análise de incertezas aed-11. erro e incerteza em engenharia, erro não é sinônimo de equívoco;...
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Análise de Incertezas
AED-11
Erro e incerteza Em engenharia, erro não é sinônimo de
equívoco; Erro em medições está relacionada à incerteza
inerente a qualquer processo de medida. Nesse sentido eles são inevitáveis.
O que deve ser feito? Assegurar que sejam tão pequenos quanto possível; Obter uma estimativa confiável de quão pequenos
eles são.
Motivação Assessorar o procedimento experimental incluindo a
identificação de potenciais dificuldades: Passos necessários; Dificuldades a serem contornadas.
Identifica quais procedimentos são os principais responsáveis pela precisão do experimento – permite concentrar esforços em um número menor de detalhes;
Indica quando um experimento não é capaz de alcançar a precisão necessária para os fins a que se destina.
Motivação É a única forma de decidir se:
Os dados concordam com a teoria; Dados provenientes de diferentes laboratórios
concordam; Hipótese pode ser afirmada; Fenômenos medidos são reais.
Dão indícios de como conduzir o experimento;
Como lidar com o fato de não conhecer o valor verdadeiro? Em todas as situações reais, nós não
conhecemos de antemão o valor verdadeiro da grandeza que queremos medir;
Faz-se, então, necessário obter: A melhor representação desse valor verdadeiro A incerteza associada a esse erro.
Estado de controle estatístico; Tipos de erro: Aleatório e Sistemático;
Calibração de uma célula de carga para ensaio aerodinâmico
Conceitos Iniciais:
Valor Verdadeiro:É aquele obtido utilizando: 1. os melhores instrumentos disponíveis 2. uma metodologia experimental exemplar, formulada por especialistas com grande experiencia
Processo de Medida (Procedimento Experimental):É a técnica usada para se fazer uma medida com um determinado instrumento.
NOTA: O resultado experimental obtido com um instrumento depende do processo de medida usado.
Calibração de uma célula de carga para ensaio aerodinâmico
Conceitos Iniciais:
Processo de Medida em Estado de Controle Estatistico:
É o procedimento experimental, no qual todas as entradas (interferentes e/ou modificadoras) determinísticas estão controladas. Existem somente entradas que afetam a medida de forma aleatória.
Preciso
Impreciso
Inexato
Exato
Estimando o valor verdadeiro e o erro associado Uma boa estimativa do valor verdadeiro da
grandeza medida pode ser obtida através da repetitividade dos experimentos: A melhor estimativa do valor verdadeiro é a média obtida
através desses experimentos; O erro aleatório é, geralmente, da mesma ordem de
grandeza do desvio padrão das medidas ; Desvio padrão e desvio padrão da média: qual a
diferença??? E o erro sistemático, como estimar???
Estimando o valor verdadeiro e o erro associado Identificamos dois tipos de erros: sistemáticos
e aleatórios: Erros aleatórios podem ser controlados por meio
da repetitividade dos experimentos Erros sistemáticos não são afetados pela
repetição de experimentos. Devem ser estimados usando informações externas (especificações, conhecimento prévio)
Os dois erros devem ser então combinados para fornecer o erro final.
Célula de carga
V
Célula de carga
Roldana
Massa padrão
(a)
(b)
Calibração de uma célula de carga para ensaio aerodinâmico
Aparato Experimental
Tabela 1: resultados das medidas realizadas com a célula de carga, para uma
entrada padrão de 100 gramas.
Medida Diferença de Potencial (Volt)
Medida Diferença de Potencial (Volt)
1 1,05 11 1,19
2 1,08 12 1,07
3 1,21 13 1,13
4 1,17 14 1,10
5 1,12 15 1,08
6 1,06 16 1,04
7 1,11 17 1,13
8 1,03 18 1,08
9 1,09 19 0,99
10 1,14 20 1,14
Resultados da Calibração da Célula de Carga
N
iiM X
NX
1
1
Definição de Média de Desvio Padrão
Mii XXd
Média
Desvio Padrão
N
iiM d
Nd
1
1
2
1
2 )(1
N
iidNd
2
1
2 )(1
N
iidNd
Medida Desvio(Xi-XM)
(volt)
(Xi-XM)2(volt2)
Medida Desvio(Xi-XM)
(volt)
(Xi-XM)2(volt2)
1 -0.051 0.00260 11 0.089 0.00792
2 -0.021 0.00044 12 -0.031 0.00096
3 0.109 0.01188 13 0.029 0.00084
4 0.069 0.00476 14 -0.001 0.000001
5 0.019 0.00036 15 -0.021 0.00044
6 -0.041 0.00168 16 -0.061 0.00372
7 0.009 0.00008 17 0.029 0.00084
8 -0.071 0.00504 18 -0.021 0.00044
9 -0.011 0.00012 19 -0.111 0.01232
10 0.039 0.00152 20 0.039 0.00152
Desvio de cada medida com relação a médiaXM = 1,101 volt. = 0,054
0.95 1.05 1.15 1.250.90 1.00 1.10 1.20 1.30Valores obtidos nas m edidas (Vo lt)
0
2
4
6
8
Núm
ero
de m
edid
as e
m c
ada
sub-
faix
a
Histograma Associado aos Resultados Experimentais
0.95 1.05 1.15 1.250.90 1.00 1.10 1.20 1.30Valores obtidos nas m edidas (Volt)
0
2
4
6
8D
ensi
dade
de
Pro
babi
lidad
e (D
P)
faixassub das Larguraoexperiment no realizada medidas de totalNúmero
faixa-sub cada em medidas de Número
DP
Distribuição Densidade de Probabilidade
0.95 1.05 1.15 1.250.90 1.00 1.10 1.20 1.30Valores obtidos nas m edidas (Volt)
0
2
4
6
8
Den
sida
de d
e P
roba
bilid
ade
(DP
)
0 ,05 0,05
0.95 1.05 1.15 1.250.90 1.00 1.10 1.20 1.30Valores obtidos nas m ed idas (Volt)
0
2
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Den
sida
de d
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roba
bilid
ade
(DP
)
0 ,10 0,10
ΔX x DPoexperiment no realizada medidas de totalNúmero
faixa-sub cada em medidas de Número
Confiabilidade Associada a um Intervalo de Incerteza
Probabilidade = 65% Probabilidade = 90%
dX
oexperiment no realizada medidas de totalNúmerofaixa-sub cada em medidas de Número
Xf
2
1
)(21
X
XdXXfXXXP
X
X1 X2
f(X)
Função Densidade de Probabilidade
p/ - < X < +2
2
2)(
21)(
MXX
eXf
Função Gaussiana
0 .00 0 .40 0 .80 1 .20 1 .60 2 .00Valores obtidos no experim ento (X)
0 .00
1 .00
2 .00
3 .00
4 .00
Funç
ão D
ensid
ade d
e Pro
babi
lidad
e, f(X
) Função GaussianaValor m édio = 1 .10
Desvio padrão:
0 ,100 ,20
Intervalos de Confiança
Largura do intervalo de
incerteza (X)
Probabilidade (Nível de Confiança)
0,683 68,3% 2 0,954 95,4%
3 0,997 99,7%
São a forma mais corriqueira de representar a precisão de um resultado;
Dependem do desvio padrão e da distribuição estatística do fenômeno em questão (normal, gama, Weibull, etc);
E se essa distribuição for desconhecida?
Relação entre a largura do intervalo de incerteza e a probabilidade de um resultado estar contido no mesmo.
Largura do intervalo de incerteza (X)
Probabilidade
0,683 68,3%
2 0,954 95,4% 3 0,997 99,7%
X = P(XM - X < X < XM + X) = 0,683 =
X = 2 P(XM - X < X < XM + X) = 0,954 =
X = 3 P(XM - X < X < XM + X) = 0,997 =
115,215,2
12121
1356356
Aparato Experimental p/ a Calibração de uma Célula de Carga
Célula de carga
V
Célula de carga
Roldana
Massa padrão
(a)
(b)
Aparato Experimental
1. Inicialmente, deve-se fazer o ajuste do valor inicial da grandeza padrão
2. Após a espera de um tempo, deve-se fazer a leitura do voltímetro.
3. No próximo passo, coloca-se sobre o prato um massa padrão (por exemplo, 50 gr)
4. Após a espera de um tempo, faz-se a leitura do voltímetro.
5. Na seqüência, novas massas padrão são adicionadas - carregamento do instrumento.
6. O processo mostrado acima prossegue até o final da faixa de calibração.
7. Se possível, um carregamento adicional deve ser dado ao instrumento, porém, não se faz a leitura do voltímetro.
8. Na seqüência, as massas que estão no prato devem ser retiradas de modo a descarregar o instrumento.
9. O última medida é feita para o prato sem massas padrão
Procedimento Experimental p/ Calibração
0.00 2.00 4.00 6.0 0Força de Arrasto (N ewtons)
-4 .0 0
-2.0 0
0.0 0
2.0 0
4.0 0
6.0 0
Tens
ão d
e Saíd
a (V
olts)
Carregam entoDescarregam ento
Resultados do Ensaio de Calibração
N
iidS
1
2
)( iii XfYd
Para ajuste de uma reta
Para ajuste de uma parábola Para ajuste de uma exponencial
baXXfY )(
cbXaXXfY 2)(
baeXfY X )(
Ajuste de Curva p/ Ensaio de Calibração
N
iii baXYS
1
2
Minimizar
)()( iiiY XfYd
Determinação da Incerteza no Eixo - Y
X2
Y2
F(X2)
(dY)2
X
Y
Y = f(X)
X2
Y2
2
1
2 )(1
N
iiiY XfY
NS
Para ajuste de uma reta baXXfY )(
Desvio Padrão da Variável - Y
2
1
2 1
N
iiiY baXY
NS
)(YgX )(XfY
Desvio Padrão da Variável - X
Inversa
)()( iiiX YgXd
X2
Y2
g(Y2)
(dX)2
X
Y
Y = f(X)
X2
X = g(Y)
Y2
)()( iiiX YgXd
2
1
2 )(1
N
iiiX YgX
NS
abYYgX
)(
2
1
2 1
N
i
iiX a
bYX
NS
2
22
aS
S YX
Desvio Padrão da Variável - X
2
11
2
22
)(
.
N
ii
N
ii
Ya
XXN
SNS
2
11
2
2
1
2
2
)(
N
ii
N
ii
Y
N
ii
b
XXN
SXS
2
1
2 )(1
N
iiiY XfY
NS
Desvio Padrão dos Coeficientes Angular e Linear
baXXfY )(
Rejeição de Dados Dilema ético (olha a DC!!): se durante um
experimento aparecer uma medida que discorda muito das anteriores: É um dado significante? É um erro?
Existe um critério para tomar essa decisão – Critério de Chauvenaut:
O Critério de Chauvenet Suponha que os resultados obtidos a partir das
medições sejam normalmente distribuídas; Se o valor é mais afastado da média do que M
desvios padrões (M = 3, por exemplo), então a probabilidade dele ocorrer é menor que 0,003.
Isso é improvável o suficiente para descartar a medida em questão?
O limiar do “ridiculamente improvável” fica a cargo do experimentador, que deve deixar claro em seu relatório o critério empregado.
Propagação de Erros
Como, na realidade, os dxi são quantidades muito pequenas, o último termo da equação acima pode ser desprezado;
O termo cruzado dxidxj também pode ser desprezado se as variáveis forem independentes: para um determinado desvio em xi os desvios das demais variáveis podem apresentar quaiquer valores, tanto positivos quanto negativos. Assim depois de muitas medidas, termos positivos e negativos devem cancelar-se.
32
222
iji
jii
i
ii
i
dxOxf
xfdxdx
xfdx
dxOxfdxdf
Sensibilidade
nuuuuf ,...,,, 321
Propagação de Incertezas
nn uuuuuuuuf ,...,,, 332211
TOSuufu
ufu
ufu
ufuuuuf nn
1
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ufu
ufu
uf
13
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)(
Expansão em série de Taylor:
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ufu
ufu
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uuf
uuf
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Propagação de Incertezas
Incertezas u1, u2, u3, ..., un devem ser consideradas como limites absolutos
Incertezas u1, u2, u3, ..., un devem ser consideradas como limites relativos
nuufu
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Incertezas de Cada Instrumento p/ uma Dada Incerteza Final
Método dos Efeitos Iguais
Objetivo: Determinar valores de u1,u2, u3, ..., um p/ uma valor requerido de
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uufu
ufu
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ufu
uf
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ii
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i
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u
Incertezas u1, u2, u3, ..., un devem ser consideradas como limites absolutos
Incertezas de Cada Instrumento p/ uma Dada Incerteza Final
Incertezas u1, u2, u3, ..., un devem ser consideradas como limites relativos
Método dos Efeitos Iguais
Objetivo: Determinar valores de u1,u2, u3, ..., um p/ uma valor requerido de
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i
i
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ufu
ufu
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33
2
22
2
11
...
ii
nn
uufu
ufu
ufu
ufu
uf
Verificando a Viabilidade do Modelo
Resíduos padronizados
O Coeficiente de Determinação
Qual porção da variabilidade de y pode ser atribuída ao fato de que x e y estão relacionados linearmente? Quão bem o meu modelo é capaz de explicar a variabilidade de y a partir do modelo linear proposto?
A soma dos quadrados dos erros SQE pode ser interpretada como uma medida da quantidade de variação em y deixada inexplicada pelo modelo, ou seja, que não pode ser atribuido a uma relação linear.
Uma medida quantitativa da quantidade total de variação nos valores observados de y é dada pela soma total dos quadrados (SQT).
O Coeficiente de Determinação
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