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i
UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA
FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
ANÁLISE NUMÉRICA DO CONTROLE DE VIBRAÇÕES
EM LAJES DE EDIFÍCIOS UTILIZANDO
AMORTECEDORES DE MASSA SINTONIZADOS
MARCOS DANIEL SOUZA DOS SANTOS
ORIENTADORA: GRACIELA NORA DOZ DE CARVALHO
CO-ORIENTADORA: SUZANA MOREIRA AVILA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM ESTRUTURAS E
CONSTRUÇÃO CIVIL
Publicação: E.D.M – 011A/09
BRASÍLIA/DF, setembro de 2009
ii
UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA
FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
ANÁLISE NUMÉRICA DO CONTROLE DE VIBRAÇÕES EM
LAJES DE EDIFÍCIOS UTILIZANDO AMORTECEDORES DE
MASSA SINTONIZADOS
Eng.º MARCOS DANIEL SOUZA DOS SANTOS
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DA FACULDADE DE TECNOLOGIA DA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL.
APROVADA POR:
__________________________________
Profª GRACIELA N. DOZ DE CARVALHO (ENC-UnB) (ORIENTADORA)
__________________________________
Prof MAURA ANGELICA MILFONT SHZU (FGA-UnB) (Examinador Interno)
__________________________________
Prof. ANDREA BRASILIANO SILVA (UFPB) (Examinador Externo)
BRASÍLIA (DF), SETEMBRO DE 2009.
iii
FICHA CATALOGRÁFICA
SANTOS, MARCOS DANIEL SOUZA
Análise Numérica do Controle de Vibrações em Lajes de Edifícios Utilizando
Amortecedores de Massa Sintonizados [Distrito Federal]2009.
xxi, 171, 297 mm(ENC/FT/UnB, Mestre, Estruturas e Construção Civil,2009).
Dissertação de Mestrado – Universidade de Brasília.
Faculdade de Tecnologia. Departamento de Engenharia Civil e Ambiental.
1.Dinâmica Estrutural 2. Controle de Vibrações
3.Amortecedor de Massa Sintonizado 4.Lajes de Concreto
I. ENC/FT/UnB II. Título(série)
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
SANTOS, M.D.S.(2009). Análise Numérica do Controle de Vibrações em Lajes de
Edifícios Utilizando Amortecedores de Massa Sintonizados, Publicação: EDM –
011A/09, Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, Universidade de Brasília,
Brasília,DF, xxi, 171 p.
CESSÃO DE DIREITOS
AUTOR: Marcos Daniel Souza dos Santos
TÍTULO: Análise Numérica do Controle de Vibrações em Lajes de Edifícios Utilizando
Amortecedores de Massa Sintonizados
GRAU: Mestre ANO: 2009
È concedida à Universidade de Brasília permissão para reproduzir cópias desta
dissertação de mestrado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos
acadêmicos e científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte
desta dissertação de mestrado pode ser reproduzida sem a autorização por escrito do
autor.
___________________________________
Marcos Daniel Souza dos Santos
SHIN, CA 05, Bloco C3, Apt. 511. Lago Norte
CEP: 71503-505 – Brasília,DF
iv
AGRADECIMENTOS
A Deus pelo dom da vida e por guiar-me sempre.
As orientadoras deste trabalho, professoras Graciela N. Doz de Carvalho e
Suzana Moreira Ávila, pela paciência, apoio e idéias durante o desenvolvimento
desta pesquisa. A confiança e a sinceridade que ambas tiveram em mim foi de
fundamental importância para concretização deste sonho.
Aos meus pais, familiares e amigos que me ajudaram das mais variadas
formas antes e durante o mestrado, os quais sei que estarão sempre apoiando
minhas futuras empreitadas.
Aos colegas de mestrado, em especial Mônica, Fabrício, Marcos Honorato e
Kellen, juntos formamos uma verdadeira equipe de estudo e amigos.
A Murilo Heitor que participou de toda esta etapa
A Pedro Marra por sempre afirmar que daria certo
Finalmente, em especial, aos irmãos que fiz em Brasília, Arthur, Cris e
Leandro, que foram minha família nesse período e por quem sou eternamente
grato.
v
RESUMO
ANÁLISE NUMÉRICA DO CONTROLE DE VIBRAÇÕES EM LAJES
DE EDIFÍCIOS UTILIZANDO AMORTECEDORES DE MASSA SINTONIZADOS.
Autor: Marcos Daniel Souza dos Santos Orientadora: Graciela N. Doz de Carvalho Co-orientadora: Suzana Moreira Ávila Programa de Pós-Graduação em Estruturas e Construção Civil Brasília, setembro de 2009.
Este trabalho apresenta um estudo do problema de vibrações em lajes de
concreto armado, utilizadas em geral em edifícios residenciais e comerciais. Mesmo
lajes bem dimensionadas nos estados limites de utilização e de ruptura podem estar
susceptíveis a vibrações excessivas que levam a um desconforto dos seus usuários. A
investigação sobre este problema é iniciada a partir da obtenção das freqüências naturais
e modos de vibração de modelos teórico-computacionais de lajes tipo convencional com
diversas configurações de apoio. Foram obtidos quatro modelos com
geometria/configuração de apoio que levaram a valores baixos de freqüência natural,
permitindo assim uma análise no domínio do tempo, por se tratar de estrutura bastante
flexível. Foi então simulado um carregamento dinâmico a partir de uma carga
harmônica e em seguida, simulado um carregamento humano. No caso da ocorrência de
vibrações excessivas ocorreu propor uma solução de controle por meio do uso do
Amortecedor de Massa Sintonizado - AMS buscando qual a configuração mais indicada
que leva a uma redução mais eficiente das vibrações através deste sistema de controle.
Foram obtidos os parâmetros para o projeto mais eficiente de AMS em cada um dos
quatro modelos bem como foi analisado, para o primeiro modelo de laje, a alteração que
poderia ocorrer com o acréscimo de vigas e pilares na resposta dinâmica. Por fim,
analisado os quatro modelos de lajes, os parâmetros obtidos foram aplicados a um
exemplo prático de uma laje de academia de ginástica.
Palavras-Chave: Dinâmica das Estruturas, Controle Estrutural, Lajes,
Amortecedor de Massa Sintonizado.
vi
ABSTRACT
NUMERICAL ANALYSIS OF VIBRATION CONTROL IN SLABS OF
BUILDINGS USING TUNED MASS DAMPER.
Autor: Marcos Daniel Souza dos Santos Orientadora: Graciela N. Doz de Carvalho Co-orientadora: Suzana Moreira Ávila Programa de Pós-Graduação em Estruturas e Construção Civil Brasília, setembro de 2009.
This paper presents a study of the problem of vibration in slabs of concrete, used
often in residential and commercial buildings. Even well-sized slabs in the limit state
use and rupture may be susceptible to excessive vibrations that lead to discomfort of its
users. Research on this problem starts from the obtainment of natural frequencies and
vibration modes of theoretical and computational models of conventional type slabs
with various configurations of support. We obtained four models with geometry /
configuration of support that led to low natural frequency, thus allowing an analysis in
time domain, because it is very flexible structure. Was then simulated a dynamic
loading from a harmonic load and then simulated a human load. In the case of the
occurrence of excessive vibration occurred propose a control solution through the use of
Tuned Mass Damper - TMD looking to see what the most appropriate setting that leads
to more efficient reduction of vibrations through this control system. Parameters were
obtained for the project more efficient of TMD on each of the four models and was
tested for the first slab model, a change that could occur with the addition of beams and
columns in the dynamic response. Finally, considering the four models of slabs, the
parameters obtained were applied to a practical example of a slab of the gym.
Keywords: Dynamics of Structures, Structural Control, Slabs, Tuned Mass
Damper (TMD).
vii
INDICE
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................... 26
1.1 CONSIDERAÇÕEs INICIAIS ....................................................................................... 26
1.2 OBJETIVOS ..................................................................................................................... 27
1.3 METODOLOGIA ............................................................................................................ 27
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ................................................................ 29
2.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS ....................................................................................... 29
2.2 VIBRAÇÕES INDUZIDAS A PARTIR DE ATIVIDADES HUMANAS................... 30
2.3 CONTROLE ESTRUTURAL ........................................................................................ 36
2.4 AMORTECEDOR DE MASSA SINTONIZADO......................................................... 40
3 FUNDAMENTOS TEÓRICOS ............................................................... 45
3.1 MOVIMENTO HUMANO DE CAMINHAR E CORRER .......................................... 45
3.2 FUNÇÃO PARA A ATIVIDADE DE PULAR .............................................................. 50
3.3 PRINCÍPIOS DO AMORTECEDOR DE MASSA SINTONIZADO ......................... 51
4 FERRAMENTAS COMPUTACIONAIS E METODOLOGIA
UTILIZADA ...................................................................................................... 56
4.1 PROGRAMA ANSYS 10.0 .............................................................................................. 56
4.2 DISCRETIZAÇÃO .......................................................................................................... 57 4.2.1 Elemento SHELL63 .................................................................................................. 57 4.2.2 Elemento BEAM4 ..................................................................................................... 57 4.2.3 Elemento COMBIN14 .............................................................................................. 58 4.2.4 Elemento MASS21 .................................................................................................... 58
4.3 ETAPAS E METODOLOGIA DA ANÁLISE NUMÉRICA ....................................... 59
4.4 ESCOLHA DOS MODELOS DE LAJE ........................................................................ 61
4.5 ANÁLISE ESTÁTICA .................................................................................................... 62
viii
4.6 ANÁLISE MODAL ......................................................................................................... 62
4.7 CARREGAMENTO HARMÔNICO ............................................................................. 63
4.8 CARREGAMENTO HUMANO ..................................................................................... 63
4.9 MODELOS COM AMORTECEDORES ...................................................................... 64
5 ANÁLISE NUMÉRICA ........................................................................... 65
5.1 LAJE 01 ............................................................................................................................ 65 5.1.1 Análise Modal .......................................................................................................... 65 5.1.2 Análise para um carregamento harmônico ............................................................... 67 5.1.3 Análise para um carregamento humano ................................................................... 83 5.1.4 Discussão dos Resultados ......................................................................................... 92
5.2 LAJE 02 ............................................................................................................................ 96 5.2.1 Análise Modal .......................................................................................................... 96 5.2.2 Análise para um carregamento harmônico ............................................................... 97 5.2.3 Análise para um carregamento humano ................................................................. 101 5.2.4 Discussão dos Resultados ....................................................................................... 111
5.3 LAJE 03 .......................................................................................................................... 113 5.3.1 Análise Modal ........................................................................................................ 113 5.3.2 Análise para um carregamento harmônico ............................................................. 114 5.3.3 Análise para um carregamento humano ................................................................. 120 5.3.4 Discussão dos Resultados ....................................................................................... 126
5.4 LAJE 04 .......................................................................................................................... 129 5.4.1 Análise Modal ........................................................................................................ 129 5.4.2 Análise para um carregamento harmônico ............................................................. 130 5.4.3 Análise para um carregamento humano ................................................................. 136 5.4.4 Discussão dos Resultados ....................................................................................... 139
6 LAJE 05 (COM VIGAS E PILARES) .................................................. 141
6.1 Propostas de Controle .................................................................................................... 146 6.1.1 Proposta A .............................................................................................................. 146 6.1.2 Proposta B .............................................................................................................. 147 6.1.3 Proposta C .............................................................................................................. 147 6.1.4 Proposta D .............................................................................................................. 148
ix
7 APLICAÇÃO PARA UM CASO PRÁTICO ....................................... 151
7.1 LAJE DE UMA ACADEMIA DE GINÁSTICA ......................................................... 151
7.2 NOVA PROPOSTA DE CONTROLE PARA A LAJE DA ACADEMIA ................ 156 7.2.1 Propostas para 1AMS ............................................................................................ 156 7.2.2 Propostas para 2AMS ............................................................................................ 159 7.2.3 Propostas para 3AMS ............................................................................................ 161
8 CONCLUSÕES E SUGESTÕES .......................................................... 165
8.1 CONCLUSÕES .............................................................................................................. 165
8.2 SUGESTÕES .................................................................................................................. 167
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................... 169
x
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 - Tipos representativos de atividades humanas e suas aplicações para
diferentes atividades e tipos de estrutura (CEB n°209,1991). ............................ 31
Tabela 3.1 – Valores típicos de freqüência do caminhar humano apresentados
por outros autores (Zivanovic et al, 2005) .......................................................... 49
Tabela 4.1 – Freqüência naturais dos modelos iniciais de laje ........................... 60
Tabela 4.2 – Propriedades físicas e geométricas das Lajes ................................. 62
Tabela 4.3 – Deslocamentos máximos admissíveis para os 4 modelos adotados62
Tabela 5.1 – Freqüências naturais da Laje 01 ..................................................... 66
Tabela 5.2 – Resposta máxima sem controle no nó central (Nó 946) ................ 67
Tabela 5.3 – Variação de α para 1 AMS............................................................. 69
Tabela 5.4 – Variação de ξ para 1 AMS ............................................................. 69
Tabela 5.5 – Variação de µ para 1 AMS ............................................................. 69
Tabela 5.6 – Parâmetros mais indicados no Estudo 01. ...................................... 70
Tabela 5.7 – Variação de α para 2 AMS............................................................. 72
Tabela 5.8 – Variação de ξ para 2 AMS ............................................................. 73
Tabela 5.9 – Variação de µ para 2 AMS ............................................................. 73
Tabela 5.10 – Parâmetros mais indicados do Estudo 02. .................................... 73
Tabela 5.11 – Variação de α para 3 AMS........................................................... 75
Tabela 5.12 – Variação de ξ para 2 AMS ........................................................... 75
Tabela 5.13 – Parâmetros mais indicados do Estudo 03 ..................................... 76
Tabela 5.14 – Resposta máxima sem controle .................................................... 77
xi
Tabela 5.15 – Variação de α para 3 AMS........................................................... 78
Tabela 5.16 – Resposta máxima sem controle .................................................... 79
Tabela 5.17 – Variação de α para 1 AMS........................................................... 79
Tabela 5.18 – Variação de α para 3 AMS........................................................... 80
Tabela 5.19 – Resposta máxima sem controle .................................................... 81
Tabela 5.20 – Variação de α para 1 AMS........................................................... 81
Tabela 5.21 – Variação de α para 3 AMS........................................................... 82
Tabela 5.22 – Resposta máxima sem controle .................................................... 84
Tabela 5.23 – Variação de α para 1 AMS........................................................... 85
Tabela 5.24 – Variação de ξ para 1 AMS ........................................................... 85
Tabela 5.25 – Variação de µ para 1 AMS ........................................................... 85
Tabela 5.26 – Variação de α para 3 AMS.......................................................... 87
Tabela 5.27 – Variação de α para 2 AMS........................................................... 88
Tabela 5.28 – Variação de α para 3 AMS........................................................... 90
Tabela 5.29 – Variação de α para 2 AMS........................................................... 91
Tabela 5.30 – Variação de α para 1 AMS........................................................... 92
Tabela 5.31 – Resumo dos estudos realizados na Laje 01 e as melhores reduções
obtidas ................................................................................................................. 95
Tabela 5.32 - Freqüências naturais da Laje 02 ................................................... 96
Tabela 5.33 – Resposta máxima sem controle .................................................... 98
Tabela 5.34 – Variação de α para 1 AMS........................................................... 99
xii
Tabela 5.35 – Resposta máxima sem controle .................................................. 100
Tabela 5.36 – Variação de α para 2 AMS......................................................... 100
Tabela 5.37 – Resposta máxima sem controle .................................................. 102
Tabela 5.38 – Variação de α para 2 AMS......................................................... 103
Tabela 5.39 – Variação de α para 2 AMS......................................................... 105
Tabela 5.40 – Variação de α para 2 AMS (40cm do bordo) ............................ 107
Tabela 5.41 – Variação de α para 2 AMS (1,40m do bordo) ........................... 107
Tabela 5.42 – Variação da posição de 4 AMS (Nó 57 e 126) ........................... 109
Tabela 5.43 – Variação da posição de 4 AMS (Nó 271 e 1141). ..................... 110
Tabela 5.44 - Resumo dos estudos realizados na Laje 02 e as melhores reduções
obtidas. .............................................................................................................. 112
Tabela 5.45 – Freqüências naturais da Laje 03 ................................................. 113
Tabela 5.46 – Resposta máxima sem controle .................................................. 115
Tabela 5.47 – Variação de α para 1 AMS......................................................... 116
Tabela 5.48 – Variação de α para 1 AMS......................................................... 118
Tabela 5.49 – Variação de α para 1 AMS......................................................... 119
Tabela 5.50 – Resposta máxima sem controle .................................................. 121
Tabela 5.51 – Variação de α para 1 AMS......................................................... 121
Tabela 5.52 – Variação de α para 1 AMS......................................................... 123
Tabela 5.53 – Variação de α para 1 AMS......................................................... 124
Tabela 5.54 – Variação de α para 3 AMS......................................................... 126
xiii
Tabela 5.55 - Resumo dos estudos realizados na Laje 03 e as melhores reduções
obtidas. .............................................................................................................. 128
Tabela 5.56 – Freqüências naturais da Laje 04 ................................................. 129
Tabela 5.57 – Resposta máxima sem controle .................................................. 131
Tabela 5.58 – Variação de α para 1 AMS......................................................... 132
Tabela 5.59 – Variação de α para 1 AMS......................................................... 134
Tabela 5.60 – Variação de α para 3 AMS......................................................... 135
Tabela 5.61 – Resposta máxima sem controle .................................................. 137
Tabela 5.62 – Variação de α para 1 AMS......................................................... 138
Tabela 5.63 - Resumo dos estudos realizados na Laje 04 e as melhores reduções
obtidas ............................................................................................................... 140
Tabela 6.1 – Propriedades para o elemento BEAM 4 ....................................... 142
Tabela 6.2 – Resposta máxima sem controle .................................................... 144
Tabela 6.3 – Comparativo entre os primeiros modos de vibração da Laje 01 e
Laje 05. ............................................................................................................. 145
Tabela 6.4 – Comparativo entre as respostas dinâmicas sem controle da Laje 01
e Laje 05. ........................................................................................................... 146
Tabela 6.5 – Resposta máxima sem controle e com controle e as reduções ..... 147
Tabela 6.6 – Resposta máxima sem controle e com controle e as reduções ..... 147
Tabela 6.7 – Resposta máxima sem controle e com 2 AMS e as reduções ...... 148
Tabela 6.8 – Variação de α para 1 AMS........................................................... 149
Tabela 6.9 – Variação de ξ para 1 AMS. .......................................................... 149
Tabela 6.10 – Variação de µ para 1 AMS. ........................................................ 150
xiv
Tabela 6.11 – Variação de α para 1 AMS......................................................... 150
Tabela 7.1 – Resposta máxima sem controle nos nós em que os deslocamentos
tem maior amplitude. ........................................................................................ 154
Tabela 7.2 – Resultados encontrados na melhor proposta de LIMA (2007) .... 156
Tabela 7.3 – Propriedades do amortecedor para Modelo A1 e A2 . ................. 157
Tabela 7.4 – Respostas e reduções obtidas nos Modelos A1 e A2 ................... 157
Tabela 7.5 – Propriedades do amortecedor para Modelo A3 e A4 . ................. 158
Tabela 7.6 – Respostas e reduções obtidas nos Modelos A3 e A4 ................... 158
Tabela 7.7 – Propriedades dos amortecedores para os Modelos A5 e A6 . ...... 159
Tabela 7.8 – Respostas e reduções obtidas nos Modelos A5 e A6 ................... 160
Tabela 7.9 – Propriedades dos amortecedores para os Modelos A7 e A8 . ...... 160
Tabela 7.10 – Respostas e reduções obtidas nos Modelos A7 e A8 ................. 161
Tabela 7.11 – Propriedades dos amortecedores para os Modelos A5 e A6 . .... 162
Tabela 7.12 – Respostas e reduções obtidas nos Modelos A5 e A6 ................. 162
Tabela 7.13– Propriedades dos amortecedores para os Modelos A5 e A6 . ..... 163
Tabela 7.14 – Respostas e reduções obtidas nos Modelos A5 e A6 ................. 163
Tabela 7.15 – Comparativo dos resultados da proposta de Lima (2007) com o
presente estudo .................................................................................................. 164
xv
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 - Simulação do carregamento humano na plataforma experimental.
(Faísca, 2003). ..................................................................................................... 33
Figura 2.2 – Reticulado espacial composto utilizado por Varela (2004). ........... 34
Figura 2.3 - Western Approach Footbridge, Plymouth. (Brownjohn e Pavic,
2007) ................................................................................................................... 35
Figura 2.4 – Estrutura com três painéis de lajes e os modos de vibrar 1, 2 e 6
(Brownjohn e Middleton, 2007). ........................................................................ 35
Figura 2.5 – Torre do aeroporto internacional de Tóquio.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:HND_control_tower.jpg .......................... 37
Figura 2.6 – Exemplo de amortecedor líquido sintonizado, instalado na torre do
aeroporto de Nagasaki (Tamura et al., 1995) .................................................... 38
Figura 2.7 – Edifício de vinte andares representado por shear frame (Shukla e
Datta, 1999) ........................................................................................................ 38
Figura 2.8 - Trecho horizontal da passarela sobre a via EPIA. ........................... 39
Figura 2.9 – Disposição dos amortecedores que formam o AMSM na passarela
com travamento. .................................................................................................. 40
Figura 2.10 - Atenuador desenvolvido para a Ponte Rio-Niterói ..................... 41
Figura 2.11 – Atenuador Dinâmico Sintonizado instalado (Varela,2004) .......... 42
Figura 2.12 – Estrutura do pavimento da academia com o trecho analisado em
destaque. LIMA (2007) ....................................................................................... 43
Figura 3.1 - Força vertical, horizontal lateral e horizontal longitudinal.
(Zivanovic et al., 2005). ...................................................................................... 46
Figura 3.2 – Distribuição de forças em uma estrutura, provocada por uma pessoa
caminhando (a) ou correndo (b) (Zivanovic et al, 2005). .................................. 47
xvi
Figura 3.3 - Evolução da força vertical de um caminhar lento até o correr
(Zivanovic et al, 2005). ....................................................................................... 48
Figura 3.4 – Correlação entre os parâmetros que definem os movimentos de
caminhar e correr dada por Wheeler (1982). ...................................................... 48
Figura 3.5 – Função de carga para pedestre para os movimentos de caminhar e
correr ................................................................................................................... 51
Figura 3.6 – Fator de impacto kp versus tp / Tp ................................................... 51
Figura 3.7 – Modelo de um sistema estrutural com um AMS instalado. ............ 52
Figura 3.8 – Modelo estrutural de um sistema principal equipado com AMSM 54
Figura 4.1 – Elemento SHELL63 (ANSYS,1995) .............................................. 57
Figura 4.2 – Elemento BEAM4 (ANSYS, 1995). ............................................... 58
Figura 4.3 – Elemento COMBIN14 (ANSYS, 1995). ......................................... 58
Figura 4.4 – Elemento MASS21(ANSYS, 1995). ............................................... 59
Figura 4.5 – Primeiros modelos de laje com suas respectivas configurações de
apoio. ................................................................................................................... 59
Figura 4.6 – Geometria e condições de contorno dos 4 modelos de laje
analisados. ........................................................................................................... 61
Figura 5.1 – Modelo de LAJE 01 . ...................................................................... 65
Figura 5.2 - Primeiros 3 modos de vibração com suas respectivas frequências
naturais. ............................................................................................................... 66
Figura 5.3 – Resposta dinâmica em função da freqüência no nó central da laje
(Nó 946). ............................................................................................................. 67
Figura 5.4 – AMS posicionado no Nó 946 destacado na laje e carregamento
aplicado ............................................................................................................... 68
xvii
Figura 5.5 - Deslocamentos em função do tempo com 1 AMS instalado no nó
central para os parâmetros α= 0,96 , µ = 0,10 e ξ= 0,4%. .................................. 70
Figura 5.6 – Influência de α na redução dos deslocamentos (para µ = 0,10 e ξ=
0,4%). .................................................................................................................. 70
Figura 5.7 – Influência de ξ na redução dos deslocamentos (para µ = 0,10 e
α=0,96). .............................................................................................................. 71
Figura 5.8 – Influência de µ na redução dos deslocamentos (para ξ= 0,4%).e
α=0,96). .............................................................................................................. 71
Figura 5.9 – AMS nos nós 942 e 950 destacados na laje e carregamento aplicado
no centro. ............................................................................................................ 72
Figura 5.10 - Deslocamentos em função do tempo com 2 AMS instalados nos
nós 942 e 950 para os parâmetros α1e2= 1,00, µ1e2= 0,10 e ξ1e2 = 0,4%. ............ 74
Figura 5.11 – AMS nos nós 946, 926 e 966 destacados na laje .......................... 75
Figura 5.12 - Deslocamentos em função do tempo com 3 AMS instalados nos
nós 946, 926 e 966 para os parâmetros αe2 = 1,10, α3 = 1,00, µ = 0,10 e ξ = 0,4%
............................................................................................................................ 76
Figura 5.13 – AMS no nó 942 e carregamento aplicado nos nós 926 e 966. ..... 79
Figura 5.14 – AMS nos nós 942, 926 e 966 e carregamento aplicado nos nós 926
e 966. ................................................................................................................... 80
Figura 5.15 – AMS no Nó 942 e carregamento aplicado nos nós 942, 926 e 966.
............................................................................................................................ 81
Figura 5.16 – AMS nos nós 942, 926 e 966 e carregamento aplicado nos mesmos
nós. ...................................................................................................................... 82
Figura 5.17 – Nós de aplicação das cargas simulando a atividade humana de
pular. ................................................................................................................... 84
Figura 5.18 – AMS no nó central 946 ................................................................. 84
xviii
Figura 5.19 - Deslocamentos em função do tempo com 1 AMS instalado no Nó
946. ..................................................................................................................... 86
Figura 5.20 – AMS nos Nós 946, 926 e 966. ...................................................... 86
Figura 5.21 - Deslocamentos em função do tempo com 3 AMS instalados nos
Nó 946,926 e 966. ............................................................................................... 87
Figura 5.22 – AMS nos Nós 942, 950 ................................................................. 88
Figura 5.23 - Deslocamentos em função do tempo com 3 AMS instalados nos
Nó 942 e 950. ...................................................................................................... 89
Figura 5.24 – AMS nos nós 940, 951 e 946. ...................................................... 90
Figura 5.25 – AMS nos Nós 1190 e 702 ............................................................. 91
Figura 5.26 – AMS no Nó central 946 ................................................................ 92
Figura 5.27 - Deslocamentos em função do tempo para 1 carga senoidal. ........ 93
Figura 5.28 - Deslocamentos em função do tempo para o carregamento humano
............................................................................................................................ 94
Figura 5.29 – Condições de apoio do modelo de Laje 02 . ................................. 96
Figura 5.30 - Primeiros 3 modos de vibração com suas respectivas frequências
naturais de vibração. ........................................................................................... 97
Figura 5.31 – Resposta dinâmica em função da freqüência no nó do bordo livre
da laje .................................................................................................................. 98
Figura 5.32 – AMS no Nó 706 destacado na laje .............................................. 99
Figura 5.33 – AMS nos Nós 271 e 1141 e carregamento aplicado nos Nós 271 e
1141. ................................................................................................................. 100
Figura 5.34 – Deslocamentos para 2 AMS instalados e duas cargas harmônicas.
.......................................................................................................................... 101
xix
Figura 5.35 - Nós de aplicação das cargas simulando a atividade humana de
pular. ................................................................................................................. 102
Figura 5.36 – AMS nos Nós 271 e 1141 ........................................................... 103
Figura 5.37 – Deslocamentos para 2 AMS instalados e carregamento humano.
.......................................................................................................................... 104
Figura 5.38 – AMS nos Nós 57 e 126. .............................................................. 104
Figura 5.39 – Deslocamentos para 2 AMS instalados e carregamento humano.
.......................................................................................................................... 105
Figura 5.40 – AMS nos Nós 184 e 1228 (40 cm do bordo) .............................. 106
Figura 5.41 – AMS nos Nós 1083 e 329 (1,40m do bordo) .............................. 106
Figura 5.42 – Deslocamentos para 2 AMS (40cm do bordo) instalados e
carregamento humano. ...................................................................................... 108
Figura 5.43 – Deslocamentos para 2 AMS (1,40m do bordo) instalados e
carregamento humano. ...................................................................................... 108
Figura 5.44 – AMS nos Nós 57, 126 (bordo) e 271,1141 (1m do bordo) ........ 109
Figura 5.45 - Deslocamentos em função do tempo para o carregamento humano
.......................................................................................................................... 111
Figura 5.46 – Condições de apoio do modelo de Laje 03. ................................ 113
Figura 5.47 - Primeiros 3 modos de vibração com suas respectivas frequências
naturais de vibração. ......................................................................................... 114
Figura 5.48 – Resposta dinâmica em função da freqüência no nó do bordo livre
da laje ................................................................................................................ 115
Figura 5.49 – AMS no Nó 600 destacado na laje ............................................. 116
Figura 5.50 - Deslocamentos em função do tempo para o carregamento
harmônico no nó central. .................................................................................. 117
xx
Figura 5.51 – AMS no Nó 591 destacado na laje ............................................. 117
Figura 5.52 - Evolução dos deslocamentos do nó de bordo em função do tempo
para o carregamento harmônico. ....................................................................... 118
Figura 5.53 – AMS no Nó 22 destacado na laje ............................................... 119
Figura 5.54 - Deslocamentos em função do tempo para o carregamento
harmônico ......................................................................................................... 120
Figura 5.55 - Nós de aplicação das cargas simulando a atividade humana de
pular. ................................................................................................................. 121
Figura 5.56 – AMS no Nó 594 destacado na laje ............................................ 121
Figura 5.57 - Deslocamentos em função do tempo para o carregamento humano
.......................................................................................................................... 122
Figura 5.58 – AMS no Nó 591 destacado na laje ............................................. 122
Figura 5.59 - Deslocamentos em função do tempo para o carregamento humano.
.......................................................................................................................... 123
Figura 5.60 – AMS no Nó 22 destacado na laje ............................................... 124
Figura 5.61 - Evolução dos deslocamentos em função do tempo para o
carregamento humano ....................................................................................... 125
Figura 5.62 – AMS no Nó 22 destacado na laje ............................................... 125
Figura 5.63 - Deslocamentos em função do tempo para uma carga harmônica
.......................................................................................................................... 127
Figura 5.64 - Deslocamentos em função do tempo para um carregamento
humano. ............................................................................................................. 127
Figura 5.65 – Condições de apoio do modelo de Laje 04 . ............................... 129
Figura 5.66 - Primeiros 3 modos de vibração com suas respectivas frequências
naturais de vibração. ......................................................................................... 130
xxi
Figura 5.67 – Resposta em freqüência no nó central da laje ............................. 131
Figura 5.68 – AMS no Nó 1905 destacado na laje .......................................... 132
Figura 5.69 - Deslocamentos em função do tempo para o carregamento
harmônico ......................................................................................................... 133
Figura 5.70 – AMS nos Nós 1889 e 1922 destacados na laje .......................... 133
Figura 5.71 - Deslocamentos em função do tempo para o carregamento
harmônico. ........................................................................................................ 134
Figura 5.72 – AMS nos Nós 1883, 1928 e 1928 destacados na laje. ............... 135
Figura 5.73 - Evolução dos deslocamentos no tempo do nó central para o
carregamento harmônico ................................................................................... 136
Figura 5.74 – Nós de aplicação das cargas simulando a atividade humana de
pular .................................................................................................................. 137
Figura 5.75 – AMS no Nó central destacados na laje e o carregamento humano
.......................................................................................................................... 138
Figura 5.76 - Deslocamentos em função do tempo para o carregamento humano
.......................................................................................................................... 138
Figura 5.77 - Deslocamentos em função do tempo para 1 carga senoidal ....... 139
Figura 6.1 – Geometria da Laje 05 com detalhamento das vigas e pilares ....... 141
Figura 6.2 - Modos de vibração da Laje 05 e suas freqüências naturais. .......... 143
Figura 6.3 – Deslocamentos verticais na Laje 05 submetida ao carregamento
humano .............................................................................................................. 144
Figura 6.4 – Acelerações verticais na Laje 05 submetida ao carregamento
humano .............................................................................................................. 145
Figura 6.5 – Um AMS na direção Y posicionado no nó central ....................... 146
xxii
Figura 6.6 – Dois amortecedores posicionados na laje ..................................... 148
Figura 7.1 – Geometria do trecho da laje da academia de ginástica estudado por
LIMA (2007) ..................................................................................................... 152
Figura 7.2 - Modos de vibração da estrutura de LIMA (2007) e suas freqüências
naturais. ............................................................................................................. 153
Figura 7.3 – Simulação do carregamento dinâmico .......................................... 154
Figura 7.4 - Posição dos amortecedores na melhor proposta de controle obtida
por LIMA (2007). ............................................................................................. 155
Figura 7.5 – Laje 05 com o amortecedor localizado no Nó 386 ....................... 157
Figura 7.6 – Laje com os amortecedores localizados nos Nó 386 e Nó 396 ... 159
Figura 7.7 – Laje 05 com os amortecedores localizados nos Nós 386 , 396 e 472
.......................................................................................................................... 161
xxiii
LISTA DE SÍMBOLOS, SIGLAS E ABREVIATURAS
A: área da seção transversal, em m²
AMS: amortecedor de massa sintonizado
AMSM: amortecedor de massa sintonizado múltiplo
amax : aceleração máxima ou de pico
az: aceleração nodal máxima, em m/s²
b: largura da viga ou do pilar, conforme o caso
C: amortecimento do sistema principal
C : matriz n x n de amortecimento do sistema
c: amortecimento do AMS
ct: tempo de contato
ci: coeficiente de impacto
c AMS : amortecimento do AMS
ci : amortecimento do i-ésimo amortecedor
d : amplitude do deslocamento, em mm
F(t): função de carregamento variando com o tempo
F ( t ): vetor de força externa
Fp (t) : força devido ao ato de pular
F p,max : carga dinâmica de pico
f : freqüência de vibração ou razão de passo
f(t): excitação dinâmica atuando no sistema principal
f EST : freqüência natural da estrutura
fi : freqüência do i-ésimo amortecedor (Hz)
Fs : razão de passo
fs: velocidade de avanço
G : peso do indivíduo
g: aceleração da gravidade, em m/s²
h: altura da viga ou do pilar, conforme o caso
I: nó do elemento
I: momento de inércia, em m4
Ixx: momento de inércia com relação ao eixo X, em m4
Iyy: momento de inércia com relação ao eixo Y, em m4
xxiv
Izz: momento de inércia com relação ao eixo Z, em m4
i: índice que representa o número do harmônico
i: índice do modo de vibração
J: nó do elemento
K: rigidez do sistema principal
K : matriz n x n de rigidez do sistema
KEST: rigidez da estrutura
k: rigidez do AMS
k AMS : rigidez do AMS
kp: coeficiente de impacto
l: vão livre da laje
M: massa do sistema principal
M : matriz n x n de massa do sistema
MEST : massa da estrutura
Mn : massa modal
m: massa do AMS
mAMS : massa do AMS
mi : massa do i-ésimo amortecedor
n : número do n-ésimo harmônico
n: número de amortecedores de um AMSM
Pn ( t ): força modal
P0 : peso estático de uma pessoa ( 0 P = 800 N é o valor usual)
sl: comprimento de passo (stride lengh)
t: tempo
tp: tempo de contato
Tp: período de passo
Uz: deslocamento nodal máximo na direção z (vertical)
u : vetor de aceleração nodal
u : vetor de velocidade nodal
u : vetor de deslocamento nodal
Vz: velocidade nodal máxima na direção z (vertical)
v : velocidade, em mm/s
Yn ( t ) : deslocamento modal
Yn ( t ): velocidade modal
..
..
.
.
xxv
Yn ( t ): aceleração modal
y(t) : deslocamento do sistema principal com relação à sua base
y(t) : velocidade do sistema principal com relação à sua base
y(t) : aceleração do sistema principal com relação à sua base
z(t) : deslocamento relativo entre o AMS e o sistema principal
α ótimo : razão de freqüências ótima
µ : razão entre a massa do AMS (m) e a massa do sistema principal (M)
ω AMS : freqüência do AMS
ω EST : freqüência da estrutura
ω : freqüência
ω i: freqüência do i-ésimo amortecedor (rad/s)
ω n : freqüência natural circular modal do n-ésimo modo
ξ : taxa de amortecimento
ξ i : taxa de amortecimento modal do i-ésimo modo
ξ ótimo: razão de amortecimento ótima
ξ T ótimo : razão de amortecimento ótima entre o AMSM e o sistema principal
..
.
26
1 INTRODUÇÃO
1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Várias pesquisas vêm sendo realizadas ao redor do mundo a respeito das
vibrações induzidas em lajes de edifícios por atividades humanas. Estes estudos têm se
intensificado ultimamente por uma série de motivos, entre eles: (1) a crescente
utilização de materiais mais resistentes que permitem lajes vencendo grandes vãos, mais
esbeltas e flexíveis; (2) a utilização das estruturas para atividades que não haviam sido
previstas inicialmente nos projetos originais; (3) a mudança comportamental das
pessoas com o aumento recente de atividades rítmicas tais como ginástica, dança de
salão, shows, práticas esportivas, torcidas organizadas, entre outros motivos. Estes
fatores têm contribuído, com maior freqüência, para o surgimento de problemas de
vibrações excessivas nas estruturas e, em particular, nas lajes.
Mesmo as lajes bem dimensionadas em relação aos estados limites de utilização
e de ruptura podem estar susceptíveis a vibrações excessivas levando a um desconforto
dos seus usuários, uma vez que os carregamentos humanos ocorrem essencialmente em
baixas freqüências, por vezes muito próximas às freqüências naturais da estrutura,
portanto, faz-se necessário uma intervenção nestas estruturas para atenuar tais vibrações
indesejáveis.
Vários são os mecanismos existentes para o controle de vibrações excessivas já
empregados com eficácia em estruturas, entre estes a literatura apresenta vários casos
bem sucedidos na prática do Amortecedor de Massa Sintonizado – AMS para atenuação
das vibrações (Soong & Dargush, 1997). O desempenho dos AMS é influenciado pela
freqüência com a qual o dispositivo foi sintonizado, que deve ser próxima à freqüência
natural do sistema, para que o mesmo vibre fora de fase e assim transfira para este a
energia de vibração.
Tem-se empregado também com grande eficiência em controle estrutural os
Amortecedores de Massa Sintonizados Múltiplos – AMSM, que são constituídos por
amortecedores sintonizados em freqüências distribuídas em torno da freqüência natural
correspondente ao modo a ser controlado. Alguns autores apontam uma maior eficácia
dos AMSM em relação a um único AMS (Carneiro, 2004).
27
O grande número de implementações práticas de controle estrutural com o uso
de AMS revela o bom desempenho destes quando instalados em estruturas com
vibrações excessivas; todavia, percebe-se uma carência de estudos paramétricos
específicos quanto ao projeto deste mecanismo para ser instalado em lajes. Alguns
estudos do emprego dos AMS em lajes vêm sendo desenvolvidos ao longo dos anos
com resultados satisfatórios com relação à diminuição das vibrações, todavia, os autores
destacam a complexidade deste estudo quando envolve o carregamento humano e suas
variáveis de resposta nas lajes, portanto, existe a necessidade de uma análise mais
aprofundada destes parâmetros que influenciam na eficiência do uso dos AMS em lajes.
1.2 OBJETIVOS
Com base no exposto, os objetivos deste trabalho são:
a) Analisar alguns modelos teórico-computacionais de lajes tipo convencionais,
com diferentes configurações de apoio e dimensões, para avaliar as respostas dinâmicas
quando submetidas ao carregamento oriundo das atividades humanas de pular e dançar.
A partir das respostas dinâmicas pretende-se obter parâmetros para avaliar a interação
destas atividades humanas com esse tipo de estrutura.
b) Propor um sistema de controle por meio do uso do Amortecedor de Massa
Sintonizado - AMS buscando qual a configuração ótima que leva a uma redução mais
eficiente das vibrações.
c) Identificar quais os parâmetros principais que governam esse problema a
partir de modelos simples de lajes, mas que podem contribuir para o entendimento do
problema de controle de vibrações em lajes de estruturas mais complexas.
1.3 METODOLOGIA
A investigação numérica sobre o problema de vibrações em lajes inicia-se
através da obtenção das freqüências naturais e modos de vibração de várias lajes com
diversas configurações de apoio, que resulta na adoção de quatro modelos diferenciados
para estudo detalhado.
Definido os quatro modelos e suas propriedades, a etapa seguinte é do estudo
paramétrico, que consiste da aplicação de carregamentos harmônicos e de
28
carregamentos que simulam a atividade humana de pular. A proposta desta etapa é
realizar várias tentativas de controle variando-se os parâmetros de razão de massa, razão
de freqüências, razão de amortecimento e posição dos amortecedores, de forma a
otimizar o AMS reduzindo as vibrações nos quatro modelos de laje.
Para verificar a eficiência dos parâmetros obtidos, o estudo é complementado
com a introdução do AMS em um modelo de laje que inclui vigas e pilares de forma a
analisar a alteração da resposta dinâmica quando esses dois elementos estruturais são
incorporados na estrutura.
A eficiência dos valores obtidos no estudo paramétrico também é testada num
modelo real de laje de uma academia de ginástica, anteriormente estudado por Lima
(2007), de forma a verificar se ocorre melhor desempenho dos amortecedores.
29
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Vários casos de vibrações induzidas em lajes de edifícios por atividades
humanas vêm sendo estudados ao longo dos anos. A ocorrência de vibrações excessivas
nestas estruturas pode ocorrer mesmo em lajes bem dimensionadas nos estados limites
de utilização e de ruptura, pois os carregamentos humanos ocorrem essencialmente em
baixas freqüências, por vezes muito próximas às freqüências naturais da estrutura,
causando vibrações perceptíveis ao ser humano.
Uma alternativa para o problema de vibrações excessivas em estruturas,
amplamente estudada nas últimas décadas, é o controle estrutural. Esta tecnologia
promove alterações nas propriedades de rigidez e amortecimento do sistema, seja pela
adição de dispositivos externos, seja pela ação de forças externas (Avila,2002).
O Amortecedor de Massa Sintonizado (AMS) é um dispositivo de controle
bastante utilizado na prática em estruturas como edifícios altos, passarelas de pedestres,
torres, etc. (Soong & Dargush, 1997). Trata-se de um sistema massa-mola-amortecedor
conectado à estrutura que, devidamente sintonizado na freqüência adequada, vibra fora
de fase com a mesma, ocorrendo assim a transferência de energia para o dispositivo de
controle, reduzindo a amplitude das vibrações do sistema principal.
A aplicação deste dispositivo para redução de vibrações em lajes já vêm sendo
objeto de estudo de alguns pesquisadores (Varela, 2004; Lima, 2007 e Setareh et al
2007); no entanto, restam ainda diversos aspectos a serem aprofundados, entre eles a
questão da escolha dos parâmetros do AMS para otimizar a sua eficiência.
O objetivo do presente trabalho é analisar alguns modelos teórico-
computacionais de lajes de concreto tipo convencional, para avaliar seu comportamento
dinâmico e propor uma solução de controle por meio do uso de Amortecedores de
Massa Sintonizados – AMS, buscando saber os melhores parâmetros do dispositivo que
levam a uma redução mais eficiente das vibrações. Esse estudo, utilizando modelos
simples de lajes e carregamentos simplificados, visa contribuir para o entendimento do
sistema de controle em lajes de edifícios.
30
2.2 VIBRAÇÕES INDUZIDAS A PARTIR DE ATIVIDADES HUMANAS
A tendência de se ter lajes com baixas freqüências naturais próximas às
freqüências que caracterizam o carregamento gerado pela atividade humana levam à
ocorrência de vibrações excessivas. Como dito anteriormente, é um conjunto de fatores
como esbeltez de projeto, utilização da estrutura para atividades não previstas no projeto
original, e ocorrência de atividades rítmicas, que contribuem para esses problemas de
vibrações em lajes.
Originam-se destes fatores a importância de entender o comportamento
dinâmico das estruturas, em especial das lajes, bem como a natureza das cargas
dinâmicas que atuam sobre elas. Tais cargas dinâmicas podem produzir vibrações
elevadas num nível que pode provocar desconforto humano e até comprometer a
segurança da própria estrutura. Casos de problemas ocorridos em estruturas com
carregamento humano são bastante conhecidos mundialmente, como o caso da
Millennium Footbridge (Dallard et al., 2001).
O colapso de arquibancadas em estádios, nos anos 20, levou o American
Standards Association (ASA, atual ANSI – American National Standards Institute) a
formar um comitê para padronizações de segurança para este tipo de estrutura. Décadas
depois, autores como Tuan et al. (1985) e Rainer et al. (1988) apud Faisca (2003)
passaram a descrever o carregamento gerado por algumas atividades humanas a partir
de uma série de Fourier considerando a soma de uma parcela devida à carga estática
(peso do indivíduo), e outra devida à carga dinâmica gerada pela atividade praticada
pelo indivíduo ou grupo de pessoas.
O CEB - Comite Euro-International du Beton , em 1991, lançou um boletim com
algumas recomendações que consideram cargas dinâmicas induzidas por pessoas para
diversos tipos de estruturas: estádios, salões de dança, passarelas, entre outras. Na
Tabela 2.1 são apresentadas as atividades correlacionadas às faixas de freqüência do
harmônico fundamental.
31
Tabela 2.1 - Tipos representativos de atividades humanas e suas aplicações para diferentes atividades e tipos de estrutura (CEB n°209,1991).
Tipos Representativos de Atividades Faixa de Aplicabilidade
Designação Definição
Taxa de Projeto
da Atividade (Hz)
Atividade real Taxa da Atividade (Hz)
Tipo de Estrutura
Caminhar Caminhar , contato contínuo com o piso 1,6 – 2,4
Caminhar devagar Caminhar normal Caminhar rápido
≈ 1,7 ≈ 2,0 ≈ 2,3
- Estruturas para pedestres (passarelas,
escadas, embarcadomo, etc.)
- Prédios de escritório, etc.
Correr Correr, contato descontínuo com o piso 2,0 – 3,5
Correr lento Correr normal Correr rápido
≈ 2,1 ≈ 2,5 ≈ 3,0
- Passarelas para pedestres em trilhas de
corrida
Pular
Ritmo normal acelerado. Pular no mesmo lugar
com contato simultâneo de ambos os pés no chão
1,8 – 3,4
Aulas de ginástica com pulos ; Saltando e
correndo com músicas rítmicas
Aulas de jazz
≈ 1,5-3,4
≈ 1,8-3,5
- Ginásios, salas de esportes
- Salas de ginástica
Dançar Equivale
aproximadamente ao caminhar rápido
1,5 – 3,0
Eventos sociais com danças clássicas e
modernas (valsa, rumba, etc.)
≈ 1,5-3,0
- Salas de dança - Salas de concerto e
outras salas comunitárias sem assentos fixos
Bater palmas de pé com o
corpo balançando
Aplausos rítmicos na altura o peito ou sobre a
cabeça, enquanto balança verticalmente devido ao movimento dos joelhos, de cerca de 50mm, para
frente e para trás
1,5 – 3,0
Concertos populares com
audiência entusiasmada
≈ 1,5-3,0
- Salas para concerto e galeria de espectadores
sem e com assentos fixos e de música hard pop
Bater Palmas
Bater palmas ritmicamente com as
mãos em frente ao peito 1,5 – 3,0
Concertos clássicos e de música soft
pop
≈ 1,5-3,0
- Salas de concerto com assentos fixos (sem
concertos de música hard pop)
Oscilação lateral do
corpo
Oscilação rítmica lateral do corpo estando sentado
ou de pé 0,4 – 0,7 Concertos , eventos
sociais - - Galerias de expectadores
Grande contribuição sobre vibrações induzidas pela atividade humana pode ser
encontrada nos estudos feitos em passarelas de pedestres. Baltar (2000), por exemplo,
avaliou os níveis de segurança e conforto das principais passarelas de pedestres
existentes na cidade de Brasília a partir de análises numéricas. Foram levantadas as 10
primeiras freqüências naturais de 10 passarelas e seus respectivos modos de vibração.
As duas passarelas mais flexíveis foram submetidas a análises numéricas em vibrações
forçadas nas quais foram simuladas cargas induzidas pelas atividades humanas de
caminhar e correr. Foram simulados casos que compreendiam de 1 a 8 pessoas
32
caminhando ou correndo sobre as passarelas. As acelerações encontradas foram
comparadas aos limites máximos sugeridos pelas normas BS 5400 (1978),ONT (1983),
ISO DIS 10137 (1963) e CEB (1991). Apenas no caso da passarela 1 – passarela de
pedestres sobre a Estrada Parque de Indústria e Abastecimento (EPIA), trecho Cruzeiro
Novo/CEASA, foram registrados casos em que as acelerações encontradas superaram os
limites máximos de uma ou mais das normas citadas acima.
O estudo experimental desenvolvido por Faisca (2003), focado no carregamento
humano, resultou na descrição das cargas dinâmicas geradas por atividades com perda
de contato com a estrutura. De acordo com Faisca (2003) os carregamentos gerados por
pessoas sofrem alterações devido à flexibilidade da estrutura, isto é, estas cargas sofrem
alterações devido à interação pessoa-estrutura. A plataforma de ensaio instrumentada,
em que os indivíduos realizavam as atividades (Figura 2.1), permitiu concluir que as
pessoas não conseguiam realizar as atividades da mesma maneira por muito tempo e/ou
em dias diferentes, variando o ritmo e a forma da atividade. Estas variações geraram
sinais com características distintas e com grandes desvios, mostrando a importância da
consideração da média e dos desvios-padrão dos parâmetros que descrevem o
carregamento humano.
Um aspecto analisado por Faísca (2003) foi o carregamento de multidão,
situação característica de grandes estruturas, tais como passarelas, ginásios, estádios,
entre outras. Foi possível visualizar os movimentos de todos os indivíduos do grupo e
observou-se que as pessoas não conseguiam manter o sincronismo dos movimentos.
Sobre este assunto é desenvolvido um estudo referente às atividades que envolvem ou
não sincronismo (pular) e verificaram-se variações no ritmo por parte dos indivíduos
participantes, os quais não conseguiam manter os movimentos, mostrando que a
proximidade da freqüência da atividade com a freqüência natural da estrutura pode
contribuir para esta falta de ritmo.
Chegou-se também a conclusão de que a soma dos carregamentos gerados pelos
testes de multidão apresentaram características bem distintas em relação à atividade que
estava sendo realizada, estas diferenças foram constatadas tanto na forma, como na
amplitude do sinal, sendo apontada como principal causa, a defasagem existente entre
os indivíduos do grupo. Conclui-se no estudo de Faísca (2003) que, até mesmo
33
pequenas defasagens entre os indivíduos do grupo podem contribuir com a diminuição
do carregamento atuante.
Figura 2.1 - Simulação do carregamento humano na plataforma experimental. (Faísca,
2003).
Varela (2004) fez um estudo sobre os efeitos do carregamento humano
correlacionando o modelo matemático com os resultados experimentais. O trabalho
apresenta inicialmente um histórico a respeito do que já foi desenvolvido em termos de
funções que descrevem matematicamente o caminhar humano e seus efeitos estruturais,
e em seguida, é desenvolvida uma série de testes estáticos e dinâmicos – experimentais
e numéricos - num protótipo, mostrado na Figura 2.2, de um sistema estrutural para
pisos com grandes vãos, típico de edifícios de centros comerciais.
A conclusão de Varela (2004) com os estudos no protótipo é que passos mais
largos, associados a maiores freqüências dessa atividade, implicam em maior
intensidade das forças de impacto produzidas pelos calcanhares. Este argumento
independe do tipo de calçado usado, embora calçados com solado macio atenuem os
impactos sobre o corpo humano quando passos são dados sobre superfícies rígidas.
Assim, existe uma tendência de maior energia ou impulsão – e não picos de impacto –
ser gerada por pessoas em passos largos com calçados de solado macio. Obviamente,
passos curtos, associados a menores freqüências dessa atividade, produzem menores
forças de impacto dos calcanhares.
34
Figura 2.2 – Reticulado espacial composto utilizado por Varela (2004).
Ebrahimpour e Sack (2005) levantaram os vários tipos de controle de vibração
estrutural, começando pelo amortecedor de massa sintonizado e apresentaram os
estudos em que o AMS foi satisfatoriamente aplicado para atenuar as vibrações
excessivas geradas por carregamentos humanos em pisos, em passarelas e em outras
estruturas. Ressaltam no estudo que o amortecedor de massa sintonizado apenas é
efetivo numa estreita faixa de valores de freqüência , tendo que ser sintonizado numa
freqüência natural em particular.
Zivanovicc et al (2005) realizou uma extensa revisão bibliográfica com respeito
a limites de serviços para vibrações em passarelas de pedestres sob excitações induzidas
pelo homem, cerca de 200 referências bibliográficas foram pesquisadas, contribuindo
desta forma, nesta linha de estudo de vibrações em estruturas devido à atividade
humana.
Já Brownjohn e Pavic (2007) estudaram quatro passarelas com o intuito de
aplicar um método de estimativa da massa modal das respostas correspondentes à
excitação humana. Uma das quatro passarelas estudadas foi a Western Approach
Footbridge, em Plymout (Figura 2.3), que interliga um estacionamento a um shopping.
Os valores de massa modal medidos na passarela foram comparados aos simulados
numericamente em elementos finitos e apresentam pouquíssima diferença.
35
Figura 2.3 - Western Approach Footbridge, Plymouth. (Brownjohn e Pavic, 2007)
Uma avaliação das vibrações excessivas em lajes de edifício devido ao caminhar
humano foi realizado por Brownjohn e Middleton (2007) que apresentaram no seu
estudo uma classificação de acordo com a freqüência do primeiro modo de vibração das
lajes, classificam-as em lajes de baixa freqüência e de alta freqüência. Simularam o
carregamento humano atuando na laje de um auditório de forma a verificar a resposta da
estrutura. Contribuíram também na discussão sobre o nível de detalhamento necessário
na modelagem das lajes considerando os vários painéis existentes num andar de um
edifício submetido a vibrações excessivas. Através de um modelo hipotético de painéis,
eles simularam as vibrações a fim de verificar se é suficiente modelar um número
reduzido de painéis ao invés de representar o sistema estrutural completo, ver Figura
2.5. Observaram que para uma estrutura com vários painéis de laje, a diferença nas
respostas dinâmicas é mínima quando se analisa somente o trecho de laje mais
solicitado pela atividade humana ao invés do conjunto todo de painéis de laje.
Figura 2.4 – Estrutura com três painéis de lajes e os modos de vibrar 1, 2 e 6
(Brownjohn e Middleton, 2007).
36
2.3 CONTROLE ESTRUTURAL
Descreveram-se, no item anterior, alguns estudos sobre a problemática de
vibrações em estruturas devido à atividade humana. A crescente ocorrência de casos de
vibrações excessivas em estruturas devidas não somente à atividade humana, mas
também devidas à ação do vento e terremotos levou à busca de soluções para este
fenômeno.
O controle estrutural consiste em uma alteração nas propriedades de rigidez e
amortecimento de determinada estrutura, a partir da adição de dispositivos externos e/ou
forças externas. Esses sistemas de controle podem ser classificados em: passivo, ativo,
semi-ativo e híbrido.
O controle denominado passivo tem como princípio transferir parte da energia a
ser dissipada pela estrutura para dispositivos de controle, reduzindo o desconforto
causado pelas vibrações excessivas. O dispositivo de controle dissipa uma parte da
energia convertendo-a em calor ou transfere a mesma para um dispositivo auxiliar.
Soong e Dargush (1997) descrevem os principais mecanismos de controle
passivo em: isolamento de base, amortecedores metálicos, amortecedores de fricção,
amortecedores viscofluidos, amortecedores líquidos sintonizados e os AMS.
Neste trabalho foi utilizado o Amortecedor de Massa Sintonizado, ou AMS, que
tem como vantagens em relação aos outros sistemas, a não dependência de fontes de
energia externa, nem a de manutenção freqüente e especializada e apresenta um
histórico confiável de casos eficazes quanto a sua utilização na prática. Uma descrição
mais detalhada deste sistema será realizada nos itens seguintes deste trabalho.
O controle ativo, diferente do controle passivo, necessita de fontes de energia
para a aplicação de forças à estrutura através de atenuadores. A partir de algoritmos de
controle ativo, a magnitude das forças aplicadas pelos atenuadores à estrutura é
calculada, e esse cálculo é realizado em função da resposta da estrutura medida através
de sensores em tempo real.
O controle semi-ativo não adiciona energia ao sistema estrutural controlado,
porém possui propriedades – controladas de forma ótica – que reduzem a resposta do
sistema. A vantagem desse tipo de sistema é a de possuir adaptabilidade dos
37
controladores ativos sem demandar grandes quantidades de energia, podendo, em
muitas aplicações, operar com baterias de emergência, no caso de falta de energia
(Ávila, 2002).
O controle híbrido é uma forma de controle que reúne simultaneamente as
características do controle ativo e passivo. A vantagem está no fato de exigir forças de
magnitude bem menores nos atenuadores, o que gera uma considerável redução no
custo, além de um desempenho mais eficiente comparado ao sistema passivo, uma vez
que amplia a faixa de freqüência em que o mesmo funciona de forma eficiente.
Tamura et al (1995) apud Gomes (2006) estudaram amortecedores fluidos
sintonizados sob excitação do vento. Embora o estudo não envolvesse vibrações
oriundas de atividades humanas, contribuiu para examinar os limites de percepção
humana com relação às vibrações. Os casos estudados foram a torre do aeroporto de
Nagasaki, a torre marinha em Yokohama, o Prince Hotel em Shin-Yokohama e a torre
do aeroporto internacional de Tóquio. Em todos os casos analisados houve medições em
escala real que apresentaram resultados satisfatórios. Concluíram que os amortecedores
utilizados podem melhorar significativamente os limites de serviço dos edifícios.
As Figuras 2.5 e 2.6 mostram, respectivamente, a torre do aeroporto de Tóquio
e o amortecedor fluido sintonizado instalado na torre do aeroporto de Nagasaki.
Segundo Tamura et al. (1995), o princípio de funcionamento desse tipo de amortecedor
é a absorção da energia pelo movimento do líquido contido num recipiente, a energia é
dissipada pela fricção que ocorre entre as partículas do próprio líquido e pela fricção do
líquido com a superfície interna do recipiente no qual está contido.
Figura 2.5 – Torre do aeroporto internacional de Tóquio.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:HND_control_tower.jpg
38
Figura 2.6 – Exemplo de amortecedor líquido sintonizado, instalado na torre do
aeroporto de Nagasaki (Tamura et al., 1995)
Carneiro (2004) estudou a eficiência de um sistema de Amortecedores de Massa
Sintonizados Múltiplos (AMSM), que são conjuntos formados por mais de um
dispositivo massa-mola (AMS) podendo ser interligados (I) ou não-interligados (NI).
Este tipo de dispositivo foi aplicado para o caso de edifícios altos, analisando os efeitos
do número de massas e de sua interligação. Foi utilizado um exemplo de edifício de
vinte andares, considerando-o como um shear frame (Figura 2.7). Um estudo
paramétrico foi realizado a fim de verificar os efeitos da variação dos valores dos
parâmetros envolvidos para a estrutura sem amortecedor, com um AMS e com vários
amortecedores, não-interligados e interligados. O caso que se mostrou mais satisfatório
em termos de eficiência na redução das amplitudes máximas devido ao carregamento
dinâmico imposto foi o sistema controlado pelo AMSM interligado.
Figura 2.7 – Edifício de vinte andares representado por shear frame (Shukla e Datta,
1999)
39
Gomes (2006) estudou numericamente o comportamento dinâmico de uma
passarela de pedestres localizada na cidade de Brasília, sobre a via EPIA, quando
submetida às ações humanas de caminhar e correr. A passarela estudada, ver Figura 2.8,
apresentava vibrações perceptíveis aos pedestres na direção vertical.
Figura 2.8 - Trecho horizontal da passarela sobre a via EPIA.
O estudo de Gomes (2006) concentrou-se em um vão inclinado típico da
passarela EPIA, pois possuía maior comprimento que um vão típico horizontal.
Observou-se, inicialmente, na análise de vibrações livres que as seis primeiras
freqüências naturais dessa estrutura encontravam-se dentro do intervalo crítico sugerido
pela literatura (abaixo de 5 Hz). Foram realizadas simulações com diferentes números
de pedestres caminhando ou correndo sobre a passarela de forma assíncrona e em
seguida de forma síncrona. A partir dessas análises Gomes (2006) propôs a instalação
de um sistema de controle estrutural do tipo AMSM e procurou desenvolver um sistema
para combater as vibrações verticais, que no caso dessa estrutura tem maior amplitude e,
portanto são mais críticas.
O sistema de controle proposto por Gomes (2006) indicado na Figura 2.9, foi
eficaz em combater a ressonância da estrutura quando submetida a carregamentos
provocados por pedestres correndo na freqüência do primeiro modo de flexão vertical, o
caso mais desfavorável. A introdução de barras para travamento da estrutura também
melhorou os resultados.
40
Figura 2.9 – Disposição dos amortecedores que formam o AMSM na passarela com
travamento.
2.4 AMORTECEDOR DE MASSA SINTONIZADO
Neste trabalho, será dada ênfase ao AMS que consiste em um dispositivo massa-
mola-amortecedor ligado a um sistema principal vibrante a fim de atenuar vibrações
indesejáveis. O AMS é um dos mais antigos dispositivos de controle estrutural
existente, e seu princípio de funcionamento consiste em sintonizar o dispositivo numa
freqüência próxima à freqüência natural do sistema, fazendo com que o dispositivo
entre em ressonância, vibrando fora de fase e com isso transfira a energia de vibração.
A aplicação do AMS iniciou-se na engenharia mecânica, vindo a ser empregado
na engenharia civil a partir da década de 60 com seu uso em pontes, edifícios altos,
torres e chaminés industriais para controle de vibrações causadas pelo vento.
Atualmente, seu uso tem se estendido pelo mundo todo e com maior freqüência. Países
como Estados Unidos e Japão, por exemplo, aplicam bastante esse dispositivo para
atenuar as vibrações causadas por terremotos e vento. O AMS também tem sido
utilizado para atenuar vibrações induzidas por atividades humanas, como no caso da já
citada passarela de pedestres estudada por Gomes (2006).
Ocorre com grande freqüência também, o uso de amortecedor de massa
sintonizado múltiplo (AMSM) que consiste em vários amortecedores com freqüências
distribuídas em volta da freqüência natural correspondente ao modo a ser controlado.
Tal solução é amplamente estudada, com trabalhos também no Brasil, como o de
Battista e Pfeil (2005) apud Lima (2007) que projetaram um mecanismo de vários
amortecedores, por eles denominados de atenuadores dinâmicos sincronizados, ver
41
Figura 2.10, para diminuir as amplitudes de oscilações registradas na Ponte Rio -
Niterói provocadas pelo vento. O uso desse sistema de vários amortecedores na ponte
levou a resultados satisfatórios comprovados experimentalmente e numericamente.
Figura 2.10 - Atenuador desenvolvido para a Ponte Rio-Niterói
http://www.planeta.coppe.ufrj.br/artigo.php?artigo=475. Acesso em 09 fev 2009.
O crescente número de casos de vibrações indesejáveis em lajes devido ao
movimento humano tem contribuído também para o aumento do número de publicações
nesta área de estudo, com relatos de casos particulares e análises experimentais e/ou
numéricas. Os resultados publicados revelam a eficácia do uso de Amortecedores de
Massa Sintonizados para o controle de vibrações em lajes e suas vantagens quanto à
manutenção e custos.
Diferentes configurações de AMS tem sido usadas ao longo das décadas, Lezen
(1966) apud Setareh et al (2006), por exemplo, usou pequenos amortecedores com
massa em torno de 2% da massa da laje sintonizados a uma freqüência em torno de 1,0
Hz a menos que a freqüência da laje e com uma razão de amortecimento de 7,5 %.
Setareh e Hanson (1992) usaram um método para representar um modelo que pudesse
otimizar os parâmetros do AMS usando um número reduzido de modos de vibração,
eles obtiveram um bom resultado para casos de vibrações onde há pouquíssima
diferença entre os intervalos de freqüência dos modos dominantes.
Webster e Vaicaitis (1992) utilizaram os AMS no edifício Park Building, no
andar onde havia uma pista de dança. Eles sintonizaram os amortecedores nos primeiros
modos de vibração otimizando os parâmetros do AMS pelo método de Reed’s. Após a
42
instalação dos mesmos houve uma diminuição de 60% das vibrações, embora o previsto
seria de 70%.
Varela (2004) apresentou um caso prático de uso de atenuadores dinâmicos
sincronizados num edifício destinado para escritórios e salas de reuniões, com vigas
metálicas e lajes celulares mistas ortotrópicas, ver Figura 2.11. A laje apresentava
vibrações excessivas conforme a ISO 2631/1 e 2 (1985) , NBR 8800 e NB-14-ABNT.
Com o uso dos atenuadores instalados nos 4 painéis das lajes houve uma considerável
diminuição das amplitudes de aceleração verticais, com reduções variando entre 49% a
58%.
Figura 2.11 – Atenuador Dinâmico Sintonizado instalado (Varela,2004)
Setareh et al. (2007) descrevem a aplicação de um pêndulo passivo como
amortecedor de massa em dois casos de lajes com vibrações excessivas. Durante esse
estudo, eles destacam a influência da interação homem-estrutura nos resultados
experimentais obtidos. As lajes eram em prédios de escritórios e apresentavam ambas
freqüências dominantes na faixa de 4 a 5 Hz, nas quais os amortecedores foram
sintonizados, obtendo redução de amplitudes na ordem de 50 a 70%.
Lima (2007) para verificar as vibrações produzidas pelas atividades aeróbicas
numa academia de ginástica realizou uma análise numérica no piso da academia, ver
Figura 2.12. Primeiramente foi realizada a análise modal da laje e verificou-se que no
primeiro modo de vibração, a laje se desloca horizontalmente na direção do eixo Y e
que, no segundo e terceiro modos, a laje se desloca paralelamente ao seu próprio plano,
girando em torno do eixo vertical paralelo ao eixo Z. Os valores das freqüências nesses
43
três primeiros modos apresentavam valores próximos da freqüência do carregamento
humano e os deslocamentos verticais ocorriam a partir do quarto modo porém com
valores de freqüências maiores que do carregamento humano.
Lima (2007) simulou então as atividades humanas de pular e andar na laje, mais
especificamente no trecho crítico onde ocorriam as atividades aeróbicas, e verificou
altos níveis de vibração quando comparadas com os valores recomendados nos códigos
internacionais vigentes.
Figura 2.12 – Estrutura do pavimento da academia com o trecho analisado em destaque.
LIMA (2007)
Foram simuladas numericamente algumas soluções de controle por meio da
instalação de AMS, variando-se a quantidade, a posição e as propriedades dos
amortecedores. Lima (2007) realizou 15 tentativas de controle com o uso de
amortecedores instalados nos nós da estrutura onde ocorriam os maiores deslocamentos
modais. A proposta com melhor resultado foi com o uso de três amortecedores atuando
na direção vertical e três na horizontal, porém, obteve-se redução significativa somente
nas velocidades e acelerações verticais e pouquíssima redução nos deslocamentos.
Mesmo com casos bem sucedidos do uso do AMS, ainda há necessidade de
aprofundar o estudo desses dispositivos, por exemplo, no que diz respeito à otimização
dos parâmetros dos amortecedores de massa sintonizados para lajes de edifícios. Setareh
et al (2007) apontaram em seus estudos a existência de variações no desempenho dos
44
amortecedores quando as estruturas são simuladas computacionalmente e quando são
instaladas de fato nas estruturas. Concluíram ainda, em seus estudos, que medições a
partir de carregamentos humanos reais diferem quando massas de equivalente peso são
colocadas no lugar de pessoas e que o acréscimo no número de pessoas na laje também
influencia no desempenho dos amortecedores. Tais fatores comprovam a complexidade
do estudo de amortecedores de massa em lajes e a necessidade de aprofundamento nos
parâmetros dos AMS.
45
3 FUNDAMENTOS TEÓRICOS
Os seres humanos são muito sensíveis a níveis de vibração tão baixos como
0,001 mm. Essa sensibilidade, em geral, provoca problemas de estado limite de serviço
muito antes que os níveis de vibração sejam sequer remotamente suficientes para causar
dano à estrutura. (Zivanovic et al., 2005) .
Pisos de edifícios comerciais apresentam uma suscetibilidade a forças dinâmicas
induzidas por pessoas dependendo das atividades neles realizadas, como no exemplo de
uma academia de ginástica em que ocorrem atividades rítmicas. Desta forma, o
entendimento da atividade humana e das forças por ela gerada auxilia no estudo das
vibrações em estruturas e por conseqüência no estudo dos mecanismos de controle
estrutural.
A seguir é apresentado um estudo do movimento humano de caminhar, correr e
dançar, responsáveis pelas forças dinâmicas analisadas nas estruturas desse trabalho.
São apresentadas as formulações matemáticas relacionadas às forças geradas por estas
atividades humanas e os princípios de funcionamento do sistema de controle por AMS,
sistema este utilizado nas estruturas analisadas deste estudo.
3.1 MOVIMENTO HUMANO DE CAMINHAR E CORRER
O pedestre produz, ao caminhar, uma força que varia no tempo e no espaço, que
tem componentes nas direções vertical e horizontal (lateral e longitudinal), sendo a mais
importante componente a vertical. A Figura 3.1 mostra a evolução de cada uma dessas
três forças ao longo do tempo.
A força gerada pelo caminhar humano apresenta, como mencionado, parcelas
em várias direções, e em geral se considera apenas a parcela vertical para pisos com
rigidez suficiente em seu plano para que as demais parcelas possam ser desprezadas. É o
que acontece, por exemplo, numa laje de um edifício comum (Lima, 2007). O mesmo
não pode ser feito, em geral, em uma passarela, na qual os efeitos das componentes
horizontais podem ser importantes, uma vez que pode ser bastante flexível nas demais
direções.
46
Figura 3.1 - Força vertical, horizontal lateral e horizontal longitudinal.
(Zivanovic et al., 2005).
Os principais parâmetros que caracterizam os movimentos de caminhar e correr
são:
- Razão ou freqüência de passo (f): Representa o número de passos dados por
segundo, ou seja, a freqüência de excitação, que é expressa em Hz.
- Comprimento de passo (sl): É a distância percorrida por um passo. Essa
distância varia de pessoa para pessoa.
- Velocidade de avanço (fs): Representa a velocidade média de uma pessoa. Está
relacionada com a razão de passo e o comprimento de passo. Para uma mesma
velocidade de avanço, pessoas diferentes apresentam razões de passo e comprimentos
de passo distintos.
- Tempo de contato (ct): É o tempo em que o pé do pedestre permanece em
contato com o piso.
- Coeficiente de impacto (ci): Representa a razão entre a força de pico e o peso
estático da pessoa.
47
A Figura 3.2, mostra a distribuição de forças em uma estrutura, provocada pelo
movimento de uma pessoa. Observa-se que no movimento de caminhar (Fig. 3.2a), o
tempo de contato (ct) é maior do que o período de um passo (T). Devido a isso existe
um pequeno período de tempo em que os dois pés do pedestre estão em contato com o
piso. No movimento de correr (Fig.3.2b), o tempo de contato (ct) é menor do que o
período do passo (T). Nesse caso, os dois pés nunca estão ao mesmo tempo em contato
com o piso e existe um período de tempo em que nenhum dos pés está em contato com
o piso.
Figura 3.2 – Distribuição de forças em uma estrutura, provocada por uma pessoa
caminhando (a) ou correndo (b) (Zivanovic et al, 2005).
A Figura 3.3 mostra como a função de carregamento se modifica em função do
tipo de movimento do pedestre.
48
Figura 3.3 - Evolução da força vertical de um caminhar lento até o correr (Zivanovic et
al, 2005).
Wheeler (1982) apresentou valores médios para a correlação entre os parâmetros
que definem os movimentos de caminhar e correr. Os resultados foram obtidos de testes
experimentais. Na Figura 3.4 são mostrados os gráficos dessa correlação.
Figura 3.4 – Correlação entre os parâmetros que definem os movimentos de caminhar e
correr dada por Wheeler (1982).
49
De uma forma geral, observa-se nos gráficos de Wheeler (1982) que com o
aumento da freqüência de passo, aumenta-se o comprimento de passo, a velocidade de
avanço, a força de pico e o coeficiente de impacto, enquanto diminui-se o tempo de
contato com o piso.
Existem outros parâmetros que também exercem influência na força dinâmica
produzida por uma pessoa que caminha ou que corre, segundo Bachmann e Ammann
(1987) apud Baltar (2000), esses parâmetros são: particularidades do passo, peso, sexo
do indivíduo, tipo de calçado e condições da superfície do piso.
Diversos estudos foram realizados no sentido de caracterizar-se a freqüência dos
principais tipos de movimentos produzidos por pessoas. Bachmann et al (1987),
afirmam que o caminhar humano gera uma ação dinâmica que se caracteriza por uma
freqüência que varia entre 1,5 Hz e 2,5 Hz. As corridas, em geral, têm freqüência
variando entre 2,4 Hz e 2,7 Hz nas situações mais lentas, podendo chegar até 5,0 Hz nas
situações mais rápidas. Já Baltar (2000),com base nos casos por ela analisados, afirma
que a razão de passo ou a freqüência do carregamento gerado pelo caminhar humano
raramente excede o valor correspondente a 5 Hz.
Zivanovic et al (2005) cita em seu estudo diversos valores típicos de freqüência
do caminhar humano apresentados por vários autores, conforme indica a Tabela 3.1.
Tabela 3.1 – Valores típicos de freqüência do caminhar humano apresentados por outros autores (Zivanovic et al, 2005)
Autor Freqüência típica (Hz) Leonard (1966) 1,7 a 2,3 Matsumoto et al (1978) 2,0
Bachmann et al (1995) 1,6 a 2,4 Kerr & Bishop (2001) 1,9
A partir das observações referentes à atividade de caminhar e correr e dos
estudos realizados ao longo do tempo por diversos autores aqui apresentados, constatou-
se que existe uma relativa concordância das faixas de valores de freqüência para o
caminhar humano e o correr.
Neste trabalho, foi dedicada maior atenção à atividade humana de pular, por ser
uma atividade que produz carregamentos críticos (Bachmann et al, 1987),
possibilitando assim a análise dos modelos de laje propostos em situações bastante
desfavoráveis com relação à vibração induzida por atividades humanas.
50
3.2 FUNÇÃO PARA A ATIVIDADE DE PULAR
Foram discutidos anteriormente os principais parâmetros envolvidos nas ações
humanas de caminhar e correr e as faixas de freqüência típicas dessas atividades, porém,
existe a necessidade de um modelo analítico para expressar essas ações corretamente
assim como um modelo analítico para a atividade de pular.
Para a atividade de pular, Bachmann et al (1987) afirmam que esta atividade
produz carregamentos críticos e que deve ser entendida em termos de freqüência de
salto. Deve ser considerado um fator de impacto, que se relaciona com o período e a
freqüência do salto. Desta forma, os principais parâmetros que afetam o carregamento
devido à atividade de pular, em função do tempo, são a freqüência, a intensidade e o
peso da pessoa. Para fins de cálculo a faixa de freqüência mais usual a ser considerada é
de 1,8 Hz a 3,4 Hz,
A função, apresentada por Bachmann et al (1987), a qual será utilizada para
descrever a força que surge na estrutura quando nela há pessoas pulando é a mesma
usada para descrever pessoas correndo. Trata-se de uma função com seqüência de
pulsos semi-senoidais:
Fp (t) = kp.G.sen.(π.t/ tp) para t ≤ tp
0 para tp ≤ t ≤ Tp
(3.1)
onde:
kp = Fp,max / G = fator de impacto dinâmico;
Fp,max = carga dinâmica de pico
G = peso do indivíduo (em geral tomado como G = 800N)
tp = duração do contato
Tp = 1/fs = período do passo
Fs = 1/ Tp = razão de passo ou freqüência (Hz).
51
A Figura 3.5, a seguir, representa o gráfico desta função, e o fator de
impacto kp é representado na Figura 3.6, variando em função da razão tp / Tp .
Figura 3.5 – Função de carga para pedestre para os movimentos de caminhar e correr
Figura 3.6 – Fator de impacto kp versus tp / Tp
3.3 PRINCÍPIOS DO AMORTECEDOR DE MASSA SINTONIZADO
Após breve estudo da atividade humana de caminhar e correr e em especial da
formulação matemática para a atividade de pular, entende-se a necessidade de um
estudo das formulações sobre o sistema de controle por AMS, que é o dispositivo de
controle adotado neste trabalho para atenuar as vibrações devido à atividade humana de
pular na estrutura.
O objetivo do AMS é reduzir a demanda de dissipação de energia dos membros
estruturais submetidos à ação de carregamentos dinâmicos, tal redução ocorre com a
transferência de parte da energia vibratória da estrutura para o AMS.
Para edifícios altos, a resposta do primeiro modo da estrutura com um AMS
sintonizado na freqüência deste modo pode ser reduzida consideravelmente, mas, em
52
geral, as respostas associadas aos modos mais altos são apenas levemente reduzidas ou,
até mesmo, amplificadas. Para vencer essa limitação, mais de um AMS pode ser
instalado na estrutura, podendo cada AMS destes ser sintonizado em uma freqüência
dominante (Housner et al,1997 apud Ávila, 2002).
Matematicamente, a influência de um AMS no comportamento estrutural de um
sistema pode ser descrita da seguinte forma: considerando-se um sistema principal de
um grau de liberdade, com uma massa M, um amortecimento C, uma rigidez K, no qual
se aplica uma força dinâmica f(t) e ao qual é acoplado um AMS de massa m,
amortecimento c e rigidez k, conforme Figura 3.7.
Figura 3.7 – Modelo de um sistema estrutural com um AMS instalado.
As equações de movimento do sistema estrutural são dadas por:
)()()()()()(....
tftkztzctKytyCtyM ++=++ (3.2)
)()()()(.....tymtkztzctzm −=++
(3.3)
onde:
ÿ(t) : aceleração do sistema principal em relação a base
y(t) : velocidade do sistema principal em relação a base
y(t) : deslocamento do sistema principal em relação a base
z(t) : deslocamento relativo entre o AMS e o sistema principal
53
Quando instalado um AMS, busca-se trazer a amplitude do pico de ressonância
para o seu mais baixo valor possível de forma que as amplificações menores atinjam
uma faixa mais ampla de freqüência. Para tanto, deve-se obter os parâmetros ótimos dos
AMS de forma a otimizar o desempenho do sistema, ou seja, obter menores picos de
ressonância.
Os parâmetros utilizados na otimização do AMS são a massa, a rigidez e o
amortecimento do amortecedor. Den Hartog (1956) desenvolveu uma técnica de
otimização de parâmetros objetivando minimizar o deslocamento da estrutura,
considerando que o sistema no qual o amortecedor atua é não-amortecido e submetido a
uma excitação harmônica senoidal. Baseado no critério de minimização da amplitude do
pico de ressonância da estrutura foram geradas as seguintes expressões:
1 1 + µ
(3.4)
onde:
αótimo é a razão ótima de freqüência entre a freqüência do AMS e a do sistema principal
µ é a razão entre a massa do AMS e a massa do sistema principal.
Calculada a freqüência fAMS e a massa mAMS do amortecedor, pode-se então
calcular sua freqüência circular ωMAS e sua rigidez kAMS, como:
ωAMS = 2.π.fAMS (3.5)
kAMS = ωAMS ².mAMS (3.6)
O amortecimento poder ser calculado da seguinte forma:
cAMS =2.ξ AMS . mAMS . ωAMS (3.7)
Com já foi comentado anteriormente, existem os chamados amortecedores de
massa sintonizados AMSM , que é um sistema de controle que consiste em um grande
número de pequenos amortecedores com freqüências distribuídas em volta da
freqüência natural correspondente ao modo a ser controlado.
αótimo =
54
Matematicamente, a influência de um AMSM no comportamento estrutural de
um sistema pode ser descrito da seguinte forma: considerando-se sistema principal
amortecido com rigidez K, massa M e amortecimento C e um número n de
amortecedores de massa sintonizados com características dinâmicas diversas, como
mostra a Figura 3.8
Figura 3.8 – Modelo estrutural de um sistema principal equipado com AMSM
Os parâmetros do j-ésimo AMS são a massa mj, o amortecimento cj e a rigidez
kj. As freqüências naturais do amortecedor de massa sintonizado múltiplo são
uniformemente distribuídas ao redor da freqüência média. As equações de movimento
do sistema estrutural da Figura 3.8 são dadas por:
M y(t) + C y(t) + K y(t) = F(t) (3.8)
onde y(t) é o vetor (n+1) dos deslocamentos relativos à base, onde o primeiro
componente correspondente à resposta da massa principal e as componentes restantes
correspondem aos n amortecedores. As (n+1)x(n+1) matrizes M, C e K são as matrizes
de massa, amortecimento e rigidez, respectivamente, dadas por
+
=
∑=
nn
n
n
jj
mm
mm
mmmM
M
...0
......
0...
...
11
11
(3.9)
=
nK
K
K
K
...00
......
0...0
0...0
1
(3.10)
.. .
. ..
55
=
nC
C
C
C
...00
......
0...0
0...0
1
(3.11)
O lado direito da equação 3.8 representa a excitação externa F(t)=[f1(t), f2(t), ...,
fn(t)]T . A resposta harmônica permanente do sistema é obtida substituindo-se fi(t)=fie-iωt
para i = 1...n e y(t) = Y(ω)e-iωt na equação 3.8 e isolando Y(ω)
Y(ω) = (ω² M - iωC + K)-1 F (3.12)
Admitindo-se, por exemplo, que a excitação seja uma aceleração na base, fi = mi,
tem-se que o primeiro elemento de Y(ω) representa a amplitude da resposta harmônica
y(ω) da massa principal, dada por:
)()()(
)( 2
1
ωωωωωω
ωZiCiMK
ZiMy
−−−−
=−
(3.13)
Com
∑= −−
−−=
n
j jjj
jjj
mcik
cikmiZ
12
)()(
ωωω
ωω (3.14)
Onde Z(ω) é a impedância do sistema , definida como a amplitude da força
necessária para produzir uma velocidade harmônica unitária na base do AMS.
56
4 FERRAMENTAS COMPUTACIONAIS E METODOLOGIA UTILIZADA
4.1 PROGRAMA ANSYS 10.0
Neste capítulo é abordada a metodologia utilizada na modelagem numérica das
lajes realizada no programa ANSYS 10.0. A proposta é de analisar o controle das
vibrações em lajes de concreto induzidas pela atividade humana de pular por meio de
simulações numéricas.
O ANSYS 10.0 pode ser utilizado no cálculo de análises dinâmicas e vem sendo
bastante utilizado em diversos campos de pesquisas produzindo bons resultados, como
nos estudos de Gomes (2006) e Lima (2007), que trabalharam a simulação de
carregamentos humanos atuando em estruturas de concreto e mistas. O programa
apresenta uma ampla bibliografia e tutoriais que auxiliam no entendimento das análises
realizadas, além de permitir a realização de uma grande seqüência de simulações em
pouco tempo, fator este fundamental neste trabalho uma vez que serão realizadas várias
análises com a variação de parâmetros.
O programa ANSYS 10.0 não se resume apenas a análises dinâmicas, ele é um
pacote utilizado para modelagem em elementos finitos que permite várias análises,
como problemas de transferência de calor, de fluídos, acústicos, eletromagnéticos e as
análises dinâmicas e estáticas (análises lineares e não-lineares).
Na resolução de problemas no ANSYS 10.0 pode-se subdividir o processo em
três estágios:
Pré-processamento: etapa em que é definido o problema e é realizada a
discretização da estrutura, com a definição das dimensões, nós da malha de elementos
finitos, tipos de elementos adotados e as propriedades físicas e geométricas dos
materiais constituintes.
Processamento: etapa em que é especificado o tipo de carregamento e os pontos
de aplicação na estrutura, assim como são definidas as restrições aos movimentos
translacionais e rotacionais e por fim, a solução do sistema de equações resultantes.
Pós-processamento: estágio mais avançado da análise realizada pelo programa,
nesta etapa é realizada a análise dos resultados que permite, por exemplo, ver os
57
deslocamentos nodais, forças e momentos resultantes nos elementos, deflexões e os
diagramas que relacionam os deslocamentos da estrutura em função do tempo ou em
função da frequência .
4.2 DISCRETIZAÇÃO
O Programa ANSYS 10.0 apresenta em sua biblioteca uma série de elementos
finitos que, em conjunto, permitiram simular a estrutura estudada. Os elementos
utilizados neste trabalho estão descritos a seguir.
4.2.1 Elemento SHELL63
O elemento SHELL63 possui quatro nós (I, J, K e L) com translação no eixo X,
Y e Z e rotação em torno dos mesmos, totalizando seis graus de liberdade em cada nó.
Este elemento foi utilizado para modelar a laje, pois é adequado para simular o
comportamento de uma membrana e permite carregamentos tanto no seu plano quanto
normal a ele (Figura 4.1). Para o SHELL63 é necessário definir a espessura nos quatro
nós, o módulo de elasticidade, a densidade e o módulo de Poisson.
Figura 4.1 – Elemento SHELL63 (ANSYS,1995)
4.2.2 Elemento BEAM4
O elemento BEAM4 foi utilizado apenas no final do estudo quando foram
acrescentadas vigas e pilares nas lajes (Figura 4.2). Tal elemento possui seis graus de
liberdade em cada um dos seus dois nós (I e J), de forma que possui translação em X, Y
e Z e rotação em torno dos mesmos. É um elemento uniaxial apto para modelar tração,
compressão, torção e dobramento.
58
Figura 4.2 – Elemento BEAM4 (ANSYS, 1995).
4.2.3 Elemento COMBIN14
O elemento COMBIN14 simula o amortecedor e a mola (Figura 4.3). É definido
por dois nós (I e J), com translação em X,Y e Z e rotação em torno dos mesmos,
totalizando seis graus de liberdade em cada nó. As variáveis que precisam ser
definidas para este sistema mola-amortecedor são a constante de rigidez da mola (K)
e o coeficiente de amortecimento do amortecedor (C). Este elemento foi utilizado na
análise para simular o sistema de mola-amortecedor existente no AMS.
Figura 4.3 – Elemento COMBIN14 (ANSYS, 1995).
4.2.4 Elemento MASS21
É um elemento pontual apto para simular massa e inércia, tanto translacional
quanto rotacional (Figura 4.4). Possui seis graus de liberdade, sendo três rotações e três
translações. O elemento MASS21 simulou no trabalho a massa do AMS, a massa é
59
definida e aplicada no nó terminal do elemento COMBIN14. Para este estudo não foi
considerada a inércia rotacional no elemento MASS21, a única variável introduzida foi a
massa do mesmo.
Figura 4.4 – Elemento MASS21(ANSYS, 1995).
4.3 ETAPAS E METODOLOGIA DA ANÁLISE NUMÉRICA
É importante destacar que para a análise do controle de vibrações em lajes com o
uso de AMS utilizou-se o programa ANSYS 10.0 como ferramenta computacional para
simular as estruturas, os carregamentos aplicados e os mecanismos de controle.
A análise numérica é iniciada com a definição dos elementos finitos usados,
conforme indicado no item 4.2 anterior. A partir de um modelo inicial de laje foi testada
a discretização da malha e feita uma análise estática para validar o modelo numérico.
Em seguida, veio a etapa de simular vários modelos de laje, de forma aleatória,
variando-se suas dimensões em largura, comprimento, espessura e configuração de
apoio.
A Figura 4.5 mostra alguns dos vários modelos iniciais de laje que foram
simulados variando-se suas configurações de apoio. Nestes cinco primeiros, a dimensão
das lajes é 5m x 4m, espessura de 0,07m, módulo de elasticidade de 29GPa, Coeficiente
de Poisson de 0,3 e densidade de 2500kg/m³. No plano XY das lajes foi aplicada uma
carga distribuída de 2000 N/m² a fim de simular uma sobrecarga de revestimento.
Figura 4.5 – Primeiros modelos de laje com suas respectivas configurações de apoio.
60
Para os modelos de lajes apresentados na figura anterior, obtiveram-se os cinco
primeiros modos de vibração e suas respectivas freqüências naturais, conforme indica a
Tabela 4.1.
Tabela 4.1 – Freqüência naturais dos modelos iniciais de laje
MODELO 01
1° modo de vibração 2° modo de vibração 3° modo de vibração 4° modo de vibração 5° modo de vibração
f1 = 6,670 Hz f2= 19,88 Hz f3 = 20,98 Hz f4 = 35,04 Hz f5 = 42,27 Hz
MODELO 02
1° modo de vibração 2° modo de vibração 3° modo de vibração 4° modo de vibração 5° modo de vibração
f1 = 10,93 Hz f2= 13,54 Hz f3 = 22,50 Hz f4 = 35,56 Hz f5 = 38,74 Hz
MODELO 03
1° modo de vibração 2° modo de vibração 3° modo de vibração 4° modo de vibração 5° modo de vibração
f1 = 15,31 Hz f2 = 33,90 Hz f3 = 34,82 Hz f4 = 52,67 Hz f5 = 61,41 Hz
MODELO 04
1° modo de vibração 2° modo de vibração 3° modo de vibração 4° modo de vibração 5° modo de vibração
f1 = 17,84 Hz f2 = 35,48 Hz f3 = 41,47 Hz f4 = 57,87 Hz f5 = 62,55 Hz
MODELO 05
1° modo de vibração 2° modo de vibração 3° modo de vibração 4° modo de vibração 5° modo de vibração
f1 = 21,44 Hz f2 = 35,66 Hz f3 = 49,14 Hz f4 = 64,01 Hz f5 = 64,06 Hz
A partir das respostas da análise modal dos primeiros modelos de laje, outros
modelos foram propostos variando-se as dimensões da laje a fim de se obter freqüências
iniciais baixas. Depois de escolhidos os modelos de laje, a próxima etapa era aplicar um
carregamento harmônico e analisar o desempenho dos amortecedores de massa
instalados na laje. A etapa seguinte consistiu em aplicar uma carga simulando a
atividade de pular e também estudar o desempenho do AMS instalado na laje.
A análise numérica tinha como objetivo realizar várias simulações de propostas
de controle com AMS variando-se os parâmetros µ (razão de massa), α (razão de
freqüência) e ξ (taxa de amortecimento) e obter resultados satisfatórios na redução das
vibrações, principalmente nos deslocamentos da laje em função do tempo.
61
4.4 ESCOLHA DOS MODELOS DE LAJE
Como foi mencionado anteriormente, a etapa inicial foi criar vários modelos de
laje com diferentes tamanhos e configurações de apoio e obter as freqüências naturais
de cada modelo, de forma a se obter baixas freqüências inicias, de valores próximos a
freqüência de 3,40 Hz. Dentre os vários modelos simulados, quatro modelos foram
escolhidos para realizar as análises estruturais e estão indicados na Figura 4.6.
Figura 4.6 – Geometria e condições de contorno dos 4 modelos de laje analisados.
O critério de escolha destes quatro modelos não se limitou apenas às freqüências
naturais da laje, mas também, à configuração de apoio. Buscou-se modelos de diferentes
configurações e que apresentassem na análise modal deslocamentos diferenciados.
As propriedades físicas e geométricas dos quatro modelos de laje estão indicadas
na Tabela 4.2 a seguir.
62
Tabela 4.2 – Propriedades físicas e geométricas das Lajes Propriedades Valor
Módulo de Elasticidade (GPa) 29 Coeficiente de Poisson 0,3
Densidade do Concreto (Kg/m3) 2500 Espessura (m) 0,07
4.5 ANÁLISE ESTÁTICA
Segundo a tabela 4.1 da norma NBR6118(2003), pelo efeito “Aceitabilidade
sensorial”, o deslocamento admissível em lajes é l/250, onde l é o comprimento do vão
da laje. Considerando os quatro modelos de laje adotados, tem-se na Tabela 4.3 o
deslocamento máximo admissível para cada laje assim como a deslocamento máximo
quando aplicada uma carga distribuída sobre os nós do plano XY de 2500 N/m².
Tabela 4.3 – Deslocamentos máximos admissíveis para os 4 modelos adotados
Modelo Dimensões (m) Deslocamento
Máximo Admissível (mm)
Deslocamento máximo na análise estática (mm)
Laje 01 12x6 24 9
Laje 02 8x6 24 13,98
Laje 03 5x8 20 17,44
Laje 04 15x9 36 10,6
Importante destacar que como o objetivo do trabalho é realizar um estudo
paramétrico dos amortecedores de massa sintonizados, alguns modelos hipotéticos
simulados neste estudo buscaram uma situação bastante crítica de carregamento, com
casos de deslocamentos maiores que os admissíveis. Tais modelos foram simulados de
maneira que pudesse ser feita uma comparação dos parâmetros dos AMS devido à
diferença do tipo de carregamento aplicado com as diferentes configurações de apoio
dos quatro modelos de lajes.
4.6 ANÁLISE MODAL
É realizada a análise modal das estruturas, que tem como objetivo determinar os
parâmetros modais do sistema: as freqüências naturais, os modos de vibração e os
fatores de amortecimento modal.
A obtenção das freqüências naturais e modos de vibração dos vários modelos de
lajes foram realizados através da análise modal por elementos finitos no ANSYS 10.0
pelo algoritmo de extração de autovalor e autovetor de Block Lanczos até a seleção das
63
quatro lajes, esse método foi utilizado por obter uma rápida convergência
(ANSYS,1995).
Foram apresentados no estudo paramétrico os primeiros 5 primeiros modos
naturais de vibração dos 4 modelos de lajes visto que nos primeiros modos os valores
das freqüências são próximos aos associados aos carregamentos dinâmicos gerados
pela atividade de pular.
4.7 CARREGAMENTO HARMÔNICO
O primeiro carregamento harmônico é representado pela expressão:
f(t)=P0senωt (4.1)
onde P0 é a amplitude da força e ω é a freqüência da excitação.
Foi o primeiro carregamento aplicado nos nós que apresentaram maiores
deslocamentos verticais (direção Z) quando realizada a análise modal. A intenção, com
isto era de se induzir o estado mais crítico de carregamento. Em alguns casos, mais de
um carregamento harmônico foi aplicado no mesmo instante de tempo na laje, de forma
a avaliar a resposta dinâmica sem controle e com controle.
No estudo paramétrico para os quatro modelos de laje, a amplitude da força P0
adotada foi de 1000 N, já a freqüência de excitação ω adotada foi a mesma da primeira
freqüência natural de cada laje, uma vez que a intenção era simular a situação mais
desfavorável.
4.8 CARREGAMENTO HUMANO
Foi aplicado, por fim, um carregamento dinâmico simulando a atividade de pular
pela equação 3.1, sugerida por Bachmnn et al. (1987).
O carregamento foi aplicado na laje durantes 8s, intervalo de tempo suficiente
para realização de uma rápida seqüência de pulos consecutivos e rápidos. Esse intervalo
tempo foi subdividido em intervalos de tempo ou passos de tempo de 0,01s.
Dependendo das dimensões de cada um dos quatro modelos de laje foi definido o
número de pessoas pulando sobre a estrutura supondo uma atividade numa sala de
ginástica e respeitando o espaçamento entre os indivíduos. Para cada um dos modelos
64
de laje foram obtidos os pares de tempo e suas respectivas cargas associadas aplicadas
em nós específicos.
De acordo com a resposta dinâmica obtida com este carregamento para os quatro
modelos de laje, identificaram-se os nós que provavelmente apresentariam as condições
mais críticas de deslocamento, velocidade e aceleração verticais.
4.9 MODELOS COM AMORTECEDORES
A partir das respostas obtidas na análise dinâmica foram propostas diferentes
configurações de amortecedores de massa sintonizados, que permitiram um estudo
detalhado da influência dos principais parâmetros envolvidos no processo.
Para os valores iniciais do estudo paramétrico foram utilizados como referência
os resultados obtidos nos estudos de Ávila (2002) e Carneiro (2004) para a razão de
massa µ, razão entre freqüência α e para a taxa de amortecimento ξ. O estudo
paramétrico iniciava-se para cada modelo com a variação do valor da razão de
freqüência α até a obtenção da melhor redução no deslocamento vertical máximo
(direção Z), então se seguia o estudo dos demais parâmetros (µ e ξ) fixando-se o valor
mais indicado de α obtido.
A variação dos valores dos parâmetros na simulação era aleatória até a obtenção
de resultados considerados satisfatórios. É importante destacar que a partir dos
resultados obtidos no estudo dos modelos iniciais, os demais modelos passavam a seguir
a orientação dos resultados já obtidos, de maneira a diminuir o número de simulações
realizadas no ANSYS e comparar com as observações já realizadas nos modelos
iniciais.
65
5 ANÁLISE NUMÉRICA
A análise numérica dos quatro modelos de laje desenvolvidos neste trabalho foi
realizada a partir de um estudo paramétrico dos AMS instalados nas lajes, de forma a
verificar qual a proposta de controle que melhor se aplica em cada modelo de laje.
Neste capítulo é apresentado primeiramente a análise modal das lajes com seus
respectivos modos e freqüências naturais. Em seguida é realizada a análise do
carregamento harmônico aplicado nas lajes com o estudo dos parâmetros dos AMS.
Concluindo, é aplicada a carga que representa atividade de pular e o estudo paramétrico
dos AMS para este tipo de carregamento.
Essa sequência de análises é apresentada para cada um dos quatro modelos de
laje selecionados de forma a organizar os estudos paramétricos de cada modelo e
permitir uma melhor comparação dos resultados.
5.1 LAJE 01
5.1.1 Análise Modal
O primeiro modelo de laje analisado, apresentado na Figura 5.1, possui além de
freqüências naturais baixas, uma configuração de apoio bastante utilizada na prática
com os quatros bordos apoiados. Suas dimensões são de 12x6m e espessura de 7 cm. O
modelo numérico possui malha com 1891 nós a cada 20 cm no plano XY. As
freqüências naturais deste modelo obtidas através da análise modal estão indicadas na
Tabela 5.1. Nota-se que a primeira freqüência é próxima daquelas do carregamento
humano.
Figura 5.1 – Modelo de LAJE 01 .
66
Tabela 5.1 – Freqüências naturais da Laje 01
FREQUÊNCIA NATURAL 1° MODO 3,934 Hz 2° MODO 6,294 Hz 3° MODO 10,226 Hz 4° MODO 13,375 Hz 5° MODO 15,731 Hz 6° MODO 15,731 Hz 7° MODO 19,656 Hz 8° MODO 22,807 Hz 9° MODO 25,151 Hz 10° MODO 29,105 Hz
Os três primeiros modos de vibração da Laje 01, que são modos de flexão na
vertical, estão apresentados na Figura 5.2.
1° MODO
2° MODO
3° MODO
Figura 5.2 - Primeiros 3 modos de vibração com suas respectivas frequências naturais.
67
No primeiro modo, os maiores deslocamentos se concentram no centro do vão,
já no segundo modo e terceiro modo, os deslocamentos verticais se distribuem em
outros pontos da laje.
5.1.2 Análise para um carregamento harmônico
Uma carga senoidal, conforme a Equação 4.1 anteriormente apresentada foi
aplicada no ponto central da laje para obtenção da evolução da resposta dinâmica em
função da freqüência. A Figura 5.3 apresenta a resposta em freqüência do deslocamento
vertical do nó central da laje para este carregamento, a partir da qual se pode verificar
que os modos que mais influenciam a resposta dinâmica neste caso são o primeiro e
terceiro modos.
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0,10 2,10 4,10 6,10 8,10 10,10 12,10 14,10 16,10 18,10
Frequência (Hz)
Deslocamento (m)
Resposta no nócentral da lajesem nenhumdispositivo decontrole
Figura 5.3 – Resposta dinâmica em função da freqüência no nó central da laje (Nó 946).
Para obtenção da evolução da resposta dinâmica em função do tempo foi
aplicada nos estudos seguintes uma carga senoidal com uma freqüência igual à
freqüência mais baixa da estrutura (f = 3,93 Hz). A Tabela 5.2 apresenta os valores
máximos do deslocamento Uz, velocidade Vz e aceleração az no nó central da laje.
Tabela 5.2 – Resposta máxima sem controle no nó central (Nó 946) Uz(mm) Vz(m/s) az(m/s²)
2,812 0,0687 1,68
x10-1
68
Visando a redução das vibrações decorrentes deste carregamento harmônico
aplicado, partiu-se para o estudo da redução das vibrações a partir do controle estrutural
feito com o uso do AMS. São analisadas propostas de controle com o uso de um ou
mais amortecedores, variando-se parâmetros do AMS e sua posição conforme os
critérios adotados em cada estudo.
5.1.2.1 Estudo 01
Inicialmente o estudo para o projeto do sistema de controle estrutural utilizando
AMS previu um único amortecedor instalado no ponto central da Laje 01, posição esta
escolhida por ser a de maior amplitude de deslocamento modal, conforme indica a
Figura 5.4. Na falta de diretivas de projeto na literatura para determinação dos
parâmetros do AMS para lajes, foi realizado um estudo paramétrico variando-se suas
propriedades e verificando quais as que melhoravam o desempenho do AMS. As tabelas
5.3, 5.4 e 5.5 apresentam as reduções (∆ %) das respostas obtidas variando-se a razão de
massa µ, a razão entre freqüências α e a taxa de amortecimento ξ. Verificou-se que o
valor de α mais adequado foi α = 0,96, isto é, sintonizando-se o AMS bem próximo à
freqüência natural da laje correspondente. No caso da taxa de amortecimento, verificou-
se que ao aumentá-la prejudica-se a eficiência do amortecedor. Quanto maior a massa
do amortecedor, relativa ao parâmetro µ estudado, melhor sua eficiência. No entanto,
este parâmetro requer especial atenção porque o aumento do peso do amortecedor pode
levar à flechas excessivas e comprometer a segurança da estrutura, por este motivo
adotar-se-á µ= 0,1 .
Figura 5.4 – AMS posicionado no Nó 946 destacado na laje e carregamento aplicado
69
Tabela 5.3 – Variação de α para 1 AMS Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 2,812 - α = 0,80 0,817 70,9469 α = 0,85 0,740 73,6629 α = 0,90 0,726 74,1821 α = 0,94 0,720 74,3634 α = 0,95 0,720 74,3883 αααα = 0,96 0,719 74,4061 α = 0,97 0,722 74,3243 α = 0,99 0,727 74,1323 α = 1,00 0,730 74,0398 α = 1,10 0,770 72,6174
Valores obtidos para: µ = 0,1 e ξ = 1 %
Tabela 5.4 – Variação de ξ para 1 AMS Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 2,812 - ξξξξ = 0,4 % 0,7148 74,5804 ξ = 0,5 % 0,7157 74,5484 ξ = 0,6 % 0,7165 74,5199 ξ = 0,8 % 0,7181 74,4630 ξ = 0,9 % 0,7189 74,4346 ξ = 1,0 % 0,7197 74,4061 ξ = 2,0 % 0,7273 74,1358 ξ = 3,0 % 0,7386 73,7340
Valores obtidos para: µ = 0,1 e α = 0.96 %
Tabela 5.5 – Variação de µ para 1 AMS Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 2,812 - µ = 0,05 0,9481 66,2838 µ = 0,75 0,8225 70,7504 µµµµ = 0,10 0,7148 74,5804 µ = 0,15 0,5652 79,9004 µ = 0,20 0,5235 81,3834
Valores obtidos para: ξ = 0,4 % e α = 0,96 %
A partir da análise deste primeiro estudo realizado, os parâmetros mais indicados
para o caso de 1 AMS no nó central da laje e com o carregamento considerado estão
apresentados na Tabela 5.6. A evolução dos deslocamentos neste caso, e sem controle, é
apresentada na Figura 5.5 .
70
Tabela 5.6 – Parâmetros mais indicados no Estudo 01. Umáx (mm) ∆∆∆∆ (%)
Sem controle 2,812 - α α α α = 0,96 µµµµ = 0,10 = 0,10 = 0,10 = 0,10 ξξξξ = 0,4%
0,7148 74,5804
-0,0040000
-0,0030000
-0,0020000
-0,0010000
0,0000000
0,0010000
0,0020000
0,0030000
0,0040000
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00
Tempo(s)
Deslocamentos(m)
Semcontrole
1 AMS
Figura 5.5 - Deslocamentos em função do tempo com 1 AMS instalado no nó central para os parâmetros α= 0,96 , µ = 0,10 e ξ= 0,4%.
A influência dos parâmetros α, ξ e µ na porcentagem de redução dos
deslocamentos (∆ %) é indicada, respectivamente, nas Figuras 5.6, 5.7 e 5.8.
40,000
45,000
50,000
55,000
60,000
65,000
70,000
75,000
80,000
0,55 0,65 0,75 0,85 0,95 1,05 1,15 1,25
Alfa
Redução (%)
Figura 5.6 – Influência de α na redução dos deslocamentos (para µ = 0,10 e ξ= 0,4%).
71
73.00
73.20
73.40
73.60
73.80
74.00
74.20
74.40
74.60
74.80
0.30 0.80 1.30 1.80 2.30 2.80 3.30
Alfa
Redução (%)
Figura 5.7 – Influência de ξ na redução dos deslocamentos (para µ = 0,10 e α=0,96).
60.0000
65.0000
70.0000
75.0000
80.0000
85.0000
0.04 0.09 0.14 0.19 0.24
Alfa
Redução (%)
Figura 5.8 – Influência de µ na redução dos deslocamentos (para ξ= 0,4%).e α=0,96).
Pelos gráficos apresentados acima, verifica-se o gráfico da razão de freqüência α
que a eficiência é muito parecida para uma faixa de 0,85 a 1,05. O gráfico que
representa a taxa de amortecimento mostra que as reduções aumentam quando se
diminui o valor de ξ. Para a razão de massa verifica-se a melhora da eficiência com o
aumento da massa.
5.1.2.2 Estudo 02
Neste estudo, analisou-se o desempenho de dois AMS instalados ao invés de um
único amortecedor. Estes foram posicionados próximos ao nó central da laje, cerca de
80 cm deste ponto, conforme mostra a Figura 5.9 e a massa foi dividida igualmente
72
entre os dois AMS. Foi aplicado novamente no nó central o carregamento senoidal
considerado anteriormente. As tabelas 5.7, 5.8 e 5.9 apresentam os resultados de um
novo estudo paramétrico para o caso de 2 AMS na forma dos deslocamentos máximos
do nó central (Nó 946) juntamente com a redução da resposta alcançada.
Figura 5.9 – AMS nos nós 942 e 950 destacados na laje e carregamento aplicado no
centro.
Tabela 5.7 – Variação de α para 2 AMS Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 2,812 - α1 = 0,90 0,7567 73,0903 α2 = 0,90 α1 = 0,90 0,7497 73,3393 α2 = 1,00 α1 = 0,96 0,7499 73,3321 α2 = 0,96 α1 = 1,05 0,7500 73,3286 α2 = 1,05 α1 = 0,96
0,7437 73,5526 α2 = 1,00 αααα1 = 1,00 0,7424 73,5989 αααα2 = 1,00 α1 = 1,00
0,7530 73,2219 α2 = 1,10 α1 = 1,10
0,7683 72,6778 α2 = 1,10 α1 = 1,20
0,8487 69,8186 α2 = 1,20
Valores obtidos para: µ = 0,1 e ξ = 1 %
AMS 1 AMS 2
73
Tabela 5.8 – Variação de ξ para 2 AMS Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 2,812 - ξ1 = 4,0 % 0,764 72,830 ξ2 = 4,0 % ξ1 = 3,0 % 0,757 73,079 ξ2 = 3,0 % ξ1 = 2,0 % 0,749 73,335 ξ2 = 2,0 % ξ1 = 1,0 % 0,742 73,598 ξ2 = 1,0 % ξ1 = 0,6 % 0,739 73,709 ξ2 = 0,6 % ξξξξ1 = 0,4 %
0,737 73,766 ξξξξ2 = 0,4 % Valores obtidos para: µ = 0,1 ; αAMS1 = 1,00 e αAMS 2 = 1,00
Tabela 5.9 – Variação de µ para 2 AMS
Umáx (mm) ∆ (%) Sem controle 2,812 -
µ1 = 0,06 0,9119 67,571
µ2 = 0,06 µ1 = 0,08
0,8196 70,853 µ2 = 0,08 µµµµ1 = 0,10 0,7377 73,766 µµµµ2 = 0,10 µ1 = 0,20 0,5341 81,006 µ2 = 0,20
Valores obtidos para: ξ = 0,4 % ; αAMS1 = 1,00 % e α AMS2 = 1,00 %
A partir dos resultados das tabelas anteriores, chegou-se aos valores mais
indicados de parâmetros neste caso, conforme Tabela 5.10. O gráfico que mostra a
evolução dos deslocamentos está indicado na Figura 11 a seguir.
Tabela 5.10 – Parâmetros mais indicados do Estudo 02. Umáx (mm) ∆∆∆∆ (%)
Sem controle 2,812 - αααα1e2= 1,00
0,7377 73,766 µµµµ1e2= 0,10 ξξξξ1e2 = 0,4%
74
-0,0040000
-0,0030000
-0,0020000
-0,0010000
0,0000000
0,0010000
0,0020000
0,0030000
0,0040000
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00
Tempo(s)
Deslocamentos(m)
Semcontrole
2 AMS
Figura 5.10 - Deslocamentos em função do tempo com 2 AMS instalados nos nós 942 e
950 para os parâmetros α1e2= 1,00, µ1e2= 0,10 e ξ1e2 = 0,4%. .
Comparando os resultados deste estudo e o anterior, verifica-se que com
somente um único amortecedor a redução de 74,58 % foi obtida com α = 0,96. Para dois
amortecedores instalados, a redução de 73,66% foi obtida com α = 1,00 nos dois
amortecedores.
5.1.2.3 Estudo 03
No Estudo 03 foram posicionados 3 AMS nos pontos de maior amplitude modal
do terceiro modo, conforme indica a Figura 5.11. Os AMS 1 e 2 foram posicionados a
2m da extremidade (com 25% da massa total dos amortecedores) e AMS 3 (com 50%
da massa total dos amortecedores) foi posicionado no centro. A Tabela 5.11 apresenta
os valores dos deslocamentos máximos e as respectivas reduções na resposta variando-
se as relações de freqüência α dos três amortecedores.
A partir deste estudo e nos estudos paramétricos seguintes para o carregamento
harmônico na Laje 01 se adotará a razão entre massa µ = 0,1, pois como observado nos
dois estudos anteriores, o aumento da razão entre massas melhora o desempenho do
amortecedor, todavia, o aumento do peso do amortecedor pode levar à flechas
excessivas.
75
Figura 5.11 – AMS nos nós 946, 926 e 966 destacados na laje
Tabela 5.11 – Variação de α para 3 AMS
Umáx (mm) ∆ (%) Sem controle 2,812 -
α1 = 0,80 0,922 67,230 α2 = 0,80
α3 = 1,00 α1 = 0,90
0,912 67,564 α2 = 0,90 α3 = 1,00 αααα1 = 1,10
0,895 68,190 αααα2 = 1,10 αααα3 = 1,00 α1 = 1,00
0,903 67,895 α2 = 1,00 α3 = 1,00 α1 = 1,00
0,902 67,923 α2 = 1,00 α3 = 0,96
Valores obtidos para: µ = 0,1 e ξ = 1 %
Logo em seguida são apresentadas as taxas de amortecimento ξ para os três
amortecedores. O valor mais indicado na Tabela 5.12 é 0,4% o mesmo do estudo
anterior.
Tabela 5.12 – Variação de ξ para 2 AMS Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 2,812 - ξξξξ1 = 0,4%
0,8909 68,3179 ξξξξ2 = 0,4% ξξξξ3 = 0,4% ξ1 = 0,8%
0,8933 68,2326 ξ2 = 0,8% ξ3 = 0,8% ξ1 = 1,0 %
0,8945 68,1899 ξ2 = 1,0 % ξ3 = 1,0 %
Valores obtidos para: µ = 0,1 ; αAMS1 = 1,10 e αAMS 2 = 1,10 e αAMS 3 = 1,00
AMS 1 AMS 3 AMS 2
76
A partir dos resultados das tabelas anteriores, chegou-se a valores mais
indicados de parâmetros para o caso de 3 AMS com carga senoidal, conforme Tabela
5.13. O gráfico com os deslocamentos para este caso está indicado na Figura 5.12.
Tabela 5.13 – Parâmetros mais indicados do Estudo 03
Umáx (mm) ∆∆∆∆ (%) Sem controle 2,812 - αααα1111ε2ε2ε2ε2 = 1,10 e αααα3333 = 1,00
0,890 68,3179 µµµµ = 0,10 ξξξξ = 0,4%
-0,0040000
-0,0030000
-0,0020000
-0,0010000
0,0000000
0,0010000
0,0020000
0,0030000
0,0040000
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00
Tempo(s)
Deslocamentos(m)
semcontrole
3 AMS
Figura 5.12 - Deslocamentos em função do tempo com 3 AMS instalados nos nós 946,
926 e 966 para os parâmetros αe2 = 1,10, α3 = 1,00, µ = 0,10 e ξ = 0,4%
Os três estudos iniciais permitem verificar a princípio, que a razão entre
freqüências α é o parâmetro com maior sensibilidade à mudança de posição dos AMS
na laje. Para 1 AMS instalado , a razão entre freqüências mais indicada foi α=0,96, para
2 AMS, α1=1,00 e α2 =1,00 e para 3 AMS, teve-se α1=1,10 e α2=1,10 e α3=1,00. A
taxa de amortecimento nos três casos se comportou de forma semelhante e entende-se
que a diminuição da taxa de amortecimento melhora o desempenho do amortecedor.
Pelo princípio de funcionamento do AMS, entende-se que uma menor taxa de
amortecimento implica que o amortecedor recebe maior energia de vibração transferida
da laje e, portanto vibra mais.
77
Dessa forma, nos estudos seguintes com carregamento harmônico será explorada
a variação da razão entre freqüência dos amortecedores devido à posição destes na laje e
a influência dos pontos de aplicação da carga no desempenho dos AMS. Para isso,
fixou-se a taxa de amortecimento em ξ=1%, apenas como padrão, uma vez que a
diferença dos resultados em relação a ξ=0,4% não é tão expressiva e uma razão entre
massas µ=0,1.
5.1.2.4 Estudo 04
Dando prosseguimento ao estudo modificou-se o carregamento senoidal
aplicado no centro da laje :
f(t) = 1000sen(3,93t) + 1000sen(10,23t)
(5.1)
Para o carregamento em questão, utilizou-se a freqüência do primeiro modo
(3,93Hz) e a freqüência do terceiro modo (10,23 Hz). Esta proposta foi pensada uma
vez que os modos mais representativos nos deslocamentos desta laje são o primeiro e
terceiro modo.
A resposta dinâmica da estrutura para esse novo carregamento está indicada na
Tabela 5.14. Foi mantida a mesma posição dos 3 AMS da ultima análise. A redução nos
deslocamentos para este caso está destacada na Tabela 5.15 obtida variando o parâmetro
α.
Tabela 5.14 – Resposta máxima sem controle Uz(mm) Vz(m/s) az(m/s²)
3,004 0,0802 2,371
78
Tabela 5.15 – Variação de α para 3 AMS Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 3,004 - α1 = 2,34
0,9345 68,8915 α2 = 2,60 α3 = 0,9
α1 = 2,34 0,9351 68,8715 α2 = 2,60
α3 = 1,1 α1 = 2,60
0,8620 71,3049 α2 = 2,08 α3 = 1,0 α1 = 1,0
0,8356 72,1838 α2 = 1,0 α3 = 1,0 αααα1 = 1,00
0,8098 73,0426 αααα2 = 1,00 αααα3 = 0,96 αααα1 = 0,96
0,8104 73,0226 αααα2 = 0,96 αααα3 = 0,96 α1 = 0,80
0,8510 71,6711 α2 = 0,80 α3 = 0,96
Valores obtidos para: µ = 0,1 e ξ = 1 %
Verificou-se neste estudo que para o AMS posicionado no meio do vão, o valor
da razão de freqüência α3 mais indicado é 0,96, e para os outros dois amortecedores,
tanto 0,96 quanto 1,00 levaram a bons resultados. Considerando o aspecto construtivo,
sintonizar os três amortecedores com α=0,96 é mais vantajoso.
Comparando-se ao Estudo 03, nota-se que os amortecedores das extremidades
tiveram valor diferenciado, com α1 = 1,10 e α2 = 1,10, e o amortecedor posicionado no
centro (mesmo ponto de aplicação do carregamento) α3 = 1,00. Tal diferença nos
parâmetros pode ter ocorrido devido à mudança no carregamento embora o ponto de
aplicação e a posição dos amortecedores sejam os mesmos para os dois estudos.
5.1.2.5 Estudo 05
Foram aplicadas neste estudo duas cargas senoidais no mesmo instante de
tempo, na freqüência do primeiro modo natural (f = 3,93 Hz) aplicadas a dois metros
dos bordos. Os valores máximos do deslocamento Uz, velocidade Vz e aceleração az no
nó central da laje neste caso estão apresentados na Tabela 5.16. Inicialmente foi
79
posicionado 1 AMS no nó central, conforme a Figura 5.13. Os resultados da redução
dos deslocamentos variando-se α estão destacados na Tabela 5.17.
Tabela 5.16 – Resposta máxima sem controle Uz(mm) Vz(m/s) az(m/s²)
2,762 0,0674 1,649
Figura 5.13 – AMS no nó 942 e carregamento aplicado nos nós 926 e 966.
Tabela 5.17 – Variação de α para 1 AMS Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 2,762 - α = 0,80 0,787 71,506 α = 0,90 0,695 74,837 α = 0,95 0,678 75,453 αααα = 1,00 0,668 75,815 α = 1,10 0,673 75,648 α = 1,20 0,748 72,925 α = 1,40 0,972 64,819
Valores obtidos para: µ = 0,1 e ξ = 1 %
Diferentemente do modelo de laje com somente um carregamento senoidal
(Estudo 01) aplicado e um amortecedor, onde α foi 0,96 e a redução dos deslocamentos
de 74,402%, o valor de α para duas cargas aplicadas e somente um único amortecedor
posicionado no centro do vão foi de 1,00, com redução de 75,815% nos deslocamentos.
5.1.2.6 Estudo 06
Para o mesmo carregamento considerado anteriormente no Estudo 05,
foram sintonizados 3 AMS, posicionados nos pontos de maior amplitude modal do
terceiro modo e no centro, conforme mostra a Figura 5.14 (AMS do centro, com 50%
80
da massa total dos amortecedores e 25% da massa para os AMS das extremidades). O
melhor desempenho do sistema de controle variando-se a relação entre os α de cada
AMS está destacado na Tabela 5.18.
Figura 5.14 – AMS nos nós 942, 926 e 966 e carregamento aplicado nos nós 926 e 966.
Tabela 5.18 – Variação de α para 3 AMS
Umáx (mm) ∆ (%) Sem controle 2,762
α1 = 0,80 0,819 70,362 α2 = 0,80
α3 = 1,00 αααα1 = 0,90
0,812 70,590 αααα2 = 0,90 αααα3 = 1,00 α1 = 1,10
0,819 70,358 α2 = 1,10 α3 = 1,00 αααα1 = 1,00
0,812 70,590 αααα2 = 1,00 αααα3 = 1,00 α1 = 1,20
0,913 66,959 α2 = 1,20 α3 = 1,10 α1 = 0,96
0,817 70,4200 α2 = 0,96 α3 = 0,96 α1 = 1,00
0,817 70,3910 α2 = 1,00 α3 = 0,96
Valores obtidos para: µ = 0,1 e ξ = 1 %
No modelo de laje anteriormente estudados com somente uma carga senoidal e
três amortecedores instalados (Estudo 03), os valores mais indicados da razão de
freqüência foram α1 = 1,10, α2 = 1,10 e α3 = 1,00 e redução de 68,190% nos
deslocamentos. Para este Estudo 06, com duas cargas senoidais e também três
AMS 1 AMS 3 AMS 2
81
amortecedores posicionados nos Nós 942, 926 e 966, tais valores de razão de freqüência
foram um pouco diferentes, e o mais indicado para este caso foram α1 = 1,00, α2 = 1,00
e α3 = 1,00 por aspectos construtivos pois ococrreu outra proposta com o mesmo
desempenho.
5.1.2.7 Estudo 07
Foram aplicadas 3 cargas senoidais na freqüência do primeiro modo natural
(f=3,93 Hz) , todos aplicadas no mesmo instante de tempo. Uma das cargas foi aplicada
no centro do vão e as outras duas a 2m dos bordos. Os valores máximos de Uz, Vz e az
no nó central da laje são apresentadas na Tabela 5.19.
Tabela 5.19 – Resposta máxima sem controle
Uz(mm) Vz(m/s) az(m/s²)
5,565 0,136 3,324
Para este novo carregamento, a solução sugerida foi sintonizar 1 AMS no centro
da laje, conforme mostra a Figura 5.15. A Tabela 5.20 apresenta os valores dos
deslocamentos máximos e as respectivas reduções na resposta variando-se α.
Figura 5.15 – AMS no Nó 942 e carregamento aplicado nos nós 942, 926 e 966.
Tabela 5.20 – Variação de α para 1 AMS Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 5,565 - α = 0,80 1,605 71,159 α = 0,90 1,419 74,501 αααα = 0,95 1,396 74,915 αααα = 0,96 1,396 74,915 α = 1,00 1,399 74,861 α = 1,10 1,443 74,070 α = 1,20 1,618 70,925
Valores obtidos para: µ = 0,1 e ξ = 1 %
82
Neste estudo com três cargas senoidais e um amortecedor, os valores da razão de
freqüência mais indicados foram semelhantes dos estudos com somente um
carregamento senoidal, assim como as reduções nos deslocamentos foram quase
semelhantes e na ordem de aproximadamente 75%.
5.1.2.8 Estudo 08
Para o mesmo carregamento do Estudo 07, foram sintonizados três AMS,
posicionados nos dois pontos de maior amplitude modal do terceiro modo e no centro,
conforme Figura 5.16 (AMS do centro, com 50% da massa total dos amortecedores e
25% da massa para os AMS da extremidade). Variando-se a relação entre os α de cada
AMS tem-se os resultados conforme apresenta a Tabela 5.21.
Figura 5.16 – AMS nos nós 942, 926 e 966 e carregamento aplicado nos mesmos nós.
Tabela 5.21 – Variação de α para 3 AMS
Umáx (mm) ∆ (%) Sem controle 5,565 -
α1 = 0,80 1,721 69,024 α2 = 0,80
α3 = 1,00 α1 = 0,90
1,704 69,330 α2 = 0,90 α3 = 1,00 α1 = 1,10
1,695 69,492 α2 = 1,10 α3 = 1,00 α1 = 1,00
1,695 69,492 α2 = 1,00 α3 = 1,00 αααα1 = 1,00
1,693 69,577 αααα2 = 1,00 αααα3 = 0,96 α1 = 1,20
1,808 67,459 α2 = 1,20 α3 = 1,10
Valores obtidos para: µ = 0,1 e ξ = 1 %
AMS 1 AMS 3 AMS 2
83
Para o caso de três AMS instalados na laje, para três carregamentos senoidais ,
os valores da razão de freqüência mais indicados foram α1 = 1.00, α2 = 1.00 e α3 =
0.96, embora fique evidenciado que nas propostas realizadas neste, a diferença entre
cada proposta não foi tão expressiva. Estes valores de razão de freqüência foram
semelhantes aos do Estudo 04, com uma única carga senoidal aplicada (com a soma das
parcelas do primeiro modo e terceiro modo) e os três amortecedores posicionados nos
mesmos pontos. Com relação aos deslocamentos, o comparativo entre os dois estudos
mostra semelhança aproximada nas porcentagens de redução, que foram da ordem de 68
a 69%.
5.1.3 Análise para um carregamento humano
Foi simulado um carregamento dinâmico de pessoas praticando a atividade de
dançar e pular sobre a laje. Neste estudo, considerou-se a atividade de pular com um
valor de freqüência de fs=3,40 Hz e Tp = 0,294 s. Arbitrou-se uma relação tp/Tp = 0,5,
isto é, considerando-se que o tempo de contato é metade do período do carregamento,
chegando-se a kp = 3,0. Pela mesma relação, encontrou-se tp = 0,147s . Com estes
valores de fs, kp, tp obteve-se para cada intervalo de tempo os pares de tempo e suas
respectivas cargas associadas aplicadas em nós específicos.
Considerou-se neste caso a atuação durante oito segundos de doze pessoas
pulando sobre a laje ao mesmo tempo. Esse tempo foi subdividido em intervalos de
tempo de 0,01s. Logo, para cada um desses intervalos foram obtidos 800 pares de tempo
e suas respectivas cargas associadas aplicadas em cada nó específico.
Os nós onde foram aplicados as cargas representando as doze pessoas,
distanciadas dois metros entre si, foram os nós 616, 626, 636, 646, 656, 666, 1226,
1236, 1246, 1256, 1266, 1276, conforme indica a Figura 5.17. Considerou-se um raio de
um metro para o movimento de cada pessoa durante a atividade rítmica. A Tabela 5.22
apresenta os valores máximos da resposta dinâmica da laje no nó central, neste caso.
84
Figura 5.17 – Nós de aplicação das cargas simulando a atividade humana de pular.
Tabela 5.22 – Resposta máxima sem controle Uz(mm) Vz(m/s) az(m/s²)
18,04 0,3743 8,065
5.1.3.1 Estudo 09
Devido a mudança de carregamento, retomou-se o estudo paramétrico de α, ξ e
µ, a primeira proposta de controle utilizando um único AMS, posicionado no centro da
laje está indicado na Figura 5.18. A Tabela 5.23 apresenta as reduções das respostas
obtidas variando-se a razão entre freqüências α. Neste estudo, o melhor parâmetro
obtido para a razão de freqüência foi α=0,98, diferente ao Estudo 01, para o
carregamento harmônico, onde α com melhor desempenho também foi 0,96, o que
demonstra que o melhor valor deste parâmetro é sensível ao tipo de carregamento
aplicado.
Figura 5.18 – AMS no nó central 946
85
Tabela 5.23 – Variação de α para 1 AMS Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 18,04 - α = 0,80 10,010 44,512 α = 0,90 9,871 45,283 α = 0,94 9,835 45,482 α = 0,95 9,827 45,527 α = 0,96 9,820 45,565 α = 0,97 9,814 45,599 αααα = 0,98 9,808 45,632 α = 0,99 10,03 44,401 α = 1,00 10,26 43,126 α = 1,10 12,16 32,594
Valores obtidos para: µ = 0,1 e ξ = 1 %
Em seguida apresenta-se a variação dos parâmetros ξ e µ dos amortecedores em
função dos deslocamentos indicados nas tabelas 5.24 e 5.25.
Tabela 5.24 – Variação de ξ para 1 AMS Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 18,04 ξξξξ = 0,4 % 9,795 45,704 ξ = 0,7 % 9,802 45,665 ξ = 1,0 % 9,808 45,632 ξ = 2,0 % 9,878 45,244
Valores obtidos para: µ = 0,1 e α = 0,98 %
Tabela 5.25 – Variação de µ para 1 AMS Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 18,04 µ = 0,05 13,130 27,217 µ = 0,07 11,130 38,304 µµµµ = 0,10 9,795 45,704 µ = 0,15 9,025 49,972
Valores obtidos para: ξ = 0,4 % e α = 0,98 %
No Estudo 01, para a carga harmônica, a redução nos deslocamentos obtida com
α=0,96 foi de 74,5804%, já neste estudo para carga humana a redução foi de 45,704%
para α=0,98. Com relação aos valores de ξ e µ, os valores mais indicados foram
semelhantes ao do Estudo 01, onde ξ = 0,4% e µ = 0,1. Verifica-se então que o
parâmetro α é mais sensível que ξ e µ quando ocorre variação de carregamento.
Os valores mais indicados de parâmetros para o caso de um único AMS neste
estudo foram α=0,98, ξ = 0,4% e µ = 0,1. O gráfico com a evolução dos deslocamentos
para a eficiência no controle está indicado na Figura 5.19.
86
-0,0200000
-0,0150000
-0,0100000
-0,0050000
0,0000000
0,0050000
0,0100000
0,0150000
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00
Tempo(s)
Deslocamentos(m)
Semcontrole
1 AMS
Figura 5.19 - Deslocamentos em função do tempo com 1 AMS instalado no Nó 946.
5.1.3.2 Estudo 10
Neste estudo, a proposta foi a utilização de 3 AMS posicionados nos pontos de
maior amplitude modal do terceiro modo, conforme indica a Figura 5.20. Os AMS 1 e 2
posicionados 2m das extremidadess (com 25% da massa total dos amortecedores) e o
AMS 3 (com 50% da massa total dos amortecedores) posicionado no centro. A Tabela
5.26 apresenta os valores dos deslocamentos máximos e as reduções correspondentes.
Considerou-se para este estudo µ = 0,1, assim como nos estudos seguintes, que tal
parâmetro será fixado neste valor, pois depende da flecha permitida na laje. Já a taxa de
amortecimento será fixada em ξ=0,4% pois como foi dito anteriormente, valores mais
baixos de ξ melhoram o desempenho do amortecedor.
Figura 5.20 – AMS nos Nós 946, 926 e 966.
AMS 1 AMS 3 AMS 2
87
Tabela 5.26 – Variação de α para 3 AMS Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 18,04 - α1 = 0,80
11,400 36,807 α2 = 0,80 α3 = 0,98 αααα1 = 0,80
10,620 41,130 αααα2 = 0,80 αααα3 = 0,95 α1 = 0,95
11,250 37,639 α2 = 0,95 α3 = 0,95 α1 = 0,90
10,880 39,690 α2 = 0,90 α3 = 0,95 α1 = 0,80
12,00 33,481 α2 = 0,80 α3 = 1,00
Valores obtidos para: µ = 0,1 e ξ = 1 %
A partir do resultado da tabela anterior, apresenta-se o gráfico na Figura 5.21
com os deslocamentos para os valores de razão de freqüência α1 = 0,80, α2 = 0,80 e α3
= 0.95.
-0,0200000
-0,0150000
-0,0100000
-0,0050000
0,0000000
0,0050000
0,0100000
0,0150000
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00
Tempo(s)
Deslocamentos(m)
Semcontrole
3 AMS
Figura 5.21 - Deslocamentos em função do tempo com 3 AMS instalados nos Nó
946,926 e 966.
88
Neste estudo para o carregamento humano, o uso de três amortecedores reduziu
em 41,130% os deslocamentos para os valores de razão de freqüência α1 = 0,80, α2 =
0,80 e α3 = 0,95. Se comparado ao Estudo 03, para uma única carga harmônica e três
amortecedores, têm-se valores diferenciados para os amortecedores, com α1 = 1,10 e α2
= 1,10, e α3 = 1,00 e uma redução de 68,190%.
5.1.3.3 Estudo 11
Em seguida, analisou-se o desempenho de 2 AMS que foram posicionados
próximos ao nó central da laje (a 80 cm do nó central) conforme mostra a Figura 5.22 , a
massa foi dividida igualmente entre os dois AMS. A Tabela 5.27 apresenta os resultados
deste estudo paramétrico com as reduções obtidas.
Figura 5.22 – AMS nos Nós 942, 950
Tabela 5.27 – Variação de α para 2 AMS Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 18,04 α1 = 0,80
10,120 43,902 α2 = 0,80 α1 = 0,90
9,972 44,723 α2 = 0,90 α1 = 0,95
9,922 45,000 α2 = 0,95 αααα1 = 0,96 9,914 45,044 αααα2 = 0,96 α1 = 0,98
10,200 43,459 α2 = 0,98 α1 = 1,00
10,640 41,020 α2 = 1,00 α1 = 1,10
12,510 30,654 α2 = 1,10
Valores obtidos para: µ = 0,1 e ξ = 1 %
AMS 1 AMS 2
89
Comparando o desempenho de dois amortecedores para o carregamento
humano, com o desempenho de dois amortecedores para uma única carga harmônica
(em ambos amortecedores posicionados a 80 cm do centro do vão) tem-se que a razão
de freqüência variou. Para uma única carga harmônica, os amortecedores com α1 = 1,00
e α2 = 1,00 tiveram melhor desempenho, com uma redução dos deslocamentos de
73,57%. Já neste caso para o carregamento harmônico, α1 = 0,96 e α2 = 0,96, reduziram
em 45,044%, o que comprova novamente a sensibilidade deste parâmetro à mudança de
carregamento. O gráfico com as reduções nos deslocamentos deste estudo está indicado
na Figura 5.23 a seguir.
-0,0200000
-0,0150000
-0,0100000
-0,0050000
0,0000000
0,0050000
0,0100000
0,0150000
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00
Tempo(s)
Deslocamentos(m)
Semcontrole
2 AMS
Figura 5.23 - Deslocamentos em função do tempo com 3 AMS instalados nos Nó 942 e
950.
5.1.3.4 Estudo 12
Três AMS foram posicionados na laje, dois deles a 1,20m do centro (com 25%
da massa total dos amortecedores) e o terceiro AMS no Nó central da laje (com 50% da
massa total dos amortecedores), conforme ilustra Figura 5.24. A Tabela 5.28 apresenta
as respostas dinâmicas com melhor performance em relação aos três amortecedores do
Estudo 10 (dois amortecedores posicionados nas extremidades e o outro posicionado no
centro) para o mesmo carregamento humano.
90
Figura 5.24 – AMS nos nós 940, 951 e 946.
Tabela 5.28 – Variação de α para 3 AMS Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 18,04 - α1 = 0,80
10,020 44,457 α2 = 0,80 α3 = 0,95 α1 = 0,90
9,948 44,856 α2 = 0,90 α3 = 0,95 αααα1 = 0,95
9,922 45,000 αααα2 = 0,95 αααα3 = 0,95 α1 = 0,96
10,620 41,131 α2 = 0,96 α3 = 0,96 α1 = 0,98
10,280 43,015 α2 = 0,98 α3 = 0,98 α1 = 1,00
10,130 43,847 α2 = 1,00 α3 = 0,95 α1 = 1,10
11,07 38,636 α2 = 1,10 α3 = 0,95
Valores obtidos para: µ = 0,1 e ξ = 1 %
A redução obtida no Estudo 10, com dois dos amortecedores nos pontos de
maior amplitude modal do terceiro modo (4m do centro do vão), foi de 41,130%, e
neste estudo, com dois dos amortecedores posicionados a 1,20m do centro do vão foi de
45,044%, provavelmente, por que neste ultimo os três amortecedores estão próximos
entre si e concentrando a massa no centro do vão. Percebe-se que a concentração da
massa no centro da laje melhora a eficiência do AMS, pois no estudo com somente um
AMS 1
AMS 3
AMS 2
91
único amortecedor concentrando toda a massa no centro do vão, a redução nos
deslocamento foi, até o presente momento, o melhor resultado.
5.1.3.5 Estudo 13
Em seguida analisou-se o desempenho de dois AMS, variando-se a posição.
Posicionaram-se distantes 80 cm cada um do nó central, conforme mostra a Figura 5.25.
Os resultados desse estudo paramétrico se encontram na Tabela 5.29, e não mostraram
melhoria na redução dos deslocamentos se comparado com o caso anterior utilizando
dois AMS (Estudo 11) que apresentou melhor redução.
Figura 5.25 – AMS nos Nós 1190 e 702
Tabela 5.29 – Variação de α para 2 AMS Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 18,04 α1 = 0,80 10,300 42,905 α2 = 0,80 α1 = 0,90 10,170 43,625 α2 = 0,90 αααα1 = 0,95 10,120 43,902 αααα2 = 0,95 αααα1 = 0,96 10,120 43,902 αααα2 = 0,96 α1 = 0,98 10,520 41,685 α2 = 0,98 α1 = 1,00
10,960 39,246 α2 = 1,00 α1 = 1,10
13,480 25,277 α2 = 1,10
Valores obtidos para: µ = 0,1 e ξ = 1 %
AMS 1
AMS 2
92
5.1.3.6 Estudo 14
Outra alternativa para buscar um melhor desempenho do controle foi sintonizar
o AMS na freqüência do carregamento humano e não na freqüência do primeiro modo.
Foi posicionado 1 AMS no Nó central da laje, conforme mostra a Figura 5.26.
Verificou-se a partir dos resultados na Tabela 5.30 uma redução dos deslocamentos
semelhante a obtida no Estudo 09, caso semelhante a este e que utilizou-se somente um
único amortecedor.
Figura 5.26 – AMS no Nó central 946
Tabela 5.30 – Variação de α para 1 AMS Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 18,04 α = 0,80 10,240 43,237 α = 0,90 10,040 44,346 α = 0,95 9,971 44,728 α = 1,00 9,911 45,061 αααα = 1,10 9,826 45,532 α = 1,20 10,14 43,792
Valores obtidos para: µ = 0,1 e ξ = 1 %
Para α = 1,10, a redução obtida foi de 45,532%. A tentativa de sintonizar o
amortecedor na freqüência do carregamento e não na freqüência do 1° modo (como no
Estudo 09) resultou em um desempenho semelhante, pois a redução foi de 45,632%, ou
seja, o AMS, nos dois casos, teve o mesmo valor de freqüência.
5.1.4 Discussão dos Resultados
Viu-se que para este modelo de laje, onde os deslocamentos verticais eram
maiores no centro do vão, o melhor valor da razão de freqüência α para um AMS
instalado foi de 0,96, para a carga senoidal, e 0,98, para a carga humana. Para mais de
93
um amortecedor instalado, variando a posição destes, tais valores se diferenciavam,
todavia os valores da razão de freqüência variavam em torno de 0,90 a 1,10, ou seja, a
freqüência do amortecedor mais indicada é de um valor próximo a freqüência natural do
1° modo.
A seguir, na Figura 5.27, temos o gráfico dos deslocamentos em função do
tempo para 01 carga senoidal e as respostas sem controle, com 1 AMS (Estudo 01), 2
AMS (Estudo 02) e 3 AMS (Estudo 03). O gráfico apresenta a comparação entre os três
resultados a partir dos parâmetros mais indicados obtidos em cada estudo.
-0,0040000
-0,0030000
-0,0020000
-0,0010000
0,0000000
0,0010000
0,0020000
0,0030000
0,0040000
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00
Tempo(s)
Deslocamentos(m)
Semcontrole
1 AMS
2 AMS
3 AMS
Figura 5.27 - Deslocamentos em função do tempo para 1 carga senoidal.
Abaixo, na Figura 5.28, temos o gráfico dos deslocamentos em função do tempo
para o carregamento humano e as respostas sem controle, com 1 AMS (Estudo 09), 2
AMS (Estudo 11) e 3 AMS (Estudo 10).
94
-0,0200000
-0,0150000
-0,0100000
-0,0050000
0,0000000
0,0050000
0,0100000
0,0150000
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00
Tempo(s)
Deslocamentos(m)
Semcontrole
1 AMS
2 AMS
3 AMS
Figura 5.28 - Deslocamentos em função do tempo para o carregamento humano
Os dois gráficos anteriores que mostram a redução dos deslocamentos em função
do tempo indicam que para somente um único amortecedor, que concentra a massa no
centro do vão, o sistema de controle apresenta melhor eficiência do que quando usado
mais de um AMS.
Para o estudo com carga harmônica, percebeu-se que a melhor posição para o
AMS é próximo ao ponto de maior deslocamento Uz. Mesmo com mais de um
amortecedor e posicionando-se os AMS nas posições de maior amplitude do segundo e
terceiro modo, o melhor desempenho dos amortecedores ocorre na posição mais
próxima ao centro, seja com o carregamento senoidal ou com a carga humana. A
variação de µ vai depender da análise da flecha máxima permitida devido o acréscimo
da massa do AMS. Já o valor da taxa ξ, percebeu-se que quanto mais baixo, melhor o
desempenho. Nota-se que o melhor desempenho é para um único AMS, e que a melhor
freqüência para os amortecedores varia em valores próximos a freqüência natural do 1°
modo.
É importante destacar nesse primeiro estudo, que as máximas reduções dos
deslocamentos utilizando o AMS para a laje submetida ao carregamento harmônico
(74,915%) foram maiores que as máximas reduções obtidas com o AMS para o
carregamento humano (45,704%), mostrando que o parâmetro α é sensível ao tipo de
carregamento aplicado.
95
Na Tabela 5.31 a seguir, é apresentado um resumo das reduções obtidas com os
parâmetros mais indicados. Percebe-se na tabela a diferença na redução dos
deslocamentos em virtude do tipo de carregamento e do número de amortecedores
instalados. As melhores propostas de controle foram as que usavam somente um único
amortecedor, mesmo quando mais de um carregamento era aplicado.
Tabela 5.31 – Resumo dos estudos realizados na Laje 01 e as melhores reduções obtidas
Laje Carregamento N° de Amortecedores Melhor valor obtido para α
Redução ∆ Uz (%)
Estudo 01 01 carga senoidal 01 (centro) 0,96 74,580
Estudo 02 01 carga senoidal 02 (80 cm do centro) 1,00 e 1,00 73,766
Estudo 03 01 carga senoidal 03 (centro e 2m do bordo) 1,10, 1,10 e 1,00 68,318
Estudo 04 01 carga senoidal 03 (centro e 2m do bordo) 0,96, 0,96 e 0,96 73,043
Estudo 05 02 cargas senoidais 01 (centro) 1,00 75,815
Estudo 06 02 cargas senoidais 03 (centro e 2m do bordo) 1,00, 1,00 e 1,00 70,590
Estudo 07 03 cargas senoidais 01 (centro) 0,96 74,915
Estudo 08 03 cargas senoidais 03 (centro e 2m do bordo) 1,00, 1,00 e 0,96 69,577
Estudo 09 Carga humana (12 pessoas) 01 (centro) 0,98 45,704
Estudo 10 Carga humana (12 pessoas) 03 (centro e 2m do bordo) 0,80, 0,80 e 0,95 41,130
Estudo 11 Carga humana (12 pessoas) 02 (80 cm do centro) 0,96 e 0,96 45,044
Estudo 12 Carga humana (12 pessoas) 03 (centro e 1.20 m) 0,95, 0,95 e 0,95 45,000
Estudo 13 Carga humana (12 pessoas) 02 (80cm do centro) 0,96 e 0,96 43,902
Estudo 14 Carga humana (12 pessoas) 01 (centro) 1,10 45,532
96
5.2 LAJE 02
5.2.1 Análise Modal
O segundo modelo de laje estudado apresenta as dimensões de 8x6m, espessura
de 7 cm, dois bordos livres e dois bordos simplesmente apoiados, conforme indica a
Figura 5.29. Possui malha de elementos finitos com 1271 nós a cada 20 cm no plano
XY. Este modelo foi escolhido por apresentar freqüências naturais iniciais baixas,
conforme indica a Tabela 5.32, e próximas da faixa de freqüência da atividade humana
de caminhar e pular. Nesta laje, os deslocamentos verticais nos primeiros modos são
maiores nos bordos livres e não no centro do vão, conforme pode ser visto na Figura
5.30 que apresenta os modos de vibração desta laje.
Figura 5.29 – Condições de apoio do modelo de Laje 02 .
Tabela 5.32 - Freqüências naturais da Laje 02 FREQUÊNCIA NATURAL
1° MODO 3,008 Hz 2° MODO 4,374 Hz 3° MODO 8,290 Hz 4° MODO 12,463 Hz 5° MODO 13,906 Hz 6° MODO 15,259 Hz 7° MODO 18,471 Hz 8° MODO 25,696 Hz 9° MODO 25,979 Hz 10° MODO 28,134 Hz
97
1° MODO
2° MODO
3° MODO
Figura 5.30 - Primeiros 3 modos de vibração com suas respectivas frequências naturais
de vibração.
5.2.2 Análise para um carregamento harmônico
Uma carga harmônica senoidal foi aplicada no ponto central da laje, para
obtenção da evolução da resposta dinâmica em função da frequência. A Figura 5.31
apresenta a resposta em freqüência do deslocamento vertical do nó central da laje
analisada devido uma carga senoidal aplicada em seu centro. Pode-se verificar que os
modos que mais influenciam na resposta dinâmica neste caso são o primeiro e terceiro
modos, assim como ocorreu no caso da laje anterior.
98
0,0000
0,0500
0,1000
0,1500
0,2000
0,2500
0,3000
0,3500
0,4000
0,4500
0,5000
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00Frequência (Hz)
Deslocamento (m)
Resposta no nócentral da lajesem nenhumdispositivo decontrole
Figura 5.31 – Resposta dinâmica em função da freqüência no nó central da laje
Para a análise das respostas dinâmicas em função do tempo adotou-se a
freqüência do carregamento senoidal igual à freqüência do primeiro modo (f = 3,08 Hz).
A Tabela 5.33 apresenta os valores máximos do deslocamento Uz, velocidade Vz e
aceleração az no nó central da laje (Nó 706).
Tabela 5.33 – Resposta máxima sem controle Uz(mm) Vz(m/s) az(m/s²)
4,623 0,0889 1,709
Objetiva-se da mesma forma obter neste estudo a redução das vibrações devido
ao carregamento aplicado. São analisadas a seguir propostas de controle com o uso de
um ou mais AMS, para uma carga senoidal, variando-se a razão de freqüência α e a
posição dos amortecedores. Conforme o que já foi observado no estudo da laje anterior,
o parâmetro α é o que se comporta de forma mais sensível no estudo paramétrico,
comparando-se com a razão de massa µ e com a taxa de amortecimento ξ , desta forma,
o estudo deste novo modelo de laje irá se concentrar na variação de α e na posição dos
amortecedores.
x10-2
99
5.2.2.1 Estudo 15
Para esta laje, na primeira proposta de controle foi posicionado um único AMS
no nó central, como mostra a Figura 5.32. A Tabela 5.34 apresenta as reduções das
respostas obtidas variando-se a razão de freqüência e fixando-se a razão de massa µ em
0,1 e a taxa de amortecimento ξ em 1 %.
Figura 5.32 – AMS no Nó 706 destacado na laje
Tabela 5.34 – Variação de α para 1 AMS Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 4,623 - α = 0,80 1,933 58,187 α = 0,90 1,335 71,123 αααα = 1,00 1,290 72,096 α = 1,10 1,330 71,231
Valores obtidos para: µ = 0,1 e ξ = 1 %
O melhor desempenho do amortecedor ocorreu quando sintonizado na
freqüência igual a do 1° modo, ou seja, com α = 1,00, a redução nos deslocamentos
obtida com esse parâmetro foi de 72,096%. Embora essa primeira simulação tenha
apresentado um bom desempenho na redução dos deslocamentos, decidiu-se analisar
uma situação mais crítica para este modelo de laje, uma vez que a partir da análise
modal verificou-se que nos bordos livres são onde ocorrem os maiores deslocamentos
modais, portanto decidiu-se modificar o ponto de aplicação do carregamento.
5.2.2.2 Estudo 16
Na busca de uma situação mais desfavorável e de acordo com a forma modal da
laje, optou-se por aplicar duas cargas senoidais na freqüência de 3,08 Hz próximos ao
100
ponto de maior amplitude modal nos bordos livres (1m do bordo) e a partir das
respostas, propor a melhor solução para AMS. A Tabela 5.35 apresenta os valores
máximos de Uz, Vz e az no nó de bordo (Nó 57).
Tabela 5.35 – Resposta máxima sem controle
Uz(mm) Vz(m/s) az(m/s²)
10,18 0,1957 3,764
Foram posicionados dois AMS (com massas iguais) nos nós coincidentes aos de
aplicação da carga senoidal, conforme mostra a Figura 5.33. As respostas com controle
e a redução nos deslocamentos estão apresentados na Tabela 5.36, onde foram fixados a
razão de massa µ = 0,1 e a taxa de amortecimento ξ = 1% .
Figura 5.33 – AMS nos Nós 271 e 1141 e carregamento aplicado nos Nós 271 e 1141.
Tabela 5.36 – Variação de α para 2 AMS Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 10,18 - α1 = 0,90 2,787 72,623 α2 = 0,90
AMS1 AMS2
101
α1 = 0,95 2,755 72,937 α2 = 0,95 α1 = 1,00 2,738 73,104 α2 = 1,00 αααα1 = 1,03 2,735 73,134 αααα2 = 1,03 α1 = 1,05
2,736 73,124 α2 = 1,05 α1 = 1,08
2,798 73,075 α2 = 1,08 α1 = 1,10
2,749 72,996 α2 = 1,10 α1 = 1,20
3,529 65,334 α2 = 1,20
Valores obtidos para: µ = 0,1 e ξ = 1 %
Percebe-se que ambos os amortecedores apresentaram desempenho satisfatório
na redução dos deslocamentos nos bordos livres. O melhor caso ocorreu com os dois
AMS sintonizados em uma freqüência muito próxima a do 1° modo da laje, com α =
1,03, o que reduziu os deslocamentos em 73,134% nos bordos livres. Na Figura 5.34,
apresenta-se o gráfico da evolução dos deslocamentos para o melhor parâmetro α
obtido.
-0,0150000
-0,0100000
-0,0050000
0,0000000
0,0050000
0,0100000
0,0150000
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00
Tempo(s)
Deslocamentos(m)
semcontrole
2 AMS
Figura 5.34 – Deslocamentos para 2 AMS instalados e duas cargas harmônicas.
5.2.3 Análise para um carregamento humano
Simulou-se um carregamento dinâmico, assim como no estudo da laje anterior,
pessoas praticando a atividade de pular e dançar sobre a laje. Para esse estudo,
102
considerou-se a atividade de pular, com um valor de freqüência de fs=3,40 Hz e Tp =
0,294 s. Arbitrou-se uma relação tp/Tp = 0,5, isto é, considerando-se que o tempo de
contato é metade do período do carregamento, chegando-se a kp = 3,0 . e a tp = 0,147s a
partir da equação (3.1) apresentada anteriormente.
Para esta laje, considerou-se que as 8 pessoas atuavam 8 segundos pulando sobre
a laje. Esse tempo, tal como na laje anterior, foi subdividido em intervalos de tempo de
0,01s.
Os nós onde foram aplicados as cargas representando as 8 pessoas , distantes
entre si de 2 m, foram os nós 261, 551, 841, 1131, 281, 571, 861, 1151 ,conforme indica
a Figura 5.35 .O critério de posicionamento das pessoas na laje foi o de ocupar a área
total da laje mantendo um espaço que permitisse a realização da atividade rítmica. A
Tabela 5.37 apresenta os valores máximos da resposta dinâmica da laje.
Figura 5.35 - Nós de aplicação das cargas simulando a atividade humana de pular.
Tabela 5.37 – Resposta máxima sem controle Uz(mm) Vz(m/s) Az(m/s²)
16,790 0,3227 6,629
5.2.3.1 Estudo 17
Para este carregamento humano, a primeira proposta de controle foi posicionar
dois amortecedores levando-se em consideração o resultado obtido no estudo com a
103
carga harmônica. Com massas iguais, os dois amortecedores foram posicionados nos
nós próximos ao bordo livre a 1m do bordo, conforme mostra a Figura 5.36. Na Tabela
5.38 estão as respostas variando o parâmetro α.
Figura 5.36 – AMS nos Nós 271 e 1141
Tabela 5.38 – Variação de α para 2 AMS Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 16,790 - α1 = 0,90 10,780 35,795 α2 = 0,90 α1 = 1,00
8,020 52,233 α2 = 1,00 α1 = 1,10
7,942 52,698 α2 = 1,10 αααα1 = 1,20 7,885 53,038 αααα2 = 1,20 α1 = 1,30
8,312 50,494 α2 = 1,30
Valores obtidos para: µ = 0,1 e ξ = 1 %
Diferente do estudo anterior para duas cargas harmônicas, onde α mais indicado
foi 1,03, este estudo apontou valores maiores para a razão de freqüência. Os dois
amortecedores sintonizados a uma razão de freqüência 1,20 em ambos, permitiram uma
redução de 53,038% nos deslocamentos, redução esta, menor que a obtida para o
carregamento harmônico, que foi da ordem de 73,134%.
Na Figura 5.37, a seguir, é apresentado o gráfico da evolução dos
deslocamentos para o melhor parâmetro α obtido que foi 1,20.
AMS1 AMS2
104
-0,0200
-0,0150
-0,0100
-0,0050
0,0000
0,0050
0,0100
0,0150
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00Tempo(s)
Deslocamentos(m)
semcontrole
2 AMS(100cm)
u
Figura 5.37 – Deslocamentos para 2 AMS instalados e carregamento humano.
5.2.3.2 Estudo 18
Novamente, dois amortecedores, de massas iguais, foram utilizados e desta vez,
posicionados no bordo livre, conforme mostra a Figura 5.38. Foi realizada então a
variação da razão de freqüência α para esta nova posição dos dois amortecedores,
resultando em novos valores de redução de deslocamentos conforme indica a Tabela
5.39.
Figura 5.38 – AMS nos Nós 57 e 126.
AMS1 AMS2
105
Tabela 5.39 – Variação de α para 2 AMS Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 16,790 - α1 = 0,90 10,050 40,143 α2 = 0,90 α1 = 1,00 7,646 54,461 α2 = 1,00 αααα1 = 1,10 7,614 54,652 αααα2 = 1,10 α1 = 1,20 7,617 54,634 α2 = 1,20
Valores obtidos para: µ = 0,1 e ξ = 1 %
No estudo anterior, os dois amortecedores estavam posicionados a 1 m do bordo,
e o valor de α mais indicado para os dois amortecedores foi 1,20, com redução de
53,038%. Já neste caso, com os amortecedores em cima do bordo livre, α mais indicado
para os dois amortecedores foi 1,10, com uma redução um pouco maior, de 54,652%.
Nota-se que a aproximação dos amortecedores do bordo livre melhorou o desempenho
dos amortecedores e que houve pouquíssima diferença no desempenho comparando
com as propostas para α1e2 = 1,00 e α1e2=1,20.
Na Figura 5.39, observa-se o gráfico com a evolução dos deslocamentos para o
melhor parâmetro α obtido que foi 1,10.
-0,02000
-0,01500
-0,01000
-0,00500
0,00000
0,00500
0,01000
0,01500
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00Tempo(s)
Deslocamentos(m) sem
controle
2 AMS(nobordo)
Figura 5.39 – Deslocamentos para 2 AMS instalados e carregamento humano.
106
5.2.3.3 Estudo 19
Verificou-se que ao posicionar os dois AMS em cima do bordo livre, houve o
melhor desempenho e ao mesmo tempo, uma mudança no valor de α em comparação ao
estudo com os amortecedores a 1m do bordo. Por este motivo, decidiu-se variar ainda a
posição dos dois AMS, afastando-os do bordo para verificar como se comportava a
alteração de α devido ao afastamento dos amortecedores do bordo livre e ao mesmo
tempo, verificar se haveria alguma melhora na redução da resposta. Primeiramente, os
dois AMS foram posicionados a 40 cm do bordo livre, conforme indicado na Figura
5.40 em seguida, a 1,40m do bordo, como mostra a Figura 5.41.
Figura 5.40 – AMS nos Nós 184 e 1228 (40 cm do bordo)
Figura 5.41 – AMS nos Nós 1083 e 329 (1,40m do bordo)
Os deslocamentos obtidos para este caso estão indicados nas Tabelas 5.40 e
5.41.
AMS1 AMS2
AMS1 AMS2
107
Tabela 5.40 – Variação de α para 2 AMS (40cm do bordo) Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 16,790 - α1 = 0,90
10,290 38,714 α2 = 0,90 α1 = 1,00 7,804 53,520 α2 = 1,00 α1 = 1,10 7,752 53,830 α2 = 1,10 αααα1 = 1,20 7,746 53,865 αααα2 = 1,20 α1 = 1,30 8,121 51,632 α2 = 1,30
Valores obtidos para: µ = 0,1 e ξ = 1 %
Tabela 5.41 – Variação de α para 2 AMS (1,40m do bordo) Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 16,790 - α1 = 0,90
11,170 33,472 α2 = 0,90 α1 = 1,00 8,140 51,519 α2 = 1,00 α1 = 1,10 8,060 51,995 α2 = 1,10 αααα1 = 1,20 7,996 52,376 αααα2 = 1,20 α1 = 1,30 8,260 50,804 α2 = 1,30
Valores obtidos para: µ = 0,1 e ξ = 1 %
Verificou-se que o valor de α mais indicado para os dois amortecedores se
manteve em 1,2, exceto quando posicionado em cima do bordo livre que diminuiu para
1,1. Teve-se, portanto, para 2 AMS posicionados na laje a 1,40 m, 1,00m, 0,40m e no
bordo, as respectivas reduções nos deslocamentos de 52,376%, 53,038%, 53,865% e
54,652%, ou seja, afastando-se do bordo a redução não variou significativamente.
Ficou evidenciado pelos estudos, que as reduções nos deslocamentos devido aos
amortecedores melhorava quando estes foram posicionados nos bordos livres, ou seja,
do ponto onde ocorre maior deslocamento. Os gráficos referentes à evolução dos
deslocamentos em função do tempo para estes dois últimos casos estudados estão na
Figura 5.42 e 5.43.
108
-0,02000
-0,01500
-0,01000
-0,00500
0,00000
0,00500
0,01000
0,01500
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00Tempo(s)
Deslocamentos(m) sem
controle
2 AMS(40cm)
Figura 5.42 – Deslocamentos para 2 AMS (40cm do bordo) instalados e carregamento
humano.
-0,02000
-0,01500
-0,01000
-0,00500
0,00000
0,00500
0,01000
0,01500
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00Tempo(s)
Deslocamentos(m) sem
controle
2 AMS(140cm)
Figura 5.43 – Deslocamentos para 2 AMS (1,40m do bordo) instalados e carregamento
humano.
109
5.2.3.4 Estudo 20
Dando continuidade ao estudo anterior, foi simulado o posicionamento de 4
AMS na laje, dois posicionados em cima do bordo e os outros dois distando do bordo
livre em 40cm inicialmente, e depois em 1m e 1,40m. A Figura 5.44 mostra a
disposição dos quatro amortecedores. Na Tabela 5.42 estão os valores dos
deslocamentos calculados no Nó 57 e 126 para três propostas de posicionamento dos
quatro amortecedores, tais resultados levaram em consideração que a massa foi
distribuída igualmente nos quatro AMS.
Figura 5.44 – AMS nos Nós 57, 126 (bordo) e 271,1141 (1m do bordo)
Tabela 5.42 – Variação da posição de 4 AMS (Nó 57 e 126) Distância do AMS
ao bordo (m) Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 16,790 - Ams1 (0,00)
7,678 54,270 Ams2 (0,00) Ams3 (0,40) Ams4 (0,40) Ams1 (0,00)
7,738 53,913 Ams2 (0,00) Ams3 (1,00) Ams4 (1,00) Ams1 (0,00)
7,766 53,746 Ams2 (0,00) Ams3 (1,40) Ams4 (1,40)
Valores obtidos para: ξ = 1 %; α1 e α2 = 1,10, α3 e α4 = 1,20 ; m1 , m2 ,m3 , m4 =210kg
Nota: A massa dos 4 amortecedores é igual e cada uma
representa 1/4 da massa total.
110
Pela tabela anterior, nota-se que quanto maior a distância do bordo, menor a
eficiência dos amortecedores. A melhor proposta de posicionamento dos amortecedores
foi com dois amortecedores no bordo e os outros dois a 40 cm do bordo, ou seja,
concentrando os AMS na região que sofre maior deslocamento e fica situada na
proximidade do bordo livre. A redução nos deslocamentos obtida para esta proposta foi
de 54,270%, um percentual pouquíssimo inferior ao obtido com somente dois
amortecedores no bordo livre, que foi de 54,652%.
Visando ainda melhorar o desempenho dos 4 AMS, modificou-se a distribuição
das massas nos quatro amortecedores. Na Tabela 5.43 apresentam-se os valores dos
deslocamentos calculados no Nó 57 e 126 para as três propostas de posicionamento dos
4 AMS, modificando-se os valores das massas dos mesmos, que desta vez foram
distribuídas de tal forma que os amortecedores sobre os bordos tivessem uma massa
maior que os amortecedores afastados dos bordos, já que é no ponto sobre o bordo que
os amortecedores atuaram com melhor eficiência.
Tabela 5.43 – Variação da posição de 4 AMS (Nó 271 e 1141).
Distância do AMS ao bordo (m) Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 16,790 - Ams1 (0,00)
7,656 54,401 Ams2 (0,00) Ams3 (0,40) Ams4 (0,40) Ams1 (0,00)
7,695 54,169 Ams2 (0,00) Ams3 (1,00) Ams4 (1,00) Ams1 (0,00)
7,713 54,062 Ams2 (0,00) Ams3 (1,40) Ams4 (1,40)
Valores obtidos para:ξ = 1 %; α1 e α2 = 1,10, α3 e α4 = 1,20 ; m1 e m2 = 280kg m3 e m4 = 140kg
Nota: As massas para o AMS3 e AMS4 representam em conjunto 1/3 da massa de todos os amortecedores
Houve pouca melhora na redução dos deslocamentos com essa intervenção nas
massas dos 4 AMS. A redução anterior obtida foi de 54,270% e nesta foi de 54,401%,
porém a redução obtida com dois AMS no bordo foi um pouco melhor, com 54,652% de
redução, sendo mais indicada portanto essa última opção com 2 AMS.
111
5.2.4 Discussão dos Resultados
Na Figura 5.45, observa-se o gráfico da evolução dos deslocamentos em função
do tempo para o carregamento humano e as respostas dinâmicas variando-se a posição
em relação aos bordos livres. O gráfico mostra o melhor desempenho em cada estudo.
-0,02000
-0,01500
-0,01000
-0,00500
0,00000
0,00500
0,01000
0,01500
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00
Tempo(s)
Deslocamentos(m)
semcontrole
2 AMS(nobordo)
2 AMS(40cm)
2 AMS(100cm)
2 AMS(140cm)
Figura 5.45 - Deslocamentos em função do tempo para o carregamento humano
Para este segundo modelo de laje, os nós de maior deslocamento são os
localizados nos bordos livres, e foram nestes pontos que os amortecedores tiveram
melhor desempenho tanto para a carga harmônica como para o carregamento humano.
Variou-se a posição dos amortecedores afastando-os dos bordos livres e notou-se a
redução do desempenho destes, mesmo mantendo-se a razão de freqüência α.
Em relação à razão de freqüência, os valores ótimos do α ficam entre 1,00 e
1,20, diferente do que ocorreu na laje anterior, em que os valores mais indicados de α
ficaram na faixa de 0,90 a 1,10. Com a laje submetida a carga senoidal, as melhores
resultados para a redução dos deslocamentos foram para razões de freqüência α
próximos a 1,00, já no carregamento humano os melhores desempenhos foram para α
próximos de 1,20.
Na Tabela 5.44 é apresentada as melhores reduções obtidas nos estudos
realizados para esse segundo modelo de laje.
112
Tabela 5.44 - Resumo dos estudos realizados na Laje 02 e as melhores reduções obtidas.
Laje Carregamento N° de Amortecedores
Melhor valor obtido para α
Redução ∆ Uz (%)
Estudo 15 01 carga senoidal 01 (centro) 1,00 72,096
Estudo 16 02 carga senoidal 02 (1m do bordo) 1,03 e 1,03 73,124
Estudo 17 Carga humana (08 pessoas) 02 (1m do bordo) 1,20 e 1,20 53,038
Estudo 18 Carga humana (08 pessoas) 02 (no bordo) 1,10 e 1,10 54,652
Estudo 19 Carga humana (08 pessoas) 02 (1,4m do bordo) 1,20 e 1,20 53,865
Estudo 20 Carga humana (08 pessoas) 04 (no bordo e 1m
do bordo) 1,10 ,1,10 e 1,20,1,20 54,401
113
5.3 LAJE 03
5.3.1 Análise Modal
O terceiro modelo de laje estudado apresenta as dimensões de 8x5m, espessura
de 7cm , um bordo livre, um bordo engastado e dois bordos apoiados, conforme indica
Figura 5.46. O modelo numérico tem malha de elementos finitos com 1066 nós a cada
20 cm no plano XY. A laje em estudo com esta geometria, dimensões e condições de
apoio possui freqüências naturais com valores próximos aos das freqüências da
atividade humana de pular e dançar. As 10 primeiras freqüências naturais desta laje são
apresentadas na Tabela 5.45.
Figura 5.46 – Condições de apoio do modelo de Laje 03.
Tabela 5.45 – Freqüências naturais da Laje 03 FREQUÊNCIA NATURAL
1° MODO 3,207 Hz 2° MODO 8,299 Hz 3° MODO 12,178 Hz 4° MODO 16,996 Hz 5° MODO 17,835 Hz 6° MODO 26,747 Hz 7° MODO 29,268 Hz 8° MODO 30,253 Hz 9° MODO 35,916 Hz 10° MODO 39,032 Hz
Os três primeiros modos de vibração da Laje 03 estão representados na Figura
5.47.
114
1° MODO
2° MODO
3° MODO
Figura 5.47 - Primeiros 3 modos de vibração com suas respectivas frequências naturais de vibração.
A partir da análise dos primeiros modos verifica-se que trata-se de modos
verticais. No primeiro modo, as maiores amplitudes ocorrem nos nós do bordo livre da
laje, especificamente no centro deste bordo. No segundo modo de vibração as maiores
amplitudes concentram-se em duas regiões da laje que estão localizadas também no
bordo livre. Já no terceiro modo de vibração estas amplitudes deixam de se concentrar
somente no bordo e ocorrem também no vão central da laje.
5.3.2 Análise para um carregamento harmônico
Assim como foi realizado nos dois modelos analisados anteriormente, o estudo
deste terceiro modelo inicia-se com a análise da aplicação de uma carga harmônica
senoidal, aplicada no ponto central da laje para obtenção da evolução da resposta
dinâmica em função da freqüência. A Figura 5.48 destaca estes deslocamentos medidos
no bordo livre da laje (Nó 22).
115
0,0000
0,1000
0,2000
0,3000
0,4000
0,5000
0,6000
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00
Frequência (Hz)
Deslocamento (m)
Resposta no nócentral do bordolivre sem nenhumdispositivo decontrole
Figura 5.48 – Resposta dinâmica em função da freqüência no nó do bordo livre da laje
Verifica-se nesta figura, que os picos de deslocamentos ocorrem na faixa de
freqüência do primeiro modo de vibração e do terceiro modo de vibração da laje, assim
como ocorreu nos dois modelos anteriores de laje estudados, porém os maiores
deslocamentos ocorrem na freqüência do terceiro modo.
A freqüência do carregamento adotada para analisar a situação foi igual à
primeira freqüência natural da laje (f = 3,20 Hz). A Tabela 5.46 apresenta os valores
máximos do deslocamento Uz, velocidade Vz e aceleração az no nó central do bordo
livre da laje (Nó 22).
Tabela 5.46 – Resposta máxima sem controle
Uz(mm) Vz(m/s) az(m/s²)
5,423 0,1083 2,162
Em seguida, realiza-se o estudo dos parâmetros dos AMS para o carregamento
harmônico aplicado e obtem-se os valores mais indicados para este caso, em especial,
analisando a variação da razão de freqüência α e a melhor posição dos amortecedores
de forma a reduzir ao máximo a resposta dinâmica.
x10-2
116
5.3.2.1 Estudo 21
Para o presente caso, a proposta inicial de controle foi utilizar um único AMS
posicionado no nó central, como indica a Figura 5.49. A análise consistiu em avaliar a
melhor razão de freqüência α para tanto foram fixados novamente os valores da taxa de
amortecimento em ξ = 1,0% e da razão de massa em µ = 0,1. A Tabela 5.47 apresenta
as reduções das respostas obtidas para este caso.
Figura 5.49 – AMS no Nó 600 destacado na laje
Tabela 5.47 – Variação de α para 1 AMS Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 5,423 - α = 0,80 3,400 37,304 α = 0,90 2,283 57,902 αααα = 1,00 2,265 58,233 α = 1,10 2,494 54,011 α = 1,20 3,192 41,140
Valores obtidos para: µ = 0,1 e ξ = 1 %
Verifica-se que sintonizando o AMS na primeira freqüência natural da laje
obteve-se a melhor performance para a proposta de controle em questão. A Figura 5.50
apresenta a evolução do deslocamento do nó central neste caso, comparando-se com a
resposta sem controle.
117
-0,00600
-0,00400
-0,00200
0,00000
0,00200
0,00400
0,00600
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00
Tempo(s)
Deslocamentos(m)
Semcontrole
No centro
Figura 5.50 - Deslocamentos em função do tempo para o carregamento harmônico no
nó central.
5.3.2.2 Estudo 22
Para o mesmo carregamento do estudo anterior e mantendo-se os mesmos
parâmetros ξ e µ, variou-se a posição do AMS, como pode ser visto na Figura 5.51. A
proposta foi aproximar o amortecedor do bordo livre (80 cm do bordo) que é a região de
maior amplitude modal. A Tabela 5.48 apresenta as reduções das respostas obtidas
variando-se a razão de massa α, verifica-se que o desempenho do AMS foi superior ao
do estudo anterior, uma vez que o amortecedor esta mais próximo aos nós com maiores
deslocamentos.
Figura 5.51 – AMS no Nó 591 destacado na laje
118
Tabela 5.48 – Variação de α para 1 AMS Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 5,423 - α = 0,80 1,245 77,042 α = 0,90 1,142 78,942 αααα = 1,00 1,090 79,900 α = 1,20 1,397 74,239
Valores obtidos para: µ = 0,1 e ξ = 1 %
Os resultados deste estudo demonstram que a mudança de posicionamento do
AMS interferiu consideravelmente na eficiência do controle.
A Figura 5.52, apresenta o gráfico da evolução dos deslocamentos em função do
tempo no bordo para o melhor caso obtido neste estudo(α = 1,00).
-0,00600
-0,00400
-0,00200
0,00000
0,00200
0,00400
0,00600
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00
Tempo(s)
Deslocamentos(m) Sem
controle
1 AMS(80cm)
Figura 5.52 - Evolução dos deslocamentos do nó de bordo em função do tempo para o
carregamento harmônico.
119
5.3.2.3 Estudo 23
Com o objetivo de verificar a influência da posição do AMS, mantém-se o
carregamento, os parâmetros µ e ξ, e posiciona-se o AMS sobre o bordo livre. A Tabela
5.49 apresenta as reduções dos deslocamentos obtidos neste caso variando-se a razão de
frequencia α. Verifica-se que o desempenho do AMS foi superior devido à mudança de
posição.
Figura 5.53 – AMS no Nó 22 destacado na laje
Tabela 5.49 – Variação de α para 1 AMS Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 5,423 - α = 0,80 0,8798 83,7765 α = 0,90 0,8198 84,8829 α = 1,00 0,7941 85,3568 α = 1,12 0,7772 85,6684 αααα = 1,15 0,7745 85,7182 α = 1,17 0,7965 85,3126 α = 1,20 0,8896 83,5958 α = 1,30 1,0220 81,1543
Valores obtidos para: µ = 0,1 e ξ = 1 %
Os resultados obtidos indicam que a melhor redução obtida para o amortecedor
posicionado sobre o bordo livre foi de 85,718%, enquanto que as reduções para as
análises anteriores foram de 79,900% (AMS a 80 cm do bordo) e 58,233% (AMS no
centro do vão). Desta forma, verifica-se que o posicionamento do amortecedor
influencia consideravelmente na eficiência do AMS. Semelhante ao que ocorreu no
estudo anterior da Laje 02, o desempenho do amortecedor foi melhor quando
posicionado sobre o nó do bordo livre, que é o nó onde ocorrem as maiores amplitudes
120
modais. Na Figura 5.54, a evolução dos deslocamentos no nó de bordo para α = 1,15 e
sem controle.
-0,00600
-0,00400
-0,00200
0,00000
0,00200
0,00400
0,00600
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00
Tempo(s)
Deslocamentos(m)
Semcontrole
No bordo
Figura 5.54 - Deslocamentos em função do tempo para o carregamento harmônico
5.3.3 Análise para um carregamento humano
Dando continuidade aplicou-se um carregamento dinâmico que representasse a
atividade humana de pular e dançar sobre a laje. Neste estudo, considerou-se a atividade
de pular com um valor de freqüência de fs=3,40 Hz e Tp = 0,294 s. Arbitrou-se a relação
tp/Tp em 0,5, chegando-se a kp = 3,0 . Por esta relação encontrou-se tp = 0,147s . Com
estes valores de fs, kp, tp obteve-se para cada intervalo de tempo a força que representam
a carga gerada pela atividade humana de pular e dançar.
Consideraram-se 8 pessoas realizando atividade rítmica sobre a laje num
intervalo de tempo de 8s. Esse tempo foi subdividido em intervalos de tempo ou passos
de tempo de 0,01 s.
Os nós onde foram aplicados as cargas representando as 8 pessoas, espaçadas entre
si de 2m, foram os nós 231, 471, 711, 951, 246, 486, 726, 966. A posição das 8 pessoas
na laje está representada na Figura 5.55. Na Tabela 5.50 são apresentados os valores
máximos da resposta dinâmica da laje neste caso.
121
Figura 5.55 - Nós de aplicação das cargas simulando a atividade humana de pular.
Tabela 5.50 – Resposta máxima sem controle
Uz(mm) Vz(m/s) az(m/s²)
38,90 0,7565 15,37
5.3.3.1 Estudo 24
Para este caso de carregamento, a primeira proposta de controle foi posicionar o
AMS no nó 594 situado a 1,6m do bordo livre, conforme indica a Figura 5.56. Na
Tabela 5.51 estão as respostas obtidas variando o parâmetro α.
Figura 5.56 – AMS no Nó 594 destacado na laje
Tabela 5.51 – Variação de α para 1 AMS Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 38,90 - α = 0,90 17,620 54,704 α = 1,00 16,120 58,560 αααα = 1,20 15,770 59,460 α = 1,40 17,440 55,167 α = 1,60 19,320 50,334
Valores obtidos para: µ = 0,1 e ξ = 1 %
122
A razão de freqüência mais indicado para este caso foi de α = 1,20, reduzindo a
resposta em quase 60%.
A Figura 5.57 apresenta o gráfico da evolução dos deslocamentos em função do
tempo do nó de bordo para α=1,2 e sem controle algum.
-0,05000
-0,04000
-0,03000
-0,02000
-0,01000
0,00000
0,01000
0,02000
0,03000
0,04000
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00Tempo(s)
Deslocamentos(m)
Semcontrole
1 AMS(160cm)
Figura 5.57 - Deslocamentos em função do tempo para o carregamento humano
5.3.3.2 Estudo 25
No presente estudo, mantiveram-se os parâmetros µ e ξ e variou-se a posição do
amortecedor, para um ponto mais próximo ao bordo livre (1,0 m) no nó 591, conforme
indica a Figura 5.58. Os resultados para essa proposta estão na Tabela 5.52 e neste caso,
o valor de α mais interessante foi 1,4.
Figura 5.58 – AMS no Nó 591 destacado na laje
123
Tabela 5.52 – Variação de α para 1 AMS Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 38,90 - α = 0,90 15,300 60,668 α = 1,00 15,000 61,440 α = 1,20 14,610 62,442 αααα = 1,40 14,470 62,802 α = 1,60 16,260 58,201
Valores obtidos para: µ = 0,1 e ξ = 1 %
Houve uma mudança no valor da razão de freqüência α que teve melhor
desempenho em relação à análise anterior com o AMS instalado no centro da laje.
Houve também, devido a mudança de posição do AMS, melhora nas reduções dos
deslocamentos para 62,802%. A Figura 5.59 apresenta o gráfico da evolução dos
deslocamentos no nó do bordo livre para o melhor parâmetro obtido neste caso e para o
caso sem controle.
-0,05000
-0,04000
-0,03000
-0,02000
-0,01000
0,00000
0,01000
0,02000
0,03000
0,04000
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00Tempo(s)
Deslocamentos(m)
Semcontrole
1 AMS(100cm)
Figura 5.59 - Deslocamentos em função do tempo para o carregamento humano.
124
5.3.3.3 Estudo 26
Neste estudo, posicionou-se o AMS sobre o bordo livre (Nó 22), conforme
indica a Figura 5.60, mantendo-se os parâmetros µ e ξ e obteve-se o melhor
desempenho na redução dos deslocamentos. A Tabela 5.53 apresenta as respostas
máximas obtidas. O melhor valor para α foi 1,25 que levou a uma redução de 67%.
Figura 5.60 – AMS no Nó 22 destacado na laje
Tabela 5.53 – Variação de α para 1 AMS Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 38,90 - α = 1,00 12,970 66,658 α = 1,20 12,620 67,558 αααα = 1,25 12,590 67,635 α = 1,40 12,760 67,198 α = 1,60 13,220 66,015
Valores obtidos para: µ = 0,1 e ξ = 1 %
O gráfico da evolução dos deslocamentos do nó no bordo livre para α = 1,25 e
para o caso sem controle está representado na Figura 5.61. Pelo gráfico e comparando
com os estudos anteriores, percebe-se o bom desempenho na redução dos
deslocamentos no nó de bordo quando o amortecedor muda de posição e verifica-se
com isso como o posicionamento do AMS influencia na resposta dinâmica da estrutura.
125
-0,05000
-0,04000
-0,03000
-0,02000
-0,01000
0,00000
0,01000
0,02000
0,03000
0,04000
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00Tempo(s)
Deslocamentos(m)
Semcontrole
1 AMS(no bordo)
Figura 5.61 - Evolução dos deslocamentos em função do tempo para o carregamento
humano
5.3.3.4 Estudo 27
A proposta no presente estudo foi variar o número de amortecedores. Três AMS
foram posicionados no bordo livre, o AMS1 com 50% da massa total dos amortecedores
e posicionado no meio do bordo livre e os outros dois (AMS2 e AMS3) com 25% da
massa total dos amortecedores e afastados 1m do AMS1. O esquema da posição dos
amortecedores está na Figura 5.62. As respostas máximas dos deslocamentos obtidas
neste estudo apresentam-se na Tabela 5.54
Figura 5.62 – AMS no Nó 22 destacado na laje
AMS1 AMS2 AMS3
126
Tabela 5.54 – Variação de α para 3 AMS Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 38,90 - α1 = 1,20
12,970 66,658 α2 = 1,00 α3 = 1,40 α1 = 1,20
13,060 66,427 α2 = 0,90 α3 = 1,20 αααα1 = 1,20
12,900 66,838 αααα2 = 1,20 αααα3 = 1,20 α1 = 1,20
13,020 66,530 α2 = 1,00 α3 = 1,10
Valores obtidos para: µ = 0,1 e ξ = 1 %
Embora tenha-se aumentado o número de AMS posicionando os mesmos sobre
o bordo livre, a redução não foi superior a do estudo anterior, com um único AMS no
bordo, mostrando que neste caso não há vantagem em utilizar mais de um AMS. Tem-
se para esse caso, que o melhor valor da razão de freqüência α foi 1,20.
5.3.4 Discussão dos Resultados
Concluída a análise para a carga harmônica e para a carga humana, é
apresentado a seguir, na Figura 5.63, o gráfico da evolução dos deslocamentos para
carga harmônica e sem controle e com um AMS para os casos estudados, variando-se
sua posição em relação ao bordo livre. O gráfico apresenta as respostas com melhor
desempenho para cada posição estudada.
127
-0,00600
-0,00400
-0,00200
0,00000
0,00200
0,00400
0,00600
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00
Tempo(s)
Deslocamentos(m)
Semcontrole
No centro
80cm
No bordo
Figura 5.63 - Deslocamentos em função do tempo para uma carga harmônica
Na Figura 5.64, apresenta-se o gráfico da evolução dos deslocamentos para o
carregamento humano, sem controle e com um AMS, variando-se sua posição em
relação ao bordo livre. O gráfico apresenta as respostas com o melhor desempenho para
cada posição estudada
-0,05000
-0,04000
-0,03000
-0,02000
-0,01000
0,00000
0,01000
0,02000
0,03000
0,04000
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00Tempo(s)
Deslocamentos(m)
Semcontrole
1 AMS(160cm)
1 AMS(100cm)
1 AMS(Nobordo)
Figura 5.64 - Deslocamentos em função do tempo para um carregamento humano.
128
Este terceiro modelo de laje apresenta deslocamentos máximos no bordo livre,
conforme o modelo de Laje 02. Verifica-se que o desempenho dos amortecedores
aumenta à medida que estes se posicionam próximos ao bordo livre e que os melhores
valores para a razão de freqüência α estão no intervalo entre 1,00 e 1,40.
Para o carregamento senoidal, os valores mais indicados para α foram àqueles
próximos a 1,00, já para o carregamento humano, oscilou entre 1,20 e 1,40.
Na Tabela 5.55 apresentam-se os melhores resultados obtidos nos estudos
realizados para este modelo de laje.
Tabela 5.55 - Resumo dos estudos realizados na Laje 03 e as melhores reduções obtidas.
Laje Carregamento N° de Amortecedores
Melhor valor obtido para α
Redução ∆ Uz (%)
Estudo 21 01 carga senoidal 01 (centro) 1,00 58,233
Estudo 22 01 carga senoidal 01 (80cm do bordo) 1,00 79,900
Estudo 23 01 carga senoidal 01 (no bordo) 1,15 85,718
Estudo 24 Carga humana (08 pessoas) 01 (1,6m do bordo) 1,20 59,460
Estudo 25 Carga humana (08 pessoas) 01 (1,0m do bordo) 1,40 62,802
Estudo 26 Carga humana (08 pessoas) 01 (no bordo) 1,25 67,635
Estudo 27 Carga humana (08 pessoas) 03 (no bordo) 1,2, 1,2 e 1,2 66,838
129
5.4 LAJE 04
5.4.1 Análise Modal
No quarto modelo estudado, uma laje com 15x9m e espessura de 7cm, é
analisada. Esta possui os quatros bordos engastados, conforme mostra a Figura 5.65.
Possui malha com 3496 nós a cada 20 cm no plano XY. Este modelo foi escolhido por
apresentar uma configuração de apoio diversa das três configurações de apoio das lajes
anteriormente estudadas. As dez primeiras freqüências naturais de vibração desta laje
estão na Tabela 5.56.
Figura 5.65 – Condições de apoio do modelo de Laje 04 .
Tabela 5.56 – Freqüências naturais da Laje 04 FREQUÊNCIA NATURAL
1° MODO 3,669 Hz 2° MODO 5,281 Hz 3° MODO 8,064 Hz 4° MODO 9,235 Hz 5° MODO 10,754 Hz 6° MODO 11,957 Hz 7° MODO 13,358 Hz 8° MODO 16,909 Hz 9° MODO 17,065 Hz 10° MODO 17,626 Hz
Na Figura 5.66, são apresentados os três primeiros modos de vibração da Laje 04
com suas respectivas freqüências naturais
130
1° MODO
2° MODO
3° MODO
Figura 5.66 - Primeiros 3 modos de vibração com suas respectivas frequências naturais
de vibração.
Comparando com a Laje 01, que possuía os quatros bordos simplesmente
apoiados, este modelo apresentou amplitudes parecidas. Os primeiros três modos
naturais de vibração são verticais sendo que no primeiro modo as maiores amplitudes se
concentram no centro do vão, tal como na Laje 01.
5.4.2 Análise para um carregamento harmônico
Uma carga harmônica senoidal foi aplicada no ponto central da laje, para
obtenção da evolução da resposta dinâmica no tempo, assim como nos três modelos
estudados anteriormente. A freqüência do carregamento adotada, para analisar a
situação mais desfavorável é igual à freqüência mais baixa da estrutura (f = 3,66 Hz).
Na Tabela 5.57 são apresentados os valores máximos do deslocamento Uz, velocidade
Vz e aceleração Az no nó central da laje para este carregamento.
131
Tabela 5.57 – Resposta máxima sem controle Uz(mm) Vz(m/s) Az(m/s²)
2,756 0,0629 1,439
A Figura 5.67 apresenta a resposta em frequência dos deslocamentos verticais
no nó central da laje.
0,0000
0,0050
0,0100
0,0150
0,0200
0,0250
0,0300
0 5 10 15 20 25
Frequência (Hz)
Deslocamento (m)
Resposta no nócentral da lajesem nenhumdispositivo decontrole
Figura 5.67 – Resposta em freqüência no nó central da laje
5.4.2.1 Estudo 28
Para esta laje, a primeira proposta de controle foi instalar um único AMS no nó
central, como mostra a Figura 5.68. Para este único AMS foi realizado o estudo
paramétrico da razão de freqüência α de forma a obter qual seria o valor mais eficiente
para a redução dos deslocamentos. Foi fixada uma taxa de amortecimento ξ de 0,4%, já
a razão de massa µ adotada foi 0,05 , um valor menor devido às dimensões da laje e sua
massa total, de forma a não comprometer a flecha máxima permitida. A Tabela 5.58
apresenta as reduções dos deslocamentos calculados no centro da laje com a instalação
do AMS. Comparando este estudo com o Estudo 1 (com os quatro bordos apoiados),
x10-1
132
onde a laje tinha deformações semelhantes a esta, verificou-se que para a mesma
situação de carregamento e controle, o valor de α mais indicado foi próximo a
freqüência natural do 1° modo. Na Figura 5.69, é apresentado o gráfico com a evolução
dos deslocamentos do nó central da laje com amortecedor e sem controle.
Figura 5.68 – AMS no Nó 1905 destacado na laje
Tabela 5.58 – Variação de α para 1 AMS Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 2,756 - α = 0,80 0,952 65,457 α = 0,90 0,770 72,072 αααα = 0,95 0,769 72,097 α = 0,96 0,770 72,072 α = 0,97 0,771 72,025 α = 0,98 0,772 71,974 α = 1,00 0,775 71,880 α = 1,20 0,953 65,421
Valores obtidos para: µ = 0,05 e ξ = 1 %
De acordo com a tabela acima que apresenta as reduções nos deslocamentos,
tem-se que a melhor redução nos deslocamentos obtida para a carga senoidal aplicada
no centro do vão, coincidente com a posição do amortecedor foi de 72,097%, para α =
0,95. A melhor redução obtida no Estudo 01 foi de 74,580% para α = 0,96 .
133
-0,00400
-0,00300
-0,00200
-0,00100
0,00000
0,00100
0,00200
0,00300
0,00400
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00Tempo(s)
Deslocamentos(m)
Semcontrole
1 AMS
Figura 5.69 - Deslocamentos em função do tempo para o carregamento harmônico
5.4.2.2 Estudo 29
A tentativa neste novo estudo foi verificar o desempenho de 2 AMS com massas
iguais, posicionados nos pontos de maior amplitude do 2° modo de vibração observados
na análise modal. A posição dos amortecedores está indicada na Figura 5.70. Foi
realizado um estudo com a variação da razão de freqüência α nos dois amortecedores de
forma a verificar quais os melhores parâmetros. As respostas obtidas, conforme indica a
Tabela 5.59, mostram um desempenho inferior dos dois amortecedores posicionados
nestes pontos, comparando com o caso anterior.
Figura 5.70 – AMS nos Nós 1889 e 1922 destacados na laje
AMS1 AMS2
134
Tabela 5.59 – Variação de α para 1 AMS Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 2,756 - α = 0,80 1,819 33,999 α = 0,80 α = 0,90 1,307 52,576 α = 0,90 α = 0,95 1,178 57,257 α = 0,95 α = 1,00 1,143 58,527 α = 1,00 α = 1,10 1,088 60,522 α = 1,10 αααα = 1,20 1,063 61,430 αααα = 1,20 α = 1,30
1,133 58,890 α = 1,30
Valores obtidos para: µ = 0,05 e ξ = 1 %
A Figura 5.71, apresenta o gráfico da evolução dos deslocamentos do nó central
da laje com α1 = 1,20 e α2 = 1,20 e sem os amortecedores.
-0,00400
-0,00300
-0,00200
-0,00100
0,00000
0,00100
0,00200
0,00300
0,00400
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00
Tempo(s)
Deslocamentos(m)
Semcontrole
2 AMS
Figura 5.71 - Deslocamentos em função do tempo para o carregamento harmônico.
135
5.4.2.3 Estudo 30
Esta terceira proposta de controle foi com uso de três AMS instalados nos picos
de amplitude do 3° modo de vibração observados na análise modal. A posição dos
amortecedores está indicada na Figura 5.72, onde se tem os AMS1 e AMS2 com 25%
da massa total, já o AMS3 possui 50% da massa total. Foi realizada o estudo de
variação da razão de freqüência α a fim de se obter quais os valores mais indicados. Na
Tabela 5.60 apresenta-se as respostas máximas dos deslocamentos e as reduções obtidas
no centro da laje neste caso.
Figura 5.72 – AMS nos Nós 1883, 1928 e 1928 destacados na laje.
Tabela 5.60 – Variação de α para 3 AMS Umáx (mm) ∆ (%)
Sem controle 2,756 - α1 = 0,90
0,9359 66,041 α2 = 0,90 α3 = 0,95 α1 = 0,95
0,9322 66,176 α2 = 0,95 α3 = 0,95 α1 = 1,00
0,9295 66,274 α2 = 1,00 α3 = 0,95 α1 = 1,10
0,9239 66,477 α2 = 1,10 α3 = 0,95 αααα1 = 1,20
0,9187 66,665 αααα2 = 1,20 αααα3 = 0,95
Valores obtidos para: µ = 0,05 e ξ = 1 %
AMS1 AMS2 AMS3
136
Conforme a tabela anterior observa-se que a melhor redução obtida foi de
66,665% para α1 = 1,20, α2 = 1,20 e α3 = 0,95. Tal redução não foi superior à redução
obtida para um único amortecedor, porém observa-se que para o AMS3 α3 = 0,95,
semelhante ao valor do estudo com somente um amortecedor, já os outros dois AMS
tiveram melhor desempenho quando α1 = 1,20, α2 = 1,20, valores semelhantes ao
estudo anterior com somente dois AMS.
A Figura 5.73 a seguir, apresenta o gráfico com a evolução os deslocamentos
para o caso com três AMS com α1 = 1,20, α2 = 1,20 e α3 = 0,95 e para o caso sem
amortecedor.
-0,00400
-0,00300
-0,00200
-0,00100
0,00000
0,00100
0,00200
0,00300
0,00400
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00Tempo(s)
Deslocamentos(m)
Semcontrole
3 AMS
Figura 5.73 - Evolução dos deslocamentos no tempo do nó central para o carregamento
harmônico
5.4.3 Análise para um carregamento humano
Neste caso foi simulado a situação de 15 pessoas praticando a atividade de
dançar e pular sobre a laje. Semelhante aos outros três estudos anteriores, considerou-se
a atividade de dançar e pular com um valor de freqüência de fs=3,40 Hz e Tp = 0,294 s.
Arbitrou-se uma relação tp/Tp = 0,5, chegando-se a kp = 3,0 e tp = 0,147s .Foi
considerado as 15 pessoas praticando a atividade de dançar e pular realizaram esta
atividade durantes 8s, o que permitiu subdividir este tempo em intervalos de 0,01s. Para
137
cada um desses intervalos foram obtidos 800 pares de tempo e suas respectivas cargas
associadas.
As 15 pessoas foram posicionadas de forma a existir um espaço para
movimentação num raio de 1 m para cada uma. As 15 pessoas foram posicionadas nos
nós 993, 1005, 1017, 1029, 1041, 1881, 1893, 1905, 1917, 1929, 2769, 2781, 2793,
2805 e 2817, conforme indica a Figura 5.74. A Tabela 5.61 apresenta os valores
máximos da resposta dinâmica da laje no nó central sem controle.
Figura 5.74 – Nós de aplicação das cargas simulando a atividade humana de pular
Tabela 5.61 – Resposta máxima sem controle Uz(mm) Vz(m/s) Az(m/s²)
21,07 0,4287 9,076
5.4.3.1 Estudo 31
A proposta de controle é utilizar 1 AMS posicionando no centro da laje,
conforme mostra a Figura 5.75. A Tabela 5.62 apresenta as reduções das respostas
obtidas variando-se α.
138
Figura 5.75 – AMS no Nó central destacados na laje e o carregamento humano
Tabela 5.62 – Variação de α para 1 AMS
Umáx (mm) ∆ (%) Sem controle 21,07 -
α = 0,80 9,360 55,577 α = 0,90 9,221 56,236 α = 0,95 9,167 56,493 α = 0,97 9,167 56,493 αααα = 1,00 9,123 56,701 α = 1,10 10,250 51,353
Valores obtidos para: µ = 0,05 e ξ = 1 %
A melhor redução obtida neste estudo foi de 56,701% para uma razão de
freqüência de 1,00. O valor do α mais indicado para este caso com a carga humana foi
diferente do mais indicado para a carga senoidal, fato este que ocorreu também nos
modelos estudados anteriormente. A Figura 5.76 apresenta o gráfico da evolução dos
deslocamentos obtidos com o uso do AMS para α = 1,00 e sem controle.
-0,02500
-0,02000
-0,01500
-0,01000
-0,00500
0,00000
0,00500
0,01000
0,01500
0,02000
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00Tempo(s)
Deslocamentos(m)
Semcontrole
1 AMS
Figura 5.76 - Deslocamentos em função do tempo para o carregamento humano
139
5.4.4 Discussão dos Resultados
Na Figura 5.77, é apresentado o gráfico da evolução dos deslocamentos do nó
central para a carga senoidal e as respostas sem controle, com 1 AMS, 2 AMS e 3 AMS.
O gráfico apresenta o melhor desempenho do amortecedor para os três estudos.
-0,00400
-0,00300
-0,00200
-0,00100
0,00000
0,00100
0,00200
0,00300
0,00400
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00Tempo(s)
Deslocamentos(m)
Semcontrole
1 AMS
2 AMS
3 AMS
Figura 5.77 - Deslocamentos em função do tempo para 1 carga senoidal
Nota-se que a melhor proposta de controle foi para somente um único AMS,
posicionado no centro do vão e no nó onde ocorreram os maiores deslocamentos, nó
este coincidente com o ponto de aplicação da carga senoidal. A melhor proposta deste
estudo se assemelha a proposta do estudo da Laje 01, que possuía os quatro bordos
apoiados. Com relação a razão de freqüência, os valores de α também oscilaram entre
0.90 e 1.00, semelhante ao ocorrido no Estudo 01.
Devido a essas observações, este estudo o modelo de Laje 04 não envolveu a
quantidade de estudos realizados no modelo de Laje 01 em que se aplicou mais de uma
carga senoidal e foram propostas variadas posições e quantidades de AMS. Percebe-se
que tanto os deslocamentos quanto o comportamento dos amortecedores e seus
parâmetros foram semelhantes, mesmo para condições de apoio diferentes.
A seguir, é apresentada a Tabela 5.63 com as melhores reduções nos
deslocamentos obtidas nos estudos realizados neste modelo de laje.
140
Tabela 5.63 - Resumo dos estudos realizados na Laje 04 e as melhores reduções obtidas
Laje Carregamento N° de Amortecedores Melhor valor obtido para α
Redução ∆ Uz (%)
Estudo 28 01 carga senoidal 01 (centro) 0,95 72,097
Estudo 29 01 carga senoidal 02 (3,4m do centro) 1,2 e 1,2 61,430
Estudo 30 01 carga senoidal 03 (centro e 2,6m do
bordo) 1,20, 1,2 e 0,95 66,665
Estudo 31 Carga humana (08 pessoas) 01 (centro) 1,00 56,701
141
6 LAJE 05 (COM VIGAS E PILARES)
Os parâmetros obtidos no estudo dos quatro modelos de lajes, no capítulo
anterior, mostraram que a razão de freqüência α mais indicada variou de acordo com a
geometria e as condições de apoio da laje, já os outros parâmetros, razão de
amortecimento ξ e razão de massa µ, menos influentes na eficiência, foram mantidos
fixos. Como a proposta deste estudo é aplicar os resultados obtidos no estudo
paramétrico num caso prático, verificou-se o desempenho do AMS com esses
parâmetros para um modelo de laje considerando a interação com vigas e pilares.
A fim de realizar uma comparação com um caso anteriormente estudado, optou-
se por utilizar a Laje 01 e seus resultados. Para a mesma geometria da Laje 01,
incorporou-se para esse modelo vigas e pilares conforme mostra a Figura 6.1, e
realizou-se uma análise modal deste novo modelo estrutural.
Figura 6.1 – Geometria da Laje 05 com detalhamento das vigas e pilares
As dimensões adotadas para vigas e pilares foram calculadas de forma que não
se aumentassem tanto a rigidez do conjunto e ao mesmo tempo permitisse que as
freqüências naturais mais baixas permanecessem próximas às freqüências do
carregamento gerado pela atividade de pular. As vigas V1 e V2 possuem 25x120 cm
cada e as vigas V3 e V4 possuem 20x60cm cada, já os pilares P1, P2 P3 e P4 possuem
40x25cm cada, com 3,15 m de altura. Todos estes elementos estruturais foram
142
modelados a partir do elemento BEAM 4 do ANSYS 10.0 e as propriedades adotadas
para as vigas e pilares estão indicadas na Tabela 6.1 abaixo.
Tabela 6.1 – Propriedades para o elemento BEAM 4 PROPRIEDADES VALOR
V1 e V2 (25x120cm) Área da seção transversal (m²) 0,30 Momento de inércia com respeito ao eixo Z (m4) 0,00156 Módulo de Elasticidade (GPa) 29 Coeficiente de Poisson 0,3 Massa Específica (kg/m³) 2500 V3 e V4 (20x60cm) Área da seção transversal (m²) 0,120 Momento de inércia com respeito ao eixo Z (m4) 0,0004 Módulo de Elasticidade (GPa) 29 Coeficiente de Poisson 0,3 Massa Específica (kg/m³) 2500 P1,P2,P3 E P4 (40x25x315cm) Área da seção transversal (m²) 0,10 Momento de inércia com respeito ao eixo Z (m4) 0,00051 Módulo de Elasticidade (GPa) 29 Coeficiente de Poisson 0,3 Massa Específica (kg/m³) 2500
A Figura 6.2 apresenta os seis primeiros modos de vibração desta estrutura e
suas freqüências naturais. Nota-se com a análise modal que o primeiro modo de
vibração é predominantemente horizontal, com flexão nos pilares a uma freqüência de
3.63 Hz. O segundo modo apresenta também amplitudes na vertical e a flexão nos
pilares. Somente no terceiro modo que as amplitudes verticais são mais significativas e
concentram-se no centro do vão.
143
1° Modo (f= 3,63 Hz) 2° Modo (f= 6,29 Hz)
3° Modo (f= 6,47 Hz) 4° Modo (f= 6,59 Hz)
5° Modo (f= 9,74 Hz) 6° Modo (f= 11,78 Hz)
Figura 6.2 - Modos de vibração da Laje 05 e suas freqüências naturais.
144
Neste modelo de laje, verificou-se uma mudança nos modos de vibração com
relação à Laje 01, que não levava em consideração vigas e pilares. Os modos verticais
surgem somente a partir do 3° modo de vibração.
Prosseguindo a análise, aplicou-se o mesmo carregamento humano aplicado na
Laje 01, com o mesmo número de pessoas e no mesmo intervalo de tempo. A resposta
máxima sem controle com o deslocamento, velocidade e aceleração está apresentada na
Tabela 6.2 , assim como os gráficos da evolução dos deslocamento e aceleração em
função do tempo estão representados na Figura 6.3 e Figura 6.4 , respectivamente.
Tabela 6.2 – Resposta máxima sem controle Uz(mm) Vz(m/s) Az(m/s²)
4,219 0,1183 3,854
-0.0050
-0.0040
-0.0030
-0.0020
-0.0010
0.0000
0.0010
0.0020
0.0030
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00
Tempo(s)
Deslocamentos(m)
Semcontrole
Figura 6.3 – Deslocamentos verticais na Laje 05 submetida ao carregamento humano
145
-5,00000
-4,00000
-3,00000
-2,00000
-1,00000
0,00000
1,00000
2,00000
3,00000
4,00000
5,00000
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00
Tempo(s)
Acelerações(m
/s²)
Semcontrole
Figura 6.4 – Acelerações verticais na Laje 05 submetida ao carregamento humano
Comparando a variação das freqüências associadas aos modos verticais deste
modelo de laje com a Laje 01 (sem vigas e pilares) percebe-se que neste modelo as
freqüências iniciais variam diferenciadamente e em menor proporção, conforme indica a
Tabela 6.3. Outra comparação importante entre este modelo e o da Laje 01 é da resposta
dinâmica, observa-se na Tabela 6.4 que para o modelo sem vigas e pilares os
deslocamentos, velocidades e acelerações são maiores que deste modelo.
Tabela 6.3 – Comparativo entre os primeiros modos de vibração da Laje 01 e Laje 05.
Laje 01 (6x12 m) Laje 05 com vigas e pilares(6x12 m)
FREQUÊNCIA NATURAL FREQUÊNCIA
NATURAL 1° MODO 3,934 Hz 1° MODO 3,63 Hz 2° MODO 6,294 Hz 2° MODO 6,29 Hz 3° MODO 10,226 Hz 3° MODO 6,47 Hz 4° MODO 13,375 Hz 4° MODO 6,59 Hz 5° MODO 15,731 Hz 5° MODO 9,74 Hz 6° MODO 15,731 Hz 6° MODO 11,78 Hz
146
Tabela 6.4 – Comparativo entre as respostas dinâmicas sem controle da Laje 01 e Laje 05.
Laje 01 Laje 05
Uz 18,04 mm Uz 4,219 mm
Vz 0,3743 m/s Vz 0,1183 m/s
az 8,065 m/s² az 3,854 m/s²
6.1 PROPOSTAS DE CONTROLE
6.1.1 Proposta A
Como a proposta é verificar a sensibilidade do parâmetro α ao acréscimo de
pilares e vigas na análise, foi considerado para esta laje um único AMS com os
parâmetros mais indicados obtidos no Estudo 09 (um único AMS instalado no centro da
laje para um carregamento humano), que foram ξ= 0,4% , α=0,98 e µ=0,1, sintonizados
a partir da freqüência do primeiro modo (3,63 hz). O AMS foi posicionado no meio do
vão, como no Estudo 09, todavia, o amortecedor foi instalado de forma a atuar na
direção Y (horizontal). O carregamento humano aplicado e a posição do amortecedor
estão indicados na Figura 6.5 .
Figura 6.5 – Um AMS na direção Y posicionado no nó central
As respostas máximas obtidas no nó 946 estão na Tabela 6.5, que indica também
a porcentagem de redução de Uz, Vz e az.
147
Tabela 6.5 – Resposta máxima sem controle e com controle e as reduções
Valores Máximos Sem Controle Com 1 AMS Redução ∆ % Uz(mm) 4,219 4,217 0,047
az(m/s²) 3,854 3,854 0,000
Verificou-se que o desempenho dos parâmetros do AMS para esta laje, usando
os parâmetros mais indicados obtidos no Estudo 09 não foi o mesmo quando a laje não
apresentava vigas e pilares, não ocorrendo redução significativa nos deslocamentos Uz.
6.1.2 Proposta B
A tentativa seguinte foi utilizar o mesmo AMS da proposta A, com os
parâmetros ξ= 0,4% , α=0,98 e µ=0,1 e na mesma posição, porém, atuando na direção
Z.
As respostam máximas obtidas no nó 946, destacados na Tabela 6.6,
demonstraram pouca melhoria na redução dos deslocamentos e acelerações, mas para
este caso, as reduções foram melhores se comparadas com a proposta A, (amortecedor
atuando na direção Y).
Tabela 6.6 – Resposta máxima sem controle e com controle e as reduções Valores Máximos Sem Controle Com 1 AMS Redução ∆ %
Uz(mm) 4,219 4,008 5,001
Az(m/s²) 3,854 3,028 21,432
6.1.3 Proposta C
Em seguida, optou-se pelo uso de dois amortecedores na estrutura, cada um
deles atuando numa direção. Conforme a representação da Figura 6.6, temos que no
centro do vão, nó 946, o AMS atuou na direção Z (ponto amarelo) e na viga V2, nó 31,
o amortecedor atuou na direção Y (ponto azul). Os parâmetros adotados foram os
mesmos, com ξ= 0,4%, α=0,98 e µ=0,1. A massa para o amortecimento foi distribuída
igualmente entre os dois amortecedores.
148
Figura 6.6 – Dois amortecedores posicionados na laje
A resposta máxima obtida no nó 946 com o uso de dois amortecedores está
indicada na Tabela 6.7. Percebe-se que não houve redução nos deslocamentos e sim
aumento destes, já as acelerações apresentaram menor redução do que na proposta
anterior.
Tabela 6.7 – Resposta máxima sem controle e com 2 AMS e as reduções Valores Máximos Sem Controle Com 1 AMS Redução ∆ %
Uz(mm) 4,219 4,499 -6,636
Az(m/s²) 3,854 3,551 7,861
6.1.4 Proposta D
Devido ao baixo desempenho dos amortecedores com o uso dos parâmetros mais
indicados obtidos no Estudo 09, partiu-se então para um estudo paramétrico do
comportamento da razão de freqüência α, da taxa de amortecimento ξ e da razão entre
massas µ, visto que a consideração das vigas e pilares na análise alterou
consideravelmente o desempenho dos amortecedores.
Neste estudo, foi um único amortecedor instalado no centro do vão, que atuou na
direção Z e que foi sintonizado a partir da freqüência do primeiro modo (3,63 Hz). A
variação da razão de freqüência α com relação às reduções obtidas no nó 946 foi a
primeira análise feita, e é apresentada na Tabela 6.8 a seguir, onde foram adotados, ξ=
0,4% e µ=0,1.
149
Tabela 6.8 – Variação de α para 1 AMS. α Uz(mm) Az(m/s²) ∆ Uz (%) ∆ Az (%)
Sem controle 4,219 3,854 - - 0,80 3,683 3,189 12,704 17,255 0,81 3,677 3,131 12,847 18,760 0,82 3,675 3,108 12,894 19,357 0,83 3,684 3,080 12,681 20,083 0,85 3,706 3,020 12,159 21,640 0,87 3,735 2,982 11,472 22,626 0,90 3,790 2,963 10,168 23,119 0,98 4,008 3,028 5,001 21,432 1,00 4,141 3,082 1,849 20,031
Valores obtidos para: µ = 0,1 e ξ = 0,4 %
Nota-se que diferente do estudo da laje sem as vigas e pilares, o valor de α mais
indicado foi 0,82 para a redução nos deslocamentos, que permitiu reduções de 12,894%,
porém, com relação as acelerações, a melhor redução foi obtida para α = 0,90,com
23,119 %.
A fim de se verificar o comportamento da taxa de amortecimento foi realizada
também uma análise da variação de ξ, considerando agora α=0,82 e µ=0,1. As reduções
obtidas no nó 946 estão indicadas na Tabela 6.9.
Tabela 6.9 – Variação de ξ para 1 AMS. ξ (%) Uz(mm) Az(m/s²) ∆ Uz (%) ∆ Az (%)
Sem controle 4,219 3,854 - - 0,40 3,675 3,108 12,894 19,357 0,60 3,677 3,100 12,847 19,564 0,80 3,680 3,094 12,776 19,720 1,00 3,682 3,088 12,728 19,875 1,10 3,683 3,085 12,704 19,953
Valores obtidos para: µ = 0,1 e α = 0,82
Percebe-se pela tabela acima, que as reduções nos deslocamentos foram
melhores quanto menor fosse a taxa de amortecimento ξ, porém a redução nas
acelerações foi melhor quando ξ aumentou.
Finalmente, foi realizada a análise da variação da razão entre massas µ , usando
α=0,82 e ξ= 0,4%. As respostas no nó 946 estão indicadas na Tabela 6.10 com suas
respectivas reduções nos deslocamentos e acelerações.
150
Tabela 6.10 – Variação de µ para 1 AMS. µ Uz(mm) Az(m/s²) ∆ Uz (%) ∆ Az (%)
Sem controle 4,219 3,854 - -
0,05 3,992 3,458 5,380 10,275 0,08 3,809 3,239 9,718 15,957 0,10 3,675 3,108 12,894 19,357 0,12 3,635 3,050 13,842 20,861
Valores obtidos para: ξ = 0,4 % e α = 0,82
Diferente do ocorrido com os quatros modelos de lajes estudados anteriormente
e que não consideravam vigas e pilares na análise, as reduções nos deslocamentos neste
modelo de laje foram bem menores. Os valores mais indicados para a razão de
freqüência do amortecedor foram diferentes dos obtidos para a laje sem vigas e pilares,
mesmo que para o mesmo carregamento, o que sugere dizer que a consideração das
vigas e pilares alterou os resultados obtidos. Para a Laje 01 (com 12x6m e sem vigas e
pilares) a redução obtida para o carregamento humano foi de 45,704%, para α=0,98,
ξ=0,4% e µ=0,1, enquanto que no estudo atual, a redução foi de 12,894% para α=0,82,
ξ=0,4% e µ=0,1.
A fim de tentar melhorar a performance do AMS na laje em estudo, foi realizado
uma série de simulações variando a razão de freqüência α do amortecedor, na faixa de
valores entre 0,81 e 0,83 de forma a observar se o refinamento desses valores
contribuiria significativamente na melhoria das reduções dos deslocamentos. Os
resultados obtidos com essa análise complementar estão indicados na Tabela 6.11.
Tabela 6.11 – Variação de α para 1 AMS. α Uz(mm) Az(m/s²) ∆ Uz (%) ∆ Az (%)
Sem controle 4,219 3,854 - - 0,810 3,677 3,131 12,847 18,760 0,813 3,675 3,138 12,894 18,578 0,815 3,674 3,130 12,918 18,786 0,817 3,673 3,121 12,941 19,019 0,819 3,674 3,112 12,918 19,253 0,820 3,675 3,108 12,894 19,357 0,825 3,679 3,093 12,799 19,746 0,830 3,684 3,080 12,681 20,083
Valores obtidos para: µ = 0,10 e ξ = 0,4 %
151
7 APLICAÇÃO PARA UM CASO PRÁTICO
7.1 LAJE DE UMA ACADEMIA DE GINÁSTICA
Os estudos paramétricos realizados nos quatro modelos de laje mostraram que
para uma laje submetida ao carregamento senoidal, o desempenho do AMS é melhor
que nas lajes submetidas ao carregamento humano, mesmo com diferentes
configurações de apoio. Verificou-se que a taxa de amortecimento ξ e razão de massa µ
não sofreram variação considerável nos quatro modelos de forma que o parâmetro que
mereceu maior atenção e influenciou mais em cada caso foi a razão de freqüência α.
Antes de aplicar as conclusões obtidas no estudo paramétrico em um modelo de
um caso prático, foi realizada a análise de uma laje considerando desta vez vigas e
pilares e verificou-se a modificação nos resultados na redução das vibrações da estrutura
com o uso do AMS. Observou-se que ao considerar a interação com as vigas e pilares
diminuiu a eficiência dos amortecedores de massa em comparação com os quatro
modelos anteriores em que não se consideravam vigas e pilares.
Para dar maior consistência ao estudo paramétrico do AMS conduzido nas
análises realizadas até agora no presente trabalho, decidiu-se estender o estudo para um
caso prático de vibrações induzidas por atividades humanas em lajes de edifício. Lima
(2007) fez uma simulação computacional, por elementos finitos, da laje de uma
academia de ginástica localizada em um prédio comercial na cidade de Brasília e que
apresentava vibrações excessivas.
O edifício comercial possui 5 andares , distribuídos em um pavimento de
subsolo, térreo, 1° e 2° pavimentos e cobertura, todos em estrutura de concreto armado
com fck de 15 MPa, com lajes maciças de 7cm de espessura apoiadas em vigas de
seção retangular , estas, apoiadas em pilares de seção retangular também. Para o estudo
de LIMA, o interesse era em um trecho retangular da estrutura situado no pavimento
térreo, com dimensões 14,074x6,49 m,e pé direito de 3,15m, destacado na Figura 7.1.
Neste trecho está localizado o salão de ginástica da academia.
152
Figura 7.1 – Geometria do trecho da laje da academia de ginástica estudado por Lima
(2007)
As propriedades físicas atribuídas ao modelo desta estrutura foram semelhantes
as adotadas nos modelos do estudo paramétrico, onde o módulo de elasticidade E foi de
29GPa, a densidade de 2500 kg/m³ e coeficiente de Poisson de 0,3.
A superfície da laje foi modelada com uma malha de nós no plano XY, unidos
pelo elemento SHELL63. As vigas foram modeladas utilizando o elemento BEAM4,
assim como os pilares também foram modelados utilizando este mesmo elemento do
ANSYS. É importante destacar que nas análises realizadas por Lima (2007) foi imposto
que nos nós que serviram de base para os pilares haveria restrição aos movimentos de
translação ao longo dos eixos X, Y e Z e também na rotação em torno dos mesmos, de
forma a simular a situação de engaste que os pilares têm em sua base.
No resultado da análise modal realizada no modelo da academia de ginástica,
verificaram-se que a estrutura apresentava freqüências naturais consideravelmente
baixas, próximas as freqüências de carregamento devido à atividade humana. Os três
primeiros modos de vibração ocorrem na direção horizontal, com flexão dos pilares no
primeiro modo e com flexão e torção dos pilares no segundo e no terceiro modos.
Somente a partir do quarto modo que aparecem deslocamentos verticais na estrutura,
conforme se vê na Figura 7.2.
153
Figura 7.2 - Modos de vibração da estrutura de Lima (2007) e suas freqüências naturais.
Pela análise modal realizada observa-se na figura anterior que os três primeiros
modos naturais de vibração ocorrem na direção horizontal. A vibração relativa aos três
primeiros modos ocorre com flexão dos pilares no primeiro modo e com flexão e torção
nos pilares no segundo e no terceiro modos, de forma que a laje vibra paralelamente ao
seu próprio modo. As freqüências de vibração associadas aos três primeiros modos têm
154
valores próximos aos associados aos carregamentos dinâmicos gerados pelas pessoas
praticando a atividade de pular e dançar.
Lima (2007) realizou a análise transiente simulando o carregamento de pessoas
pulando. Foi adotado , assim como no estudo paramétrico deste trabalho, um peso G de
800N para as pessoas, kp =3,0 e tp = 0,147s. O carregamento dinâmico simulou a
atividade de 19 pessoas, nos nós: 57, 233, 239, 244, 250, 256, 261, 461, 467, 478, 484,
489, 689, 695, 700, 706, 712 e 717. A Figura 7.3 indica os nós onde as pessoas estariam
pulando.
Figura 7.3 – Simulação do carregamento dinâmico
Na Tabela 7.1 a seguir, são apresentados os valores máximos da resposta
dinâmica obtida por Lima (2007), nos nós que sofreram maior deslocamento vertical na
análise transiente simulando a atividade das 19 pessoas na academia.
Tabela 7.1 – Resposta máxima sem controle nos nós em que os deslocamentos tem maior amplitude.
Nó Uz (m) Vz(m/s) Az(m/s²)
386 0,712 0,0157 0,6214 396 0,759 0,0167 0,6735
472 0,790 0,0172 0,6694
Foi realizada também por Lima (2007) uma análise estática do modelo em que
aplicou-se uma carga distribuída sobre os nós no plano XY de 2500 N/m². O
deslocamento máximo observado na análise foi de 5,314mm, sendo o deslocamento
máximo admissível de 13,9mm.
57 233 239 244 250 256 261
461 467 472 478 484 489
689 695 700 706 712 717
155
Para atenuar as vibrações excessivas foram utilizados os amortecedores de
massa sintonizados, todavia na ausência de estudos paramétricos de AMS específicos
para lajes, foram adotados os critérios de Jangid e Den Hartog para definir os
parâmetros dos amortecedores. Sobre a adoção destes critérios, Lima (2007) destaca no
seu estudo que entende que os parâmetros Den Hartog foram desenvolvidos para
sistemas de um grau de liberdade e os de Jangid, para estruturas de edifícios altos e não
para lajes.
Foram apresentadas no estudo 15 propostas de controle utilizado amortecedores
de massa sintonizados, variando-se a quantidade, a posição e as propriedades dos
amortecedores. Os nós escolhidos para instalar o AMS foram definidos por se
localizarem nos locais com maiores deslocamentos modais. De todas estas propostas, a
ultima proposta foi que apresentou melhor desempenho e fez uso de 6 amortecedores de
massa, onde 3 estavam sintonizados na freqüência do primeiro modo de vibração (2,56
Hz) e atuando na direção Y (horizontal) e os outros 3 sintonizados na freqüência do
quarto modo de vibração (9,35 Hz) e atuando na direção Z (vertical). Os amortecedores
que atuaram na direção Y foram instalados individualmente no centro do vão das vigas
V14, V15 e V16, isto é, nos Nós 391, 401, 409. Os amortecedores que atuaram na
direção Z foram instalados nos Nós 386, 396 e 405, ou seja, no centro dos vãos dos três
panos de laje, nós estes que sofreram maiores deslocamentos modal.
Na Figura 7.4, a seguir, os pontos em amarelo representam os amortecedores
atuando na direção Z, e os pontos em azul os amortecedores atuando na direção Y.
Figura 7.4 - Posição dos amortecedores na melhor proposta de controle obtida por Lima
(2007).
386 396 405 401 409 391
156
Do trabalho de Lima (2007) foram extraídos os resultados obtidos na proposta
15. A Tabela 7.2 apresenta os respectivos resultados com o percentual de redução.
Tabela 7.2 – Resultados encontrados na melhor proposta de Lima (2007) Nó Sem amortecimento Com amortecimento Redução ∆ (%)
396 Uz (mm) 0,760 0,824 - 8,421 Az (m/s²) 0,674 0,513 23,887
Azrms (m/s²) 0,477 0,363 23,899
472 Uz (mm) 0,790 0,827 -4,683 Az (m/s²) 0,669 0,521 22,122
Azrms (m/s²) 0,472 0,368 22,034
7.2 NOVA PROPOSTA DE CONTROLE PARA A LAJE DA ACADEMIA
Novas propostas com o uso do AMS foram realizadas, utilizando as conclusões
fornecidas pelo estudo paramétrico realizado. Os nós escolhidos para instalar os
amortecedores foram os nós 386, 396 e 472, considerando a direção Z, ou seja, no
centro dos vãos dos três trechos de laje, nós estes que sofreram maiores deslocamentos
modais verticais.
7.2.1 Propostas para 1AMS
Instalou-se o amortecedor no Nó 386 que fica localizado no centro do vão entre
as vigas V13 e V 14, conforme indica a Figura 7.5. A razão de freqüência adotada foi α
= 0,98. A razão de massa µ = 0,10 e a razão de amortecimento ξ = 0,4% . Esse valor de
α foi adotado, por o deslocamento se situar no centro de um dos vãos, que se assemelha
ao deslocamento sofrido no estudo da Laje 01, no capítulo 6.1. Para um AMS, testou-se
sintonizá-lo na freqüência do 1° modo (Modelo A1) e também do 4° modo (Modelo
A2), ver Tabela 7.3. O carregamento aplicado foi o mesmo adotado por LIMA (2007)
com 19 pessoas realizando atividade de pular.
157
Figura 7.5 – Laje 05 com o amortecedor localizado no Nó 386
Tabela 7.3 – Propriedades do amortecedor para Modelo A1 e A2 .
Modelo N°. AMS
fest (Hz)
Mest (kg) µ ξ α ωest
(rad/s) ωAMS (rad/s)
kAMS (N/m)
mAMS (kg)
CAMS (N.s/m)
A1 1 2,56 45.034,7 0,10 0,004 0,96 16,08 15,44 1.073.751,52 45.034,7 556,31
A2 1 9,35 45.034,7 0,10 0,004 0,96 16,08 56,40 14.323.431,69 45.034,7 2031,83
As respostas máximas estão indicadas na Tabela 7.4. Percebe-se que a melhor
alternativa obtida foi para o Modelo A1 (386) com 10,449% de redução do
deslocamento e 12,995% de redução na aceleração.O Modelo A2(386) embora tenha
apresentado redução de 20,560% na aceleração, teve aumento de 16,15% nos
deslocamentos e não redução destes.
Tabela 7.4 – Respostas e reduções obtidas nos Modelos A1 e A2
Modelo Nó Sem amortecimento Com amortecimento Redução ∆ %
A1
386 Uz (mm) 0,712 0,638 10,449
Az (m/s²) 0,6214 0,541 12,955
396 Uz (mm) 0,760 0,751 1,158
Az (m/s²) 0,674 0,673 0,223
A2
386 Uz (mm) 0,712 0,827 -16,15
Az (m/s²) 0,6214 0,494 20,56
396 Uz (mm) 0,760 0,737 3,026
Az (m/s²) 0,674 0,665 1,409
158
Ainda utilizando somente um único AMS posicionado no mesmo ponto, optou-
se por sintonizar o amortecedor a partir dos parâmetros obtidos com o estudo da laje
com vigas e pilares, uma vez que se trata de um modelo desse tipo. O valor adotado
para a razão de freqüência foi α = 0,82 , razão de massa µ = 0,10 e a razão de
amortecimento ξ = 0,4%, conforme indica a Tabela 7.5 em que A3 é o modelo para o
AMS sintonizado na freqüência do 1° modo e A4 o AMS sintonizado na freqüência do
4° modo.
Tabela 7.5 – Propriedades do amortecedor para Modelo A3 e A4 .
Modelo N°. AMS
fest (Hz)
Mest (kg) µ ξ α ωest
(rad/s) ωAMS (rad/s)
kAMS (N/m)
mAMS (kg)
CAMS (N.s/m)
A3 1 2,56 45.034,7 0,10 0,004 0,82 16,08 13,19 783.409,85 4.503,47 475,18
A4 1 9,35 45.034,7 0,10 0,004 0,82 48,17 48,17 10.450.385,71 4.503,47 1735,52
As respostas dinâmicas da estrutura estão indicadas na Tabela 7.6. Percebe-se,
assim como na proposta anterior, que o melhor desempenho foi para o amortecedor
sintonizado na freqüência do 1° modo, neste caso o Modelo A3 (386) foi o mais
eficiente, com 7,514% de redução nos deslocamentos e 9,881% de redução nas
acelerações. O Modelo A4 (386) embora tenha apresentado maior redução nas
acelerações teve aumento dos deslocamentos. Esta segunda proposta foi menos eficiente
que a proposta anterior.
Tabela 7.6 – Respostas e reduções obtidas nos Modelos A3 e A4
Modelo Nó Sem amortecimento Com amortecimento Redução ∆ %
A3
386 Uz (mm) 0,712 0,6585 7,514
Az (m/s²) 0,6214 0,6500 9,881
396 Uz (mm) 0,760 0,7530 0,921
Az (m/s²) 0,674 0,6727 0,193
A4
386 Uz (mm) 0,712 0,7817 -9,789
Az (m/s²) 0,6214 0,4376 29,578
396 Uz (mm) 0,760 0,7477 1,618
Az (m/s²) 0,674 0,6661 1,929
159
7.2.2 Propostas para 2AMS
No caso de utilizar dois AMS, estes foram posicionados nos Nós 386 e 396,
conforme Figura 7.6. A razão de freqüência adotada foi α = 0,96. A razão de massa
µ=0,10 e a razão de amortecimento ξ = 0,4%. Para os dois AMS, sintonizou-se na
freqüência do 1° modo (Modelo A5) e também na freqüência do 4° modo (Modelo A6),
como indica a Tabela 7.7.
Figura 7.6 – Laje com os amortecedores localizados nos Nó 386 e Nó 396
Tabela 7.7 – Propriedades dos amortecedores para os Modelos A5 e A6 .
Modelo N°. AMS
fest (Hz)
Mest (kg) µ ξ α ωest
(rad/s) ωAMS (rad/s)
kAMS (N/m)
mAMS (kg)
CAMS (N.s/m)
A5 2 2,56 45.034,7 0,10 0,004 0,96 16,08 15,44 596.528,62 2.501,93 309,06
15,44 477.222,90 2.001,54 247,25
A6 2 9,35 45.034,7 0,10 0,004 0,96 16,08 56,40 7.957.462,05 2.501,92 1128,8
56,40 6.365.969,64 2.001,54 903,04
As respostas máximas obtidas estão indicadas na Tabela 7.8, a redução dos
deslocamentos foi inferior ao da proposta com somente um único amortecedor bem
como as acelerações. O melhor desempenho foi para o Modelo A5 (386) com os
amortecedores sintonizados na freqüência do 1° modo. Novamente, para o modelo
sintonizado no 4° modo houve melhoria na redução das acelerações porém aumento dos
deslocamentos.
160
Tabela 7.8 – Respostas e reduções obtidas nos Modelos A5 e A6
Modelo Nó Sem amortecimento Com amortecimento Redução ∆ %
A5
386 Uz (mm) 0,712 0,669 6,081
Az (m/s²) 0,6214 0,578 7,580
396 Uz (mm) 0,760 0,755 0,724
Az (m/s²) 0,674 0,673 0,163
A6
386 Uz (mm) 0,712 0,800 -12,360
Az (m/s²) 0,6214 0,507 18,442
396 Uz (mm) 0,760 0,744 2,132
Az (m/s²) 0,674 0,667 1,009
A análise seguinte adotou-se o valor de α = 0,82, o mesmo obtido no estudo da
laje com vigas e pilares, razão de massa µ = 0,10 em ambos os amortecedores e razão de
amortecimento ξ = 0,4%. No modelo A7 os dois amortecedores foram sintonizados para
a freqüência do 1° modo, já no modelo A8 foram sintonizados para a freqüência do 4°
modo, conforme mostra a Tabela 7.9.
Tabela 7.9 – Propriedades dos amortecedores para os Modelos A7 e A8 .
Modelo N°. AMS
fest (Hz)
Mest (kg) µ ξ α ωest
(rad/s) ωAMS (rad/s)
kAMS (N/m)
mAMS (kg)
CAMS (N.s/m)
A7 2 2,56 45.034,7 0,10 0,004 0,82 16,08 13,19 391.704,93 2.251,74 237,59
13,19 391.704,93 2.251,74 237,59
A8 2 9,35 45.034,7 0,10 0,004 0,82 16,08 48,17 5.225.192,85 2.251,74 867,76
48,17 5.225.192,85 2.251,74 867,76
A seguir, na Tabela 7.10, são apresentada as respostas máximas para os casos
analisados.
161
Tabela 7.10 – Respostas e reduções obtidas nos Modelos A7 e A8
Modelo Nó Sem amortecimento Com amortecimento Redução ∆ %
A7
386 Uz (mm) 0,712 0,6812 4,326
Az (m/s²) 0,6214 0,5893 5,166
396 Uz (mm) 0,760 0,7560 0,526
Az (m/s²) 0,674 0,6731 0,134
A8
386 Uz (mm) 0,712 0,759 -6,601
Az (m/s²) 0,6214 0,4176 32,797
396 Uz (mm) 0,760 0,7452 1,947
Az (m/s²) 0,674 0,6688 0,772
A redução obtida nos deslocamentos usando α = 0,82 foi inferior a obtida com α
= 0.96. Como nas propostas anteriores, os amortecedores sintonizados no 4° levaram a
um acréscimo nos deslocamento.
7.2.3 Propostas para 3AMS
Considerou-se três amortecedores instalados nos Nós 386, 396 e 472, conforme
Figura 7.7. A razão de freqüência adotada foi α = 0,96 a razão de massa µ = 0.10 e a
razão de amortecimento ξ = 0,4%. Para os 3 AMS testou-se sintonizar na freqüência do
1° modo (Modelo A9) e também na freqüência do 4° modo (Modelo A10), as
propriedades dos amortecedores são apresentadas na Tabela 7.11.
Figura 7.7 – Laje 05 com os amortecedores localizados nos Nós 386 , 396 e 472
162
Tabela 7.11 – Propriedades dos amortecedores para os Modelos A5 e A6 .
Modelo N°. AMS
fest (Hz)
Mest (kg) µ ξ α ωest
(rad/s) ωAMS (rad/s)
kAMS (N/m)
mAMS (kg)
CAMS (N.s/m)
A9 3 2.56 45.034,7 0,10 0,004 0,96 16,08
15,44 447.396,47 1876,44 231,80
15,44 357.917,17 1501,15 185,44
15,44 268.437,88 1125,87 139,08
A10 3 9.35 45.034,7 0,10 0,004 0,96 16,08
56,40 7.957.462,1 2501,928 1128,79
56,40 6.365.968,9 2001,54 903,04
56,40 636.106,46 200 90,23
As respostas máximas estão indicadas na Tabela 7.12 baixo, percebe que as
reduções obtidas também não evoluíram consideravelmente quando comparadas as
reduções obtidas com somente um único amortecedor.
Tabela 7.12 – Respostas e reduções obtidas nos Modelos A5 e A6
Modelo Nó Sem amortecimento Com amortecimento Redução ∆ %
A9
386 Uz (mm) 0,712 0,678 4,775
Az (m/s²) 0,6214 0,585 5,858
396 Uz (mm) 0,760 0,755 0,632
Az (m/s²) 0,674 0,673 0,178
472 Uz (mm) 0,790 0,786 0,506
Az (m/s²) 0,669 0,668 0,149
A10
386 Uz (mm) 0,712 0,800 -12,360
Az (m/s²) 0,6214 0,507 18,297
396 Uz (mm) 0,760 0,744 2,105
Az (m/s²) 0,674 0,666 1,187
472 Uz (mm) 0,790 0,774 2,025
Az (m/s²) 0,669 0,661 1,136
Para o caso de 3 AMS, foram sintonizados agora os três amortecedores com α =
0,82, razão de massa µ = 0,10 em ambos os amortecedores e razão de amortecimento ξ
= 0,4%. No modelo A11 os dois amortecedores foram sintonizados para a freqüência do
primeiro modo, já no modelo A12 foram sintonizados para a freqüência do quarto
modo, conforme mostra a Tabela 7.13.
163
Tabela 7.13– Propriedades dos amortecedores para os Modelos A5 e A6 .
Modelo N°. AMS
fest (Hz)
Mest (kg) µ ξ α ωest
(rad/s) ωAMS (rad/s)
kAMS (N/m)
mAMS (kg)
CAMS (N.s/m)
A11 3 2,56 45.034,7 0,10 0,004 0,82 16,08
13,19 326.420,77 1876,45 197,99
13,19 261.136,62 1501,16 158,39
13,19 195.852,46 1125,87 118,79
A12 3 9,35 45.034,7 0,10 0,004 0,82 16,08
48,17 4.354.327,38 1876,446 723,13
48,17 3.483.461,90 1501,157 578,51
48,17 2.612.596,43 1125,868 433,88
As respostas máximas estão indicadas na Tabela 7.14 e nota-se que para três
amortecedores o melhor desempenho também ocorre quando estes são sintonizados na
freqüência do 1° modo.
Tabela 7.14 – Respostas e reduções obtidas nos Modelos A5 e A6
Modelo Nó Sem amortecimento Com amortecimento Redução ∆ %
A11
386 Uz (mm) 0,712 0,6856 3,708
Az (m/s²) 0,6214 0,5944 4,345
396 Uz (mm) 0,760 0,7559 0,539
Az (m/s²) 0,674 0,6730 0,148
472 Uz (mm) 0,790 0,7869 0,392
Az (m/s²) 0,669 0,6687 0,045
A12
386 Uz (mm) 0,712 0,7486 -4,691
Az (m/s²) 0,6214 0,4411 -7,354
396 Uz (mm) 0,760 0,7454 1,500
Az (m/s²) 0,674 0,6671 34,555
472 Uz (mm) 0,790 0,7762 1,747
Az (m/s²) 0,669 0,6622 1,016
Para as propostas com 3 AMS, a melhor redução obtida foi de Uz = 5,858% e
Az = 34,555%. Para 2 AMS, o melhor resultado foi de Uz = 7,580% e Az = 32,797% e
para 1 AMS o melhor resultado foi de Uz = 10,449% e Az = 29,578%.
164
Pelos resultados, ficou evidente que a redução nos deslocamentos teve melhor
desempenho quando o AMS foi sintonizado na freqüência do 1° modo. Os melhores
resultados obtidos na redução das acelerações foram aqueles em que α foi sintonizado
na freqüência do 4° modo, porém, nestes casos, havia aumento dos deslocamentos,
conseqüência esta não desejada para a estrutura. Assim, considera-se como melhor
solução a proposta de controle do Modelo A1, com somente um único amortecedor
sintonizado na freqüência do 1° modo.
Comparando os resultados das propostas de controle de Lima (2007) com deste
estudo final, é apresentada a Tabela 7.15 com os melhores resultados dos dois estudos.
Tabela 7.15 – Comparativo dos resultados da proposta de Lima (2007) com o
presente estudo
PROPOSTAS N° AMS Nó Uz (mm)
∆∆∆∆ (%) Az (m/s²)
∆∆∆∆ (%) Presente Estudo (Modelo A1) 01 386 10,449 12,955
Porposta de Lima (2007) 06 396 - 8,421 23,887
A tabela mostra que este trabalho obteve melhor redução nos deslocamentos,
comparando com o trabalho de Lima (2007), cuja proposta de controle aumentava os
deslocamentos e não os reduzia. Com relação às acelerações, a proposta de Lima (2007)
garantiu melhor desempenho, porém, essa melhora não representa compensação da
proposta uma vez que acarretaria aumento nos deslocamentos e, portanto, maior risco
estrutural.
Desta forma, verifica-se uma evolução no desempenho do AMS para este caso
prático de uma academia de ginástica estudado por Lima (2007), pois houve na recente
proposta, redução tanto nos deslocamentos quanto na aceleração. Como foi comentado
anteriormente, no estudo da laje da academia de ginástica Lima (2007) utilizou critérios
de otimização de parâmetros para AMS que não foram deduzidos especificamente para
lajes, desta forma, o uso dos parâmetros obtidos no presente trabalho permitiram uma
melhora dos resultados, uma vez que este estudo paramétrico foi direcionado
exclusivamente a lajes de concreto para edifícios.
165
8 CONCLUSÕES E SUGESTÕES
8.1 CONCLUSÕES
No presente trabalho foi realizado um estudo paramétrico de Amortecedores de
Massa Sintonizados - AMS instalados em lajes de concreto tipo convencionais,
utilizando a ferramenta computacional baseada no método dos elementos finitos
ANSYS 10.0. A proposta foi analisar modelos de lajes com configurações de apoio
diferenciadas e a partir da análise modal destes modelos, verificar se as lajes
apresentavam freqüências naturais baixas com valores próximos aos das freqüências da
atividade humana de pular e dançar.
Quatro modelos de laje foram adotados para realização do estudo paramétrico
em que foram aplicados carregamentos harmônicos e carregamentos humanos. Para os
quatro modelos iniciais, percebeu-se que a melhor posição para o AMS é próximo ao
ponto de maior deslocamento Uz, para os dois casos de carregamento, mesmo usando
mais de um amortecedor ou mesmo quando os pontos de maior deslocamento modal
fossem em bordos livres.
A variação da razão de massa µ do AMS depende da análise estática da laje, de
forma a não gerar flechas excessivas, pois quanto maior este parâmetro, melhor é o
desempenho do amortecedor. Já o valor da taxa de amortecimento ξ, percebeu-se que
quanto menor for o valor deste parâmetro, melhor o desempenho.
Foi observado no estudo paramétrico que as reduções dos deslocamentos
utilizando o AMS para a laje submetida ao carregamento harmônico foram maiores (70
a 80% de redução) que as obtidas com o AMS para o carregamento humano (40 a 50%
de redução) e que essa diferença pode ser atribuída ao tipo de carregamento aplicado.
O parâmetro que sofreu maior variação entre os quatro modelos de laje foi a
razão de freqüência α, não somente devido ao modelo de laje e suas configurações de
apoio, mas também, pelo tipo de carregamento aplicado. Para o modelo de Laje 01, os
valores mais indicados de α ficaram entre 0,90 e 1,00, tanto para o carregamento
harmônico como para o carregamento humano. Para a Laje 02 o α mais indicado
oscilava entre 1,00 e 1,10 para os dois tipos de carregamento. Na Laje 03 esse intervalo
166
foi entre 1,15 e 1,25 e na Laje 04, o comportamento da razão de freqüência foi
semelhante ao da Laje 01 por terem configurações de apoio semelhantes.
Feito esse estudo paramétrico, a outra parte do trabalho foi verificar a alteração
do desempenho do AMS quando vigas e pilares fossem incorporados na estrutura. As
reduções nos deslocamentos neste modelo de laje foram menores que as obtidas nos
quatro modelos anteriores. Os valores mais indicados para a razão de freqüência do
amortecedor foram diferentes dos obtidos para a laje sem vigas e pilares, mesmo que
para o mesmo carregamento, demonstrando que a incorporação das vigas e pilares
alterou o desempenho dos amortecedores. Para a Laje 01, com 12x6m e sem vigas e
pilares, a redução nos deslocamentos obtida para o carregamento humano foi da ordem
de 45 %, enquanto que na Laje 05, com 12x6m, com vigas e pilares, a redução nos
deslocamentos obtida para o carregamento humano foi da ordem de 12%.
Ainda sobre o estudo do modelo de laje com vigas e pilares, foi realizado breve
estudo paramétrico para verificar o comportamento da razão de freqüência α, razão de
massa µ e taxa de amortecimento ξ, e novamente, o parâmetro que apresentou maior
diferença com relação aos estudos dos quatro modelos iniciais foi a razão de freqüência.
Se para a Laje 01, sem vigas e pilares, o α mais indicado foi 0,98, para a Laje 05, com
vigas e pilares, o valor de α com melhor desempenho foi 0,82.
A partir do estudo paramétrico tentou-se obter melhoria no controle estrutural do
modelo numérico da laje de uma academia de ginástica estudado por Lima (2007).
Neste referido estudo que buscou como proposta de controle o uso do AMS, os
amortecedores foram sintonizados a partir dos critérios de otimização de Den Hartog e
Jangid. Foi obtido como melhor resultado uma proposta com 6 amortecedores
instalados e uma redução nas acelerações de 23,887%, porém, os deslocamentos
medidos neste mesmo nó tiveram aumento de 8,421%.
Utilizando o mesmo modelo numérico de laje e o mesmo carregamento aplicado
por Lima (2007), utilizaram-se os parâmetros obtidos neste estudo para sintonizar os
AMS. Propostas com um, dois e três AMS foram realizadas na tentativa de se obter
melhores resultados na resposta dinâmica. A melhor alternativa obtida foi para o
Modelo A1 com 10,449% de redução do deslocamento e 12,995% de redução na
aceleração.
167
Percebe-se melhoria no desempenho do AMS comparando-se com os resultados
de Lima (2007). O uso dos parâmetros obtidos neste estudo permitiu redução nos
deslocamentos da laje enquanto que no outro, houve aumento dos deslocamentos. A
redução nas acelerações não foram maiores que as obtidas por Lima (2007), porém,
entende-se que o aumento dos deslocamentos representa risco estrutural. É importante
destacar também que no presente estudo, a melhor proposta foi para somente um único
amortecedor atuando na direção vertical enquanto que no outro, foram utilizados 6
amortecedores atuando na direção vertical e horizontal.
Entende-se que o presente estudo mostrou que os parâmetros que influenciam no
desempenho dos amortecedores, para o caso específico de lajes de edifícios, são
bastante sensíveis ao tipo de carregamento aplicado. A razão de freqüência α foi o
parâmetro que mais sofreu variação com relação ao tipo de carregamento e modelo de
laje. A posição do AMS também foi um fator determinante para o bom desempenho dos
amortecedores. Os parâmetros obtidos neste estudo permitiram direcionar uma proposta
de controle para um caso prático estudado anteriormente e com melhoria na redução das
vibrações.
O estudo paramétrico realizado mostrou também a necessidade de um maior
refinamento com relação ao caso de lajes em que existe interação com vigas e pilares.
Percebeu-se também a necessidade de maior estudo dos parâmetros com relação à
redução das acelerações, pois como estudo inicial, houve maior ênfase na redução dos
deslocamentos. O estudo mais detalhado das acelerações e a aplicação em outros casos
práticos possibilitaria a melhoria do desempenho e dos parâmetros obtidos para AMS
instalados em laje de edifícios.
8.2 SUGESTÕES
São apresentadas algumas sugestões para continuação deste estudo:
• Realização de estudo mais refinado de modelos de lajes com interação de vigas e
pilares e a influência no desempenho do AMS.
• Realização de novas simulações em outros modelos de laje para verificar a
variação das acelerações com o uso do AMS.
168
• Realização de programas experimentais para verificação do comportamento dos
amortecedores, em lajes isoladas construídas em laboratório.
• Realização de programas experimentais, medindo a resposta dinâmica em
estruturas reais, realizando ainda a instalação de AMS nestas estruturas, afim de
realizar um estudo real.
• Utilização de métodos de otimização numéricos para encontrar o conjunto de
parâmetros ótimos para o desempenho de AMS em lajes de edifícios.
169
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