albert einstein 5 - wordpress.com
Post on 16-Oct-2021
7 Views
Preview:
TRANSCRIPT
âDe cand matematicienii au invadat teoria relativitatii, nu o maiinteleg nici eu.â
Albert Einstein
5Transformari integrale
Vibratiile muzicii
Orice sunet, indiferent de sursa, este cauzat de ceva care vibreaza. Faravibratie nu exista sunet. Aceasta vibratie determina particulele de aer aflate inapropierea sursei sa vibreze si ele, iar acestea la randul lor le determina pe celedin apropierea lor sa vibreze creand in final ceea ce numim unda sonora.
La fel ca un val al marii, cu cat se misca unda sonora mai departe cu atatdevine mai slaba, pana ce in cele din urma dispare. Daca vibratia initialacauzeaza o unda suficient de puternica va ajunge la urechile noastre si va fiinregistrata ca un sunet. Auzim un sunet pentru ca aerul vibreaza impotrivatimpanelor urechii, care la randul lor vor vibra. Aceste vibratii sunt apoi anal-izate de catre creier si sunt inregistrate ca fiind muzica, zgomot de trafic, pasaricare canta, etc. Deoarece undele sonore sunt culese de timpanele fiecaruia siinterpretate de catre creier, sunt sanse mari ca nimeni sa nu auda acelasi sunetin acelasi mod in care il aud altii. Orice vibratie completa a undei sonore se
1
numeste ciclu. Numarul de cicluri realizate intr-o secunda se numeste frecventavibratiei. Una dintre diferentele perceptibile dintre doua sunete consta in inal-timea sunetului. O vibratie de frecventa mare va produce o nota mai inalta iaro vibratie de frecventa mai mica va produce o nota mai joasa.
Frecventa este masurata in hertzi, un hertz insemnand un ciclu pe secunda.Urechea umana poate percepe sunetele cuprinse intre 16 Hz si 16 kHz. Frecven-tele notelor, care pot fi cantate la un pian, sunt cuprinse intre 27.5 Hz si 4kHz.Nota produsa de un diapazon se numeste ton pur, deoarece consta dintr-un toncare suna la o singura frecventa. Sunetul instrumentelor provine de la tonuridiferite care suna la diverse frecvente. Chiar si o singura nota cantata la unpian e formata, de fapt, din multiple tonuri care suna impreuna la frecventeusor diferite.
Sa examinam indeaproape unul dintre cele mai elementare semnale, semnalulsinusoidal (cosinusoidal) care produce tonurile pure
ð¥(ð¡) = ðŽ cos(ð0ð¡ + ð) = ðŽ cos(2ððð¡ + ð)
unde ðŽ reprezinta amplitudinea semnalului (valoarea maxima pe care o poateavea vibratia, masurata din pozitia de echilibru), ð0 este frecventa angularasau radiana masurata in radiani/secunda. Apoi ð este frecventa (Hz) si ð estefaza initiala (rad). Avem relatiile evidente ð0 = 2ð
ð = 2ðð si ð = 1ð , unde ð
este perioada semnalului (s). Putem la fel de bine folosi functia sinus pentru areprezenta matematic un semnal sinusoidal.
Daca semnalul de mai sus este considerat ca fiind un semnal audio atuncivaloarea ð¥(ð¡) indica schimbarile de presiune in urechile noastre ca functie detimp. O valoare negativa semnifica o presiune situata sub presiunea mediuluiambient iar o valoare pozitiva indica o presiune mai mare. Deci ð¥(ð¡) fiind osinusoida indica faptul ca presiunea aerului in urechile noastre oscileaza intr-omaniera indicata de sinusoida. Sunetul pe care il vom auzi in acest caz va fi unton pur. Frecventa, dupa cum am spus si mai sus, determina inaltimea tonuluiiar amplitudinea determina volumul tonului.
Sa consideram spre exemplu ð¥(ð¡) = 3 cos(2ð · 2 · ð¡â 3ð4 ). Se poate observa
ca valoarea maxima este ðŽ = 3 si se obtine pentru 3/16, cand argumentulcosinusului este 0.
Semnalul de mai sus nu poate fi perceput de urechea umana fiind prea jos,frecventa ð fiind de doar 2 ð»ð§. Semnalele audio elementare nu suna prea grozav,puteti testa aici cam toata gama perceptibila urechii.
Vom studia acum un semnal foarte comun, cel produs de tonul de apel clasical unui celular. Acesta se compune in general din doua tonuri pure, la frecventepe care omul le poate percepe. Spre exemplu
ð¥(ð¡) = ðŽ1 sin(2ð · 350ð¡) + ðŽ2 sin(2ð · 450 · ð¡)
2
contine doua sinusoide la frecvente 350 ð»ð§ si 400 ð»ð§. Mai jos avem reprezentataforma de unda a semnalului obtinut din combinarea celor doua semnale.
Suprinzator este faptul ca toate sunetele pot fi construite din tonuri puresi in mod analog toate semnalele continue deterministe (depind de timp) pot fiobtinute prin combinatii de sinusoide. Stim deja, din teoria seriilor Fourier, caorice semnal periodic poate fi descompus sub forma:
ð¥(ð¡) =ð02
+
ââð=1
[ðð cos
(2ðð
ðð¡
)+ ðð sin
(2ðð
ðð¡
)]unde ð este perioada semnalului iar coeficientii descompunerii se obtin conform
regulilor ðð =2
ð
â« ð+ð
ð
ð¥(ð¡) cos
(2ðð
ðð¡
)ðð¡ si ðð =
2
ð
â« ð+ð
ð
ð¥(ð¡) sin
(2ðð
ðð¡
)ðð¡.
In cele ce urmeaza vom discuta despre posibilitatea de a descompune unsemnal neperiodic si depre âmultidimensionalitateaâ semnalelor. In lumea re-ala, semnalele nu se comporta exact dupa cum arata formatul lor matematicpredefinit, si asta deoarece prezinta âimpuritatiâ(noise). Semnalele sunt adeseadistorsionate si de multe ori sursa lor este necunoscuta.
Daca am putea descompune semnalul in frecventele care il constituie, amputea usor sa blocam anumite frecvente si sa le anulam contributia. E ceea ceBBC-ul a facut in timpul Cupei Mondiale de Fotbal din 2010. Va mai amintiticat de iritant era sunetul vuvuzelelor de pe fundalul comentariilor sportive? Dinfericire, sunetul produs de vuvuzele avea o inaltime(frecventa) relativ constantaundeva in jurul a 235 ð»ð§ si asta a permis celor de la BBC sa puna la dispozitiatelespectatorilor optiunea de a filtra semnalul si de a putea urmari partidele faraenervantul zgomot pe fundal.
De retinut ca un semnal este in general reprezentat in domeniul timp: ampli-tudinea este exprimata in functie de timp. Insa atunci cand noise-ul este prezento astfel de reprezentare poate fi inutila deoarece face semnalul sa para aproape
3
aleator. Daca insa trecem in domeniul frecventa si reprezentam amplitudineaca functie de frecventa obtinem informatii suplimentare, deosebit de utile.
Spectrul frecventei unui semnal reprezinta gama de frecvente continute intr-un semnal. Spre exemplu, semnalul tonului de apel contine doua frecvente,dupa cum arata figura de pe pagina anterioara. Spectrul poate fi gandit ca fiindo âbibliotecaâ completa a semnalului. Wikipedia va prezinta un gif extrem deilustrativ al descompunerii unui semnal pentru identificarea spectrului sau
Sunt multe domenii unde analiza frecventelor ofera o mai buna intelegeredecat analiza in domeniul timp, muzica fiind cel mai celebru dintre ele. Toatateoria instrumentelor muzicale este construita in jurul descompunerii sunetelorcomplexe in componentele separate de frecventa diferita (notele muzicale). Inastrononie studiul spectrului radiatiei electromagnetice, care provine de la stelesau alte corpuri ceresti, poate oferi informatii despre compozitia chimica, tem-peratura, densitate, masa, luminozitate sau deplasare (efectul Doppler).
Vestea buna este ca putem sa facem usor trecerea din domeniul timp indomeniul frecventa, si inapoi, printr-un âportalâ numit transformata Fourier asemnalului
ð(ð) = ð¹ [ð¥(ð¡)](ð) =1â2ð
â« â
ââð¥(ð¡) · ðâððð¡ ðð¡
Mai sus, ð¹ [ð¥(ð¡)] reprezinta numele unei functii si anume transformata func-tiei ð¥(ð¡) prin aplicatia ð¹ , deci ne asteptam sa o putem evalua intr-un punct ð.Pentru a simplifica notatia se foloseste in general dualitatea: transformata luið¥(ð¡) este ð(ð), a lui ð(ð¡) este ð¹ (ð), etc.
4
Transformarea inversa, si implicit recuperarea semnalului daca stim frecven-tele sale, se face prin
ð¥(ð¡) = ð¹â1 [ð(ð)] (ð¡) =1â2ð
â« â
ââð(ð) · ðððð¡ ðð.
Ar fi de observat aici ca ð nu reprezinta frecventa in formulele anterioare cifrecventa angulara. Expresia transformatei Fourier relativ la frecventa angularaeste la fel de populara ca si varianta care uzeaza de frecventa propriu zisa
ð(ð) = ð¹ [ð¥(ð¡)](ð) =
â« â
ââð¥(ð¡) · ðâð2ððð¡ ðð¡
ð¥(ð¡) = ð¹â1 [ð(ð)] (ð¡) =
â« â
ââð(ð) · ðð2ððð¡ ðð.
schimbarile constand in disparitia constantei din fata integralei si aparitia lui2ð la exponentiala. Pe parcursul acestei fise vom folosi transformata Fourierangulara, propusa de prima varianta. Conexiunea intre ele se face prin formula
ðððð(ð) =1â2ð
ð( ð
2ð
).
In concluzie, transformata Fourier ofera posibilitatea de a obtine spectrulfrecventei unui semnal neperiodic, o tehnica extrem de utila in teoria sem-nalelor. Inainte de a trece la listarea principalelor proprietati ale acestei trans-formari, vom prezenta interpretarile practice ale unor expresii matematice careapar frecvent in teoria semnalelor.
Energia unui semnal continuu este definita prin
ðž =
â« â
ââ|ð¥(ð¡)|2 ðð¡
iar puterea semnalului prin
ð = limðââ
1
2ð
â« ð
âð
|ð¥(ð¡)|2 ðð¡
care pentru un semnal periodic de perioada ð0 devine ð =1
ð0
â« ð+ð
ð
|ð¥(ð¡)|2 ðð¡,
pentru un ð oarecare.Transformata Fourier este in mod standard definita pentru semnale cu en-
ergie finita si atunci cunoscuta teorema a lui Plancherelâ« â
ââ|ð¥(ð¡)|2ðð¡ =
â« â
ââ|ð(ð)|2ðð
spune, de fapt, ca energia totala a semnalului este egala cu energia totala atransformatei, adica transformata conserva energia. Daca semnalul are energiefinita, stim in plus ca transformata Fourier inversa exista, fiind cea mai simplaconditie care garanteaza existenta inversei.
Deoarece pentru multe semnale puterea poate fi finita iar energia infinita,
se impune uneori o alta restrictie semnalelor si anume ca
â« â
ââ|ð¥(ð¡)| ðð¡ < â
5
(finite-action signal). O astfel de restrictie este suficienta pentru a ne asigura catransformata Fourier exista si este marginita, in cazul semnalelor continue, caci
|ð(ð)| â€â« â
ââ|ð¥(ð¡)| ðð¡, âð â R.
Mai mult, orice semnal care satisface
â« â
ââ|ð¥(ð¡)| ðð¡ < â si care este marginit
va avea energia finita. Insa, conditia de absolut integrabilitate nu este suficientapentru a garanta existenta transformatei inverse.
Transformata Fourier
â vom investiga mai de aproape transformata Fourier angulara
ð(ð) = ð¹ [ð¥(ð¡)](ð) =1â2ð
â« â
ââð¥(ð¡) · ðâððð¡ ðð¡
cu inversa
ð¥(ð¡) = ð¹â1 [ð(ð)] (ð¡) =1â2ð
â« â
ââð(ð) · ðððð¡ ðð.
â cele doua formule de mai sus au forme particulare daca ð¥(ð¡) este o functiepara sau impara
=â daca ð¥(ð¡) para
ð¹ [ð¥(ð¡)](ð) =2â2ð
â« â
0
ð¥(ð¡) cos(ðð¡) ðð¡
=â daca ð¥(ð¡) impara
ð¹ [ð¥(ð¡)](ð) =2â2ð
â« â
0
ð¥(ð¡) sin(ðð¡) ðð¡
uneori notam aceste transformari ðð(ð), respectiv ðð (ð) si le numim transfor-matele prin cosinus, sinus
=â formula de inversare pentru o functie para devine acum
ð¥(ð¡) =2â2ð
â« â
0
ðð(ð) cos(ðð¡) ðð
iar cea pentru o functie impara
ð¥(ð¡) =2â2ð
â« â
0
ðð (ð) sin(ðð¡) ðð
B principalele proprietati ale transformatei sunt listate in continuare
â Transformata Fourier este o transformare liniara
ð¹ [ð · ð¥(ð¡) + ð · ðŠ(ð¡)](ð) = ð · ð¹ [ð¥(ð¡)](ð) + ð · ð¹ [ðŠ(ð¡)](ð)
6
â Proprietatea de dilatare/contractare
ð¹ [ð¥(ðð¡)](ð) =1
|ð|ð¹ [ð¥(ð¡)]
(ðð
), ð = 0
â Proprietatea de intarziere
ð¹ [ð¥(ð¡â ð)](ð) = ðâððð¡ð¹ [ð¥(ð¡)](ð)
â Proprietatea de depasire
ð¹ [ðððð¡ð¥(ð¡)](ð) = ð¹ [ð¥(ð¡)](ð â ð)
â Derivarea functiei original
ð¹ [ð¥(ð)(ð¡)](ð) = (ðð)ðð¹ [ð¥(ð¡)](ð)
â Derivarea imaginii
ðð
ðððð¹ [ð¥(ð¡)](ð) = (âð)ðð¹ [ð¡ðð¥(ð¡)](ð)
unde notatia din stanga inseamna a ð-a derivata in raport cu ðâ Transformata produsului de convolutie
ð¹ [(ð¥ * ðŠ)(ð¡)](ð) =â
2ð · ð¹ [ð¥(ð¡)](ð) · ð¹ [ðŠ(ð¡)](ð)
prin produsul de convolutie a doua semnale intelegem functia (semnalul)
(ð¥ * ðŠ)(ð¡) =
â« â
ââð¥(ð )ðŠ(ð¡â ð ) ðð
Exista unele limitari in uzul seriilor Fourier si a transformatelor Fourierpentru analizarea semnalelor si a sistemelor. Un semnal trebuie sa fie ab-solut integrabil pentru a avea o reprezentare bazata pe o serie sau trans-formare Fourier. Daca luam in considerare semnalul rampa ð¥(ð¡) = ð¡ · ð¢(ð¡)acesta nu poate fi analizat cu transformata Fourier nefiind absolut integra-bil sau de energie finita. Transformata Laplace ajuta la depasirea acestorobstacole. Poate fi gandita ca o extensie, o generalizare, a transformateiFourier. Acum argumentul transformatei va fi un numar complex, notatuneori cu ð si numit frecventa complexa.
Remarca
7
Transformata Laplace
â transformata Laplace a unei functii ð(ð¡) (semnal) este definita prin
â[ð(ð¡)](ð) =
â« â
0
ð(ð )ðâð ððð
si va transforma o functie ð(ð¡) in alta care depinde de ð, notata de obicei cuâ[ð(ð¡)](ð) sau ð¹ (ð).
â functia ð(ð¡) este numita functie original (semnalul sursa) si in generaltrebuie sa satisfaca anumite conditii, vezi curs, integrala fiind convergenta atuncicand ð ð ð > 0.
â majoritatea proprietatilor sunt identice cu cele ale transformatei Fourier,diferentele aparand uneori la nivelul constantelor
â â este o transformare liniara
â[ð · ð(ð¡) + ð · ð(ð¡)](ð) = ð · â[ð(ð¡)](ð) + ð · â[ð(ð¡)](ð)
â Transformata Laplace are inversa liniara
ââ1[ð · ð¹ (ð) + ð ·ðº(ð)](ð¡) = ð · ââ1[ð¹ (ð)](ð¡) + ð · ââ1[ðº(ð)](ð¡)
â Dilatarea/Contractia
â[ð(ðð¡)](ð) =1
|ð|â[ð(ð¡)]
(ðð
)â Scalarea exponentiala (depasire)
â[ððð¡ð(ð¡)](ð) = â[ð(ð¡)](ðâ ð)
â Proprietatea de intarziere
â[ð(ð¡â ð)](ð) = ðâððâ[ð(ð¡)](ð)
â Transformata integralei
â[â« ð¡
0
ð(ð )ðð
](ð) =
1
ðâ[ð(ð¡)](ð)
â Transformata produsului de convolutie (teorema lui Borel)
â[(ð * ð)(ð¡)](ð) = â[ð(ð¡)](ð) · â[ð(ð¡)](ð)
de remarcat ca dispare coeficientul din fata, comparativ cu transformata Fourier,insa in acest context produsul de convolutie este definit ca fiind
(ð * ð)(ð¡) =
â« ð¡
0
ð(ð )ð(ð¡â ð ) ðð
â Transformata derivatei
â[ð (ð)(ð¡)](ð) = ððâ[ð(ð¡)](ð) â ððâ1ð(0) â ððâ2ð â²(0) â . . .â ð (ðâ1)(0)
8
â Derivata transformarii
(â[ð(ð¡)](ð))(ð)
= (â1)ðâ[ð¡ðð(ð¡)](ð)
â transformata Laplace poate fi folosita pentru a calcula integrale impropriiconform formulei: â« â
ð
ð¹ (ð )ðð = â[ð(ð¡)
ð¡
](ð)
daca recunoastem integrandul ca fiind o transformata Laplace a unei functiið(ð¡).
â adaugam alte trei proprietati extrem de utile in practica
Teorema valorii initiale
limð¡â0ð¡>0
ð(ð¡) = limðââ
ð · â[ð(ð¡)](ð)
â problemele rezolvate din sectiunea urmatoare arata in ce contexte pot fiaplicate aceste doua teoreme
Teorema valorii finale
limð¡ââ
ð(ð¡) = limðâ0
ð · â[ð(ð¡)](ð)
â in general vom folosi de tabelul de transformate pentru a calcula transfor-mata inversa ââ1 insa este mult mai simplu sa folosim teoria reziduurilor
O formula pentru transformata inversa ââ1
ð(ð¡) = ââ1[ð¹ (ð)](ð¡) =â
toti polii lui ð¹ (ð)
Rez
(ð¹ (ð)ððð¡
)
Aflam transformarea inversa a lui
ð¹ (ð) =1
(ð + 3)2(ðâ 1)
In acest caz ð¹ (ð) are un pol de ordin 2 in ð = â3 si un pol de ordin1 in ð = 1. Au loc urmatoarele formule, conform fisei despre integralecomplexe:
Res(ð¹ (ð)ððð¡, 1) = limðâ1
(ðâ 1)ððð¡
(ð + 3)2(ðâ 1)=
ðð¡
(1 + 3)2
(in reziduul de mai sus ð¡ este un parametru)
Exemplu instructiv
9
Res(ð¹ (ð)ððð¡,â3) = limðââ3
((ð + 3)2
ððð¡
(ð + 3)2(ðâ 1)
)â²
= â ð¡ðâ3ð¡
4â ðâ3ð¡
42
(derivarea e relativ la ð)
astfel
ð(ð¡) = ââ1
[1
(ð + 3)2(ðâ 1)
](ð¡) =
ðð¡
16â ð¡ðâ3ð¡
4â ðâ3ð¡
16, ð¡ ⥠0.
â mai jos avem un tabel uzual de transformate Laplace
Domeniul timp ð(ð¡) Domeniul frecventa ð¹ (ð)
ð¿(ð¡) 1
ð¿(ð¡â ð) ðâðð
ð¢(ð¡) 1ð
ð¡ · ð¢(ð¡) 1ð2
ð¡ð · ð¢(ð¡) ð!ðð+1
ð¡ðŒ · ð¢(ð¡) Î(ðŒ+1)ððŒ+1
ððð¡ · ð¢(ð¡) 1ðâð
ððð¡ · ð¢(ð¡) 1ðâlnð
sin(ðð¡) · ð¢(ð¡) ðð2+ð2
cos(ðð¡) · ð¢(ð¡) ðð2+ð2
sinh(ðð¡) · ð¢(ð¡) ðð2âð2
cosh(ðð¡) · ð¢(ð¡) ðð2âð2
ðâðð¡ sin(ðð¡) · ð¢(ð¡) ð(ð+ð)2+ð2
ðâðð¡ cos(ðð¡) · ð¢(ð¡) ð+ð(ð+ð)2+ð2
ðâðð¡ sinh(ðð¡) · ð¢(ð¡) ð(ð+ð)2âð2
ðâðð¡ cosh(ðð¡) · ð¢(ð¡) ð+ð(ð+ð)2âð2
â uneori functia treapta ð¢(ð¡) este omisa in astfel de tabele, puteti face ab-stractie de ea, rolul ei este sa anuleze partea din functie pentru care ð¡ < 0 caciintegrala transformatei Laplace se refera la intervalul [0,â)
10
Probleme rezolvate
Problema 1
Calculati transformata Fourier pentru urmatoarele semnale elementare
a) ð¥(ð¡) = ðâð|ð¡|, ð > 0
b) ð¥(ð¡) = ðŽ · Î (ð¡ð
)=
{ðŽ, ð¡ â [âð
2 , ð2 ]
0, in rest
Solutie: a) O reprezentare in domeniul timp al lui ð¥(ð¡) arata in felul urmator
Prin aplicarea formulei transformatei Fourier ajungem la
ð(ð) =1â2ð
â« â
ââðâð|ð¡|ðâððð¡ ðð¡ =
1â2ð
â« 0
ââððð¡ðâððð¡ ðð¡ +
1â2ð
â« â
0
ðâðð¡ðâððð¡ ðð¡
din cauza felului in care functia modul se comporta, apoi putem scrie
ð(ð) =1â2ð
â« 0
ââð(ðâðð)ð¡ ðð¡ +
1â2ð
â« â
0
ðâ(ð+ðð)ð¡ ðð¡
=1â2ð
ð(ðâðð)ð¡
ðâ ðð
0ââ
+1â2ð
ðâ(ð+ðð)ð¡
â(ð + ðð)
â0
Valorile in ±â trebuie vazute ca o trecere la limita, prin definitia integralelorgeneralizate. Ambele valori vor fi 0, in mare din cauza prezentei lui ððð¡ respectivalui ðâðð¡
limð¡âââ
ð(ðâðð)ð¡
ðâ ðð= lim
ð¡âââððð¡
cos(ðð¡) + ð sin(ðð¡)
ðâ ðð= 0
caci al doilea factor este un numar complex marginit. Analog se trateaza cealaltalimita implicata in formulele de mai sus. In final doar valorile in 0 conteaza
ð(ð) =1â2ð
1
ðâ ðð+
1â2ð
1
ð + ðð=
1â2ð
2ð
ð2 + ð2
O reprezentare a acesteia in domeniul frecventa (angulara) este disponibilape pagina urmatoare
11
b) Semnalul ð¥(ð¡) = ðŽ · Î (ð¡ð
)poarta numele de puls dreptunghiular si vom
arata ca transformata sa are legatura cu functia sinc(ð¥) =
{sin ð¥ð¥ , ð¥ = 0
1, ð¥ = 0
Prin definitie:
ð(ð) =1â2ð
â« â
ââð¥(ð¡)ðâððð¡ ðð¡ =
1â2ð
â« ð2
â ð2
ðŽðâððð¡ ðð¡
=1â2ð
ðŽðâððð¡
âðð
ð2
â ð2
=1â2ð
ðŽ
(ðâðð ð
2
âððâ ð+ðð ð
2
âðð
)= â ðŽâ
2ððð
(cos
(âð
ð
2
)+ ð sin
(âð
ð
2
)â cos
(ðð
2
)â ð sin
(ðð
2
))=
2ðŽâ2ðð
sin(ðð
2
)=
ðŽðâ2ð
sin(ð ð
2
)ð ð
2
=ðŽðâ2ð
sinc(ðð
2
)imaginea in domeniul frecventa fiind
Problema 2
Sa se rezolve ecuatia integralaâ« â
0
ð(ð¢) cos(ð¢ð¡) ðð¢ = ð(ð¡)
unde ð(ð¡) =
{1 â ð¡, ð¡ â [0, 1]
0, ð¡ > 1.
12
Solutie: Ecuatia poate fi scrisa sub forma echivalentaâ2
ð
â« â
0
ð(ð¢) cos(ð¢ð¡) ðð¢ =
â2
ðð(ð¡)
in care membrul stang seamana cu transformata prin cosinus a unei functii ð,deci putem interpreta egalitatea ca fiind de forma:
ðºð(ð) =
â2
ðð(ð)
Aceasta strategie are sens doar daca la final functia ð gasita se dovedeste a fipara. Interpretand ecuatia in acest mod, functia ð poate fi aflata prin aplicareatransformatei inverse prin cosinus functiei din dreapta, adica
ð(ð¢) =
â2
ð
â« â
0
ðºð(ð) cos(ðð¢) ðð =
â2
ð
â« â
0
â2
ðð(ð) cos(ðð¢) ðð
=2
ð
â« â
0
ð(ð) cos(ðð¢) ðð =2
ð
â« 1
0
(1 â ð) cos(ð¢ð)ð =2
ð
1 â cosð¢
ð¢2
care este evident o functie para.
Problema 3
Gasiti functiile original pentru urmatoarele tranformate Laplace
a) ð (ð) =1
ð2 â 3ð + 2
b) ð (ð) =1
ð2 (ð2 + 1).
Solutie: a) Ideea este sa reducem functiile date la expresii care se aflain tabelul de transformate, folosind teoria functiilor rationale. Descompunemtransformata Laplace ð(ð) data astfel
ð (ð) =1
ð2 â 3ð + 2=
1
(ðâ 1) (ðâ 2)=
1
ðâ 2â 1
ðâ 1
si folosim formula
â[ððð¡
](ð) =
1
ðâ ð
din tabelul de transfromate Laplace. Vom obtine functia original
ð¥ (ð¡) = ââ1
[1
ðâ 2â 1
ðâ 1
](ð¡) = ââ1
[1
ðâ 2
](ð¡)âââ1
[1
ðâ 1
](ð¡) = ð2ð¡ â ðð¡.
b) Metoda 1 : Din nou descompunem functia data astfel
1
ð2 (ð2 + 1)=
ðŽð + ðµ
ð2+
ð¶ð + ð·
ð2 + 1,
iar dupa identificarea coeficientilor obtinem
ðŽ = 0, ðµ = 1, ð¶ = 0, ð· = â1,
13
ceea ce conduce la
ð (ð) =1
ð2â 1
ð2 + 1.
Folosind din nou formulele
â [ð¡ð] (ð) =ð!
ðð+1si â [sin ðð¡] (ð) =
ð
ð2 + ð2,
din tabelul de transfromate Laplace, rezulta functia original
ðŠ (ð¡) = ââ1
[1
ð2â 1
ð2 + 1
](ð¡) = ââ1
[1
ð2
](ð¡) â ââ1
[1
ð2 + 1
](ð¡) = ð¡â sin ð¡.
Metoda 2 : Putem sa folosim formula de inversare care uzeaza de teoriareziduurilor
ðŠ(ð¡) = ââ1[ð (ð)](ð¡) =â
toti polii lui ð (ð)
Rez(ð (ð)ððð¡
)Se observa usor ca ð (ð) are un pol dublu in ð1 = 0 si doi poli simpli in
ð2 = ð, respectiv ð3 = âð.
Rez(ð (ð)ððð¡, 0) = limðâ0
(ð2
ððð¡
ð2(ð2 + 1)
)â²
= limðâ0
ð¡ððð¡(ð2 + 1) â 2ðððð¡
(ð2 + 1)2= ð¡
Atentie la faptul ca derivarea se face intotdeauna relativ la variabila ð, atuncicand avem de a face cu poli de ordin superior in aplicarea formulei de inversare.
Rez(ð (ð)ððð¡, ð) = limðâð
(ðâ ð)ððð¡
ð2(ð2 + 1)=
ððð¡
â2ð=
ðððð¡
2
=â sin ð¡ + ð cos ð¡
2
Rez(ð (ð)ððð¡,âð) = limðââð
(ðâ (âð))ððð¡
ð2(ð2 + 1)=
ðâðð¡
2ð=
âððâðð¡
2
=â sin ð¡â ð cos ð¡
2
In final adunand aceste valori
ðŠ(ð¡) = ð¡â sin ð¡
Problema 4
Rezolvati problema Cauchyâ§âªâªâªâšâªâªâªâ©ð¥â²â² + 2ð¥â² + 5ð¥ = 0
ð¥ (0) = 1
ð¥â² (0) = 0
,
folosind transformata Laplace.
14
Solutie: Vom trece din domeniul timp in domeniul frecventelor. Fenomenulsuprinzator este urmatorul: in domeniul frecventelor ecuatia diferentiala devineuna algebrica usor de rezolvat.
Folosind asadar transformata Laplace vom transforma intreaga ecuatie difer-entiala tinand cont de proprietatile transformatei
â [ð¥] (ð)ððð¡ðð¡ðð
= ð (ð)
â [ð¥â²] (ð) = ðð (ð) â ð¥ (0) = ðð (ð) â 1,
â [ð¥â²â²] (ð) = ð2ð (ð) â ð · ð¥ (0) â ð¥â² (0) = ð2ð (ð) â ð,
ceea ce implica, datorita proprietatii de liniaritate a transformatei
ð2ð (ð) â ð + 2 [ðð (ð) â 1] + 5ð (ð) = 0,
de unde obtinem apoi
ð (ð) =ð + 2
ð2 + 2ð + 5=
ð + 1
(ð + 1)2
+ 22+
1
(ð + 1)2
+ 22
=ð + 1
(ð + 1)2
+ 22+
1
2· 2
(ð + 1)2
+ 22
In acest moment avem expresia transformatei Laplace a unei solutii ð¥(ð¡) core-spunzatoare problemei Cauchy. Pentru a obtine aceasta solutie va trebui safolosim transformata inversa si tabelul de transformate
ð¥ (ð¡) = ââ1 [ð(ð)] (ð¡) = ðâð¡ cos 2ð¡ +1
2ðâð¡ sin 2ð¡
= ðâð¡
(cos 2ð¡ +
1
2sin 2ð¡
).
Problema 5
Integrati ecuatia ð¥â²â²â²+ð¥â²â²â2ð¥ = ð¡, unde ð¥ (0) = ð¥â² (0) = 0 si ð¥â²â² (0) = â1.
Solutie: Vom aplica din nou tehnica transformarii Laplace pentru a obtineinitial o imagine a ecuatiei in domeniul frecventelor
â [ð¥] (ð)ððð¡= ð (ð) ,
â [ð¥â²â²] (ð) = ð2ð (ð) â ð · ð¥ (0) â ð¥â² (0) = ð2ð (ð)
â [ð¥â²â²â²] (ð) = ð3ð (ð) â ð2 · ð¥ (0) â ð · ð¥â² (0) â ð¥â²â² (0) = ð3ð (ð) + 1,
â [ð¡] (ð) =1
ð2,
conform formulei de transformare a derivatelor si respectiv tabelului de trans-formate pentru ultima relatie.
Prin urmare imaginea ecuatiei in domeniul frecventelor este
ð3ð (ð) + 1 + ð2ð (ð) â 2ð(ð) =1
ð2
15
cu observatia ca deja am folosit conditiile initiale ale ecuatiei in aflarea trans-formarilor de mai sus.
Aceasta ecuatie se rezolva usor si se obtine:
ð (ð) =1 â ð2
ð2 (ð3 + ð2 â 2)=
(1 â ð) (1 + ð)
ð2 (ðâ 1) (ð2 + 2ð + 2)
= â ð + 1
ð2 (ð2 + 2ð + 2)= â1
2
1
ð2+
1
2
1
(ð + 1)2
+ 1
In final pentru a obtine solutia ecuatiei diferentiale date trebuie sa aflam imag-inea inversa a solutiei obtinute in domeniul frecventelor
ð¥(ð¡) = ââ1[ð(ð)](ð¡) = ââ1
[â1
2
1
ð2+
1
2
1
(ð + 1)2 + 1
](ð¡)
= â1
2ââ1
[1
ð2
](ð¡) +
1
2ââ1
[1
(ð + 1)2 + 1
](ð¡) = â1
2ð¡ +
1
2ðâð¡ sin ð¡
conform tabelului de transformate si a liniaritatii transformarii inverse.
Problema 6
Rezolvati urmatorul sistem de ecuatii diferentiale{ð¥â² â ð¥â 2ðŠ = ð¡
â2ð¥ + ðŠâ² â ðŠ = ð¡
avand conditiile initiale ð¥ (0) = 2, ðŠ (0) = 4.
Solutie: Intai notam cu ð(ð) si ð (ð) transformatele Laplace ale necunos-cutelor ð¥(ð¡), respectiv ðŠ(ð¡).
â [ð¥] (ð) = ð (ð), â [ðŠ] (ð) = ð (ð)
Apoi transformam ceilalti termeni ai sistemului, tinand cont de proprietatiletransformate Laplace
â [ð¥â²] (ð) = ðð (ð) â ð¥ (0) = ðð (ð) â 2
â [ðŠâ²] (ð) = ðð (ð) â ðŠ (0) = ðð (ð) â 4,
â [ð¡] (ð) =1
ð2,
Imaginea sistemului in domeniul frecventa esteâ§âªâšâªâ©ðð (ð) â 2 âð (ð) â 2ð (ð) =
1
ð2
â2ð (ð) + ðð (ð) â 4 â ð (ð) =1
ð2
si obtinem ca
ð (ð) + ð (ð) =1
ðâ 3
(6 +
2
ð2
)ð (ð) â ð (ð) = â 2
ð + 1,
16
de unde rezulta
ð (ð) =3
ðâ 3+
1
ð2 (ðâ 3)â 1
ð + 1
=3
ðâ 3â 1
9
1
ðâ 1
3
1
ð2+
1
9
1
ðâ 3â 1
ð + 1
=28
9
1
ðâ 3â 1
9
1
ðâ 1
3
1
ð2â 1
ð + 1
si obtinem functia original prin inversare, ca la exercitiile anterioare
ð¥ (ð¡) =28
9ð3ð¡ â 1
9â 1
3ð¡â ðâð¡.
Pentru a gasi functia original ðŠ (ð¡) putem sa nu mai recurgem la ð (ð) ci sainlocuim in sistemul de ecuatii diferentiale. Vom folosi prima ecuatie din sistem,unde avem nevoie de derivata lui ð¥ (ð¡) care este
ð¥â² (ð¡) =28
3ð3ð¡ â 1
3+ ðâð¡
si obtinem
ðŠ (ð¡) =ð¥â²(ð¡) â ð¥(ð¡) â ð¡
2=
28
9ð3ð¡ â 1
9â 2
3ð¡ +
1
2ðâð¡.
In concluzie solutia sistemului esteâ§âšâ© ð¥ (ð¡) = 289 ð3ð¡ â 1
9 â 13 ð¡â ðâð¡
ðŠ (ð¡) = 289 ð3ð¡ â 1
9 â 23 ð¡ + 1
2ðâð¡
.
Problema 7
Determinati solutia ecuatiei ð¥â²â² + ð¥ = 1cos ð¡ cu datele initiale ð¥ (0) = 0 si
ð¥â² (0) = 2.
Solutie: Aplicam transformata Laplace atat membrului drept cat si a mem-brului stang. Constatam un prim obstacol: nu putem ınlocui direct transformata
Laplace a functiei1
cos ð¡caci nu e in tabel si nici nu e clar cum sa o deducem din
proprietatile â.
Pentru moment vom continua cu notatia â[
1
cos ð¡
](ð), suntem in faza de
negare a problemei :)). In partea stanga avem
â [ð¥] (ð) = ð (ð) , â [ð¥â²â²] (ð) = ð2ð (ð) â ð · ð¥ (0) â ð¥â² (0) = ð2ð (ð) â 2.
Transformata ecuatiei devine
ð2ð (ð) â 2 + ð (ð) = â[
1
cos ð¡
](ð) ,
de unde rezulta
ð (ð) =2
ð2 + 1+
1
ð2 + 1· â
[1
cos ð¡
](ð)
17
Din cauza ca ultimul termen are un coeficient care depinde de ð (deci nu econstant relativ la ð) nu putem sa aplicam transformata inversa in acest moment.Houston we have a problem !
Vom depasi acest obstacol daca reusim sa vizualizam factorul 1ð2+1 ca pe o
transformata Laplace. Cu ajutorul tabelului se gaseste rapid 1ð2+1 = â [sin ð¡] (ð)
Acum modul in care â se comporta cu produsul de convolutie salveaza ziua
ð (ð) = 2â [sin ð¡] (ð) + â [sin ð¡] (ð) · â[
1
cos ð¡
](ð)
= â [2 sin ð¡] (ð) + â[sin ð¡ * 1
cos ð¡
](ð)
= â[2 sin ð¡ + sin ð¡ * 1
cos ð¡
](ð)
In final
ð¥ (ð¡) = â [ð(ð)] (ð¡) = 2 sin ð¡ + sin ð¡ * 1
cos ð¡
care se scrie desfasurat sub forma
ð¥ (ð¡) = 2 sin ð¡ +
ð¡â«0
sin (ð¡â ð)
cos ððð =
= 2 sin ð¡ +
ð¡â«0
sin ð¡ cos ð â sin ð cos ð¡
cos ððð
= 2 sin ð¡ + ð¡ sin ð¡ + cos ð¡ · ln (cos ð¡) .
Problema 8
Rezolvati ecuatia ð¥ (ð¡) = 2 sin 4ð¡ +
ð¡â«0
sin 4 (ð¡â ð¢)ð¥ (ð¢) ðð¢.
Solutie: Ecuatia data se poate pune ın forma echivalenta
ð¥ (ð¡) âð¡â«
0
ð¥ (ð¢) sin 4 (ð¡â ð¢) ðð¢ = 2 sin 4ð¡.
Transformata Laplace a membrului drept este
â [2 sin 4ð¡] =8
ð2 + 16,
iar ın partea stanga din teorema lui Borel rezulta
â
â¡â£ ð¡â«0
ð¥ (ð¢) sin 4 (ð¡â ð¢) ðð¢
â€âŠ (ð) = â [ð¥ (ð¡) * sin 4ð¡] (ð)
= ð (ð) · 4
ð2 + 16.
18
Atunci avem
ð (ð) âð (ð) · 4
ð2 + 16=
8
ð2 + 16,
de unde obtinem
ð (ð) =8
ð2 + 12=
8
ð2 +(2â
3)2 =
8
2â
3· 2
â3
ð2 +(2â
3)2
Prin urmare solutia ecuatiei date este
ð¥ (ð¡) =8
2â
3· sin
(2â
3ð¡)
=4â
3
3· sin
(2â
3ð¡).
Problema 9
Rezolvati problema Cauchyâ§âªâªâªâšâªâªâªâ©ð¥â²â² + ð¡ð¥â² â ð¥ = 0
ð¥ (0) = 0
ð¥â² (0) = 1
,
folosind transformata Laplace.
Solutie: Aplicam transformata Laplace si obtinem
â [ð¥] (ð) = ð (ð) ,
â [ð¡ð¥â²] (ð) = â [ðð (ð)]â²+ ð¥ (0) =
= âð (ð) â ðð â² (ð)
â [ð¥â²â²] (ð) = ð2ð (ð) â ðð¥ (0) â ð¥â² (0)
= ð2ð (ð) â 1,
de unde rezulta
ð â² (ð) +2 â ð2
ð·ð (ð) = â1
ð.
De remarcat faptul ca atunci cand ecuatia diferentiala are coeficienti caredepind de ð¡, imaginea ecuatiei in domeniul frecventa va fi tot o ecuatia diferen-tiala. Ecuatia din domeniul frecventa nu este intotdeauna mai usor de rezolvatdecat cea initiala ! In cazul nostru insa, avem o ecuatie neomogena liniara deordinul intai, de forma generala
ð â² (ð) + ð (ð) ·ð (ð) = ð (ð)
care are solutia generala
ð (ð) = ðâ
â«ð (ð) ðð
â¡â¢â£ð +
â«ð (ð) · ð
â«ð (ð) ðð
ðð
â€â¥âŠ .
19
In cazul nostru avem ð (ð) =2 â ð2
ðsi ð (ð) = â1
ð, de unde dupa ınlocuirea
ın solutia generala rezulta
ð (ð) = ð · ðð2
2
ð2+
1
ð2.
Intrusul este constanta ð si trebuie eliminat. Pentru aceasta avem nevoie deinformatii suplimentare. Avem in maneca cativa asi: conditiile initiale si teo-remele valorii initiale/ finale. Daca tinem cont de conditia ð¥ (0) = 0, atunciconform teoremei valorii initiale
limð¡â0ð¡>0
ð¥(ð¡) = limðââ
ð · â[ð¥(ð¡)](ð)
prin urmare limðââ
ð ·ð(ð) = 0 si fenomenul are loc doar daca impunem conditia
ð = 0, ceea ce conduce in final la ð (ð) =1
ð2.
In concluzie, solutia ecuatiei este functia original
ð¥ (ð¡) = ââ1 [ð(ð)] (ð¡) = ð¡
Probleme propuse
A. Consolidare cunostinte
Problema A.1. Studiati modul in care convolutia imbunatateste din punct devedere matematic comportamentul semnalului puls dreptunghiular
Î (ð¡) =
{1, |ð¡| < 1
2
0, altfel
argumentand matematic ceea ce acest gif exprima, si anume relatia
(Î * Î )(ð¡) = Î(ð¡)
unde Î este semnalul puls triunghiular
Î(ð¡) =
{1 â |ð¡|, |ð¡| †1
0, altfel
20
Folositi articolul Wikipedia pentru a vizualiza corect produsul de convolutie siargumentati mai departe faptul ca semnalul (Î * Î * Î )(ð¡) arata precum indesenul de mai jos
B. Tehnica de calcul
Problema B.1. Aflati transformata Laplace a urmatoarelor functii
i) ð(ð¡) = ðâ3ð¡ cos(2ð¡)
ii) ð(ð¡) = cos(2ð¡â 3)
iii) ð(ð¡) = sin ð¡ cos(3ð¡)
iv) ð(ð¡) = ð¡3 sinh(2ð¡)
Problema B.2. Gasiti functia original pentru urmatoarele transformari:
i) ð¹ (ð) =1
ð3 â 5ð2 + 6ð
ii) ð¹ (ð) =7ð2 â 2ð
(ð2 + 4)(ð2 â 9)
Problema B.3. Rezolvati problema Cauchyâ§âªâªâªâšâªâªâªâ©ð¥â²â² â ð¥â² â 6ð¥ = 0
ð¥ (0) = 0
ð¥â² (0) = â1
,
folosind tehnica transformarii Laplace.
Problema B.4. Rezolvati ecuatia ð¥â²â²â² + 2ð¥â²â² + 2ð¥â² + ð¥ = 1, cu datele initialeð¥ (0) = ð¥â² (0) = ð¥â²â² (0) = 0.
21
Problema B.5. Rezolvati sistemul de ecuatii diferentialeâ§âšâ© ð¥â² + 4ð¥ + 4ðŠ = 0, ð¥ (0) = 3
ðŠâ² + 2ð¥ + 6ðŠ = 0, ðŠ (0) = 15.
Problema B.6. Rezolvati ecuatia integrala
ð¥â² (ð¡) =
ð¡â«0
ð¥ (ð¢) cos (ð¡â ð¢) ðð¢, cu ð¥ (0) = 1.
Problema B.7. Rezolvati problema Cauchyâ§âªâªâªâšâªâªâªâ©ð¡ð¥â²â² + ð¥â² + ð¥ = 0
ð¥ (0) = 1
ð¥â² (0) = â1
,
folosind transformata Laplace.
C. Probleme cu caracter practic-aplicativ
Problema C.1. Intr-o imagine noise-ul poate fi vazut ca fiind frecvente nedoritein reprezentarea imaginii in domeniul frecventelor. Eliminarea acestor frecventeducand la eliminarea noise-ului in domeniul spatial. Pentru aceasta se folosestetransformata Fourier 2-dimensionala
ð¹ (ð1, ð2) =1
2ð
â« â
ââ
â« â
ââð(ð¥, ðŠ)ðâð(ð1ð¥+ð2ðŠ) ðð¥ððŠ
Problema C.2. Problema circuite [Schaum Electric circuits]
22
Bibliografie
[1] M. Wickert. Signals and Systems for Dummies, Wiley&Sons, 2013.
[2] P. Cuff. ELE 201: Information Signals, Princeton University, SpringSemester, 2016-2017.
[3] Signal Processing stackexchange https://dsp.stackexchange.com/
[4] R. Negrea. Note de curs MS, 2020.
[5] C. Hedrea. Fise de seminar MS, 2015.
[6] O. Lipovan. Analiza Matematica: Calcul integral, Ed. Politehnica, 2007.
top related