การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... ·...

13/02/55

1

การหาผลเฉลยเชงตวเลขของปญหาคาเรมตน

Numerical Analysis

Introduction

ปญหาคาเรมตน คอ ปญหาวาดวยการแกสมการเชงอนพนธทสอดคลอง

กบเงอนไขคาเรมตนเงอนไข วธเชงตวเลขทไมไดใหคาประมาณทตอเนอง กบเงอนไขคาเรมตนเงอนไข วธเชงตวเลขทไมไดใหคาประมาณทตอเนอง

แตใหคาประมาณ ณ จดทกาหนด

คาประมาณอนๆระหวางจดทกาหนดสามารถใชการประมาณคาในชวง

, , 0 , 0  

x0 x1 x2 x3 xn

13/02/55

2

Introduction

เงอนไขความแจมชด

สาหรบปญหาคาเรมตน

, ,     , 

สมมต และ ตอเนองสาหรบทก ใน , ดงนนปญหาคาเรมตนมผลเฉลยหนงเดยว สาหรบ , และปญหานเรยกวา ปญหาแจมชด (well-posed problem)

Well-posed Formula: Example

พจารณาปญหาคาเรมตน

( )xyxy sin1+=′ , 20 ≤≤ x , ( ) 00 =y

ในทน

( ) ( )xyxyxf sin1, +=

( ) ( )xyxyxf y cos, 2=

ทงคตอเนองสาหรบ [ ]20∈x ดงนน ผลเฉลยจะมเพยงผลเฉลยเดยว และเปนปญหาคาเรมตนแจมชด ทงคตอเนองสาหรบ [ ]2,0∈x ดงนน ผลเฉลยจะมเพยงผลเฉลยเดยว และเปนปญหาคาเรมตนแจมชด

13/02/55

3

Classes of Methods

ประมาณคา ( )xy โดย กาหนด x ทจดตางๆ เปน K,,, 210 xxx จะได iy เปนคาประมาณของ ( )ixy

1. ระเบยบวธชนเดยว (one step method)

สตรของการประมาณคาจะอยในรป

( )hyxhyy iiii ,,1 φ+=+ K,2,1,0=i

โดยท ( )hyx ii ,,φ เปนฟงกชนสวนทเปลยนแปลงเมอ x เปลยนคา จาก ix เปน hxi +

2. ระเบยบวธหลายชน (multi-step method)

เปนการหา 1+iy โดยใชผลเฉลยทรคาแลวมากกวา 1 จด ระเบยบวธนมรปแบบของสตรเปน

( )∑∑−=

−−=

−+ +=m

kkikik

m

kkiki hyxbhyay

101 ,,φ K,2,1,0=i

โดยท maaa ,,, 10 K , mbbb ,,, 10 K เปนคาคงตว

Classes of Methods

สาหรบระเบยบวธหลายชน ซงมรปสตรเปน

( )∑∑−=

−−=

−+ +=m

kkikik

m

kkiki hyxbhyay

101 ,,φ K,2,1,0=i

ถา 0≠ma หรอ 0≠mb ระเบยบวธ จะม 1+m ขน เพราะตองใชขอมล 1+m จด

ถา จะสามารถหา จากคาทางดานขวาของสตรไดทนท ระเบยบวธนจะเรยกวา ระเบยบวธโดยชดแจง (explicit)

ไ ป ถา จะมตวไมทราบคา ปรากฏทงสองดานของสตร ระเบยบวธนจะเรยกวา ระเบยบวธโดยปรยาย (implicit)

13/02/55

4

Euler Method

สาหรบปญหาคาเรมตน

, ,    ,

จะกาหนดใหคา  เทาๆ กน จะไดวา

0,1,2, … ,

ผลตางระยะทางระหวางจด เรยกวา ขนาดของชน

Euler Method

โดยทฤษฎบทของเทยเลอร (Taylor’s Theorem)

ถา เปนผลเฉลยของปญหาคาเรมตน และ 2 , แลว

1 1 2! 12

เมอ 0,1,2, … , 1 และบาง , 1

เมอให 1 และจาก , จะได 2

1 ,2

2!

13/02/55

5

Euler Method: Formula

สตร ระเบยบวธ Euler

0

1 ,  

มคาความคลาดเคลอนเฉพาะถน (Local Error) เปน 2

2! สาหรบบาง , 1

Euler Method: Geometry Meaning

จากการทให เปนคาประมาณของ เราไดวา ,

1yα

( )yxfy ,=′( ) α=ay  

Slope ( ) ( )α,afay =′  

( )yxfy ,=′( ) α=ay

1yα  

2y  

a   1x a   1x 2x

13/02/55

6

Euler Method: Example

จงใชระเบยบวธ Euler ในการประมาณผลเฉลยของปญหาคาเรมตน

12 +′ 20 ≤≤ ( ) 500 โ ใ 10N 20h i20 12 +−=′ xyy , 20 ≤≤ x , ( ) 5.00 =y โดยใช 10=N , 2.0=h และ ixi 2.0=

จาก ( ) 1, 2 +−= xyyxf

ให 5.00 =y และ ( )121 +−+=+ iiii xyhyy 9,,2,1,0 K=i

0=i , ( )120001 +−+= xyhyy

( ) 8000.0105.02.05.0 =+−+=

1i ( )12 ++= xyhyy1=i , ( )11112 +−+= xyhyy

( )( ) 1520.112.08.02.08.0 2 =+−+= 2=i ( )12

2223 +−+= xyhyy

( )( ) 5504.114.0152.12.0152.1 2 =+−+=

Euler Method: Example

ผลเฉลยทแทจรงสาหรบปญหาคาเรมตนนกคอ ( ) ( ) xexxy 5.01 2 −+=

i x y y(x) |y-y(x)|i x y y(x) |y y(x)|0 0.0000000 0.5000000 0.5000000 0.00000001 0.2000000 0.8000000 0.8292986 0.02929862 0.4000000 1.1520000 1.2140877 0.06208773 0.6000000 1.5504000 1.6489406 0.09854064 0.8000000 1.9884800 2.1272295 0.13874955 1.0000000 2.4581760 2.6408591 0.18268316 1.2000000 2.9498112 3.1799415 0.23013037 1.4000000 3.4517734 3.7324000 0.28062667 1.4000000 3.4517734 3.7324000 0.28062668 1.6000000 3.9501281 4.2834838 0.33335579 1.8000000 4.4281538 4.8151763 0.3870225

10 2.0000000 4.8657845 5.3054720 0.4396875

13/02/55

7

Taylor order n

จากการกระจายอนกรมเทยเลอร รอบจด จะได

  ! !

สาหรบบาง ,

จาก , , , , ...,, ,

จะได จะได

, , ! ,

! ,

Taylor order n: Formula

ระเบยบวธ Taylor อนดบ n

, , , , … , เมอ

, , ,!

,

คาผดพลาดเฉพาะถนคอ สาหรบบาง คาผดพลาดเฉพาะถนคอ !

สาหรบบาง ,

13/02/55

8

Taylor order n: Example

จงใชระเบยบวธ Taylor อนดบ 2 และอนดบ 4 กบปญหาคาเรมตน

, , . เนองจากเราใชเทยเลอรอนดบ 4 จงตองใชอนพนธของ ถงอนดบ 3 ซง ,

,

,

,

Taylor order n: Example

ได

, , ,

, , , , ,

13/02/55

9

Taylor order n: Example

ไดสตรเทยเลอรอนดบสอง .

และสตรเทยเลอรอนดบส .

สาหรบ , , , … ,

Taylor order n: Example

ให . , ดงนน . , … , ให . , ดงนน . , … ,

จากระเบยบวธเทยเลอรอนดบสาหรบ ได

. . . . .

สาหรบ สาหรบ , .

. . . . . . .

.

13/02/55

10

Taylor order n: Example

ระเบยบวธเทยเลอรอนดบ 4 ให

สาหรบ

.

.. . .

.

. ..

. . ..

Taylor order n: Example

สาหรบ , .

.

.. . .

. .

. .. .

. . .

.

13/02/55

11

Taylor order n: Example

ExactTaylor order 2 Error

Taylor order 4 Error Exact order 2 Error order 4 Error

| | | | 0.00 0.5000000 0.5000000 0.0000000 0.5000000 0.0000000 0.20 0.8292986 0.8300000 0.0007014 0.8293000 0.0000014 0.40 1.2140877 1.2158000 0.0017123 1.2140910 0.0000033 0.60 1.6489406 1.6520760 0.0031354 1.6489468 0.0000062 0.80 2.1272295 2.1323327 0.0051032 2.1272396 0.0000101 1.00 2.6408591 2.6486459 0.0077868 2.6408744 0.0000153 1 20 3 1799415 3 1913480 0 0114065 3 1799640 0 00002251.20 3.1799415 3.1913480 0.0114065 3.1799640 0.0000225 1.40 3.7324000 3.7486446 0.0162446 3.7324321 0.0000321 1.60 4.2834838 4.3061464 0.0226626 4.2835285 0.0000447 1.80 4.8151763 4.8462986 0.0311223 4.8152377 0.0000614 2.00 5.3054720 5.3476843 0.0422123 5.3055554 0.0000834

Interpolate other values

เมอตองการทราบคา . กจะสามารถใชวธการประมาณคาในชวง เชน ใชพหนาม ลากรองจ 2 จด

ตวอยางเชน ให . และ . และจากขอมลทประมาณไดจากระเบยบวธเทยเลอรอนดบ 4 ได

.. .. . .

. .. . .

. .

ซงคาจรงของ . . ดงนนคาประมาณทไดจงมความคลาดเคลอนเพยง 0.0007525

13/02/55

12

Interpolate other values

เมอใชพหนาม Hermite จะตองหาคาประมาณของ . และ .

ซงทาไดโดยอาศยความสมพนธของ , ดงน

. . . . ..

. . . . ..

Interpolate other values

โดยใชผลตางสบเนองหาสมประสทธของพหนาม Hermite จะไดขอมลดงตาราง 1.2 3.1799640

2.7399640 1.2 3.1799640 0.1118825

2.7623405 -0.3071225 1.4 3.7324321 0.0504580

2.7724321 1.4 3.7324321

. . . . .. . .. . . . . .  

13/02/55

13

ระเบยบวธ Runge-Kutta (RK)

ระเบยบวธ Runge-Kutta เปนการปรบปรงระเบยบวธเทยเลอร เพอใหพจนขอบเขตของคาผดพลาดอนดบสงยงคงรกษาไว ในขณะทเราไมจาเปนตองหา

25

ขอบเขตของคาผดพลาดอนดบสงยงคงรกษาไว ในขณะทเราไมจาเปนตองหาอนพนธยอยอนดบสง

ทฤษฎบทเทยเลอรใน 2 ตวแปร

ถา และทกอนพนธยอยอนดบนอยกวาหรอเทากบ ตอเนองบนโดเมน

26

, | , และ , กบ , อยใน ทงคแลว ,

, , ,

, , ,

!,

13/02/55

14

Runge-Kutta order 2

ระเบยบวธเทยเลอรอนดบสองไดมาจาก

27

!

, ,!

เนองจาก , , , และ

, ได

, , , ,

!

Runge-Kutta order 2

เปรยบเทยบ

28

, , , ,

!

กบการกระจายพจน , โดยใชทฤษฎบทของเทยเลอรกบ จะได

, , , ,

, , ,

เทยบพจนจะไดวา

, และ ,

13/02/55

15

Runge-Kutta order 2

เปรยบเทยบ

29

, , , ,

!

กบการกระจายพจน , โดยใชทฤษฎบทของเทยเลอรกบ จะได

, , , ,

, , ,

เทยบพจนจะไดวา

, และ ,

Runge-Kutta order 2

การแทนดวย , ในระเบยบวธเทยเลอรไมใชทางเลอกเดยว ถาใช

30

พจนในรป , , , ตว

แปรเสรมใหสตรอนดบสองจานวนอนนต ซงคอ รปแบบของสตร Runge-Kutta อนดบสอง

(RK2)

, , ,

13/02/55

16

สตรกงกลาง (Midpoint Method)

และ

31

, , และ

, ,

, , , … ,

สตร Euler ดดแปลง (Modified Euler Method)

และ

32

, , และ

, , ,

, , , … ,

13/02/55

17

สตร Heun (Heun’s Method)

และ

33

, , และ

, , ,

, , , … ,

ซงคาผดพลาดเฉพาะถนของทงสามสตรคอ

RK2: Example

จงใชระเบยบวธ Runge-Kutta กบปญหาคาเรมตน

34

,       , . พรอมดวย , . , . และ . สตรการประมาณจากระเบยบวธตางๆไดแก สตรจดกงกลาง . . . . สตร Euler ดดแปลง . . . . สตร Heun . . . .

, , , … ,

13/02/55

18

RK2: Example

จาก , , . และ , . , . ,

35

.

ซงไดวา ,

สครจดกงกลางคอ , ,

แยกคดเฉพาะ ,

. . . . .

. . .

RK2: Example

จาก . . แทนคาลงใน , จะได

36

, ,

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . .

13/02/55

19

RK2: Example

ดงนนสครจดกงกลาง สาหรบปญหาน คอ

37

, ,

  . . . .

. . . .

RK2: Example

Midpoint Method

Error Modified Euler

Error Heun's Method

Error

38

0.00 0.5000000 0.5000000 0.0000000 0.5000000 0.0000000 0.5000000 0.0000000 0.20 0.8292986 0.8280000 0.0012986 0.8260000 0.0032986 0.8273333 0.0019653 0.40 1.2140877 1.2113600 0.0027277 1.2069200 0.0071677 1.2098800 0.0042077 0.60 1.6489406 1.6446592 0.0042814 1.6372424 0.0116982 1.6421869 0.0067537 0.80 2.1272295 2.1212842 0.0059453 2.1102357 0.0169938 2.1176014 0.0096281 1.00 2.6408591 2.6331668 0.0076923 2.6176876 0.0231715 2.6280070 0.0128521 1.20 3.1799415 3.1704634 0.0094781 3.1495789 0.0303627 3.1635019 0.0164396 1.40 3.7324000 3.7211654 0.0112346 3.6936862 0.0387138 3.7120057 0.0203944 1.60 4.2834838 4.2706218 0.0128620 4.2350972 0.0483866 4.2587802 0.0247035 1.80 4.8151763 4.8009586 0.0142177 4.7556185 0.0595577 4.7858452 0.0293310 2.00 5.3054720 5.2903695 0.0151025 5.2330546 0.0724173 5.2712645 0.0342074

13/02/55

20

Runge-Kutta order 4: Formula

39

,

,

,

, , , , … , คาผดพลาดเฉพาะถนคอ

Runge-Kutta order 4: Example

จงใชระเบยบวธ Runge-Kutta อนดบ 4 กบปญหาคาเรมตน

40

,       , . พรอมดวย , . , . และ .

จาก , , , . ,   . และ .

0 0 0, 0 . . . .

13/02/55

21

Runge-Kutta order 4: Example

0 , 0 .., .

.

41

0 , 0 ,

  . . . .  

3 0 , 02 .

., .

. 

  . . . .  

, 0 . . , . ., 0 ,

  . . . .  

Runge-Kutta order 4: Example

ดงนนได

42

. . . . .

.  

, .  

  . . . .  

13/02/55

22

Runge-Kutta order 4: Example

1 , 1 . .., .

. 

43

  . . . .  

3 0 , 02 . .

., .

. 

  . . . .  

, 0 . . , . .  

  . . . .  

ได . . . .

. .  

Runge-Kutta order 4: Example

RK4 Error 0.00 0.5000000 0.5000000 0.0000000 0.3000000 0.3280000 0.3308000 0.3581600

44

0.20 0.8292933 0.8292986 0.0000053 0.3578587 0.3836445 0.3862231 0.4111033 0.40 1.2140762 1.2140877 0.0000114 0.4108152 0.4338968 0.4362049 0.4580562 0.60 1.6489220 1.6489406 0.0000186 0.4577844 0.4775628 0.4795407 0.4976925 0.80 2.1272027 2.1272295 0.0000269 0.4974405 0.5131846 0.5147590 0.5283923 1.00 2.6408227 2.6408591 0.0000364 0.5281645 0.5389810 0.5400626 0.5481771 1.20 3.1798942 3.1799415 0.0000474 0.5479788 0.5527767 0.5532565 0.5546301 1.40 3.7323401 3.7324000 0.0000599 0.5544680 0.5519148 0.5516595 0.5447999 1.60 4.2834095 4.2834838 0.0000743 0.5446819 0.5331501 0.5319969 0.5150813 1.80 4.8150857 4.8151763 0.0000906 0.5150171 0.4925189 0.4902690 0.4610709 2.00 5.3053630 5.3054720 0.0001089

13/02/55

23

RK4 & Other Methods

ระเบยบวธ Runge-Kutta อนดบ 4 ใชการหาคาฟงกชน 4 ครงตอขนตอน อาจเทยบไดกบ

45

ระเบยบวธ Euler ทมขนาดตะแกรง(ขนตอน)เปน

ระเบยบวธ Runge-Kutta อนดบ 4 ดกวาระเบยบวธ Runge-Kutta อนดบ 2 (ทมขนาดของ

ขนตอน ) เพราะระเบยบวธ Runge-Kutta อนดบ 4 ใชจานวนการหาคามากกวาเปน 2 เทา

ของแตละขนตอน

RK4 & Other Methods

พจารณาปญหา

46

,       , . โดยใชระเบยบวธ Euler พรอมดวย . ระเบยบวธ Euler ดดแปลง(RK2) พรอมดวย . และระเบยบวธ Runge-Kutta 4 (RK4) กบ . เปรยบเทยบ ณ จด

. , . , . , . , .

13/02/55

24

RK4 & Other Methods

Exact Euler Modified Euler Runge-Kutta order 4

47

Exact Euler .. .

0.0 0.5000000 0.5000000 0.5000000 0.5000000 0.1 0.6574145 0.6554982 0.6573085 0.6574144 0.2 0.8292986 0.8253385 0.8290778 0.8292983 0.3 1.0150706 1.0089334 1.0147254 1.0150701 0 4 1 21408 1 20 634 1 21360 9 1 2140869 0.4 1.2140877 1.2056345 1.2136079 1.2140869 0.5 1.4256394 1.4147264 1.4250141 1.4256384

ระเบยบวธหลายขน (Multi-Step Method)

ถาอนทเกรตสมการเชงอนพนธ , เหนอชวง , จะได

48

,

ดงนน ,

แทน ดวนพหนามตวประมาณคาในชวง เราจะสามารถอนทเกรตได ซงเปนพหนามดกร หาไดจากจากชดขอมล , , , , ... , , และ

จะได จะได

,

13/02/55

25

ระเบยบวธหลายขน (Multi-Step Method)

รปแบบของพหนามตวประมาณใดๆสามารถใชแทน ได แตทสะดวกทสดคอ การใช

49

ผลตางสบเนองยอนหลงของนวตน

ระเบยบวธหลายขนสามารถแบงไดเปน 2 กลมคอ

1. ระเบยบวธโดยชดแจง เปนระเบยบวธท ไมขนกบการหาคา ,

2. ระเบยบวธโดยปรยาย ซงมบางสวนขนกบ ,

Multi-Step Method: Explicit case

ระเบยบวธหลายขนโดยชดแจง

50

กรณท สตรของ Adams-Bashforth อนดบตางๆในรปแบบ ∑ ,

อนดบ

1 0 1

2 1 3/2 -1/2

3 2 23/12 -16/12 5/12

4 3 55/24 -59/24 37/24 -9/24

13/02/55

26

Adams-Bashforth: Formula

Adams-Bashforth อนดบ 3 (AB3) , ,

51

, , ,

, , … ,

คาผดพลาดเฉพาะถน คอ สาหรบบาง ,

Adams-Bashforth อนดบ 4 (AB4) , , ,

, , ,

,

, , … ,

คาผดพลาดเฉพาะถน คอ สาหรบบาง ,

Multi-Step Method: Explicit case

ระเบยบวธหลายขนโดยชดแจง

52

กรณท ( ) จากการกระจายผลตางสบเนอง จะได รปแบบของสตรเปน

∑ ,

1 1 2

3 3 8/3 -4/3 8/3

13/02/55

27

Multi-Step Method: Explicit case

สตรของ Milne

53

, , , , , … ,

คาผดพลาดเฉพาะถนคอ สาหรบบาง ,

ป ใ เมอ เปนจานวนค และเลอก สตรสาหรบกรณ จะใชจานวนของ นอยกวาสตรสาหรบกรณ ทมอนดบเดยวกน

Multi-Step Method: Implicit case

ระเบยบวธโดยปรยาย

54

กรณท : ∑ ,

สตรนเรยกวา สตรของ Adams-Moulton อนดบตางๆ อนดบ ,

1 0 1

2 1 1/2 1/2

3 2 5/12 8/12 -1/12

4 3 9/24 19/24 -5/24 1/24

เมอ

13/02/55

28

Multi-Step Method: Implicit case

ระเบยบวธโดยปรยาย

55

กรณท สตรทนาสนใจคอ สตร Simpson ( , )

, , , , , … ,

คาผดพลาดเฉพาะถนคอ สาหรบบาง ,

เพอทจะใชสตรโดยชดแจงและโดยปรยาย จาเปนตองหาคา , , … , เสยกอนดวยระเบยบวธขนเดยว (single step method) เสยกอน เชน ใชระเบยบวธของ Runge-Kutta order 4

Predictor-Corrector Method

ระเบยบวธน เปนการใชสตร 2 สตรรวมกน โดยสตรหนงจะเปนสตรแบบชดแจง เรยกวา สตรตวทานาย (Predictor Formula) และอกสตรหนงเปนสตรโดยปรยาย

56

เรยกวา สตรตวทานาย (Predictor Formula) และอกสตรหนงเปนสตรโดยปรยาย ทมความแมนยาสงกวา เรยกวา สตรตวแก (Corrector Formula)

การใชสตรตวแก เรยกวา การทาซาภายใน (inner iteration)

ตองใชคตวทานายและตวแก ทมคาคลาดเคลอนอยในอนดบใกลเคยงกน มฉะนนแลวการทาซาภายในอาจจะไมลเขา

13/02/55

29

Predictor-Corrector Method

สตรของ Adams-Bashforth-Moulton (ABM4)

57

Predictor

Corrector

ใชระเบยบวธแบบชนเดยว เชน RK เพอหาคา , , และ , , ,

1. คานวณ ดวยสตรตวทานาย ใหคาคานวณเปน ใ 2. ใชคา เพอคานวณ

3. คานวณ ดวยสตรตวแก 4. คานวณคา และทาซาในขอ 3 จนกระทง

Predictor-Corrector Method

คสตรตวทานาย-ตวแกอนๆ

58

สตรตวทานาย ใชสตรของ Milne

สตรตวแก ใชสตร Simpson

หรอ สตรตวแก ใชสตร Hamming

13/02/55

30

Predictor-Corrector Method: Example

จงใชระเบยบวธตวทานาย-ตวแก หาคาของ ทจด . ของปญหาคาเรมตน

59

ทม เมอ โดยใช .

กาหนดใหคสตรทใชคอ

สตรตวทานาย ,

สตรตวแก , ,

Predictor-Corrector Method: Example60

, , ,

. .

,.. .

. . .

13/02/55

31

Predictor-Corrector Method: Example61

. ,

..

. . .

  .

. , . .

Predictor-Corrector Method: Example62

และได .

.

.

. .

ความคลาดเคลอนของสตรตวแกคอ เมอ

13/02/55

32

Predictor-Corrector Method: Example63

ประมาณ ดวย และ . ไดความคลาดเคลอนไมเกน ประมาณ ดวย และ . ไดความคลาดเคลอนไมเกน . . แสดงวาผลเฉลยมความแมน 3 D.P.

,

High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.

ปญหาคาเรมตนทมสมการเชงอนพนธอนดบ โดยทวไป มรปแบบเปน , , , … ,

โดยมเงอนไขคาเรมตน , , ...,

13/02/55

33

High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.

เมอให , , ..., ผลทไดคอระบบสมการ

; , , … ,และเงอนไขคาเรมตน , , ..., เมอ

High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.

เขยนไดในรปแบบสมการเวกเตอรเชงอนพนธ ไดเปน , โดยม

เมอ

โดยท

;; ; , ;

; ; , , … ,

13/02/55

34

High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.

ระเบยบวธทใชหาผลเฉลยปญหาคาเรมตน , ทม เมอ ตอง

เปลยนปรมาณสเกลาร , , , , และ , , , ในสตรแบบ Runge-Kutta

หรอสตรอนๆเปนปรมาณเวกเตอร , , ; , และ , , ,

RK4 in vector form

สตรแบบ RK4 คอ 

,

,

,,

, , , … ,

13/02/55

35

ABM4 in vector form

สตรตวทานาย

สตรตวแก โดยท ;

High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.: Example

จากปญหาคาเรมตน , , จงหาคาประมาณของ

. ดวยระเบยบวธ RK4

กาหนดให

ดงนน

, , ,

13/02/55

36

High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.: Example

ไดระบบสมการ ,

พรอมเงอนไข

โดยระเบยบวธ Runge-Kutta อนดบ 4

, . .

. .  

High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.: Example

.

, . . ..

.

..

..  

, . .. .

..  

13/02/55

37

High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.: Example

..

..

, . .. .

..

. .

จาก . . . .

. . ...

ดงนน . . และ . .

High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.: Example

จงใชระเบยบวธตวทานาย-ตวแก เพอหาคา เมอ . กาหนดให และ

0.0 1 -1

0.1 0.895171 -1.094838

0.2 0.781397 -1.1787736

0.3 0.659816 -1.250857

13/02/55

38

High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.: Example

กาหนดให , , .

จาก    

,

จาก  

,

.. ,

.. ,

..

.

. ,

.

. ,

.

.

High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.: Example

ใชสตรตวทานาย-ตวแก ABM4

สตรตวทานาย   

..

. . . .. . ...  

13/02/55

39

High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.: Example

จาก . และ  

.

.  

.

สตรตวแก

. ..

.

.  

. ..  

High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.: Example

. .

..

∞.

แสดงวาผลเฉลยมความแมนยาถงทศนยมตาแหนงท 5 (5 D.P.)

. . และ . .

13/02/55

40

Divided Different Method for BVP

ปญหาคาขอบ(BVP)ของสมการเชงอนพนธเชงเสน

,

การหาผลเฉลยเชงตวเลขจะตองเปลยนปญหาในระบบตอเนอง ใหเปนปญหาในระบบไมตอเนอง โดย

1. เปลยนโดเมนตอเนองของ ในชวง , เปนเซตของจดแบงชวง คอ , , … ,1. เปลยนโดเมนตอเนองของ ในชวง , เปนเซตของจดแบงชวง คอ , , … ,  2. เปลยนสมการเชงอนพนธ เปนสมการผลตางสบเนอง 3. เปลยนเงอนไขคาขอบทกาหนดให เปนเงอนไขเกยวกบคาของ ทจดแบงชวงตางๆ

Differential Equation to Divided Different Form

จาก

ป ป ไ เมอแปลงเปนผลตางสบเนองจะได

, , … ,

13/02/55

41

Divided Different Formula for Linear BVP

ให , และ จดรปใหมได

, , … ,

เมอแทนคาดชน จะไดระบบสมการเชงเสน มเมตรกซของสมประสทธเปนเมตรกซสามแนว

เฉยงททราบคาทกตว ระบบสมการนม สมการ และมตวไมทราบคาจานวน ตว

คอ , , … , ในขณะท และ

Existing of Solution

ถาเลอกขนาดของชวง ททาให โดยท | | เมตรกซของ

สมประสทธในระบบสมการ , , , … , จะมแนวทแยงมมขมแท จงมผลเฉลย

แนนอนและมเพยงผลเฉลยเดยว

13/02/55

42

Divided Different for BVP: Example

จงหา ท . จากปญหาคาขอบ , , เมอ

ใช

แทน , , ใน

จะได

Divided Different for BVP: Example

สาหรบแตละคา จะได

แทนคา , , , , , จะไดระบบสมการ

. .. . .

. .

.

.

.

13/02/55

43

Divided Different for BVP: Example

หาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน

ไดผลเฉลย . , . , .