aljabar linear elementer · vektor besaran yang mempunyai arah notasi vektor ... (2,3,3) –...
Post on 09-Mar-2019
278 Views
Preview:
TRANSCRIPT
19/09/2014 11:16 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear Elementer
MA1223
3 SKS
Silabus :
Bab I Matriks dan Operasinya
Bab II Determinan Matriks
Bab III Sistem Persamaan Linear
Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang
Bab V Ruang Vektor
Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam
Bab VII Transformasi Linear
Bab VIII Ruang Eigen
19/09/2014 11:16 MA-1223 Aljabar Linear 2
VEKTOR DI BIDANG DAN DI RUANG
Pokok Bahasan :
1. Notasi dan Operasi Vektor
2. Perkalian titik dan Proyeksi Ortogonal
3. Perkalian silang dan Aplikasinya
Beberapa Aplikasi :
• Proses Grafika Komputer
• Kuantisasi pada proses kompresi
• Least Square pada Optimasi
• Dan lain-lain
19/09/2014 11:16 MA-1223 Aljabar Linear 3
Notasi dan Operasi
Vektor besaran yang mempunyai arah
Notasi vektor
321321
3
2
1
,,ˆˆˆ ccckcjcic
c
c
c
c
Notasi panjang vektor
3
2
1
c
c
c
c
adalah 2
3
2
2
2
1 cccc
Vektor satuan Vektor dengan panjang atau norm
sama dengan satu
19/09/2014 11:16 MA-1223 Aljabar Linear 4
Operasi Vektor meliputi :
1. Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sama)
2. Perkalian vektor
(a) dengan skalar
(b) dengan vektor lain
• Hasil kali titik (Dot Product)
• Hasil kali silang (Cross Product)
19/09/2014 11:16 MA-1223 Aljabar Linear 5
Penjumlahan Vektor
u
v vu
u
u v
vu
Misalkan dan adalah vektor – vektor
didefinisikan
yang berada di ruang yang sama, maka vektor
maka
19/09/2014 11:16 MA-1223 Aljabar Linear 6
u
u2
u2
Perkalian vektor dengan skalar
u uk
u
u
u
Perkalian vektor dengan skalar k,
didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali
panjang vektor dengan arah
Jika k > 0 searah dengan
Jika k < 0 berlawanan arah dengan
19/09/2014 11:16 MA-1223 Aljabar Linear 7
Scaling
PP
P’P’
19/09/2014 11:16 MA-1223 Aljabar Linear 8
3211 ,aaaa 321 ,, bbbb
332211 ,,.1 babababa
332211 ,,.2 babababa
321 ,,.3 kakakaak
Secara analitis, kedua operasi pada vektor diatas
dapat dijelaskan sebagai berikut :
adalah vektor-vektor di ruang yang sama
dan
maka
Misalkan
19/09/2014 11:16 MA-1223 Aljabar Linear 9
Perkalian antara dua vektor
• Hasil kali titik (dot product)
• Hasil kali silang (cross product)
Hasil kali titik merupakan operasi
antara dua buah vektor pada ruang yang sama
yang menghasilkan skalar
Hasil kali titik (dot product)
Hasil kali silang merupakan operasi
antara dua buah vektor pada ruang R3
yang menghasilkan vektor
Hasil kali silang (Cross product)
19/09/2014 11:16 MA-1223 Aljabar Linear 10
Dot Product
Misalkan
adalah vektor pada ruang yang sama
maka hasil kali titik antara dua vektor :
dimana
: panjang
: panjang
: sudut keduanya
cosbaba
,a b
a
b
a
b
19/09/2014 11:16 MA-1223 Aljabar Linear 11
Ilustrasi dot product vektor A dan B
cosBABA
19/09/2014 11:16 MA-1223 Aljabar Linear 12
Contoh 2 :
Tentukan hasil kali titik dari dua vektor
dan
Jawab :
Karena tan = 1 , artinya = 450
= 4
ia ˆ2 jib ˆ2ˆ2
cosbaba
2
182
19/09/2014 11:16 MA-1223 Aljabar Linear 13
Ingat aturan cosinus
Perhatikan
a2 = b2 + c2 – 2 bc cos a c
b
a
b
a
b
ab
cos2222
babaab
b
19/09/2014 11:16 MA-1223 Aljabar Linear 14
Selanjutnya dapat ditulis
Ingat bahwa :
cosba
222
2
1 abba
cos1. baba
22
2
2
1
2
....2 naaaa
22
2
2
1
2
....3 nbbbb
22
22
2
11
2
....4 nn abababab
nnnn
nn
ababab
aaabbb
2...22
......
11
22
2
2
1
22
2
2
1
nnbabababa ...2211
19/09/2014 11:16 MA-1223 Aljabar Linear 15
Perhatikan setiap sukunya, diperoleh hubungan :
Tentukan kembali hasil kali titik dari dua vektor pada
contoh sebelumnya
= 2 (2) + 0 (2)
= 4
Beberapa sifat hasilkali titik :
1.
2.
3.
2211 bababa
nnbabababa ...2211
abba
cabacba
Rkbkabakbak dimana,
19/09/2014 11:16 MA-1223 Aljabar Linear 16
Proyeksi Ortogonal
Karena
aproycb
a
b
w
cwa bcwba
bcbw
bk
bbk
bkc
bahwaterlihat
2b
bak
19/09/2014 11:16 MA-1223 Aljabar Linear 17
Jadi,
rumus proyeksi diperoleh :
Contoh 4 :
Tentukan proyeksi ortogonal
vektor
terhadap vektor
3
4
2
u
4
3
1
v
bb
baaoyb 2
Pr
19/09/2014 11:16 MA-1223 Aljabar Linear 18
Jawab :
4
3
1
4
3
1
26
26
4
3
1
26
)12()12(2
4
3
1
)4(31
4
3
1
3
4
2
Pr
222
2v
v
vwwoyv
19/09/2014 11:16 MA-1223 Aljabar Linear 19
Cross Product (hasilkali silang)
Hasil kali silang merupakan hasil kali antara dua vektor
di Ruang (R3) yang menghasilkan vektor yang tegak
lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.
321
321
ˆˆˆ
BBB
ABA
kji
BxAC
kBB
AAj
BB
AAi
BB
AA ˆˆˆ
21
21
31
31
32
32
19/09/2014 11:16 MA-1223 Aljabar Linear 20
Ilustrasi Cross Product (hasilkali silang)
BxAC
19/09/2014 11:16 MA-1223 Aljabar Linear 21
Contoh :
Tentukan ,
dimana
Jawab :
vuw
321
321
ˆˆˆ
vvv
uuu
kji
w
2,2,1 u )1,0,3(v
103
221
ˆˆˆ
kji
i)2(01.2 j1.1)2(3 k2.30.1
kji ˆ6ˆ7ˆ2
19/09/2014 11:16 MA-1223 Aljabar Linear 22
Beberapa sifat Cross Product :
a.
b.
c.
2222vuvuvu
0 vxuu
0 vxuv
19/09/2014 11:16 MA-1223 Aljabar Linear 23
Dari sifat ke-3 diperoleh
2222vuvuvu
222cos vuvu
22222cos vuvu
222cos1 vu
222sin vu
sin, vuvxuJadi
19/09/2014 11:16 MA-1223 Aljabar Linear 24
Perhatikan ilustrasi berikut :
Luas segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut
adalah
u
v
sinv
u
sinGenjangJajaran Luas vuvxu
vu 2
1segitigaLuas
19/09/2014 11:16 MA-1223 Aljabar Linear 25
Contoh :
Diketahui titik-titik diruang ( di R³ ) adalah :
A = (1, –1, –2)
B = (4, 1, 0)
C = (2, 3, 3)
Dengan menggunakan hasilkali silang, tentukan luas
segitiga ABC !
Jawab :
Tulis
= B – A= (4, 1, 0) – (1, –1, –2)
= (3, 2, 2)
= C – A= (2, 3, 3) – (1, –1, –2)
= (1, 4, 5)
AB
AC
19/09/2014 11:16 MA-1223 Aljabar Linear 26
Luas segitiga ABC yang berimpit di A adalah
AB AC541
223
ˆˆˆ kji
kji ˆ10ˆ13ˆ2
10016942
1Luas
2732
1
19/09/2014 11:16 MA-1223 Aljabar Linear 27
Orientasi pada titik B
BA ba
BC bc
BCBA
322
223
ˆˆˆ
kji
jki ˆ10ˆ13ˆ2
BCxBA2
11001694
2
1
2732
1
= (1,-1,-2) – (4,1,0) = (-3,-2,-2)
= (2,3,3) – (4,1,0) = (-2,2,3)
Sehingga luas segitiga ABC yang berimpit di B adalah :
=
19/09/2014 11:16 MA-1223 Aljabar Linear 28
Latihan Bab 4
1. Tentukan cos sudut yang terbentuk oleh
pasangan vektor berikut :
a. dan
b. dan
2. Tentukan proyeksi ortogonal vektor terhadap vektor dan tentukan panjang vektor proyeksi tersebut:
a. dan
b. dan
2
1u
8
6v
7
3
1
u
2
2
8
v
1
2a
2
3b
3
1
2
a
2
2
1
b
19/09/2014 11:16 MA-1223 Aljabar Linear 29
3. Tentukan dua buah vektor satuan
yang tegak lurus terhadap
4. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor
dan
5. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik
sudut P (2, 0, –3), Q (1, 4, 5), dan R (7, 2, 9)
2
3u
1
3
7
u
4
0
2
v
top related