ajuste da curva
Post on 16-Oct-2015
53 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
5/26/2018 Ajuste Da Curva
1/27
O SlideShare parte do LinkedIn. Seu uso contnuo significa quevoc concorda com nossosTermos de servio integrados ao LinkedIn.
Atualizaes 0 Atualizaes 0
E
Pesquisar
CarregarMude para Pro
Search SlideShare
India prepares to vote. View all election related content and share your insights here.
Explorar
by Renan Gustavo
by Thoms Freud
by Mrcia Regina da ...
Curte este documento? Compartilhe-o!
ShareEmail
Ajuste de Curvas -@professorenan 1692 views
Anlise de SriesTemporais 398 views
HP 50G - Guiausuario 579 views
Compartilhar
Email Incorporado
Curtir Salvar
http://pt.slideshare.net/MerciaReginaS/hp-50g-guia-usuariohttp://pt.slideshare.net/yangmedeiros/savedfiles?s_title=ajuste-da-curva&user_login=marciasilva65http://pt.slideshare.net/yangmedeiros/savedfiles?s_title=ajuste-da-curva&user_login=marciasilva65http://pt.slideshare.net/MerciaReginaS/hp-50g-guia-usuariohttp://pt.slideshare.net/thfreud/anlise-de-sries-temporaishttp://pt.slideshare.net/renangpsoares/ajuste-de-curvas-professorenanhttp://pt.slideshare.net/yangmedeiroshttp://pt.slideshare.net/featuredhttp://pt.slideshare.net/tag/elections2014?ss_bannerhttp://pt.slideshare.net/business/premium/plans?cmp_src=general&cmp_src_from=main_navhttp://pt.slideshare.net/upload?from_source=loggedin_slideview_navbarhttp://pt.slideshare.net/yangmedeiros/newsfeedhttp://pt.slideshare.net/yangmedeiros/newsfeedhttp://pt.slideshare.net/?sshttp://www.linkedin.com/legal/user-agreement -
5/26/2018 Ajuste Da Curva
2/27
by Rodrigo Rodrigues
by Adriano Silva
by marciasilva65
by MarcosViniciusBez...
by Edgard Packness S
Modelo de regressolinear: aspecto...
14262 views
Quatro alternativaspara resolver a... 142 views
Introd clculonumrico 946 views
Manual hp-50g-em-
portugues 19651 views
CFD Aula 3 69 views
4 alternativas-para-
http://pt.slideshare.net/masouza29/4-alternativaspararesolveraequacaodeschrodingerhttp://pt.slideshare.net/edpackness/cfd-aula-3http://pt.slideshare.net/MarcosViniciusBezerra/manual-hp50gemportugueshttp://pt.slideshare.net/marciasilva65/introd-clculo-numricohttp://pt.slideshare.net/AdrianoSilva113/quatro-alternativas-para-resolver-a-equao-de-schrdinger-para-o-tomo-de-hidrogniohttp://pt.slideshare.net/rodrigomuribec/apresentao-presentation-925150 -
5/26/2018 Ajuste Da Curva
3/27
by Marcelo de Souza
by CosmoSantiago
by Alisson Figueiredo
by UFPR
resolver-a-equa... 2161 vie
2008 santiagomarchi_cilamce_2008
97 views
Metodos matematicos456 views
Cap. I - Fotogrametria
II 5851 views
Show moreAjuste de Curvas - @professorenan
1692 views
Like
Anlise de Sries Temporais
398 views
Like
HP 50G - Guia usuario
579 views
Like
Modelo de regresso linear:
aspectos tericos e computacionais
14262 views
Like
Quatro alternativas para resolver a
equao de Schrdinger para o
tomo de hi......
142 views
Like
Introd clculo numrico
946 views
Relacionado Mais
http://pt.slideshare.net/masouza29/4-alternativaspararesolveraequacaodeschrodingerhttp://pt.slideshare.net/marciasilva65/introd-clculo-numricohttp://pt.slideshare.net/AdrianoSilva113/quatro-alternativas-para-resolver-a-equao-de-schrdinger-para-o-tomo-de-hidrogniohttp://pt.slideshare.net/rodrigomuribec/apresentao-presentation-925150http://pt.slideshare.net/MerciaReginaS/hp-50g-guia-usuariohttp://pt.slideshare.net/thfreud/anlise-de-sries-temporaishttp://pt.slideshare.net/renangpsoares/ajuste-de-curvas-professorenanhttp://pt.slideshare.net/danielsantosufpr/foto-ii-capia5http://pt.slideshare.net/AlissonFigueiredo1/metodos-matematicoshttp://pt.slideshare.net/CosmoSantiago/2008-santiago-marchicilamce2008http://pt.slideshare.net/masouza29/4-alternativaspararesolveraequacaodeschrodinger -
5/26/2018 Ajuste Da Curva
4/27
Like
Manual hp-50g-em-portugues
19651 views
Like
CFD Aula 3
69 views
Like
4 alte rnativas-para-resolver-a-
equacao-de-schrodinger
2161 views
Like
2008 santiago marchi_cilamce_2008
97 views
Like
Metodos matematicos456 views
Like
Cap. I - Fotogrametria II
5851 views
Like
Raizes da funo
1818 views
Like
Cap9 - Parte 5 - Teste De
Coeficientes
4716 views
Like
Mecanica particula
2988 views
Like
Med Vaz
4032 views
Like
CLculo NumRico
21280 views
Like
C. Bombardelli - Clculo Numrico
1828 views
Like
Sistemas equaes lineares
737 views
http://pt.slideshare.net/marciasilva65/introd-clculo-numricohttp://pt.slideshare.net/marciasilva65/sistemas-equaes-lineareshttp://pt.slideshare.net/cbtoledo/c-bombardelli-clculo-numricohttp://pt.slideshare.net/educacaof/clculo-numricohttp://pt.slideshare.net/jimnaturesa/med-vazhttp://pt.slideshare.net/LuanaMirandadaSilva/mecanica-particulahttp://pt.slideshare.net/regisandrade/cap9-parte-5-teste-de-coeficientes-presentationhttp://pt.slideshare.net/marciasilva65/raizes-da-funohttp://pt.slideshare.net/danielsantosufpr/foto-ii-capia5http://pt.slideshare.net/AlissonFigueiredo1/metodos-matematicoshttp://pt.slideshare.net/CosmoSantiago/2008-santiago-marchicilamce2008http://pt.slideshare.net/masouza29/4-alternativaspararesolveraequacaodeschrodingerhttp://pt.slideshare.net/edpackness/cfd-aula-3http://pt.slideshare.net/MarcosViniciusBezerra/manual-hp50gemportugueshttp://pt.slideshare.net/marciasilva65/introd-clculo-numrico -
5/26/2018 Ajuste Da Curva
5/27
Like
Incerteza edico
3568 views
Like
Series em clculo numerico
2156 views
Like
Manual de aulas teoricas de
hidrologia
1309 views
Like
Apostila de matlab
561 views
Like
Mates
1419 views
Like
Livro sci
1521 views
Like
Sci livro2
684 views
Like
Livro monografia - opes -
estrategias para aplicacao no
mercado brasileir......
764 views
Like
relatorio-lei-de-hooke
4165 views
Like
Capituloiii difracao deraios-x
593 views
Like
MatemTica Otm
23795 views
Like
Um estudo sistematizado sobre a
resoluo das equaes polinomiais.
459 views
Like
OTMs matemtica
11396 views
http://pt.slideshare.net/marciasilva65/sistemas-equaes-lineareshttp://pt.slideshare.net/Carlindamaria/otms-matemticahttp://pt.slideshare.net/sandrodemacedo/trabalho-de-concluso-de-curso-29491499http://pt.slideshare.net/fmeducadoradeapoio/matemtica-otmhttp://pt.slideshare.net/joserabelo/capituloiii-difracao-deraiosxhttp://pt.slideshare.net/laisaragao/relatorioleidehookehttp://pt.slideshare.net/renataam/livro-monografia-opes-estrategias-para-aplicacao-no-mercado-brasileiro-de-opcoeshttp://pt.slideshare.net/wendelcarneiro/sci-livro2http://pt.slideshare.net/cicerozanoni/livro-scihttp://pt.slideshare.net/linguaog/mates-15267714http://pt.slideshare.net/denismarcos/apostila-de-matlabhttp://pt.slideshare.net/Hernandes30/manual-de-aulas-teoricas-de-hidrologiahttp://pt.slideshare.net/marciasilva65/series-em-clculo-numericohttp://pt.slideshare.net/raildofiuza/incerteza-edicohttp://pt.slideshare.net/marciasilva65/sistemas-equaes-lineares -
5/26/2018 Ajuste Da Curva
6/27
Like
CAP11 - PARTE 2 - Tendencia
6021 views
Like
Srm framework para
reconhecimento de som em
dispositivos mveis
967 views
Like
Projeto de engenharia mecnica
shigley 7 ed.
25246 views
Like
Currculo mnimo 2012 matemtica
9014 views
Like
Dissertacao ricardo guarnieri
275 views
Like
Apostol calculo vol2 pt portugues
423 views
Like
Erros & Incertezas nas Medies -
Paulo Cabral - IEP / ISEP - 2004
264 views
Like
http://pt.slideshare.net/Carlindamaria/otms-matemticahttp://pt.slideshare.net/paulomcabral/erros-incertezas-paulo-cabral-isep-iep-2004http://pt.slideshare.net/juliocezarsgt/apostol-calculo-vol2-pt-portugueshttp://pt.slideshare.net/amandaregina92/dissertacao-ricardo-guarnierihttp://pt.slideshare.net/bilaoliveira/currculo-mnimo-2012-matemticahttp://pt.slideshare.net/jorgeoberdan/projeto-de-engenharia-mecnica-shigley-7-edhttp://pt.slideshare.net/mceloruaro/srm-framework-para-reconhecimento-de-som-em-dispositivos-mveishttp://pt.slideshare.net/regisandrade/cap11-parte-2-tendencia-presentationhttp://pt.slideshare.net/Carlindamaria/otms-matemtica -
5/26/2018 Ajuste Da Curva
7/27
-
5/26/2018 Ajuste Da Curva
8/27
-
5/26/2018 Ajuste Da Curva
9/27
-
5/26/2018 Ajuste Da Curva
10/27
-
5/26/2018 Ajuste Da Curva
11/27
-
5/26/2018 Ajuste Da Curva
12/27
-
5/26/2018 Ajuste Da Curva
13/27
-
5/26/2018 Ajuste Da Curva
14/27
-
5/26/2018 Ajuste Da Curva
15/27
-
5/26/2018 Ajuste Da Curva
16/27
-
5/26/2018 Ajuste Da Curva
17/27
-
5/26/2018 Ajuste Da Curva
18/27
-
5/26/2018 Ajuste Da Curva
19/27
-
5/26/2018 Ajuste Da Curva
20/27
-
5/26/2018 Ajuste Da Curva
21/27
2 semanas atrs
Ajuste da curvaDocument Transcript
1. Ajuste de curvas 5-1Ajuste de Curvas Pelo Mtodo dos Mnimos Quadrados Introduo Seja um
conjunto de dados contendo n pares de valores (x, y) obtidos numrica ouexperimentalmente. De modo a
calcular qualquer valor de y distinto dos valores tabelados,ajustamos uma funo y = f(x) atravs do
chamado Mtodo dos Mnimos Quadrados. Considere uma equao relacionando a varivel y com a
varivel independente x, comoy = f ( x ) , onde y indica que este o valor aproximado de y. Queremos
encontrar a funoy = f ( x ) , cujo desvio em relao aos valores y seja expresso como i = y i y i .
Por uma questo de convenincia trabalharemos com o desvio quadrtico i = (y i y i )2 . 2A funo y
= f ( x ) que melhor ajusta os pontos (x, y) dados aquela que minimiza o somatriodos desviosquadrticos S: n n S= i2 = (yi yi )2 (1) i =1 i =1 A condio de minimizao da funo S
satisfeita fazendo-se dS = 0, ou seja,necessitamos calcular a derivada da funo S em relao aos
parmetros de ajuste da funoy = f(x) para que possamos encontrar o sistema de equaes denominado
equaes normais queconduz ao melhor ajuste dos pontos (x,y) pela funo y = f(x) escolhida. Para cada
tipo de funode ajuste existe um sistema de equaes normais que minimiza a soma dos desvios
quadrticos S.Em seguida, faremos a deduo das equaes normais para alguns tipos de funes
maiscomumente empregados no ajuste de curvas pelo mtodo dos mnimos quadrados. Ajuste Linear Se
1
/22
Like Share Save
Follow
Ajuste da curva
Tweet 0
0
by marciasilva65, Professora e Pesquisadora at UVA - Universidade Veiga de Almeida on Apr 09,2013
2,765visualizaes
12Like
Ainda no h comentrios
Yang Medeiros
Assinar os comentriosPost Comment
1 pessoa curtiu isso
Camila Do Nascimento Gomesat Infralink
http://pt.slideshare.net/camiladonascimentogomes?utm_campaign=profiletracking&utm_medium=sssite&utm_source=ssslideshowhttp://pt.slideshare.net/yangmedeiros/newsfeedhttp://pt.slideshare.net/marciasilva65?utm_campaign=profiletracking&utm_medium=sssite&utm_source=ssslideviewhttps://plus.google.com/117336532859992839482?rel=authorhttp://twitter.com/search?q=http%3A%2F%2Fpt.slideshare.net%2Fmarciasilva65%2Fajuste-da-curvahttps://twitter.com/intent/tweet?original_referer=http%3A%2F%2Fpt.slideshare.net%2Fmarciasilva65%2Fajuste-da-curva&text=Ajuste%20da%20curva&tw_p=tweetbutton&url=http%3A%2F%2Fpt.slideshare.net%2Fmarciasilva65%2Fajuste-da-curvahttp://pt.slideshare.net/marciasilva65http://pt.slideshare.net/yangmedeiros/savedfiles?s_title=ajuste-da-curva&user_login=marciasilva65http://pt.slideshare.net/login?from_source=%2Fmarciasilva65%2Fajuste-da-curva -
5/26/2018 Ajuste Da Curva
22/27
a funo de ajuste for a funo linear na forma: y = a 0 + a1x (2)onde a0 e a1 so os coeficientes a serem
determinados pelo Mtodo dos Mnimos Quadrados. Acondio de minimizao do somatrio dos desvios
quadrticos dada pelas equaes: S =0 (3) a 0e S =0 (4) a 1Clculo Numrico e Computacional
C.Y. Shigue
2. Ajuste de curvas 5-2Substituindo-se (1) na equao (3), resulta: n n S = a 0 a 0
2 i = a 0 (y i y i )2 i =1 i =1 Substituindo (2) na equao acima,
resulta: n n S = a 0 a 0 2 (y i a 0 a1x i ) = 2 (y i a 0 a1x i )(1) = 0 i
=1 i =1 de onde vem que: n n na 0 + x i a1 = i =1 yi (5) i
=1Analogamente, substituindo-se (1) e (2) em (4), resulta: n n n 2 xi a0 +
i =1 i =1 x i a1 = x i yi (6) i =1 As equaes (5) e (6) constituem-se no
sistema de equaes normais, contendo duasincgnitas (a0 e a1) e duas equaes. Podemos re-arranj-las
de modo a obter as seguintesexpresses para o seu clculo: n n n n x y x xy 2 a 0 = i =1 i =1 i
=1 i =1 (7) 2 n n n x2 x i =1 i =1 n n n n xy x y a1 = i =1 i =1 i =1
(8) 2 n n n x2 x i =1 i =1 Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue
3. Ajuste de curvas 5-3Exemplo:Ajustar uma funo linear pelo mtodo dos mnimos quadrados aos
seguintes valores numricos: x 0 1,2 2,5 3,7 y 0,134 0,275 0,339 0,401Resoluo:Para resolvermos o
problema, vamos calcular os coeficientes das equaes normais (5) e (6),atravs do c lculo na tabela
seguinte dos valores de x, x2, y e xy: 2 x y x xy 0 0,134 0 0 1,2 0,275 1,44 0,33 2,5 0,339 6,25
0,8475 3,7 0,401 13,69 1,4837 SOMA = 7,4 1,149 21,38 2,6612Resumindo: 4 4 4 4 n=4 xi = 7,4 yi
= 1,149 2 x i = 21,38 x i yi = 2,6612 i =1 i =1 i =1 i =1Substituindo nas equaes (7) e (8): (21,38)
(1,149) (7, 4)(2,6612) 4,8727 a0 = = = 0,1584 (4)(21,38) (7,4) 2 30,76 (4)(2,6612) (7,4)(1,149)2,1422 a1 = = = 0,0696 2 (4)(21,38) (7,4) 30,76 A funo linear que melhor ajusta os pontos dados
pelo mtodo dos mnimos quadrados desc rita pela equao: y = 0,1584 + 0,0696 x Ajuste Polinomial
Seja uma funo polinomial de grau m da forma: y = a 0 + a1x + a 2 x 2 + + amxm (9) Subs tituindo (9)
na equao para a o somatrio do desvio quadrtico (1):Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue
4. Ajuste de curvas 5-4 (yi yi ) = (yi a 0 a1x a 2 x 2 )2 n n 2 S= a mx m i =1 i =1 As
equaes normais para o clculo dos coeficientes da funo polinomial so obtidas apartir das condies
para a minimizao da soma do desvio quadrtico: S S S S = = = = =0 (10) a 0 a 1 a 2 a m
Substituindo S em (10) e derivando, resulta: 2 (yi a 0 a1x i a 2 x i2 ) n S = a m x i (1) =
0 m a 0 i 1 = 2 (yi a 0 a1x i a 2 x i2 ) n S = a m x i (x i ) = 0 m a 1 i 1= 2 (yi a 0
a1xi a 2 x i2 )( ) n S = a m x i x i2 = 0 m a 2 = i 1 2 (yi a 0 a1x i a 2 x i2 )( )n S m m = a m x i x i = 0 a n i 1=Rearranjando as equaes acima, resulta o seguinte sistema de
equaes, denominado deequaes normais: n n n n 2 m na 0 + x i
a1 + i =1 xi a2 + i =1 + i =1 xi am = i =1 yi n
n n n n 2 3 m +1 xi a0 + i =1 x i a1 + i =1
xi a2 + i =1 + i =1 xi am = i =1 x i yi Clculo Numrico e
Computacional C.Y. Shigue
5. Ajuste de curvas 5-5 n n n n n 2 3 4 m +2 xi a0 +
i =1 x i a1 + i =1 i =1 xi a 2 + + i =1 xi am = 2 x i yi
i =1 n n n n n m m +2 m +3 2m i =1 xi
a0 + i =1 xi a1 + i =1 xi a2 + + i =1 xi a m = m x i yi
i =1Na forma matricial, o sistema de equaes normais para o ajuste polinomial toma a
forma: [A][x] = [b]que podem ser escritos omitindo os ndices dos somatrios na forma: n xi
xi2 xmim+1 xi x i2 x3 i xm +2 i [ A] = x i2 x3 i xi4
x i , x im xim +1 xim +2 xi 2m (11) a0 yi a
1 x2i yi [x ] = a 2 , [b] = x i yi a m
x i yi mObservar que a matriz de coeficientes [A] simtrica, isto , aij = aji. Deste modo,
podemosdeterminar o sistema de equaes normais para qualquer ajuste polinomial como um
subconjuntodo sistema acima. Ajuste Parablico O ajuste parablico ou de 2a ordem um caso particular
do ajuste polinomial para m = 2: y = a 0 + a1x + a 2 x 2 (12)de modo que o sistema de equaes normais
pode ser escrito como:Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue
6. Ajuste de curvas 5-6 n x2i x i2 a 0 yi [A] = x2i x i3 x 3 , i a , [b ] = [x ] = 1 x2i yi (13) xi x i x i4 a 2
xi yi Exemplo:A tabela seguinte apresenta os valores de calor especfico a presso constante para o
ouro na faixade temperatura entre 10 e 100K. Ajustar pelo Mtodo dos Mnimos Quadrados uma
curvaparablica do tipo C p = a 0 + a1T + a 2 T 2 , onde Cp o calor especfico e T a
temperaturaabsoluta. T(K) 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80 90 100 Cp (J/kg.K) 2 7 16 26 37 57 73 84 92
99 104 108Resoluo:Para o clculo dos coeficientes da matriz [A], por uma questo de c ompatibilidade
-
5/26/2018 Ajuste Da Curva
23/27
com a notaode (13), definiremos y = Cp e x = T. TABELA 1 Coeficientes do sistema de equaes x y
x2 x3 x4 xy x2y 10 2 100 1000 10000 20 200 15 7 225 3375 50625 105 1575 20 16 400 8000 160000
320 6400 25 26 625 15625 390625 650 16250 30 37 900 27000 810000 1110 33300 40 57 1600 64000
2560000 2280 91200 50 73 2500 125000 6250000 3650 182500 60 84 3600 216000 12960000 5040
302400 70 92 4900 343000 24010000 6440 450800 80 99 6400 512000 40960000 7920 633600 90 104
8100 729000 65610000 9360 842400 100 108 10000 1000000 100000000 10800 1080000 SOMA: 590
705 39350 3044000 253771250 47695 3640625Substituindo-se os valores calculados na tabela nas
matrizes do sistema [A][x] = [b], obtm-se: 12 590 39350 705 590 3044000 [b] =
47695 [ A] = 39350 39350 3044000 253771250 3640625 A soluo deste
sistema de equaes obtida por inverso da matriz [A] :Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue
7. Ajuste de curvas 5-7 a0 = -27,1891 a1 = 2,54971 a2 = -0,01202e a equao ajustada expressa como: C
p = 27,1891 + 2,54971T 0,01202T 2 A Fig. 1 mostra os dados experimentais juntamente com a curva
parablica ajustada peloscoeficientes calculados acima, na qual observa-se uma excelente concordncia
entre a curvaajustada e os pontos experimentais. 120 100 80 Cp (J/kg.K) 60 40 20 0 0 20 40 60 80 100
Te mpe ratura (K) Fig. 1 Dados experimentais do calor especfico a presso constante para o ouro
(smbolos) e a curva parablica ajustada (linha). Ajuste Multivarivel O ajuste por funo polinomial visto
anteriormente um caso particular de um ajustemultivarivel, no qual cada um das variveis x, x2, x3, ...,
xm podem ser descritas como variveisdistintas e independentes entre si: x1, x2, x3, ... , xm. A funo
dessas mltiplas variveis pode serescrita como: y = a 0 + a 1x 1 + a 2 x 2 + + a mxm (14)
Substituindo a funo (14) na equao para a soma dos desvios quadrticos resulta:Clculo Numrico e
Computacional C.Y. Shigue
8. Ajuste de curvas 5-8 n n S= (y i =1 i yi ) 2 = (y a i =1 i 0 a 1 x1 a 2 x 2 a mx m ) 2
As equaes normais para o clculo dos coeficientes da funo polinomial so obtidas apartir das
condies para a minimizao da soma do desvio quadrtico: S S S S = = = = =0 (15) a 0 a 1 a
2 a mCalculando as derivadas: S n = 2(y i a 0 a 1x1 a 2 x 2 a m x m )(1) = 0 a 0 i =1
S n = 2(y i a 0 a 1x1 a 2 x 2 a m x m )( x1 ) = 0 a 1 i =1 (16) S n = 2(y i a 0
a1x1 a 2 x 2 a m x m )(x 2 ) = 0 a 2 i =1 S n = 2(y i a 0 a 1x1 a 2 x 2 a m x
m )(x m ) = 0 a m i =1Resulta no sistema de equaes normais: n n n n na 0 +
x1 a1 + i=1 x2 a 2 + i =1 + i =1 xm a m = i =1 yi n
n n n n i=1 x1 a 0 + i=1 2 x1 a 1 + i=1
x1x 2 a 2 + + i =1 x1 x m a m = i =1 x1y i (17) n n n n n
i=1 x2 a 0 + i =1 x 2 x1 a 1 + i=1 2 x2 a2 + + i =1 x2xm a m = i =1 x2yi Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue
9. Ajuste de curvas 5-9 n n n n n i=1 xm a0 + i=1
x m x1 a 1 + i =1 xmx2 a2 + + i=1 2 xm am = i =1 xmyiNa
forma matricial, o sistema de equaes normais para o ajuste polinomial toma a forma: [A][x] = [b]
(18)que podem ser escritos omitindo os ndices dos somatrios na forma: n x1 x2 xm
a0 y a x1 x1 x1x 2 x1x m x 1y 2 1 [ A] = x 2
x 2 x1 x 2 x2xm , [x ] = a , [ b] = x 2 y (19) 2 2
x x2 x y m x m x1 x m x 2 m am m Observar que a
matriz de coeficientes [A] simtrica, isto , aij = aji. Deste modo, podemosdeterminar o sistema de
equaes normais para qualquer ajuste multivarivel como umsubconjunto do sistemaacima.Exemplo:Considere os seguintes valores de temperatura (T), presso (p) e volume (v) especfico
para o ar.Ajustar uma funo multivarivel do tipo T = apbvc, na qual a, b e c so constantes a
seremdeterminados pelo mtodo dos mnimos quadrados. 3 Temperatura (K) Presso (bar) Volume
especfico (dm /kg) 90 2,397 100,2 100 5,599 44,67 110 11,22 22,15 120 20,14 11,45 130 33,32
5,425Resoluo:Primeiramente, necessrio linearizar a funo de ajuste de modo que as constantes
estejamdesacopladas das variveis T, p e v. Para isso, vamos aplicar o logaritmo sobre a funo T
=T(p,v) para obter: n T = n a + b. n p + c. n v Fazendo a seguinte troca de variveis, y = n T, x1
= n p, x2 = n v, a0 = n a, a1 = b e a2 = c, a equao acima pode ser re-escrita como: y = a 0 + a
1x1 + a 2 x 2Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue
10. Ajuste de curvas 5 - 10As equaes normais para esta funo de ajuste de duas variveis (x1 e x2)
um subsistema daequao (17) com trs incgnitas (a0, a1 e a2) e trs equaes: n n n na 0 +
x1 a 1 + x 2 a 2 = yi i =1 i =1 i =1 n n n n a
+ x1 0 2 x1 a 1 + a = x1x 2 2 x1 y i (20) i =1 i =1 i =1 i =1
n n n n a + x2 0 a + x 2 x1 1 2 x 2 a 2 = x 2 yi i
=1 i =1 i =1 i =1Vamos calcular na tabela seguinte os coeficientes do sistema de equaes
normais. 2 2 y= nT x1 = n p x2 = n v x1 x2 x1x2 x1y x2y 4,49981 0,874218 4,607168 0,764257
21,226 4,027669 3,933814 20,73138 4,60517 1,722588 3,799302 2,967309 14,4347 6,544632 7,932811
-
5/26/2018 Ajuste Da Curva
24/27
17,49643 4,70048 2,417698 3,097837 5,845263 9,596597 7,489635 11,36434 14,56132 4,787492
3,002708 2,43799 9,016255 5,943794 7,320571 14,37544 11,67186 4,867534 3,506158 1,691018
12,29314 2,859542 5,928976 17,06634 8,231088 SOMA = 23,46049 11,52337 15,63332 30,88623
54,06063 31,31148 54,67275 72,69208Substituindo os valores dos somatrios em (20), obtemos o
seguinte sistema de equaes: 5a 0 + 11,52337a 1 + 15,63332a 2 = 23, 46049 11,52337a 0 +
30,8863332a 1 + 31,31148a 2 = 54,67275 15,63332a 0 + 31,31148a 1 + 54,06063a 2 = 72,69208cuja
soluo ser: a0 = 4,762418, a1 = 0,063776 e a2 = -0,0695. A partir destas constantes,podemos obter a
soluo para o ajuste multivarivel fazendo: a 0 = n a a = e a 0 = e 4,762418 = 117,0285 b = a1 =
0,063776 c = a 2 = 0,0695de modo que T = 117,0285 p 0,063776 v 0,0695 a funo de ajuste do
problema.Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue
11. Ajuste de curvas 5 - 11 Linearizao de Funes As funes transcendentes de duas constantes
devem ser linearizadas antes de aplicarmoso Mtodo dos Mnimos Quadrados, a fim de obtermos o
sistema de equaes normais lineares. Oprocedimento varia, dependendo do tipo de funo. Ilustraremos
o procedimento de linearizaopara as funes exponencial, logaritmica, potencial e hiperblica. Ajuste
Exponencial Um ajuste exponencial geralmente emprega uma funo do tipo: y = a.e bx (21)onde a e b
so as constantes da funo de ajuste exponencial. Este tipo de funo no-linear, de modo que
precisamos lineariz-lo antes de aplicar oMtodo dos Mnimos Quadrados. A linearizao consiste em
transformarmos a equao (21)numa equivalente equao (2): y aj = a 0 +a1x (22) Para tanto,
aplicamos o logaritmo em ambos os lados de (21): n y = na + bx (23)Se fizermos: y = n y (24) a 0 =
na (25) a1 = b (26)A equao (21) poder ser re-escrita como: y = a 0 + a1x aj (27)Observe que esta
equao idntica equao (2), exceto pelo fato de que a varivel y calculada pelo logaritmo de base
natural da varivel y original. Aplicando-se as transformaes(25) e (26), obtemos as constantes de ajuste
exponencial a e b empregando as equaes (7) e (8)do Mtodo dos Mnimos Quadrados para a funo
linear. Ajuste Logaritmico Um ajuste logartmico geralmente emprega uma funo do tipo:Clculo
Numrico e Computacional C.Y. Shigue
12. Ajuste de curvas 5 - 12 y = a + b. n x (28)onde a e b so as constantes da funo de ajuste.
Linearizando (21), obtemos as seguintesrelaes de transformao: y = y x = n x a0 = a a1 = b (29)A
relao linearizada toma a forma: y aj = a 0 + a1x (30) Ajuste Potencial Um ajuste potencial geralmente
emprega uma funo do tipo: y = a.x b (31)onde a e b so as constantes da funo de ajuste.
Linearizando (22), obtemos as seguintesrelaes de transformao: y = n y x = n x a0 = n a a1 = b
(32)A relao linearizada toma a forma: y = a 0 + a1x aj (33) Ajuste Hiperblico Um ajuste hiperblico
geralmente emprega uma funo do tipo: b y=a+ (34) xonde a e b so as constantes da funo de ajuste.Linearizando (23), obtemos as seguintesrelaes de transformao: 1 y = y x = a0 = a a1 = b (35)
xComo sempre, a relao linearizada tem a forma:Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue
13. Ajuste de curvas 5 - 13 y = a 0 + a1x aj (36) Avaliao da Qualidade do Ajuste Alm das funes de
ajuste apresentadas neste texto, existem inmeras outras funescom as quais podemos ajustar um
conjunto de dados pelo mtodo dos mnimos quadrados. Aquesto fundamental : qual a funo que
representa o melhor ajuste entre todas as outrasfunes. Um mtodo pelo qual podemos avaliar a
qualidade de um ajuste atravs do coeficientede correlao de Pearson. O coeficiente de correlao de
Pearson r2 pode ser calculado na formamais geral como: n n (yi y aj )2 r2 = 1 i =1 (37) 2 n n
n 2 yi yi i =1 i =1 O coeficiente de correlao limitado aos seguintes valores: 0 r
2 1 . Quanto maisprximo de 1 for o valor de r2, melhor ser o ajuste. Quando r2
0 para um ajuste adoiscoeficientes, significa que o coeficiente angular desprezvel. Como um critrio neste curso,vamos
considerar que um bom ajuste representado por valores de r2 > 0,99. Uma outra forma do coeficiente
de correlao, vlido para ajuste de funo do tipo lineary = a0 + a1x, expressa como: n n [(x i x m
)(yaj y m )] x i y aj nx m y m r= i =1 = i =1 (38) n n (n 1)S x S y (x i x m )2 (y aj ym
)2 i =1 i =1 n n xi yajpara a qual x m = i =1 e y m = i =1 so os valores mdios de x e yaj,
respectivamente. n n As expresses: n n (x i x m ) 2 (y aj ym )2 Sx = i =1 e Sy = i =1 n 1 n
1Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue
14. Ajuste de curvas 5 - 14representam a covarincia x e covarincia y, respectivamente. A equao (37)
tem a vantagem de poder ser usada na avaliao da qualidade do ajuste defunes polinomiais e
multivariveis. J a equao (38) somente pode ser utilizada para avaliar aqualidade do ajuste de funes
lineares ou linearizadas, como visto com as funes exponencial,logaritmo, potencial e hiperblica, vistas
anteriormente neste texto. Outras funes linearizveistambm podem empregar a equao (38) para o
clculo do coeficiente de c orrelao, devendoobservar que os valores deExemploAjuste empregando
diferentes tipos de funes: x 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 y 0,525 0,8448 1,2807 1,8634
2,6326 3,6386 4,944 6,6258 8,7768 11,5076 14,9484Vamos ajustar aos pontos tabelados as seguintes
funes: (a) linear y = a0 + a1x, (b) exponencial,do tipo y = aebx, (c) logaritmico, do tipo y = a + b ln x,
(d) potencial, do tipo y = axb e (e)hiperblico, do tipo y = a + b/x. Vamos determinar atravs do
-
5/26/2018 Ajuste Da Curva
25/27
coeficiente de correlao dePearson qual destas funes representa o melhor ajuste e comparar
graficamente os ajustesrealizados.Resoluo:(a) Ajuste linear (regresso linear) y = a 0 + a 1x 2 x y x xy
1,0 0,52500 1,000 0,52500 1,2 0,84478 1,440 1,01374 1,4 1,28068 1,960 1,79295 1,6 1,86340 2,560
2,98144 1,8 2,63260 3,240 4,73868 2,0 3,63856 4,000 7,27712 2,2 4,94400 4,840 10,87680 2,4
6,62580 5,760 15,90192 2,6 8,77679 6,760 22,81965 2,8 11,50759 7,840 32,22125 3,0 14,94844 9,000
44,84532 Soma = 22,0 57,58764 48,400 144,99387 a0 = x 2 y x xy = (48,40)(57,58764)
(22)(144,99387) = 8,3187 n x 2 ( x) (11)(48,40) (22) 2 2 n xy x y (11)(144,99387)
(22)(57,58764) a1 = = = 6,7770 n x 2 ( x) 2 (11)(48,40) (22) 2Clculo Numrico e
Computacional C.Y. Shigue
15. Ajuste de curvas 5 - 15Clculo do coeficiente de correlao:Sendo a funo de ajuste y aj = 8,3187
+ 6,7770 x , o coeficiente de correlao: n n (yi yaj )2 r2 = 1 i =1 2 n n n 2 yi yi
i =1 i =1 requer o clculo das seguintes quantidades: (y - yaj)2, y2 e (y)2 que esto
apresentadas natabela seguinte: 2 2 yaj (y - yaj) y -1,54171 4,27130 0,27563 -0,18632 1,06317 0,71365
1,16907 0,01246 1,64014 2,52446 0,43700 3,47226 3,87985 1,55563 6,93058 5,23524 2,54939
13,23912 6,59063 2,71139 24,44314 7,94602 1,74298 43,90123 9,30141 0,27523 77,03204 10,65680
0,72384 132,42463 12,01219 8,62155 223,45586 Soma = 57,58764 23,96394 527,52827Substituindo em
r2: 11 23,96394 r2 = 1 = 0,894 11 527,52827 (57,58764) 2Para verificao, vamos calcular o
coeficiente de correlao pelo segundo mtodo: sx = (x x m ) 2 = 4 ,40 = 0,66332 n1 10 sy = (y
y m ) 2 = 226,04314 = 4,75440 n 1 10 sx 0,66332 r = a1 = ( 6,7770) = 0,95 r2 = 0,89 sy
4,75440Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue
16. Ajuste de curvas 5 - 16 Assim, o ajuste linear y = 8,3187 + 6,7770 x no representa um bom ajusteporque ovalor de r2 < 0,99.(b) Ajuste exponencial y = ae bx Relaes para linearizao da funo
exponencial: y = n y a0 = n a a1 = b y = a 0 + a 1x 2 2 2 x y = ln y x xy yaj (y yaj) y 1,0
-0,64436 1,000 -0,64436 -0,44921 0,03808 0,41520 1,2 -0,16868 1,440 -0,20241 -0,12073 0,00230
0,02845 1,4 0,24739 1,960 0,34635 0,20775 0,00157 0,06120 1,6 0,62240 2,560 0,99584 0,53623
0,00743 0,38739 1,8 0,96797 3,240 1,74235 0,86472 0,01066 0,93697 2,0 1,29159 4,000 2,58318
1,19320 0,00968 1,66820 2,2 1,59817 4,840 3,51598 1,52168 0,00585 2,55416 2,4 1,89097 5,760
4,53833 1,85016 0,00167 3,57577 2,6 2,17211 6,760 5,64749 2,17865 0,00004 4,71807 2,8 2,44301
7,840 6,84042 2,50713 0,00411 5,96828 3,0 2,70461 9,000 8,11382 2,83561 0,01716 7,31490 Soma =
22,0 13,12519 48,400 33,47699 13,12519 0,09855 27,62859 a0 = x 2 y x xy = (48,4)
(13,12519) (22)(33,47699) = 2,0916 n x 2 ( x ) 2 (11)(48, 40) (22) 2 a1 = n xy x y
= (11)(33,47699) (22)(13,12519) = 1,6424 n x 2 ( x ) 2 (11)(48, 40) (22) 2Assim, a = e a 0= e 2,2867 = 0,12349 b = a1 = 1,6424de modo que a funo de ajuste exponencial tem a forma: y =
0,12349 e1,6424xClculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue
17. Ajuste de curvas 5 - 17 Na tabela acima, esto calculados os valores de (y - yaj)2 = 0,09855 e y2
= 27,62859,que substituindo na equao (37) do coeficiente de correlao, resulta: 11 0,09855 r2 = 1
= 0,992 11 27,62859 (13,12519) 2 Este coeficiente de correlao indica que a funo de ajuste
exponencial representa umbom ajuste para os dados (x,y). (c) Ajuste logaritmico y = a + b. n x Relaes
para linearizao da funo logaritmica: x = n x a0 = a a1 = b y = a 0 + a 1x 2 2 2 x = ln x y x xy yaj
(y - yaj) y 0,000 0,52500 0,000 0,00000 -2,28673 7,90581 0,27563 0,182 0,84478 0,033 0,15402
-0,13699 0,96387 0,71365 0,336 1,28068 0,113 0,43091 1,68059 0,15993 1,64014 0,470 1,86340 0,221
0,87580 3,25505 1,93669 3,47226 0,588 2,63260 0,345 1,54741 4,64382 4,04501 6,93058 0,6933,63856 0,480 2,52206 5,88612 5,05152 13,23912 0,788 4,94400 0,622 3,89813 7,00991 4,26800
24,44314 0,875 6,62580 0,766 5,80068 8,03586 1,98827 43,90123 0,956 8,77679 0,913 8,38632
8,97964 0,04115 77,03204 1,030 11,50759 1,060 11,84844 9,85344 2,73622 132,42463 1,099 14,94844
1,207 16,42254 10,66693 18,33135 223,45586 Soma = 7,017 57,58764 5,761 51,88632 57,58764
47,42781 527,52827 a0 = x 2 y x xy = (5,761)(57,58764) (7,017)(51,88632) = 2,2867 n
x 2 ( x ) 2 (11)(5,761) (7,017) 2 a1 = xy x y = (11)(51,88632) (7,017)(57,58764)
= 11,7909 n n x 2 ( x ) 2 (11)(5,761) (7,017) 2 a = a 0 = 2,2867 b = a1 = 11,7909Clculo
Numrico e Computacional C.Y. Shigue
18. Ajuste de curvas 5 - 18A funo de ajuste logaritmo tem a forma: y = 2,2866 + 11,7909 n x 11
47,42781Coeficiente de correlao: r 2 = 1 = 0,790 11 527,52827 (57,58764) 2(d) Ajuste potencial
y = ax b Relaes para linearizao da funo potenc ial: x = n x y = n y a0 = n a a1 = b y = a 0 + a
1x 2 2 2 x = ln x y = ln y x xy yaj (y - yaj) y 0,000 -0,64436 0,000 0,00000 -0,75020 0,01120 0,41520
0,182 -0,16868 0,033 -0,03075 -0,19479 0,00068 0,02845 0,336 0,24739 0,113 0,08324 0,27481
0,00075 0,06120 0,470 0,62240 0,221 0,29253 0,68159 0,00350 0,38739 0,588 0,96797 0,345 0,56896
1,04040 0,00525 0,93697 0,693 1,29159 0,480 0,89526 1,36136 0,00487 1,66820 0,788 1,59817 0,622
1,26009 1,65171 0,00287 2,55416 0,875 1,89097 0,766 1,65549 1,91677 0,00067 3,57577 0,956
2,17211 0,913 2,07548 2,16061 0,00013 4,71807 1,030 2,44301 1,060 2,51537 2,38637 0,00321
-
5/26/2018 Ajuste Da Curva
26/27
5,96828 1,099 2,70461 1,207 2,97131 2,59655 0,01168 7,31490 Soma = 7,017 13,12519 5,761
12,28698 13,12519 0,04480 27,62859 a0 = x2 y x xy = (5,761)(13,12519) (7,017)
(12,28698) = 0,7502 n x 2 ( x ) 2 (11)(5,761) (7,017) 2 a1 = n xy x y = (11)
(12,28698) (7,017)(13,12519) = 3,0463 n x 2 ( x ) 2 (11)(5,761) (7,017) 2 a = e a 0 = e
0,7502 = 0,47227 b = a1 = 3,0463Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue
19. Ajuste de curvas 5 - 19 y = 0, 47227 x 3,0463 11 0,04480 r2 = 1 = 0,996 11 27,62859
(13,12519) 2 O coeficiente de correlao do ajuste potencial o maior dentre todos os ajustesrealizados
at aqui, indicando ser esta a melhor funo de ajuste.(e) Ajuste hiperblico b y=a+ x Relaes para
linearizao da funo logaritmica: 1 x = a0 = a a1 = b x y = a 0 + a 1x 2 2 2 x = 1/x y x xy yaj (y - yaj)
y 1,000 0,52500 1,000 0,52500 -2,72875 10,58687 0,27563 0,833 0,84478 0,694 0,70398 0,29697
0,30010 0,71365 0,714 1,28068 0,510 0,91477 2,45819 1,38653 1,64014 0,625 1,86340 0,391 1,16463
4,07911 4,90936 3,47226 0,556 2,63260 0,309 1,46256 5,33982 7,32904 6,93058 0,500 3,63856 0,250
1,81928 6,34839 7,34319 13,23912 0,455 4,94400 0,207 2,24727 7,17359 4,97105 24,44314 0,417
6,62580 0,174 2,76075 7,86125 1,52633 43,90123 0,385 8,77679 0,148 3,37569 8,44312 0,11134
77,03204 0,357 11,50759 0,128 4,10985 8,94186 6,58297 132,42463 0,333 14,94844 0,111 4,98281
9,37410 31,07322 223,45586 Soma = 6,174 57,58764 3,921 24,06659 57,58764 76,12000 527,52827 a0
= x 2 y x xy = (3,921)(57,58764) (6,174)(24,06659) = 15,4255 n x 2 ( x ) 2 (11)
(3,921) (6,174) 2 a1 = xy x y = (11)(24,06659) (6,174)(57,58764) = 18,1543 n n x 2
( x ) 2 (11)(3,921) (6,174) 2Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue
20. Ajuste de curvas 5 - 20 a = a 0 = 15,4255 b = a1 = 18,1543 18,1543 y = 15,4255 x 11 76,12 r2
= 1 = 0,663 11 527,52827 (57,58764) 2(f) Comparao entre os valores fornecidos e os valoresajustados Pelo clculo do coeficiente de correlao de Pearson, os melhores ajustes foram osobtidos pelas
funes exponencial (r2 = 0,992) e potencial (r2 = 0,996). Atravs do clculo dosvalores (x,y) usando as
expresses obtidas pelas funes de ajuste, podemos comparargraficamente cada uma das funes de
ajuste e verificar que os melhores ajustes calculados pelocoeficiente de correlao de Pearson
correspondem s curvas que melhor representam ocomportamento dos valores (x,y) do problema. Tabela
Comparao entre os valores de y fornecido e ajustados, Dados fornecidos Dados ajustados x y Linear
Exponencial Logaritmo Potencial Hiperblico 1,0 0,52500 -1,54171 0,63813 -2,28673 0,47227 -2,72875
1,2 0,84478 -0,18632 0,88627 -0,13699 0,82301 0,29697 1,4 1,28068 1,16907 1,23091 1,68059
1,31628 2,45819 1,6 1,86340 2,52446 1,70956 3,25505 1,97702 4,07911 1,8 2,63260 3,87985 2,37433
4,64382 2,83034 5,33982 2,0 3,63856 5,23524 3,29761 5,88612 3,90150 6,34839 2,2 4,94400 6,59063
4,57992 7,00991 5,21589 7,17359 2,4 6,62580 7,94602 6,36086 8,03586 6,79900 7,86125 2,6 8,776799,30141 8,83434 8,97964 8,67645 8,44312 2,8 11,50759 10,65680 12,26965 9,85344 10,87395 8,94186
3,0 14,94844 12,01219 17,04081 10,66693 13,41731 9,37410Clculo Numrico e Computacional C.Y.
Shigue
21. Ajuste de curvas 5 - 21(g) Grfico dos pontos fornecidos e das curvas ajustadas Grfico
comparativo dos ajustes 18 y 14 Linear Exponencial Logaritmo 10 Potencial Hiperblico y 6 2 -2 1.0 1.5
2.0 2.5 3.0 x Exerccios1. Considere a seguinte tabela de dados: x 1,0 1,4 2,0 y 0,340 2,25 5,89 Ajustar
uma funo linear do tipo y = a0 + a1x e uma funo exponencial do tipo y = aebx aos dados acima.
Determinar qual delas representa o melhor ajuste atravs do clculo do coeficiente de correlao de
Pearson. Verificar graficamente os ajustes calculados.2. Desenvolver as equaes normais para a funo
f(x) = a.x + b.cos x (a e b so os coeficientes de ajuste), empregando o Mtodo dos QuadradosMnimos, ajust-la aos seguintes valores numricos e calcular o coeficiente de correlao: x 1,0 1,2 2,0 y
1,683 2,046 2,512Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue
22. Ajuste de curvas 5 - 223. Considere os seguintes valores numricos: x 0 0,5 0,8 1,2 1,8 2,0 3,0 y 3,8
2,8 2,5 1,3 0,4 -0,2 1,0 Traar o grfico dos pontos tabelados e ajustar uma funo linear a eles. Traar a
reta ajustada ao grfico dos pontos tabelados. Verificar grfica e numericamente pelo coeficiente de
correlao de Pearson que o ajuste de m qualidade. Corrigir o problema que est prejudicando o ajuste
linear e verificar novamente pelo grfico e pelo coeficiente de correlao de Pearson a qualidade do
ajuste.4. Linerizar as seguintes funes: b (a) y = a . x + 2 (b) y = a.ln bx (c) y = a.sen x + b.cos x x 2
(d) y = a. e bx (e) y = ax + bx 3 (f) y = a + bx5. A tabela seguinte fornece a populao do Brasil (em
milhes de habitantes) desde 1872: ANO 1872 1890 1900 1920 1940 1950 1960 1970 1980 1990 Pop.
9,9 14,3 17,4 30,6 41,2 51,9 70,9 93,1 130 150 Obtenha uma estimativa para a populao brasileira no
ano 2000 empregando diferentes t ipos de ajustes de curvas.Clculo Numrico e Computacional C.Y.
Shigue
Siga-nos no LinkedIn
http://www.linkedin.com/company/slideshare -
5/26/2018 Ajuste Da Curva
27/27
Siga-nos no TwitterEncontre-nos no FacebookEncontre-nos no Google+
Saiba sobre ns
SobreCarreiras
Nosso BlogImprensaEntre em contato conoscoAjuda e Suporte
Usando o SlideShareSlideShare 101Termos de UsoPoltica de PrivacidadeDireitos Autorais & DMCAOrientaes da ComunidadeSlideShare no celular
Pro e mais
Mude para PROPRO Recursos
Desenvolvedores e APISeo dos DesenvolvedoresGrupo de DesenvolvedoresBlog de engenhariaWidgets do Blog
LinkedIn Corporation 2014
Feed RSS
PORTUGUS (BRASIL)EnglishFranais
EspaolPortugus (Brasil)Deutsch
http://de.slideshare.net/marciasilva65/ajuste-da-curvahttp://pt.slideshare.net/marciasilva65/ajuste-da-curvahttp://es.slideshare.net/marciasilva65/ajuste-da-curvahttp://fr.slideshare.net/marciasilva65/ajuste-da-curvahttp://www.slideshare.net/marciasilva65/ajuste-da-curva?smtNoRedir=1http://pt.slideshare.net/rss/latesthttp://pt.slideshare.net/widgets/blogbadgehttp://engineering.slideshare.net/http://groups.google.com/group/slideshare-developers?lnk=srghttp://pt.slideshare.net/developershttp://pt.slideshare.net/features?cmp_src=general&cmp_src_from=footer&tabs=truehttp://pt.slideshare.net/business/premium/plans?cmp_src=general&cmp_src_from=footerhttp://pt.slideshare.net/mobile?enable_mobile=truehttp://pt.slideshare.net/community_guidelineshttp://www.linkedin.com/legal/copyright-policyhttp://www.linkedin.com/legal/privacy-policyhttp://www.linkedin.com/legal/user-agreementhttp://pt.slideshare.net/abouthttp://help.slideshare.com/loginhttp://pt.slideshare.net/about/contactushttp://pt.slideshare.net/about/presshttp://blog.slideshare.net/http://pt.slideshare.net/about/workatslidesharehttp://pt.slideshare.net/abouthttp://www.google.com/+SlideSharehttp://www.facebook.com/slidesharehttp://twitter.com/SlideShare
top related