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ANALISI DINAMICA CON IL MEF
Principali tipi di analisi
• analisi modale
li i d ll i t i• analisi della risposta armonica
• analisi di transitorio dinamico• analisi di transitorio dinamico
AccelerazioneESTENSIONE SISTEMA RISOLVENTE IN CAMPO DINAMICO/1
i kAccelerazione
Contributo inerzia
{ }v&&ρ{ } { }eTe LLPUL δ
j{ } { } si
eeest LLPUL ++= δ
C ibyv&&ρ
xy
{ } { }T dVdL &&δ
Contributo smorzamentoxv&&ρ
{ } { }{ } { } { } [ ] [ ]{ }∫∫ =−=−=
−=eTTeT
i
i
dVUNNUdVvvL
dVvvdL&&&& ρδρδ
ρδ
{ } { } { } [ ] [ ]{ }
{ } [ ] [ ] { }∫
∫∫
−= eTTe
VVi
UdVNNU &&ρδ
ρρ
{ } [ ] [ ] { }∫V
UdVNNU ρδ
SmorzamentoESTENSIONE SISTEMA RISOLVENTE IN CAMPO DINAMICO/2
i kSmorzamento
Contributo inerzia
{ }vc &{ } { }eTe LLPUL ++δ
j{ } { } si
eeest LLPUL ++= δ
C ibyvc &
xy
{ } { }T dVdL &δ
Contributo smorzamentoxvc &
{ } { }{ } { } { } [ ] [ ]{ }∫∫ =−=−=
−=eTTeT
s
Ts
dVUNNUdVvvL
dVvcvdL&&
&
ρδρδ
δ
{ } { } { } [ ] [ ]{ }
{ } [ ] [ ] { }∫
∫∫
−= eTTe
VVs
UdVNNU &ρδ
ρρ
{ } [ ] [ ] { }∫=V
UdVNNU ρδ
ESTENSIONE SISTEMA RISOLVENTE IN CAMPO DINAMICO/3
{ } { } [ ] [ ] { } [ ] [ ] { }e
V
Te
V
TeTe UdVNNUdVNcNPU ∫∫ =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−− ρδ &&&
{ } [ ] [ ][ ] { }e
V
TTe
VV
UdVBDBU ∫=
⎠⎝
δV
[ ]{ } [ ] { } [ ] { } { }eeeeeee PUKUCUM =++ &&&
∫
[ ]{ } [ ] { } [ ] { } { }PUKUCUM =++
[ ] [ ]dVNcNV
T∫[ ] [ ]dVNNV
T∫ ρ
[ ]{ } [ ] { } [ ] { } { }FUKUCUM =++ &&&[ ]{ } [ ] { } [ ] { } { }
ESTENSIONE SISTEMA RISOLVENTE IN CAMPO DINAMICO/4
Equazione di equilibrio dinamico
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }tFUKUCUM ++ &&&[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }tFUKUCUM =++
Spostamenti nodaliAccelerazioni nodali
Velocità nodali
Spostamenti nodaliAccelerazioni nodali
Matrice di rigidezza
F tM t i di t
Matrice di massa
Forze esterneMatrice di smorzamento
FORMULAZIONE DELLA MATRICE DI MASSA/1
Matrice di massa “consistent”: [ ] [ ] [ ]∫= dVNNM Te ρ
⎥⎤
⎢⎡
NN11
00Elemento
triangolare
• simmetrica• sostanzialmente piena
[ ] [ ] =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎢⎢⎢⎢⎢
=∫∫ dVNNN
NNNN
NN
dVNN T
151311
151311
13
13
11
000000
00
0
ρρ
gpiano
⎤⎡
⎦⎣
⎥⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢⎢
⎣
∫∫∫N
N151311
15
15
13
00
⎥⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎢⎡
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫
dVNNdVNdVNN
dVNNdVNNdVN
dVNNdVNNdVN
215111311
211
151113112
11
000
000
000
⎥⎥⎥⎥⎥
⎢⎢⎢⎢⎢=
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫
dVNdVNNdVNN
dVNNdVNdVNN
dVNNdVNdVNN
21515131511
15132
131311
1513131311
000
000
000ρ
⎥⎥⎦⎢
⎢⎣ ∫∫∫
∫∫∫dVNdVNNdVNN 2
1515131511
1515131511
000
FORMULAZIONE DELLA MATRICE DI MASSA/2
Matrice di massa “lumped”: la massa viene concentrata nei nodi in qualche modo fisicamente accettabile (di solito ovvio per gli elementi con nodi nei vertici, meno ovvio per quelli con nodi intermedi), in modo che risulti:
m/3∫∑ = dVM
jj ρ
m/4
m/4
m/3 /4
• la struttura della matrice di
m/3m/4
m/4⎤⎡X 00000• la struttura della matrice di
massa è diagonale[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎡
=X
XX
M000000000000000
⎥⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢⎢
⎣ XX00000
00000
FORMULAZIONE DELLA MATRICE DI MASSA/3
5
10
01 2 3 4 5 6 7 8 9
cent
uale
-10
-5
Erro
re p
erc
ConsistentLumped
20
-15
Trave appoggiata, 10 elementi
• La formulazione “consistente” produce errori minori in valore assoluto• Le matrici “consistente” e “lumped” tendono a produrre rispettivamente
-20
Modo proprio
Trave appoggiata, 10 elementi
• Le matrici consistente e lumped tendono a produrre rispettivamente una sovrastima ed una sottostima delle pulsazioni proprie• La struttura diagonale può risultare molto vantaggiosa in alcune soluzioni iterative (es. analisi di transitorio) in quanto non richiede inversioneiterative (es. analisi di transitorio) in quanto non richiede inversione
ANALISI MODALE/2Si propone di determinare le pulsazioni proprie di una struttura e le relative
Analizza le oscillazioni libere della struttura, in assenza dei carichi esterni
Si propone di determinare le pulsazioni proprie di una struttura e le relative forme modali.
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }tFUKUCUM ++ &&&
Effetto dello smorzamento solitamente molto piccolo
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }tFUKUCUM =++
[ ]{ } [ ]{ } 0+ UKUM &&[ ]{ } [ ]{ } 0=+ UKUMc k
k ξωωω 1 2
m
nsn
hiP
m
ξ
ξωωω −==
9950%)10(10
1
xnshasiPer ωωξ ⋅== 995.0%)10(1.0
ANALISI MODALE/3S O /3
Calcolo delle pulsazioni proprie
[ ]{ } [ ]{ } 0=+ UKUM &&
{ } { } ( )tU ⋅= ωφ sin
{ } { } ( ){ } { } ( )
tU ⋅= ωφω cos2&&
&
{ } { } ( )tU ⋅−= ωφω sin2&&
[ ]{ } ( ) [ ]{ } ( ) 0sinsin2 =⋅+⋅− tKtM ωφωφω
ANALISI MODALE/4S O /
Calcolo delle pulsazioni proprie
[ ]{ } ( ) [ ]{ } ( ) 0sinsin2 =⋅+⋅− tKtM ωφωφω
[ ] [ ]( ){ } 02 =− φω MK
Sistema lineare omogeneo nelle incognite { }φ
[ ] [ ]( ) { }⎩⎨⎧
∞=≠
−solu ioni
soluzioneMK
0010
det 2 φω( )
⎩ ∞= soluzioni0
ANALISI MODALE/5S O /5
[ ] [ ]( ){ } 02 =− φω MK[ ] [ ]( ){ } 0φω MK
[ ] [ ]( ) 0det 2 =− MK ω[ ] [ ]( ) 0det MK ω
( ) ( ) ( ) 0222122 =+⋅++⋅+⋅+−− nnn aaaa ωωωω( ) ( ) ( ) 0... 121 =+⋅++⋅+⋅+ − nn aaaa ωωωω
R di iRadici
ni ωωωωω ≤≤≤≤≤ ......321 ni321
{ } { } { } { } { }ni φφφφφ ......321 Forme modali{ } { } { } { } { }ni φφφφφ 321
ANALISI MODALE/6S O /6
[ ] [ ]( ){ } 02 =− φω MK i[ ] [ ]( ){ }φωi
1 i i i di d ti n incogniten-1 equazioni indipendenti g
1∞ soluzioni
⎪⎫
⎪⎧ iϕ 1
Le componenti della forma modale sono note a meno di una costante
Rappresentano solo la forma della deformata
{ } ⎪⎪⎪
⎬⎪⎪⎪
⎨=iϕ
φ2
Rappresentano solo la forma della deformata, non i valori effettivi degli spostamenti
⎧ =1max ijϕ{ }
⎪⎪⎪⎬
⎪⎪⎪⎨=iφ
Normalizzazioni tipiche
{ } [ ]{ }⎪
⎪⎨
⎧ 1max
T
ijϕ
⎪⎪⎭⎪
⎪⎩ inϕ { } [ ]{ }⎪
⎩ =1iT
i M φφ
ANALISI MODALE/7S O /
Struttura reale(continuo)
Modello ad EF(di ti t )(continuo) (discretizzato)
∞ l i i i∞ pulsazioni proprie n gradi di libertà
l i i in pulsazioni proprie
Relazione ?
ANALISI MODALE/8S O /8Tipico andamento spaziale delle Forme modali
Trave appoggiata 10 elementiTrave appoggiata, 10 elementi
1° modo2° modo5° modo9° modoodo
1 solo elemento: rappresentazione poco pp paccurata del campo di velocità ed
accelerazione
ANALISI MODALE/9S O /9Trave appoggiata, 10 elementi
8 00E+00
9.00E+00
6.00E+00
7.00E+00
8.00E+00
e
Modi calcolati in modo accurato ≈ n° g.d.l./2
3.00E+00
4.00E+00
5.00E+00
Erro
re p
erce
ntua
le
0.00E+00
1.00E+00
2.00E+00
E
-1.00E+001 2 3 4 5 6 7 8 9
Modo proprio
SIMMETRIA STRUTTURALE/1Se si usano considerazioni di simmetria per ridurre le dimensioni di un modello siSe si usano considerazioni di simmetria per ridurre le dimensioni di un modello,si otterranno solo i modi propri le cui forme modali rispettano la stessa simmetria.
SIMMETRIA STRUTTURALE/2Se si utilizza l’assialsimmetria si ottengono solo i modi con formaSe si utilizza l assialsimmetria, si ottengono solo i modi con forma
assialsimmetrica
Modello conModello conelementi piani
assialsimmetrici
φ=0.5 m
1° modo proprioDeformata assiale
f = 260 Hz
m
φs=0.01 m
5 m
SIMMETRIA STRUTTURALE/3Se si utilizza l’assialsimmetria si ottengono solo i modi con formaSe si utilizza l assialsimmetria, si ottengono solo i modi con forma
assialsimmetrica
Modello conelementi trave
φ=0.5 m
1° modo proprioDeformata flessionale
f = 20 Hz
elementi trave
m
φs=0.01 m
5 m
UNITÀ DI MISURA/1È preferibile usare il sistema m k sÈ preferibile usare il sistema m.k.s
mkgN ⋅=
mk
=ωmsm ⋅
= 2
kgsskgmsmkg 111
22 ==⋅⋅⋅
m kgsskgms ⋅
mkgN ⋅= 2
mk
=ωmmsmm ⋅2
kg3
22 10110001sskgmms
mkg==⋅
⋅⋅
g
ANALISI RIDOTTA/1
Nell’analisi ridotta, lo stato di spostamento, velocità ed accelerazione della struttura viene espresso in termini di un sottoinsieme dei nodi (Nodi “Master”). Gli spostamenti dei nodi rimanenti (Nodi “Slave”) sono quindi calcolati a partireGli spostamenti dei nodi rimanenti (Nodi Slave ) sono quindi calcolati a partire da quelli dei nodi Master.L’analisi ridotta può essere applicata anche in capo statico, per ridurre l’onere computazionale dell’analisi.p
{ } { }{ }⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
= M
UU
U { } { }{ }⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
= M
FF
Fg.d.l. “Master”
g.d.l. “Slave”{ }⎭⎩ SU { }⎭⎩ SF
[ ]{ } { }FUK =[ ]{ } { }FUK =
[ ] [ ] { } { }⎫⎧⎫⎧⎤⎡ FUKK[ ] [ ][ ] [ ]
{ }{ }
{ }{ }⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
S
M
S
M
SSSM
MSMM
FF
UU
KKKK
ANALISI RIDOTTA/2
[ ]{ } [ ]{ } { }[ ]{ } [ ]{ } { }⎩
⎨⎧
=+=+
SSSSMSM
MSMSMMM
FUKUKFUKUK
[ ]{ } [ ]{ } { }⎩ SSSSMSM
{ } [ ] { } [ ]{ }( )SSSSS UKFKU −= −1{ } [ ] { } [ ]{ }( )MSMSSSS UKFKU =
[ ]{ } [ ][ ] { } [ ]{ }( ) { }[ ]{ } [ ][ ] { } [ ]{ }( ) { }MMSMSSSMSMMM FUKFKKUK =−+ −1
[ ] [ ][ ] [ ]( ){ } { } [ ][ ] { }SSSMSMMSMSSMSMM FKKFUKKKK 11 −− −=−
[ ]{ } { }FUK Mˆˆ = { } [ ] { }FKUM
ˆˆ 1−=
ANALISI RIDOTTA/3
Introducendo la suddivisione tra “Master” e “Slave” nell’equazione di equilibrio dinamico si ottiene:
[ ] [ ][ ] [ ]
{ }{ }
[ ] [ ][ ] [ ]
{ }{ } +
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ M
SSSM
MSMMM
SSSM
MSMM
UU
CCCC
UU
MMMM
&
&
&&
&&
[ ] [ ] { } [ ] [ ] { }[ ] [ ][ ] [ ]
{ }{ }
{ }{ }⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
⎭⎩⎦⎣⎭⎩⎦⎣
MMMSMM
SSSSMSSSSM
FF
UU
KKKK
UCCUMM
[ ] [ ] { } { }⎭⎩⎭⎩⎥⎦
⎢⎣ SSSSSM FUKK
La riduzione delle matrici di massa e smorzamento ai soli g.d.l. “Master” gnon può essere fatta in modo esatto, come per la matrice di rigidezza.Si usa pertanto una formula di riduzione semplificata ed approssimata proposta da Guyan (”Guyan reduction”)y ( y )
ANALISI RIDOTTA/4
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }FUKUCUM MMMˆˆˆˆ =++ &&&
Si ottiene in tal modo:
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }MMM
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ] [ ]SMSSSSSSMS
SMSSMSSMSSMSMM
KKMKK
KKMMKKMM11
11ˆ−−
−−
+
+−−=
[ ][ ] [ ][ ] [ ]SMSSSSSSMS KKMKK+
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]SMSSMSSMSSMSMM KKCCKKCC 11ˆ −− +−−=[ ][ ][ ] [ ][ ] [ ]SMSSSSSSMS KKCKK 11 −−+
ANALISI RIDOTTA/5
Criteri di selezione dei g.d.l. “Master” (MDOF):
• i MDOF devono essere in numero almeno doppio dei modi da estrarre
• scegliere i MDOF nelle direzioni in cui si vuole analizzare le vibrazioni della struttura
• scegliere i MDOF in punti della struttura caratterizzati da bassa rigidezza / l te/o elevata massa
• scelta automatica: si basa sul rapporto: iii m
kQ =iim
Verifica qualità analisi:Verifica qualità analisi: • la massa ridotta deve differire da quella totale per non più del 10-15%• studio di convergenza al variare del numero di MDOF
ANALISI RIDOTTA/6
Principali algoritmi di estrazione di autovalori ed autovettori (ANSYS) :
Algoritmo N° modi N° g.d.l. modello
Velocità RAM Hard disk
Note
Block Elevato Elevato Elevata Media Bassa Shell o shell+solid.Lanczos Elementi distorti
Subspace Basso Elevato Media Bassa Elevata Elementi non iteration distorti
Power Dynamics
Basso Elevato Elevata Elevata Bassa Richiede mesh finiDynamics
Reduced Tutti Medio- Elevata Bassa Bassa Usa MDOF(Householder)
piccolo
ANALISI RIDOTTA/7
Potenziali applicazioni dell’analisi ridotta:
• riduzione degli oneri computazionali dell’analisi
• riduzione del numero di g.d.l. attivi nell’analisi modale, rispetto a quella statica, pur utilizzando un unico modello
• in modelli semplici, separazione dell’effetto dei diversi g.d.l. nodali (es. in una trave si possono analizzare separatamente i modi flessionali,
t i li t )estensionali, etc.)
COMANDI ANSYS/1ANALISI NON RIDOTTA
/SOLUANTYPE, MODAL Definisce il tipo di analisi richiesta
MODOPT, Method, NMODE, FREQB, FREQE, ,Nrmkey
- LANB Block-Lanczos (Default)- SUBSP Subspace Frequenza iniziale ep- …..
Frequenza iniziale e finale per la ricerca dei modi
N° modi da estrarre(per SUBSP, al massimo n° g.d.l./2)
• OFF: forme modali normalizzate su [M]
• ON: forme modali normalizzate al valore 1
Per Power Dynamics:•MODOPT SUBSP•MODOPT,SUBSP•EQSLV,PCG
COMANDI ANSYS/2ANALISI RIDOTTA
LUMPM, OPZ Attiva la matrice di massa “Lumped”
OFF: matrice “consistent” (default)ON: matrice “lumped” (deafult per “Power Dynamics”)
/POST1SET LIST Gli “ ” di i hi ti i “ ” b t d lSET,LIST Gli “n” modi richiesti compaiono come “n” substep del
Load step 1
SET 1 n Carica il modo “n”SET,1,n Carica il modo n
PLDISP, PRDISP Rappresentano la deformata
COMANDI ANSYS/3ANALISI RIDOTTA
/SOLUANTYPE, MODAL Definisce il tipo di analisi richiesta
MODOPT, REDUC, NMODE, FREQB, FREQE, ,Nrmkey
M, Node, Lab1, …
SOLVENodo in cui mettere il MDOFSOLVE
g.d.l. da usare come MDOF:-UX, UY, UZ-ROTX, ROTY, ROTZ-ALL
COMANDI ANSYS/4ANALISI RIDOTTA
FINISH Esce dalla soluzione/SOLU Rientra nella soluzione per il passo di “espansione”EXPASS ON Atti il di iEXPASS,ON Attiva il passo di espansione
MXPAND, NMODE, FREQB, FREQE, Elcalc, SIGNIF
N° di modi da estrarre(al massimo, tutti quelli indicati in MODOPT)
F i i i l
SOLVE
Frequenza iniziale e finale per la ricerca dei modi
OFF: non calcola i risultati completi per gli elementi (default)ON: calcola i risultati completi per gli elementi
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA
SCOPO: Valutare la risposta del sistema in presenza di una forzante esterna di tipo sinusoidale ed ampiezza costante nel tempo.
F0(t)=A0 cos(Ωt)
F1(t)=A1 cos(Ωt+Φ)
Su di una struttura, la “forzante” è in generale costituita da una o più forze esterne, aventi tutte la stessa pulsazione, ma ampiezza e fase distinte.
Se si applica la forzante a partire dall’istante t=0 con la struttura inizialmente
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA
Se si applica la forzante a partire dall istante t=0, con la struttura inizialmente a riposo, la risposta mostra un transitorio iniziale, che si esaurisce dopo un certo tempo, dopodiché la struttura oscilla con ampiezza costante.
10
20
N]
Forza applicata
F(t)=F0 cos(Ωt)
0 5 10 15 20 25 30
10
Fors
a [N
( ) 0 ( )
δ20
0.06
Oscillazione di un sistema con partenza
δ
0.02
0.04
stam
ento
[m]
Oscillazione di un sistema con partenzaa riposo a t=0
0 5 10 15 20 25 30
0.04
0.02
Spos
Tempo [s]Transitorio Analisi risposta armonica
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA
Ipotesi: comportamento lineare della struttura ([M], [C] e [K] costanti)
I vari g d l della struttura vibrano con una legge del moto avente:I vari g.d.l. della struttura vibrano con una legge del moto avente:• andamento nel tempo di tipo sinusoidale• pulsazione uguale a quella della forzante• ampiezza e fase variabili da punto a punto
10
N)x1
x3
• ampiezza e fase variabili da punto a punto
0 2 4 6 8 10 12
10
Forz
a (k
N1
x2 10
tempo (s)10x1x2
mm
)
2
0 2 4 6 8 10 12
x3Sp
osta
men
to (m
10
tempo (s)
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { })(tFUKUCUM =++ &&&
( )( )⎪
⎪⎫
⎪⎪⎧
+Ω⋅+Ω⋅
tftf
ψψ
coscos
2max2
1max1
⎪⎪⎫
⎪⎪⎧
⋅⋅⋅⋅
Ω
Ω
tii
tii
eefeef
ψ
ψ
max2
max12
1
{ }⎪
⎪⎪⎪
⎬⎪
⎪⎪⎪
⎨ −−
=tF )(⎪
⎪⎪⎪
⎬⎪
⎪⎪⎪
⎨ −−
=
f max2
{ } tii eef Ω⋅= ψmax
( )
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
−+Ω⋅ jj tf ψcosmax
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
−⋅⋅ Ωtii
j eef jψmax
{ }fmax
⎪⎭
⎪⎩ − ⎪
⎭⎪⎩ −
{ } { } ( ){ } titii eifeeftF ΩΩ ⋅+=⋅= )sin()cos()( maxmax ψψψ
{ }ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA
{ } { } tiiiU ΩΩ ϕ)(&
{ } { } ( ){ } titii eiueeutU ΩΩ ⋅+=⋅= )sin()cos()( maxmax ϕϕϕ
{ } { } tii eeftF Ω⋅= ψmax)(
{ } { } tii eeuitU Ω⋅Ω= ϕmax)(
{ } { } tii eeutU Ω⋅Ω−= ϕ2)(&&{ } { }eeutU Ω max)(
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { })(tFUKUCUM =++ &&&
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } tiitiitiitii eefeeuKeeuCieeuM ΩΩΩΩ =+Ω+Ω− ψϕϕϕmaxmaxmaxmax
2
[ ] [ ]( ) [ ]( ){ } { }ψϕ ii efeuCiMK maxmax2 =Ω+Ω−[ ] [ ]( ) [ ]( ){ } { }fC maxmax
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MD
Principali tecniche di soluzione:• Metodo diretto
M t d di i i d l• Metodo di sovrapposizione modale
Soluzione: metodo diretto (MD)
[ ] [ ]( ) [ ]( ){ } { }ψϕ ii efeuCiMK maxmax2 =Ω+Ω−[ ] [ ]( ) [ ]( ){ } { }fmaxmax
[ ]{ } { }ψϕ iic efeuK maxmax =
{ } [ ] { }ψϕ ic
i efKeu max1
max−=
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM
Soluzione: metodo di sovrapposizione modale (MSM)
Proprietà modi propri { }ΦProprietà modi propri { }jΦ• i modi propri sono ortogonali rispetto alle
matrici [M] e [K]{ } [ ]{ }
⎩⎨⎧
=≠≠=
ΦΦkjsekjse
M jTk 0
0
• i modi propri costituiscono una base di vettori linearmente indipendenti
{ } { } ( )∑=
Φ=MPn
jjj tYtU
1)(
j
{ } { } ( )∑=
Φ=MPn
jjj tYtU
1)( &&
=j 1
{ } { } ( )∑ Φ=MPn
jj tYtU )( &&&&{ } { } ( )∑=j
jj1
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM
{ } { } ( )∑∞
=
Φ=1
)(j
jj tYtU{ } { } ( )∑∞
=
Φ=1
)(j
jj tYtU &&{ } { } ( )∑∞
=
Φ=1
)(j
jj tYtU &&&&
{ } { }[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { })(tFUKUCUM =++ &&&
[ ] { } [ ] { } [ ] { } { })(tFYKYCYM jjjjjj =Φ+Φ+Φ ∑∑∑ &&&j
jjj
jjj
jj ∑∑∑
⎞⎛{ } [ ] { } [ ] { } [ ] { } { } { })(tFYKYCYM Tk
jjj
jjj
jjj
Tk Φ=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Φ+Φ+ΦΦ ∑∑∑ &&&
⎠⎝
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM
{ } [ ] { } [ ] { } [ ] { } { } { })(tFYKYCYM Tk
jjj
jjj
jjj
Tk Φ=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Φ+Φ+ΦΦ ∑∑∑ &&&
jjj ⎠⎝
{ } [ ]{ } ⎨⎧ ≠=
ΦΦkjse
MT 0 { } [ ]{ } ⎨⎧ ≠=
ΦΦkjse
KT 0{ } [ ]{ }⎩⎨ =≠
ΦΦkjse
M jk 0{ } [ ]{ }
⎩⎨ =≠
ΦΦkjse
K jk 0
{ } [ ]{ } { } [ ] { } { } [ ]{ } { } { })(tFYKYCYM Tkkk
Tk
jjj
Tkkk
Tk Φ=ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ ∑ &&&
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM
{ } [ ]{ } { } [ ] { } { } [ ]{ } { } { }TTTT ∑ &&&{ } [ ]{ } { } [ ] { } { } [ ]{ } { } { })(tFYKYCYM Tkkk
Tk
jjj
Tkkk
Tk Φ=ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ ∑ &&&
Ipotesi aggiuntiva: smorzamento proporzionale (di Rayleigh) o costante
[ ] [ ] [ ] [ ]IKMC δβα ++= La matrice di smorzamento deve avere
{ } [ ]{ } ⎨⎧ ≠=
ΦΦkjse
C jTk
0
[ ] [ ] [ ] [ ]IKMC δβα ++anch’essa una forma che garantisca la normalità rispetto ad essa delle forme modali.N i d i{ } [ ]{ }
⎩⎨ =≠
ΦΦkjse
C jk 0 Non sono ammessi, ad esempio, smorzatori “localizzati”.
{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ } { } { })(tFYKYCYM Tkkk
Tkkk
Tkkk
Tk Φ=ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ &&&
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM
{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ } { } { })(tFYKYCYM Tkkk
Tkkk
Tkkk
Tk Φ=ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ &&&
Normalizzazione [ ] [ ]( ){ } 02 =Φ− kk MK ω
{ } [ ]{ } 1=ΦΦ kTk M
{ } [ ] [ ]( ){ } 02 =Φ−Φ kkTk MK ω
{ } [ ]{ } kkkTk YYM &&&& =ΦΦ { } [ ]{ } { } [ ]{ } 02 =ΦΦ−ΦΦ k
Tkkk
Tk MK ω{ } [ ]{ } kkkk { } [ ]{ } { } [ ]{ } 0ΦΦΦΦ kkkkk MK ω
{ } [ ]{ }T YYK 2ΦΦ{ } [ ]{ } kkkkk YYK 2ω=ΦΦ
{ } [ ]{ } { } { })(2 tFYYCY Tkkkkk
Tkk Φ=+ΦΦ+ ω&&&
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM
{ } [ ]{ } { } { })(2 tFYYCY Tkkkkk
Tkk Φ=+ΦΦ+ ω&&&
{ } [ ]{ } { } [ ] [ ] [ ]( ){ } =Φ++Φ=ΦΦ kTkk
Tk IKMC δβα
{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ } ( )TTT IKM δβδβ 2 ++ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ } ( )kkkkkkkk IKM ωδβωαδβα 12 ++=ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ=
Sistema 1 gdl: ( )tFkxxcxm Ω=++ cos0&&&Sistema 1 gdl:
( )tmFxxxx
mkx
mcx nn Ω=++=++ cos2 02ωξω &&&&&&
( )tFkxxcxm Ω++ cos0
{ } [ ]{ } kkkTk C ωξ2=ΦΦ
( )kkk ω
ωδβωωαξ 1++=
kk ωω
{ } { })(2 2 tFYYY TΦ=++ ωωξ &&& { } { })(2 tFYYY kkkkkkk Φ=++ ωωξ
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM
{ } { } kTkkkkkkk ftFYYY =Φ=++ )(2 2ωωξ &&&
( ) iii ΩΩ Ω( ) tikc
tiikk efeeff k ΩΩ == ψ
max,
tikck
tikck
eYiY
eYYΩ
Ω
Ω=
=&
tikck eYY ΩΩ−= 2&&
tikc
tikck
tikckk
tikc efeYeYieY ΩΩΩΩ =+Ω+Ω− 22 2 ωωξ
( ) kckckkk fYi =Ω+Ω− ωξω 222
( )= kcfY ( ) Ω+Ω−=
kkkkc i
Yωξω 222
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM
( )22 2=
Ω+Ω−=
kkk
kckc i
fYωξω
15
RISPOSTA ARMONICA( )
2
2
=
Ω+Ω
k
kc
kkk
fi
ω
ωξω10
LITU
DE
[mm
] RISPOSTA ARMONICA
|Y |22
2
2
21 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Ω+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Ω−
=
kk
k ωξ
ω
5AM
PL
|Y1c |
|Y2c ||U|
⎠⎝⎠⎝
0 500 1000 1500 2000 25000
EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]ω1 ω2 ω3 ω4 ω5
{ } { } { } inn
iMPMP
ΩΩ ⎟⎞
⎜⎛∑∑
Q [ ]
{ } { } { } ti
kkck
k
tikck eYeYtU Ω
==
Ω⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Φ=Φ= ∑∑
11
)(
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - APPLICAZIONI
30
Forzanti: le forzanti esterne agenti sulla struttura hanno generalmente un andamento nel tempo di tipo periodico, ma non armonico.
10
20
30
0 5 10 15 20 25 30
10
Forz
a (k
N)
20
10F
30
tempo (s)
T T
p ( )
Per determinare il loro effetto sulla struttura è quindi necessario:• scomporre la forzante in una somma di funzioni armoniche (serie di Fourier)p ( )• ottenere la risposta complessiva tramite la sovrapposizione degli effetti
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - APPLICAZIONI
=Ω02Tπ
( )∑∞
=
+Ω⋅+=1
00 cos)(h
hh thAAtF
T
λ ( )∑=
+Ω⋅+≅Fn
hhh thAA
100 cos λ
20
30
=1h =h 1
10
a (k
N)
0 5 10 15 20 25 30
20
10Forz
30 T T
tempo (s)
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - APPLICAZIONI
Andamento tipico delle ampiezze delle diverse armoniche eccitatrici con il relativo ordine h
6
7
8
4
5
6
iezz
a [k
N]
2
3Am
pi
nF = 8 Armoniche non considerate
0
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ordine armonicaOrdine armonica
Oss: al di sopra di un certo numero d’ordine l’ampiezza Ah diviene usualmente trascurabileusualmente trascurabile.
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - APPLICAZIONI
30
20
30
nB 1=nF = 1
0 5 10 15 20 25 30
10
orza
(kN
)
20
10F
30
tempo (s)tempo (s)
Possibile verifica della corretta scelta di nF: confronto tra F(t) e
( )∑Fn
( )∑=
+Ω⋅+=h
hh thAAtF1
00 cos)(' λ
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - APPLICAZIONI
30
20
30
nB 2=nF = 2
0 5 10 15 20 25 30
10
orza
(kN
)
20
10F
30
tempo (s)tempo (s)
Possibile verifica della corretta scelta di nF: confronto tra F(t) e
( )∑Fn
( )∑=
+Ω⋅+=h
hh thAAtF1
00 cos)(' λ
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - APPLICAZIONI
30
20
30
nB 3=nF = 3
0 5 10 15 20 25 30
10
orza
(kN
)
20
10F
30
tempo (s)tempo (s)
Possibile verifica della corretta scelta di nF: confronto tra F(t) e
( )∑Fn
( )∑=
+Ω⋅+=h
hh thAAtF1
00 cos)(' λ
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - APPLICAZIONI
30
20
30
nB 4=nF = 4
0 5 10 15 20 25 30
10
orza
(kN
)
20
10F
30
tempo (s)tempo (s)
Possibile verifica della corretta scelta di nF: confronto tra F(t) e
( )∑Fn
( )∑=
+Ω⋅+=h
hh thAAtF1
00 cos)(' λ
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - APPLICAZIONI
30
20
30
nB 5=nF = 5
0 5 10 15 20 25 30
10
orza
(kN
)
20
10F
30
tempo (s)tempo (s)
Possibile verifica della corretta scelta di nF: confronto tra F(t) e
( )∑Fn
( )∑=
+Ω⋅+=h
hh thAAtF1
00 cos)(' λ
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - APPLICAZIONI
30
20
30
nB 7=nF = 8
0 5 10 15 20 25 30
10
orza
(kN
)
20
10F
30
tempo (s)tempo (s)
Possibile verifica della corretta scelta di nF: confronto tra F(t) e
( )∑Fn
( )∑=
+Ω⋅+=h
hh thAAtF1
00 cos)(' λ
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
MPn n
Non è possibile, né conveniente utilizzare tutti i modi propri:
{ } { } ( )∑=
Φ=MPn
jjj tYtU
1)( { } ( ) MPM
n
jjj nntY
M
<Φ≅ ∑=1
Effetto della scelta di nM: il sistema si comporta come un filtro passa basso, che “taglia” la risposta alle pulsazioni della forzante maggiori di
Mnω
10
12
m]
nM = 1
6
8
MPL
ITUD
E [m
m
2
4AM
0 500 1000 1500 2000 25000
EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
MPn n
Non è possibile, né conveniente utilizzare tutti i modi propri:
{ } { } ( )∑=
Φ=MPn
jjj tYtU
1)( { } ( ) MPM
n
jjj nntY
M
<Φ≅ ∑=1
Effetto della scelta di nM: il sistema si comporta come un filtro passa basso, che “taglia” la risposta alle pulsazioni della forzante maggiori di
Mnω
10
12
m]
nM = 2
6
8
MPL
ITUD
E [m
m
2
4AM
0 500 1000 1500 2000 25000
EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
MPn n
Non è possibile, né conveniente utilizzare tutti i modi propri:
{ } { } ( )∑=
Φ=MPn
jjj tYtU
1)( { } ( ) MPM
n
jjj nntY
M
<Φ≅ ∑=1
Effetto della scelta di nM: il sistema si comporta come un filtro passa basso, che “taglia” la risposta alle pulsazioni della forzante maggiori di
Mnω
10
12
m]
nM = 3
6
8
MPL
ITUD
E [m
m
2
4AM
0 500 1000 1500 2000 25000
EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
MPn n
Non è possibile, né conveniente utilizzare tutti i modi propri:
{ } { } ( )∑=
Φ=MPn
jjj tYtU
1)( { } ( ) MPM
n
jjj nntY
M
<Φ≅ ∑=1
Effetto della scelta di nM: il sistema si comporta come un filtro passa basso, che “taglia” la risposta alle pulsazioni della forzante maggiori di
Mnω
10
12
m]
nM = 4
6
8
MPL
ITUD
E [m
m
2
4AM
0 500 1000 1500 2000 25000
EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
MPn n
Non è possibile, né conveniente utilizzare tutti i modi propri:
{ } { } ( )∑=
Φ=MPn
jjj tYtU
1)( { } ( ) MPM
n
jjj nntY
M
<Φ≅ ∑=1
Effetto della scelta di nM: il sistema si comporta come un filtro passa basso, che “taglia” la risposta alle pulsazioni della forzante maggiori di
Mnω
10
12
m]
nM = 5
6
8
MPL
ITUD
E [m
m
2
4AM
0 500 1000 1500 2000 25000
EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
Condizioni da soddisfare: • la massima armonica contenuta nella forzante deve risultare compresa nella “banda passante” del modellobanda passante del modello
12
Banda passante
8
10
DE
[mm
]
nM = 2
Banda passante
0ΩFn
4
6
AM
PLIT
UD
0 500 1000 1500 2000 25000
2
EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
Condizioni da soddisfare: • la massima armonica contenuta nella forzante deve risultare compresa nella “banda passante” del modellobanda passante del modello
0Ω> Fn nM
ω
12
Banda passante
8
10
DE
[mm
]
nM = 5
Banda passante
0ΩFn
4
6
AM
PLIT
UD
0 500 1000 1500 2000 25000
2
EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
Condizioni da soddisfare: • il numero di modi considerati deve essere sufficiente per la convergenza
1212
8
10
zion
e [m
m]
8
10
DE
[mm
]
nM = 5
4
6
Am
piez
za v
ibra
z
4
6
AM
PLIT
UD
0 1 2 3 4 50
2 180200250
Ω
0 500 1000 1500 2000 25000
2
Numero di modi propri consideratiEXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]
I modi propri di alta frequenza mantengono un contributo anche alle basse frequenze
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
Condizioni da soddisfare: • il numero di modi considerati deve essere sufficiente per la convergenza
1212
8
10
zion
e [m
m]
8
10
DE
[mm
]
nM = 5
4
6
Am
piez
za v
ibra
z
4
6
AM
PLIT
UD
0 1 2 3 4 50
2 180200250
Ω
0 500 1000 1500 2000 25000
2
180 Numero di modi propri consideratiEXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]180
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
Condizioni da soddisfare: • il numero di modi considerati deve essere sufficiente per la convergenza
1212
8
10
zion
e [m
m]
8
10
DE
[mm
]
nM = 5
4
6
Am
piez
za v
ibra
z
4
6
AM
PLIT
UD
0 1 2 3 4 50
2 180200250
Ω
0 500 1000 1500 2000 25000
2
200 Numero di modi propri consideratiEXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]200
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
Condizioni da soddisfare: • il numero di modi considerati deve essere sufficiente per la convergenza
1212
0Ω>> Fn nM
ω 05.1 Ω⋅> Fn nM
ω
8
10
zion
e [m
m]
8
10
DE
[mm
]
nM = 5
4
6
Am
piez
za v
ibra
z
4
6
AM
PLIT
UD
0 1 2 3 4 50
2 180200250
Ω
0 500 1000 1500 2000 25000
2
250 Numero di modi propri consideratiEXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]250
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA – MSM + MD - APPLICAZIONI
Ulteriore requisito per MD e per MSM:• il modello FEM deve essere costruito in maniera da rappresentare in
maniera sufficientemente accurata tutti i modi che danno un contributo significativo alla risposta del sistema (tutti gli nM modi propri nel caso del MSM)
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA – SMORZAMENTO
( )k
mk
mk
kkk ξξξωββω
ωα
ωωδβω
ωαξ +++++=++= 1
damping (ALPHAD)
kkk ωωω
α-damping (ALPHAD)
β-damping (BETAD)β damping dip materiale (MP DAMP)β-damping dip. materiale (MP,DAMP)
Constant damping ratio (DMPRAT) (Anal. arm. e anal. trans. con MSM)Constant damping ratio dip materiale (MP DMPR) (Anal armonica nonConstant damping ratio dip materiale (MP,DMPR) (Anal. armonica non ridotta )Modal damping ratio (MDAMP)
Element damping (applicabile con metodi particolari)
COMANDI ANSYS/1ANALISI ARMONICA – METODO DIRETTO COMPLETO
/SOLUANTYPE, HARMIC Definisce il tipo di analisi richiesta
HROPT, FULL, ….. Sceglie il tipo di analisi diretto completo
HARFRQ FREQB FREQEHARFRQ, FREQB, FREQE
Frequenza iniziale e finale per l’analisi
NSUBST, NSBSTP
N° di “step” in cui suddividere l’intervallo di frequenze da analizzare
COMANDI ANSYS/2ANALISI ARMONICA – METODO DIRETTO COMPLETO
HROUT, Reimky, Clust, Mcont
- ON Stampa i risultati come parti reale ed immaginaria - OFF Stampa i risultati come ampiezza e fase
-OFF “Step” di frequenza equispaziati-ON “Step” di frequenza addensati attorno ai modi propri
OFF N t il t ib t d i di i di-OFF Non stampa il contributo dei diversi modi-ON Stampa il contributo dei diversi modi
F NODE Lab VALUE VALUE2 NEND NINCF, NODE, Lab, VALUE, VALUE2, NEND, NINC
Parti reale ed immaginaria della forza
SOLVEFINISH
COMANDI ANSYS/3ANALISI ARMONICA – METODO DIRETTO COMPLETO
/POST26
NSOLNSOLESOL Definizione grandezze da estrarre dal databaseRFORCEetcetc.
PRCPLX, KEYPRVARPRVAR
0 – Stampa i risultati nella forma parte reale + parte immaginaria1 – Stampa i risultati nella forma ampiezza + fasep p
PLCPLX, KEYPLVAR
0 — Ampiezza 1 — Fase 2 — Parte reale 3 — Parte immaginaria
COMANDI ANSYS/4ANALISI ARMONICA – METODO DIRETTO RIDOTTO
/SOLUANTYPE, HARMIC Definisce il tipo di analisi richiesta
HROPT, REDUC, ….. Sceglie il tipo di analisi diretto ridotto
HARFRQ, FREQB, FREQENSUBST, NSBSTPHROUT Reimky Clust McontHROUT, Reimky, Clust, McontF, NODE, Lab, VALUE, VALUE2, NEND, NINCSOLVEFINISHFINISH
COMANDI ANSYS/5ANALISI ARMONICA – METODO DIRETTO RIDOTTO
/SOLUEXPASS, ON Passo di espansione
NUMEXP, NUM, BEGRNG, ENDRNG, …
Numero di soluzioni da espandere (se ALL espande tutti gli “step” disponibili)
“Range” di frequenza sul quale effettuare l’espansione delle soluzionig q q p
EXPSOL, LSTEP, SBSTEP, TIMFRQ, Elcalc, , , Q,
SOLVEFINISH
COMANDI ANSYS/6ANALISI ARMONICA – METODO SOVRAPPOSIZIONE MODALE
/SOLUANTYPE, MODAL Analisi modale preliminareMODOPT M th d NMODE FREQB FREQE N kMODOPT, Method, NMODE, FREQB, FREQE, ,Nrmkey----------SOLVEFINISHFINISH
/SOLU Analisi armonica con MSM
HROPT, MSUP, MAXMODE, MINMODE
N° d’ordine finale (default e max.: NMODE) ed iniziale (default: 1) dei modi da impiegare
HROUT Reimky Clust McontHROUT, Reimky, Clust, McontF, NODE, Lab, VALUE, VALUE2, NEND, NINC
SOLVESOLVEFINISH
COMANDI ANSYS/7ANALISI ARMONICA – METODO SOVRAPPOSIZIONE MODALE RIDOTTO
/SOLUANTYPE, MODAL Analisi modale preliminare ridottaMODOPT REDUC NMODE FREQB FREQE N kMODOPT, REDUC, NMODE, FREQB, FREQE, ,Nrmkey----------SOLVEFINISHFINISH
/SOLU Analisi armonica con MSMHROPT MSUP MAXMODE MINMODEHROPT, MSUP, MAXMODE, MINMODEHROUT, Reimky, Clust, McontF, NODE, Lab, VALUE, VALUE2, NEND, NINCSOLVESOLVEFINISH
/SOLU Passo di espansione/SOLU Passo di espansioneEXPASS, ONNUMEXP, NUM, BEGRNG, ENDRNGSOLVEFINISH
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO
SCOPO: Valutare la risposta del sistema in presenza di forze o sollecitazioniSCOPO: Valutare la risposta del sistema in presenza di forze o sollecitazioni esterne, generalmente di tipo non periodico, applicate abbastanza rapidamente da rendere non trascurabili gli effetti delle forze di inerzia.
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO
Può essere impiegato anche per valutare la risposta del sistema a forze o sollecitazioni esterne di tipo periodico, in presenza di effetti non lineari.
Non linearità di contattoNon linearità di contatto
F(t)=F cos(Ωt)F(t)=F0 cos(Ωt)
Materiale elastico non lineare
δ
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO
Principali tecniche di soluzione:Metodo di sovrapposizione modale (MSM)
I t iIpotesi: • Struttura in campo lineare, con matrici [M], [C] e [K] costanti• Matrice di smorzamento proporzionale o costante
Metodi di integrazione diretta (MID)Ipotesi:
• Struttura oprante anche in campo non lineare• Struttura oprante anche in campo non lineare• Matrici [M], [C] e [K] anche non costanti• Matrice di smorzamento qualsiasi
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO
{ } { } ( )∑ ΦMPn
YU )(
Soluzione: metodo di sovrapposizione modale (MSM)
{ } { } ( )∑=
Φ=j
jj tYtU1
)(
{ } { } ( )tftFYYY TΦ )(2 2ξ &&& { } { } ( )tftFYYY kkkkkkkk =Φ=++ )(2 2ωωξ
Soluzione della equazione relativa ad ogni modo con metodi “passo-passo” q g p p(Es. Runge-Kutta)
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
Metodi di integrazione diretta (MID): nesuna ipotesi preliminare sulla linearità del problema, né sulle matrici [M], [C] e[K]
L’intervallo temporale in cui si vuole studiare il comportamento del sistema viene suddiviso in intervalli (“passi”) temporali successivi.
{U(t)} Noto lo stato del sistema (spostamenti velocità accelerazioni){U}
{U}n+1 (spostamenti, velocità, accelerazioni) al tempo “tn-1” si calcola il nuovo stato al tempo “tn” (“step-by-step integration”)
{U}n-1
{U}n
integration ).
Δt Δtn Δtn+1
tn-1 tn
Δtntn+1
Δtn+1
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
Metodi di integrazione diretta (MID): nesuna ipotesi preliminare sulla linearità del problema, né sulle matrici [M], [C] e[K]
Tra i metodi di integrazione diretta rientrano due tipi principali diTra i metodi di integrazione diretta, rientrano due tipi principali di algoritmi:
Algoritmi di tipo implicito: la soluzione al passo temporale n+1 è ottenuta tramite la conoscenza della soluzione al passo n e delle condizioni imposte al passo n+1 (Es.: metodo di Newmark)( )
Algoritmi di tipo esplicito: la soluzione al passo temporale n+1 è ottenuta tramite la conoscenza della soluzione e delle condizioni imposte al passo ntramite la conoscenza della soluzione e delle condizioni imposte al passo n(Es.: metodo delle differenze centrali)
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
Metodo delle differenze centrali (Esplicito)
Eq. di eq. dinamico al tempo “tn” (nota)
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }nnnn tFUKUCUM =++ &&&
Si { } { } { }( )1 &&&Si assume: { } { } { }( )12
1+ΔΔ +≈
nn tt UUU
{ } { } { } { } { }⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Δ−
+Δ−
≈ −+
tUU
tUUU nnnn 11
21& { } { }
tUU nn
Δ−
≈ −+
211
{ } { } { }( )UUU nn tt
Δ
−≈ ΔΔ +
&&&& 1
{ } { } { } { }UUUU nnnn −− −+ 11
{ }tΔ
{ } { } { }{ }{ } { } { } { }
tttU
nnnn
ΔΔ
−Δ≈
+ 11
&& { } { } { }2
11 2t
UUU nnn
Δ+−
≈ −+
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
Metodo delle differenze centrali (Esplicito)
{ } { } { } { }2
11 2 UUUU nnn +−≈ −+&&Sostituendo: { } { } { }UUU nn −
≈ −+ 11&
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }tFUKUCUM =++ &&&
{ } 2tΔ{ }
tΔ2
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }nnnn tFUKUCUM =++
[ ]{ } { } { } [ ]{ } { } [ ]{ } ( ){ }nnnnnnn tFUK
tUUC
tUUUM =+
Δ−
+Δ
+− −+−+
22 11
211
tt ΔΔ 2
⎞⎛ Δ
{ }( ){ } [ ]{ }( ) [ ]{ } [ ] [ ] { }
[ ] [ ]2
2 12
1 t
UtCMUMUKtFtU
nnnn
n Δ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
−−+−Δ=
−
+
[ ] [ ]2tCM Δ
+
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
Metodo delle differenze centrali (Esplicito)
( ){ } [ ]{ }( ) [ ]{ } [ ] [ ] { }22 UtCMUMUKtFt ⎟⎞
⎜⎛ Δ
+Δ{ }
( ){ } [ ]{ }( ) [ ]{ } [ ] [ ] { }
[ ] [ ]2
22 1
1 tCM
UCMUMUKtFtU
nnnn
n Δ+
⎟⎠
⎜⎝
−−+−Δ=
−
+
[ ] [ ]2
Se si fa in modo che [M] e [C] siano diagonali il calcolo è immediato.
Stabilità:max
2ω≤Δt Massima pulsazione propria del modello EF
L’algoritmo risulta condizionatamente stabile, vale a dire che la stabilità dipende dal passo temporale prescelto.
Possibili stime Δt: ( )( )( )
21
211⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ −+
≤ΔυυρμLt ( )1 ⎟⎟
⎠⎜⎜⎝ −υ
μE
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
Metodo di Newmark (Implicito)
Eq. di eq. dinamico al tempo “tn+1” (non nota)
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }1111 ++++ =++ nnnn tFUKUCUM &&&
{ } { } ( ){ } { }( ) { }&&&&&&Si assume: { } { } ( ){ } { }( ) { }1,01 11 ∈Δ+−+≈ ++ δδδ tUUUU nnnn&&&&&&
{ }U&&
{ }U&&
{ } 1+nU{ } { }( )2
1 nn UU &&&& ++
δ0 1
{ }nU
1/2
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
Metodo di Newmark (Implicito)
Si assume:Si assume:
{ } { } { } { } { }⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∈Δ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+Δ+≈ ++ 2
1,021 2
11 ααα tUUtUUU nnnnn&&&&&
⎭⎩⎠⎝ ⎠⎝ 22
{ }U&&
{ }U&&
{ } 1+nU{ } { }( )2
1 nn UU &&&& ++
α0 1/2
{ }nU
1/4
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
Metodo di Newmark (Implicito)
Eq. di eq. dinamico al tempo “tn+1” (non nota)⎧[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }1111 ++++ =++ nnnn tFUKUCUM &&&[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }{ } { } ( ){ } { }( )⎪⎪
⎪
⎨
⎧
Δ+−+≈
=++
++
++++
11
1111
1 tUUUU
tFUKUCUM
nnnn
nnnn
&&&&&&
&&&
δδ{ } { } ( ){ } { }( ){ } { } { } { } { }
⎪⎪⎪
⎩
⎨
Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+Δ+≈
Δ++
++
++
211
11
21
1
tUUtUUU
tUUUU
nnnnn
nnnn
&&&&& αα
δδ
⎪⎩ ⎠⎝ ⎠⎝ 2
Risolvendo per⎧[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }{ } { } ( ){ } { }( )⎪⎪
⎪
⎨
⎧
Δ+−+≈
=++
++
++++
nnnn
nnnn
tUUUU
tFUKUCUM&&&&&&
&&&
1 11
1111
δδ{ } { } ( ){ } { }( ){ } { } { } { } { }
⎪⎪⎪
⎩
⎨
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
Δ−
Δ−
= ++
++
nnnn
n
nnnn
Ut
Ut
UUU
tUUUU
&&&
&& 121
21
1
11
ααα
δδ
⎩ ⎠⎝
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
Metodo di Newmark (Implicito)
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }⎪⎪⎧
++ tFUKUCUM &&&[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }
{ } { } { } { } { }⎪
⎪⎪⎪
⎨ Δ−
+Δ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −≈
=++
++
++++
nnnnn
nnnn
tUUtUUU
tFUKUCUM
&&&&2
11 11
1111
αδ
αδ
αδ
{ } { } { } { } { }⎪⎪⎪
⎩⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
Δ−
Δ−
=
Δ⎠⎝⎠⎝
++ n
nnnn U
tU
tUUU
t
&&&
&& 121
2
21
1 ααα
ααα
⎩ ⎠⎝ΔΔ tt 2ααα
{ } ⎞⎛[ ] { } { } { } { }21 1
21+ +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
Δ−
Δ−
nnnn Ut
Ut
UUM &&&
ααα
[ ] { } { } { } { }[ ]
1
211+ +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
Δ−
+ nnnn tUU
tUUC &&&
αδ
αδ
αδ
[ ]{ } ( ){ }11 ++ =+ nn tFUK
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
Metodo di Newmark (Implicito)
{ } [ ] [ ] [ ] ( ){ }+=⎟⎞
⎜⎛ ++ tFKCMU δ{ } [ ] [ ] [ ] ( ){ }
[ ] { } { } { } +⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
⎟⎞
⎜⎛+++
+=⎟⎠
⎜⎝
+Δ
+Δ ++ nn
UUUM
tFKtt
U
&&& 1111
121 αα
[ ] { } { } { }
[ ] { } { } { } ⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
⎟⎞
⎜⎛Δ
+⎟⎞
⎜⎛++
+⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝
−+Δ
+Δ
+ nnn
UtUUC
UUt
Ut
M
&&& 21
122
δδδ
ααα
[ ] { } { } { } ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝
−+⎟⎠
⎜⎝
−+Δ
+ nnn UUUt
C 22
1ααα
[ ]{ } [ ]FUK nˆˆ
1 =+ Oss.: se [M], [C] e [K] sono costanti, [ ]{ } [ ]n 1+
Risoluzione:
[ ] [ ]1
[ ] [ ] [ ]la matrice è anch’essa costante e può essere costruita ed invertita
[ ]K̂
{ } [ ] [ ]FKU nˆˆ 1
1
−
+ = una sola volta.
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
21
41 2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +≥ δα
Condizioni di stabilità:
1
21
24
≥
⎠⎝
δδ 0 7
0.8
0.9
Condizionatamente stabile
All’interno del campo di stabilità l’algoritmo risulta incondizionatamente stabile 0.5
0.6
0.7
Stabile
incondizionatamente stabile,vale a dire stabile indipendentemente dal passo temporale prescelto.
0.3
0.4 Instabile
Instabilep p
0.1
0.2
Esiste anche una regione in cui l’algoritmo risulta condizionatamente stabile con
α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0condizionatamente stabile, con passo limite:
22
⎞⎛≤Δt
αδ 421 2
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +Ω
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
Al variare di α e δ si ottengono altri algoritmi classici di soluzione:
1
δ 0 7
0.8
0.9
Condizionatamente stabile
210
=
=
δ
α Metodo delle differenze centrali
0.5
0.6
0.7
Stabile
2
1α M t d d ll’ l i
0.3
0.4 Instabile
Instabile214
=
=
δ
α Metodo dell’accelerazione media
0.1
0.22
1=α Metodo dell’accelerazione
α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
216
=
=
δ
α Metodo dell accelerazione lineare
2
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
In ANSYS i due parametri α e δ sono generalmente espressi in funzione di un terzo parametro γ (TINTP): 1
( )γα += 141 2
δ 0 7
0.8
0.9
Condizionatamente stabile
γδ +=21
0.5
0.6
0.7
Stabile
0.3
0.4 Instabile
Instabile
⎪
⎪⎪⎨
⎧ =⇒=
141
0α
γ
0.1
0.2⎪⎪⎩
=21δ
α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
⎩⎨⎧
==
⇒=50502525.0
005.0δα
γ
Per default
⎩ = 505.0δ
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
All’interno del campo di stabilità (incondizionata o condizionata) la soluzioneAll interno del campo di stabilità (incondizionata o condizionata), la soluzione tende a quella esatta, al tendere a zero di Δt.
0 9
1U sln. esatta
stabile
δ 0.7
0.8
0.9
Condizionatamente stabile
stabile
Δt0
0.5
0.6 Stabile
0
0.3
0.4 Instabile
Instabile
t
0
0.1
0.2
α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
All’interno del campo di stabilità (incondizionata o condizionata) la soluzioneAll interno del campo di stabilità (incondizionata o condizionata), la soluzione tende a quella esatta, al tendere a zero di Δt.
0 9
1U sln. esatta
stabile
δ 0.7
0.8
0.9
Condizionatamente stabile
stabile
Δt1< Δt0
0.5
0.6 Stabile
1 0
0.3
0.4 Instabile
Instabile
t
0
0.1
0.2
α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
All’interno del campo di stabilità (incondizionata o condizionata) la soluzioneAll interno del campo di stabilità (incondizionata o condizionata), la soluzione tende a quella esatta, al tendere a zero di Δt.
0 9
1U sln. esatta
stabile
δ 0.7
0.8
0.9
Condizionatamente stabile
stabile
Δt2< Δt1
0.5
0.6 Stabile
2 1
0.3
0.4 Instabile
Instabile
t
0
0.1
0.2
α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
L = 10 m
x
y L = 10 mL = 10 m
x
y Effetto del passo di integrazione in condizioni di stabilità incondizionata
2.00E-0325250=α
100 N, 4.07466 Hz (risonanza), onda triangolare
1 00E-03
1.50E-03 0.2132.66E-024.25E-03
Δt [s]
5050.02525.0
==
δα
5.00E-04
1.00E-03m
ezze
ria [m
]
0.9
1
0.9
1
-5.00E-04
0.00E+00
Spos
tam
ento
m
δ
0.5
0.6
0.7
0.8 Condizionatamente stabile
Stabile
δ
0.5
0.6
0.7
0.8 Condizionatamente stabile
Stabile
-1.50E-03
-1.00E-03
0 1
0.2
0.3
0.4 Instabile
Instabile
0 1
0.2
0.3
0.4 Instabile
Instabile
-2.00E-030.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00 2.50E+00
Tempo [s]
α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
0.1
α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
0.1
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
Al di fuori del campo di stabilità la soluzione mostra una rapida divergenza (inAl di fuori del campo di stabilità, la soluzione mostra una rapida divergenza (in genere con forti oscillazioni) da quella esatta, senza convergere su quest’ultima al tendere a zero di Δt.
0 9
1U sln. esatta
stabile
δ 0.7
0.8
0.9
Condizionatamente stabile
stabileinstabile
0.5
0.6 Stabile
0.3
0.4 Instabile
Instabile
t
0
0.1
0.2
α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
L = 10 m
x
y L = 10 mL = 10 m
x
y Effetto del passo di integrazione in condizioni di stabilità condizionata
5.00E-03
t [ ]
100 N, 0.25 Hz, onda triangolare
3.00E-03
4.00E-03 8.00E-024.00E-022.00E-021.33E-02
Δt [s]
51.025.0
==
δα
1.00E-03
2.00E-03m
ezze
ria [m
]
0.9
1
0.9
1
2 00E 03
-1.00E-03
0.00E+00
Spos
tam
ento
m
δ
0.6
0.7
0.8 Condizionatamente stabile
Stabile
δ
0.6
0.7
0.8 Condizionatamente stabile
Stabile
-4.00E-03
-3.00E-03
-2.00E-03
0.3
0.4
0.5
Instabile
Instabile0.3
0.4
0.5
Instabile
Instabile
-5.00E-030 5 10 15 20 25
Tempo [s]α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
0.1
0.2
α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
0.1
0.2
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
Scelta del passo di integrazione temporaleScelta del passo di integrazione temporale.
Procedura per valori indicativi frequenze in gioco
F(t)
tT
“Periodicizzazione” della storia di carico
Ω2π
Periodicizzazione della storia di carico
( )∑∞
+Ω+
=Ω0
cos)( thAAtF
T
λ( )∑=
+Ω⋅+=1
00 cos)(h
hh thAAtF λ
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
10
Andamento tipico delle ampiezze
7
8
9
5
6
7
ezza
[kN
]
3
4
Am
pie
nF = 7Armoniche non
considerate
0
1
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ordine armonica
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
{ } { } ( )∑ ΦMPn
tYtU )( Ω>>
Metodo di sovrapposizione modale:
{ } { } ( )∑=
Φ=j
jj tYtU1
)( 0Ω>> Fn nM
ω
Tutti i metodi di soluzione:Tutti i metodi di soluzione:
30202÷>≤Δ nt π 3020
0
÷>Ω
≤Δ PFP
nnn
t
In ogni caso, a partire da questa prima stima, è generalmente necessario uno studio di convergenza su nP e Δt.Situazioni che possono richiedere valori particolarmente ridotti di Δt:• fenomeni di contatto• propagazione di onde elastiche (dimensioni elementi < 1/20 lungh. d’onda)• non linearità geometriche, “stress stiffening”
INTEGRAZIONE RISPETTO AL TEMPO/2
Tipo di problema Algoritmi espliciti Algoritmi impliciti
GeneraleNessuna inversione di matrici; basso tempo di
calcolo per step
Inversione di matrici ad ogni step; elevato tempo di
calcolo per step
Campo lineareStabilità condizionata;
necessari passi temporali molto piccoli
Possibile stabilità incondizionata; grandi passi
temporalip p
Soluzione diretta ad ogni passo
Soluzione tramite tecniche iterative
Campo non lineare
Necessari passi temporali molto piccoli per la stabilità
Necessari piccoli passi temporali per la
convergenza
Verifiche di convergenza non richieste
Convergenza non sempre assicurata per forti non
linearità
INTEGRAZIONE RISPETTO AL TEMPO/3
Statico Quasi statico Dinamico
Campo applicativo
Urti autovettureStampaggio
Urto proiettiliEsplosioniProblemi “standard”
Comportamento statico materiale Effetti “strain rate” sul materiale
Strain rate [s-1]10110-2 104
Metodi Impliciti
Metodi Espliciti
Possibili anche approcci misti Impliciti+Espliciti
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