acciones-de-fijaciÓn-y-momentos-de-empotramiento-perfecto.pdf
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-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
1
DEDUCCIN DE LAS FUERZAS DE FIJACIN Y LOS MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO PERFECTO PARA VIGAS CON CARGAS COMUNES
Ortiz David1, Molina Marcos2, Martnez Hugo1, J. Bernal Elan2, Hernndez Daniel1,
Garca Pascual2, Berruecos Sergio1
1. Escuela Superior de Ingeniera y Arquitectura, Unidad Zacatenco, Instituto Politcnico
Nacional, Distrito Federal, Mxico.
2. Facultad de Estudios Superiores Aragn, Universidad Nacional Autnoma de Mxico,
Nezahualcyotl, Estado de Mxico.
VIGA 1.
Principio de Superposicin.
Incompatibilidades geomtricas y coeficientes de flexibilidad.
Se obtienen los momentos internos con base en VIF 1.
0 2
+ = 0 1 = 0
2
+ = 0
( ) ( )
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
2
2 (
2) = 0 2 = +
2
De VIF 2, el momento interno 1 es
0
+ = 0
1 + (1)() = 0 1 =
A partir de VIF 3, se formula el momento interno 2.
0
+ = 0
1 1 = 0 1 = 1
Se calculan los desplazamientos y pendientes requeridos.
1 = 1 = 1
2
1
=1
[ (0)() + ( +
2) ()
2
2
0
] = 53
48
2 = 1 = 2
2
1
=1
[ (0)(1) + ( +
2) (1)
2
2
0
] =2
8
11 = 2 = 11
2
1
=1
()() =
3
3
0
21 = 2 = 12
2
1
=1
()(1) =
2
2
0
12 = 3 = 21
2
1
= 21 = 2
2
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
3
22 = 3 = 22
2
1
=1
(1)(1) =
0
Sistema de ecuaciones de flexibilidades y clculo de las redundantes.
Las ecuaciones de compatibilidad para la deflexin en y la pendiente en son,
respectivamente
1 + 11 + 12 = 0 (1)
2 + 21 + 22 = 0 (2)
Al sustituir los resultados en el sistema simultneo de ecuaciones se tiene
53
48+
3
3
2
2 = 0 (3)
2
8
2
2 +
= 0 (4)
Resolviendo el sistema resulta
=
2 =
8
Ecuaciones de equilibrio.
Las reacciones desconocidas restantes se obtienen de
+ = 0
2 + = 0 =
2
+ = 0
8+ (
2)
2() + = 0 =
8
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
4
VIGA 2.
Principio de Superposicin.
Incompatibilidades geomtricas y coeficientes de flexibilidad.
Con base en VIF 1 se deducen los momentos internos .
0
+ = 0
1 () (
2) = 0 1 =
2
2
Se retoman los momentos internos 1 y 2 de la primera deduccin.
1 1 = 0
2 1 = 1 0
Se obtienen los desplazamientos y pendientes necesarios.
1 = 1 = 1
2
1
=1
(
2
2) ()
0
= 4
8
( ) ( )
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
5
2 = 1 = 2
2
1
=1
(
2
2) (1)
0
=3
6
Remtase a la viga 1 y observe que
11 =3
3 21 =
2
2 12 =
2
2 22 =
Sistema de ecuaciones de flexibilidades y clculo de las redundantes.
Con los resultados se plantea
4
8+
3
3
2
2 = 0 (1)
3
6
2
2 +
= 0 (2)
Al resolver el sistema se obtiene
=
2 =
2
12
Ecuaciones de equilibrio.
Por lo tanto,
+ = 0
2 + = 0 =
2
+ = 0 2
12+ (
2)
2() + = 0 =
2
12
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
6
VIGA 3.
Principio de Superposicin.
Incompatibilidades geomtricas y coeficientes de flexibilidad.
De VIF 1, las funciones de momento son
0 2
+ = 0
1 [(2 )
()
2] (
3) = 0 1 =
3
3
La intensidad se obtiene de
2
=
=
2
2
Se deduce la intensidad .
( ) ( )
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
7
2
=
=
( )
2
= 2 2
La carga concentrada equivalente de la carga seccionada es
=
2 + 2
2
y su punto de aplicacin es
=
23
3 + 2 2
12
2 + 2 2
+ = 0
2 (
2 + 2
2)(
23
3 + 2 2
12
2 + 2 2
) = 0
2 =
33 2 +
2
2
12
Se usan los siguientes momentos internos
1 1 = 0
2 1 = 1 0
Se requiere de
1 =1
[ (
3
3) () + (
33 2 +
2
2
12) ()
2
2
0] =
114
192
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
8
2 =1
[ (
3
3) (1) + (
33 2 +
2
2
12) (1)
2
2
0
] =73
96
11 =3
3 21 =
2
2 12 =
2
2 22 =
Sistema de ecuaciones de flexibilidades y clculo de las redundantes.
En consecuencia,
114
192+
3
3
2
2 = 0 (1)
73
96
2
2 +
= 0 (2)
Por lo tanto,
=
4 =
52
96
Ecuaciones de equilibrio.
Finalmente, se tiene
+ = 0
4
2+ = 0 =
4
+ = 0
52
96+ (
2) () (
1
2) (
2
3) (
2) + (
2) ()(
1
2) (
2+
1
3(
2))
4() + = 0
=52
96
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
9
VIGA 4.
Principio de Superposicin.
Incompatibilidades geomtricas y coeficientes de flexibilidad.
Se formula el momento interno con base en VIF 1.
0
La fuerza resultante de la carga distribuida seccionada es
= (4
22 + 4
) =
4
323 +
2
2
0
y su punto de aplicacin es
= (4
2
2 + 4 )
0
(42
2 + 4 )
0
=
2
4 +43
3
432
3 +2
2
( ) ( )
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
10
+ = 0
1 (4
323 +
2
2)(
2
4 +43
3
432
3 +2
2) = 0 1 =
324
2
33
Adems,
1 1 = 0
2 1 = 1 0
Se calculan los desplazamientos y pendientes necesarios.
1 =1
(
324
2
33) ()
0
= 74
90
2 =1
(
324
2
33) (1)
0
=3
10
11 =3
3 21 =
2
2 12 =
2
2 22 =
Sistema de ecuaciones de flexibilidades y clculo de las redundantes.
El sistema de ecuaciones de compatibilidad geomtrica es
74
90+
3
3
2
2 = 0 (1)
3
10
2
2 +
= 0 (2)
Por consiguiente, las fuerzas correctivas son
=
3 =
2
15
Ecuaciones de equilibrio.
La carga concentrada equivalente de la carga distribuida con intensidad parablica
es
= (4
22 + 4
) =
2
3
0
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
11
y su lnea de accin se ubica en
= (4
2
2 + 4 )
0
(42
2 + 4 )
0
=
2
323
=1
2
As que,
+ = 0
3
2
3 + = 0 =
3
+ = 0 2
15+
2
3 (
2)
3() + = 0 =
2
15
VIGA 5.
De forma similar a la viga 2, se tiene
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
12
VIGA 6.
Principio de Superposicin.
Incompatibilidades geomtricas y coeficientes de flexibilidad.
De VIF 1, el momento interno es
0
La intensidad es
=
=( )
=
+ = 0
1
(
()( ( ))
2
)
(2
3) (
) () (
1
2) = 0 1 =
3
6
2
2
Por otra parte,
( ) ( )
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
13
1 1 = 0 2 1 = 1 0
Se calculan los desplazamientos y pendientes requeridos.
1 =1
(
3
6
2
2) ()
0
= 114
120
2 =1
(
3
6
2
2) (1)
0
=3
8
11 =3
3 21 =
2
2 12 =
2
2 22 =
Sistema de ecuaciones de flexibilidades y clculo de las redundantes.
114
120+
3
3
2
2 = 0 (1)
3
8
2
2 +
= 0 (2)
Se resuelve el sistema simultneo de ecuaciones. En consecuencia,
=7
20 =
2
20
Ecuaciones de equilibrio.
Las reacciones faltantes son
+ = 0 7
20
2+ = 0 =
3
20
+ = 0 2
20+
2(
3)
3
20() + = 0 =
2
30
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
14
VIGA 7.
Principio de Superposicin.
Incompatibilidades geomtricas y coeficientes de flexibilidad.
Se deducen los momentos internos con base en VIF 1.
0 2
+ = 0
1 = 0
2
+ = 0
2 = 0 2 =
Se retoman los siguientes momentos internos
1 1 = 0
( ) ( )
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
15
2 1 = 1 0
Se requiere de
1 =1
[ (0)() + ()()
2
2
0
] =32
8
2 =1
[ (0)(1) + ()(1)
2
2
0
] =
2
11 =3
3 21 =
2
2 12 =
2
2 22 =
Sistema de ecuaciones de flexibilidades y clculo de las redundantes.
Las ecuaciones de compatibilidad necesarias son
32
8+
3
3
2
2 = 0 (1)
2
2
2 +
= 0 (2)
La solucin del sistema es
= 3
2 =
3
2 =
4 =
4
Ecuaciones de equilibrio.
Las reacciones restantes desconocidas son
+ = 0 3
2+ = 0 =
3
2
+ = 0
4+ (
3
2) () + = 0 =
4
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
16
VIGA 8.
Principio de Superposicin.
Incompatibilidades geomtricas y coeficientes de flexibilidad.
A partir de VIF 1, se calculan los momentos internos .
0
La intensidad es
1 2
=
=(1 2)( )
= 1 2 +
2
1
= 2 + = 2 + 1 2 +2
1
= 1 +
2
1
Como se muestra en la siguiente figura, la carga trapezoidal distribuida seccionada
se divide en una carga triangular y una carga uniforme.
( )
( )
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
17
+ = 0
1 () (1 +2
1
) (
1
2)
[ () (1 (1 +
2
1
))
2
]
(2
3) = 0
1 =1
3
2
23
2
12
2+
23
3
13
3=
13
6
23
6
12
2
Los momentos internos restantes son
1 1 = 0
2 1 = 1 0
Se necesita de los siguientes desplazamientos y pendientes
1 =1
(
13
6
23
6
12
2) ()
0
= 111
4
120
24
30
2 =1
(
13
6
23
6
12
2) (1)
0
=1
3
8+
23
24
11 =3
3 21 =
2
2 12 =
2
2 22 =
Sistema de ecuaciones de flexibilidades y clculo de las redundantes.
Al construir el sistema de ecuaciones de compatibilidad y reemplazar los resultados
se tiene
(111
4
120+
24
30) +
3
3
2
2 = 0 (1)
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
18
(1
3
8+
23
24)
2
2 +
= 0 (2)
Al resolver el sistema se obtiene
= (71
20+
32
20) = (
12
20+
22
30)
Ecuaciones de equilibrio.
Finalmente,
+ = 0 71
20+
32
20 2 [
()(1 2)
2] + = 0
= (31
20+
72
20)
+ = 0
(1
2
20+
22
30) + 2() (
2) + (
()(12)
2) (
3) (
31
20+
72
20) () + = 0
= (1
2
30+
22
20)
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
19
VIGA 9.
Principio de Superposicin.
Incompatibilidades geomtricas y coeficientes de flexibilidad.
De VIF 1, se formulan los momentos internos .
0
La fuerza resultante de la carga distribuida seccionada es
= (
22) =
1
3
23
0
y su punto de aplicacin es
= (
2
2)
0
(2
2)
0
=
14
2
4
13
2
3=
3
4
( ) ( )
W
W
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
20
+ = 0 1 (1
3
23) (
3
4) = 0 1 =
4
122
Los momentos internos de las otras estructuras isostticas son
1 1 = 0
2 1 = 1 0
Se calculan los desplazamientos y pendientes necesarios.
1 =1
(
4
122) ()
0
= 4
72
2 =1
(
4
122) (1)
0
=3
60
11 =3
3 21 =
2
2 12 =
2
2 22 =
Sistema de ecuaciones de flexibilidades y clculo de las redundantes.
Las ecuaciones de compatibilidad para la deflexin en y la pendiente en son,
respectivamente
4
72+
3
3
2
2 = 0 (1)
3
60
2
2 +
= 0 (2)
Al resolver el sistema resulta
=
15 =
2
60
Ecuaciones de equilibrio.
La fuerza resultante de la carga distribuida tipo enjuta parablica es
= (
22) =
1
3
0
y su lnea de accin se localiza a una distancia
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
21
= (
2
2)
0
(2
2)
0
=3
4
Las reacciones desconocidas restantes se obtienen de
+ = 0
15
1
3 + = 0 =
4
15
+ = 0 2
60+
1
3 (
3
4)
4
15() + = 0 =
2
30
VIGA 10.
Principio de Superposicin.
Incompatibilidades geomtricas y coeficientes de flexibilidad.
Con base en VIF 1 se deducen los momentos internos .
( ) ( )
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
22
0
La fuerza resultante de la carga distribuida seccionada es
= ((1 + 2)) = (2 + 1) + 2(() )
0
y su punto de aplicacin es
= ((1 + 2))
0
(1 + 2)
0
=
(2 + 1) (2 + 1)2
2
2 (2 + 1) + 2(() )
+ = 0
1 [ (2 + 1) + 2(() )] [
(2 + 1) (2 + 1)2
2
2 (2 + 1) + 2(() )
] = 0
1 = 2 (2 + 1)
2+
(2 + 1)
2 2 () +
3
22
Se usan los siguientes momentos internos
1 1 = 0
2 1 = 1 0
Se requiere de
1 =1
(
2 (2 + 1)
2+
(2 + 1)
2 2 () +
3
22) ()
0
=1
[
4 (2 + 1)
8+
2 (2 + 1)
4+
(2 + 1)
24
23 ()
3+
74
16
2
24]
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
23
2 =1
(
2 (2 + 1)
2+
(2 + 1)
2 2 () +
3
22) (1)
0
=1
[3 (2 + 1)
6
(2 + 1)
2+ 2 ()
()
3
113
18+
3]
11 =3
3 21 =
2
2 12 =
2
2 22 =
Sistema de ecuaciones de flexibilidades y clculo de las redundantes.
En consecuencia,
1
[
4 (2 + 1)
8+
2 (2 + 1)
4+
(2 + 1)
24
23 arctan()
3+
74
16
2
24]
+3
3
2
2 (1)
1
[3 (2 + 1)
6
(2 + 1)
2+ 2 arctan()
arctan()
3
113
18+
3]
2
2 +
= 0 (2)
Por lo tanto,
=6(4 1) (2 + 1) + (24(2 + 1)() (192 + 18))
123
=6(4 + 62 3) (2 + 1) + (96() 13(2 + 6))
722
Ecuaciones de equilibrio.
La carga concentrada equivalente de la carga distribuida con intensidad logartmica
es
= (1 + 2) = (2 + 1) + 2(() )
y su lnea de accin se localiza a una distancia de
= ((1 + 2))
((1 + 2))
=
(2 + 1) (2 + 1)2
2
2 (2 + 1) + 2(() )
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
24
Finalmente, se tiene
+ = 0 + = 0
=6(4 + 1) (2 + 1) (24() + (52 18))
123
+ = 0 + + = 0
=6(4 + 3) (2 + 1) (48() + (72 30))
722
VIGA 11.
Principio de Superposicin.
Incompatibilidades geomtricas y coeficientes de flexibilidad.
Se deducen los momentos internos con base en VIF 1.
0
+ = 0 1 = 0
( ) ( )
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
25
+
+ = 0
2 ( ) = 0 2 = +
Los momentos internos de las otras estructuras isostticas son
1 1 = 0 +
2 1 = 1 0 +
Se requiere de
1 =1
[ (0)() + ( + )()
+
0
] = 2
2
3
3
2 =1
[ (0)(1) + ( + )(1)
+
0
] =2
2
11 =1
()() =
( + )3
3
+
0
21 =1
()(1) =
( + )2
2
+
0
12 = 21 = ( + )2
2
22 =1
(1)(1) =
+
+
0
Sistema de ecuaciones de flexibilidades y clculo de las redundantes.
Las ecuaciones de compatibilidad necesarias son
(2
2+
3
3) +
( + )3
3
( + )2
2 = 0 (1)
2
2
( + )2
2 +
+
= 0 (2)
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
26
La solucin del sistema es
=(3 + )2
( + )3=
(3 + )2
()3=
2
3(3( ) + ) =
2
2(3 2
)
= [2
2(3 2
)]
=2
2 + 2 + 2=
2
( + )2=
2
2
Ecuaciones de equilibrio.
Por lo tanto,
+ = 0 (3 + )2
( + )3 + = 0
=2( + 3)
( + )3=
2( + 3)
3=
2
3( + 3( )) =
2
3(3 2)
=2
2(3 2
) = [
2
2(3 2
)]
+ = 0
2
( + )2+
2( + 3)
( + )3( + ) + = 0
=2
( + )2=
2
2
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
27
VIGA 12.
Principio de Superposicin.
La viga a es una viga del tipo 11 en la que = sin . En consecuencia,
Resolvemos la viga b. Aplicando nuevamente el principio de superposicin se tiene
Se determinan las fuerzas normales de la viga b1.
( )
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
28
0
+ = 0
1 = 0
+
+ = 0
2 cos = 0 2 = cos
Se deduce la fuerza normal de la viga b2.
0 +
+ = 0
1 + 1 = 0 1 = 1
La ecuacin de compatibilidad para el desplazamiento horizontal en es
1 + 2= (1)
Expresando la ecuacin (1) en trminos de la incgnita se tiene
1 + 11 = 0 (2)
La incompatibilidad geomtrica es
1 =
2
1
= (0)(1)
0
+ ( cos)(1)
+
= cos
o tambin
1 =
=
(0)(1)()
+
( cos )(1)()
=
cos
El coeficiente de flexibilidad es
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
29
11 =
2
1
= (1)(1)
+
0
= +
o tambin
11 =
=
(1)(1)( + )
=
+
Nota: Para las ecuaciones anteriores, no es necesariamente la longitud de la viga,
ms bien hace referencia a la longitud del tramo analizado.
A continuacin se sustituyen los resultados en la ecuacin (2)
cos
+
+
= 0
Despejando la incgnita resulta
=
cos
+
= cos
+ =
( cos)()
La reaccin restante desconocida es
+ = 0 cos +( cos )()
+ = 0
= cos
+ =
( cos )()
Sumando los resultados de las vigas a y b se obtienen las reacciones de la viga 12.
VIGA 13.
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
30
Principio de Superposicin.
Incompatibilidades geomtricas y coeficientes de flexibilidad.
Se formulan los momentos internos con base en VIF 1.
0
+ = 0
1 = 0
+
+ = 0
2 + = 0 2 =
Se retoman los momentos internos 1 y 2 de la viga 11.
1 1 = 0 +
2 1 = 1 0 +
a
( ) ( )
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
31
Los desplazamientos y pendientes necesarios son
1 =1
[ (0)() + ()()
+
0
] =(2 + )()
2
2 =1
[ (0)(1) + ()(1)
+
0
] =
2
Remtase a la viga 11 y observe que
11 =( + )3
3 21 =
( + )2
2 12 =
( + )2
2 22 =
+
Sistema de ecuaciones de flexibilidades y clculo de las redundantes.
En consecuencia,
(2 + )()
2+
( + )3
3
( + )2
2 = 0
2
( + )2
2 +
+
= 0
Al resolver el sistema da
= 6
( + )3=
6
3
6
3
=(2 )()
2 + 2 + 2=
(2 )()
( + )2=
( 2
)
( 2( )
) =
(3
2)
Ecuaciones de equilibrio.
Las reacciones restantes desconocidas son
+ = 0 6
3= 0 =
6
3
+ = 0
((2 )()
2 + 2 + 2) +
6
( + )3( + ) + = 0
|
|
|
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
32
=( 2)
( + )2=
( + 2
) =
( + 2( )
)
=
(2 3
) =
(2
3
)
VIGA 14.
Principio de Superposicin.
Incompatibilidad geomtrica y coeficiente de flexibilidad.
De la viga 1, se retoman los siguientes desplazamientos
1 = 53
48 11 =
3
3
Ecuacin de flexibilidad y clculo de la redundante.
( )
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
33
La ecuacin de compatibilidad para la deflexin en es
1 + 11 = 0 (1)
Efectuando las sustituciones correspondientes tenemos
53
48+
3
3 = 0 (2)
Al despejar la incgnita se obtiene
=
53
483
3
=5
16
Ecuaciones de equilibrio.
Por lo tanto,
+ = 0 5
16 + = 0 =
11
16
+ = 0 (
2)
11
16() + = 0 =
3
16
o tambin
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
34
VIGA 15.
Principio de Superposicin.
Incompatibilidad geomtrica y coeficiente de flexibilidad.
1 = 4
8 11 =
3
3
Ecuacin de flexibilidad y clculo de la redundante.
Al plantear la ecuacin lineal
4
8+
3
3 = 0 (1)
y resolverla, se tiene
=
4
83
3
=3
8
Ecuaciones de equilibrio.
+ = 0 3
8 + = 0 =
5
8
+ = 0 (
2)
5
8() + = 0 =
2
8
( )
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
35
o tambin
VIGA 16.
Principio de Superposicin.
Incompatibilidad geomtrica y coeficiente de flexibilidad.
De la viga 3, se retoman los siguientes desplazamientos
1 = 114
192 11 =
3
3
Ecuacin de flexibilidad y clculo de la redundante.
Al formular la ecuacin de compatibilidad para la deflexin en
W
( )
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
36
114
192+
3
3 = 0
y resolverla, se tiene
=
114
1923
3
=11
64
Ecuaciones de equilibrio.
Finalmente,
+ = 0 11
64
2+ = 0 =
21
64
+ = 0
(
2) ()(
1
2) (
2
3) (
2) + (
2) ()(
1
2) (
2+
1
3(
2))
21
64() + = 0 =
52
64
o tambin
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
37
VIGA 17.
Principio de Superposicin.
Incompatibilidad geomtrica y coeficiente de flexibilidad.
De la viga 4, se retoman los siguientes desplazamientos
1 = 74
90 11 =
3
3
Ecuacin de flexibilidad y clculo de la redundante.
Al resolver la ecuacin
74
90+
3
3 = 0 (1)
resulta
=
74
903
3
=7
30
( )
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
38
Ecuaciones de equilibrio.
Las fuerzas reactivas en el empotramiento son
+ = 0 2
3 +
7
30+ = 0 =
13
30
+ = 0 2
3 (
2)
13
30() + = 0 =
2
10
o tambin
VIGA 18.
Principio de Superposicin.
( )
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
39
Incompatibilidad geomtrica y coeficiente de flexibilidad.
De la viga 6, se retoman los siguientes desplazamientos
1 = 114
120 11 =
3
3
Ecuacin de flexibilidad y clculo de la redundante.
Al plantear la ecuacin lineal
114
120+
3
3 = 0 (1)
y resolverla, obtenemos
=
114
1203
3
=11
40
Ecuaciones de equilibrio.
Por lo tanto,
+ = 0
2+
11
40+ = 0 =
9
40
+ = 0
2(
3)
9
40() + = 0 =
72
120
o tambin
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
40
VIGA 19.
Principio de Superposicin.
Incompatibilidad geomtrica y coeficiente de flexibilidad.
De la viga 9, se retoman los siguientes desplazamientos
1 = 114
120 11 =
3
3
Ecuacin de flexibilidad y clculo de la redundante.
Se formula la ecuacin de compatibilidad para la deflexin en .
4
72+
3
3 = 0 (1)
La solucin de la ecuacin (1) es
=
4
723
3
=1
24
Ecuaciones de equilibrio.
+ = 0
3+
24+ = 0 =
7
24
W
( )
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
41
+ = 0
3(3
4)
7
24() + = 0 =
2
24
o tambin
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
42
VIGA 20.
Principio de Superposicin.
Incompatibilidad geomtrica y coeficiente de flexibilidad.
Se deduce el momento interno con base en VIF 1.
0
Se calcula la intensidad .
=
=
+ = 0 1 () (
) (
1
2) (
1
3) = 0 1 =
63
Se formula el momento interno con base en VIF 2.
0
+ = 0
1 + (1)() = 0 1 =
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
43
Se requiere de los siguientes desplazamientos
1 =1
(
63) ()
0
= 4
30
11 =1
()() =
3
3
0
Ecuacin de flexibilidad y clculo de la redundante.
Al plantear la ecuacin
4
30+
3
3 = 0 (1)
y resolverla se tiene
=
4
303
3
=1
10
Ecuaciones de equilibrio.
Finalmente,
+ = 0
2+
10+ = 0 =
2
5
+ = 0
2(2
3)
2
5() + = 0 =
2
15
-
PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
44
o tambin
REFERENCIAS
1. R. C. Hibbeler. Anlisis estructural. Editorial Pearson.
2. Gonzlez Cuevas. Anlisis estructural. Editorial Limusa.
3. Selva Colindres Rafael. Dinmica de suelos y estructuras aplicadas a la
ingeniera ssmica. Editorial Limusa.
4. Magdaleno Carlos. Anlisis matricial de estructuras reticulares. Independiente.
5. James Stewart. Clculo de una variable: Conceptos y contextos. Editorial
CENGAGE Learning.
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