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Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
OBJETIVO N° 01
Determinar y representarconjuntos.
ACTIVIDAD N° 01
Así como en la Geometría
admiten sin definición; las
susceptibles de definición.
Conjunto: Intuitivam
de objeto
elementos
conjunto. Notación: Para d
mayúscul
elemento
Relación de Perte
conjunto
que “x e
contrari
A.
Ejemplo: Si A es
1; y
escribim
A = {
En est
8 ∈
Estudie la información destacando losconceptos básicos, notaciones yformas existentes para ladeterminación de conjuntos.
las ideas de Punto, Recta y Plano son conceptos básicos que se
ideas de Conjunto, Elemento y Pertenencia son, también, ideas no
NNOOCCIIÓÓNN DDEE CCOONNJJUUNNTTOO
ente un conjunto es la reunión, colección o agrupación
s reales o ideales, a estos objetos se les denominan
ó miembros del conjunto, y de ellos se dice que pertenecen al
enotar a los conjuntos se usan letras
as: A, B, C, X, etc. y para representar a sus
s se usan letras minúsculas: a, b, c, etc.
nencia: Si un objeto “x” es elemento de un
A, se dice que “x pertenece al conjunto A” ó
stá en A”, y se denota por: x ∈ A. En caso
o, “x no pertenece a A” y se denota por: x ∉
el conjunto formado por: 8, -2, 6, {0,1}, 3 y
B es el conjunto constituido por: 0 y 1;
os:
8, -2, 6, { 0, 1 }, 3 , 1 ]; B = { 0, 1 }.
e caso:
A...( V ) -2 ∈ A...( V )
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Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
6 ∉ A...( V ) 1 ∈ A ∧ 1 ∈ B...( V )
0 ∈ A...( V ) 3 ∉ B...( V )
{ 0, 1} ∈ A...( V ) { { 0, 1} } ∉ A...( V )
Se observa, además, que el conjunto B pertenece al
conjunto A.
DIAGRAMAS DE VENN-EULER
Para representar gráficamente a los conjuntos se usan los
Diagramas de Venn-Euler que son regiones planas limitadas por
figuras geométricas cerradas, como se ilustra a continuación con
los conjuntos A y B del ejemplo dado anteriormente.
•1
•0
B
•8
•-2
•6 •1
•3
•{0,1
A
7 ∉ A ∧ 7 ∈ B (V)
9 ∉ B → 0 ∈ B (V)
{ 0, 1 } ∈ B ∨ -2 ∈ A (V)
{ 1 } ∈ B ↓ { 0, 1 } ∉ A (V)
DETERMINACION DE CONJUNTOS
I. POR EXTENSION O EN FORMA TABULAR
Cuando se indica explícitamente cada uno de los elementos del
conjunto.
Ejemplo :
A = { 2, 3, 5, 7, 11 } B = { 1, 4, 9, 16, 25 }
C = { a, e, i, o, u }
II. POR COMPRENSION O EN FORMA CONSTRUCTIVA Cuando los elementos del conjunto son caracterizados mediante
una propiedad común.
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Ejemplo:
A = { p / p es un número primo ∧ p < 12 }
B = { x2 / x ∈ Z+ ∧ x ≤ 5 }
C = { x / x es una vocal }
Esquema general:
Conjunto =
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
)(Pr
elemento
opiedadaesticasCaracteris
delForma
Ejemplo:
T = { x / x es un pronombre personal en Inglés }
Nota: Otro diagrama para representar gráficamente a los
conjuntos es el Diagrama de Lewis Carroll.
CCOONNJJUUNNTTOOSS NNUUMMEERRIICCOOSS Hombres que no hablan
Hombres que hablan Inglés
Se observa que :
No hablan Inglés
Hablan Inglés
MUJERESHOMBRES
DIAGRAMA DE LEWIS CARROLL
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Son típicos en matemática los siguientes conjuntos
numéricos:
{ }{ }
{ }
{ }2
0,1, 2,3, 4,...
..., 3, 2, 1,0,1, 2,3,...
/ , 0
' exp'
^ / , 1 1
n n d dddecimales que no pueden resarse en forma de fraccion
x iy x y i i
=
= − − −
⎧ ⎫= ∈ ∧ ≠⎨ ⎬⎩ ⎭
=
= ∪ ∪ ∪
= + ∈ ∧ − = ↔ = −
CCLLAASSEESS DDEE CCOONNJJUUNNTTOOSS
CONJUNTO FINITO
Un conjunto es finito cuando posee una cantidad limitada de
elementos, es decir el proceso de contar sus elementos
termina en algún momento.
Ejemplo :
A = { x / x es un hablante nativo de Quechua }
B = { x / x es un mes del año }
CONJUNTO INFINITO
Un conjunto es infinito cuando tiene una cantidad
ilimitada de elementos diferentes, es decir el proceso de
contar sus elementos nunca termina.
Ejemplo :
A = { p / p es un número primo }
B = { x / x ∈ R ∧ 8 < x < 9 }
C = { x / x es una estrella de universo }
CCOONNJJUUNNTTOOSS EESSPPEECCIIAALLEESS
1. CONJUNTO NULO O VACIO
Es aquel conjunto que carece de elementos.
Ejemplo :
A = { x / x es el actual Virrey del Perú }
B = { x / x ∈ N ∧ 7 < x < 8 }
Notación: ∅ = { } = }{ xxx ≠/ .
A = B = ∅ = { }.
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2. CONJUNTO UNITARIO O SINGLETON
Es el conjunto que tiene un sólo elemento.
Ejemplo: A = { x / x ∈ Z ∧ 10 < x < 12 } = { 11 }
B = { 2, 2, 2, 2, 2, .............} = { 2 }
3. CONJUNTO UNIVERSAL
Es un conjunto referencial para el estudio de una situación particular que contiene a todos
los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal absoluto.
Ejemplo:
A = { 1, 2, 3 }; B = { 2, 4, 6, 8 }
Pueden ser conjuntos universales:
U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, .............}
U = = {x / x ∈ N }
* Gráficamente el conjunto universal se representa
generalmente mediante un rectángulo.
ILUSTRACIÓN RESUMEN
El conjunto B = { x ∈ Z / - 2 < x ≤ 3 }. está por comprensión
POR EXTENSIÓN ES: {-1, 0, 1, 2, 3}
TIENE COMO CUNJUNTO UNIVERSAL A Z
ES FINITO
NO ES VACÍO
NO ES UNITARIO
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Compruebe su aprendizaje, resolviendolos siguientes
ACTIVIDAD N° 02
EJERCICIOS GRUPO 1
1. Dado el conjuntos A = { a, { a }, ∅ }. Indicar cuales de
las siguientes proposiciones son verdaderas.
a. { a } ∈ A d. ∅ ∈ A
b. El conjunto ∅ ∈ A e. ∅ = { ∅ }
c. { a, { a } } ∈ A
2. Señalar cuales de las siguientes proposiciones son
verdaderas.
a. ∅ = { }.
b. A = { x ∈ R / x2+1 = 0 } es un conjunto no vacío.
c. B = { x ∈ R / x3 + 2x = 0 } es unitario.
d. El conjunto A = { -1, 1, 3, 5, ..........} por
comprensión es
A = { x / x = 2n - 3, n ∈ Z+ }.
e. Si W = { x / x ∈ R, x2 – 23 = 2 }, entonces –5 ∉ W.
3. Determinar por extensión los siguientes conjuntos:
a. A = { x ∈ N / x - 1 < 5 }
b. C = { x ∈ Z / - 2 < x ≤ 3 }
c. M = { x / x es un pronombre personal en Inglés }
4. Determinar por comprensión los siguientes conjuntos
a. A = { 4, 6, 8, 10 }
b. X = { 3, 5, 7, 9, ..........}
c. Y = { 1, 4, 9, 16, 25, ..............}
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Si sus respuestas no coinciden con la clave,intente nuevamente resolver el problema cuyarespuesta es errónea.
IMPORTANTE
CLAVE DE RESPUESTAS
1. Son verdaderas a y d.
2. Son verdaderas a, b y c.
3. a. A = { 5, 4, 3, 2, 1, 0 } b. C = { -1, 0, 1, 2, 3 }
c. M = { I am, You are, She is, He is, It is, We are, You
are, They are }.
4. a. A = { x / x es par ∧ 4 ≤ x ≤ 10 }
b. X = { x / x es impar ∧ x ≥ 3 }
c. Y = { x / x ∈ Z+ ∧ x2}
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ACTIVIDAD N° 02
CCUUAA
Una función
proposición
proposición l
asume la vari
Por ejemplo,
preposicional
-2, y es fals
Ahora conside
La proposició
“Existe por l
ó equivalent
es verdadera
0.
Así mismo, la propo
“Para todo x ∈ A, s
no todo elemento d
A la frase: “Existe
universo, se llama
“Para todo”, “Par
llama cuantificador
Analice los ejemplos que sedesarrollan a continuación haciendohincapié en el uso correcto de lasimbolización e identificación deelementos de un conjunto.
NNTTIIFFIICCAADDOORREESS YY CCOONNJJUUNNTTOOSS
proposicional P(x), relacionada con una
cuantificacional, se convierte en una
ógica ( V ó F ) de acuerdo con el valor que
able x.
la función P(x): x2 - 4 = 0 es una función
que se convierte en verdadera si x = 2 ó x =
a cuando x toma otros valores.
remos un conjunto cualquiera A, por ejemplo :
A = { -2, 1, 2, -3, 0 }
n:
o menos un x ∈ A, tal que se verifica P(x)”
emente:“∃ x ∈ A / P(x)”,
, pues existe x = -2 ∈ A, tal que: x2 – 4 =
sición:
e verifica P(x)” ó equivalentemente “∀ x ∈ A / P(x)”, es falsa, pues
e A, verifica x2 - 4 = 0, basta tomar x =1∈ A / 12 - 4 es diferente de 0.
un”, “Para algún” ó ”Algunos”, etc. que denota una parte de un
cuantificador existencial y se denota por ∃; mientras que a la frase:
a cada” ó “Para cualquier”, etc. que denota la totalidad de objetos, se
universal y se denota por ∀.
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1. Negar que existe un x ∈A, tal que se verifica P(x); equivale a decir que: Ningún x ∈ A,
verifica P(x), ó que: Todo x, no verifica P(x); simbólicamente:
~[∃ x ∈ A / P(x)] ⇔ ∀ x ∈ A / ~ P(x).
2. Negar que para todo x∈A, verifica P(x), equivale a decir que: Para algunos x∈A, no
se verifica P(x); simbólicamente:
~[∀ x ∈ A / P(x)] ⇔∃ x ∈ A / ~ P(x)
Ejemplo 01: Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones, siendo el conjunto A
= { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }.
a. ∀ x ∈ A / x2 - 5x + 6 = 0.
b. ∃ x ∈ A / x3 + x2 - 2x = 0.
c. ∀ x∈ A,∃ y ∈ A / x + y ≤ 4
Solución:
a. Es falsa, pues x2 -4x + 5 = 0 se cumple sólo para x = 1, y x = 5 y no para todos los
demás elementos de A.
b. Es verdadera, puesto que la ecuación x3 + x2 - 2x = 0 tiene dos soluciones x = 0,
y x = 1 en el conjunto A; bastaba que hubiera una.
c. Es falsa, pues para 5 ∈ A no existe ningún valor y ∈ A / 5 + y ≤ 4.
∀ x ∈ A ∃ y ∈ A / x + y ≤ 4
0 2 0 + 2 ≤ 4
1 3 1 + 3 ≤ 4
2 0 2 + 0 ≤ 4
3 1 3 + 1 ≤ 4
4 0 4 + 0 ≤ 4
5 No existe No se cumple
Ejemplo 02: Determinar el valor de verdad y negar las siguientes proposiciones; dado el
conjunto B = { x / x ∈ Z, x ≤ 4 }.
a. ∀ x ∈ B / x – 1 < 2.
b. ∀ x ∈ B, ∃ y ∈ B / x2 + y2 ≥ 8.
c. ∃ x ∈ B, ∃ y ∈ B / x - y = 0.
Solución:
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a. Falsa, pues para x = 3, y para x = 4 no se satisface la inecuación, burlando el
cuantificador ∀. Por otro lado, su negación es:
~ [ ∀ x ∈ B / x – 1 < 2 ] ⇔ ∃ x ∈ B / x - 1 ≥ 2 ….(V)
b. Verdadera.
∀ x ∈ B, ∃ y ∈ B / x2+y2 ≥ 8
1 3 12 + 32 ≥ 8
2 2 22 + 22 ≥ 8
3 1 32 + 12 ≥ 8
4 1 42 + 12 ≥ 8
Su negación es:
~ [ ∀ x ∈ B, ∃ y ∈ B / x2 + y2 ≥ 8 ] ⇔
∀ x ∈ B, ∃ y ∈ B / x2 + y2 < 8....(V)
c. Verdadera.
∃ x ∈ B, ∃ y ∈ B / x - y = 0
1 1 1 - 1 = 0
2 2 2 - 2 = 0
3 3 3 – 3 = 0
4 4 4 – 4 = 0
Su negación es:
~ [∃ x ∈ B, ∃ y ∈ B / x - y = 0] ⇔
∀ x ∈ B, ∀ y ∈ B / x - y ≠ 0 ...........(F)
10 Universidad Nacional del Santa
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ILUSTRACIÓN RESUMEN
La proposición ∀ x ∈ B, ∃ y ∈ B / x2 + y2 ≥ 8. donde
B = { x / x ∈ Z, x ≤ 4 }.
Es verdadero
Su negación es (F): ∃ x ∈ B, tq y ∈ B / x2 + y2 < 8.
x2 + y2 ≥ 8 es la función
∃ : es el Cuantificador Existencial
∀ : es el Cuantificador U i l
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ACTIVIDAD N° 03
1. Determinar por
proposición qu
a. Z = { x
b. Z = { x /
2. Indicar cuales
verdaderas. As
a. x ∈ R,∀
b. ∃ r ∈ Q,
1. a. Z = { …,
b. Z = { 0,
2. a. V, ∃ x ∈
b. F, ∀ r ∈
Analice los ejemplos que se desarrollan acontinuación haciendo hincapié en el uso correcto de la simbolización eidentificación de elementos de un
j t
EJERCICIOS GRUPO 2
extensión el conjunto Z que satisface la
e se da en cada caso.
/ x ∈ Z , x - 2 < 4 .}.
∃ x ∈ Z, ∃ y ∈ Z / x2 + y2 < 8 }.
de las siguientes proposiciones son
í mismo, escribir la negación en cada caso.
∀ y ∈ R /( - x ) y = - ( x y ).
∀ p ∈ Z / p > r.
¡Compare sus respuestas con la clave!
CLAVE DE RESPUESTAS
-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.
± 1, ± 2 }.
R, ∃ y ∈ R / ( - x ) y ≠ - x y.
Q, ∃ p∈ Z / p ≤ r.
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OBJETIVO N° 02
Establecer la relación entreconjuntos y demostrar laspropiedades de Inclusión eIgualdad de conjuntos.
ACTIVIDAD N° 01
Entre dos conjuntos c
A. INCLUSIÓN: ⊂
Se dice que un conj
B, si todo elemento d
Es decir: A ⊂ B
Se lee : “A es subcon
x ∈B”.
Observación: A part
para asegurar que A
A ⊄ B.
Ejemplo. Si
Observación: Si un
Ejemplo. Si B =
Analice el siguiente texto remarcandolas definiciones, ilustraciones ypropiedades de la Inclusión e Igualdadde conjuntos.
ualesquiera se pueden establecer las siguientes relaciones:
unto A está incluido, contenido ó es un subconjunto del conjunto
e A es también elemento de B. Se denota por: A ⊂ B.
⇔ [ ∀ x ∈ A / x ∈ A ⇒ x ⊂ B ].
junto de B si y sólo si todo x de A es tal que si x ∈ A entonces
ir de la definición, basta que un sólo elemento de A no pertenezca B
no está incluido o contenido en B; en tal caso se denota por:
.q
⋅ p
⋅ s
⋅ r B
A
A = { q, s }
B = { p, q, r, s }
⇒ A ⊂ B
conjunto tiene “n” elementos entonces tiene: 2n subconjuntos
{ a, b } ⇒
13 Universidad Nacional del Santa
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Los subconjuntos de B son: ∅, { a }, { b }, { a, b }.
∴ Numero de subconjuntos de B es: 22 = 4.
Ejemplo. Siendo B = { 3, { 3 }, { 4 }, { { 4 } } }.
Dar el valor de verdad a las siguientes proposiciones :
- { 3 } ∈ B …………. (V)
- { 3 } ⊂ B …………. (V)
- { { 3 } } ⊂ B …………. (V)
- { { { 4 } } } ⊂ B …………. (V)
- { { 4 } } ⊂ B …………. (V)
- 7 ⊂ B …………. (F)
- 7 ⊄ B …………. (F)
Gráficamente se representa:
U
H A
U
B
A
A ⊄ H A ⊂ B
Ejemplo: Demostrar que la proposición A ⊄ B, equivale a demostrar que:
“Existe al menos un x ∈ A tal que x ∉ B”.
En efecto, la proposición: A ⊄ B equivale a decir: “No es cierto que A está
contenido en B”; esto es :
A ⊄ B ⇔ ~ [ A ⊂ B ]
⇔ ~ [∀ ∈ A / x ∈ A ⇒ x ∈ B ] Definición
⇔ ∃ x ∈ A / ~ ( x ∈ A ⇒ x ∈ B ) Aplicando la negación
⇔ ∃ x ∈ A / x ∈ A ∧ ¬ ( x ∈ B ) ] Ley de p ⇒ q
⇔ ∃ x ∈ A / [ x ∈ A ∧ x ∉ B ] Negación
∴ A ⊄ B ⇔ ∃ x ∈ A / (x ∈ A ∧ x ∉ B )
Propiedades de la Inclusión.
La relación de Inclusión entre conjuntos goza de las siguientes propiedades:
1.1 Reflexiva: A ⊂ A, ∀ conjunto A.
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1.2 Antisimétrica: Si A ⊂ B y B ⊂ A entonces A = B. (*)
1.3 Transitiva: Si A ⊂ B y B ⊂ C entonces A ⊂ C.
1.4 ∀ A, ∅ ⊂ A.
(*) Corresponde a la definición de Conjuntos Iguales, que se verá mas adelante.
Demostración de 1.1
Demostrar que: A ⊂ A equivale a demostrar que,
∀ x ∈ A / x ∈ A ⇒ x ∈ A, la cual es una proposición siempre verdadera, pues: p ⇒ p es
una tautología como se ilustra a continuación:
P P ⇒ P
V V
F V
∴ A ⊂ A
Demostración de 1.3
Si A ⊂ B y B ⊂ C entonces A ⊂ C.
∀ x ∈ A / x ∈ A ⇒ x ∈ B pues A ⊂ B.
Además, ∀ x ∈ B / x ∈ B ⇒ x ∈ C pues B ⊂ C.
Por la propiedad transitiva de la Condicional:
[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r )] ⇒ [p ⇒ r].
En consecuencia, ∀ x ∈ A / x ∈ A ⇒ x ∈ C.
Es decir A ⊂ B
Demostración de 1.4 ∅ ⊂ A, ∀ A.
Recuerde que la proposición p ⇒ q es falsa sólo si p es
verdadera y q es falsa. Luego,
∅ ⊂ A ⇔ ∀ x ∈ ∅ / ( x ∈ ∅ ) ⇒ ( x ∈ A), esta ultima
proposición es verdadera puesto que el antecedente ( x ∈ ∅
) es falso, por que el conjunto vacío carece de elementos.
Conjuntos Comparables.
Los conjuntos A y B son comparables si: A ⊂ B ó B ⊂ A.
Si A ⊄ B ó B ⊄ A se dice que A y B son no comparables.
B. IGUALDAD DE CONJUNTOS: =
Los conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen exactamente los mismos elementos.
Se denota por: A = B ⇔ [(A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A)].
En caso contrario se escribe: A ≠ B.
15 Universidad Nacional del Santa
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Nota: La definición establece la necesidad de demostrar la doble inclusión a fin de
demostrar la igualdad de dos conjuntos.
Ejemplo. Establecer si los siguientes conjuntos son iguales:
A = { 1, -2, 6 }, B = { 1, -2, 6, 1, 6 }.
Se verifica que A = B pues todo elemento de B es también elemento de A,
B ⊂ A; y todo elemento de A es elemento de B, A ⊂ B.
Observación. Del ejemplo se concluye que un conjunto no varía si sus elementos
repetidos se escriben una sola vez, en este caso { 1, -2, 6, 1, 6 } = { 1, -2, 6 }.
Propiedades de la Igualdad
2.1 Reflexiva: A = A, ∀ A.
2.2 Simétrica: A = B ⇒ B = A.
2.3 Transitiva: A = B ∧ B = C ⇒ A = C.
Demostración de 2.2
Debemos demostrar que B = A, es decir. B ⊂ A y A ⊂ B.
Por hipótesis A = B y por definición:
A = B ⇔ ( A ⊂ B ) ∧ ( B ⊂ A )
⇔ ( B ⊂ A ) ∧ ( A ⊂ B ) Prop. Conmutativa de ∧
⇔ B = A.
∴ A = B ⇒ B = A.
C. SUBCONJUNTO PROPIO.
Se dice que el conjunto A es un subconjunto propio del conjunto B, si A ⊂ B ∧ A ≠ B.
En otras palabras, A es subconjunto propio de B, si A ⊂ B ∧ B tiene uno ó más elementos
que no pertenecen a A. Gráficamente,
U
B
A
Ejemplo. Dados los conjuntos:
A = { x / x ∈ Z ∧ x + 3 = x2 – 9 }
B = { -3, 4 }.
De A : x + 3 = x2 - 9
16 Universidad Nacional del Santa
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B A
•4
•-3 x2 – x –12 = 0
x -4
x 3
( x – 4 )( x + 3 ) = 0
x = -3 ó 4
∴A = B
D. CONJUNTOS DIFERENTES: ≠
Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos tiene por lo menos un elemento que no posee
el otro.
A ≠ B ⇔ A ⊄ B ∨ B ⊄ A Se define :
Ejemplo. Dados:
A = { x / ( x – 1 )( x – 2 )( x – 3 ) x = 0 }
B = { 0, 1, 2, 3, 4 }
De A: ( x – 1 )( x – 2 )( x – 3 ) x = 0
x = 0; 1; 2; 3
∴ A B. ≠
E. CONJUNTOS DISJUNTOS
Se dice que los conjuntos A y B son disjuntos cuando no poseen elementos comunes
Simbólicamente :
A y B son disjuntos ⇔ ∃ x / x ∈ A ∧ x ∈ B
Ejemplo. Siendo: A = {2,3,4} y B = {5,6,7}. ∴ A y B son disjuntos A
•4 •3
•2
B
•7 •6
•5 Gráficamente :
`
F. CONJUNTOS EQUIPOTENTES O COORDINABLES.
Para hablar de estos conjuntos de alguna forma, el proceso de contar sus elementos
siempre termina.
Dos conjuntos son equipotentes o coordinables cuando el número de sus elementos son
iguales.
Ejemplo. Siendo:
A = { 10, 11, 12 }
17 Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
B = { m, n, p }
∴ A y B son equipotentes.
Simbólicamente: A <> B ⇔ n( A ) =n( B )
DIAGRAMAS LINEALES
Son representaciones graficas que sirven para indicar relaciones de inclusión entre
conjuntos
A
Si : A ⊂ B ⇒
Si : A = B ⇒ A B
B
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C PROPIEDAD
ILUSTRACIÓN RESUMEN
Dado el conjuntoA = {{φ}}
Tiene 21=2 subconjuntos
Sus subconjuntos son { A, conjunto φ }
Es unitario
∅es sólo un símbolo
18 Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
Resuelva los siguiereafirmar su aprenresultados con la cl
ACTIVIDAD N° 02
EJERCICIOS GRU
1. Si A = { 2, 4, 6, 0, 5 }, ind
las siguientes proposiciones.
a.{ 2 } ⊂ A b.{ x / ( x2 – 5 )( x
b. 4 ⊂ A c. A ⊂ R e.
f. 5 ∈ A g. ∅ ∈ A h.
i. { ∅ } ⊄ A
2. Dados los conjuntos A = { x / x ∈
B = { 2, 4, 6, 8 }
C = { 3, 5, 7 }, D = { 2, 4 }, E = {
caso, cuál de estos conjuntos p
que:
a. X ⊂ A y X ⊂ B b.
c. X ⊄ B y X ⊄ E d.
e. X ⊄ C y X ⊂ D.
Sugerencia: Apóyese con un diagra
3. Representar gráficamente las sigu
a. A ⊂ B b. B ⊂ A c.
d. A y B son comparables.
4. Hallar todos los subconjuntos de
a. A = { 2, -3, 4 } b. A =
¿Cuántos subconjuntos tiene A en
5. Demostrar las siguientes propieda
19
ntes ejercicios paradizaje, compare susave.
PO 3
icar el valor de verdad de
– 2 ) = 0; x ∈ Z+ } ⊄ A
{ 6 } ⊄ A
∅ ⊂ A
N, 2 ≤ x ≤ 9 },
1, 3 }. Determinar en cada
uede ser el conjunto X tal
X ⊄ A y X ⊂ E
X ⊂ A y X ⊂ E
ma.
ientes relaciones:
A = B
A, si:
{ { ∅ } } c. A = ∅
cada caso?
des:
Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
a. Si A ⊂ B y B ⊂ A, entonces A = B.
b. A = A, ∀ A.
c. Si A = B y B = C, entonces A = C.
d. Si H ⊂ M ∧ M ⊂ N, entonces H ⊂ N.
e. Si A ⊂ ∅, entonces A = ∅.
CLAVE DE RESPUESTAS
1. Son verdaderas: a, d, e, f, h, i.
2. X puede ser igual al conjunto que se indica en cada caso
a. D ó B b. Sólo B c. Sólo C
d. Ninguno e. D
•2 •3
•5C
•9 •1
E
BD •6
•2•4
A Gráficamente:
3. a. b. c. A
A = B
A B
A
B A
B
d. e.
B A
20 Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
OBJETIVO N° 03
Efectuar operaciones conconjuntos e interpretargráficamente los resultados.
ACTIVIDAD N° 01
Entre conjuntos se
Diferencia.
1. UNIÓN DE CONJU
La Unión de lo
por A B for
A, a B ó a amb
U
Para represent
relaciones e
particular.
BA
Observación.
B ⊂ (A B).U
Ejemplo. Si A
Infórmese sobre las operaciones entreconjuntos: definición, notación,representación e ilustración gráfica,leyendo el siguiente texto.
pueden realizar las siguientes operaciones: Unión, Intersección y
NTOS
s conjuntos A y B es otro conjunto, denotado
mado por todos los elementos que pertenecen a
os.
A B = { x / x U ∈ A x ∨ ∈ B}; ∨ = Símbolo de la di ió
ar gráficamente A U B, se tendrá presente las
ntre los conjuntos dados en cada caso
U
B A
U
B A
U
De la definición se deduce que A ⊂ (A U B) y
= { 2, 3, 4, 5, 6, 7 }, B = { 3, 4, 5, 6 },
21 Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
22 Universidad Nacional del Santa
C = { 2, 3, 6, 8, 10 }. Hallar (a) A U B (b) B
C. Representar gráficamente cada caso. U
Solución.
A U B = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B } = { 2, 3, 4, 5, 6,
7 }
B U C = { x / x ∈ B ∨ x ∈ C} = { 3, 4, 5, 6, 2, 8, 10 }
Se observa que B ⊂ A, y que B y C son no comparables con
algún elemento común, luego se tiene:
Ejemplo. Sea A = {x ∈ R / x2 – 1 = 0},
B = {x ∈ R / x2 + 3 = 0} y M = R.
Hallar (a) A B (b) M U B (c) A U M U
Solución.
A = {-1, 1 }, B = ∅, M = R;
luego:A B = A ∅ = { x / x ∈ A ∨ x ∈ ∅ }
pero no existe x ∈ ∅.
U U
Entonces:
a. A U B = {-1, 1}, es decir A U ∅ = A, ∀ A.
b. M U B = R
c. A U M = { x / x ∈ A ∨ x ∈ M } } = R.
2. INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
La Intersección de los conjuntos A y B es el conjunto
denotado con A ∩ B formado por los elementos comunes a ambos
conjuntos. Es decir,
Gráficamente.
A ∩ B = { x / x ∈ A ∧ x ∈ B }
• 3
7
• 5
• 4• 6
• 7 B
A ∪ B
•
• 2
• 10
• 8
56
••
•3
B ∪ C
• 2
2•
• 4
B
U
A B
U
A B
U
A
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
Nota : ( A ∩ B ) ⊂ A y ( A ∩ B ) ⊂ B
Conjuntos Disjuntos: A y B son disjuntos si A ∩ B = ∅.
Ejemplo. Siendo A = { 2, 4, a }, B = { a, b, c, d }, C = {
b, c }. Hallar
a. A ∩ B, b. B ∩ C c. A ∩ C
Representar gráficamente cada caso.
Solución.
A ∩ B = { x / { x / x ∈ A ∧ x ∈ B } = { a }
B ∩ C = { x / x ∈ B ∧ x ∈ C } = { b, c }
A ∩ C = { x / x ∈ A ∧ x ∈ C } = ∅
Tenemos:
•c U
B A •b •2
•4 •a
•d •a •4 •6
U
C B
`` •4 •2
4 •b •c
•d U
B A
a. A ∩ B, b. B ∩ C c. A ∩ C
Nota. Si X ⊂ Y, entonces X ∩ Y = X.
3. DIFERENCIA DE CONJUNTOS
La Diferencia de los conjuntos A y B, en ese orden, denotado
por A – B, es el conjunto formado por todos los elementos de
A que no pertenecen a B. Es decir,
Se lee : “A
Gráficamente
A
A partir de
a. A – B ≠
Complemento
El complemen
U, es el co
que no están
A – B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B }
diferencia B” ó “A menos B”
:
U
B A
U
B A
U
B
la definición se deduce que:
B – A b. A – A = ∅ c. A – B = A ∩ B´
de un Conjunto.
to del conjunto A respecto al conjunto universal
njunto A’ formado por todos los elementos de U
en A. Es decir,
A - B
A’ = { x / x ∈ U ∧ x ∉ A }
23 Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
En otras palabras, el complemento de A es el conjunto
formado por los x ∉ A, esto es:
A’ = U – A. Gráficamente:
A’ A
Otras notaciones : C A ó Aº.
Observaciones : a. A U A’ = U
b. A ∩ A’ = φ
Ejemplo. Demostrar que A – B = A ∩ B’.
Solución.
A - B = A ∩ B’ equivale a demostrar que:
( I ) ( A – B )⊂( A ∩ B’ ) y ( II ) ( A ∩ B’)⊂(A – B ).
Demostración de ( I ):
[( A – B ) ⊂ ( A ∩ B’ )] ⇔ x ∈ ( A – B ) / x ∈ ( A – B ) ⇒
x ∈ ( A ∩ B’ )
Pero x ∈ (A – B)⇒(x ∈ A) ∧ ( x ∉ B) Def. de diferencia
⇒ ( x ∈ A ) ∧ ( x ∈ B’ ) Def. de B’
⇒ x ∈ ( A ∩ B’ ) Def. de intersección
Se ha demostrado que si un elemento cualquiera x, tal que x
∈ ( A – B ) implica que x ∈ ( A ∩ B’ ).
Por definición de inclusión, se concluye que :
( A – B ) ⊂ ( A ∩ B’ ).
Demostración de ( II ):
[(A ∩ B’) ⊂ (A – B)] ⇔ x ∈(A ∩ B’)/x∈(A ∩B´)⇒x∈(A – B).
Pero x ∈ (A ∩ B’) ⇒ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B´) Def. Intersección
⇒ ( x ∈ A ) ∧ ( x ∉ B´ ) Def. de B´
⇒ x ∈ ( A – B ) Def. Diferencia
Luego,x ∈ ( A ∩ B’ ) ⇒ x ∈ ( A - B ).
De ( I ) y ( II ) se concluye la demostración.
Ejemplo. Hallar A´, si A = { x / x ∈ Z, x es impar }.
Solución: A´ = { x / x ∈ U ∧ x ∉ A }
Siendo: U = Z
A´ = { x / x ∈ Z, x es par .}
24 Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
4. DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS.
La Diferencia Simétrica de los conjuntos A y B, denotado por
A ∆ B, es el conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen solamente a A ó solamente a B, es decir:
A ∆ B = ( A – B ) ∪ ( B – A )
Gráficamente:
U
B A
A ∆ B
Ejemplo. Si A = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {1, 4, 6, 7, 9 } y
C = { 1, 9 }. Hallar:
a. A ∆ B b. B ∆ C c. A ∆ C
Solución.
a. A ∆ B = ( A – B ) ( B – A ), donde: U
A – B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B } = { 2, 3, 5 } B – A = { x / x ∈ B ∧ x ∉ A } = { 1, 9 } Entonces A ∆ B = { 2, 3, 5, 1, 9 }.
b. B ∆ C = ( B – C ) U ∅ = B – C;
es decir: B ∆ C = {x /x ∈ B ∧ x ∉ C }={4, 6, 7}
C – B = {x / x ∈ C ∧ x ∉ B} = x ∉ ∅ pues C ⊂ B. Luego, B ∆ C = ( B – C ) ∅ = B – C, U
es decir: B ∆ C = { 4, 6, 7 }.
b. Análogamente, siendo A y C conjuntos disjuntos: A ∆ C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 9 } Gráficamente,
A B A B
A B
25 Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
a. A ∆ B
Observaciones :
1. Si C ⊂ B entonces B ∆ C es el complemento de C
con respecto a B.
2. Si A y B son conjuntos disjuntos entonces
A ∆ B = A ∪ B.
3. A ∆ B = ( A ∪ B ) - ( A ∩ B).
26 Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
Analice los ejercioperaciones con interpretación grafi
ACTIVIDAD N° 02
EJEMPLOS DE APLI
A continuación se presentan algunos ej
uso de las definiciones y operaciones
1. La proposición x ∈ ( A ∩ B’) es
a. ( x ∈ A ) ∨ ( x ∈ B )
b. ( x ∈ A ) ∧ ( x ∉ B’ )
c. x ∈ (A - B )
d. ( x ∈ A ) ∧ ( x ∈ B’ )
Solución.
x ∈ (A ∩ B’) ⇔ [(x ∈ A) ∧ (x ∈
⇔ [( x ∈ A ) ∧ (
⇔ [ x ∈ ( A- B )]
Luego, las expresiones equivalent
y( d).
2. ¿A cuál de las expresiones corres
a. [B – ( A ∩ C )] U [( A ∩ C
b. [B – ( A ∪ C )] U [( A ∩ C
c. [B ∩ ( A ∪ C )] [( A ∩ B )U
Solución.
Distinguimos la reunión de dos re
- La superficie formada por el
y no en A ó C; esto se expre
27
cios resueltos sobreconjuntos y su
ca.
CACIÓN
ercicios resueltos sobre
con conjuntos.
equivalente a:
B’)] Def. de Intersec.
x ∉ B )] Def. de B’
Def. de diferencia.
es a x ∈ (A ∩ B’) son (c)
ponde la región sombreada?
) – B ]
) – B ]
C
AB
∩ C]
giones sombreadas:
ementos que solo están en B
sa por: B – ( A U C ).
Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
- La inferior formada por los elementos que están en la
intersección de A con C pero que no pertenecen a B;
esto es: (A ∩ B) – B.
Luego la expresión dada es (b) correspondiente a la
región sombreada.
ILUSTRACIÓN RESUMEN
Operaciones con conjuntos
AB = A-B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B }
A
A ∩ B = { x / x ∈ A ∧ A ∆ B = ( A – B ) ∪ ( B – A )
A B = { x / x ∈ A U
28 Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
Resuelva los sigpara autoevaluar
ACTIVIDAD N° 02
EJERCICIOS GRU
1. Dados los conjuntos: A = { :x Z +∈
C = { }2 1: , 5x x Z x+− ∈ ≤ , D =
Hallar:
a. ( ) ( )''
A DC B D E⎡ ⎤∆ ∩ ∪⎣ ⎦ b.
c. ( ) ( ) ({ ' ' ''B E C AD E A B C E⎡∪ ∩ ∆ ∆ ∪⎣
d.{( ) ( ) ( ) ( )'' ' '' 'B E C EA ED C D B B C
∆⎡ ⎤∆ ∩ ∩ ∆ ∪⎢ ⎥⎣ ⎦
2. ¿Qué condiciones deben cumplir lo
se verifiquen las siguientes rela a. A∩ B = b. A B = B Φ ∪ d. A∪ Φ = U e. A – B = g. A – B = B – A h. A ∆ 1. Si
{ }{ }{ }2
: 4 6
: 0 6
/ ( 1 4 3)
A x x x
B x x x
C x x x x
+
+
= ∈ > → =
= ∈ > ∧ ≤
= ∈ ≥ → ≠ − Hallar:
a. b. ( ) ( )'' '
A BC B A C⎡ ⎤∆ ∩ ∪⎣ ⎦ ( A⎡
⎣
c. {( ) ( ) ( ) ('' '' 'B C C A CA C A B B C
∆⎡∆ ∩ ∩ ∆ ∪⎢⎣
29
uientes ejerciciossu aprendizaje.
PO 4
}1x < 0 , B = { }2 : , 5x x Z x+∈ < ,
{3, 4, 5}, E = {3, 5}.
( ) ( ) ( )'
D EA E B C
∆⎡ ⎤∩ ∆ −⎣ ⎦
) } ( ) ( )''
A⎤⎦ U
DC B D E⎡ ⎤∆ ∩ ∪⎣ ⎦
} I ( ) ( ) ( )'
D EA E B C
∆⎡ ⎤∩ ∆ −⎣ ⎦
s conjuntos Ay B para que ciones? c. A B = U ∩
A f. A B’ = B’ ∩
B A B= ∪ i. A B B A∆ = −
) ( ) ( )''
D EC B C
∆⎤∩ ∆ − ⎦
) }'B ( ) ( ) ( )
''A C
A C B A∆
⎤⎥⎦
I ⎡ ⎤∩ ∆ −⎣ ⎦
Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
OBJETIVO N° 03
Demostrar las leyes
del álgebra de
conjuntos.
ACTIVIDAD N° 01
Las definiciones d
1) A ⊂ B ⇔
2) A = B ⇔
3) A ∪ B =
4) A ∩ B =
5) A – B =
6) A ∆ B =
7) A’ =
A continuación se
con conjuntos, ba
Conjuntos. Se demu
LEYES B
1. Idempotencia
1 a) A ∪ A = A
2. Conmutativa
2 a) A ∪ B = B ∪ A
3. Asociativa
3 a) A ∪ ( B ∪ C )
3 b) A ∩ ( B ∩ C )
4. Distributiva
Analice la siguiente información sobrelas propiedades de las operaciones conconjuntos y las demostracionesrealizadas.
e las operaciones con conjuntos, son:
∀ x ∈ A / x ∈ A ⇒ x ∈ B
A ⊂ B ∧ B ⊂ A
{ x / x ∈ A ∨ x ∈ B }
{ x / x ∈ A ∧ x ∈ B }
{ x / x ∈ A ∧ x ∉ B } ó A – B = A ∩ B’
( A – B ) ∪ ( B – A )
{ x / x ∈ U ∧ x ∈ A} ó A’ = { x / x ∉ A }
presentan las Propiedades de las Operaciones
jo el título de Leyes Básicas del Álgebra de
estran algunas de ellas.
ÁSICAS DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
1 b) A ∩ A = A
2 b) A ∩ B = B ∩ A
= ( A ∪ B ) ∪ C
= ( A ∩ B ) ∩ C
30 Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
4 a) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )
4 b) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )
5.
5 a) A ∪ ∅ = A 5 a) A ∩ ∅ = A
6.
6 a) A ∪ U = A 6 b) A ∩ U = A
7.
7 a) A ∪ A’ = U 7 b) A ∩ A’ = ∅
8.
8 a) ( A’ ) ’ = A 8 b) U’ = ∅ , ∅ ’ = U
9. Leyes de D' Morgan
9 a) ( A ∪ B )' = A' ∩ B'
9 b) ( A ∩ B )' = A' ∪ B'
10. Leyes de Absorción
10 a) A ∪ ( A ∩ B ) = A
10 b) A ∩ ( A ∪ B ) = A
A continuación se demuestran: 2 (a), 4 (b), 8 (a) y 9 (b).
Demostración (2a) A ∪ B = B ∪ A.
Recuerde que dos conjuntos son iguales si y sólo si se verifica la doble inclusión:
(I) ( A ∪ B ) ⊂ ( B ∪ A ) y (II) ( B ∪ A ) ⊂ ( A ∪ B )
Entonces debe demostrarse (I) y (II); recurriendo a la definición de Inclusión.
(I) (A ∪ B) ⊂ (B ∪ A) ⇔ ∀ x ∈ (A ∪ B) / x ∈ (A ∪ B) ⇒ x ∈ (B∪A)
Pero, x ∈ ( A ∪ B) ⇒ ( x ∈ A ) ∨ ( x ∈ B ) Def. Unión
⇒ ( x ∈ B ) ∨ ( x ∈ A ) Conmut. de ∨
⇒ x ∈ ( B ∪ A ) Def. Unión
Luego, x ∈ ( A ∪ B ) ⇒ x ∈ ( B ∪ A).
Con lo que queda demostrado: (A ∪ B) ⊂ (B ∪ A) Def. Inclusión
II) ( B ∪ A) ⊂ ( A ∪ B) ⇔ ∀ x (B ∪ A)/ x ∈ (B ∪ A) ⇔ x ∈ (A ∪ B)
Pero, x ∈ ( B ∪ A ) ⇒ ( x ∈ B ) ∨ ( x ∈ A ) Def. Unión
⇒ ( x ∈ A ) ∨ ( x ∈ B ) Conmut. de ∨
⇒ x ∈ ( A ∪ B ) Def. Unión
∴ x ∈ ( B ∪ A) ⇒ x ∈ ( A ∪ B) , esto es ( B ∪ A ) ⊂ ( A ∪ B ) por
definición de Inclusión.
De (I) y (II) se sigue: A ∪ B = B ∪ A.
31 Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
Demostración (4b) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )
Equivale a demostrar:
(I) [ A ∩ ( B ∪ C ) ⊂ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) y ] [ ](II) [ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ⊂ ] [ A ∩ ( B ∪ C ) . ]
(I) ∀ x ∈ A ∩ ( B ∪ C ) / x ∈ A ∩ ( B ∪ C) ⇒ x ∈ ( A ∩ B) ∪ (A ∩C)
Pero x ∈ A ∩ ( B ∪ C ) ⇒ x ∈ A ∧ ( x ∈ B ∪ C ) Def. Intersec
⇒ x ∈ A ∧ [ x ∈ B ∨ x ∈ C] Def. Unión
⇒ ( x ∈ A ∧ x ∈ B ) ∨ ( x ∈ A ∧ x ∈ C ) Propiedad
distributiva de ∧ con respecto a ∨:
[p ∧ ( q ∨ r ) ⇔ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r )].
⇒ ( x ∈ A ∩ B ) ∨ ( x ∈ A ∩ C ) Def. Intersec
⇒ x ∈ [ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ] Def. Unión
Entonces x ∈ A ∩ ( B ∪ C ) ⇒ x ∈ [ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ] [ ]
[ A ∩ ( B ∪ C) ] ⊂ [ ( A ∩ B ) ∪( A ∩ C )] Def. de . ⊂
Análogamente se demuestra (II). En efecto,
∀ x ∈ [ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) / x ∈ ] [ ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) ]
⇒ x ∈ (A ∩ B ) ∨ x ∈( A ∩ C) Def. de Intersección
⇒ [ x ∈ A ∧ x ∈ B ] ∨ [ x ∈ A ∧ x ∈ C ]
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⇔ p ∧ ( q ∨ r) ⇒ x ∈ A ∧ ( x ∈ B ∨ x ∈ C ) [ ]
Def. de Unión ⇒ x ∈ A ∧ [ x ∈ ( B ∪ C ) ]
Def. de Intersección ⇒ x ∈[ A ∩ ( B ∪ C ) ]
Luego x ∈[ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ⇒ x ∈ ] [ A ∩ ( B ∪ C ) ] Def. de Inclusión
∴ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ⊂ [ ] [ A ∩ ( B ∪ C) . ]
De (I) y (II) se concluye que:
A ∩ ( B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩C).
Demostración (8a) ( A’ ) ’ = A.
Debe demostrarse que : ( I ) ( A’ ) ’ ⊂ A y ( II ) A ⊂ ( A’ )’.
32 Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
(I) ∀ x ∈ ( A’ ) ’ / x ∈ ( A’ )’ ⇒ x ∉ A’ Def. Complemento
⇒ ∼ [ x ∈ A’] Negación de ∈
⇒ ∼ [ x ∉ A ] Def. Complemento
⇒ ∼ [∼( x ∈ A ) ] Negación de ∈
⇒ ∼ x ∈ A pues: ∼(∼ p) ⇔ p
Luego ( A’ )’ ⊂ A por definición de Inclusión.
(II) ∀ x ∈ A / x ∈ A ⇒ ∼ [∼( x ∈ A ) ] Doble Negación
⇒ ∼ [ x ∉ A] Negación de ∈
⇒ ∼ [ x ∈ A’ ] Def. Complemento
⇒ x ∉ A’ Negación de ∈
⇒ x ∈ ( A’ )’ Def. Complemento
∴ A ⊂ ( A’ )’ por definición de Inclusión.
De (I) y (II) se sigue la igualdad.
Demostración (9b) ( A ∩B )' = A' ∪ B'.
Debe demostrarse:
(I)( A∩B )’ ⊂ A’∪B’ y (II)A’∪B’ ⊂ ( A∩B )’
Para I
∀ x ∈ ( A∩B )’ / x ∈ ( A∩B )’ ⇒ x ∉ A∩B Def. Complemento
⇒ ∼ [ x ∈ (A∩B)] Negación de ∈
⇒ ∼ [x ∈ A ∧ x ∈ B] Def. Intersección
Recuerda que: ∼ (p ∧ q) ⇔ ∼p ∨ ∼q.
⇒ ∼ ( x ∈ A ) ∨ ∼ ( x ∈ B )
⇒ ( x ∉ A ) ∨ ( x ∉ B ) Negación de ∈
⇒ ( x ∈ A’ ) ∨ ( x ∈ B’ ) Def. Complemento
⇒ x ∈ ( A’ ∪ B’ ) Def. Unión
Luego, x ∈ ( A∩B )’ ⇒ x ∈ ( A’ ∪ B’ )
∴ ( A∩B )’ ⊂ A’∪B’ Por Def. de Inclusión
Para II
∀ x ∈ (A’ ∪ B’)’ / x ∈ (A’ ∪ B’) ⇒ (x ∈ A’) ∨ (x ∈ B’) Def. Unión
⇒ ( x ∉ A ) ∨ ( x ∉ B ) Def. Complemento
⇒ ∼ ( x ∈ A ) ∨ ∼ ( x ∈ B ) Negación de ∈
⇒ ∼ [ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ]
33 Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
Por que ( ∼p ∨ ∼q ) ⇔ ∼ (p ∧ q)
⇒ ∼ [ x ∈ A ∩ B ] Def. Intersección
⇒ x ∉ A ∩ B Negación de ∈
⇒ x ∈ ( A ∩ B )’ Def. Complemento
Luego, x ∈ ( A’ ∪ B’ ) ⇒ x ∈ ( A ∩ B )’, lo cual demuestra que:
( A’ ∪ B’ ) ⊂ ( A ∩ B )’.
De ( I ) y ( II ) ( A ∩ B )’ = A’ ∪ B’.
ILUSTRACIÓN RESUMEN
Leyes del Álgebra de conjuntos
Distributiva A (B∪ ∩ C) =(A B)∪ ∩ (A C) ∪Asociativa
A (B C) = (A ∩ B) C ∩ ∩ ∩A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C
Morgan (A B) ’ = A’∪ ∩ B’ (A ∩ B) ’ = A’ ∪ B’
Conmutativa A B = B A ∪ ∪A ∩ B = B A ∩
Absorción A (A B) = A ∪ ∩A ∩ ( A B) = A ∪
A ∪ (A’ B) = A ∪ B ∩ A ( A’ B) = A B ∩ ∪ ∩
34 Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
Demuestre a continuación las leyesdel álgebra que se mencionan
ACTIVIDAD N° 02
EJERCICIOS GRUPO 5
I. Utiliza convenientemente las definiciones de las operaciones con conjuntos para
resolver los problemas que se plantean a continuación.
1. ¿Cuál es la expresión equivalente a: x ∈ [A (A∩B )]? ∪
a. x ∈ A ∧ x ∈ B
b. x ∈ A
c. ( x ∈ A ) ∨ ( x ∈ B )
2. ¿Cuál es la expresión equivalente a: x ∈ [A∩(B – C)]?
a. x ∈ A ∧ ( x ∉ B ∧ x ∉ C )
b. x ∈ ( A ∩ B ) ∨ x ∉ ( A B ) ∪
c. x ∈ ( A ∩ B ) ∧ ( x ∈ C’ )
d. x ∈ A ∧ x ∉ B ∧ x ∉ C
3. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son siempre
verdaderas?
a. A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B b. A ∆ B’ = B’ ∩ A’
c. A ⊂ B’ ⇒ B’ ∩ A’ = ( A ∩ B )’
d. A ⊂ B ⇒ A’ ⊂ B’
II. Desarrollar:
1. Dados los conjuntos A, B, C y D, efectuar las
operaciones indicadas y representar gráficamente los
resultados, siendo:
A = { x / x = 3
12 −n, n ∈ }
B = { x / x2 – 7x = 0 }
35 Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
C = { x / ( x – 2 )( x2 – 9 )( x – 4 ) = 0 }
a. ( B – A ) C b. ( B ∪ C ) - A ∪
c. ( B ∆ C ) ∩ A’ d. A’ ∩ C
Nota. U = .
2. Con los conjuntos A y B se define una nueva operación
Ξ, tal que :
A Ξ B = ( A – B ) ∩ B’.
Si A = { 5, 4, 7, 6, 2 }, B = { 1, 3, 5, 7, 9 }.
Hallar:
a. A Ξ B b. B Ξ A c. ( B Ξ A ) Ξ B
II. Repetir el siguiente diagrama y sombrear la región que
se solicita en cada caso.
UC
A B
a. A ∩ ( B ∪ C )
b. A ∪ ( B ∩ C )
c. ( A ∩ B ) – C
d. ( A ∆ C ) ∩ A’
III. Hallar la expresión que representa la siguiente región sombreada.
C
BA
IV. ¿Qué relación conjuntista representa la región sombreada?.
a) [ ] ( )( ) ' ' ' 'A B C A B C∪ ∩ ∪ ∪U '
b) ( )A B C∆ ∪
)
c) ( ) (B C A B C∆ ∪ ∩ ∩
d) ( ' ' ') ' ( ') ( ')A B C A C B C∪ ∪ ∩ ∩U U
A
B
C
e) ( ) ( ') (A B C C A C B ')∩ ∩ ∩ ∩U U
36 Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
V. Deducir del siguiente diagrama las operaciones que se han realizado para obtener la
región sombreada.
a) ( ) ( ' )P Q H M∪ ∆ ∩
b) ( )' (H M P Q∩ ∆ ∪ )
)
c) ( ) (P Q H M∩ ∆ ∪
d) ( ) (H M P Q∪ ∪U
P H M
Q )
) e) ( ) (P Q H M∪ ∆ ∪
37 Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
OBJETIVO N° 03
Hallar el Conjunto Potenciade un Conjunto cualquiera ydemostrar sus propiedades.
Estudie la siguiente información quese ofrece sobre el Conjunto potencia ysus propiedades.
ACTIVIDAD N° 01
Definición. El Conjunto Potencia de un conjunto A, denotado por P (A), es el conjunto
formado por todos los subconjuntos de A. Es decir,
P ( A ) = { X / X ⊂ A }
Nota. 1) X ∈ P (A) ⇔ X ⊂ A.
2) A ∈ P (A) , ∅ ∈ P (A); pues: A ⊂ A , ∅ ⊂ A.
Ejemplo 1. Si A = { 1, 2 , 3 } , entonces { 1 } ⊂ A , { 2 } ⊂ A, etc.
Entonces:
P (A) = { ∅ , { 1 } , { 2 } , { 3 } , { 1, 2 } , { 1, 3 } , { 2, 3 } , A }.
Ejemplo 2. P (∅) = { ∅ }.
Ejemplo 3. A = { x / x – 4 = 0 } ⇒ P (A) = { ∅ , A }.
Ejemplo 4. Dado el siguiente conjunto:
A = { ∅, { ∅ }, { { ∅ } }, { { { ∅ } } } }
Determinar el valor de verdad de cada proposición.
38 Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
• ∅ ∈ A ......... ( V )
• ∅ ⊂ A ......... ( V )
• { { ∅ } } ∈ A ......... ( V )
• { { ∅ } } ⊂ A ......... ( V )
• { { ∅ } } ∈ P (A) ......... ( V )
• { { { ∅ } } } ⊂ P (A) ......... ( V )
• { { { { ∅ } } } } ∈ P (A) ......... ( V )
Propiedades del P (A):
1) A ⊂ B ⇔ P (A) ⊂ P (B).
2) A = B ⇒ P (A) = P (B).
3) [P (A) ∪ P (B) ] ⊂ P (A ∪B).
4) P (A ∪ B) = P (A) ∩ P (B).
Demostración de ( 1): A ⊂ B ⇔ P (A) ⊂ P (B).
⇒ ) Si A ⊂ B ⇒ P (A) ⊂ P (B).
En efecto, sea X ∈ P (A) ⇒ X ⊂ A Def. de P (A)
⇒ X ⊂ B Prop. Transitiva de
la Inclusión.
⇒ X ∈ P (B) Definición de P (B)
Luego, X ∈ P (A) ⇒ X ∈ P (B)
∴ P (A) ⊂ P (B).
⇐)P (A) ⊂ P (B) ⇒ A ⊂ B
Sea x ∈ A ⇒ { x } ⊂ A Subconjunto de A
39 Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
⇒ { x } ∈ P (A) Def. P (A)
⇒ { x } ∈ P (B) pues P (A) ⊂ P (B)
⇒ { x } ⊂ B Def. P (B)
⇒ x ∈ B Sub conjunto de B
∴ A ⊂ B por definición de Inclusión.
Demostración de (3) [ P (A) ∪ P (B) ] ⊂ P (A ∪ B).
Sea X∈ P(A) ∪P(B) ⇒ [ ] [ X∈P(A) ∨ [ X ∈P(B)
Def. Unión
] ]
⇒ ( X ⊂ A ) ∨ ( X ⊂ B ) Def. Conj. Pot.
⇒ X ⊂ ( A ∪ B ) ⇒ X ∈ P (A ∪ B)
Luego P (A) ∪ P (B) ⊂ P (A ∪ B)
40 Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
ILUSTRACIÓN RESUMEN
Tiene 2n elementos, n es el número de letras de A
A∈ P(A) Si X = φ, ∈ P(A) = {φ}
φ∈ P(A)
Conjunto potencia de A
Se denota por P(A)
Se define por {X/X⊂A}
X ⊂ P(A) ↔ X ⊂ A
41 Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
Resuelva los sigpara evaluar su a
ACTIVIDAD N° 02
EJERCICIOS GRUP
1) Hallar el Conjunto Potencia de C, siendo C = { ∅
2) ¿En qué caso se cumple que: A ⊂ P (A) ?
3) Siendo A = { a , ∅ } y B = { { ∅ } , { a } } , ha
a. P (A) ∩ P (B)
b. P (A ∪ B)
4) Demostrar que:
a. A = B ⇒ P (A) = P (B)
b. P (A ∩ B) = P (A) ∩ P (B).
CLAVE DE RESPUESTAS
1) P (C) = { ∅ , { ∅ } ,{ c }, { { ∅ } } , { ∅,c } , { ∅
2) Si A = ∅ ó A = {∅}
3) P (A) ∩ P (B) = ∅
P (A) = {∅,{a},{∅},{{∅}},{{a}},{a,∅
{∅}},{∅,{{a}},{{∅}},{a}},{a
{∅,{∅},{a}},{a,∅,{a}},A∪B}
42
uientes ejerciciosprendizaje.
O 5
, c , { ∅ } }.
llar:
,{ ∅ } } , { c, { ∅ } } , C}
},{a,{∅}},{a,{a}},{∅,
,∅,{∅}},{a,{∅},{a}},
Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
OBJETIVO N° 06
Resolver problemas diversos relativos al Número Cardinal de Conjuntos.
Infórmese sobre las propiedades delnúmero cardinal de conjuntos y susaplicaciones que se ofrecen en elsiguiente texto.
ACTIVIDAD N° 01
Naturalmente que la idea del número de elementos de un conjunto finito cualesquiera, es
primitiva por lo que se admite como la cantidad de elementos que hay en un conjunto. Se
denota por,
n( A ) = card (A). Nota.( A ) también se llama número cardinal del conjunto A.
Ejemplo. Si A = {a,b,c} y B = {1,-3,5,{3},2}, entonces
n(A)= 3, n(B)= 5, n[P(A)] = 23 = 8, n[P(B)]=5 = 32.
Propiedades: 1) Si A y B son conjuntos finitos disjuntos, entonces:
n(A ∪ B) = n( A ) + n( B ), si A ∩ B
Obviamente que si A ∩ B = ∅ , entonces n ( A ∩ B ) = 0.
A ∪ B es la parte sombreada del gráfico,
entonces:
U
B A
n(A ∪ B) = n( A ) + n( B ).
2) Si A y B son conjuntos finitos
arbitrarios, no necesariamente
disjuntos, expresamos: B – A
U
B A
A ∩ B A – B
43 Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
A = ( A – B ) ∪ ( A ∩ B ),
Con ( A – B ) ∩ ( A ∩ B ) = ∅.
Entonces por (1):
n(A) = n(A – B) + n(A ∩ B)
n(A – B) = n(A) + n(A∩B) ó
3) Si A y B son conjuntos finitos
arbitrarios, no necesariamente
disjuntos, entonces:
B – A
U
B A
A ∩ B A – B
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
En efecto, en el gráfico dado observamos que:
A ∪ B = [(A – B) ∪(A ∩ B)] ∪ (B – A); es decir
A ∪ B es la unión de tres conjuntos disjuntos entre sí.
Luego:
n(A ∪ B) = n[(A – B) ∪ (A ∩ B)]+ n(B – A) por (1)
= n(A – B) + n(A ∩ B)+ n (B – A) por (1)
= [n(A)– n(A ∩ B)]+ n(A ∩ B)+ n(B)– n(A ∩ B)
por (2)
∴ n( A ∪ B ) = n(A) + n(B) – n(A∩B). Nota .- Ud. puede tomar A ∪ B = (A – B) ∪ B y demostrar
lo mismo.
4) Si A, B y C son conjuntos finitos tales que: A ∩ B ∩ C ≠ ∅
entonces:
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C)– n(A∩B) – n(A∩C) –
n(B∩C) + n(A ∩ B ∩ C).
Basta tomar: (A ∪ B ∪ C) = A ∪ (B ∪ C) y aplicar (1) y (3).
Para fines prácticos es conveniente representar A ∪ B en un diagrama de Venn compuesto
por zonas disjuntas como se ilustra a continuación:
c
U
B A
b a
44 Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
Donde: a = n( A – B )
b = n( A ∩ B )
c = n( B – A )
Ejemplo 1. De un grupo de 100 alumnos: 49 no hablan Inglés, 53 no hablan Francés y 27
no hablan Inglés ni Francés.¿Cuántos alumnos hablan uno de los idiomas?
Solución:
Hablan Inglés = I Hablan Francés = F
n( I ’ ) = 49 ⇒ n( I ) = 51,
n( F ’ ) = 53 ⇒ n( F ) = 47.
Gráficamente:
I F
U
a c b
Hablan un solo idioma
Por dato:
c + 27 = 49 ⇒ c = 22,
a + 27 = 53 ⇒ a = 26.
Luego:
a + c = 48.
45 Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
ILUSTRACIÓN RESUMEN
Es el número de elementos de un conjuntos
Cardinal de un conjunto
3P
2P 1P
46 Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
Resuelva los sigpara evaluar su a
ACTIVIDAD N° 02
EJERCICIOS GRUP
1) Los conjuntos A, B y C, tienen k, 3k y ( k-1) elem
A y B tienen k/2 elementos comunes; A y C tie
Si existe un único elemento común a los tres con
de: [ ( A ∪ B ) – ( A ∩
2) En una encuesta realizada a 150 personas sobre s
y C, se encontró el siguiente resultado:
• 82 consumen el producto A.
• 54 consumen el producto B.
• 50 sólo consumen el producto A.
• 30 sólo consumen el producto B.
• El número de personas que consu
personas que consumen sólo A y C.
• El número de personas que consu
personas que consumen los tres pro
• El número de personas que no cons
tantos como los que consumen sólo
Determinar:
a) El número de personas que cons
b) El número de personas que no c
c) El número de personas que p
productos.
47
uientes ejerciciosprendizaje.
O 7
entos, respectivamente.
nen k/4, y B y C tienen 2.
juntos. Hallar el número de elementos
B) ] – C.
us preferencias de tres productos A, B
men sólo B y C es la mitad de las
men sólo A y B es el triple de las
ductos.
umen los productos mencionados son
C.
umen sólo dos de los productos.
onsumen A, B ni C.
or lo menos consumen uno de los
Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
3) Un club consta de 78 personas; de ellas 50 juegan fútbol , 32 básquet y 23 vóley. Seis
figuran en los tres deportes y 10 no practican deporte alguno. Entonces:
a) ¿Cuántas personas practican sólo un deporte?
b) ¿Cuántas personas practican sólo dos deportes?
c) ¿Cuántas personas practican al menos dos deportes?
d) ¿Cuántas personas practican como máximo dos deportes?
4) En un Congreso Internacional de Medicina, se debatió el problema de la Eutanasia,
planteándose una moción:
115 europeos votaron a favor de la moción,
75 cardiólogos votaron en contra,
60 europeos votaron en contra,
80 cardiólogos votaron a favor.
Si el número de cardiólogos europeos excede en 30 al número de americanos de otras
especialidades y no hubo abstenciones. ¿ Cuántos médicos participaron en el congreso?
5) Se hizo una encuesta a 160 alumnos del CEPUNS sobre la preferencia de 4 carreras
profesionales: Ingeniería de Sistemas (S), Enfermería (E), Comunicación Social (C) y
Biología en Acuicultura (B), obteniéndose los siguientes datos:
• Ninguno de los que prefieren (C) simpatizan con (B).
• 22 sólo con (S)
• 20 sólo con (E)
• 20 sólo con (C)
• 20 con (S) y (B) pero no con (E)
• 6 sólo con (C) y (E)
• 4 con (S) y (C)
• 24 con (B) y (E)
• 28 sólo (B).
¿Cuántos prefieren sólo (S) y (E), si a todos por lo menos les gusta una carrera
profesional?
6) De 700 postulantes que se presentaron a la UNS o a la UNT, 400 lo hicieron a la
UNT, igual número a la UNS, ingresando la mitad del total de postulantes. Los no
ingresantes se presentaron a la UNMSM, de éstos 90 no se presentaron a la UNS y
1800 no se presentaron a la UNT. ¿Cuántos postulantes ingresaron a la UNT y a la
UNS?.
48 Universidad Nacional del Santa
Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso
7) Suponga que los brevetes sólo se consiguen legalmente, los que tienen brevete
profesional saben mecánica mientras que los que tienen brevete particular sólo están
autorizados a manejar automóviles y así lo hacen.
Si tienen los siguientes datos referente a un grupo de personas:
• 21 no tienen brevete profesional o no manejan camiones.
• 13 saben encender un vehículo pero no tienen brevete.
• 8 saben manejar vehículos pero no tienen brevete.
• 2 saben mecánica y manejan camiones. El mismo número sabe manejar
vehículos pero no maneja camiones ni tiene brevete.
• 11 no tienen brevete pofesional y no manejan camiones.
• 3 tienen brevete particular.
Además, téngase en cuenta que los que saben mecánica tienen brevete profesional.
Se pregunta lo siguiente:
a) ¿Cuántos son en total?.
b) ¿Cuántos no tienen brevete?.
c) ¿Cuántos cometen infracción de manejar vehículos sin tener brevete?.
d) ¿Cuántos saben encender un vehículo pero no manejarlos?.
8) En un avión hay 9 jóvenes, 5 niños peruanos, 9 hombres, 7 jóvenes extranjeros, 14
peruanos, 6 peruanos varones, y 7 mujeres extranjeras.
a) ¿Cuál es el número de personas del avión?
b) ¿Cuántos son solamente peruanos?
49 Universidad Nacional del Santa
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