ฟิสิกส์หมาหมา สมมาตรและฟิสิกส์ symmetry...

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

สมมาตรและฟสกส SYMMETRY AND PHYSICS เรยบเรยง โดย ขาวเกรยบ

1

ตอนท 1 Part 1

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

สมมาตรและคณตศาสตร

สมมาตร (symmetry) เปนสงทเราพบเจอไดเปนประจำในชวตประจำของเรา

ตวอยางงายๆททำใหเราเหนภาพคอ ผเสอ ดงรปหนาปก เราเหนไดวาผเสอนน

มสมมาตรตามแนวเสนแนวดงกงกลางลำตว สมมาตรลกษณะนมชอเรยก

เฉพาะตววา สมมาตรผานการสะทอน (reflection) โดยมแนวระนาบกงกลาง

ทำตวเปนเสมอนกระจกนนเอง

นอกจากตวอยางดานบนแลวยงมตวอยางอนๆอกมากมาย แตจะขอยกตวอยาง

สมมาตรของสเหลยมจตรส เพอแสดงใหเหนถงสมบตทนาสนใจจากการมมนม

สมมาตรแบบตางๆ พจารณาสเหลยมจตรสตสมรปอยบนระนาบ 2 มต

�2

ภาพ M.C. Escher- Two fish (No.58)

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

หากทำการวเคราะหหาสมมาตรทงหมดของสเหลยมจตรสนเราจะเหนวา จะเหน

ไดวาม 4 สมมาตรเนองจากการสะทอน ไดแก

M1 คอ การสะทอนตามแนวดง

M2 คอ สะทอนตามแนวระดบ

D1 คอ สะทอนตามแนวแทยงซาย

D2 คอ สะทอนตามแนวแทยงขวา

และ 4 สมมาตรของการหนนไป 90 องศาเทยบกบจดศนยกลางของสเหลยม

บนระนาบ 2 มต ไดแก

R0 คอ ไมหมนหรอหมนไป 360 องศา (เอกลกษณ)

R1 คอ หมนไป 90 องศา

R2 คอ หมนไป 180 องศา

R3 คอ หมนไป 270 องศา

ดงนนเราจะเหนวาสเหลยมจตรสมสมมาตรทงหมด 8 แบบทเปนไปไดดงรป

ดานบน

�3

ภาพแสดงสมมาตรภายใตการแปลงแบบตางๆ http://www.cs.umb.edu/~eb/d4/

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

เราจะเหนหากเราใหสเหลยมจตรสนกบเพอนเราไป จากนนเราหนหลงไมมอง

แลวบอกใหเพอนเราทำการเปลยนสเหลยมจตรสภายใต 8 แบบขางตนนน

เหมอนเราหนหลงกลบมาเราจะไมสามารถบอกไดเลยวาเพอนเรานนทำอะไรกบ

สเหลยมหรอทำแลวทำแบบไหน!! ประเดนตรงนคอหากเลอกการกระทำกบส

เหลยมจตรส 8 แบบขางตนนนไมสงผลตอรปสเหลยมจตรสทปรากฏตอเราใน

ตอนตงตนหรอ ไมมการเปลยนแปลงของสเหลยมนนเอง (shape

invariance) แนนอนวาหากเพอนเลอกกระทำกบสเหลยมจตรสโดยใหหมนไป

45 องศา เราจะบอกไดทนทวามการ เปลยนแปลงเนองจากการหนน

ภาษาทางการขนมาหนอยของการกระทำแบบตางๆกบสเหลยมจตรสบนระนาบ

2 มตนนคอ การแปลง (transformation) แตการแปลงเฉพาะ 8 แบบเทานนท

ทำใหสเหลยมจตรสเหมอนเดม

สงทนาสนใจขนไปอกขนคอ เพอนเรานนอาจจะเลอกผสมการแปลงสเหลยม

จตรสในหลายๆแบบตอเนองกนแตกยงไมสงผลตอการเปลยนรปของสเหลยม

เชน สำหรบการหมนไป 360 องศา นนสามารถเกดไดจากการหมนไป 90

องศา 4 ครงนนเอง

�4

ภาพแสดงการหมนสเหลยมไปเปนมม 45 องศา

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

R0=R1R1R1R1

หรอการหมนไป 270 องศา เกดจากการผสมไดหลายแบบ

R3=R1R2=R2R1=R0R3=R3R0

จากสมการดานบนเราพบวาลำดบไมสำคญ คอ จะหมนไป 90 องศาหมนไป

180 องศา หรอเรมหมนไป 180 องศาแลวหมนไป 90 องศา กจะไดผลของ

การมนไป 270 องศาเหมอนกน (สมบตอาบเลยน)

เราสามารถสรางตาราง(ก)การแปลงแบบหมนทเกดจากการผสมกนแบบตางๆ

ดงรปดานลาง เราจะเหนไดวาเราทำการผสมการแปลงแบบหมนคใดๆใน 4

แบบจะใหผลเทากบการแปลงแบบหมนเดยวๆใน 4 แบบนนเสมอ (ไมไดอยาง

อนเลย) สมบตของการหมนของสเหลยมจตรสทละ 90 องศาประกอบกนขน

มาเปน กรป (Group) เรยกวา G(หมนทละ 90) โดยม R0, R1, R2, R3 เปน

สมาชกใน กรป

G(หมนทละ 90)={R0,R1,R2,R3}

อยางไรกดเรายงมการแปลงอก 4 แบบจากการสะทอน เราสามารถผสมการ

แปลงขามระหวางการหมนและสะทอน หรอผสมระหวางการแปลงกนเองกได ซง

เราสามารถสรางตาราง(ข)ออกมาไดดงรป

�5

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

G(หมนทละ 90/สะทอน)={R0,R1,R2,R3,M1,M2,D1,D2}

ชอเฉพาะของกรปนคอ ไดฮดรอลกรปของสเหลยมจตรส (Dihedral group of the

square) หรอ D4 (เลข 4 มาจากการทสเหลยมม 4 มมนนเอง: 4-gon) ซงม

สมาชกทงหมด 8 ตว

หากเราขยบไปพจารณาวตถใน 3 มต เชน กลองสเหลยมจตรส ซงมการแปลง

แบบหมนทงหมด 48 แบบททำใหเราไมสามารถแยกความแตกตางไดวาทำการ

แปลงแลวหรอยงไมไดทำ

�6

ตารางแสดงการแปลงแบบผสมในไดฮดรลกรป

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

จากรปท 1 เราพบวาเราทำการหมนมม 90, 180 หรอ 270 ผานแกน 3 แกน

(ทวงผานจดกงกลาง 2 หนาตรงขามกน) โดยการหมนนนจะม 2 หนาทเชอม

ผานแกนนงเสมอ แตขอบกบมมไมอยทเดม ซงเราทำไดทงหมด 9 แบบ (4-fold

หมายถง ตองหมน 4 ครงในแตละแกนจงกลบมาเหมอนเดน)

รปท 2 เปนการหมนดวยมม 120 และ 240 ผานแกนทเชอมมมตรงขามตาม

แนวแทยง ซงมทงหมด 8 แบบ (3-fold หมายถง ตองหมน 3 ครงในแตละแกน

จงกลบมาเหมอนเดน)

รปท 3 เปนการหมนดวยมม 180 ผานแกนทเชอมระหวางจดกงกลางขอบทอย

ตรงขาม ซงมทงหมด 6 แบบ (2-fold หมายถง ตองหมน 2 ครงในแตละแกนจง

กลบมาเหมอนเดน)

�7

ภาพแสดงการแปลงทงหมด 48 แบบของกลองสเหลยมจตรส

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

ดงนนทงหมดเราม 9+8+6+1=24 แบบของการหมน โดย 1 นนคอ เอกลก

ษณคอการไมทำอะไรเลย ทง 24 แบบของการหมนนเปนสมาชกในพรอพเพอร

ออกตะฮดรอลกรป (Proper octahedral group)

สวน 4 รปแถวลางนนแสดงการสะทอนผานระนาบได 9 แบบ

นอกจากนนเราตองพจารณาการแปลงทผสมระหวางการสะทอนและการหมนท

ผสมกนแลวทำใหกลองสเหลยมไมเปลยนดงรปดานลาง

การผสมแบบแรกคอสเหลยมมระนาบสะทอนผานจดกงกลางของแตละขอบแต

ไมตด ขอบทมมม และ วางอยออกมาเปนรปเฮกซากอน เราพบวาเราสา

มารถหมนมมไป 120 (มมภายในเฮกซากอน) และ 240 ดงนนทงหมดจะม 8

แบบ การผสมแบบท 2 คอเราเลอกระนาบสะทอนใหขนานกบหนาทเราเลอก

มมทหมนไดคอ 90 และ 270 ดงนนจะมทงหมด 6 แบบ

O

v v′�

�8

https://slideplayer.com/slide/5232728/

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

เมอรวมกบการสะทอนอยางเดยวทงหมดเราจะได 9+8+6=24 แบบ

ดงนนสมมาตรทงหมดของกลองสเหลยมจตรสคอ 24+24=48 แบบ เรยกวา

ออกตะฮดรอลกรป (Octahedral group)

หมายเหต ออกตะฮดรอลคอทรงแปดหนา และสาเหตทเรยกวาทรงแปดหนา

เพราะวากลองสเหลยมจตรสนนเปนค (Dual) กบทรงแปดหนาซงมสมมาตร 48

แบบ ความสมพนธระหวางกลองสเหลยมจตรสและทรงแปดหนาคอเรา

สามารถยดทรงแปดหนาไวภายในกลองสเหลยมไดนนเองดงรปดานลาง

ทผานมาเปนตวอยางการแปลงแบบไมตอเนองหรอตองหมมเปนมมเฉพาะคา

เทานนหรอสะทอนผานแกน/ระนาบวตถถงจะไมเปลยนรปราง ขอสงเกตสำหรบ

กรปนคอมจำนวนสมาชกจำกด (Finite group) และการแปลงเปนแบบไมตอ

เนอง (Discrete transformation) เราเรยกกวา กรปไมตอเนอง (Discrete

group)

Oh

�9

https://en.wikipedia.org/wiki/Cube#/media/File:Dual_Cube-Octahedron.svg

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

ตอไปเราจะพจารณาตวอยางอนๆทจะใหกรปอกแบบทแตกตางจากสเหลยมหรอ

กลองสเหลยมจตรส ตวอยางแรกเราจะพจารณาวงกลมรศม บนระนาบ 2

มต(ปรภมยคลด)

สมการวงกลมคอ เราพบวาหากเราทำการหมนวงกลมผานจด

ศนยกลางไปเปนมมใดๆ เราจะยงไดวงกลมเหมอนเดน เทยบกบการหมนเวก

เตอรรศมซงเดมชทจด ไปยงจดใหม เปนมม โดยท

น นคอขนาดรศมไมเปลยน หากเราแสดงคอนดบ ดวยเม

ทรกซหลก (Column matrix) ดงนนเราจะมเมทรกซการหมน (ขอละทมา)

ทแปลงจากคอนดบเกาไปยงคอนดบใหม

r

x2 + y2 = r2

(x, y) (x′�, y′�) θx′�2 + y′�2 = r2 (x, y)

R(θ)

R(θ) = (cos θ −sin θsin θ cos θ )

�10

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

หมายเหต การเลอนเวกเตอรรศมเปนการแปลงแบบตรง (Active) อยางไรกตาม

เราสามารถทำการหมนโดยการเลอนแกน x และ y แทนเรยกวาการแปลงแบบ

ออม (passive)

เราพบวาการหมนนนสามารถสามารถเกดจาการผสมการหมนยอยๆหลายครง

ได เชน หากเราตองการหมนไป 180 องศา เราสามารถหมน 100 องศาและ

หมน 80 องศาหรอกลบกน(สมบตอาบเลยน)

R(180)=R(100)R(80)=R(80)R(100)

หรอหมนไปทละ 1 องศา 180 ครง R(180)=(180)R(1) ! ดงนนการหมน

ไปคามมจำกด ใดๆ สามารถเกดจากการหมนไปดวยมมขนาดเลกมากๆ

อยางตอเนอง เมทรกซการหมนนนถกจดอยในพวกออทอกอนลเมทรกซ

(Orthogonal matrix) โดยท โดย เปนเมทรกซ เอกลกษณและ

หากเราทำการเจาะลงไปในรายละเอยดสำหรบกรณ

เรยกการแปลงแบบพรอปเพอร (Proper rotation) [หากจะแปลเอาภาษาคนคอ

การแปลงทเกดจาการหมนแบบปกต] โดยการหมนใน 2 มตนจะประกอบกนขน

มาเปนกรป เรยกวา กรปออทอกอนลพเศษ (Special orthogonal group)

[หมายเหต S มาจาก Special สวน O มาจาก Orthogonal และ 2 คอ หมนใน 2

มต นนเอง] สำหรบกรณท นนเรยกวาการหมนแบบอมพรอปเพอร

[การแปลงทการหมนปกตทำไมได] เชน การสลบคอนดบ

โดย

(x′ �y′ �) = (cos θ −sin θ

sin θ cos θ ) (xy)

θ δθ

RT R = I Idet R = ± 1 det R = + 1

SO(2)

det R = − 1(y, x)T = L(x, y)T

�11

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

เหนไดวา

สำหรบทรวมทงการหมนแบบพรอปเพอรและอมพรอปเพอร เราเรยกกรปใหญน

วา กรปออทอกอนล (Orthogonal group)

ตวอยางตอไปเราลองพจารณาทรงกลม 3 มตทมรศม ซงสมการทรงกลมคอ

เราพบวาการหมนโดยยดเอาจดศนยกลางอยกบทนนทำให

ทรงกลมไมเปลยนไป ซงเปรยบไดกบการโยกเวกเตอรรศมทชอยทจด

ไปยงจดใหม บนผวทรงกลมนนเอง ดรปประกอบ

การเลอนเวกเตอรรศมขางตนสามารถทำไดโดยการผสมการหมนใน 3 มตท

เหมาะสม ซงประกอบไปดวย การหมนรอบแกน x ดวยเมทรกซ การหมน

รอบแกน y ดวยเมทรกซ และการหมนรอบแกน z ดวยเมทรกซ ดงรป

เราจะเหนไดวาเมทรกซการหมนทง 3 ตวนนเปนไปตามเงอนไขของออทอกอ

นลเมทรกซและทำใหเกดการหมนแบบปกต(พรอปเพอร) ดงนนเราจะมกรป

L = (0 11 0) det L = − 1

O(2)

rx2 + y2 + z2 = 1

(x, y, z)(x′�, y′�, z′�)

Rx

Ry Rz

�12

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

โดย 3 สำหรบ 3 มตนนเอง แตสงทแตกตางจากกรณ คอการ

หมนเหลานไมมสมบตอาบเลยน

จากตวอยางดานบนทผานมาเราสามารถขยายแนวความคดไปยงกรณ n มตซง

เราจะมกรป

ขอสรปตรงนอกทวาสำหรบ และ นนเราสามารถทำการหมนดวย

มมเลกเทาไรกได และทำการผสมการหมนทำใหเกดการหมนอยางตอเนอง ดง

นนเราเรยกกรปเหลานวา กรปตอเนอง (Continuous group) [ผอานควรอาน

เพมสำหรบกรป ]

จากตวอยางทงหมดดานบนเราสรปใจความไดดงน(ขามไปไดหากไมเขาใจ)

SO(3) SO(2)

SO(n)

SO(2) SO(3)

U(n)

�13

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

นยาม: กรปคอการรวมมอของการแปลง

กรป ประไปดวยเซต เรยกวาสมาชกซงผสมกนแลวได

สมาชกอนๆในกรป สำหรบสมชกใดๆในกรปตองมสมบตตอไปน

- สมบตปด (Closure)

- สมบตสลบกลม (Associativity)

- เอกลกษณ (Identity)

- สวนกลบ (Inverse)

โดยท คอการดำเนนการของกรป เชน การบวก การคณเมทรกซ 2x2 เปน

ตน

G {gi}

gα ∘ gβ ∈ G(gα ∘ gβ) ∘ gγ = gα ∘ (gβ ∘ gγ)

I ∘ gβ = gβ ∘ I = gβg−1

β ∘ gβ = gβ ∘ g−1β = I

∘

�14

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

จากตวอยางทงหมดทไดกลาวไมวาจะเปนกรณการแปลงแบบไมตอเนองหรอตอ

เนอง สงทไมเปลยนภายใตการแปลงคอ รปรางของวถต อนเปนสงบงบอกถง

สมมาตรของวตถ(ภายใตเงอนไขการแปลงหนงๆ)

สำหรบ วงกลม หรอ ทรงกลม

ขนาดของเวกเตอรรศมไมเปลยนภายใตการแปลงพกดแบบหมนตอเนองผานตว

แปรคอมม

ในทน ขนาด คอสงหรอปรมาณทไมเปลยนภายใตการแปลง

การหมน คอการแปลง

มม คอ ตวแปรททำงานภายใตการแปลง

ขอสรปดานบนนนสำคญ เพราะเรากำลงจะเขาไปสฟสกสมากขนในหวขอตอไป

และเราจำเปนทจะตองเขาใจแนวคดและความสมพนธของทง 3 ปรมาณกอน

�15

ขอปดทายหวขอนดวย

ภาพวาดดวลปนของ

กาลว ซงการดวลปน

ไมมสมบตอาบเลยน!!

https://www.researchgate.net/publication/280112939_Galois_Connections_Mathematics_Art_and_Archives/figures?lo=1

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

สมมาตรและฟสกส

ฟสกส ม ปลาย

สำหรบทกคนทเรยนป 1 เชอวาทกคนตองเรยนฟสกส 1 ค ง ไ ด เ จ อ ส ถ า น ะ

การณของอนภาคอสระ สมมตใหอนภาคมวล เคลอนทดวยความเรว ไปทาง

ขวา เราพบวาปรมาณหนงทไมเปลยนแปลงคอ พลงงาน(ในทนมแตพลงงาน

จลน) จรงๆทพดไปนนยงไมรดกมเพราะวาเรายงไมไดบอกวาไม

เปลยนแปลงเทยบกบปรมาณอะไร สำหรบพลงงานนนไมเปลยนแปลงเทยบกบ

เวลา

พลงงานไมเปลยนแปลงภายใตการเลอนไปของเวลา

m u

E = mu2/2

dE/dt = 0

�16

https://downatyale.com/an-unfinished-mosaic-yale-first-years-speak-out/

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

เรารวาพลงงานของระบบประกอบไปดวยพลงงานจลนและพลงงานศกยสวนมาก

จะแทนดวยสญลกษณ ซงเปนฟงกชนของตำแหนง ตอน ม ปลาย เราตอง

เคยวเคราะหโจทยวตถตกอสระภายใตแรงโนมถวงโลกแนนอน สมมตสถานะกา

รณวตถตกลงจากยอดตกสง ลงมายงพนๆ จากเราพจารณาพลงงานรวมของ

ระบบระหวางตำแหนงท 1 และ 2 ดงรป โดยเลอกเราพนเปนจดอางอง

จากกฏทรงพลงงานเราจะได ว า

หรอ

โดย พลงงานศกยโนม

ถวง เรารวาหากเราทำการเปลยนจด

อางองแทนทจะเปนพนโลกแตเปน

ยอดตก พกดแทนทจะเปน

และ (ตามแนวดง) จะกลาย

เ ป น แ ล ะ

(ทศชลง) เราพบ

วา และ

ดงนนสวนพลงงานจลนนนไมเปลยน

แตสวนพลงงานศกยเปลยนไปและ

สมการทรงพลงงานเปน

V(x)

H

E1 = E2

12

mv21 + mgh1 =

12

mv22 + mgh2

V(h) = mgh

y1 = h1

y2 = h2

y1 = − (H − h1)y2 = − (H − h2)

·y1 = ·h1 = v1·y2 = ·h2 = v2

12

mv21 − mg(H − h1) =

12

mv22 − mg(H − h2)

�17

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

ซงทำใหอยในรปอยางงายเรากจะไดกฏทรงพลงงานอนเดมนนเอง แสดงวาตำ

แหนงอางองไมไดมผล ลกาณะการเลอนตำแหนงอางองเพอเทยบหาพลงงาน

ศกยลกษณะนเรยกวา การแปลงเกจ (Gauge transformation) อยางไรเราจะ

เจอกบคำวา เกจ อกอยางแนนอนในทฤษฎฟสกสทลกซงขนไป

สำหรบคำวา เกจ นนทวไปหมายถงการวดเทยบ เชน อาจจะเปนใชหนวยความ

ยาวทตางกนในการวดความยาว หนวยเซนตเมตรหรอเมตรซงแปลงหากนได

เปนตน อยางไรกตามคำวาเกจเขามาสฟสกสโดย เฮอรมานน ไวล (Hermann

Weyl) นกฟสกสชาวเยอรมน โดยเขาใชคำวา Eichinvarianz ซงอาจจะแปรไดวา

ขนาดไมเปลยนแปลง (Scale invariance)

�18

เฮอรมานน ไวล (Hermann Weyl)

การแปลงเกจ !!??

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

กลศาสตรนวตน ฟสกสป 1

คำพดทเรามกไดยนบอยๆคอ “กฏนวตนเปนจรงในทกกรอบอางองเฉอย” หรอ

พดใหงายๆ ยกตวอยางเชน สำหรบวตถทเคลอนทดวยความเรงคงท สำหรบผ

สงเกต ทอยนง วตถนนกยงเคลอนทดวยความเรง สำหรบผสงเกตอกคน

ทเคลอนทดวยความเรวคงทในแนวเสนตรงเทยบกบผสงเกตคนแรก

การแปลงหรอการเปลยนมมมองระหวางผสงเกตทง 2 นนเรยกวา การแปลง

แบบกาลเลยน (Galilean transformation)

, , และ (ความสมพนธส ดทายนบอกวาเรา

เวลานนเปนสงสมบรณไมขนกบผสงเกต) หากเราใหผสงเกต มชดพกด

และผสงเกต ม ชดพกด เราจะสามารถ

a

𝒪 a 𝒪′�

x′� = x − vt y′� = y z′� = z t′� = t

𝒪X = (x, y, z, t) 𝒪′� X′� = (x′�, y′�, z′�, t′ �)

�19

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

เขยนในรปของเมทรกซและสรางความสมพนธการแปลงดวยเมทรกซ

ไดดงน

แนนอนวาสำหรบการแปลงดานบน และ นนเอง ทงนเรา

สามารถสรางแผนภาพการแปลงแบบกาลเลยนไดดงรปดานลาง

ภาพดานบนรจกกนชอแผนภาพกาอวกาศแบบกาลเลยน โดยจด P เปนตำ

แหนงเหตการณ (Event) คำถามตอนนเรามการแปลงแบบกาลเลยนและ

X′� = GX

x′�y′�z′�t′�

=

1 0 0 −v1 0 0 01 0 0 00 0 0 1

xyzt

··x′ � = ··x F = ma = F′�

�20

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

ปรมาณอะไรทไมเปลยนภายใตการแปลงนละ (แนนอนผอานบอกวากกฏนวตน

ไงละ) ตอนนหากเราให เปนระยะระหวางเหตการณ 2 เหต การณในแผน

ภาพ(จนตนาการณเอาเองนะครบ !) จากทฏษฎบทปทากอรสเราไดวา

สำหรบผสงเกต สำหรบผสงเกต เรามการแปลง ,

, แต สำหรบการวดระยะทางนนตองวดหวทายพรอมกนดง

นน และทำให เปนผลให

อนเปนปรมาณทไมเปลยนภายใตการแปลงแบบกาลเลยนนนเอง การแปลงดาน

บนนนเปนจรงสำหรบทฤษฏสมพทธภาพนวตนหรอสมพทธภาพกาลเลยน

(New t on o r Ga l i l e a n r e l a t i v i t y ) และ ช อการแปลงระห ว า ง

ตำแหนง(อวกาศ)และเวลา(กาล) ซงขางตนคอ เรยกวา กา

ลเลยนบสต (Galilean boost) บสตหมายถงการแปลงระหวางพกดทนงและพกด

ท เค ลอนท นอกจาก นนเราย งม บส ต อนๆไ ดแก และ

ท งหมด 3 นอกจากนนเรายงสามารถทำการเปลยนพกดใน 3

มต ผานการหมนดงตวอยางกอนหนานไดอก 3 แบบ

ซงตอนนทงหมด 6 แบบ อยางไรกดเราพบวาการเลอนตำแหนงและเวลา เชน

, โดย a และ b เปนคาคงท กจะไมสงผลตอขนาดของ

ระยะระหวางเหตการณ เรามอก 4 แบบของการเลอน ดงนนรวมทงหมดเปน

6+4=10 แบบในการแปลง หรอเราพดไดวาเราม 10 รปแบบของสมมาตรใน

ทฤษฏสมพทธภาพกาลเลยน

ds

ds2 = dx2 + dy2 + dz2

𝒪 𝒪′� dx′� = dx − vdt

dy′� = dy dz′� = dz

dt = 0 dx′� = dx

ds2 = dx′�2 + dy′�2 + dz′ �2

(x, t) − > (x′ �, t′�)

(y, t) − > (y′ �, t′�)(z, t) − > (z′ �, t′�)

(x, y, z) − > (x′ �, y′ �, z′�)

x − > x + a t − > t + b

�21

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

ทฤษฎสมพทธภาพ ฟสกสป 2

ตอไปเราขยายแนวความคดไปยงทฤษฏสมพทธภาพพเศษของไอนสไตน

(Special relativity) ซงสงทตางจากกรณของกาลเลยนคอ เวลาไมเปนสงสมบรณ

หากแตขนกบผสงเกต ดงนนแผนภาพกาลอวกาศสำหรบการแปลงมมมอง

ระหวางผสงเกตจะทำบนแผนภาพกาลอวกาศ 4 มต (ตำแหนง 3 เวลา 1) ชอวา

แผนภาพอวกาศแบบมนคอฟสก (Minkowski spacetime diagram) โดยชอการ

แปลงมชอวา การแปลงแบบลอรเลนซ (Lorentz transformation)

แผนภาพดานบนแสดงการแปลงมมมองระหวางผสงเกต ทอยในชดพกด

และผสงเกต ทอยในชดพกด โดยเสนตรงทำมม

45 องศาคอเสนทางเดนแสง โดย คออตราเรวแสง หมายเหต เราเลอก

เขยน สำหรบแกนเวลาเพราะทำใหมหนวยเดยวกบตำแหนงนนเอง

𝒪(x, y, z, ct) 𝒪′� (x′�, y′�, z′�, ct′ �)

v = c c

ct

�22

https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/Book%3A_University_Physics_(OpenStax)/Map%3A_University_Physics_III_-_Optics_and_Modern_Physics_(OpenStax)/5%3A__Relativity/5.5%3A_The_Lorentz_Transformation

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

ชดสมการการแปลงแบบลอรเลนซสำหรบการเคลอนทตามแนวแกน x

หรอในรปของเมทรกซ

โดยท

และ

คอ ลอรเลนซเมทรกซ หรอ ลอรเลนซบสต

(Lorentz boost) สำหรบการแปลงดงขางตนระยะระหวางเหตการณไมเปลยน

หมายเหต วธการวดระยะไมเหมอนกบกรณในของกาลเลยนเพราะตอนนกาล

อวกาศไมไดเปนแบบยคลเดยนแตเปนแบบมนคอฟสกดงทไดกลาวไวขางตน

ct′�x′�y′�z′�

=

γ −βγ 0 0−βγ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

ctxyz

β =vc

Λ =

γ −βγ 0 0−βγ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

ds2 = − cdt2 + dx2 + dy2 + dz2 = − cdt′�2 + dx′�2 + dy′�2 + dz′�2

�23

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

คำถามคอเรามจำนวนสมมาตรทงหมดเทาไรสำหรบการแปลงแบบลอรเลนซ

สำห รบลอ ร เ ลนซ บ ส ต จ ะม ท ง หมด 3 แบบค อ ,

และ นอกจากน นเรายงสามารถทำการ

เปลยนพกดใน 3 มต ผานการหมนดงตวอยางกอนหนา

นไดอก 3 แบบ ซงตอนนทงหมด 6 แบบของสมมาตรทประกอบกนขนมาเปน

ลอรเลนซกรป (Lorentz group) [หมายเหต กรป นทำอยบน 1 ม

ตของเวลาและ 3 มตของตำแหนง] อยางไรกตามเรายงมสมมาตรเนองจา

กการเลอนอก 4 แบบ ดงนนทงหมดจะม 4+6=10 แบบของสมมาตรทประ

กอบกนขนมาเปนปวงกาเรกรป (Poincare group)

สรปความหนอยกอนไปตอ

ระยะระหวางเหตการณไมเปลยนภายใตการแปลงพกดกาลอวกาศแบบกาล

เลยน/ปวงกาเร ดวยการบสต/มม/เลอน

ปดทายหวขอยอยนดวยภาพไอนสไตนกบล

อรเลนซ สมผสไดถงพลงงานอะไรบาง

อยาง ....!?

(x, t) − > (x′ �, t′�)(y, t) − > (y′ �, t′�) (z, t) − > (z′ �, t′�)

(x, y, z) − > (x′ �, y′ �, z′�)

SO(1,3) SO

�24

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

วระสตรหญง เอมม โนเตอร (Emmy Noether)

กอนไปตอ ขอแนะนำสตรทานหนงใหทกคนรจกกอน (บางคนอาจรจกเธอมา

กอนแลว) นนคอ เอมม โนเตอร เปนนกคณตศาสตรชาวเยอรมน มชวตอยใน

ชวง 1882-1935 เธอศกษาคณตศาสตร ณ มหาวทยาลย Erlangen ซง ณ

เวลานนผหญงจะตองไดรบอนญาตจากผสอนกอนถงจะลงทะเบยนแบบออดต

เทานน ในชวงป 1903-04 เธอลงทะเบยน ณ มหาวทยาลย Gottingen ซงสอน

โดยนกคณตศาสตรทมชอเสยง ณ ขณะเวลานน ไดแก เดวด ฮลเบรต ฟลกซ

ไคลน เฮอรแมนน มนคอฟสก และ คารล ชวาทซชลท เธอกลบไปยง

มหาวทยาลย Erlangen เมอมการใหผหญงลงทะเบยนเปนนกเรยนไดปกต

เหมอนกบผชายแลว ในป 1907 เธอจบปรญญาเอกในหวขอ Algebraic

�25

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

invariants และเธอยงคงทำงานทมหาวทยาลย Erlangen ตอไปในฐานะผชวยพอ

เธอเองและทำงานวจยของเธอตอ ในป 1915 โนเตอรไดรบการเชญจาก

ฮลเบรตและไคลนใหไปมหาวทยาลย Gottingen เพอทำความเขาใจแนวคดคณต

ศาสตรของทฤษฎสมพทธภาพทวไปของไอนสไตน ซง ณ ตอนนนเพงจะไดรบ

การตพมพ ฮลเบรตและไคลนโนมนาวใหโนเตอรอยตอมหาวทยาลย Gottingen

ภายใตการตอตานของบางคนทไมโอเคกบการทผหญงจะสอนหนงสอในมหา

วทยาลย อยางไรกตามเธอสามารถสอนหนงสอไดแตกภายใตชอของฮลเบรต

กลศาสตรลากรองจ ฟสกสป 3

ในป 1918 โนเตอรพบวา ลากรางเจยน (Lagrangian)

[ผลตางของพลงงานจลนและพลงงานศกย] ไมเปลยนภายใตการแปลงของระบบ

พกด ดงนนจะมปรมาณอนรกษทสอดคลองกบการแปลงนน เราอาจจะพดงายๆ

ไดวา

“สำหรบระบบทมสมมาตรตอเนองอนหนง ดงนนตองมปรมาณอนรกษท

สอด คลองกบสมมาตรนน”

หวขอนอาจจะเหนภาพยากหนอย! (จรงๆอาจจะเหนภาพยากตงแตแรกละ

ฮาา) ตอนนเราเสก “แอคชน” ของระบบ

L( ·q, q) = T( ·q) − V(q)

S[q]

S[q] = ∫T

0dtL( ·q, q)

�26

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

พดแบบรวบรด ระบบจะววฒนไปตามเสนทางทแอคชนมคานอยสด ซง

สามารถทดสอบหาไดโดยการพจารณาการแปรผนของแอคชนซงไมเปลยนแปลง

โดยคดผลของเงอนไขขอบดวย ยงผลใหไดสมการ

ซงรจกกนในชอสมการออยเลอร-ลากรองจ ซงจะใหสมการการเคลอนทของ

ระบบออกมาเหมอนกบทเราพจารณาจากกฏของนวตน โอว! จรงๆลมบอกไปวา

คอชดพกดทวไปของระบบและ

คอ ชดพกดความเรวทวไปทสอดคลองกบชดพกดขางตน จากสมการออยเลอร-

ลากรองจ เราพบวาหากลากรางเจยนไมขนกบตวแปร (ตวแปรไซคลก) นน

หมายความวา ยงผลใหโมเมนตม เปนคาคงท(หรอ

ปรมาณอนรกษณนนเอง) หากเราจะเขยนใหมนดเทหขนหนอยจะไดวา

δS = 0

∂L∂q

−ddt

∂L∂ ·q

= 0

q = {q1, q2, . . . , qn} ·q = { ·q1, ·q2, . . . , ·qn}

qα

∂L /∂qα = 0 pα ≡ ∂L /∂ ·qα

�27

http://www.faculty.umb.edu/gary_zabel/Courses/Parallel%20Universes/Texts/Cosmology,%20Quantum%20Gravity,%20and%20the%20Arrow%20of%20Time.htm

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

ทฤษฎบท: ถาภายใตการแปลง โดย เปนคาคงท

ขนาดเลกและ เปนฟงกชนหนงๆ ทำใหลากรางเจยนมสมมาตร ดงนน

เปนคาคงทของระบบ(ปรมาณอนรกษ)

จากทฤษฎบทดานบน เปนทรจกกนในชอ “ประจโนเตอร” (Noether charge)

และตวอยางสมมาตรทเราจะเจอบอยคอ

-สมมาตรจากการเลอนตำแหนง จะไดวาโมเมนตมเปนปรมาณอนรกษ

-สมมาตรจากการเลอนเวลา จะไดวาพลงงานเปนปรมาณอนรกษ

-สมมาตรจากหมน จะไดวาโมเมนตมเชงมมอนรกษณ

เปนตน

หมายเหต ประจโนเตอรนนเรมใชกนประมาณป 1980 ด Group theory and its

applications in physics, Seligman, Latin American School of Physics,

Mexico City อนเปนผลจากบทพสจนทฤษฎบทของโนเตอรผานการสรางกระ

แสทสมพนธกบปรมาณอนรกษ วางายๆ มกระแส กมประจ ประมาณนน หลง

จากนนกใชกนอยางแพรหลาย

qα(t) − > qα(t) + ϵγα(t) ϵ

γα(t)

Q ≡ ∑γ

∂L∂ ·qα

γα

Q

�28

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

งานของโนเตอรนนถอวา สำคญมากทสดชนหนงในประวตศาสตรเลยกวาได

ขนาดไอนสไตนยงไดกลาวถงความอจรยะของเธอไววา “the the most

significant creative mathematical genius thus far produced since the higher

education of women began” ในวารสาร New York Times อกทงยงกลาวถงเนอ

หาของงานโนเตอรวา “enormous importance in the development of the

present-day younger generation of mathematicians” ความนาสนใจและเปน

ทนาเสยใจคอชอเสยงของโนเตอรนนไมไดดงมากมายในกระแสสงคมเหมอนกบ

ไอนสไตนเอง หรอไมวาจะเปนนวตน แมกซเวลล เปนตน อยางไรกตามสงทโน

เตอรคดนนเปนพนฐานสำคญทผกโยงสมมาตรและกฏอนรกษเอาไวดวยกน

อยางสวยงามทำใหเราตองเปลยนมมมองเกยวกบธรรมชาต เชน กฏอนรกษพลง

งานอยางทเราเรยนกนมา นนบอกวาพลงงานไมสามารถสรางหรอทำลาย

ได(แตเปลยนรปได)เปนกฏพนฐานของธรรมชาต แตแททจรงแลวเปนผลของ

การมอยของสมมาตรของการเลอนเวลาเปนตน

�29

อานเพมเตมเกยวกบโนเตอรและผลงานของเธอไดท https://www.sciencenews.org/article/emmy-noether-theorem-legacy-physics-math

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

กลศาสตรฮามลตน ฟสกสป 3(เรยนพรอมกบกลศาสตรลากรองจ)

นอกจากกลศาสตรลากรองจแลวเรายงกลศาสตรฮามลตนโดยมฟงกชนทเรยกวา

ฮามลโตเนยน (Hamiltonian) ซงคอผลบวกระหวาง

พลงงานจลนและพลงงานศกยของระบบ โดยท เปนชดตว

แปรโมเมนตม ความสมพนธระหวางลากรางเจยนและฮามลโตเนยนสรางผาน

การแปลงเลอจองด (Legendre transformation)

สำหรบกรณนเราจะมชดสมการ

และ

เรยกวา ชดสมการฮามลตน ซงจะนำไปสสมการการเคลอนทเหมอนกบทเราได

จากกฏนวตนหรอสมการออยเลอร-ลากรองจ เสนทางการเคลอนทของระบบ

จะอยบนปรภมเฟส (Phase space) ทมมต โดยแตละจดบนปรภมเฟสน

บรรจชดพกดจำนวน ตวนนเอง

ตอนนขอเสกวงเลบปวซองซงนยาม

โดย และ เปนฟ งกชนทนยามบนปรภมเฟส หากเรา

พจารณา

H(p, q) = T(p) + V(q)p = {p1, p2, . . , pn}

H(p, q) = p ·q − L( ·q, q)

− ·p =∂H∂q

·q =∂H∂p

2n

2n (p1, p2, . . , pn, q1, q2, . . , qn)

{F, Q} =n

∑i=1 ( ∂F

∂qi

∂Q∂pi

−∂F∂pi

∂Q∂qi )

F = F(p, q; t) Q(p, q; t)

dFdt

=∂F∂t

+n

∑i=1 ( ·qi

∂F∂qi

+ ·pi∂F∂pi )

�30

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

ซงคอการเปลยนแปลงของ เทยบกบเวลาโดยทางดานขวานนได

มาจากกฏลกโซ ใชสมการชดฮามลตนเราเขยนสมการดานบนใหมเปน

จากความสมพนธดานบนพบวาหาก ขนกบเวลาอยางไมชดแจงเรา

จะได

หากวงเลบปวซอง จะทำให หรอบอกวาเราวา เปน

ปรมาณอนรกษนนเอง ความสมพนธของวงเลบปวซอง นกลาวได

วาเปนทฤษฎบทของโนเตอรสำหรบกรณกลศาสตรฮามลโตเนยน(อนทจรงม

แบบทเปนทางการกวานแตเพอความงายตอการเขาใจจงขอละไว ดเพอเตม

h t t p : / / c i t e s e e r x . i s t . p s u . e d u / v i e w d o c / d o w n l o a d ?

doi=10.1.1.541.5469&rep=rep1&type=pdf)

ขอปดทายหวขอยอยนดวย

ภาพแสตมปรปของฮามล

ตน หากใครอานแลวไมเขา

ใจแนะนำใหเขยนจดหมาย

แลวตดแสตมปนสงไปหา

ฮามลตนเลยครบ !

F = F(p, q; t)

dFdt

=∂F∂t

+n

∑i=1 ( ∂H

∂pi

∂F∂qi

−∂H∂qi

∂F∂pi ) =

∂F∂t

+ {F, H}

F = F(p, q)

dFdt

= {F, H}

{F, H} = 0 dF/dt = 0 F

{F, H} = 0

�31

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

กลศาสตรควอนตม ฟสกสป 3(เทอม 2 ปะ?)

ตอนนเราเดนทางมาถงกลศาสตรควอนตมละครบ เราจะกลาวแบบรวบรดตดค

วามเลยนะครบ ฮาาาา(ตอนนรสกวาจะเขยนมายาวเกนละ) สงทเราสนใจแกหา

ในกลศาสตรควอนตมคอฟงกชนคลน ซงเปนคำตอบของสมการชโรดง

เงอร

โดยท คอตวดำเนนการฮามลโตเนยนของระบบ ฟงกชนคลนววฒนไปตาม

สมการ โดยท คอตวดำเนนการยนทาร

อยในรป

โดยท คอเจนเนอรเรเตอร (Generator) ของการว วฒนและ คอพาราม

เตอรทสมพนธกบการววฒน จากสมการชโรดงเงอรเราแสดงไดวา

หมายเหต รปสมการเหมอนกบกรณในกลศาสตรฮามลตนโดยมการแทนท

วงเลบปวซองดวยวงเลบควอนตม

โดย คอวงเลบควอนตม หากเจนเนอรเรเตอร ไมไดขน

กบเวลาแบบชดแจงสมการขางตนจะลดรปลงเปน

|Ψ >

iℏ∂ |Ψ >

∂t= H |Ψ >

H|Ψ′� > = U(α) |Ψ > U(α) U†U = I

U(α) = e−iαG/ℏ

G α

dGdt

=∂G∂t

+iℏ

[G, H]

{ . , . } − >iℏ

[ . , . ]

[A, B] = AB − BA G

�32

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

และหาก (มสมบตการสลบท) นนหมายความวา นนเปนคาคงท

ของระบบ (ปรมาณอนรกษณ) นอกจากนเรายงแสดงไดวา

สำหรบกำลง ดงนนเราจะได ความสมพนธ(ผานอนกรมเทเลอร)

หรอ การกระทำของตวดำเนนการยนทาร

ทำการแปลง(แมป)ฟงกชนคลนเกาไปเปนฟงกชนคลนใหมดงสมกา

รกอนหนาน โดยท โดยททง 2

อยในปรภมฮลเบรต ดงนนเราอาจจจะกลาวไดวาการแปลงขางตนเปนการ

แปลงหรอสงจากปรภมฮลเบรตไปหาตวมนเองและผลคณภายใน (inner

product) ไมเปลยนภายใตการแปลงผานตวดำเนนการยนทาร

ซงคอเงอนไขนอรมลไลเซชน หรอความนาจะเปนทสอดคลองกบฟงกชนคลนนน

ไมเปลยนแปลงภายใตการแปลงแบบยนทาร(กฏอนรกษณความนาจะเปนนน

เอง)

ห า ก เ ร า เ ป ล ย น ว ธ ก า ร เ ข ย น ฟ ง ก ช น ค ล น ( ข น ก บ ต ำ แ ห น ง ) เ ป น

ดงนนเงอนไขนอรมลไลเซชนเขยนใหมไดเปน

โดยท คอปรมาตรทงหมดของบรเวณปดลอมทสนใจ และ

dGdt

=iℏ

[G, H]

[G, H] = 0 G[Gn, H] = 0

n ≥ 1[e−iαG/ℏ, H] = 0 [U(α), H] = 0U(α)

|Ψ′� > = U(α) |Ψ > { |Ψ′� > , |Ψ > } ∈ ℋℋ

P ≡ < Ψ′ �|Ψ′ � > = < Ψ |U†U |Ψ > = < Ψ |Ψ > = 1

Ψ(r, t) ≡ < r |Ψ >

P = < Ψ |Ψ > = ∫𝒱dV < Ψ |r > < r | = Ψ > = ∫𝒱

dVρ(r, t) = 1

𝒱

�33

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

ค อความหนาแนนของความหนาจะเปน

ซงเปนจรงตามสมการ

ซ งรจกกนในชอ สมการความตอเนองและ ค อความหนา

แนนของกระแสความนาจะเปนนยาม

สมการความตอเนองบอกเราวาความนาจะเปนของระบบไมเปลยนไปกบเวลานน

เองเพราะ

และแนนอนวาตวดำเนนการยนทาร(การแปลง)ไมสงผลตอโครงสรางดาน

บน(กฏอนรกษณความนาจะเปน) ตรงนเราอาจจะตความไดวากระแสของความ

นาจะเปนมพฤตกรรมเหมอนกบของไหลท

บบอดไมได (Incompressible fluid) รป

ดานขางแสดงการตความของสมการความ

ตอเนองในรปของอนทกรล(เหมาะกบการ

ตความกบ รปมากกวาท เ ข ยนในแบบ

ของอนพนธ)

สำหรบตวอยางทเราเจอไดในกลศาสตร

ควอนตมเบองตนไดแกตวดำเนนการเลอน

ρ(r, t) = Ψ*(r, t)Ψ(r, t) = |Ψ(r, t) |2

∂ρ∂t

+ ∇ ⋅ j = 0 j

j =ℏ

2mi (Ψ*∇Ψ − Ψ∇Ψ*)

dPdt

= ∫𝒱dV ( ∂ρ

∂t+ ∇ ⋅ j) = ∫𝒱

dV∂ρ∂t

+ ∮Sda j ⋅ n = 0

�34

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

ตำแหนงใน 1 มตจาก โดย คอพารามเตอรสำหรบการเลอน

โดยท และ คอตวดำเนนการโมเมนตม(เจน

เนอรเรเตอรสำหรบตำแหนง) อกตวอยางหนงคอตวดำเนนการเลอนเวลา

โดย คอพารามเตอรสำหรบการเลอน

โดยท และ คอตวดำเนนการฮามลโต

เนยน(เจนเนอรเรเตอรสำหรบเวลา)

สำหรบเงอนไข เราบอกวาไดวากรป เปนกรปสมมาตรของ

ระบบ [หมายเหต U สำหรบยนทาร] โดยม เปนการ

แปลงทมสมมาตรของกรปน

สมาชกของกรป นเปนจดบนวงกลม

1 หนวยในระนาบสงยค (complex plane)

หากเราให โดย

เรามเงอนไข ของยน

ทาร ผอานสามารถพสจนเองไดวาสมาชก

ในกรปนไปตามนยามของกรปทใหไวขาง

ตน

x − > x + δx δx

T(δx)Ψ(x, t) = Ψ(x + δx, t)

T(δx) = eiδxp/ℏ p = − iℏd /dx

t − > t + δt δt

U(δt)Ψ(x, t) = Ψ(x, t + δt)

U(δt) = e−iδtH/ℏ H = iℏd /dt

[G, H] = 0 U(1)π(eiθ) = U(θ) = e−iθG/ℏ

U(1)

u ≡ eiθ 0 ≤ θ ≤ 2π

u*u = |u |2 = 1

�35

http://tylerstevens.org/physics/complex-imaginary-number/

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

ทฤษฏแมเหลกไฟฟา ฟสกสป 3(เทอม 2 ปะ?)

สำหรบทฤษฎแมเหลกไฟฟาเราศกษาสมบตของสนามไฟฟาและสนามแม

เหลก(สนามเวกเตอร) เราขอรวบรดไปเรมท 4 สมการของแมกซเวลลเลยแลว

ครบ

หากเราทำการหาไดเวอรเจนซของกฏแอมแปรจะได

พจนทางซายมอเปนศนยเนองจากสมบตของเวกเตอร แทนกฏของเกาสลงไปยง

พจนสดทายเราจะได

สมการความตอเนอง เราตความหมายเหมอนกบกรณกอนหนานแตอตอนน

คอความหนาแนนของประจไฟฟาสวน คอความหนาแนนกระแส

∇ ⋅ ∇ × B = μ0∇ ⋅ J + μ0ϵ0∂(∇ ⋅ E)

∂t

∂ρ∂t

+ ∇ ⋅ J = 0

ρ

J

�36

https://www.allaboutcircuits.com/technical-articles/maxwells-equations-in-present-form/

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

สำหรบกรณทไมมแหลงกำเนด (source free)(ขอพจารณากรณงายๆจะไดเหน

ภาพ) เราจะมสมการ , ,

และ (%#)

ซงจะใหความสมพนธ

โดย คอ พอยนตงเวก

เตอร (Poynting vector) ซงจะบอกทศทสนามแมเหลกไฟฟาจะสงถายพลงงาน

ไป สมการนคอกฏอนรกษพลงงานสำหรบสนามแมเหลกไฟฟานนเอง(สงเกตรป

แบบการเขยนเหมอนกบสมการความตอเนอง)

เราพบวาสมการแมกซเวลล(ไมมแหลงกำเนด)ขางตนนนไมเปลยนรป

และ

ภายใตการแปลง (ให คออตราเรวแสง)

และ

หากเราจดสมการใหอยในของเมทรกซ เราจะเหนวาการแปลงดานบนเปนการ

หมนนนเอง !(SO(2)) การไมเปลยนรปของสมการภายใตการแปลงดงขางตน

บงบอกถงสมมาตรและแนนอนกฏอนรกษพลงงานสนามแมเหลกไฟฟานนเอง

∇ ⋅ E = 0 ∇ × B = 0

∇ × E +∂B∂t

= 0 ∇ × B −1

μ0ϵ0

∂E∂t

= 0

∂∂t ( ϵ0

2E2 +

12μ0

B2) + ∇ ⋅ P = 0 P =1μ0

E × B

∇ × E′�+∂B′ �∂t

= 0 ∇ × B′�−1

μ0ϵ0

∂E′ �∂t

= 0

c = 1/ ϵ0μ0

cB′ � = cB cos θ − E sin θ E′� = cB sin θ + E cos θ

�37

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

ตอนนเราเสกสนามเชงซอน สมการแมกซเวลล 2 สมการขางตน

จะลดรปเหลอ

แคสมการเดยว และการแปลงของสนามขางตนจะเหลอแค # [กลบ

ไปหากรป อกครง!]

ตอนนเราเขยนความหนาแนนลากรางเจยนของระบบไดเปน

โดย

และแอคชนคอ พจารณาหลกแอคชนนอยสด จะใหสม

การการเคลอนทของสนามเชงซอน ดงขางตน เราเหนไดทนทวาความหนา

แนนลากรางเจยนนนไมเปลยนรปภายใตการแปลง สำหรบ เปน

คาคงท สมมาตรชนดนเรยกวา สมมาตรทวบรเวณ (Global symmetry) สำหรบ

กรณท ไมเปนคาคงท ทำการแปลง โดยพจารณาให

เปนตวแปรใหม สมการออยเลอร-ลากรองจจะให

โดย และความหนาแนนลากรางเจยนใหม

F = cB + iE

∇ × F +ic

∂F∂t

= 0

F′� = eiθFU(1)

ℒ = F* ⋅ (∇ × F +ic

∂F∂t ) F* = cB − iE

S = ∫𝒱d4Vℒ δS = 0

FF′� = eiθF θ

θ = θ(r, t) F′� = eiθ(r,t)Fθ(r, t)

∂∂x ( ∂ℒ′�

∂θx ) +∂∂y ( ∂ℒ′�

∂θy ) +∂∂z ( ∂ℒ′�

∂θz ) +∂∂t ( ∂ℒ′�

∂θt ) = 0

θj = ∂θ/∂j

�38

# ผอานจบหนานแลวสงเกตเหนความสมพนธระหวางกรป U(1) และ SO(2) หรอไม หากยงไมเหนแนะนำใหกลบไปอานอกรอบ ! หากยง

ไมเหนอกใหอานวนไป ! ภาษาทางการคอ “SO(2) is isomorphic to U(1)” คำวา isomorphic ในทนวางายคอมแมป(ทหาอนเวอรได)ระหวาง

กน

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

สำหรบ จะได ความหนาแนนลากรางเจยน

ใหมประมาณได

แทนกลบลงไปในสมการออยเลอร-ลากรองจจะได

ซ งคอกฏอน รกษณพลงงานนนเองเพราะ และ

นนเอง สวยงาม!!! ดงนนสำหรบกรณ

เปนการแปลงทขนเฉพาะจด เรยกวา สมมาตรเฉพาะท (Local symmetry)

เราขอขยายความแตกตางระหวางสมมาตรทวบรเวณและสมมาตรเฉพาะทเพม

เตมเพอใหเหนภาพ จรงๆอยากใชคำวาการแปลงทวบรเวณ (Global

transformation) กบ การแปลงเฉพาะท (Local transformation) นาจะทำใหเหน

ภาพมากกวา ตอนนเราคดวามสนามเวกเตอรทวางตวอยในระนาบ 2 มต โดย

ทกตำแหนงมเวกเตอรตดอยและมทศชขน หากเราทำการหมนทกเวกเตอรบน

ระนาบไปทางขวาดวยมม 90 องศาอยางนเรยกวาการแปลงทวบรเวณ อกกรณ

คอการหมนแตละเวกเตอรไปดวยขนาดมมแตกตางขนกบตำแหนงอยางนเรยกวา

การแปลงเฉพาะทนนเอง ดรปประกอบ

ℒ′� = F′�* ⋅ (∇ × F′ �+ic

∂F′�∂t )

θ(r, t) < < 1 F′� ≈ (1 + θ(r, t))F

ℒ′� = ℒ − i (F* × F) ⋅ ∇θ −ic

F* ⋅ F∂θ∂t

∂∂t

(F* ⋅ F) + ic∇ ⋅ (F* × F) = 0

F* ⋅ F = c2B2 + E2

cϵ0F* × F = − 2iP F′� = eiθ(r,t)F

�39

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

ย งไมจบนะจะ !! เราสามารถเขยนสมการแมกซเวลลใหมในรปของศกยสเกลาร

และศกยเวกเตอร ผานความสมพนธ

และ (##)

จะได

สำหรบการแปลงศกย(หรอแปลงเกจนนเอง)

โดยท เปนฟงกชนสเกลาร สนามไฟฟาและสนามแมเหลก(##)ไมเปลยน

Φ A

E = − ∇Φ − ∂A/∂t B = ∇ × A

∇2Φ −∂(∇ ⋅ A)

∂t= −

ρϵ0

∇2 A −1c2

∂2A∂t2

− ∇ ⋅ (∇ ⋅ A +1c2

∂Φ∂t ) = − μ0J

A′� = A + ∇χ

Φ′ � = Φ −∂χ∂t

χ

�40

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

สมการแมกซเวลลทเขยนในรปศกยนนดจะไมสมดล(ไมสวยนนเอง) หากเรา

เลอกให

เรยกเงอนไขนวา เกจของลอรเรนซ (Lorentz gauge) และสมการแมกซเวลลลด

รปเหลอ

ซงดดขนมาเยอะวางน สำหรบกรณทไมมแหลงกำเนดสมการจะเหลอแค

และ (#%)

หากเราแทนการแปลงเกจลงไปในเกจของลอรเรนซจะไดวา

ซงเกจของลอรเรนซยงคงรปเดมเมอ

(###)

∇ ⋅ A +1c2

∂Φ∂t

= 0

∇2Φ −1c2

∂2Φ∂t2

= −ρϵ0

∇2 A −1c2

∂2A∂t2

= − μ0J

∇2Φ −1c2

∂2Φ∂t2

= 0 ∇2 A −1c2

∂2A∂t2

= 0

0 = ∇ ⋅ A′�+1c2

∂Φ′�∂t

= ∇ ⋅ A +1c2

∂Φ∂t

+ ∇2χ −1c2

∂2χ∂t2

0 = ∇2χ −1c2

∂2χ∂t2

�41

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

ความสมพนธดานบนบอกวาเรา การทเราใสเงอนไขของเกจของลอรเรนซลงไป

ซงเปนขอจำกดวาศกยสเกลารและศกยเวกเตอรตองสมพนธกนตามนน อยาง

ไรกดเรายงสามารถแปลงศกยทง 2 ไดดวยเงอนไข(###)

อกนด!! เราสามารถลดรปสมการแมกซเวลลลงไปใหเหลอสมการเดยวไดโดย

การเสกเทนเซอรแมเหลกไฟฟา (Electromagnetic tensor)

เรยกวา รปคอนทราแวเรยนต

หรอ

เรยกวา รปโคแวเรยนต

เราอาจตองเสก 4-ศกย (4-potential) และ 4-กระแส (4-

current) ตอนนไมยากละทจะเหนไดวา

โดย คอ 4-เกรเดยนต (4-gradient)

ซงสมการแมกซเวลลในรปเทนเซอรแมเหลกไฟฟาคอ

Fμν =

0 −Ex /c −Ey /c −Ez /cEx /c 0 −Bz By

Ey /c Bz 0 −Bx

Ez /c −By Bx 0

Fμν =

0 Ex /c Ey /c Ez /c−Ex /c 0 −Bz By

−Ey /c Bz 0 −Bx

−Ez /c −By Bx 0

𝒜μ ≡ (Φ/c, A)𝒥μ ≡ (cρ, J)

Fμν = ∂μ𝒜ν − ∂ν𝒜μ = − Fνμ ∂μ

�42

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

ใสเงอนไขเกจของลอรเรนซ สมการดานบนจะเหลอ

สำหรบกรณไมมแหลงกำเนดสมการดานบนจะเหลอแค (เทยบ

สมการ (%#)) หรอ (เทยบสมการ (#%))

ความหนาแนนลากรางเจยนสำหรบกรณคอ และภายใต

การแปลงเกจ (เทยบกบกรณ กอนหนานหากงง) เราพบวา

เทนเซอรแมเหลกไฟฟาไมเปลยนรป นนยอมหมายความวาความ

หนาแนนลากรางเจยนยอมไมเปลยนรปดวย ดง

นนการแปลง(การแปลงเกจ)ขางตนตองใหกฏอนรกษณแนนอนซงคอ

โดย

โดย คอ แคนโนนคล พลงงาน-โมเมนตม เทนเซอร หรอเราอาจเขยนในรป

โดย คอพอยนตงเวกเตอร

และ

∂μFμν = ∂ν∂μ𝒜ν − ∂ν∂ν𝒜μ = ∂μ∂ν𝒜ν − ∂ν∂ν𝒜μ = μ0𝒥ν

∂ν𝒜ν = 0

□2 𝒜μ ≡ ∂ν∂ν𝒜μ = − μ0𝒥ν

∂μFμν = 0

□2 𝒜μ = 0

ℒ = − FμνFμν /4μ0

𝒜′�μ = 𝒜μ + ∂μχFμν = F′�μν

ℒ′� = − F′�μνF′�μν /4μ0 = ℒ

∂νTμν = 0 Tμν =1μ0 (FμλFν

λ −14

ημνFλκFλκ)Tμν

Tμν =

12 (ϵ0E2 + B2/μ0) Px /c Py /c Pz /c

Px /c −σxx −σxy −σxz

Py /c −σyx −σyy −σyz

Pz /c −σzx −σzy −σzz

P

�43

ฟสกสหมาหมา สมมาตรและฟสกส

คอ แมกซเวลลสเตรสสเทนเซอร (Maxwell stress tensor)

สำหรบสมการ หากเรากระจายเทอมของ 4-เวกเตอรออกมาจะได

ซงมาจากสวนประกอบของเวลาใน 4-เวกเตอรและคอสมการอนรกษพลงงานแม

เหลกไฟฟากอนหนานนเอง อกสมการคอ

ซงมาจากสวนประกอบของตำแหนงใน 4-เวกเตอร สมการนคอสมการอนรกษ

โมเมนตมของแมเหลกไฟฟาโดย และ คอความหนาแนน

โมเมนตมฟลกซ

σij = ϵ0EiEj +1μ0

BiBj −12 (ϵ0E2 + B2/μ0)

∂νTμν = 0

∂∂t ( ϵ0

2E2 +

12μ0

B2) + ∇ ⋅ P = 0

1c2

∂∂t

P + ∇ ⋅ σ = 0

pem ≡ P/c2 ∇ ⋅ σ

�44

จบตอนท 1