คณิตศาสตร์วิศวกรรม 2 mathematics engineering iiล...

คณตศาสตรวศวกรรม 2 Mathematics Engineering II

1

2

ค าอธบายรายวชา สมการเชงอนพนธสามญอนดบหนงและอนดบสอง ผลเฉลยของสมการเชงอนพนธสามญอนดบหนงและอนดบสอง สมการเชงอนพนธยอย จ านวนเชงซอน การด าเนนการจ านวนเชงซอน เมทรกซ ตวก าหนด การด าเนนการเมทรกซ การประยกตใชทางเทคโนโลยไฟฟา

สมการเชงอนพนธ (Differential Equations)

3

4

บทท 1 บทน า (Introduction)

นยาม 1.1 สมการทมอนพนธของตวแปรตาม (Dependent Variables) หนงตวหรอมากกวา เทยบกบตวแปรตน (Independent Variables)หนงตวหรอมากกวา ปรากฏในสมการ เราเรยกสมการนวา สมการเชงอนพนธ (Differential Equation)

ตวอยาง

4

บทท 1 บทน า (Introduction)

สมการเชงอนพนธ (Differential Equations)

สมการเชงอนพนธสามญ (Ordinary differential Equation; ODE)

สมการเชงอนพนธยอย (Partial Differential Equation: PDE)

5

6

นยาม 1.1.1 สมการเชงอนพนธสามญ (Ordinary differential Equation; ODE) คอสมการทประกอบดวยอนพนธของตวแปรตามเทากบหนงตวหรอมากกวา เทยบกบตวแปรอสระหรอตวแปรตนเพยงหนงตวแปรเทานน

บทท 1 บทน า (Introduction)

ตวอยาง

6

นยาม 1.1.2 สมการเชงอนพนธยอย (Partial Differential Equation: PDE) คอ สมการทประกอบดวยอนพนธของตวแปรตามหนงตวหรอมากกวาเทยบกบตวแปรตน มากกวาหนงตวแปร

บทท 1 บทน า (Introduction)

02

2

y

u

x

uv

t

v

s

v

ตวอยาง

0

z

A

y

A

x

A zyx

7

นยาม 1.1.3 อนดบ (Order) ของอนพนธ คอ อนดบสงสดของอนพนธใน สมการเชงอนพนธ

02

2

xydx

dy

dx

yd

02

2

3

3

xydx

dy

dx

yd

dx

yd

สมการอนดบท 2

สมการอนดบท 3

บทท 1 บทน า (Introduction)

02

2

3

3

4

4

xydx

yd

dx

yd

dx

yd สมการอนดบท 4

ตวอยาง

8

นยาม 1.4 ดกร (Degree) ของสมการเชงอนพนธ คอ จ านวนเตมบวกซงเปนก าลงสงสดของอนพนธอนดบสงสดในสมการเชงอนพนธ

บทท 1 บทน า (Introduction)

ตวอยาง 0

2

2

xydx

dy

dx

yd

02

2

3

3

xydx

dy

dx

yd

dx

yd

02

2

3

3

4

4

xydx

yd

dx

yd

dx

yd

9

บทท 1 บทน ำ (Introduction)

สมการทวไปของสมการเชงอนพนธอนดบท n แทนดวยสญลกษณ

0,...,,,

dx

yd

dx

dyyxF

n

0,...,,,, nyyyyxFหรอ

นยำม 1.5 สมการอนพนธแบบเชงเสนเขยนอยในรป

xaxaxaxa nn 011 ,...,,, สมประสทธ และ เปน ฟงกชนของ และ

xg

0xan

x

x g y x a dx

dy x a

dx

y d x a

dx

y d x a

n

n

n n

n

n

0 1 1

1

1 ...

10

ลกษณะของสมการเชงเสน คอ

xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

011

1

1 ...

บทท 1 บทน า (Introduction)

สมการอนพนธแบบเชงเสน

• ตวแปรตามและอนพนธของตวแปรตามมเลขชก าลงเปน 1 • สมประสทธแตละตวเปนตวแปรอสระ x เทานน • ตวแปรตามหรออนพนธของตวแปรตามของสมการ ไมอยในรปฟงกชนอดศย

11

เลขท 1-7

เลขท 8-14

เลขท 15-21

เลขท 22-28

เลขท 29-35

เลขท 36-43 12

13 13

บทท 2 สมการเชงอนพนธ (First-Order Differential Equations)

2.1 สมการเชงอนพนธอนดบหนงและระดบขนหนง เขยนในรปทวไป

yxfdx

dy,

หรอ

0,, dyyxNdxyxM

เมอ และ เปนฟงกชนของตวแปร x และ y yxM , yxN ,

083 32 dyxydxyx

เชน สามารถเขยนในรป คอ 3

2

8

3

xy

yx

dx

dy

0,, dyyxNdxyxM

13

2.1 สมการเชงอนพนธแบบแยกตวแปรได (Separable Variable Equation)

นยาม สมการเชงอนพนธทอยในรป เรยกวาสมการเชงอนพนธ แบบแยกตวแปรได กตอเมอสามารถจดอยในรป

0,, dyyxNdxyxM

0 dyyBdxxA

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

014)2 2 dyxxydx

0)3 dyyxydxxxy

0)4 2222 dyyxyxdxxxy

yyx

x

dx

dy

3

2

)5

0)6 22

ydyxdxe y

0sinsincoscos)1 dyyxdxyx

32

เลขท 1-7

เลขท 8-14

เลขท 15-21

เลขท 22-28

เลขท 29-35

เลขท 36-43

นยาม 2.2.1 ฟงกชน จะเรยกวาเปนฟงกชนเอกพนธ (Homogeneous Function) ระดบขน k ใน x และ y ทท าให ทกๆจ านวนจรง

yxf ,

yxfttytxf k ,, 0t

2.2 สมการเชงอนพนธแบบเอกพนธ (Homogeneous differential Equations)

บทท 2 สมการเชงอนพนธ (First-Order Differential Equations)

ตวอยาง

33

34

35

36

37

38

วธแกสมการเชงอนพนเอกพนธกระท าโดยการเปลยนตวแปร เรยกวาการแปลงรป (transformation) ดวยการก าหนดให หรอ น าไปแทนในสมการ ซงจะกลายเปนสมการแบบแยกตวแปร สามารถแกสมการไดงายขน

vxy vyx

2.2 สมการเชงอนพนธแบบเอกพนธ (Homogeneous differential Equations)

ทฤษฎ 2.2.1 สมการเชงอนพนธแบบเอกพนธ สามารถแปลงใหเปนสมการเชงอนพนธ แบบแยกตวแปรไดดวยการเปลยนตวแปร หรอ vxy vyx

39

40

41

42

ตวอยาง จงหาผลเฉลยของสมการดงตอไปน 2 24 3 2 0x y dx xy dy

43

44

45

46

สอบยอยครงท 3 ใหนกศกษาพสจนวาสมการดงตอไปนเปนสมการเชงอนพนธแบบเอกพนธหรอไม และมระดบขนใด (แบงกลมละ 3 คน)

3 2 3 22 3 tan 4 0x

x y x dx x xy dyy

47

เลขท 1-5

เลขท 6-10

เลขท 11-15

เลขท 16-20

เลขท 21-25

เลขท 26-33 48

นยาม 2.2.1 ฟงกชน จะเรยกวาเปนฟงกชนเอกพนธ (Homogeneous Function) ระดบขน k ใน x และ y ทท าให ทกๆจ านวนจรง

yxf ,

yxfttytxf k ,, 0t

2.2 สมการเชงอนพนธแบบเอกพนธ (Homogeneous differential Equations)

บทท 2 สมการเชงอนพนธ (First-Order Differential Equations)

ตวอยาง

49

2.2 สมการเชงอนพนธแบบเอกพนธ (Homogeneous differential Equations)

50

51

52

53

นยาม 2.2.2 สมการเชงอนพนธอนดบหนงและระดบหนง จะเรยกวาเปนสมการเชงอนพนเอกพนธ ถา และ เปนฟงกชนเอกพนธระดบขนเดยวกนเทานน

0,, dyyxNdxyxM

yxM , yxN ,

ตวอยาง

2.2 สมการเชงอนพนธแบบเอกพนธ (Homogeneous differential Equations)

54

2.2 สมการเชงอนพนธแบบเอกพนธ (Homogeneous differential Equations)

55

วธแกสมการเชงอนพนเอกพนธกระท าโดยการเปลยนตวแปร เรยกวาการแปลงรป (transformation) ดวยการก าหนดให หรอ น าไปแทนในสมการ ซงจะกลายเปนสมการแบบแยกตวแปร สามารถแกสมการไดงายขน

vxy vyx

2.2 สมการเชงอนพนธแบบเอกพนธ (Homogeneous differential Equations)

ทฤษฎ 2.2.1 สมการเชงอนพนธแบบเอกพนธ สามารถแปลงใหเปนสมการเชงอนพนธ แบบแยกตวแปรไดดวยการเปลยนตวแปร หรอ vxy vyx

56

2.2 สมการเชงอนพนธแบบเอกพนธ (Homogeneous differential Equations)

57

2.2 สมการเชงอนพนธแบบเอกพนธ (Homogeneous differential Equations)

58

2.2 สมการเชงอนพนธแบบเอกพนธ (Homogeneous differential Equations)

59

2.2 สมการเชงอนพนธแบบเอกพนธ (Homogeneous differential Equations)

60

2.2 สมการเชงอนพนธแบบเอกพนธ (Homogeneous differential Equations)

61

62

2.2 สมการเชงอนพนธแบบเอกพนธ (Homogeneous differential Equations)

62

เลขท 1-5

เลขท 6-10

เลขท 11-15

เลขท 16-20

เลขท 21-25

เลขท 26-33 63

2.3 สมการเชงอนพนธแบบแมนตรง (Exact differential Equations)

นยาม 2.3.1 สมการเชงอนพนธ เรยกวาเปนสมการเชงอนพนธแบบแมนตรงไดกตอเมอมฟงกชน บางฟงกชนทท าให เปนผลตางอนพนธแมนตรงของ นนคอ

0,, dyyxNdxyxM

yxF , dyyxNdxyxM ,,

yxF , dyyxNdxyxMyxFd ,,),(

0),( yxFd

จากนยามสงเกตวา

cyxFd ),(

ท าการอนทเกรต

cyxF ,จะได

ซงเปนผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธ 0,, dyyxNdxyxM

dyyxNdxyxMyxFd ,,),(

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

ตวอยาง จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธแบบแมนตรง 02

2

dy

y

xdx

y

x

79

ตวอยาง จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธแบบแมนตรง 02

2

dy

y

xdx

y

x

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธแบบแมนตรง

1. ทดสอบดวา เปนสมการเชงอนพนธแบบแมนตรง หรอไม โดยการพจารณาวา หรอไม

0,, dyyxNdxyxM

x

N

y

M

2. ด าเนนการหาผลเฉลย

91

วธมาตรฐาน

จากสมการ จะม เปนผลเฉลยทวไป 0,, dyyxNdxyxM cyxF ,

แสดงวา dyyxNdxyxMyxdF ,,,

dyy

Fdx

x

FdF

0

dy

y

Fdx

x

Fและ

นนคอ

yxMx

F,

xyxMF ,

ท าการอนทเกรตยอย จะได

ygxyxMF ,

)1.......(, ygxyxMF

เทยบสมประสทธของ จะได dx

92

เทยบสมประสทธของ จะได dy

yxNy

F,

yyxNF ,

ท าการอนทเกรตยอย จะได

xhyyxNF ,

)2.......(, xhyyxNF

ผลเฉลยไดจากการน าสมการ (1)และ (2) มารวมกน โดยมหลกการดงน 1. ถาพจนในฟงกชนทงสองเหมอนกน พจนตอพจน ใหลอกมาหนงพจน 2. ลอกพจนทไมเหมอนกนมาทงหมด

ตวอยาง

xhyyxyxF

ygyyxyxF

932,

52,

23

23

09532, 21

223 ccyyyxyxF

21

223 432 ccyyyx

cyyyx 432 223

ดงนนผลเฉลยทวไป คอ

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

เลขท 1-5

เลขท 6-10

เลขท 11-15

เลขท 16-20

เลขท 21-25

เลขท 26-33 104

2.4 ตวประกอบเพออนทเกรต (Integrating Factors)

นยาม ถาสมการเชงอนพนธ ไมเปนสมการเชงอนพนธแบบแมนตรง แตถาสามารถหาฟงกชน มาคณสมการแลวท าใหเปนสมการเชงอนพนธแบบแมนตรงได เรยกฟงกชน วาตวประกอบเพออนทเกรตของสมการเชงอนพนธ

0,, dyyxNdxyxM

0, yxu

yxu ,

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

2.4 ตวประกอบเพออนทเกรต (Integrating Factors)

นยาม ถาสมการเชงอนพนธ ไมเปนสมการเชงอนพนธแบบแมนตรง แตถาสามารถฟงกชน มาคณสมการแลวท าใหเปนสมการเชงอนพนธแบบแมนตรงได เรยกฟงกชน วาตวประกอบเพออนทเกรตของสมการเชงอนพนธ

0,, dyyxNdxyxM

0, yxu

yxu ,

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

เลขท 1-9

เลขท 10-18

เลขท 19-27

เลขท 28-36

เลขท 37-45

เลขท 46-53

ลกษณะของสมการเชงเสน คอ

xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

011

1

1 ...

สมการอนพนธแบบเชงเสน

• ตวแปรตามและอนพนธของตวแปรตามมเลขชก าลงเปน 1 • สมประสทธแตละตวเปนตวแปรอสระ x เทานน • ตวแปรตามหรออนพนธของตวแปรตามของสมการ ไมอยในรปฟงกชนอดศย

2.5 สมการเชงอนพนธเชงเสน (Linear differential equation of first order)

133

2.5 สมการเชงอนพนธเชงเสน (Linear differential equation of first order)

นยาม สมการเชงอนพนธสามญอนดบหนงเรยกวาสมการเชงอนพนธเชงเสนอนดบหนง กตอเมอสามารถจดอยในรป

xQyxPdx

dy yQxyP

dy

dxหรอ

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

2.5 สมการเชงอนพนธเชงเสน (Linear differential equation of first order)

นยาม สมการเชงอนพนธสามญอนดบหนงเรยกวาสมการเชงอนพนธเชงเสนอนดบหนง กตอเมอสามารถจดอยในรป

xQyxPdx

dy yQxyP

dy

dxหรอ

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

การบาน เลขท 1-9

เลขท 10-18

เลขท 19-27

เลขท 28-36

เลขท 37-45

เลขท 46-53 159