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ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS
UTILIZANDO MATERIAL DOURADO
Autora: Helena Maria Felipe Penteado1
Orientadora: Ma. Raquel Polizeli2
Resumo
Este artigo apresenta uma experiência trabalhada com alunos do 6º Ano do Ensino Fundamental no Colégio Estadual Alberico Marques da Silva – EFMP, em Santa Isabel do Ivaí – Paraná, em 2011 – Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE), com objetivo de propiciar elementos para auxiliar o trabalho com alunos com dificuldades de aprendizagem sobre o conteúdo envolvendo as quatro operações com números naturais. Observou-se um baixo nível de compreensão dos alunos a respeito desse conteúdo. A identificação das particularidades e expectativas de aprendizagem, significativa em alunos que, às vezes, têm dificuldades em se apropriar dos conceitos, levou ao desejo de trabalhar com o Material Dourado. Tendo como objetivo a construção do significado das técnicas “vai um” e “empresta” ao operar a soma e a subtração, multiplicação e a divisão com números naturais. O que tentamos mostrar em nossa reflexão é a contribuição do Material Dourado neste processo. Dentre os autores que sustentam nossas discussões destaca-se Lorenzato (2006), que evidencia as potencialidades do material didático pedagógico. Esperamos que, ao final, este texto possa contribuir ao leitor à reflexão quanto à autonomia de cada aluno e à postura do professor ao propor situações de aulas diferenciadas, atrativas e motivadoras.
Palavras-chave: dificuldades de aprendizagem; operações; números naturais; material dourado.
1 Pós-graduação em Matemática, Graduação em Ciências Biológicas, Colégio Estadual Alberico Marques da Silva - EFMP.
2 Mestre em Matemática
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO – SUED
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS - DPPE PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ - UNESPAR - CAMPUS DE PARANAVAÍ
Faculdade Estadual de Educação, Ciências e Letras de Paranavaí
Abstract
This article presents an experience worked with students from Year 6 of primary education in the State College Alberico Marques da Silva - EFMP in Santa Isabel do Ivai - Paraná, in 2011 - Educational Development Program (EDP), in order to provide elements to help working with students with learning difficulties over the content involving the four operations with natural numbers. There was a low level of understanding of students about the content. The identification of the specific learning and expectations, significant that students sometimes have difficulties in appropriating concepts led to the desire to work with the Golden Material. Aiming at building the technical meaning of "a will" and "loans" to operate the sum and subtraction, multiplication and division with integers. What we try to show in our discussion is the contribution of the Golden Material in this process. Among the authors who hold our discussions stands Lorenzato (2006), which shows the potential of educational courseware. We hope that in the end, this paper will contribute to the reader to reflect on the autonomy of each student and teacher stance by proposing different classes of situations, attractive and motivating.
Key-words: learning disabilities; operations; natural numbers; golden material.
1 Introdução
Nossa prática pedagógica está permeada pela expectativa de promover um
ensino que desencadeie nos alunos um processo de aprendizagem e que eles possam
se apropriar dos conceitos e, dessa forma, construir significados, a fim de propiciarmos
um trabalho didático pedagógico que encaminhe os alunos à reflexão, às descobertas e
à apropriação dos conceitos matemáticos e, consequentemente, a abstração. No
decorrer da nossa prática pedagógica, alguns alunos revelam ter dificuldades de
compreender e conceber boa parte dos conteúdos trabalhados, pois não conseguem
resolver as operações. É possível identificar que muitos desses obstáculos envolvem as
operações, adição, subtração, principalmente na multiplicação e divisão, quando
envolvem técnicas de operações inversas. Essa problemática tem despertado o
interesse em desenvolver para os alunos do ensino fundamental, sequências didáticas,
contemplando as quatro operações, recorrendo à manipulação do Material Dourado,
com o objetivo de ensinar e mediar processo de aprendizagem.
No entender de Lorenzato (2006, p. 22) “para se chegar ao abstrato, é preciso
partir do concreto”. Nessa perspectiva, os materiais didáticos, enquanto mediadores do
processo de ensino e de aprendizagem podem ser utilizados quando os professores
procuram meios de tratar os conteúdos matemáticos, presentes nos livros didáticos, de
forma que os educandos possam compreendê-los e se apropriarem de seus
significados. Em relação aos alunos do 6º Ano, de acordo com seu uso e
encaminhamento didático, o material dourado promove processo de aprendizagem
ajudando-os a se apropriarem do significado das operações básicas e da mudança da
base 10.
2 Citações
Esse recurso é inserido, muitas vezes, nas aulas de matemática com a
finalidade de que o aluno possa formar e apropriar-se de conceitos.
Zunino (1995) investigou os procedimentos e as estratégias de resolução de
problemas utilizados por crianças de 3º e 5º Séries (atuais 4º e 6º Anos do ensino
fundamental) para resolver os algoritmos das operações com números naturais,
problemas aritméticos e problemas que combinavam mais de uma operação, e na
compreensão dos procedimentos tais como: o “vai um”, o “pede emprestado”. A maioria
dos alunos faz uso de tais processos sem estabelecer vínculo com as unidades,
dezenas e centenas, uma dificuldade decorrente do aprendizado do sistema de
numeração decimal, relacionado a não compreensão dos agrupamentos e trocas,
especialmente na base 10.
Segundo Toledo e Toledo (1997, p. 04), “atividades práticas que envolvem
materiais concretos (jogos, material dourado, dentre outros) geralmente são eficazes
para o entendimento de conceitos e relações numéricas”.
Zunino (1996 apud RODRIGUES, 2008-2009, p. 04) coloca que no 6º ano são poucas as crianças que conseguem compreender que o mecanismo do sobe um e pedir emprestado está inserido no marco de um sistema posicional. Ficam surpresos quando descobrem que esses procedimentos não operam apenas como unidades, senão como dezenas, e inclusive como centenas.
“Talvez essa dificuldade origine-se no fato de que na rotina de sala de aula
insiste-se muito mais na relação entre centenas e unidades do que na relação entre
centena e dezena e assim por diante” (RODRIGUES, 2008; 2009, p. 04).
É necessário criar condições que permitam aos alunos apropriar-se dos princípios que regem o sistema de numeração e compreender que os procedimentos utilizados para resolver as operações estão inseridos no contexto deste sistema. O objetivo na tomada de partida a natureza do sistema posicional, assim como as ideias que os alunos têm construído a respeito dele através de sua interação cotidiana com os números e com sua notação (ZUNINO, 1995, p.189).
O “Material Dourado” desperta no aluno a construção e o interesse, além de
desenvolver sua inteligência e imaginação criadora. Além disso, permite o
estabelecimento de relações nas operações fundamentais para a motricidade e o
raciocínio lógico-matemático.
3 Desenvolvimento
Este trabalho foi aplicado aos alunos do 6º Ano do Ensino Fundamental do
Colégio Estadual Alberico Marques da Silva – EFMP, em Santa Isabel do Ivaí – Pr, com
dificuldades de aprendizagem em matemática, nas quatro operações básicas: Adição,
Subtração, Multiplicação e Divisão, utilizando como auxilio o Material Dourado,
relacionando cada grupo de peças ao seu valor numérico, estimulando o cálculo mental.
A pesquisa aconteceu em setembro e outubro de 2011, no quarto bimestre
letivo da escola, perfazendo um total de trinta e duas horas-aulas. Nas quais buscou–se
atender o objetivo da pesquisa proposta no projeto inicial. Foram trabalhadas atividades
nas quais foram desenvolvidos estudos envolvendo o tema proposto.
A aplicação foi realizada em três fases: Apresentação do Material Dourado,
realização de atividade de reconhecimento do valor numérico com o material e
resoluções de problemas.
Na apresentação do material ocorreu de forma lúdica para que os alunos
pudessem explorar livremente esse material. Nesse momento os alunos perceberam a
forma, a constituição e os tipos de peças do material; houve a familiarização com as
peças, com a relação que existe entre elas numa construção livre. De modo gradativo,
após a apresentação, os alunos deram nomes as peças que utilizaram a partir de suas
necessidades, de acordo com suas conclusões.
No decorrer desta atividade foi pedido aos alunos que criassem uma forma
própria de registrar o que iam fazendo. Após esse momento de familiarização, houve o
momento de intervenção em que foram apresentados aos alunos as peças, agora,
adotando os nomes convencionais: Cubinhos, Barra, Placa e Cubo.
Figura 1: Material Dourado. Fonte: PENTEADO, 2011
CUBINHO PLACA BARRA
unidade centena dezena
Figura 2: Material Dourado Fonte: MATERIAL DOURADO (on-line, 2011).
. Figura 3: Material Dourado Fonte: MATERIAL DOURADO (on-line, 2011).
Percebemos que através desta forma de abordagem, os alunos criam sua
própria linguagem, suas noções para compreender, representar e desenvolver a
criatividade e o raciocínio lógico-matemático.
Com o uso do Material Dourado as relações numéricas passam a ter uma
imagem concreta, facilitando a compreensão dos algoritmos, com um notável
desenvolvimento do raciocínio e um aprendizado bem mais agradável, em que, muitas
vezes, os alunos descobrem sozinhos as relações entre as peças, iniciando pelo uso da
casa das unidades, dezenas, centenas e unidade de milhar. Nesse processo foi
estabelecido um diálogo, que foi de suma importância para o aprendizado da
matemática.
Na fase de realização de atividades de reconhecimento do valor numérico,
foram estabelecidos padrões de agrupamento do sistema de numeração, com
atividades e jogos que levaram o aluno ao entendimento da construção da
representação e a troca correspondente ao valor numérico das peças, fazendo trocas
na base 10.
O objetivo dessa atividade foram as trocas, isto é, a compreensão dos
agrupamentos de dez em dez (dez unidades formam uma dezena, dez dezenas formam
uma centena, assim dez centenas formam uma unidade de milhar, etc.), característico
do sistema decimal.
A compreensão dos agrupamentos na base 10 é muito importante para o real
entendimento das técnicas operatórias das operações fundamentais.
Ao mesmo tempo, as atividades estimularam o cálculo mental. Por exemplo, em
determinada atividade, os educandos começaram a calcular mentalmente quanto faltou
para “juntar 10”, ou seja, quanto falta para que ele consiga fazer uma nova troca.
Houve uma motivação, estimulado pela participação dos alunos nos jogos, pela
premiação proposta aos grupos, pelo professor, e também mediante o desafio em
chegar a uma nova troca. O contato direto com o material despertou grande interesse
na utilização do calculo mental.
Na terceira fase foram realizadas atividades de resolução de situações
problemas utilizando o Material Dourado, trabalhando o significado e o conceito da
adição, subtração, multiplicação e divisão, por meio de atividade em grupo, em que os
alunos observam os diferentes resultados da adição e subtração, multiplicação e
divisão.
É importante que haja sempre incentivo para que o aluno analise, interprete,
formule a resolução de situações-problemas, compreendendo os diferentes significados
das operações, envolvendo números naturais. E reconheça as diferentes situações-
problemas que podem ser resolvidas por uma única operação e que, eventualmente,
diferentes operações podem resolver um mesmo problema. Neste processo os alunos
foram estimulados para que explicassem aos colegas os passos que realizavam para
chegarem aos resultados para que eles pudessem perceber efetivamente que há
diferentes formas de se resolver um mesmo problema. A cada atividade dos grupos, os
alunos produziam explicações escritas do desenvolvimento das técnicas aplicadas, para
adquirir o hábito de escrever em matemática.
Os alunos tiveram dificuldades na resolução de problemas onde envolvia a ideia
de comparar e resolver as situações envolvendo as operações fundamentais. Na pratica
do desenvolvimento das atividades pôde-se verificar e constatar as dificuldades
apresentadas pelos alunos na resolução dos problemas, especificamente envolvendo
as operações de multiplicação e divisão. Nas atividades envolvendo adição e subtração
os alunos se desempenharam bem, sem grandes dificuldades, porém nas atividades
que requeriam mais raciocínio mental os alunos ainda apresentavam dificuldades.
4 Conclusão
De acordo com o trabalho realizado com alunos do 6º Ano, observou-se que as
principais dificuldades apresentadas pelos alunos são geradas pela defasagem
apresentada em relação a assimilação dos conteúdos envolvendo as quatro operações
fundamentais em séries/anos anteriores.
No decorrer do desenvolvimento do projeto notou-se resultados satisfatórios em
relação a compreensão, por parte dos alunos, das operações fundamentais. A maioria
dos alunos demonstraram compreensão das características do sistema numérico,
associando cada operação as suas respectivas ideias como “juntar”, “tirar”, “adição de
parcelas iguais”, “repartir em partes iguais”, “operações inversas”. Demonstraram
também maior autonomia na resolução de situações problemas, salvo algumas
exceções com relação a multiplicação e divisão.
Os alunos apresentaram o desenvolvimento do raciocínio lógico, assim maior
interesse em realizar as operações matemáticas. Na interpretação dos enunciados, nas
situações que exigiam comparação, assim como na identificação da operação
matemática a ser realizada, os alunos utilizam diferentes estratégias, fugindo do senso
comum, para resolução de uma situação problema, porém algumas vezes não
conseguiam representa-las matematicamente. O maior número de erros foi observado
nos cálculos que envolviam multiplicação e divisão, observou-se também que os alunos
tinham maior dificuldade, não compreendendo o algoritmo, o que ocasionou os erros
durante o cálculo. Muitos alunos não conseguiam realizar a divisão de um número
menor por um número maior, acredita-se que os erros foram consequência do não
conhecimento da tabuada e por desatenção.
Segundo Teixeira (2006 apud AGRANIONIH; ENRICONE; ZATTI, 2009), ao
analisar as possíveis causas dos erros e dificuldades dos alunos na aprendizagem da
matemática, há um conjunto de variáveis em jogo, que se referem à própria natureza
dos conceitos matemáticos, à forma de ensiná-los ou as condições do aluno para
aprender.
Os erros e as dificuldades que foram evidenciados nesse trabalho levam a
pensar na importância de criar estratégias que favoreçam a superação destas
dificuldades, onde o domínio e aplicação dos conceitos são fundamentais para os
alunos na construção do conhecimento matemático e que venha buscar alternativas
pedagógicas para superar as dificuldades como preventiva para superação.
Assim, é fundamental que ao constar o erro o professor busque a melhor forma
de intervir para que o erro possa ser superado pelo aluno, afinal os tipos de erros são
variados e nem sempre uma estratégia é eficiente para que um aluno ou uma sala seja
eficiente.
É importante que o professor esteja atento e disposto a adaptar as ideias
apresentadas a procurar a melhor estratégia de acordo com seus alunos.
A valorização das construções realizadas com o Material Dourado ajuda na
compreensão, no raciocínio do aluno facilitando a construção do ensino aprendizagem,
tornando-o mais eficiente.
Ao trabalhar com o Material Dourado os alunos demonstraram motivação,
interesse, concentração e sentiram-se desafiados na busca da compreensão e
construção do conhecimento matemático.
É fundamental para o ensino da matemática que os professores sejam
pesquisadores permanentes tanto no que diz respeito à continua observação e análise
das construções dos erros de seus alunos, como na constante atualização teórica,
buscando compreender o processo de construção do conhecimento e encontrar a
melhor maneira de intervir nessa construção.
Referências
AGRANIONIH, N. T.; ENRICONE, J. R. B.; ZATTI, F. Dificuldades no Cálculo de Divisão na 5ª série do Ensino Fundamental. GT 01 – Educação Matemática nos Anos Iniciais e Ensino Fundamental. X Encontro Gaúcho de Educação Matemática. 02 a 05 de junho de 2009, Ijuí/RS. Disponível em: <http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/cd_egem/fscommand/CC/CC_7.pdf>. Acesso em: 24 Jun. 2012.
LORENZATO, S. A. Laboratório de ensino de matemática e materiais didáticos manipuláveis. In: LORENZATO, S. A. (Org). O laboratório de ensino de matemática na formação de professores. Campinas: Autores Associados, 2006. p. 3-37.
MATERIAL Dourado. Atividades Propostas. On-line, 2011. Disponível em: <http://paje.fe.usp.br/~labmat/edm321/1999/material/_private/material_dourado.htm>. Acesso em: 16 Mai. 2011.
RODRIGUES, A. C. Promovendo Conexão entre Procedimento e Conceito. PDE, 2008;2009. Disponível em: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/1844-8.pdf>. Acesso em: 30 Abr. 2012. TOLEDO, Marília; TOLEDO, Mauro. Didática da matemática: como dois e dois: a construção da matemática. São Paulo: FTD, 1997.
ZUNINO, D. L. de. A matemática na escola: aqui e agora. 2. ed. Porto Alegre: Artes Médicas, 1995.
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