análise de pórticos com incorporação de condesação estática por raphael ribeiro santos
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7/25/2019 Anlise de Prticos Com Incorporao de Condesao Esttica Por Raphael Ribeiro Santos
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANADEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA
COLEGIADO DE ENGENHARIA CIVIL
RAPHAEL RIBEIRO SANTOS
ANLISE DE PRTICOS COM INCORPORAO DE CONDENSAOESTTICA
FEIRA DE SANTANA - BA2010
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7/25/2019 Anlise de Prticos Com Incorporao de Condesao Esttica Por Raphael Ribeiro Santos
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RAPHAEL RIBEIRO SANTOS
ANLISE DE PRTICOS COM INCORPORAO DE CONDENSAO ESTTICA
Monografia apresentada disciplina TEC
174 PROJETO FINAL II, como parte dos
requisitos necessrios para a obteno de
seus crditos.
Orientador: Prof. Dr. Jos Mrio Feitosa
Lima
Co-orientador:Prof. Dr. Koji de Jesus
Nagahama
FEIRA DE SANTANA - BA2010
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7/25/2019 Anlise de Prticos Com Incorporao de Condesao Esttica Por Raphael Ribeiro Santos
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RAPHAEL RIBEIRO SANTOS
ANLISE MATRICIAL DE PRTICOS COM INCORPORAO DE CONDENSAOESTTICA
Monografia apresentada disciplina TEC
174 PROJETO FINAL II, como parte dosrequisitos necessrios para a obteno de
seus crditos.
Feira de Santana, 13 de agosto de 2010.
___________________________________________________
Orientador: Prof. Dr. Jos Mrio Feitosa LimaUniversidade Estadual de Feira de Santana
___________________________________________________
Co-orientador: Prof. Dr. Koji de Jesus Nagahama
Universidade Estadual de Feira de Santana
__________________________________________________
Prof. Dr. Anderson de Souza Matos GadaUniversidade Estadual de Feira de Santana
__________________________________________________
Prof. Dr. Paulo Roberto Lopes LimaUniversidade Estadual de Feira de Santana
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Dedico este trabalho a toda a minha
famlia
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AGRADECIMENTOS
Gostaria de agradecer primeiramente a Deus, por est sempre presente na
minha vida, dando-me sade, paz, sabedoria, guiando-me pelos caminhos certos.
minha Famlia, aos meus pais Raimundo Reis e Iara Ribeiro, a minha irm
Nathalya por todo carinho, confiana e esforo para que pudesse chegar at aqui.
A minha namorada, amiga e companheira Isys por sempre acreditar em mim e
estar ao meu lado.
A panelinha por todos os momentos vividos juntos e a ajuda que recebi ao
longo desse curso. Aos meus velhos amigos que estiveram ao meu lado sempre me apoiando,
a vocs o meu muito obrigado.
Ao meu amigo e Professor Jos Mrio Feitosa Lima, por ter me ajudado ao
longo desse curso sempre acreditando no meu potencial e me incentivando a me tornar um
engenheiro melhor.
Ao meu Professor e co-orientador Koji de Jesus Nagahama por ter me ajudado
a escrever este trabalho.
A todos os professores que repassaram seus conhecimentos com total
dedicao durante todo meu processo de formao acadmica.A Universidade Estadual de Feira de Santana por me proporcionar toda uma
infra-estrutura para os meus estudos e tambm a todos aqueles que direta ou indiretamente me
ajudaram ao longo desta caminhada.
OBRIGADO!!!
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RESUMO
O projeto estrutural parte de uma concepo terica da estrutura e termina com
a documentao que possibilita a sua construo. So inmeras e muito complexas as etapasde um projeto estrutural sendo a anlise estrutural a fase em que se realiza o estudo do
comportamento da estrutura, com a determinao de esforos internos e externos, tenses
correspondentes, bem como de seus deslocamentos e deformaes. No Brasil existe uma
carncia de programas educacionais (com cdigo aberto) para anlise estrutural. Em geral, o
aluno recm formado passa diretamente dos fundamentos tericos para a utilizao de
programas comerciais, na maioria das vezes sem conhecer sua estrutura interna. Este trabalho
tem por objetivo aplicar o Mtodo da Rigidez na anlise matricial de prticos espaciaisincluindo a possibilidade de condensao esttica dos deslocamentos, gerando assim uma
ferramenta computacional para essa anlise. Tal ferramenta foi implementada em linguagem
FORTRAN 77. Por fim apresentada a validao dos resultados por meio de problemas cujas
solues analticas so conhecidas, ou ainda para outros problemas que dispunham de
solues numricas apresentadas na literatura.
Palavras-chave: Prtico Espacial; Condensao Esttica; Mtodo da Rigidez.
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ABSTRACT
The structural design include since theoretical conception of structure to
documents that permit its construction. There are many stages of a structural project and they
are complex too much so that the structural analysis is the phase where the study of behavior
of structure is done, with the determination of intense and extern efforts, correspondents
tensions, as well the displacements and deformation. In Brazil there is a lack of education
programs (Open source) to structural analysis. In general, the newly formed student passes
from theoretical fundaments to uses of commercial programs many times without know its
internal structure. This work aims to do build the application of Method of Rigid in matrix
analysis 3D frame including the possibility of static condensation of displacements
establishing a computational tool for this analysis. This tool has been implemented in
FORTRAN 77 language. The validation of results is presented through problems where
analytic solutions are known or to other different problems that had numerical solutions found
in literature.
Keywords: Space Frames; Static Condensation; Method of Rigid.
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LISTA DE SMBOLOS E VARIVEIS
FTOOL - Two-dimensional Frame Analysis Tool
PUC-Rio - Pontifcia Universidade Catlica do Rio de Janeiro
Tecgraf/PUC-Rio - Tecnologia em Computao Grfica /Pontifcia Universidade Catlica do
Rio de Janeiro
CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientfico e Tecnolgico
GL - graus de liberdade
X - Coordenada global na direo de X
Y - Coordenada global na direo de YZ - Coordenada global na direo de Z
x - Coordenada local na direo de x
y - Coordenada local na direo de y
z - Coordenada local na direo de z
Fx - Vetor Fora na direo de x
Fy - Vetor Fora na direo de y
Fz - Vetor Fora na direo de zMx - Vetor Fora Momento na direo de x
My - Vetor Fora Momento na direo de y
Mz - Vetor Fora Momento na direo de z
jD Deslocamento j segundo o sistema de referncia global
i
kd Deslocamento k no elemento i segundo o sistema de referncia local
x
j - Deslocamento horizontal do n j
y
j Deslocamento vertical do n j
j - Rotao do n j
AAo atuante na mola
DDeslocamento da mola
S - Rigidez da mola
[S] - Matriz de Rigidez da estrutura no restringida;
{D} - Vetor de Deslocamentos nodais da estrutura;{A} Vetor de Aes nodais da estrutura.
http://www.tecgraf.puc-rio.br/http://www.tecgraf.puc-rio.br/ -
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[SMD] - Matriz de Rigidez do elemento no sistema global
[RT] - Matriz de Rotao do elemento, que depende de sua orientao;
[RT] Transposta da Matriz de Rotao do elemento;
[SM] - Matriz de Rigidez do elemento no sistema local.
{AC} - Vetor de cargas combinadas
{Ag} - Vetor de reaes de engastamento perfeito do elemento no sistema global de
coordenadas;
{AL} - Vetor de reaes de engastamento perfeito do elemento no sistema local de
coordenadas;
}{A RL - vetor das reaes na estrutura restringida
{AR} - Vetor de reaes na estrutura real;
{ARL} - Vetor de reaes na estrutura restringida;
{AM} - Aes de extremidade de membro na estrutura real;
{AML} - Aes de extremidade de membro na estrutura restringida.
iIdentificador do elemento
J - N inicial
K - N finalL - Comprimento do elemento
I - Momento de inrcia da seo transversal
Ax - rea da seo transversal
Ix - Momento de inrcia na direo de x
Iy - Momento de inrcia na direo de y
Iz - Momento de inrcia na direo de z
G - Mdulo de elasticidade transversal
Jw - Deslocamento w na extremidade esquerda
NGL - Nmero de graus de liberdade por n
NN - Nmero do n
W - ndice que indica deslocamento
Kcc - Sub-matriz dos graus de liberdade que sero condensados
Kpp - Sub-matriz dos graus de liberdade que permanecero
- Sub-matriz dos graus de liberdade que sofrem influncia da condensao esttica
dc - Sub-vetor dos deslocamentos associado aos graus de liberdade que sero condensados
dp - Sub-vetor dos deslocamentos associado aos graus de liberdade que permanecero
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rc - Sub-vetor das cargas nodais associada aos graus de liberdade que sero condensados
rp - Sub-vetor das cargas nodais associada aos graus de liberdade que permanecero
Cx - Co-seno diretor do membro na direo x
Cy - Co-seno diretor do membro na direo y
Cz - Co-seno diretor do membro na direo z
E - Mdulo de elasticidade
- Coeficiente De Poisson
R= Matriz de Rotao
- ngulo existente entre os eixos principais de inrcia no sistema local e o eixo vertical do
sistema global da estrutura
RT - Matriz de Transformao de Rotao
http://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Poissonhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Poisson -
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LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1: Estrutura unidimensional - viga e pilares. Fonte: Figueiredo (2010). ...................21
Figura 2.2: Estrutura laminar - Laje. Fonte: Figueiredo (2010). ..............................................22
Figura 2.3: Estrutura tridimensional - blocos de fundao. Fonte: Figueiredo (2010). ...........22
Figura 2.4: Exemplos de estruturas reticuladas planas. Fonte: Gere e Weaver (1987). ...........24
Figura 2.5: Exemplos de estruturas reticuladas espaciais. Fonte: Gere e Weaver (1987)........24
Figura 2.6: Sistema global e local de coordenadas de um prtico plano. Fonte: Rovere (2005).
..................................................................................................................................................25
Figura 2.7: Deslocamentos globais e locais..............................................................................31
Figura 2.8: Prtico plano. .........................................................................................................32
Figura 2.9: Quatro nveis de abstrao para uma estrutura na anlise estrutural. Fonte: Martha(2000). ......................................................................................................................................33
Figura 2.10: Estrutura real e o seu modelo estrutural...............................................................34
Figura 2.11: Parmetros nodais utilizados na discretizao pelo Mtodo da Rigidez. Fonte:Martha (2000). ..........................................................................................................................35
Figura 3.1: Mola linearmente elstica ......................................................................................37
Figura 3.2: Elemento de viga com 2 graus de liberdade por n...............................................41
Figura 3.3: Imposio dos deslocamentos unitrios D1 e D2....................................................42
Figura 3.4: Imposio dos deslocamentos D3 e D4...................................................................42
Figura 3.5: Regra da correspondncia ......................................................................................45
Figura 3.6: Viga contnua .........................................................................................................45
Figura 3.7: Graus de liberdade da estrutura..............................................................................46
Figura 3.8: Elementos de viga utilizados na modelagemgraus de liberdade dos elementos 46
Figura 3.9: Matriz de rigidez de trelia gerada a partir da matriz de rigidez de prtico. .........48
Figura 3.10: Descontinuidades parciais. Fonte: Gere e Weaver (1987)...................................48
Figura 3.11: Viga com rotula aplicada a direita. ......................................................................50
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Figura 3.12: Digrama de bloco para a anlise de estruturas reticuladas...................................54
Figura 3.13: Aes de extremidade para membros restringidos. Fonte: Gere e Weaver (1987)...................................................................................................................................................56
Figura 3.14: Rotao de um membro de prtico espacial em torno do eixo x. Fonte: Gere eWeaver (1987). .........................................................................................................................57
Figura 3.15: Membro de prtico espacial inclinado. Fonte: Gere e Weaver (1987). ...............58
Figura 4.1: Exemplo 1. Fonte: Vasconcellos Filho (1986). .....................................................62
Figura 4.2: Exemplo 2.Fonte: Gere e Weaver (1987). .............................................................64
Figura 4.3: Numerao de ns e de membros do exemplo 2. Fonte: Gere e Weaver (1987)...65
Figura 4.4: Numerao de Ns. Fonte: Guerra (2009). ............................................................68
Figura 4.5: Numerao de membros (Pilares). Fonte: Guerra (2009)......................................69
Figura 4.6: Numerao de Membros (Vigas). Fonte: Guerra (2009). ......................................69
Figura 4.7: Exemplo 4. Fonte: Gere e Weaver (1987). ............................................................71
Figura 4.8a: Exemplo 5 (trelia plana). Fonte: Gere e Weaver (1987) ....................................73
Figura 4.8b: Exemplo 5 (trelia plana). Fonte: Gere e Weaver (1987) ....................................73
Figura B.1: Rotao de eixos para um membro de prtico espacial. Fonte: Gere e Weaver(1987) .......................................................................................................................................85
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LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1: Estruturas ReticuladasCaractersticas Gerais. Fonte: Rovere (2005)................27
Tabela 3.1: Regra da correspondncia: GL da estrutura correspondente ao GL dos elementos..................................................................................................................................................46
Tabela 4.1: Exemplo 1-dados ...................................................................................................61
Tabela 4.2: Exemplo 1Deslocamentos nodais. .....................................................................62
Tabela 4.3: Exemplo 1Reaes de apoio..............................................................................63
Tabela 4.4: Exemplo 1Aes de extremidade de membro...................................................63
Tabela 4.5: Exemplo 2dados ................................................................................................65
Tabela 4.6: Exemplo 2Deslocamentos nodais. .....................................................................66
Tabela 4.7: Exemplo 2Reaes de apoio..............................................................................66
Tabela 4.8: Exemplo 2Aes de extremidade de membro...................................................67
Tabela 4.9: Exemplo 3 - Dados ................................................................................................69
Tabela 4.10: Comparao de resultados para as Vigas ............................................................70
Tabela 4.11: Comparao de resultados para os Pilares...........................................................70
Tabela 4.12: Foras axiais dos membros..................................................................................72
Tabela 4.13: Exemplo 5dados ..............................................................................................74
Tabela 4.14: Informao dos ns para a trelia ........................................................................74
Tabela 4.15: Informao dos membros para a trelia...............................................................74
Tabela 4.16: Aes aplicadas nos ns ......................................................................................75
Tabela 4.17: Exemplo 5Deslocamentos nodais. ...................................................................75
Tabela 4.18: Exemplo 5Reaes de apoio............................................................................76
Tabela 4.19: Exemplo 5aes de extremidade de membro. .................................................76
Tabela D.1: Principais variveis utilizadas no programa .......................................................125
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LISTA DE QUADROS
Quadro 3.1: Simbologias BsicasDiagrama de Blocos ........................................................53
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SUMRIO
1 INTRODUO ...................................................................................................................171.1 CONSIDERAES PRELIMINARES .........................................................................17
1.2 RELEVNCIA E JUSTIFICATIVA DO ESTUDO......................................................18
1.3 OBJETIVO DO ESTUDO..............................................................................................191.3.1 Objetivo Geral ..........................................................................................................191.3.2 Objetivos Especficos ...............................................................................................19
1.4 METODOLOGIA...........................................................................................................19
1.5 ESTRUTURAO E ORGANIZAO DO TRABALHO .........................................20
2 REVISO BIBLIOGRFICA ...........................................................................................21
2.1 MODELAGEM ..............................................................................................................21
2.2 ESTRUTURAS RETICULADAS..................................................................................222.2.1 Diviso da Estrutura em Elementos .........................................................................222.2.2 Tipos de Estruturas Reticuladas ...............................................................................232.2.3 Sistema de Coordenadas...........................................................................................252.2.4 Graus de Liberdade ..................................................................................................262.2.5 CaractersticasGraus de Liberdade no Sistema Local..........................................272.2.6 Condies de Equilibro ............................................................................................302.2.7 Condies de Compatibilidade de Deslocamentos ..................................................31
2.3 ANLISE ESTRUTURAL ............................................................................................332.3.1 Modelo Estrutural.....................................................................................................332.3.2 Modelo Discreto.......................................................................................................35
3 ANLISE MATRICIAL DE PORTICOS ESPACIAIS A PARTIR DO METDO DARIGIDEZ.................................................................................................................................37
3.1 RESUMO DO MTODO DA RIGIDEZ .......................................................................37
3.2RIGIDEZES DE MEMBRO PRISMTICO DE PRTICOS ESPACIAIS...................41
3.3 REGRA DA CORRESPONDNCIA ............................................................................443.3.1 Introduo.................................................................................................................443.3.2 Exemplo - Elementos de viga ..................................................................................45
3.4 CONDENSAO ESTTICA......................................................................................483.4.1 Introduo.................................................................................................................483.4.2 Formulao da Condensao Esttica Linear...........................................................493.4.3 Exemplo ...................................................................................................................50
3.5 FORMULAO COMPUTACIONAL.........................................................................523.5.1 Diagrama de Blocos .................................................................................................53
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3.5.2 Operaes .................................................................................................................543.5.2.1 Entrada de dados................................................................................................553.5.2.2 Clculos Preliminares ........................................................................................553.5.2.3 Montagem da Matriz de Rigidez .......................................................................573.5.2.4 Montagem do Vetor de Carga ...........................................................................593.5.2.5 Condies de Contorno .....................................................................................593.5.2.6 Clculo dos Resultados......................................................................................603.5.2.7 Sada de Dados ..................................................................................................60
4 ESTUDO DE CASOS..........................................................................................................61
4.1 EXEMPLO 1...................................................................................................................61
4.2 EXEMPLO 2...................................................................................................................64
4.3 EXEMPLO 3...................................................................................................................684.4 EXEMPLO 4...................................................................................................................71
4.5 EXEMPLO 5...................................................................................................................72
5 CONSIDERAES FINAIS..............................................................................................78
REFERNCIAS .....................................................................................................................79
APNDICE A FORMATO PADRO DO ARQUIVO DE ENTRADA.........................80
APNDICE B CLCULO DO NGULO .....................................................................84
B.1 CLCULO DO NGULO .........................................................................................85
APNDICE C MANUAL DE UTILIZAO DO SOFTWARE ...................................89
APNDICE D LISTAGEM DO PROGRAMA..............................................................123
D.1 INTRODUO...........................................................................................................124
D.2 SPACE FRAME ..........................................................................................................124D.2.1 Descrio do Programa .........................................................................................124D.2.2 Variveis do Programa ..........................................................................................125D.2.3 Listagem ................................................................................................................128D.2.4 Exemplo de Utilizao ..........................................................................................160
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1 INTRODUO
1.1 CONSIDERAES PRELIMINARES
De acordo com Martha (2000), desde a dcada de 1960 o computador tem sido
utilizado na anlise estrutural, embora inicialmente somente pelos institutos de pesquisa e
universidades. Segundo Rovere (2003), o avano computacional das ltimas dcadas
possibilitou o desenvolvimento de programas computacionais para anlise estrutural de
estruturas contnuas e reticuladas. Neste sentido, foram desenvolvidos programas comerciais
como ANSYS, SAP 2000, ABAQUS e MSC NASTRAN, com base no mtodo dos
elementos finitos. Ressalta-se, no entanto, que somente nas ltimas dcadas foramincorporados nesses programas rotinas de pr e ps-processamento para gerao automtica
de malhas e contorno de tenses.
A anlise de estruturas pode ser vista atualmente como uma simulao
computacional do comportamento de estruturas. Martha (2000) afirma que no se concebe
atualmente executar as tarefas de anlise estrutural, mesmo para o caso de estruturas
reticuladas, sem o uso de computador e de computao grfica.
Segundo Rovere (2003), existe, no entanto, uma carncia de programas
educacionais para anlise estrutural. O aluno de graduao passa diretamente dos
fundamentos tericos para a utilizao desses programas comerciais, sem conhecer, na
maioria, das vezes sua estrutura interna. Pode-se citar, como um dos poucos exemplos de
programa educacional para anlise estrutural no Brasil, o programa FTOOL (Two-
dimensional Frame Analysis Tool), para estruturas reticuladas planas desenvolvido
inicialmente atravs de um projeto de pesquisa integrado, coordenado por Marcelo
Gattass,professor do Departamento de Informtica da PUC-Rio e diretor do Grupo de
Tecnologia em Computao Grfica (Tecgraf/PUC-Rio). Esse projeto teve o apoio do CNPq
(Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientfico e Tecnolgico). Atualmente o professor
responsvel por esse programa Luiz Fernando Martha (2000), do Departamento de
Engenharia Civil da PUC-Rio.
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1.2 RELEVNCIA E JUSTIFICATIVA DO ESTUDO
Segundo Martha (2000), a Engenharia Estrutural trata do planejamento,
projeto, construo e manuteno de sistemas estruturais para transporte, moradia, trabalho e
lazer. O projeto estrutural tem como objetivo a concepo de uma estrutura que atenda sua
funo primria, sem colapsar e deformar, ou vibrar, excessivamente, satisfazendo questes
de segurana, condies de utilizao, condies econmicas, esttica, questes ambientais,
condies construtivas e restries legais. O resultado final do projeto estrutural a
especificao da estrutura de forma completa, isto , abrangendo todos os seus aspectos
gerais, tais como locao, e todos os detalhes necessrios para a sua construo. Portanto, o
projeto estrutural parte de uma concepo geral da estrutura e termina com a documentaoque possibilita a sua construo. So inmeras e muito complexas as etapas de um projeto
estrutural. Entre essas cita-se a previso do comportamento da estrutura de tal forma que a
mesma possa atender satisfatoriamente s condies de segurana e de utilizao para as quais
foi concebida.
A anlise estrutural a fase do projeto estrutural em que se realiza o estudo do
comportamento da estrutura. Esse comportamento pode ser expresso por diversos parmetros,tais como campos de tenses, deformaes e deslocamentos da estrutura. De uma maneira
geral, a anlise estrutural tem como objetivo a determinao de esforos internos e externos,
tenses correspondentes, deslocamentos e deformaes da estrutura que est sendo projetada.
Segundo Gere e Weaver (1987), na resoluo de problemas sem auxlio de
ferramentas computacionais, pode-se gerar matrizes de forma conveniente sem perda de
eficincia. Contudo, as estruturas grandes e complexas exigem a soluo de um imenso
nmero de equaes, sendo necessria para a sua soluo a utilizao de computadores. Num
programa computacional necessrio manipular toda a informao sobre a estrutura e suas
cargas de uma maneira organizada. Deste modo, deve-se desenvolver um procedimento
formalizado que permita a um computador processar grande quantidade de informao por
um procedimento de rotina.
De acordo com Gere e Weaver (1987), a condensao esttica ou
descontinuidade nos membros depende da natureza geral da estrutura reticulada, em vigas,
por exemplo, s so de importncia descontinuidades de esforo cortante e momento fletor.
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Essa ferramenta possibilita o programa de prtico espacial simular qualquer tipo de estrutura
reticulada, contemplando portando o estudo e anlise de trelias, prticos com tirantes e
grelhas.
1.3 OBJETIVO DO ESTUDO
1.3.1 Objetivo Geral
Disponibilizar uma ferramenta computacional para dar suporte ao ensino e
anlise de estruturas reticuladas.
1.3.2 Objetivos Especficos
a) Apresentar uma formulao terico-computacional para a anlise de
prticos espaciais, baseando-se no Mtodo da Rigidez;
b) Determinar, atravs do software desenvolvido, os deslocamentos(translaes e rotaes), reaes de apoio e aes de extremidade de
membros de prticos espaciais;
c) Aplicar o Mtodo da Rigidez na anlise matricial de prticos espaciais,
incorporando condensao esttica.
1.4 METODOLOGIA
Com base no objetivo de apresentar uma ferramenta computacional para a
anlise de estruturas reticuladas, definiu-se os seguintes passos: (i) Inicialmente feita uma
reviso bibliogrfica para a compreenso da importncia e domnio do objeto de estudo. Neste
sentido, so apresentados os tipos de estruturas reticuladas e suas caracteristicas, introduzindo
conceitos fundamentais.(ii) Posteriormente sodiscutidas as vrias fases de um programa
computacional para a anlise de estruturas pelo mtodo da rigidez. (iii) Por fim, apresenta-se a
formulao inerente condensao esttica.
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A ferramenta computacional baseada no Mtodo da Rigidez, e
implementada atravs da linguagem de programao FORTRAN 77. A escolha desta
linguagem deve-se, principalmente a fcil implementao e sua ampla utilizao nos meios
acadmicos e cientficos.
Para validao dos resultados foram utilizados problemas com solues
conhecidas, ou ainda outros com solues numricas geradas atravs de programas
comerciais.
1.5 ESTRUTURAO E ORGANIZAO DO TRABALHO
O trabalho est dividido em 5 captulos, sendo este primeiro o que contm as
consideraes iniciais, a justificativa, relevncia do trabalho, os objetivos bem como a
definio do escopo e organizao deste.
No Captulo 2 feita uma reviso bibliogrfica onde so abordadas aconcepo estrutural de prticos e os seus correspondentes modelos de representao.
Um resumo do mtodo da rigidez mostrando diagrama de bloco para a anlise
de prticos espaciais apresentado no capitulo 3 ao tempo que se define condensao esttica
apresentando sua correspondente formulao.
A verificao do programa aqui gerado realizada no capitulo 4 atravs da
comparao dos resultados com os obtidos atravs da literatura disponvel que utilizam
tcnicas convencionais.
O Captulo 5 apresenta as concluses finais e sugestes para a continuidade
deste trabalho.
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2 REVISO BIBLIOGR
2.1 MODELAGEM
Segundo S
chamadas estruturas ou
interligados, deformveis
primeira etapa da anlise e
Nesse sentido, as estrutu
elementos. Com relao
unidimensionais, laminares
De um mod
estas ligadas entre si e ao
ou seja, deve ser capaz
transmiti-las at seus apoi
equilibrante (SSSEKIND
A estrutura
s outras duas. So em g
supera em pelo menos trs
as vigas e pilares (vide figu
Figura 2.1: Estrutur
A estrutura
terceira. Tm-se como exe
bem menor do que suas o
FICA
riano (1993), a anlise estrutural trata d
istemas estruturais, formados de compon
capazes de receber e transmitir esforos.
strutural consiste em estabelecer omodelo es
ras podem ser tratadas globalmente, ou
a suas dimenses, as estruturas podem
e tridimensionais.
o geral, as estruturas so compostas de uma
eio exterior. O conjunto formado por estas
de receber as solicitaes externas, absor
s, onde estas solicitaes externas encontrar
, 1981).
dita unidimensional quando uma dimenso
ral denominadas barras, cujo eixo, que p
vezes a maior dimenso da seo transversal
ra 2.1).
a unidimensional - viga e pilares. Fonte: Fig
laminar quando duas dimenses predo
plo as chapas, as lajes, as placas e as cascas
utras dimenses (vide figura 2.2).
21
comportamento das
entes adequadamente
ara Rovere (2005), a
trutural a ser adotado.
ivididas em diversos
ser classificadas em
ou mais peas, sendo
eas deve ser estvel,
-las internamente e
o seu sistema esttico
predomina em relao
de ser reto ou curvo,
tm-se como exemplo
eiredo (2010).
minam em relao
, nas quais a espessura
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22
Figura 2.2: Estrutura laminar - Laje. Fonte: Figueiredo (2010).
Por fim, a estrutura tridimensional quando nenhuma dimenso
predominante. o caso de blocos de fundao e alguns tipos de barragens (vide figura 2.3).
Figura 2.3: Estrutura tridimensional - blocos de fundao. Fonte: Figueiredo (2010).
2.2 ESTRUTURAS RETICULADAS
2.2.1 Diviso da Estrutura em Elementos
Segundo Gere e Weaver (1987), cada estrutura reticulada composta
constituda por membros ligados entre si por pontos nodais, denominados ns. Portanto, ns
de uma estrutura reticulada so os pontos de interseo dos membros, assim como os pontos
de apoio e extremidades livres da estrutura.
De acordo com Rovere (2005), as aes e deslocamentos de uma estrutura sosintetizados nos ns, resultando em um sistema de equaes algbricas de equilbrio, de foras
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23
ou momentos, associados a esses ns. Ainda segundo esse autor, uma estrutura com N ns,
tendo M graus de liberdade (GL) em cada n, resultar em um sistema de NM equaes
algbricas, incluindo-se as direes restringidas por vnculos.
2.2.2 Tipos de Estruturas Reticuladas
Conforme Sssekind (1981), a maioria das estruturas constituda por barras,
sendo denominadas de estruturas reticuladas.
O estudo esttico das barras pode ser feito considerando-a representada peloseu eixo (lugar geomtrico dos centros de gravidade de suas sees transversais). Caso o eixo
das diversas barras que compe a estrutura estejam contidos em um mesmo plano tratar-se-
de uma estrutura plana, caso contrrio, tratar-se- de uma estrutura espacial (SSSEKIND,
1981).
As estruturas reticuladas podem ser classificadas em:
Vigas Trelia
o Planao Espacial
Prticoo Planoo Espacial
Arcos Grelha
Cabos, escoras e/ou tirantes
As vigas so estruturas compostas de barras retas ou curvas que esto contidos
em um plano em que a flexo preponderante. (vide figura 2.4.a). Uma trelia plana
idealizada como um sistema de membros existentes num plano e ligados entre si por rotulas,
formando malhas triangulares. Todas as foras aplicadas so consideradas como atuando no
plano da estrutura, e todos os binrios externos tm seus vetores-momento normais ao plano.
As cargas podem consistir em foras concentradas aplicadas nos ns, assim como cargas que
atuam nos prprios membros (vide figura 2.4.b). Um prtico plano constitudo por membros
existentes em nico plano tendo eixos de simetria nesse plano. As foras que atuam num
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prtico e os deslocamento
que atuam no prtico tm
arcos so elementos lin
preponderantes, agindo ou
aes esto contidas em se
Figura 2.4: Exemplos
A grelha
plano em que todas as for
vetores no plano da grelha
exceto que os membros p
trelia tridimensional pod
membro deve ter seu veto-
que um membro de uma
(GERE e WEAVER 1987)
Figura 2.5: Exemplos d
do prtico esto no mesmo plano da estru
seus vetores-momento normais ao plano (
ares curvos em que as foras normais
no simultaneamente com esforos solicit
plano.
de estruturas reticuladas planas. Fonte: Gere
ma estrutura constituda de barras retas, to
as so normais ao plano da estrutura e todo
(vide figura 2.5.a). Trelia espacial idnti
dem ter qualquer direo no espao. As f
m ter direes arbitrarias, mas qualquer
momento perpendicular ao eixo da barra. A
trelia incapaz de suportar um momento t
.
e estruturas reticuladas espaciais. Fonte: Ger
24
ura; todos os binrios
vide figura 2.4.c). Os
de compresso so
antes de flexo, cujas
e Weaver (1987).
as contidas em nico
s os binrios tm seus
a a uma trelia plana,
ras que atuam numa
inrio que atue num
razo desta exigncia
rsor, vide figura 2.5.b
e Weaver (1987).
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O tirante e
trao so preponderantes.
normais de compresso s
Os prticos
no h restries na posi
membros individuais de u
torsores, binrios fletores
foras cortantes em amb
(GERE e WEAVER 1987)
2.2.3 Sistema de C
A estrutura
Z) e os elementos em rel
perpendiculares entre si e
No sistema local, o eixo lcentride da seo, e o s
elemento (Em geral o eixo
figura 2.6).
Figura 2.6: Sistema global
cabo so elementos unidimensionais em qu
A escora um elemento unidimensional reti
preponderantes.
espaciais so o tipo mais geral de estruturas
o dos ns, direes dos membros ou di
prtico espacial podem suportar foras a
m ambas as direes principais da seo t
s as direes principais da seo transver
.
ordenadas
definida em relao a um sistema global
ao a um sistema local (x, y, z). Os trs
ormam um sistema destrgiro (satisfazem a
ocal x coincide com o eixo longitudinal dntido positivo deste eixo definido pela i
vertical da seo denominado eixo y e o
e local de coordenadas de um prtico plano.
25
e as foras normais de
lneo em que as foras
reticuladas, visto que
ees das cargas. Os
iais internas, binrios
ransversal, bem como
sal, vide figura 2.5.c
e coordenadas (X, Y,
eixos cartesianos so
regra da mo direita).
barra, passando pelo ncidncia dos ns no
orizontal eixo z (vide
Fonte: Rovere (2005).
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26
2.2.4 Graus de Liberdade
O excesso de aes desconhecidas relativamente s que podem ser encontradas
pelo equilbrio esttico designado por redundante esttico. O nmero de tais redundantes
representa o grau de indeterminao esttica da estrutura.
No mtodo da rigidez, os deslocamentos nodais da estrutura so as quantidades
desconhecidas. Por isso, o segundo tipo de indeterminao conhecida como indeterminao
cinemtica, torna-se importante. Quando a estrutura est submetida a aes, cada n ter
deslocamentos sob a forma de translao e rotaes, dependendo da configurao da
estrutura; estes deslocamentos nodais desconhecidos so as quantidades cinemticasindeterminadas, sendo por vezes designados redundantes cinemticas. O seu nmero
representa o grau de indeterminao cinemtica da estrutura.
-
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2.2.5 CaractersticasGraus de Liberdade no Sistema Local
A tabela a seguir apresenta as principais caractersticas consideradas na modelagem de elementos estruturais reticulados. Percebe-se que o prtico espacial a estrutura reticulada mais abrangente e complexa entre os reticulados apresentados.
Tabela 2.1: Estruturas ReticuladasCaractersticas Gerais. Fonte: Rovere (2005).
Viga 2 GL por n:translaoparalela a y erotao emtorno de z
estrutura plana em que o eixolongitudinal das barras (x) estcontido no eixo XY e sempreparalelo ao eixo X. O eixo y da seotransversal das barras deve ser umeixo de simetria de maneira a garantirque as barras no sofram toro; oseixos da seo transversal seroassim eixos principais de inrcia e ocentro de gravidade coincidir com ocentro de toro da seo.
as barrasso emgeralrigidamenteligadasentre si.
as foras aplicadaspodem serconcentradas oudistribudas esituam-se no planoXY (que coincidecom o plano xydas barras). Osbinrios aplicadosdevem ter seusvetores-momento(seta dupla)normais ao planoXY (paralelos aoeixo Z).
atendidas as condies acima, oselementos de viga se deformarono plano xy, no sofrendo toronem flexo fora do plano. Asdeformaes por flexopredominam e no caso de vigaslongas, em que a relao altura daseo(h) / comprimento do vo (l)for pequena, pode-se desprezar oefeito da fora cortante. Asdeformaes axiais no seroconsideradas.
a viga estar submetida a esforo cortantee momento fletor; no ser considerado oesforo axial. No caso da viga estarsubmetida a esforo axial significativo,esta deve ser tratada como prtico plano
Grelha 3 GL/n:translaoparalela a z erotao emtorno de x ede y
estrutura plana (plano XY) compostade barras contnuas que seinterceptam mutuamente.
ao contrrio doprtico plano,todas as forasatuamnormalmente aoplano XY e todosos binrios tmseus vetores (setadupla) no plano dagrelha (XY).
predominante por flexo(deformaes por toro e porcisalhamento so secundrias).Considera-se que cada barra temdois eixos de simetria na seotransversal, um est no plano XYe o outro paralelo a direo Z. Istoimplica em que os esforos demomento toror e fletor ajamindependentemente e tambmimplica que as barras se deformempor flexo na direo Z.
de flexo, toro e cortante.
continua
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28
continuao
Trelia Plana 2 GL/ n :translaoparalela a x ea y
estrutura plana em que o eixolongitudinal das barras (x) estcontido no plano XY e pode ter umaorientao arbitrria em relao aoeixo X.
as barrassoarticuladas,ou seja,ligadasentre si por
rtulas.
as foras aplicadaspodem serconcentradas oudistribudas esituam-se no planoXY. Os binrios
aplicados devemter seus vetores -momento (setadupla) normais aoplano XY(paralelos ao eixoZ). Pode haverforas aplicadasdiretamente nosns ou nas barras,mas no podehaver binriosaplicadosdiretamente nosns (apenas nasbarras).
as deformaes axiaispredominam; pode haver tambmdeformao por flexo, mas a decisalhamento ser sempredesprezada.
se s houver foras aplicadas diretamentenos ns e foras axiais ao longo das barras,as barras estaro submetidas apenas aesforo axial. Se houver forastransversais e binrios ao longo das barrashaver esforo cortante e momento fletor
tambm (obtidos considerando-se as barrascomo vigas bi-apoiadas).
Trelia Espacial (3 GL/ n:translaoparalela a x,y, z
idntica trelia plana, exceto que asbarras podem ter qualquer direo noespao.
as barrasso ligadasentre si porrtulas.
as deformaes axiaispredominam; pode haver tambmdeformao por flexo, mas a decisalhamento ser sempre
desprezada.
se s houver foras aplicadas diretamentenos ns e foras axiais ao longo das barras,as barras estaro submetidas apenas aesforo axial. Se houver foras
transversais e binrios ao longo das barrashaver esforo cortante e momento fletortambm (obtidos considerando-se as barrascomo vigas bi-apoiadas).
Continua
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29
continuao
Prtico Plano 3 GL/ n:translaoparalela a x ea y e rotaoem torno de z
estrutura plana constituda de barrasprismticas, situadas no plano XY,com orientao arbitrria em relaoao eixo X. Assim como nas vigas,considera-se que o eixo vertical (y)da seo transversal das barras um
eixo de simetria e, portanto, y e z soeixos principais de inrcia.
as barrasso emgeralrigidamenteligadasentre si.
como nas vigas, asforas atuam noplano XY ebinrios atuamperpendicularmenteao plano XY
(direo Z).
de flexo, axial e cortante. as deformaes por flexo predominam eocorrem no plano XY. Consideram-se asbarras longas; desprezam-se, portanto, asdeformaes por cisalhamento Asdeformaes por flexo e axial soconsideradas independentemente uma da
outra (nas estruturas lineares no haverinterao entre esforo axial e flexo).
Prtico Espacial 6 GL/ n:translaoparalela a x,y, e z erotao emtorno de x, y,z
tipo de estrutura mais geral, no hrestrio na posio dos ns, barrasou direes das cargas. No entantoconsidera-se que a seo transversaltem dois eixos de simetria (eixosprincipais) de forma a no ocorrerinterao entre flexo e toro.
as barrasso emgeralrigidamenteligadasentre si.
por flexo, axial e por toro; nocaso de barras longas pode-sedesprezar a deformao porcisalhamento.
axial, de toro, esforo cortante nas duasdirees principais e tambm de flexo nasduas direes principais.
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2.2.6 Condies de Equilibro
Para um determinado carregamento aplicado todas as estruturas devem ser
capazes de alcanar um estado de equilbrio estvel. Esta condio de equilbrio deve ser
satisfeita pela estrutura como um todo ou por qualquer poro isolada desta.
Em um corpo livre submetido a diferentes aes, a resultante de todas as aes
pode ser uma fora, um binrio, ou ambos. Se o corpo livre est em equilbrio esttico, a fora
e momento resultante so ambos zero. Um vetor no espao tridimensional pode ser
decomposto em trs componentes segundo direes mutuamente ortogonais, tais como as
direes X, Y e Z. Se o vetor-fora resultante nulo, ento suas componentes tambm devemser iguais a zero, podendo-se, portanto, adotar as seguintes equaes de equilbrio esttico:
0F0F0F zyx (2.1.a)
Nestas equaes xF , yF e zF so as somas algbricas das
componentes segundo as direes X, Y, e Z, respectivamente, de todos os vetores-fora
atuando no corpo livre. De modo idntico, se o vetor-momento resultante igual a zero, as
equaes de equilbrio esttico so
0M0M0M zyx (2.1.b)
onde xM , yM e zM so as somas algbricas dos momentos em relao aos eixos X,
Y, e Z, respectivamente, de todos os binrios e foras que atuam no corpo livre.
As seis equaes 2.1 representam as equaes de equilbrio esttico para aes
em trs dimenses. Podem ser aplicadas a qualquer corpo livre, bem como estrutura
completa, uma parte da estrutura, um nico membro, ou um n da estrutura (GERE e
WEAVER, 1987).
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2.2.7 Condies de Compatibilidade de Deslocamentos
Segundo Gere e Weaver (1987) em uma anlise de determinada estrutura, alm
das condies de equilbrio, deve-se atender as condies de compatibilidade. De acordo com
Martha (1993), compatibilidade significa que os deslocamentos e deformaes das vrias
partes da estrutura so consistentes. Isso expressa exigncia de que todas as partes da
estrutura deformada devem permanecer ajustadas, unidas, ligadas, durante todos os estgios
de carregamento. Em outras palavras, conforme observa Gere e Weaver(1987)estas condies
asseguram a continuidade dos deslocamentos ao longo da estrutura.
No caso dos elementos estruturais constitudos por barras, a hiptese dedeformao da barra mantendo a seo transversal plana, implica na existncia de
compatibilidade no interior das mesmas. Assim, deve-se garantir a compatibilidade nas
junes das barras e, desta forma, garantir a compatibilidade no interior de toda a estrutura.
Para exemplificar as relaes que garantem a compatibilidade nodal considere
a estrutura da figura 2.7.
Figura 2.7: Deslocamentos globais e locais.
As condies de compatibilidade nos ns das barras podem ser expressas por:
636
26
535
25
434
24
323
16
222
15
121
14
Ddd
Ddd
Ddd
Ddd
Ddd
Ddd
(2.2)
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onde
jD o deslocamento j segundo o sistema de referncia global
i
kd o deslocamento k no elemento i segundo o sistema de referncia local
Estas condies partem do principio de que as junes entre as barras so
totalmente rgidas, isto , tanto a translao quanto a rotao so iguais nas duas extremidades
da junta. Estas condies so chamadas de condies internas de compatibilidade de
deslocamentos (MARTHA, 1993).
Alm das condies de compatibilidade interna, os deslocamentos tambm
devem ser compatveis com as condies de apoio da estrutura. Estas so as condies
externas de compatibilidade de deslocamentos. No caso da estrutura dafigura2. 7, em conjunto
com a figura 2.8, tais condies resultam em:
Figura 2.8: Prtico plano.
0Dd
0Dd
0Dd
0Dd
0Dd
0Dd
12
3
3
11
3
2
10
3
1
9
1
3
8
1
2
7
1
1
(2.3)
-
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2.3 ANLISE ESTRUTU
Segundo Ge
so considerados as teoria
dois mtodos complement
e, conseqentemente, clc
matricial torna possvel
eficientes de descrever as
programadas para um com
A anlise eestrutura que est sendo
abstrao o do mundo fs
Figura 2.9: Quatro nveis
2.3.1 Modelo Estru
Conforme
modelo analtico que util
modelo chamado de mod
hipteses feitas para descrcriao do modelo estrutu
anlise estrutural. Essa tar
da sua importncia.
Na concep
da estrutura real em que
Feodosiev (1977), as hipt
AL
re e Weaver (1987) os mtodos de anlise de
mais fundamentais e universais entre toda
res so especialmente apropriados para um
lo utilizando computadores. Ainda segund
m tratamento unificado do tema, alm d
rias etapas na anlise, de modo que essas
utador.
trutural moderna trabalha com quatro nvenalisada, tal como indicado na figura 2.9.
ico, isto , representa-se a estrutura real tal c
e abstrao para uma estrutura na anlise est
(2000).
ural
artha (2000), o segundo nvel de abstrao d
izado para representar matematicamente a es
lo estrutural, ou modelo matemtico, e inco
ver o comportamento da estrutura para as dral de uma estrutura real uma das tarefa
fa pode ser bastante complexa, dependendo
o do modelo estrutural feita uma idealiza
e adota uma srie de hipteses simplifica
ses bsicas so:
33
flexibilidade e rigidez
as disponveis. Esses
formulao matricial
esse autor, a anlise
proporcionar meios
sejam mais facilmente
s de abstrao para a O primeiro nvel de
mo construda.
rutural. Fonte: Martha
a anlise estrutural o
trutura analisada. Esse
pora todas as teorias e
iversas solicitaes. A mais importantes da
do tipo de estrutura e
o do comportamento
oras. De acordo com
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Os materiais sero supostos contnuos (ausncia de imperfeies,
bolhas etc.), homogneos (iguais propriedades em todos os seus
pontos), e istropos (iguais propriedades em todas as direes);
eixo longitudinal, sobre o plano neutro, no tem deformao;
Todas as sees normais permanecem planas e normais ao eixo
encurvado aps a deformao (hiptese das sees planas);
Qualquer deformao da seo normal no seu prprio plano
desprezada;
material est no regime elstico linear;
As deformaes e as rotaes so consideradas pequenas perante a
unidade.
A Figura 2.10 mostra um exemplo de um modelo estruturalbidimensional para o prtico de um galpo industrial.
Figura 2.10: Estrutura real e o seu modelo estrutural.
Observa-se na figura 2.10 que os elementos estruturais do galpo (vigas e
colunas) aparecem representados por linhas. A informao tridimensional das barras fica
representada por propriedades globais de suas sees transversais, tais como rea e momento
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de inrcia. Portanto, no cas
uma tarefa simples: os ei
2.3.2 Modelo Discr
De acordo
anlise estrutural o do m
de clculo dos mtodos de
Em geral,
parmetros para representcomportamento analtico d
em que solues analticas
adotados. A passagem d
discretizao. Martha(200
dependem do mtodo utiliz
Na soluoreticuladas, a soluo discr
(pontos de encontro das
denominados deslocabilid
deslocamentos horizontais
ns, yC e y
D , e as rotaes
Figura 2.11: Parmetros
o de estruturas reticuladas, a considerao d
os das barras definem os elementos do mod
to
com Martha (2000), o terceiro nvel de
odelo discreto. Esse modelo concebido de
anlise.
os mtodos de anlise utilizam um conj
r o comportamento de uma estrutura. Nesso modelo estrutural substitudo por um co
contnuas so representadas pelos valores di
o modelo matemtico para o modelo di
) afirma que os tipos de parmetros adotad
ado.
pelo Mtodo da Rigidez ou dos Deslocaeta representada por valores de deslocame
arras), tal como indicado na figura 2.11.
ades. No exemplo da figura2. 11, as de
dos ns superiores, xC e x
D , os desloca
dos ns livres ao giro, B, C e D.
odais utilizados na discretizao pelo Mtod
Martha (2000).
35
geometria do modelo
lo estrutural.
bstrao utilizado na
ntro das metodologias
nto de variveis ou
nvel de abstrao, o mportamento discreto,
cretos dos parmetros
screto denominada
os no modelo discreto
entos, para estruturas tos e rotaes nos ns
Esses parmetros so
slocabilidades so os
entos verticais desses
o da Rigidez. Fonte:
-
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36
Na figura 2.11, a configurao deformada da estrutura (elstica mostrada em
escala ampliada) representa a soluo contnua do modelo matemtico. Os valores das
deslocabilidades nodais representam a soluo discreta do problema. Nesse tipo de
metodologia baseada em deslocamentos, a soluo contnua pode ser obtida por interpolao
dos valores discretos dos deslocamentos e rotaes nodais, considerando tambm o efeito da
carga distribuda na barra horizontal.
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3 ANLISE MATRICIARIGIDEZ
3.1 RESUMO DO MTO
O mtodo d
programaes automticas,
As incgnitas primrias no
resoluo de um sistema d
princpio da superposio.
nmero, grau de indetermi
No mtodo
alterando a estrutura real
sejam inicialmente nulos e
denomina-se sistema princi
Segundo Ge
deslocamentos desempen
conveniente de exprimir es
equaes podem ser obtida
A ao A c
extremidade da mola. A
deslocamento do seguinte
DSA
Nesta equa
para produzir um desloca
DE PORTICOS ESPACIAIS A PARTI
O DA RIGIDEZ
a rigidez, ou mtodo dos deslocamentos, am
considerado o mais importante mtodo d
mtodo da rigidez so deslocamentos, que s
equaes lineares algbricas de equilbrio,
Esses deslocamentos so denominados gr
ao cinemtica (SORIANO e LIMA 2006).
da rigidez, uma estrutura cinematicamente
de modo que os deslocamentos desconhec
em seguida assumam valores unitrios. Es
pal (GERE e WEAVER 1987).
re e Weaver (1987), as relaes que existe
am um papel importante na anlise e
sas relaes por meio de equaes de a
s considerando a mola linearmente elstica
Figura 3.1: Mola linearmente elstica
mprimir a mola produzindo desse modo u
relao entre A e D pode ser expressa
odo:
o, S a rigidez da mola, a qual definida c
mento unitrio. A rigidez expressa em
37
DO METDO DA
plamente utilizado em
anlise de estruturas.
o obtidos por meio de
eduzidas utilizando o
us de liberdade e seu
determinada obtida
idos da estrutura real
a estrutura restringida
m entre as aes e os
strutural. Um modo
e deslocamento. Tais
ostrada na figura 3.1.
m deslocamento D da
por uma equao de
(3.1)
omo a ao necessria
nidades de fora por
-
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38
unidade de comprimento.A relao citada acima valida para qualquer estrutura linearmente
elstica submetida a uma nica ao (GERE e WEAVER, 1987).
Estendendo a anlise, para as demais estruturas reticuladas, as equaes de
equilbrio da estrutura no sistema global de referncia podem ser escritas ento, sob a forma
matricial (GERE e WEAVER 1987):
{A}=[S].{D} (3.2)
onde
[S] Matriz de Rigidez da estrutura no restringida;
{D} Vetor de Deslocamentos nodais da estrutura;
{A} Vetor de Aes nodais da estrutura.
A matriz de rigidez da estrutura no restringida [S] formada a partir da matriz
de rigidez de cada elemento, no sistema global, somando-se os coeficientes correspondentes
aos mesmos graus de liberdade:
][S=[S] MD (3.3)
onde
[SMD] Matriz de Rigidez do elemento no sistema global, sendo que a matriz de cada
elemento no sistema global obtida da seguinte forma:
]].[R]'.[S[R=][S TMTMD (3.4)
onde
[RT] Matriz de Rotao do elemento, que depende de sua orientao;
[RT]Transposta da Matriz de Rotao do elemento;[SM] Matriz de Rigidez do elemento no sistema local.
-
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39
Se uma estrutura tem N ns, e cada n tem M graus de liberdade, a equao
(3.2) resultante ter NM equaes. A matriz de rotao [RT] est definida adiante atravs da
equao (3.27 e 3.25).
O vetor de cargas combinadas {AC} formado pela soma dos efeitos do vetor
de cargas aplicadas diretamente nos ns, {A}, com os efeitos do vetor de cargas nodais
equivalente a aes aplicadas nos elementos sendo o ultimo, obtido invertendo-se as reaes
de cada elemento:
}{A-{A}=}{A RLC ; (3.5)
sendo
}{A=}{A gRL e }]'.{A[R=}{A LTg (3.6)
onde
{ARL} Vetor de reaes na estrutura restringida;
{Ag} Vetor de reaes de engastamento perfeito do elemento no sistema global de
coordenadas;
{AL} Vetor de reaes de engastamento perfeito do elemento no sistema local de
coordenadas;
[RT]Transposta da Matriz de Rotao do elemento;
O vetor das reaes na estrutura restringida }{A RL a soma dos coeficientes
(que correspondem ao mesmo grau de liberdade da estrutura) dos elementos que concorrem
no mesmo n.
Em seguida deve-se impor as condies de contorno, encontrando-se o sistema
de equaes de equilbrio para a estrutura restringida anulando os graus de liberdade
restringidos na estrutura real:
{A}=[S].{D}+}{A RL (3.7)
-
7/25/2019 Anlise de Prticos Com Incorporao de Condesao Esttica Por Raphael Ribeiro Santos
40/167
40
Para finalizar os clculos, resolve-se o sistema de equaes (3.7) e obtm-se o
vetor de deslocamentos:
}{A-{A}=[S].{D} RL (3.8)
}A-.{A[S]={D} RL-1 (3.9)
No presente trabalho foi adotado, para a resoluo do sistema de equaes, o
Mtodo de Eliminao de Gauss, que permite a anlise de um nmero ilimitado de graus de
liberdade. No entanto, o programa gerado com base nessa formulao foi limitado a 3000
graus de liberdade.
A partir dos deslocamentos calculados com (3.9) determinam-se as reaes de
apoio AR (foras e binrios nas direes de X, Y e Z), as quais so calculadas utilizando a
equao (3.10).
}D{]S[}{A}{A RDRLR (3.10)
onde
{AR} Vetor de reaes na estrutura real;
A matriz SRD uma sub-matriz retangular de S que contm aes
correspondentes s restries dos apoios, devidas aos valores unitrios dos deslocamentos
correspondentes aos graus de liberdade.
Finalmente, as aes de extremidade de membro para cada membro so
calculadas substituindo a matriz de rigidez de membro [SM]i para os eixos de membro e a
forma apropriada da matriz de transformao de rotao [RT] ital qual se apresenta na equao
(3.11).
iiTiMiMLiM .[D]][R][S}{A=}{A (3.11)
-
7/25/2019 Anlise de Prticos Com Incorporao de Condesao Esttica Por Raphael Ribeiro Santos
41/167
onde
{AM} Aes de extremi
{AML} Aes de extrem
3.2RIGIDEZES DE MEM
Seja o elem
Figura 3.2, cujo sistema lo
Figura 3.2:
O elementoainda para esse elemento
vetor de deslocamentos no
do elemento no sistema loc
4
3
2
1
M
D
D
D
D
=}{D
41
31
21
11
M
S
S
S
S
=}{S
Para se obte
extremidades do elemento
1D1 (Figura 3.3a); imp
ade de membro na estrutura real;
idade de membro na estrutura restringida.
RO PRISMTICO DE PRTICOS ESPA
nto de viga com 2 graus de liberdade por
al coincide com o sistema global.
Elemento de viga com 2 graus de liberdade
(i) (Figura 3.2) delimitado pelo n inicial Jcomprimento Le o momento de inrcia da
dais do elemento dado pela equao (3.12
al expressa pela equao (3.13):
444442
343332
242322
141312
SSS
SSS
SSS
SSS
r os coeficientes da matriz de rigidez, SMij, in
e libera-se o valor unitrio de um dos desl
-se em seguida D2 = 1 (Figura 3.3b).
41
IAIS
n como mostrado na
por n
e n final K, define-se seo transversal I. O
) e a matriz de rigidez
(3.12)
(3.13)
icialmente fixam-se as
camentos, a exemplo
-
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Figura 3.
Prossegue-s
figura 3.4.
Figu
Todos os c
Foras ou podem ser enco
simtrica).
Impe-se ini
LEI4
S22 e
Por equilbri
e0M J
32
4S
Analogame
equilbrio obtm-se os coe
: Imposio dos deslocamentos unitrios D1
assim com os deslocamentos D3 e D4(D3 =
ra 3.4: Imposio dos deslocamentos D3 e D4
eficientes de rigidez SMij podem ser calcul
ntrados por equilbrio, sabendo-se que Sij =
cialmente D2 =1 e, pelo Mtodo das Foras,
LEI2
42
o tem-se que
0Fy
2L
EI6L
L
EI2I
e 212 L
EI6S
te, ao se impor D4 = 1 tem-se que4
S44
icientes
42
e D2
1 e D4 = 1), conforme
dos pelo Mtodo das
Sji (matriz de rigidez
m-se que
LEI
eLEI2
S24 e, por
-
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43
23443 L
EI6SS e
21441 L
EI6SS
Lembrando da simetria obtm-se que:
23223 L
EI6SS e
21221 L
EI6SS
Da Figura 3.3a, obtm-se por equilbrio os coeficientes
221 LEI6
S , 241 LEI6
S
0M j , 22231 LEI12
LL
EI6
L
EI6S
0FY , 23111 LEI12
SS
Da Figura 3.4a obtm-se por equilbrio os coeficientes
223 LEI6
S 243 L
EI6S
3221331 L
EI12L
L
EI6
L
EI6SS
31333 L
EI12SS
Portanto a matriz de rigidez do elemento de viga no sistema local
L
EI4
L
EI6
L
EI2
L
EI6L
EI6
L
EI12
L
EI6
L
EI12L
EI2
L
EI6
L
EI4
L
EI6L
EI6
L
EI12
L
EI6
L
EI12
S
22
2323
22
2323
4X4M
-
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44
Esta matriz de rigidez singular, e conseqentemente no inversvel.
necessrio restringir o elemento para resolver o seu sistema de equaes de equilbrio. Os
coeficientes da diagonal de [SM] so sempre positivos. Para este elemento (viga) a matriz de
rigidez no sistema local coincide com o global.
De maneira anloga obtm-se os coeficientes para um elemento de prtico
espacial, conforme mostrado atravs da matriz abaixo extrada de Gere e Weaver (1987).
L
EI4000
L
EI60
L
EI2000
L
EI60
0L
EI40
L
EI6000
L
EI20
L
EI600
00L
GI00000
L
GI000
0L
EI60
L
EI12000
L
EI60
L
EI1200
L
EI6000
L
EI120
L
EI6000
L
EI120
00000L
EA0000
L
EAL
EI2000
L
EI60
L
EI4000
L
EI60
0L
EI20
L
EI6000
L
EI40
L
EI600
00L
GI00000
L
GI000
0LEI60
LEI12000
LEI60
LEI1200 L
EI6000
L
EI120
L
EI6000
L
EI120
00000L
EA00000
L
EA
S
Z2
ZZ2
Z
Y2
YY2
Y
XX
2
Y
3
Y
2
Y
3
Y
2Z
3Z
2Z
3Z
XX
Z2
ZZ2
Z
Y2
YY2
Y
XX
2Y
3Y
2Y
3Y
2Z
3Z
2Z
3Z
XX
M
Onde Ax a rea da seo transversal, Ix, Iy e Iz os momentos de inrcia na
direo de x, y e z respectivamente e G o mdulo de elasticidade transversal.
3.3 REGRA DA CORRESPONDNCIA
3.3.1 Introduo
Segundo Rovere (2005), a regra da correspondncia relaciona a numerao dos
deslocamentos das extremidades dos elementos ({uG}), com a numerao dos deslocamentos
nodais da estrutura ({D}). Em cada elemento (i) os deslocamentos so numerados de 1 a 2
NGL/n (NGL/n = nmero de graus de liberdade por n):
-
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Com o fim
necessrio relacionar os
de um sistema apropriado
de graus de liberdade ao
numeradas antes das rota
numerados os deslocamerespectivamente.
NGLjw
sendo
Jw Deslocamento w na e
NGL Nmero de graus
NN Nmero do n
W ndice que indica des
De forma an
3.3.2 Exemplo - El
Seja a viga
por n igual a dois.
Figura 3.5: Regra da correspondncia
e se ter uma notao aplicvel ao desenvol
eslocamentos de extremidade aos deslocam
e indexao. Um sistema que torna isso pos
nmero do n, uma vez que as transla
es, segue em todos os casos a orienta
tos na direo de X, Y e Z para as t
)WNGL(NN
xtremidade esquerda
e liberdade por n
locamento
loga feita para a extremidade k do elemen
mentos de viga
ontnua mostrada na figura 3.6, cujo nmer
Figura 3.6: Viga contnua
45
imento de programas,
ntos dos ns por meio
vel associa o nmero
s em particular esto
o dos eixos, sendo
anslaes e rotaes
(3.14)
to i.
de graus de liberdade
-
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A figura 3.7
referencial global. J na fi
local.
F
Figura 3.8: Elementos de
Analisando
graus de liberdade no siste
na tabela 3.1 e nas matrize
Tabela 3.1: Regra da corr
Elementoj K
(1)1 2
(2)2 3
(3)3 4
(4)4 5
ug
2J -1 1 3 5 7 12J 2 4 6 8 2
2K-1 3 5 7 9 3
2K 4 6 8 10 4
1 2 3 4 3 4 5 6
1 X X X X 3
[SG]1= 2 [SG]
2= X X X X 4
3 X X X X 5
4 X X X X 6
mostra a numerao dos graus de liberdade
ura 3.8 os graus de liberdade so mostrados
igura 3.7: Graus de liberdade da estrutura
viga utilizados na modelagemgraus de lib
as figuras 3.7 e 3.8 determina-se a regra d
a de referencia local para o sistema de refer
abaixo:
spondncia: GL da estrutura correspondente
(1)1 2
(2)2 3
(3)3 4
(4)4 5
1 3 5 72 4 6 83 5 7 9
4 6 8 10
1 2 4 3 4 5 6
1 X X X X 3
[SG]1= 2 [SG]
2= X X X X 4
3 X X X X 5
4 X X X X 6
46
de cada n segundo o
segundo o referencial
rdade dos elementos
correspondncia dos
encia global, mostrada
ao GL dos elementos
Elementoj K
(1)1 2
(2)2 3
(3)3 4
(4)4 5
ug
2J -1 1 3 5 7 12J 2 4 6 8 2
2K-1 3 5 7 9 3
2K 4 6 8 10 4
1 2 3 4 3 5 6
1 X X X 3
[SG]1= 2 [SG]
2= X X X 4
3 X X X 5
4 X X X 6
-
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47
5 6 7 8 7 8 9 10
5 7
[SG]3= 6 [SG]
4= 8
7 9
8 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2 X X 0 0 0 0 3 X X 0 0 0 0 4
0 0 X X X+ X+ 0 0 5
0 0 X X X+ X+ 0 0 6
0 0 0 0 + + 7
0 0 0 0 + + 8
0 0 0 0 0 0 90 0 0 0 0 0 10
Segundo Rovere (2005), os coeficientes da matriz de rigidez da estrutura no
restringida so formados a partir dos coeficientes das matrizes de rigidez no sistema global de
cada elemento, usando-se a regra da correspondncia e somando-se os coeficientes que
correspondem ao mesmo grau de liberdade da estrutura nos ns onde concorrem os
elementos.
Na anlise de prticos espaciais, o sistema de numerao a ser adotado para
membros e ns o mesmo que foi discutido anteriormente, sendo consideradas todas asdeformaes axiais, por flexo e por toro. Os deslocamentos desconhecidos nos ns so de
seis tipos, nomeadamente as componentes de translao de n em X, Y e Z, bem como as
rotaes segundo X, Y e Z(GERE e WEAVER, 1987).
-
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48
3.4 CONDENSAO ESTTICA
3.4.1 Introduo
A condensao esttica um procedimento que permite a liberao de graus de
liberdade, tornando possvel, a partir da matriz de rigidez de elemento de prtico, por
exemplo, analisar estruturas reticuladas com comportamento de trelias, como exemplo
extremo (vide figura 3.9), ao passo que se pode liberar graus de liberdade.
Figura 3.9: Matriz de rigidez de trelia gerada a partir da matriz de rigidez de prtico.
Os smbolos nas figuras 3.10 (a, b, c, d) indicam a impossibilidade de
transmitir esforo cortante, momento fletor, fora axial e toro respectivamente. Destas
impossibilidades de transmitir aes resultam descontinuidades nos deslocamentos de
translao ou rotao. A condensao esttica permite a anlise de estruturas que possuem tais
descontinuidades, uma vez que as matrizes de rigidez dos elementos afetados pela
descontinuidade possuem mais graus de liberdade por n do que uma viga e menos do que um
prtico, fato extremamente complexo de se realizar apenas tentando compatibilizar matrizes
de rigidez de elementos distintos.
Figura 3.10: Descontinuidades parciais. Fonte: Gere e Weaver (1987).
-
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49
3.4.2 Formulao da Condensao Esttica Linear
Segundo Assan (1999) para realizar a condensao esttica, considera-se o
sistema de equaes de equilbrio montado da seguinte maneira:
p
c
p
c
pppc
cpcc
r
r
d
d
KK
KK(3.15)
onde
ccK Sub-matriz dos graus de liberdade que sero condensados
ppK Sub-matriz dos graus de liberdade que permanecero
cpK pcK Sub-matriz dos graus de liberdade que sofrem influncia da condensao esttica
cd Sub-vetor dos deslocamentos associado aos graus de liberdade que sero condensados
pd Sub-vetor dos deslocamentos associado aos graus de liberdade que permanecero
cr Sub-vetor das cargas nodais associada aos graus de liberdade que sero condensados
pr Sub-vetor das cargas nodais associada aos graus de liberdade que permanecero
Da parte superior do sistema de equaes (3.15), tem-se que:
cpcpccc rdKdK (3.16)
pcp
1
ccc
1
ccc dKKrKd (3.17)
Operando com a parte inferior do sistema, obtm-se:
ppppcpc rdKdK (3.18)
-
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50
Substituindo na equao (3.18) o vetor dc dado em (3.17), resulta o seguinte
sistema de equaes:
c1ccpcppcp1ccpcpp rKKrdKKKK
que pode ser reduzido a:
pppp rdK (3.19)
sendo:
cp1
ccpcpppp KKKKK (3.20)
a matriz de rigidez condensada
c1
ccpcpp rKKrr (3.21)
o vetor de cargas nodais equivalentes condensado.
Nesse ponto cabe ressaltar que os valores de deslocamentos nos ns eliminados
do sistema podem ser obtidos posteriormente pela equao (3.15).
3.4.3 Exemplo
O exemplo mostrado a seguir mostra o processo para obteno da matriz derigidez condensada. A viga mostrada na figura 3.11 tem um comprimento L igual a 4m,
modulo de deformao longitudinal E igual a 20 GPa e inrcia I igual a 4105,4 m. A carga
que atua uniformemente distribuda ao longo viga cujo seu valor igual a 10 kN.
Figura 3.11: Viga com rotula aplicada a direita.
-
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51
LEI4
LEI6
LEI2
LEI6
LEI6
LEI12
LEI6
LEI12
LEI2LEI6LEI4LEI6
LEI6
LEI12
LEI6
LEI12
S
z2
zz2
z
2z
3z
2z
3z
z2
zz2
z
2z
3z
2z
3z
M
A matriz de rigidez de membro de viga apresentada no item 3.2 mostrada
acima, substituindo os dados da questo obtm-se:
1 2 3 41 1687500 3375000 -1687500 33750002 3375000 9000000 -3375000 45000003 -1687500 -3375000 1687500 -33750004 3375000 4500000 -3375000 9000000
Para a resoluo do problema deve-se inicialmente reordenar a matriz de
rigidez do elemento at se obter a forma apresentada na equao 3.15, onde os termos da
matriz associados ao grau de liberdade liberado devem estar posicionados na primeira linha eprimeira coluna da matriz. A reordenao da matriz realizada com um grau de liberdade de
cada vez respeitado a ordem da numerao sendo que para o grau seguinte a matriz a se
reordenada e o resultado obtido pela primeira reordenao. A matriz reordenada mostrada
abaixo.
4 1 2 34 9000000 3375000 4500000 -33750001 3375000 1687500 3375000 -1687500
2 4500000 3375000 9000000 -33750003 -3375000 -1687500 -3375000 1687500
Identificando os termos da equao 3.15 tem-se:
9000000K cc
16875003375000-168750-
3375000-9000000337500
1687500-33750001687500
Kpp
-
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52
3375000-45000003375000Kcp
3375000-
4500000
3375000
Kpc
Calculando a inversa da Sub-matriz dos graus de liberdade que sero
condensados ccK tem-se:
07-1,11EK cc
Substituindo os termos na equao 3.20 tem-se:cp
1ccpcpppp KKKKK
(3.20)
3375000-4500000337500007-1,11E3375000-
4500000
3375000
16875003375000-168750-
3375000-9000000337500
1687500-33750001687500
Kpp
Resolvendo a equao obtm a matriz de rigidez condensada mostrada abaixo.
1 2 31 421875 1687500 -4218752 1687500 6750000 -16875003 -421875 -1687500 421875
3.5 FORMULAO COMPUTACIONAL
Resume-se em quatro etapas bsicas o desenvolvimento de um programa de
anlise estrutural:
Dados do problema - entender as relaes existentes entre os dados que
so relevantes para o problema, criando uma estrutura lgica dos dados;
Clculos preliminares - decidir que transformaes sero efetuadas
sobre os dados no algoritmo para resolver o problema;
-
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Codi
Ling
Dep
prog
3.5.1 Diagrama de
Com base n
rigidez construiu-se um p
3.12. Cada smbolo most
operao que deve ser exec
Quadro
ficao - Escrita do cdigo fonte do progra
uagem de Programao;
rao - Verificao do comportamento e c
rama satisfaz as especificaes do problema.
locos
formulao matricial apresentada anteriorm
rograma seguindo o diagrama de bloco es
rado no quadro 3.1 representa uma instr
utada pelo computador.
3.1: Simbologias BsicasDiagrama de Blo
53
a com o uso de uma
orreo - avaliar se o
ente para o mtodo da
uematizado na figura
o, sendo esta uma
cos
-
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Figura 3.12: D
3.5.2 Operaes
O diagrama
operaes necessrias para
igrama de bloco para a anlise de estruturas r
de bloco mostrado na figura 3.12 estab
anlise de um prtico. A seguir so descritas
54
eticuladas
elece a seqncia de
as operaes bsicas.
-
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55
3.5.2.1 Entrada de dados
A operao de entrada de dados l, armazena e escreve os dados da estrutura.
No APNDICE A mostra um arquivo no formato padro, apresentando um roteiro com as
principais informaes que sero lidas sendo descrito com detalhes no item 3.2 do
APNDICE C.
3.5.2.2 Clculos Preliminares
Nessa operao o comprimento L de cada barra, visto anteriormente, pode ser
calculado atravs da seguinte equao:
2jk2
jk2
jk ZZYYXXL (3.22)
Os co-senos diretores do membro Cx, Cy e Cz, podem ser calculados a partir
das coordenadas das extremidades dos membros (ns j e k, conforme figura 3.2):
L
ZZC
L
YYC
L
XX
C
jkz
jky
jk
x
(3.23)
O Mdulo de elasticidade transversal, ou Mdulo Transversal, representado
pela letra G, definido em funo do mdulo de elasticidade (E) e do coeficiente de Poisson
(v) atravs da equao (3.24).
12
EG (3.24)
A figura 3.10 mostra as aes de extremidades consideradas em elementos que
esto engastados, sujeitos a varias condies de carga. Os momentos so positivos no sentido
anti-horrio respeitando a regra da mo direita, e as foras sendo orientadas com o eixo y.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ghttp://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Poissonhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Poissonhttp://pt.wikipedia.org/wiki/G -
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56
Todas as frmulas dadas na figura 3.13 podem ser deduzidas integrando a
equao diferencial para flexo de uma viga. O mtodo da flexibilidade tambm pode ser
empregado para a obteno das frmulas.
Figura 3.13: Aes de extremidade para membros restringidos. Fonte: Gere e Weaver (1987).
-
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Para o clc
localmente. A matriz R
ortogonais das component
estrutura.
2
z
2
x
zyx
2
z
2
x
zyx
x
CC
cosCsenCC
CC
senCcosCC
C
R
Esta matriz
membro e do ngulo q
inrcia no sistema local e o
Figura 3.14: Rotao de
3.5.2.3 Montagem
A matriz d
membro de um prtico esp
prtico espacial pode ter s
figura 3.15. Nestes casos,matriz correspondente s r
ulo das aes de extremidade as cargas
ostrada abaixo pode ser usada para relacio
s de um vetor carga na direo dos eixos
2
z
2
x
xzy2
z
2
x
2
z
2
x
xzy2
z
2
x
zy
CC
cosCsenCCsenCC
CC
senCcosCCcosCC
CC
de rotao est expressa em funo dos
ue corresponde ao ngulo existente entre
eixo vertical do sistema global da estrutura (
m membro de prtico espacial em torno doWeaver (1987).
a Matriz de Rigidez
rigidez SM mostrada no item 3.3 corres
acial segundo os eixos locais. Porm, em ge
us eixos principais em direes oblquas, t
matriz SM dever ser transformada na matriigidezes do membro utilizando como eixos
57
devem ser aplicadas
nar os dois conjuntos
locais e dos eixos da
(3.25)
co-senos diretores do
s eixos principais de
ver figura 3.14).
ixo x. Fonte: Gere e
onde s rigidezes do
al, um membro de um
l como indicado na
z SMD, sendo esta uma de referncia os eixos
-
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da estrutura (GERE e W
matriz de rigidez de mem
condensao esttica dos
matriz que ser transforma
Figura 3.15: Membr
A matriz K uma matriz de transforma
[R=][S TMD
sendo RT:
0
0
0R
R T
AVER, 1987). Porm, em todos os casos
ro segundo os eixos locais nos eixos da est
lementos, sendo portando ppK , matriz de
a.
de prtico espacial inclinado. Fonte: Gere e
pp
(12 X 12) ser transformada na matriz SM o de rotao segundo a equao (3.26):
]].[R]'.[K Tpp
R0
0R
0000
58
ntes de transformar a
utura, deve ser feita a
rigidez condensada, a
Weaver (1987).
(12 X 12) atravs de
(3.26)
(3.27)
-
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3.5.2.4 Montagem do Vetor de Carga
Aps a determinao da matriz de rigidez do n, a etapa seguinte consiste em
considerar as cargas sobre a estrutura, como se mencionou anteriormente no resumo do
mtodo da rigidez. conveniente trabalhar inicialmente, e em separado, as cargas nodais e as
cargas de membro. A razo para assim proceder que as cargas nodais no precisam de
transformao para serem usadas na soluo, mas as cargas sobre os membros sero levadas
em considerao calculando as aes de engastamento que produzem.
Estas aes de engastamento podem ento ser transformadas em cargas nodais
equivalentes e combinadas com as cargas nodais reais sobre a estrutura para produzir o vetorde cargas combinadas AC conforme a equao (3.4). A formao do vetor de cargas nodais
equivalentes feita pela equao (3.5).
Em resumo, v-se que o vetor de cargas combinadas AC composto como se
segue apresentado na equao 3.4.
}{A-{A}=}{A RLC (3.4)
3.5.2.5 Condies de Contorno
As condies de contorno do problema devem ser impostas sobre o sistema de
equaes definido na equao (3.8). Essas condies so os vnculos que podem ser impostos
ao sistema de duas formas: (i) A primeira alternativa para esse problema eliminar do sistema
de equaes a linha e a coluna do grau de liberdade restringido, sendo feito portando umreordenamento dos graus de liberdade do sistema. (ii) A segunda alternativa consiste em
impor o valor zero ao des
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