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Triângulo de Collar
A
E I
SSAL
C
DR
F B Z DSA
DS
VA: Força aerodinâmica Fenômenos AeroelásticosE: Força elástica F: “Flutter”I: Força inercial B: “Buffeting”
Z: Resposta dinâmicaCampos Relacionados L: Distribuição de carga
V: Vibrações mecânicas D: DivergênciaDS: Estabilidade dinâmica C: Eficiência de controle
R: Reversão do sistema de controle
DSA:Efeitos aeroelásticos na estabilidade dinâmicaSSA: Efeitos aeroelásticos na estabilidade estática
Conceitos introdutórios – Parte I
Análise matricial de estruturasOs deslocamento devido a flexibilidade estão relacionados às forças como:
Supondo que a estrutura é linear
- matriz de rigidez, composta por coeficientes de influência de rigidez. Cada coluna representa o conjunto de forças necessário para que o deslocamento ui seja unitário e uj sendo nulo quando i≠j.
{ } { }i ij jF K u⎡ ⎤= ⎣ ⎦
ijK⎡ ⎤⎣ ⎦
Análise matricial de estruturasTrabalho virtual realizado por uma força:
Energia potencial elástica
2
12
1 12 2
W F du F u
K u u K u
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ ⋅ = ⋅ →
∑
Análise matricial de estruturasNa forma matricial:
Note que diferenciando
refere-se a aplicação da equação de Lagrange:
{ } { } { } { }
{ } { } { }
1 12 2
12
Ti i i i
Ti i j
W F du F u u F
W u F u U
= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⇒
= ⋅ ⋅ = →
∑
Energia potencial elástica
i
Ux
∂⇒
∂
( )i
T Uddt x
⎡ ⎤∂ −⎢ ⎥∂⎣ ⎦&
T∂−
( )j i
i i
U UQ Fx x
− ∂= = =
∂ ∂
Análise matricial de estruturasConsequentemente temos:
Note que:
Como a ordem de integração não altera o resultado, a matriz de rigidez deve ser simétrica
Os elementos diagonais devem ser positivos ou nulos, enquanto os demais não
ij j ii
U K u Fx
∂= =
∂ ∑
ij jii j j i
U UK Kx x x x∂ ∂
= = =∂ ∂ ∂ ∂
Análise matricial de estruturasExemplo: construção da matriz de rigidez do sistema ao lado:
Note que os termos diagonais são sempre positivos, e que existe o acoplamento elástico (termos fora da diagonal)
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
1 2
1 2
1 2 2 1
2 22 1 1 2
0
0T
F P K h a K h b
M M K a h a K b h b
K K K b K aP hM K b K a K a K b
θ θ
θ θ
θ
= − − − + =
= + − − + =
⎡ ⎤+ −⎧ ⎫ ⎧ ⎫= ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬
− +⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦
∑∑
Análise matricial de estruturasCentro de cisalhamento e centro de torção –são exatamente a mesma coisa, é o ponto onde ao se aplicar uma força só existirá cisalhamento, ou seja não existirá nenhum momento aplicado. Se K1 = K2, e a = b, a origem O é o centro de torção;Este conceito é válido quando assume-se que a estrutura é linear;Em aeroelasticidade, a posição do centro de torção será determinante na caracterização da estabilidade estática e dinâmica do sistema
Conceitos introdutórios – Parte II
Aerodinâmica básicaDefinições básicas ->
Geometria da um aerofólio bidimensional, daqui por diante abreviado para 2D.
c = cordab = ½ cordaV = Velocidade de
escoamento não perturbado.
α = ângulo de ataque
Parâmetros de similaridadeEm aerodinâmica, define-se como parâmetros de similaridade:
Em aeroelasticidade temos:
Frequência reduzida massa aparente
Re
VMa
Vcρμ
= →
= →
Número de Mach
Número de Reynolds
bkVω
= 2
mb S
μπρ
=
V = vel. Escoamentoa = velocidade do somρ = densidadeμ =visc. dinâmicaω = frequência circularS = área
Parâmetros de similaridadeO uso de parâmetros de similaridade garante o efeito de escala dinâmica para comparações teórico experimentais.
Se Reynolds e Mach forem similares entre dois corpos imersos em um fluido, que sejam geometricamente similares, porém em escala diferente os parâmetros aerodinâmicos serão idênticos.
Sustentação e MomentoPara calcular o momento, requer-se um comprimento de posição de referência;
o
o
o
o
L L L
M M M
dLL Ld
dMM Md
qSC qSC qSC
qScC qScC qScCα
α
αα
αα
α
α
= +
= +
= +
= +
Coeficientes aerodinâmicosCoeficientes de sustentação e momento:
Nota: é usual definir os índices de coeficiente de seções 2D em minúsculas.
- ângulo de ataque para sustentação nula
212
llCV Sρ
=21
2
mmCV Scρ
=
( )0 0l
l l l l l L iftdCC C C C Cdα α αα α α
α= ⇒ = + = −
0Liftα
Transporte do momentoPode-se medir ou calcular o momento aerodinâmico em um determinado ponto e transporta-lo para outro ponto de interesse:
Onde a e b são dois pontos distintos situados a distâncias ha e hb do bordo de ataque em frações da corda “c”.
( )ma ma l a bC C C h h= + −
Centro aerodinâmicoPor definição o centro aerodinâmico é o ponto sobre o aerofólio onde o momento aerodinâmico não varia com o ângulo de ataque.
Para obter o centro aerodinâmico (ac), empregas-se a fórmula de transporte de momentos
0acmdCdα
=
( )acm mb l ac bC C C h h= + −
Centro aerodinâmicoDiferenciando em relação a α :
Exemplo:
( )0acm mb lac b
mbac b
l
dC dC dC h hd d d
dCh hdC
α α α= = + − ⇒
= −
Cl 0,2 0,4 0,6 0,8
Cm1/3 -0,02 0,00 0,02 0,04
Centro aerodinâmicoComo os dados de túnel de vento acima comporta-se de forma linear,
Para aerofólios finos em regime subsônico o centro aerodinâmico situa-se a uma posição a ¼ da corda aproximadamente.
( )13
13
13
0,04 0,020,10
0,8 0,2
1 0,10 0,23333
m
l
m
acl
dC
dCdC
h hdC
− −= =
−
= − = − =
Centro de pressãoPosição onde o momento aerodinâmico é nulo pois é o ponto de aplicação da resultante do carregamento aerodinâmico distribuído sobre a corda.A sua posição pode ser determinada de:
Note que a posição do Cp depende de α .
13
13
13
1 03
1 1 0,02 1 0,43333 3 0,2 3
xcpm m l xcp
m
m l xcp xcpl
C C C h
CC C h h
C
⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞− = − ⇒ = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
Porque o CA ao invés do CP?Embora o centro de pressão CP seja o ponto de aplicação da resultante aerodinâmica, a sua posição muda com a variação do ângulo de ataque. Por outro lado, o que não muda com o ângulo de ataque é a posição do centro aerodinâmico CA. Portanto, é razoável assumir como ponto de aplicação da resultante aerodinâmica a posição do centro aerodinâmico, uma vez que a força aerodinâmica variará proporcionalmente ao ângulo de ataque ao mesmo tempo que momento aerodinâmico permanecerá constante ou nulo (placa plana). Note que para o caso de um aerofólio fino, ou mesmo a representação da seção de um aerofólio por uma placa plana a posição do CA será aproximadamente e exatamente a ¼ da corda, respectivamente. e todo o momento atuante no aerofólio será oriundo da sustentação multiplicada pela distancia do ponto de giro do aerofólio ao centro aerodinâmico a ¼ da corda. Note que para o caso da placa sem arqueamento, o momento aerodinâmico será nulo (Cmac0 = 0)
Mais definições...Asa finita (3D)
Λe=enflechamento do bordo de ataque (LE)
A = área da asa b/2 (s/2) = ½ envergadura Cr = corda na raiz Ct = corda na ponta
2
ctcr
sARA
λ=
=
afilamento
alongamento
Corda média aerodinâmica (MAC)
Corda de uma asa retangular com a, com a mesma área A, cujas características aerodinâmicas (sustentação e momento de arfagem) são iguais a asa original.
( )220
22 13 1
s
MAC c y dy
MAC cr λ λλ
=
+ += →
+
∫Asa reta e afilada, e será importante para adimensionalizarA frequência reduzida
CompressibilidadeOs coeficientes aerodinâmicos bem como as suas derivadas dependem de efeitos de compressibilidade;Este efeito é representado pela correção de compressibilidade conhecida também como correção de Prandtl-Glauert;
Não só coeficientes, mas também a posição do centro aerodinâmico é alterada.
21
Incl l
ldC CCd M
ααα
= =−
Regime Transônico
“Transonic Dip”
Pres
são
dinâ
mic
a de
“Fl
utte
r”
Número de Mach1
baixo amortecimentoponto crítico para “Flutter” (regime transônico)
teoria linear
0
Aeroelasticidade EstáticaCentro Elástico (CE): é o ponto para o qual uma força normal à corda é aplicada e a seção não sofre torção, mas apenas flexão. Uma força aplicada fora do CE causa torção e flexão.
CE
AC - Centro Aerodinâmico(Ponto onde o Momento Aerodinâmico não muda)
Eixo elástico
Esforço aplicadono eixo elástico(flexão)
Esforço aplicadofora do eixo elástico(torção e flexão)
Aeroelasticidade Estática
Eixo Elástico: linha ao longo do comprimento da semi-asa, formada pelos pontos (CE) onde forças podem ser aplicadas sem resultar em torção da mesma.
LL
CC αα
∂=
∂
( )xAC AC ACM L x M= ⋅ +
ACAC MM C q S c= ⋅ ⋅
0=CPxM
4ACcx ≅
2ACcx ≅
Escoamento subsônico (consegue-se o valor exatoquando se aplica a teoria dos perfis finos).
Escoamento supersônico
:
LM
c
xac
AC CECP
Distribuição da sustentação
A resistência devido à rigidez torcional é a tendência de uma seção da asa em resistir à torção imposta pela seção adjacente. É representada pela Mola Torcional (Kθ).
Kθ
ACCE
CP
W
L
75%
Seção Típica
Eixo ElásticoSeção mais representativa da asa. Em geral, é considerada a 75% da semi-envergadura da asa.Esta seção depende da rigidez torcional ao longo da asa.
Seção Típica de uma Asa
KθACCE
LMAC
α
e
V
KθAC
L MAC
αe
V
θMθ = Kθ · θ
e - distância do CE ao ACα - ângulo de ataque inicialθ - ângulo de torção elástica
Obs.: Geralmente o “Flutter”ocorre antes que a Divergência, exceto para asas com enflechamento negativo.
Divergência Aeroelástica-1 GDL
θθKLeM AC =+
( ) θθαα θKqSeCqScC L
M AC=+
∂∂
+ 0
Em termos de coeficientes aerodinâmicos, tem-se:
Determina o quanto tem de torção, dependendo da velocidade. Então,
⎟⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜⎜
⎝ ∂∂
−
+∂=
α
ααθ
θ
θ L
M
CKSeq
cCe
KqS AC
1
0
⎞⎛ ∂ LC
Obs.: θ aumenta quando diminui o denominador. Denominador nulo corresponde a condição de divergência.
Equilíbrio de Momentos (ref. CE)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=
α
θ
LD C
Se
KqPressão Dinâmica de Divergência (qD):
Que proporciona a divergência sobre um aerofólio.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=
αρ
θ
LD CSe
KV
2
O carregamento é alterado pela flexibilidade
Velocidade de Divergência (VD):Velocidade em que ocorre a Divergência.
( ) ElásticaRígidaTotalL
Total LLLC
qSL +=∴+∂∂
= θαα 0
Para aumentar a VD: aumentar Kθ ; diminuir e; e reduzir o ρ (aumentar o nível de vôo). Se e < 0, não existe a condição de Divergência.
Condição de divergência
Condição de divergênciaNote os termos que compõem a relação abaixo:
{
0 ACL M
L
qSeC qScCK qSeC
α
θ α
αθ
+=
−14243
“Rigidez Aerodinâmica”
“Rigidez Estrutural”
“Rigidez Aeroelástica”
A divergência é uma instabilidade independente da magnitude dos esforços (momentos), mas sim dependente da rigidez aeroelástica
Influência do pesoO peso W, cujo ponto de aplicação é o CG, também tem influência sobre a torção elástica, devido o momento negativo gerado por ele, resultando em
ACM Le d KW θθ+ − =
( )0AC
LM
CC qSc qSe KWd θα θ θα
∂+ + − =
∂
0
1
AC
LM
L
WCe cCqSCSe
d
K qK
θ
θ
ααθ
α
⎛ ⎞∂+ −⎜ ⎟
∂⎜ ⎟=∂⎜ ⎟−⎜ ⎟∂⎝ ⎠
Entretanto, note que a divergência independe desta “força externa”...
Acréscimo de sustentação
( ) ∴=++∂∂
∴=+ θθαα
θ θθ KqScCC
SeKLeMACM
LAC 0
θα
θ
α
α θKCC
CecqSe L
L
M AC =∂∂
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
∂∂
+0
= ângulo de ataque antes da torção elástica0α
Efeito Aeroelástico abaixo da VD:
Como ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=∴⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=α
α
θθ L
DL
DC
SeqKCSe
Kq
Então obtém-se :
( )Dqq
LD
L CSeq
CqSe
−=
+⇒
∂∂
=∂∂
+1
1
0
00 α
θαθ
ααθα
que é a expressão que indica o quanto de sustentaçãose tem em relação à asa rígida.
Acréscimo de sustentação
Dqq
0
0
αθα +
10
0
0
αθα +
≅+
=Rígida
ElásticaRígidaEfetiva L
LLL
0
0
0,8 0,64
0,3
D D
V qV q
α θα
= ⇒ =
+∴ ≅
RígidaElástica LL 2≅então
Mas, com °=⇒°= 1050 θα , e °=+ 150 θαque está fora da faixa linear (tomar cuidado).
Sustentação Efetiva
Ex.:
Considerações adicionaisA eficiência da sustentação modifica o desempenho da aeronave, e deve ser considerada no projeto;A superfícies de sustentação devem ser dimensionadas considerando a flexibilidade;A redistribuição da sustentação move o centro de pressão de uma asa na direção da raiz, e para a frente (direção do BA);O estudo da estabilidade e controle da aeronave deve levar em conta os efeitos da flexibilidade.
KθACCE
LMAC
α
e
V
KθAC
L MAC
αe
V
θMθ = Kθ · θ
e - distância do CE ao ACα - ângulo de ataque inicialθ - ângulo de torção elásticah - deslocamento vertical
Divergência Aeroelástica-2 GDL
+h
Kh Kh
Kh = rigidez em translação
AC
h
M L e KL K h
θ θ+ ⋅ = ⋅= ⋅
Sistema de duas equações a duas incógnitas:
Agrupando:
Equilíbrio de Momentos e Forças (ref. CE)
( )0L
hCqS K hα θα
∂⎡ ⎤+ = ⋅⎢ ⎥∂⎣ ⎦
( )0AC
LM
CqScC qSe Kθα θ θα
∂⎡ ⎤+ + = ⋅⎢ ⎥∂⎣ ⎦
0
0
0 0 1 1 00 0 1
0 0 1 1 00 0 1
0 1
AC
AC
hL L M
hL L M
Lh
L
K h hqSC qSC qScC
K e e
K h hqSC qSC qScC
K e e
qSCKK K h
qSeCK
α α
α α
α
α
θ
θ
θ θ
θ
αθ θ
αθ θ
θ
− −⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫= + +⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦− −⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫
− = +⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥
⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎩ ⎭−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
0 1 01
ACL MqSC qScCeK K
α
θ θ
α −⎧ ⎫ ⎧ ⎫= +⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
Na forma matricial:
Equilíbrio de Momentos e Forças (ref. CE)
0 1 1
1
1 01
1 10 01
AC
L L
h h
h hL L
L L
L M
qSC qSCK KK K
K KqSC qScCqSeC qSeCK K
qSeC qSeCK K
heK K
α α
α α
α α
αθ θ
θ
θ θ
θ θ
θ
αθ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
− −
− −
Na forma matricial:
Equilíbrio de Momentos e Forças (ref. CE)
0
0
1 1
1 1
1
AC
AC
L L
h hM
L
L
L
L
M
L
qSC qSC
qSeK KqScC
hK
qSCK qScC
K
C qSeCK K
qSeC qSeCK K
α α
α α
α α
α
θ
θ
θ
θ θ
θ θ
α
α
θ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢− −
− −
⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥= − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
Os deslocamentos são dados por:
Equilíbrio de Momentos e Forças (ref. CE)
Moral da história: A pressão dinâmica de divergência é a mesma que o caso com 1 GDL.
Outros efeitos...A condição (pressão dinâmica, por exemplo) em que o aerofólio perde a sua resistência em torção é conhecida como divergência;Não apenas o efeito da compressibilidade, mas também um eventual aquecimento aerodinâmico pode mudar as características estruturais da estrutura, diminuindo a sua rigidez. (Aerotermoelasticidade). Ex. vôos em regime hipersônico.Uma falha estrutural pode alterar a característica aeroelástica e levar a divergência
O mais importante - efeito da compressibilidade
Correção de Prandtl-Glauert:
21
D incL
KqCSe
M
θ
α
=
−
A velocidade de divergência aumenta com a altitude, porém diminui com o efeitoda compressibilidade.
0
TD
L
TDo
L
KqSeC
KqSeC
α
α
= ⇒
= ⇒
210
MC
C LL −
= α
α
22
11
0
MqSeC
MKq DoL
TD −=
−=
α
O efeito da compressibilidade
Mais sobre compressibilidade...Todavia, o número de Mach muda a pressão dinâmica de divergência (Prandtl-Glauert);Porém não podemos trata-lo como um parâmetro independente; note a relação para a velocidade de divergência:
A velocidade de divergência depende do par ρe M, uma vez que o número de Mach depende da altitude .
2
2
1
D incL
KVC
MSe
θ
αρ=
−
Mach de divergênciaPergunta: se operarmos em uma determinada altitude, qual será o Mach de divergência? A condição de vôo calculada a partir da equação:
deve corresponder (match) à condição calculada pela análise de divergência. Em outras palavras, a densidade e o número de Machdevem corresponder à velocidade calculada para uma determinada condição de vôo (altitude).
VMa
= 2 2 21 12 2
q V M aρ ρ= ⋅ = ⋅e
Mach de divergênciaPara tal, vamos calcular a pressão dinâmica incluindo o efeito da compressibilidade:
Combinando a equação acima com:
Tem-se :
22 2
01 1 1inc
D DincL
K Mq q M q MS e Cθ
α
−= = − = −
⋅ ⋅
2 2 21 12 2
q V M aρ ρ= ⋅ = ⋅
Mach de divergênciaContinuação...
Onde a pressão dinâmica qs é a pressão correspondente a um escoamento à velocidade do som.Ou seja, podemos usar a relação acima que é função exclusivamente do número de Mach e da pressão dinâmica de divergência em regime incompressível. Também é necessário identificar a altitude correspondente à análise para se calculara velocidade do som e se obter a pressão dinâmica de referência para aquela altitude;O resultado é uma equação quártica para o número de Machapenas, a nossa incógnita. Este valor correspondente a uma dada altitude será o número de Mach de divergência:
22 2 2
211 in
Sc
DM a q M Mqρ ⋅ = − =
Mach de divergência
2 24 2
2 4 2
0
4
2
Do DoD D
s s
Do Do Do
s s sD
q qM Mq q
q q qq q q
M
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= +
O conceito de “Match Point”O conceito de “Match Point”, ou “ponto correspondente” é muito utilizado para a correlação de resultados de análises aeroelástica com experimentos em vôo.A idéia é obter uma velocidade de divergência que corresponda ao número de Mach a uma determinada altitude de vôo.Ou seja, plota-se a pressão dinâmica corrigida para os efeitos de compressibilidade e a pressão dinâmica do escoamento a velocidade do som (a) correspondente a uma determinada altitude de vôo.A interseção entre as duas curvas fornecerá o Mach de diverg6encia, ou seja e deste valor pode-se obter a velocidade de divergência fisicamente correta para a condição investigada.
O conceito de “Match Point”O número de Mach de divergência é a interseção de duas curvas, resultado de plotar
respectivamente como função do número de Mach. Este ponto é conhecido como
“Match Point”
2 212Sq M aρ= ⋅
21incD Dq q M= −
e
Efeito da Altitude no Mach de divergência
Do gráfico anterior, observa-se que o número de Mach de divergência aumenta com o aumento da altitude que implica na mudança da velocidade do som. Na figura ao lado pode-se também notar que o MD aumenta acompanhando a altitude.
Evitando a divergência...Analisando a expressão:
Se diminuirmos “e”, a pressão dinâmica de divergência aumenta;Se aumentarmos a rigidez da Kθ a pressão dinâmica de divergência aumenta. Eventuais restrições no envelope de operação também são uma forma de evitar a divergência
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=
α
θ
LD C
Se
Kq
Hipóteses restritivasContexto linear, a pequenas deformações, o que implica em comportamento linear do material e da aerodinâmica;Deformações ocorrem em um período de tempo suficientemente grande, podendo-se classificar o fenômeno como quasi-estático.
SumárioA divergência aeroelástica é uma instabilidade prevista por uma análise de rigidez estática;Próximo da condição de divergência, pequenas deformações em torção (incidência da asa) implicam em grande deformações que podem levar a carregamentos aerodinâmicos ainda maiores – pode-se atingir regimes não lineares quanto ao comportamento aerodinâmico;Perto da condição de pressão dinâmica de divergência, o efeito da flexibilidade promove um incremento significativo na sustentação.
Fenômenos que também estão associados à Aeroelasticidade Estática.Será usado o aileron para exemplificar estes fenômenos. Seu objetivo é criar um momento de rolamento P.
x
ya
PΔLa = diferença de sustentaçãoMx = 2ΔLa · ya
Eficiência e reversão de comandos
Eficiência e reversão de comandos
Supõem-se que a superfície de comando rotacione fazendo um ângulo δ com a linha da corda da seção;Com a deflexão da superfície de comando, a geometria do perfil muda (camber efetivo), então o CMAC também muda;Esta variação angular da superfícies de comando gera um momento picador que tende a deformar a asa da aeronave, que é flexível;Tal deformação pode ser suficientemente grande de forma que a ação do aileron pode gerar um torque em rolamento em sentido contrário do que o esperado.
δδ∂
∂+= AC
ACAC
MMM
CCC
0
sem deflexão
deflexão do aileron
totalcoeficiente de momentoda deflexão do aileron
articulação
AC
LMAC
δ
Kθ
CE
Articulação
Reversão de comandos
Devido os esforços aerodinâmicos que tendem a introduzir uma nova deflexão da superfície de comando, a deflexão total é diferente da imposta pelo piloto. A deflexão pode ser maior ou menor que a deflexão inicial.
δ0 deflexão comandada pelo piloto
δ deflexão totalΚδ rigidez da articulação
AC
LMAC
δ
δ0
Kθ Kδ
CE
Articulaçãoelástica
Reversão de comandos
Então, relativo a seção típica com superfície de controle, tem-se:
( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
++∂∂
=∴= δδ
θαα
LLL
CCqSLqSCL 0
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+=∴= δ
δAC
ACAC
MMACMAC
CCqScMqScCM
0
Reversão de comandos
Devido à articulação, o momento aerodinâmico da superfície de controle (H), em relação ao eixo da articulação, é dado por:
( ) ( )
( ) ( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂
∂++
∂
∂+=
∴=
δδ
θαα
)()()(0
)(
0HH
H
H
MMMHH
MHH
CCCcqSH
CcqSH
Nota: com δ +, H +
Reversão de comandos
1) Equilíbrio de momentos em relação ao CE da seção:
( ) θδδ
δδ
θαα θK
CCqScCCqSe AC
AC
MM
LL =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂++⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
∂∂
++∂∂
00
( )0δδδ −= KH , com (δ – δ0) sendo a torção elástica dasuperfície de controle, em relaçãoao eixo de articulação.
( ) ( )
2) Equilíbrio de momentos em relação ao eixo de articulação:
( ) ( )00)()(
)(0δδδ
δθα
α δ −=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂
∂++
∂
∂+ K
CCCcqS HH
H
MMMHH
Exemplo: Seção Típica
O que resulta em um sistema cuja equação matricial é dada por:
[ ] [ ]BAbb
aaaa
⋅=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∴⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −1
2
1
2221
1211
δθ
δθ
Reversão de comandos
11 12
21 22
,
,
AC
H H
ML L
M M
H H
CKC Ca e a eqS
C C Ka aqS c
θ
δ
α δ δ
α δ
∂∂ ∂= − = +
∂ ∂ ∂∂ ∂
= = −∂ ∂
( ) θδδ
δδ
θαα θK
CCqScCCqSe AC
AC
MM
LL =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂++⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
∂∂
++∂∂
00
θδδ
δδ
θα
αα θK
CqScqScCCqSeCqSeCqSe AC
AC
MM
LLL =∂
∂++
∂∂
+∂∂
+∂∂
00
Equilíbrio de momentos em relação ao CE da seção:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
∂∂
00 AC
ACM
LMLL cCC
eqSC
cC
eqSKC
qSe αα
δδδ
θα θ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
00 AC
ACM
LMLL cCC
eC
cC
eqSKC
e αα
δδδ
θα
θ
Demonstração do desenvolvimento da matriz
( ) ( ) ( ) ( )00)()(
)(0δδδ
δθα
α δ −=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂
∂++
∂
∂+ K
CCCcqS HH
H
MMMHH
000δδδ
δθ
αα
α δδ KKC
cqSC
cqSC
cqSCcqS HHH
H
MHH
MHH
MHHMHH −=
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂000
δαα
δδδ
θα δδ K
CCcqSK
CcqS
CcqS H
H
HH MMHH
MHH
MHH
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂
HH
MM
HH
MM
cqSKC
CcqS
KCCH
H
HH 000
δαα
δδδ
θα
δδ
Equilíbrio de momentos em relação ao eixo de articulação
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂
HH
MM
HH
MM
cqSKC
CcqS
KCCH
H
HH 000
δαα
δδδ
θα
δδ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
00 AC
ACM
LMLL cCCeC
cCeqSKCe α
αδ
δδθ
αθ
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂∂
+−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∂∂
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
HH
MM
ML
HH
MM
MLL
cqSKC
C
cCCe
cqSKCC
CCeqSKCe
H
H
AC
HH
AC
00
0
0
0
δαα
αα
δθ
δα
δδαδδ
θ
{ } { } { } { }BABAbb
aaaa
⋅=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∴=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅∴⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −1
12
11
2221
1211
δθ
δθ
δθ
Montagem da equação matricial
DivergênciaA divergência aeroelástica vai ocorrer quando o det[A] = 0, o que é real para um determinado valor da pressão dinâmica, exceto se o CE estiver à frente do AC, caso onde nunca ocorre a divergência aeroelástica.Este critério de estabilidade é conhecido como critério de estabilidade de Euler, e será apresentado formalmente quando tratarmos do problemas de asas sujeitas a fenômenos aeroelásticos estáticos.
onde ∂CL/∂δ é a derivada de controle, que depende do perfil e da superfície de controle.
Quando se tem deflexão do aileron, surge uma torção elástica, causada pela variação do momento aerodinâmico.
ΔLΔθδé devido o momento picador que surge com a deflexão positiva do aileron, tendendo a diminuir a sustentação adicional gerada, ou o momento de cabragem que surge com a deflexão negativa do aileron, tendendo a adicionar sustentação.
ΔLδ sustentação gerada pela deflexão do aileron se a asa fosse rígida.
δδδ ∂
∂=Δ LCqSL
ΔLδ
δ
CE
ΔLΔθδ
Δθδ
Reversão de comandos
onde ∂MAC/∂δ é uma derivada tipicamente negativa.
A deflexão do aileron também gera uma mudançano momento aerodinâmico, representado por:
δδδ ∂
∂=Δ AC
ACMqScM
Voltando à equação de equilíbrio θθKMLe AC =+
as variações em L e MAC produzirão uma torção elástica adicional Δθδ resultando em δθ θΔ=Δ+Δ KMeL ACa
δθδ ΔΔ+Δ=Δ LLLa
.
ou seja, saindo de uma condição de equilíbrio para outra condição de equilíbrio, onde:
Reversão de comandos
.
E escrevendo-se na forma de coeficientes, tem-se:
δθδ θθα
δδ
δδ
Δ=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
∂∂
+∂
∂+
∂
∂KCCeqS
CqSc LLM AC
A partir desta expressão, obtém-se a mudança na torção elástica correspondente, ou seja, a Torção Elástica Adicional causada pela deflexão do aileron.
Reversão de comandos
Assumindo-se que δ seja conhecido, a expressão para a Torção Elástica Adicional é dada por: δ
α
δδθθ
δ
∂∂
−
∂∂
+∂∂
=ΔL
ML
CeqSK
CcCe AC
Com isso, pode-se calcular as mudanças adicionais no carregamento aerodinâmico do perfil devido à deflexão do aileron:
∴
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
−
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
=Δ∴Δ+Δ=Δ Δ δ
α
δδα
δδ θ
θδ δL
ML
LLaa Ce
qSK
CcCeCqSCqSLLLL
AC
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
−
∂∂
∂∂
+∂∂
=Δ
α
δαδδθ
θ
L
MLL
a CeqSK
CCcqSKC
qSL
AC
Eficiência dos comandos
A uma determinada pressão dinâmica (q) não muito pequena, pode ocorrer do termo no numerador zerar, ou seja ΔLa será nulo, o que será um bom critério para adotar a condição de reversão do comando
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
−
∂∂
∂∂
+∂∂
=Δ
α
δαδδθ
θ
L
MLL
a CeqSK
CCcqSKC
qSL
AC
devido à deflexãodo aileron
devido à torção naasa, por causa da
deflexão do aileron
Eficiência dos comandos
Limite da reversão
0
0
AC
AC
AC
ML L
L L M
LR
L M
CKC Cc qSqS
C K cC C qS
C KqScC C
θ
δ θ α δ
δ θ
α δ
δδ α δ
∂⎛ ⎞∂ ∂= + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
= + = ⇒
= −
Esta pressão é denominada Pressão Dinâmica de Reversão de Controle (qR).
δα
δθ
∂∂
∂∂
∂∂
−=ACML
L
R CC
C
ScKq
Eficiência dos comandos
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