดวกกลบ จะถกเรยกวา “จดต าสด” และมคาต าสด เทากบ y สวนจดวกกลบของ พาราโบลาคว า จะถกเรยกวา “จดสงสด” และมคาสงสด เทากบ y

โดยกราฟของ 0ac,bxaxy 2 จะมจดวกกลบทจด

4a

b4ac,

2a

b 2

โรงเรยนสอาดเผดมวทยา ความสมพนธและฟงกชน 27

ตวอยางท 32 จงรางกราฟคราว ๆ ของฟงกชนตอไปน พรอมทงบอกจดต าสดหรอจดสงสด และคาต าสดและคาสงสดของฟงกชนดงกลาว 1) 2y x 2x 15 วธท า เมอเทยบกบสมการ 2y ax bx c จะได 1a , 2b และ 15c ดงนน จะไดกราฟพาราโบลา หงาย

และมจดสงสด หาไดจาก b 2x 1

2a 2(1)

2 24ac b 4(1)( 15) ( 2)

y 164a 4(1)

หรอสามารถหาคา y ไดโดยการน า x = 1 แทนลงไปในฟงกชน ดงน 2y f (x) f (1) (1) 2(1) 15 16

ดงนนมจดต าสด คอ (1, 16) และมคาต าสด เทากบ 16 2) 22 4 3y x x

วธท า เมอเทยบกบสมการ 2y ax bx c จะได a , b และ c ดงนน จะไดกราฟพาราโบลา

และมจด......... หาไดจาก y

ดงนนมจด คอ และมคา เทากบ

ฟงกชนก าลงสอง สามารถเขยนไดในอกรปหนงคอ 2y a(x h) k, a 0

ถา 0a เปนสมการพาราโบลาหงาย ถา 0a เปนสมการพาราโบลาคว า มจดวกกลบ หรอ จดต าสดทจด ( , )h k มจดวกกลบ หรอ จดต าสดทจด ( , )h k และมคาต าสด เทากบ ( )f h k และมคาต าสด เทากบ ( )f h k

ตวอยางท 33 จงรางกราฟคราว ๆ ของฟงกชนตอไปน พรอมทงบอกจดต าสดหรอจดสงสด และคาต าสดและคาสงสดของฟงกชนดงกลาว 1) 2f (x) (x 3) 3 วธท า เมอเทยบกบสมการ 2y a(x h) k จะได 1a , 3h และ 3k ดงนน จะไดกราฟพาราโบลา หงาย

ซงมจดสงสด เทากบ (3, 3) และมคาต าสด เทากบ (3) 3f

X

Y

X

Y

X

Y

โรงเรยนสอาดเผดมวทยา ความสมพนธและฟงกชน 28

2) 2f (x) (x 2) 3 วธท า เมอเทยบกบสมการ 2y a(x h) k จะได a , h และ k ดงนน จะไดกราฟพาราโบลา

ซงมจด เทากบ และมคา เทากบ

3) 2f (x) x วธท า เมอเทยบกบสมการ 2y a(x h) k จะได a , h และ k ดงนน จะไดกราฟพาราโบลา

ซงมจด เทากบ และมคา เทากบ 4) 2f (x) x 2 วธท า เมอเทยบกบสมการ 2y a(x h) k จะได a , h และ k ดงนน จะไดกราฟพาราโบลา

ซงมจด เทากบ และมคา เทากบ ลกษณะของกราฟ ไมวาจะเปนสมการในรป 2y ax bx c หรอ

2( )y a x h k ความกวางและแคบของกราฟขนอยกบคา a คอ ถา a ยงมากกราฟยงแคบ ตวอยาง 34 จงเขยนกราฟสมการตอไปนบนระนาบเดยวกน

1) 2

1y x 2) 2

2 3y x 3) 2

3 5y x

4) 2

4

1

2y x 5) 2

5

1

4y x 6) 2

6

1

10y x

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

โรงเรยนสอาดเผดมวทยา ความสมพนธและฟงกชน 29

ตวอยาง 35 จงเขยนกราฟสมการตอไปนบนระนาบเดยวกน

1) 2

1y x 2) 2

2 3y x 3) 2

3

1

2y x 4) 2

4

1

10y x

ตวอยาง 36 จงจบคกราฟและสมการตอไปน

1) 2

1 5y x

2) 2

2

1

2y x

3) 2

3 3y x 4) 2

4y x

5) 2

5

1

4y x

ตวอยางท 37 จงวาดกราฟฟงกชนก าลงสองตอไปนอยางคราว ๆ พรอมทงบอกจดต าสดหรอจดสงสด และคาต าสดหรอคาสงสดดวย

1) 22y x จด คอ และคา คอ .

2) 22y x จด คอ และคา คอ .

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

โรงเรยนสอาดเผดมวทยา ความสมพนธและฟงกชน 30

3) 22 1y x จด คอ และคา คอ .

4) 22 1y x จด คอ และคา คอ .

5) 22 1y x จด คอ และคา คอ .

6) 22 1y x จด คอ และคา คอ .

7) 2( 1)y x จด คอ และคา คอ .

8) 2( 1)y x จด คอ และคา คอ .

9) 2( 1) 1y x จด คอ และคา คอ .

10) 2( 1) 1y x จด คอ และคา คอ .

11) 23 6 3y x x จด คอ และคา คอ .

12) 22 4y x x จด คอ และคา คอ .

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

โรงเรยนสอาดเผดมวทยา ความสมพนธและฟงกชน 31

13) 22 4 2y x x จด คอ และคา คอ .

14) 22 4 5 y x x จด คอ และคา คอ .

ตวอยางท 38 จงจบคสมการ และกราฟทก าหนดให 1) 2( 4) 3y x คกบ 2) 2( 4) 3y x คกบ

3) 2( 4) 3y x คกบ 4) 2( 4) 3y x คกบ

5) 22( 2)y x คกบ 6) 2( 3) 4y x คกบ

7) 21( 1) 3

2y x คกบ 8) 22( 3) 2y x คกบ

9) 2 2 3y x x คกบ 10) 22 4 5y x x คกบ

X

Y

X

Y

(1)

(10) (9)

(8) (7) (6) (5)

(4) (3) (2)