adolfo chapuz benitez presenta: mÉtodo de...
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ADOLFO CHAPUZ BENITEZ PRESENTA:
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA parte I
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Sobre el autor.
Adolfo Chapuz Benítez
Lic. En Matemáticas en la Universidad Juárez Autónoma De Tabasco
Profesor desde el año 1999 de matemáticas en el Instituto Tecnológico Superior De Comalcalco en
Tabasco, México
http://www.comoaprendomatematicas.com
Dedico este trabajo primeramente a Cristo Jesús, a Él sea toda lo gloria, toda la honra y toda la
alabanza. Él es el camino, y la verdad, y la vida Juan 14:6
A mi esposa Guillermina, a mis hijas Dulce y Regina, por quienes me esfuerzo para que tengan una
vida llena de bendiciones.
A mis padres Felipe y Valentina. Los mejores.
A mis hermanos: Nena, Mini, Sandra, Richard, Marbe e Ingrid. Inigualables.
A todos mis alumnos. De todo corazón.
Esto es para todos.
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Contenido:
1.- Ejemplo General De la Forma 22 ax
2.- Ejemplo General De la Forma 22 ax
3.- Ejemplo General De la Forma 22 xa
4.- Cinco ejemplos diversos
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Introducción.
Uno de los métodos de integración clásicos es el llamado Método De Sustitución
Trigonométrica.
Este se usa para calcular integrales que involucran expresiones del tipo:
donde a es una constante.
Para cada una de estas expresiones existe una sustitución específica que nos ayuda a
que la raíz cuadrada involucrada desaparezca y la integral que se quiera calcular sea
más fácil de encontrar.
Además de la sustitución, se le asocia un triángulo que nos va a servir para poder
regresar a nuestra variable original.
Las sustituciones las usamos de acuerdo a la siguiente tabla:
TIPO DE EXPRESION SUSTITUCIÓN
ADECUADA
22 ax
tanax dadx 2sec
22 ax
secax dadx tansec
22 xa
asenx dadx cos
Antes de empezar con nuestros ejemplos, debo decirte que necesitamos de algunas
integrales que vamos a suponer que ya calculamos, éstas se pueden consultar en los
ejercicios vistos en la sección de Integrales trigonométricas. Estas integrales son las
siguientes:
222222 , xaaxax
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I.- cd tanseclnsec
II.- cd cotcsclncsc
III.- cd tansecln2
1tansec
2
1sec3
IV.- cd seclntan
I.- EJEMPLO GENERAL DE LA FORMA 22 ax
1.- dxax 22
Desarrollo: En este caso queremos calcular la integral en forma general porque
vamos a trabajar para cualquier valor de a y usamos el primer tipo de sustitución
porque es una SUMA de cuadrados.
tanax
dadx 2sec
Aquí aprovechamos igual para observar como la raíz cuadrada se cancela de manera
automática. De hecho este mismo procedimiento es el que debes aplicar cada vez que
quieras resolver una integral de este tipo. Así que pon mucha atención, porque no será
necesario repetirlo, sino simplemente aplicar el resultado ya obtenido.
Simplificamos 22 ax :
secsec
sec1tantantan
22
22222222222
aa
aaaaaaax
Conclusión: sec22 aax
2sec
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Ahora, calculamos la integral:
caa
ca
da
daadxax
tansecln2
tansec2
tansecln2
1tansec
2
1
sec
secsec
22
2
32
222
caa
dxax tansecln2
tansec2
2222
Resultado previo.
Hasta este punto la integral ya está resuelta, solo debemos regresar a la variable
original x, usando el siguiente triángulo, que solo es válido para esta sustitución
tanax .
De aquí, obtenemos adyacente
opuesto
a
xtan , con esto construimos nuestro triángulo
rectángulo:
x
a
22 ax
Cateto adyacente
Cateto opuesto
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Observando el triángulo, tenemos que:
a
xtan , 22
cosax
a
y
a
ax 22
sec
. Ahora sólo basta sustituir en la
integral anterior.
ca
xaxaaxx
ca
xaxa
a
axxa
ca
x
a
axa
a
x
a
axa
caa
dxax
22222
222
2
222
222222
2222
ln22
ln22
ln22
tansecln2
tansec2
Por lo tanto, tenemos que:
ca
xaxaaxxdxax
2222222 ln
22
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II.- EJEMPLO GENERAL DE LA FORMA 22 ax
Desarrollo:
secax
dadx tansec
Simplificamos 22 ax :
tantan
tan1secsecsec
22
22222222222
aa
aaaaaaax
Conclusión: tan22 aax
2tan
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Ahora, calculamos la integral, sustituyendo lo que acabamos de obtener:
caa
caaa
caa
dada
da
da
daadxax
tansecln2
tansec2
tanseclntansecln2
tansec2
tanseclntansecln2
1tansec
2
1
secsec
sec1sec
sectan
tansectan
22
222
22
232
22
22
22
Tenemos el resultado provisional de la integral en términos de
caa
dxax tansecln2
tansec2
2222
Resultado previo.
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Hasta este punto la integral ya está resuelta en términos de , solo debemos
regresar a la variable original x, usando el siguiente triángulo, que solo es válido para
esta sustitución secax .
De aquí, obtenemos adyacente
hipotenusa
a
xsec , con esto construimos nuestro triángulo
rectángulo:
Observando el triángulo, tenemos que:
a
xsec ,
a
ax
adyacente
opuesto 22
tan
. Ahora sólo basta sustituir en
caa
dxax tansecln2
tansec2
2222
,
x
a
22 ax
Cateto adyacente
Cateto opuesto
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ca
axxaaxx
ca
ax
a
xa
a
ax
a
xadxax
22222
22222222
ln22
1
ln22
Conclusión:
ca
axxaaxxdxax
2222222 ln
22
1
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III.- EJEMPLO GENERAL DE LA FORMA 22 xa
Desarrollo:
asenx
dadx cos
Simplificamos 22 xa :
coscos
cos1
22
22222222222
aa
asenasenaaasenaxa
Conclusión: cos22 axa
Ahora calculamos la integral:
2cos
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csenaa
csenaa
csenaa
csenaa
dada
da
da
daadxxa
cos22
cos242
242
22
1
22
)2cos(2
1
2
1
)2cos(2
1
2
1
cos
coscos
22
22
22
22
22
2
22
22
Tenemos el resultado provisional de la integral en términos de
Resultado previo.
Hasta este punto la integral ya está resuelta en términos de , solo debemos
regresar a la variable original x, usando el siguiente triángulo, que solo es válido para
esta sustitución asenx .
De aquí, obtenemos hipotenusa
opuesto
a
xsen
, con esto construimos nuestro triángulo
rectángulo:
csenaa
dxxa cos22
2222
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22 xa
Observando el triángulo, tenemos que:
a
xsen
,
a
xsen 1
a
xa
Hipotenusa
adyacente 22
cos
. Ahora sólo basta sustituir en:
cxax
a
xsen
a
ca
xa
a
xa
a
xsen
adxxa
2212
2221
222
22
22
Y finalmente tenemos:
cxax
a
xsen
adxxa
221
222
22
x a
Cateto adyacente
Cateto opuesto
csenaa
dxxa cos22
2222
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Ejemplos diversos:
NOTA: EN ESTOS EJEMPLOS VAMOS A USAR LAS SIGUENTES EXPRESIONES
QUE HEMOS OBTENIDO ANTERIORMENTE PARA AHORRAR UN POCO DE
ESPACIO Y TIEMPO EN LAS EXPLICACIONES.
cos.3
tan.2
sec.1
22
22
22
axa
aax
aax
1.- dx
x
x
32
Desarrollo:
Primero identificamos el valor de :a
332 aa .
tan3x y ddx 2sec3 .Entonces recordemos que hemos obtenido con
anterioridad la siguiente expresión: sec22 aax , así que sólo vamos a sustituir
el valor de :a
Tenemos que sec332 x y debemos sustituir en la integral.
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dd
dd
d
d
d
d
ddxx
x
csc3sectan3
tan
sec3
tan
sectan3
tan
secsectan3
tan
sec1tan3
tan
secsec3
tan
sec3
sec3tan3
sec33
2
2
2
2
3
22
cddxx
x
cotcscln3sectan3
32
Simplificamos el integrando de la primera integral:
dsendu
u
sensen
cos
coscos
1
cossectan
2
csc
1
cos
cos
cos
cos1
tan
sec
sensensen
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Ahora usamos cambio de variable.
c
cu
cu
cduu
cu
dudx
x
x
cotcscln3cos
3
cotcscln33
cotcscln31
3
cotcscln33
cotcscln333
1
2
2
2
cdxx
x
cotcscln3
cos
332
Resultado previo.
Ahora regresamos a la variable x, nos basamos en la sustitución con que empezamos
adyacente
opuestoxx
3tantan3 :
x
3
32 x
Cateto adyacente
Cateto opuesto
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Observando el triángulo, tenemos que:
3tan
x ,
x
3cot
32
x
xsen ,
x
x 3csc
2 .
3
3sec,
3
3cos
2
2
x
x Ahora sólo basta sustituir en la integral anterior.
cx
xx
cx
xx
cxx
x
cdxx
x
33ln33
33ln3
3
33
33ln3sec3
cotcscln3cos
33
22
22
2
2
cx
xxdx
x
x
33ln33
3 22
2
Conclusión.
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2.- dx
x
x
252
Desarrollo:
Aquí usamos sec5x y ddx tansec5 al sustituir estas expresiones nos
ayudan a simplificar la parte que tiene el radical.
tan5252 x.Entonces tenemos lo siguiente:
c
dd
d
d
ddxx
x
5tan5
5sec5
1sec5
tan5
tansec5sec5
tan525
2
2
2
2
cdxx
x
5tan5
252
Resultado previo.
Hasta este punto la integral ya está resuelta, solo debemos regresar a la variable
original x, usando el siguiente triángulo, que solo es válido para esta sustitución con la
que iniciamos sec5x .
2
2
tan1sec
tan1sec
2
2
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De aquí, obtenemos adyacente
hipotenusax
5sec , con esto construimos nuestro triángulo
rectángulo:
Observando el triángulo, tenemos que:
5sec
x , )
5sec(
xarc
5
25tan
2
x
adyacente
opuesto . Ahora sólo basta sustituir en
cdxx
x
5tan5
252
cx
arcx
x
cdxx
x
)5
sec(525
5
5tan525
2
2
Conclusión:
cxarcx
xdx
x
x
)5/sec(5
255
25 22
x
5
252 x
Cateto adyacente
Cateto opuesto
22
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3.-
dxx
x
216
Desarrollo: 4,162 aa
senx 4
ddx cos4
Hemos obtenido previamente que: cos22 axa
Así que cos416 2 x .
c
dsend
dsen
send
sen
dsen
sen
dsen
dsen
dxx
x
cos4cotcscln4
4csc4
41
4
14
cos4
cos44
cos416
2
2
2
2
cdxx
x
cos4cotcscln4
16 2
Resultado previo.
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Hasta este punto la integral ya está resuelta en términos de , solo debemos
regresar a la variable original x, usando el siguiente triángulo, que solo es válido para
esta sustitución senx 4 .
De aquí, obtenemos hipotenusa
opuestoxsen
4
, con esto construimos nuestro triángulo
rectángulo:
216 x
Observando el triángulo, tenemos que:
4
xsen
, xsen
41csc
4
16cos
2x
Hipotenusa
adyacente
216tan
x
x
adyacente
opuesto
x
x216cot
x 4
Cateto adyacente
Cateto opuesto
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Ahora sólo basta sustituir en:
cdxx
x
cos4cotcscln4
16 2
cxx
x
cx
x
x
xdx
x
x
22
222
16164
ln4
4
164
164ln4
16
Conclusión:
cxx
xdx
x
x
222
16164
ln416
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Ejemplo 4.- dx
x
x
43
Primero hacemos un cambio de variable: xdxduxu 2,2 y transformamos nuestra
integral original en términos de u .
2224 32
1
3
2
2
1
3 u
du
x
xdxdx
x
x
En este punto es donde aplicamos la sustitución trigonométrica.
Desarrollo: 3,32 aa
senu 3
ddu cos3 y cos33 2 u
c
d
d
u
du
u
du
x
xdxdx
x
x
2
1
2
1
cos3
cos3
2
1
32
1
32
1
3
2
2
1
3
2
2224
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cdxx
x
2
1
3 4
Resultado previo.
Ahora vamos a regresar a la variable original x:
senu 3 3
usen
3
uarcsen
Pero como 2xu , entonces
3
2xarcsen , por lo tanto:
cx
arcsendxx
x
32
1
3
2
4
Conclusión.
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Ejemplo 5.-
dxx
x
1002
2
Desarrollo:
10,1002 aa
22 sec100sec10 xx
ddx tansec10
Además: tan101002 x
c
d
ddxx
x
tansecln2
1tansec
2
1100
sec100
tansec10tan10
sec100
100
3
2
2
2
cdxx
x
tansecln
2
100tansec
2
100
1002
2
Resultado previo.
Solo debemos regresar a la variable original x, usando el siguiente triángulo, que solo
es válido para esta sustitución con la que iniciamos sec10x .
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De aquí, obtenemos adyacente
hipotenusax
10sec , con esto construimos nuestro triángulo
rectángulo:
Observando el triángulo, tenemos que:
10sec
x ,
10
100tan
2
x
adyacente
opuesto . Ahora sólo basta sustituir en
cdxx
x
tansecln50tansec50
1002
2
cxx
xx
cxxxx
dxx
x
10
100ln50100
2
1
10
100
10ln50
10
100
1050
100
22
22
2
2
Conclusión cxx
xxdxx
x
10
100ln50100
2
1
100
22
2
2
x
10
1002 x
Cateto adyacente
Cateto opuesto
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