algebra tp - cap 2 - determinantes
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ISEP – ALGAN – EMECAN 1
Conteúdo
2.1 Cálculo de determinantes de 2ª e 3ª ordens
2.2 Teorema de Laplace
2.3 Cálculo de determinantes usando propriedades
2.4 Exercícios de conclusão do capítulo
Capítulo 2 - Determinantes
ISEP – ALGAN – EMECAN 2
2.1 Cálculo de determinantes de 2ª e 3ª ordens
Exercícios resolvidos
1. Calcule o valor dos seguintes determinantes:
a) 2 1
3 -5
Δ = b) 3 1 21 1 0 2 4 1
−Δ = −
Resolução:
a) Determinante de 2ª ordem. Regra prática.
( )2 1
2 5 3 1 133 5
Δ = = × − − × = −−
.
b) Determinante de 3ª ordem. Regra de Sarrus.
( ) ( ) ( ) ( ) 3 -1 2 1 -1 0 3 1 1 1 4 2 2 1 0 1 1 1 3 4 0 2 1 2 10 2 4 1
3 -1 2 1 -1 0
Δ = = × − × + × × + × − × − × − × − × × − × − × =
Exercícios propostos
1. Calcule os valores dos seguintes determinantes:
1.1 12 3
4 5
−Δ = 1.2 2
1 2 12 0 31 1 1
−Δ =
−
1.3 3
1 4 03 1 21 0 1
Δ =
Soluções:
1.1 1 22Δ = . 1.2 2 7Δ = 1.3 3 3Δ = −
ISEP – ALGAN – EMECAN 3
Exercícios suplementares
1. Calcule os valores dos seguintes determinantes:
1.1 11 2
3 4
Δ = 1.2 2
1 0 00 1 00 0 1
Δ = 1.3 3
2 0 00 2 00 0 2
Δ =
Soluções:
1.1 1 2Δ = − . 1.2 2 1Δ = 1.3 3 8Δ =
ISEP – ALGAN – EMECAN 4
2.2 Teorema de Laplace
Exercícios resolvidos
1. Calcule, aplicando o teorema de Laplace, o valor do seguinte determinante:
1 2 1 02 3 1 1
1 1 4 21 1 1 0
−−
Δ =−
−
.
Resolução:
Aplicando o Teorema de Laplace à 4ª coluna vem: ( )14 24 34 440 1 2 0A A A AΔ = × + − × + × + × .
Cálculo dos complementos algébricos ijA e dos menores complementares ijM :
( )2 424 24 241A M M+= − = sendo 24
1 2 11 1 4 111 1 1
M−
= − = −−
( )3 434 34 341A M M+= − = − sendo 34
1 2 12 3 1 111 1 1
M−
= = −−
Assim, 11 2 11 33Δ = + × = .
Exercícios propostos
1. Considere a matriz 4 1 01 2 3 2 3 4
A⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦
.
1.1 Indique o menor complementar e o complemento algébrico do elemento 32a de A .
1.2 Calcule o valor de AΔ = utilizando o teorema de Laplace.
ISEP – ALGAN – EMECAN 5
2. Seja o determinante
1 1 2 30 3 2 02 1 3 04 2 1 1
−−
Δ =−− −
. Calcule o valor de Δ , aplicando o teorema de
Laplace:
2.1 à 2ª linha;
2.2 à 4ª coluna.
3. Calcule o valor do determinante
5 0 1 32 3 1 14 1 2 13 3 1 1
−
Δ =− −
−
aplicando o teorema de Laplace.
Exercícios suplementares
1. Considere a matriz
3
2
32
nx nz ny n x
A x y y n x
ny nx ny nx n x
⎡ ⎤+⎢ ⎥
= +⎢ ⎥⎢ ⎥
− − −⎢ ⎥⎣ ⎦
.
1.1 Indique o menor complementar e o complemento algébrico do elemento 32a de A .
1.2 Calcule o valor do complemento algébrico do elemento 31a de A .
2. Calcule o valor dos seguintes determinantes aplicando o teorema de Laplace:
2.1 11 23 4− −
Δ =− −
2.2 2
0 2 51 0 2
1 2 3Δ = − 2.3 3
2 1 0 30 2 1 42 2 1 1
0 1 3 1
−
Δ =−
Soluções:
1.1 324 0
1 3
M =−
e ( )3 232 321A M+= − 1.2 6Δ = −
2.1 105Δ = 2.2 105Δ =
3. 33Δ =
ISEP – ALGAN – EMECAN 6
Soluções:
1.13
32 2 nx nz n x
Mx y n x
+=
+ e ( )3 2
32 321A M+= − 1.2 31 0A =
2.1 1 2Δ = − 2.2 2 0Δ = 2.3 3 22Δ = −
ISEP – ALGAN – EMECAN 7
2.3 Cálculo de determinantes usando propriedades
Exercícios resolvidos
1. Considere o seguinte determinante
1 2 3 41 7 8 90 3 2 41 6 11 6
.
1.1 Sem calcular o valor do determinante, represente um determinante de 3ª ordem de
valor igual ao determinante dado.
1.2 Calcule o valor do determinante, aplicando apenas propriedades.
Resolução:
1.1 Se aplicarmos o Teorema de Laplace a qualquer uma das filas do determinante dado,
obtém-se sempre uma soma de vários determinantes e não um único como é pretendido.
Então, vamos aplicar as propriedades dos determinantes de forma a obtermos uma fila com
apenas um elemento não nulo.
Aplicando a 8ª propriedade:
( )1 1
2 2 14 14
1 2 3 4 1 2 3 45 5 5 5 5 5
1 7 8 9 0 5 5 5 1 1 3 2 4 3 2 4
0 3 2 4 0 3 2 44 8 2 4 8 2
1 6 11 6 0 4 8 2L L LL LL
+
← −← −
= = × − =
Então 5 5 5
3 2 4 4 8 2
é um determinante de 3ª ordem de valor igual ao determinante dado.
1.2 Vamos anular todos os elementos que estão acima ou abaixo da diagonal principal, para
depois utilizando a 9ª propriedade fazermos o produto dos elementos da diagonal principal,
obtendo o valor pretendido.
Anulando coluna a coluna, começamos da esquerda para a direita e nunca passamos à coluna
seguinte sem anularmos todos os elementos da coluna anterior. O elemento redutor é sempre
o elemento da coluna que estamos a trabalhar e que se encontra na diagonal principal.
Na 1ª coluna o elemento redutor é 1.
ISEP – ALGAN – EMECAN 8
2 2 14 4 1
1 2 3 4 1 2 3 41 7 8 9 0 5 5 5
0 3 2 4 0 3 2 41 6 11 6 0 4 8 2L L L
L L L← −← −
= =
O elemento redutor é agora 5. Para reduzir a zero os elementos 32a e 42a teríamos de
trabalhar com números fraccionários. Para evitar isso, dividimos a 2ª linha por 5. Dividindo
também a 4ª linha por 2 vem:
32
3 3 24 4 2
1 2 3 4 1 2 3 40 1 1 1 0 1 1 1
5 2 10 0 3 2 4 0 0 1 10 2 4 1 0 0 2 1L L L
L L L← − ×← − ×
= × × = × =−
−
Na 3ª coluna o elemento redutor é -1. Fica então:
24 4 3
1 2 3 4 1 2 3 40 1 1 1 0 1 1 1
10 10 0 0 1 1 0 0 1 10 0 2 1 0 0 0 1L L L← + ×
= × = × =− −
−
Utilizando agora a 9ª propriedade (o determinante de uma matriz triangular superior ou
inferior é igual ao produto dos elementos da diagonal principal) fica:
( )10 1 1 1 1 10= × × × − × = − .
2. Mostre utilizando apenas propriedades, que é nulo o seguinte determinante
1 5 4 2 12 1 3 5 14 9 11 1 30 2 1 0 01 1 1 1 1
−−
− −
− − −
.
Resolução:
Aplicando a 8ª propriedade vem:
22 2 1
1 5 4 2 1 1 5 4 2 12 1 3 5 1 4 9 11 1 3
04 9 11 1 3 4 9 11 1 30 2 1 0 0 0 2 1 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1L L L← + ×
− −− − −
= =− − − −
− − − − − −
, porque o determinante tem
duas linhas iguais.
ISEP – ALGAN – EMECAN 9
3. Resolva a seguinte equação: 1 1
1 1 01 1
bb
b= .
Resolução:
Pela regra de Sarrus obtemos 31 1
1 1 0 3 2 01 1
bb b b
b= ⇔ − + = , ou seja, temos que
determinar as raízes de um polinómio do 3º grau.
Para evitarmos este método, vamos obter uma matriz diagonal para podermos aplicar a 9ª
propriedade à resolução do determinante.
( )
1 1 2 1 1 3
1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1
1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1C C C C C C
b b b b b bb b b b b b
b b b← + ← +
+ += = + = + =
+ +
Vamos agora anular abaixo da diagonal:
( ) ( ) ( )2 2 1 3 23 3 1
1 1 1 1 1 12 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1
1 1 1 0 1 0 0 0 1L L L C CL L L
b b bb b b b b b b b
b b← − ↔← −
= + = + − − = − + − − =− −
( )( )( )2 1 1b b b= − + − −
A equação a resolver é então:
( )( )( )2 1 1 0 2 1b b b b b− + − − = ⇔ = − ∨ = (raiz dupla).
Exercícios propostos
1. Sem efectuar cálculos, diga qual o valor dos seguintes determinantes, indicando as
propriedades utilizadas:
1.1 1
1 2 10 0 09 7 3
Δ = 1.2 2
1 0 00 2 00 0 3
Δ = 1.3 3
1 0 010 2 020 30 3
Δ =
2. Sabendo que 1 2 3
2 1 4 50 3 5− = − , diga, justificando qual o valor dos determinantes:
ISEP – ALGAN – EMECAN 10
2.1 1
1 2 6 2 1 8
0 3 10Δ = − 2.2 2
1 2 32 1 4 0 6 10
Δ = − 2.3 3
2 4 6 4 2 8
0 6 10Δ = −
2.4 4
2 1 3 1 2 4
3 0 5Δ = − 2.5 5
2 1 40 3 5 1 2 3
−Δ =
3. Calcule os seguintes determinantes, utilizando apenas as propriedades:
3.1 1
1 2 51 0 2
1 2 3Δ = − 3.2 2
1 1 0 32 1 2 12 1 1 1
0 1 3 1
−−
Δ =− −
3.3 3
2 1 0 30 2 1 42 2 1 1
0 1 3 1
−
Δ =−
3.4 4
4 0 1 30 2 2 12 2 1 1
0 1 0 1
−Δ =
− 5.5 5
1 0 0 0 02 1 0 0 00 2 1 2 00 0 2 1 20 0 0 2 1
Δ =
4. Seja 2 2 36 0 22 1 1
A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
e 6 3 24 4 24 4 4
B⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
. Sabendo que 1 10AΔ = = e que 2 24BΔ = = ,
diga qual o valor de:
4.1 3 A BΔ = × 4.2 4 B AΔ = × 4.3 15 A−Δ = 4.4 ( )car B
5. Seja
5 0 1 32 3 1 1
4 1 2 13 3 1 1
−
Δ =− −
−
.
5.1 Calcule o valor do determinante aplicando propriedades.
5.2 Com base no determinante dado encontre:
5.2.1 um determinante de 5ª ordem sem elementos nulos e de valor igual a −Δ ;
5.2.2 um determinante de 3ª ordem, cujos elementos da 2ª linha sejam todos iguais a
1 e de valor igual a 2Δ .
ISEP – ALGAN – EMECAN 11
6. Calcule os seguintes determinantes, utilizando apenas propriedades:
6.1 1 a b cc a bb a c
Δ = 6.2 2
a b c da b c da b c da b c d
− − −Δ =
− −−
7. Decomponha o determinante 2
1 32 4
2
x xx x
x x x
+Δ = num produto de factores.
8. Resolva as equações:
8.1 1
02 13 2 1
x x x xx x x
x xx
= 8.2 1 1 1
2 1 06 1 11
x xx x x
x
+ − − −+ − + =− −
Soluções:
1.1 1 0Δ = 1.2 2 6Δ = 1.3 3 6Δ =
2.1 1 10Δ = − 2.2 2 10Δ = − 2.3 3 40Δ = − 2.4 4 5Δ = 2.5 5 5Δ = −
3.1 1 4Δ = − 3.2 2 30Δ = 3.3 3 22Δ = − 3.4 4 22Δ = 3.5 5 7Δ = −
4.1 3 240Δ = 4.2 4 240Δ = 4.3 51
10Δ = 4.4 ( ) 3car B =
5.1 33Δ = 5.2.1 Por ex.
1 2 4 2 25 5 5 1 32 2 5 1 14 4 3 2 13 3 6 1 1
−
−−
5.2.2 Por ex. 0 10 241 1 1 0 5 3 13 5
−
− −
6.1 ( )( )( )1 a b c a b c bΔ = + + − − 6.2 2 8abcdΔ = −
7. ( )( )( )1 2 2x x x xΔ = − − +
8.1 0 1x x= ∨ = 8.2 5 3 1x x x= ∨ = − ∨ = −
ISEP – ALGAN – EMECAN 12
Exercícios suplementares
1. Sabendo que 3 0 2 11 1 1
x y z= calcule o valor de:
1.1 1 3 3 3 3 2 1 1 1
x y zx y zx y z
Δ = + ++ + +
1.2 2
1 1 14 1 3 1 1 1
x y z− − −Δ =
2. Decomponha os determinantes seguintes num produto de factores:
2.1 1
2a a aa b b aa c b a
Δ = ++
2.2 2
1 21 2
1 2
2 1
x yx y
x yy x
Δ =
3. Com base no determinante 1Δ dado e sem o resolver, encontre um outro determinante 2Δ ,
apenas com elementos inteiros tal que 2 1kΔ = Δ , com k real, e determine o valor de k .
1
2 3 1 6 21 2 3 4 1
1 3 4Δ =
4. Com base no determinante dado e sem o resolver, encontre um outro determinante de 4ª
ordem com valor simétrico do dado e apenas com elementos positivos.
2 3 11 2 4 4 1 2
Δ =
5. Sem aplicar a regra de Sarrus nem o teorema de Laplace, mostre que:
( )
2 3 2 2
2 8 4 7 1 4 7 2 4 2 8 2 1 2 2 8 3 2 1 9 3 1 9
x x x xx x xx
−− = −−
6. Sem calcular o valor dos determinantes 1Δ e 2Δ , escreva um outro determinante Δ , de
modo que 1 2Δ = Δ + Δ :
ISEP – ALGAN – EMECAN 13
1
1 2 3 41 7 8 90 3 2 41 6 11 6
Δ = 2
3 4 23 2 4 4 8 2
Δ =
7. Recorrendo apenas às propriedades dos determinantes, demonstre que o valor de Δ é
constante, sendo
2
2
2
1 0 2
2 4 4 4
3 5 6 5 1
y
y y
y y
Δ = −
− +
.
8. Considere 1 2 1
1 4 3 1 2 1
−Δ =
−. Sem calcular Δ , escreva uma matriz A de ordem 4 tal que
A tenha um terço do valor de Δ , com elementos todos negativos e em que os elementos da
terceira linha sejam iguais a -3.
9. Mostre, utilizando propriedades, que 0x = é raiz da equação:
0 0 0
0
x a x bx a x cx b x c
− −+ − =+ +
; , ,a b c∈ .
10. Considere o determinante:
1 1 0 11 3 1 2
1 3 2 11 1 4 0
−Δ =
−− −
. Mostre que 1π −Δ < , aplicando o
teorema de Laplace à terceira coluna.
11. Sendo
2 2
2 21
2 2
2
3
4
a a a
b b b
c c c
Δ = e
2 2
2 22
2 2
3 4
4 6
5 8
a a a
b b b
c c c
Δ = , verifique, sem resolver os
determinantes, que 2 12Δ = Δ .
12. Seja A uma matriz ortogonal, isto é, TAA =−1 . Mostre que 1±=A .
ISEP – ALGAN – EMECAN 14
Soluções:
1.1 1 1Δ = 1.2 2 1Δ =
2.1 ( )( )1 a a b c bΔ = − − 2.2 ( )( )( )( )2 3 1 2 2x y x y xΔ = + + − − −
3. 2
4 1 122 3 4 1 3 4
Δ = ; 24k =
4. Por ex:
1 4 4 41 2 1 3
1 3 3 71 6 2 5
′Δ =
6. 8 9 7
3 2 4 4 8 2
Δ =
7. 4Δ =
8. Por ex:
4 9 1 3 7 9 2 33 3 5 73 3 3 35 3 5 5
A
− − − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥=⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦
10. 6Δ = logo 66
1 1ππ
− = <
ISEP – ALGAN – EMECAN 15
2.4 Exercícios de conclusão do capítulo
1. Seja
1 0 1 12 1 1 30 1 1 21 1 2 1
⎡ ⎤−⎢ ⎥
−⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
A e Δ = A .
1.1 Calcule Δ , aplicando propriedades.
1.2 Com base no determinante Δ escreva um determinante 'Δ de 2ª ordem, de valor o
triplo de Δ e com os elementos da 2ª coluna iguais a 1.
2. Aplicando as propriedades dos determinantes, calcule:
1 2 3 42 2 3 42 3 2 12 3 4 1
Δ = .
3. Aplicando as propriedades, prove que
1 2 0 65 3 8 20 1 2 60 0 5 4
Δ = é múltiplo de 3.
4. Seja 1 1 10 2 11 0 1
A−⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
e AΔ = . Com base no determinante Δ escreva um determinante
1Δ de 4ª ordem, de valor igual ao triplo de ∆ e sem elementos nulos.
5. Seja 1
1 5 23 0 2
0 3 4
−Δ = − e 2
1 1 13 0 2
0 3 4Δ = − . Com base nos determinantes 1Δ e 2Δ e sem
determinar o seu valor, escreva um determinante Δ de 4ª ordem tal que: 1 2Δ = Δ + Δ .
ISEP – ALGAN – EMECAN 16
6. Considere a seguinte matriz: 33
3
a bb a
b a
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
A , ,a b∈ .
6.1 Calcule Δ = A utilizando apenas propriedades.
6.2 Com base na alínea anterior, condicione os valores de a e de b para que a
característica da matriz A seja 3.
7. Seja
1 0 1 10 2 1 01 1 2 1
3 1 1 0
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
A e Δ = A .
7.1 Calcule Δ aplicando propriedades.
7.2 Com base na alínea anterior e em Δ , escreva um determinante ′Δ de 3ª ordem tal que
2′Δ = − Δ .
7.3 Utilizando o teorema de Laplace confirme que de facto 2′Δ = − Δ .
Soluções:
1.1 32Δ = − 1.2 Por ex. 126 130 1
−′Δ =
−
2. 20Δ = −
4. Por ex:
7 2 3 41 1 1 1
2 1 1 28 1 3 5
−′Δ =
5. Por ex.
1 2 3 40 0 6 3
0 3 0 20 0 3 4
Δ =−
6.1 ( )( )( )3 3a b b b aΔ = + + − − 6.2 3 0 3a b b a b+ + ≠ ∧ ≠ ∧ ≠
7.1 15Δ = 7.2 Por ex. 4 2 01 4 31 3 0
′Δ = −
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