análise numérica - integração numérica 1 integração numérica fórmulas de quadratura
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Análise Numérica - Integração numérica1
Integração numérica
Fórmulas de quadratura
Análise Numérica - Integração numérica2
Integração Numérica
xRxPxf nn )( b
a nba n
ba
dxxRdxxPdxxfI )(
- +f(x)
Pn(x)
Quadratura
Operação estável
Quadratura erro
a x0 b x2x1
Análise Numérica - Integração numérica3
Tipos de métodos
Métodos de Newton-CotesPontos equidistantes
Fórmulas fechadas
Fórmulas abertas
xi = x0 + i h i=0,…,n
nabhbxax n
e,0a b
2
n
abh xi i=1,...,n+1
a b
Análise Numérica - Integração numérica4
Tipos de métodos
Métodos de Gauss Pontos escolhidos de modo a que
ba n dxxPI )(12
a bx0 x1
dxxPba n
Análise Numérica - Integração numérica5
Fórmula de Quadratura
Fórmula de Lagrange
n
kkkn xfxxP
0)()(
nkxxxx
n
kii ik
ik x
,,00
n
n
kkk Exfw
0
ba nk
n
kk Edxxxf
0
ba n
ba
n
kkk
ba
dxxRdxxfxdxxf0
)()(
I ≅ Soma pesada de f(xk) k=0,…,n
Análise Numérica - Integração numérica6
Métodos de Newton-Cotes: Regra dos trapézios
Se a≡x0, b≡x1 e h=x1-x0
a b
bfb,afa,xP
xRxPxf,por passa
)(
1
11
2
)( 1
afbfabdxxPdxxfIb
a
b
a
Área do trapézio
1010 2
xfxfhdxxfxx
Análise Numérica - Integração numérica7
Regra dos trapéziosQual o erro que cometemos?
1
0
1
0101 !2
)(x
x
x
xT dxxxxxxfdxxRE
xRxPxf 11)(
< 0 ∀ x∈[x0, x1]
Teorema da média do cálculo integral
Se fC2(a, b)
fhET 12
3
10 x,x
x1 = x0+h
Análise Numérica - Integração numérica8
Exemplo:Use a regra dos trapézios para determinar
20
sin
dxx =1
220 10
hx,x ,
102xfxfhhT 2
3
12MhET
33.01
12
32
TE
....sinsinT 78539801042
042
8.0sin20
dxx
Como f (x)=cos x; f (x)=-sen x,
M2=1 < 0.5 e 0 c.d..
Análise Numérica - Integração numérica9
Fórmulas Compostas Regra dos Trapézios (composta)
∴ n+1 pontos (n=m)
mm
xx
xx
xx
ba dxxfdxxfdxxfdxxfI
121
10
)()()()( nabhihxxi
0
x0 x1 x2 xn-1 xn
f(x)
...h h h
)()(2
)( 11
iix
xxfxfhdxxfi
i
Pesos (h/2) (1 2 2 2 1)
m subintervalos iguais
Análise Numérica - Integração numérica10
Regra dos Trapézios (composta) Para i=1,…,n
iii
iii
xx
xxhfxfxfhdxxfi
i
, 122)(
1
31
1
e se fC2(xi-1, xi)
hExfxfxfhdxxf T
n
knk
xbxa
n
1
10 22)(
0
T(h) ou Tn
Análise Numérica - Integração numérica11
Erro da Regra dos Trapézios Se fC2(xi-1, xi) i=1,...,n.
Se fC2(a, b)
n
iiT fhhE
1
3
12 xi pontos de
descontinuidade
ban
ff
n
ii
,1
nabh
fabh )(122
fnabhET 2
3
12)(
Análise Numérica - Integração numérica12
Qual o melhor valor para n?
cometido = método + arredondamento
n
método
arredondamento
cometido
n*
Análise Numérica - Integração numérica13
Regra dos trapézios - Exercício Calcular o integral anterior com 3 pontos (m=n=2)
20
sin
dxx
erro=|ET|+cal+dados
081.0
41212
32
22
3
M
nabET
2,1,0 e 42
02
ihixn
abh i
........
sinsinsinT
948059010710678120208
2420
84
< 0.5 0 c.d. quase 1
9.0sin20
dxx
Análise Numérica - Integração numérica14
Estimativa do erro Fórmulas adaptativas Regra dos trapézios
212
)( hhfabhET
constante) ( 2 KhK
hfhf ~ se
)41(2)(202
hKhThT
2
22
hKhTI
2)( KhhTI -( )3
)(222
2 hThThKhET
Análise Numérica - Integração numérica15
Regra dos trapézios - Exercício Calcular o erro do integral anterior com 3 pontos (m=2)
Pode não ser um limite superior do erro (neste caso é) Está mais próximo da realidade
1sin20
dxx
0810.ET
....T 94805904
324
4
TTET
....T 78539802
05503
785398094805904
.........ET
Análise Numérica - Integração numérica16
Regra de Simpson (usa P2(x))
, x0≡a e x2≡b
Se fC4(a, b)
xi = x0+ih i=0,1,2
2abh
210 43
2
0xfxfxfhdxxf
x
x
bafhES ,90
45
Regra de Simpson é exacta quando
f(x)P3(x)área + = área -
+-P3(x)
P2(x)
a x0 b x2x1
2
0210!3
x
xS dxxxxxxxxfE
Análise Numérica - Integração numérica17
Exemplo:Use a regra de Simpson para determinar
20
sin
dxx =1
45
90MhES
200.1sin20
dxx
Como f(3) (x)=-cos x; f(4)(x)= sin x, M4=1 < 0.5 10-2
2,1,0 e 42
02
ihixn
abh i
210 43
xfxfxfhhS
0034.01
90
54
SE 2 c.d.c.
.....
sinsinsinS
00227987711707106781204012
2440
124
Análise Numérica - Integração numérica18
Fórmulas Compostas Regra de Simpson (composta)
∴ n+1 pontos (n = 2m) nabhihxxi
0
x0 x2 x4 x2m-2 x2m
f(x)
...h h h
)()(4)(3
)( 212222
22iii
x
xxfxfxfhdxxfi
i
Pesos (h/3) (1 4 2 4 2 ... 2 4 1)
m subintervalos iguais
mm
xx
xx
xx
ba dxxfdxxfdxxfdxxfI 2
2242
20
)()()()(
x1 x3 x2m-1
Análise Numérica - Integração numérica19
Regra de Simpson (composta) Para i=1,…,m e se fC4(x2i-2, x2i)
S(h) ou Sn
ii
iiii
xx
xxhfxfxfxfhdxxfi
i
222i
54
21222
, 9043)(2
22
hExfxfbfafhdxxf S
m
k
m
kkk
xbxa
n
1
1
1212 24)()(3)(
0
n=2m
Análise Numérica - Integração numérica20
bam
ff
m
ii
,)(
)(
1
4
4
Se fC4(x2i-1, x2i) i=1,...,n.
Se fC4(a, b)
m
iiS fhhE
1
)4(5
90
Erro da Regra de Simpson
xi pontos de descontinuidade
mnn
abh2
)4(4
)(180 fabh )4(4
5
180)( f
nabhES
Análise Numérica - Integração numérica21
Regra de Simpson - Exercício Calcular o integral anterior com 5 pontos (m=2, n=4)
34
52
44
51021.0
4180180
M
nabET
4,,1,0 e 84
02
ihixn
abh i
000134585.124
2sin
83sin4
4sin2
8sin40sin
248
19238795325.047071067812.02...382683424.040
S
< 0.510-3
3 c.d.c
20
sin
dxx
1000.1sin20
dxx
Análise Numérica - Integração numérica22
4)4(180
)( hhfabhES
Estimativa do erro Fórmulas adaptativas Regra de Simpson
constante) ( 4 KhK
hfhf ~ se )4()4(
)21(2)(20 44
hKhShS
4
22
hKhSI
4)( KhhSI -( )15
)(222
4 hShShKhES
Análise Numérica - Integração numérica23
Regra de Simpson- Exercício Calcular o erro do integral anterior com 5 pontos (m=2)
Pode não ser um limite superior do erro (neste caso é) Está mais próximo da realidade
310210 .ES
0001345818
.S
15
)4
(8
8
SSES
00227987714
.S
31015015
00227987710001345818
...ES
20
sin
dxx
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