alfiani a. tooy (georg cantor)
Post on 05-Dec-2014
399 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
2014
ALFIANI A. TOOY
11 310 715
VII/C
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Manado
SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
1
KATA PENGANTAR
Puji syukur patut dipanjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas penyertaanya
penulis telah menyelesaikan makalah Sejarah Matematika ini dengan pembahasan mengenai
“ GEORG CANTOR”
penulis menyadari bahwa dalam makalah ini masih terdapat kesalahan dan kekurangan
khususnya dalam pengelompokan kalimat, konsep penyusunan makalah, dan juga dalam penyajian
materi. Oleh karena itu kami memohon maaf kepada semua pihak yang membaca makalah ini dan
kiranya dapat memaklumi kekurangan dan keterbatasan penulis. Tentunya penulis sangat
mengharapkan kritik dan saran yang sifatnya membangun intelektual dan juga demi kesempurnaan
makalah ini.
Dalam kesempatan ini, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang
telah rela meluangkan waktu untuk memberikan dorongan sekaligus dukungan. Akhirnya, penulis
berharap semoga makalah sederhana ini dapat bermanfaat bagi kita semua.
Sekian dan terima kasih
Tondano, September 2014
Alfiani A. Tooy
SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
2
DAFTAR ISI
BAB I ( PENDAHULUAN ) 3
BAB II ( ISI )
A. Riwayat Singkat Georg Cantor 4
B. Kisah Hidup Georg Cantor 5
C. Kisah tentang penemuan teori 6
D. Pemikiran Cantor tentang Teori Himpunan 6
E. Materi Teori Himpunan 7-16
BAB III ( PENUTUP )
Hikmah yang bisa dipetik dari Georg Cantor 17
DAFTAR PUSTAKA 18
SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
3
BAB I
PENDAHULUAN
Dahulu alam ini kosong dan manusia bukan merupakan elemen dari alam yang
terdahulu, tetapi sekarang manusia merupakan bagian dari dunia. Sedangkan dunia serta
alam raya merupakan himpunan yang tidak terpisahkan. Dengan adanya teori himpunan ini
kita tidak akan salah menempatkan suatu objek ke dalam himpunan. Teori himpunan sendiri
tidak hanya bermanfaat di bidang matematika, namun di bidang-bidang yang lain seperti
bidang biologi tentang klasifikasi makhluk hidup. Dalam bidang ekonomi pun teori
himpunan sangat bermanfaat dalam permintaan dan penawaran. Sebenarnya secara tidak
langsung dalam kehidupan sehari-hari kita selalu menggunakan konsep himpunan seperti
himpunan buku, motor, binatang, dan lain-lain. Konsep himpunan merupakan suatu konsep
yang amat penting dan juga amat mendasar bagi seluruh matematika. Namun banyak
diantara kita yang tidak mengetahui siapa pakar yang menemukan teori tersebut.
Sehingga untuk lebih mendalami pengetahuan tentang penemu teori himpunan maka
penulis akan membahas tentang GEORG CANTOR sebagai bapak Teori Himpunan itu
sendiri.
SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
4
BAB II
ISI
A. Riwayat Singkat
Georg Cantor (1845-1918)
adalah seorang matematikawan asal Jerman keturunan Yahudi.
Nama Lengkap Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor
Nama Ayah Georg Waldemar Cantor
Nama Ibu Maria Anna Bohm
Lahir St Petersburg, Russia 3 Maret 1845
Tahun 1856 Pindah Ke Jerman
Tahun 1860 Lulus sekolah dari Darmstadt
Tahun 1860-1862 Belajar di politeknik di Zurich
Than 1862-1863 Belajar di Universitas Zurich
Tahun 1867 Mendapat Gelar Doctor
Tahun 1869 Mengajar Teori Bilangan di Berlin
Tahun 1872 Bertemu Richard Dedekind
Tahun 1873 Mengajarkan TEORI HIMPUNAN
Tahun 1874 Menikah dengan Valley Guttman.
Tahun 1879 Diangkat menjadi guru besar di Helle University
Tahun 1918 ( Wafat ) Halle, Jerman 6 Januari
SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
5
B. Kisah Hidup Georg Cantor
Ayah Georg Cantor adalah saudagar kaya-raya dari agama Protestan dan ibunya
berasal dari keluarga pemusik dan beragama Katolik. Ayahnya seorang pedagang
yang berhasil, bekerja sebagai agen wholesaling di jalan Petersburg, kelak sebagai
makelar pasar bursa di jalan Petersburg. Georg Waldemar Cantor lahir di Denmark dan
dia seorang pria yang sangat cinta pada budaya dan seni. Ibu Georg, adalah orang
Rusia yang sangat tertarik pada musik. Setelah pendidikan awal di rumah dari guru pribadi,
Cantor bersekolah di sekolah dasar di jalan Petersburg, kemudian pada tahun 1856, ketika
berusia sebelas tahun keluarganya pindah ke Jerman.
Pada mulanya mereka hidup di Wiesbaden, kemudian mereka pindah ke Frankfurt.
Cantor belajar di Darmstadt dan lulus pada tahun 1860, dengan keahlian luar biasa
di bidang matematika, khususnya trigonometri. Setelah dari Darmstadt dia masuk
politeknik di Zurich hingga tahun1862. Pada tahun 1862 Cantor meminta izin sang ayah
untuk belajar matematika di universitas dan dia sangat gembira ketika akhirnya sang ayah
menyetujuinya. Tetapi karena kematian sang ayah pada Bulan Juni 1863 dia mengakhiri
belajarnya di Zurich. Cantor akhirnya pindah ke universitas Berlin dimana
dia berteman dengan Hermann Schwarz. Setelah menerima gelar doktor pada tahun 1867,
Pada tahun 1869 dia menyajikan tesisnya tentang teori bilangan. Cantor mengajar di Berlin
di Universitas Halle sampai akhir hidupnya. Mula-mula ia hanya digaji sebagai dosen tak
tetap. Pada umur 27 tahun (1872) ia diangkat jadi guru besar pembantu. Cantor kawin pada
umur 29 tahun di Interlaken, Swiss, dengan Valley Guttman. Baru pada umur 34 tahun
(1879) ia diangkat jadi guru besar tetap. Meskipun gajinya kecil, ia dapat membangun
rumah untuk istri karena mendapat warisan dari ayahnya.
C. Kisah Tentang Penemuan Teori
Teori himpunan merupakan dasar matematika yang tepat. Sekitar tahun 1867 dan
1871, Cantor menerbitkan sejumlah artikel tentang topik teori bilangan. Suatu kejadian yang
sangat penting terjadi sekitar tahun 1872 ketika Cantor melakukan perjalanan ke Swiss.
Cantor bertemu Richard Dedekind yang kemudian tumbuh persahabatan di antara
merekaCantor pindah dari teori bilangan ke karya seri trigonometri. karya ini berisi ide-ide
Cantor tentang teori himpunan dan juga tentang bilangan irrasional.
SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
6
Pada tahun 1873 pada umur 28 tahun, Cantor mengumumkan teorinya.Selama 10
tahun ia terus-menerus menyebarluaskan teorinya dalam tulisan- tulisannya. Teori himpunan
dan Konsep Bilangan Transfinit-nya menggemparkan dunia matematika. Tapi penemuannya
itu tidak menguntungkan Cantor. Ia mendapat tantangan hebat dari ahli-ahli matematika
pada waktu itu, terutama dari bekas gurunya, ialah Kronecker. Ia merasa lebih berjasa. Ia
merasa telah bekerja keras. Ia merasa telah menemukan teori matematika yang besar. Ia
mengharapkan penghargaan. Ia menginginkan pengakuan. Tapi apa yang ia terima malah
dampratan, kecaman pedas, dan penghinaan. Ia sama sekali tidak menduga akan mendapat
sambutan semacam itu. Ia sangat terkejut.
Sekitar tahun 1874, Cantor menerbitkan artikel di jurnal Crelle yang mana menandai
kelahiran teori himpunan. Karya delanjutnya diserahkan oleh Cantor ke jurnal Crelle pada
tahun 1878 tetapi menjadi kontroversi. Kronecker yang berada di redaksi Jurnal Crelle tidak
suka dengan karya Cantor, yang mana membuat Cantor ingin menariknya kembali namun
Dedekind membujuknya untuk tidak menarik karya tersebut dan Weierstrass mendukung
publikasi. Akhirnya karya tersebut diterbitkan, namun karya yang selanjutnya tidak
diserahkan ke Jurnal Crelle.
D. Pemikiran Cantor tentang Teori Himpunan
Georg Cantor memberikan suatu contoh tentang berbagai himpunan bagian dari garis
riil dengan sifat yang tidak wajar yaitu himpunan Cantor. Dalam perkembangannya
himpunan ini sering digunakan sebagai contoh penyangkal (counter example), karena sifat-
sifatnya yang tak wajar tersebut merupakan akibat dari penggabungan teori himpunan,
topologi dan fraktal. Himpunan ini mempunyai sifat-sifat yang unik dan secara topologis
dianggap tak berdimensi. Himpunan Cantor, dikonstruksikan sebagai bentuk di mana selang
terbuka yang pendek dan semakin pendek tersebar pada selang dasar [ 0,1 ] menyisakan
himpunan yang mungkin serupa dirinya, dan mungkin mempunyai suatu dimensi s yang
memenuhi 0 < s < 1. Dalam usahanya untuk memahami dimensi himpunan Cantor,
matematikawan seperti Constantin Carathéodory dan Felix Hausdorff menggeneralisasi
konsep dimensi untuk menyelidiki bahwa dimensi yang ada mungkin nilainya adalah non
integer. Hal ini merupakan bagian dari perkembangan yang bertujuan menciptakan teori
himpunan deskriptif. Dimensi Hausdorff ini diperkenalkan tahun 1918 oleh matematikawan
Felix Hausdorff.
SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
7
E. Materi Teori Himpunan
Dalam upaya untuk melakukan pengamatan, pengumpulan, penghimpunan, atau
pemisahan (mengklasifikasikan) dari suatu obyek-obyek menurut sifatnya. Perlu adanya
pengertian tentang himpunan. Menghimpun adalah suatu kegiatan yang berhubungan
dengan berbagai obyek dan mempunyai suatu sifat yang dimiliki bersama.
Jadi himpunan adalah kumpulan dari obyek-obyek yang mempunyai sifat tertentu
dan didefinisikan secara jelas. Kumpulan itu dapat berupa daftar, koleksi atau kelas.
Sedangkan obyek-obyek dalam kumpulan itu dapat berupa benda konkrit atau benda
abstrak, seperti: bilangan, abjad, orang, sungai, negara. Obyek-obyek ini di sebut anggota,
unsur atau elemen dari himpunan tersebut.
Karena obyek-obyek dalam himpunan telah didefinisikan dengan jelas , sehingga kita
dapat membedakan obyek yang menjadi anggota himpunan dan yang bukan menjadi anggota
himpunan.
Contoh :
1. Himpunan bilangan 1, 2, dan 3.
2. Himpunan vokal a, i, e, o, u.
3. Himpunan semua huruf dari abjad, yaitu a, i, u, e, o
4. Himpunan negara-negara asia tenggara.
5. Himpunan penyelesaian persamaan x2
– 2 x – 3 =0
6. Himpunan manusia yang hidup di bumi.
1. Simbol-simbol Baku
P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }
N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }
Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.
Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1,
3, 5}.
SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
8
2. Notasi Pembentuk Himpunan
Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Contoh
(i) A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5
A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5} atau
A = { x | x P, x < 5 }
yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}
(ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}
3. Diagram Venn
Contoh
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn:
U
1 2
53 6
8
4
7A B
4. Himpunan Kosong
Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).
Notasi : atau {}
Contoh
(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0
(ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0
(iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0
himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {}
himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {, {}}
{} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.
SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
9
5. Himpunan Bagian (Subset)
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap
elemen A merupakan elemen dari B.
Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
Notasi: A B
Diagram Venn:
U
AB
Contoh
(i) { 1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {1, 2, 3} {1, 2, 3}
(iii) N Z R C
(iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x , y 0 } dan
B = { (x, y) | 2x + y < 4, x 0 dan y 0 }, maka B A.
A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya
(improper subset) dari himpunan A.
Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan adalah improper subset dari A.
TEOREMA 1
Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:
(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A).
(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A).
(c) Jika A B dan B C, maka A C
SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
10
A B berbeda dengan A B
A B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A B.
A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.
Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}
A B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian
(subset) dari B yang memungkinkan A = B.
6. Himpunan yang Sama
A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap
elemen B merupakan elemen A.
A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika
tidak demikian, maka A B.
Notasi : A = B A B dan B .
Contoh
(i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B
(ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B
(iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A B
Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:
(a) A = A, B = B, dan C = C
(b) jika A = B, maka B = A
(c) jika A = B dan B = C, maka A = C
7. Himpunan yang Ekivalen
Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari
kedua himpunan tersebut sama.
Notasi : A ~ B A = B
Contoh
Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab A = B = 4
8. Himpunan Saling Lepas
Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki
elemen yang sama.
SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
11
Notasi : A // B
Diagram Venn:
U
A B
Contoh
Jika A = { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.
9. Himpunan Kuasa
Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya
merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A
sendiri.
Notasi : P(A) atau 2A
Jika A = m, maka P(A) = 2m.
Contoh
Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}
Contoh
Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P() = {}, dan himpunan kuasa dari
himpunan {} adalah P({}) = {, {}}.
10. Operasi Terhadap Himpunan
a. Irisan (intersection)
Notasi : A B = { x x A dan x B }
SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
12
Contoh
Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4, 10}
Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = . Artinya: A // B
b. Gabungan (union)
Notasi : A B = { x x A atau x B }
Contoh
Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 }
A = A
c. Komplemen (complement)
Notasi : A = { x x U, x A }
Contoh
Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },
jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 6, 8}
jika A = { x | x/2 P, x < 9 }, maka A= { 1, 3, 5, 7, 9 }
SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
13
Contoh
Misalkan:
A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri
B = himpunan semua mobil impor
C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990
D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta
E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu.
(i) “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar
negeri” (E A) (E B) atau E (A B)
(ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai
jualnya kurang dari Rp 100 juta” A C D
(iii)“semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp
100 juta” BDC
d. Selisih (difference)
Notasi : A – B = { x x A dan x B } = A B
Contoh
(i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 },
maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A =
(ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}
SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
14
e. Beda Setangkup (Symmetric Difference)
Notasi: A B = (A B) – (A B) = (A – B) (B – A)
Contoh
Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }
Contoh
Misalkan
U = himpunan mahasiswa
P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80
Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80
Soal
Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80,
mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di
bawah 80.
(i) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P Q
(ii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P Q
(iii) “Ssemua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P Q)
f. Perkalian Kartesian (cartesian product)
Notasi: A B = {(a, b) a A dan b B }
Contoh
(i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka
C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
(ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka
A B = himpunan semua titik di bidang datar
Catatan:
1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: A B = A . B.
TEOREMA 2.
Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:
(a) A B = B A (hukum komutatif)
(b) (A B ) C = A (B C ) (hukum asosiatif)
SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
15
2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) (b, a).
3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A B B A dengan syarat A atau B tidak
kosong. Pada Contoh 20(i) di atas, D C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) }
C D.
4. Jika A = atau B = , maka A B = B A =
Contoh
Misalkan
A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus }
B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet }
Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan
di atas?
Jawab:
A B = AB = 4 3 = 12 kombinasi dan minuman,
yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}.
Contoh
Daftarkan semua anggota himpunan berikut:
(a) P() (b) P() (c) {} P() (d) P(P({3}))
Penyelesaian:
(a) P() = {}
(b) P() = (ket: jika A = atau B = maka A B = )
(c) {} P() = {} {} = {(,))
(d) P(P({3})) = P({ , {3} }) = {, {}, {{3}}, {, {3}} }
g. Himpunan Ganda
Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan
ganda (multiset).
Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}.
Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan
elemen tersebut pada himpunan ganda. Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 },
multiplisitas 0 adalah 4.
Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini
multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1.
SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
16
Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sebagai kardinalitas himpunan
padanannya (ekivalen), dengan mengasumsikan elemen-elemen di dalam multiset
semua berbeda.
h. Hukum-hukum Himpunan
1. Hukum identitas:
A = A
A U = A
2. Hukum null/dominasi:
A =
A U = U
3. Hukum komplemen:
A A = U
A A =
4. Hukum idempoten:
A A = A
A A = A
5. Hukum involusi:
)(A = A
6. Hukum penyerapan (absorpsi):
A (A B) = A
A (A B) = A
7. Hukum komutatif:
A B = B A
A B = B A
8. Hukum asosiatif:
A (B C) = (A B) C
A (B C) = (A B) C
9. Hukum distributif:
A (B C) = (A B)
(A C)
A (B C) = (A B)
(A C)
10. Hukum De Morgan:
BA = BA
BA = BA
11. Hukum 0/1
= U
U =
SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
17
BAB III
KESIMPULAN
Beberapa hikmah yang mungkin bisa kita petik dari Georg Cantor sebagai beikut :
1. Barangsiapa yang bersungguh-sungguh untuk mencapai apa ayng diinginkan,
maka ia akan mendapatkan apa yang diinginkan
2. Salah satu ciri orang yang cerdas dan kreatif adalah selalu mempertanyakan
segala sesuatu yang ada disekitarnya. Misalnya, mengapa ada kelompok-
kelompok hewan? Mengapa ada kelompok tumbuhan? Mengapa ada pembagian
wilayah waktu? Mengapa ada hewan yang hidupnya diair tawar dan diair laut?
Mengapa ada pengelompokan kelas disekolah dll.
3. Kita harus selalu bersyukur atas semua nikmat apapn yang diberikan Tuhan
kepada kita. Nikmat hidup, nikmat dapat melihat, nikmat dapat mendengar,
nikmat rezeki dan banyak lagi lainnya.
4. Hidup didunia ini memang untuk memecahkan masalah dan hambatan. Setiap
manusia pastilah mempunyai masalah yang membuat hidupnya. Kadangkala
senang dan kadangkala susah. Jika seseorang mampu melewati dan memecahkan
masalah dan hambatan yang dihadapinya dengan baik dan sabar, maka ia
termasuk orang yang mensyukuri nikmat Tuhan.
SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
18
DAFTAR PUSTAKA
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.2014. Matematika: buku guru /
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. Edisi Revisi. Jakarta :
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
http://eprints.undip.ac.id/36043/3/4_pendahuluan.pdf
(diakses tanggal 20 agustus 2014 pukul 08.30 )
http://www.biografi-tokoh.com/2013/05/biografi-georg-cantor-penemu-teori.html
(diakses tanggal 20 agustus 2014 pukul 18.00 )
http://id.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor
(diakses tanggal 21 agustus 2014 pukul 09.00 )
http://belajarmenyukaimatematika.blogspot.com/2012/05/georg-ferdinand-ludwig-
philipp-cantor.html
(diakses tanggal 21 agustus 2014 pukul 18.00 )
http://vita-sd.blogspot.com/2012/05/tugas-sejarah-matematika-ke-8.html
(diakses tanggal 21 agustus 2014 pukul 18.30 )
top related