Álgebra lineal y cálculo unidades 4 y 5 (1)
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FUNDACIÓN EDUCATIVA SAN NICOLÁSFESNI
ÁLGEBRA LINEAL Y CÁLCULO 21/04/2023
UNIDAD 4. LÍMITES
4.1 DEFINICIÓN DE LÍMITE
El límite de una función f (x) es un valor aproximado a L cuando x se aproxima a un valor c. Esto es:
limx→c
f ( x )=L
La forma elemental de encontrar el límite de una función es sustituir x por el valor de c. Sin embargo algunas veces, esto no es posible y, se generan lo que llamamos indeterminaciones o inconsistencias que se deben resolver aplicando otros métodos.
Ejemplos:
Hallar limx→1
(2x+3 )
Sustituimos el valor de tendencia y encontramos el resultado:
limx→1
(2x+3 )=(2 (1 )+3 )
limx→1
(2x+3 )=5
Hallar
limx→3
x+1x−2
Sustituimos el valor de tendencia y encontramos el resultado:
limx→3
x+1x−2
= 3+13−2
=4
4.2 SOLUCIÓN DE INCONSISTENCIAS
Cuando verificamos una sustitución del valor de tendencia en el límite de una función y nos encontramos con una inconsistencia del tipo 0/0,… debemos resolverlo bien sea, aplicando factorización, conjugadas u otro método
Ejemplo: Hallar
limx→−2
x2−4x2+5 x+6
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Al sustituir x por -2 tenemos:
limx→−2
x2−4
x2+5 x+6=
(−2 )2−4(−2 )2+5(−2)+6
limx→−2
x2−4
x2+5 x+6= 4−44−10+6
limx→−2
x2−4
x2+5 x+6=00
Y obtenemos una indeterminación, la cual podemos resolver factorizando las expresiones del numerador y del denominador:
limx→−2
x2−4x2+5 x+6
=( x−2 ) (x+2 )( x+3 ) ( x+2 )
Cancelamos factores semejante en el numerador y denominador, y sustituimos el valor de tendencia:
limx→−2
x2−4x2+5 x+6
=(−2−2 )(−2+3 )
limx→−2
x2−4x2+5 x+6
=−4
4.3 CONJUGADO DE UN BINOMIO
El conjugado de un binomio es el mismo binomio, cambiando el signo del segundo término. Y sirve para resolver ciertas indeterminaciones de límites.
Ejemplo: Hallar
limx→ 4
2−√x4−x
Si sustituimos el valor de tendencia,
limx→4
2−√x4−x
=2−√44−4
=00
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Obtenemos una indeterminación que podemos resolver multiplicando, tanto el denominador como el numerador, por el conjugado del numerador
limx→4
2−√x4−x
=limx→4
2−√x4−x
∗2+√ x
2+√x=limx→4
(4−x )(4−x ) (2+√x )
Cancelamos factores semejantes, y nos queda:
limx→4
12+√ x
Sustituimos el valor de tendencia y obtenemos el resultado:
limx→ 4
1
2+√ x= 1
2+√4=14
4.4 EJERCICIOS
Evalué los siguientes límites
limx→3
x+1x−2
limx→−1
x2+4 x+3x2+3 x+2
limx→9
√x−3x2−81
limx→0
√ x+1−1x
limx→ 4
x2−3 x−42−√8−x
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limx→2
(3 x2+7 x−1 )
5. LA DERIVADA
5.1 DEFINICIÓN
La derivada de una función f(x) en el punto X = c es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.
dydx
= lim∆ x→ 0
∆ y∆ x
=¿ lim∆ x→ 0
f ( x+∆ x )−f (x)∆ x
¿
Ejemplo: Determinar f ’ (x ) si f ( x )=2x2+3 x+1
SOLUCIÓN:
Sea y=f ( x )=2 x2+3 x+1. Entonces
y+∆ y=f ( x+∆ x )=2 ( x+∆ x )2+3 ( x+∆ x )+1
¿2 [ x2+2 x ∆ x+ (∆ x )2 ]+3x+3∆ x+1
¿2 x2+4 x ∆ x+2 (∆x )2+3 x+3∆ x+1
¿2 x2+4 x ∆ x+2 (∆x )2+3 x+3∆ x+1
Restamos la función y para obtener ∆ y
∆ y=∆ x (4 x+3+2∆ x )
∆ y∆ x
=4 x+3+2∆ x
Y obtenemos, por definición, la derivada de la función
dydx
= lim∆ x→ 0
∆ y∆ x
=¿ lim∆ x→ 0
(4 x+3+2∆ x )¿
dydx
=4 x+3
RESOLVER POR DEFINICIÓNRedskull88@hotmail.com
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1. f ’ ( x ) si f ( x )=√x
2. Hallar la derivada de 4 x3−3 x2+7
5.2 FORMULAS BÁSICAS DE DERIVADAS
5.2.1 Derivada de una potencia
dydxc xn=cn xn−1
5.2.3 Derivada de una suma de funciones
d (u+v )dx
=dudx
+ dvdx
5.2.3 Derivada del producto de dos funciones
d (u . v )dx
=u dvdx
+v dudx
5.2.4 Derivada del cociente de dos funciones
d ( uv )dx
=vdudx
−u dvdx
v2
5.2.5 Derivada de una constante (c)
dcdx
=0
5.3 EJERCICIOS
Halle la derivada de las siguientes expresiones
√ x
4 x3−3 x2+7
2 x2+3 x+1
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4 x3+2+ 1x
2 x2−x3
( x+2 )3
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