análisis de contenido: inecuaciones lineales
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Pregunta Inicial. Desde tiempos muy
remotos la matemática ha sido
objeto de estudio en base a
modelos y problemáticas que se
generan en el diario vivir. Esto
se puede apreciar desde años
anteriores al nacimiento de
Cristo, en el año 1700 a.C o
incluso más. Dentro de los
moldeamientos de las diferentes
problemáticas se puede hacer
referencia a las ecuaciones
lineales, en donde se expresa un
problema algebraicamente con
una incógnita para luego poder
llegar a una solución y resolverla
siguiendo una serie de patrones.
Entendiendo esto, siempre se
podrá obtener una respuesta a un problema del diario vivir.
De acuerdo a lo mencionado anteriormente es que surge la siguiente interrogante
¿Existirán problemáticas del diario vivir en donde la solución no sea única, sino que se
puedan encontrar un grupo de soluciones que la satisfagan?
Abstracción Inicial. En la matemática, siempre se ha intentado dar solución a cada situación nueva que
aparece, se ésta en constante búsqueda. En el caso de las ecuaciones, se solía buscar una
respuesta exacta y que satisficiera a ésta, no obstante que ocurre en situaciones tan
normales como el siguiente ejemplo: Ana tiene 18 años y sale con Pedro, quien tiene 20
años, no obstante los padres de Ana le dan permiso para pololear siempre y cuando su
pololo tenga como máximo de edad 18 años. Si se intenta representar la condición que
imponen los padres de Ana para que ésta tenga novio entramos en un conflicto cognitivo,
pues observamos que no es exacta, sino que hay más de un número que satisfaga mi
problema. A esto es lo que se le llama inecuación.
Para empezar a trabajar en estos tipos de problemas, deberemos entender que la
igualdad ya no existe, por lo tanto el signo”=” se cambiará por “<”,”>”,”≤” o”≥”.
Indicando la punta quien es “menor” o “menor o igual”.
Otra de mis preocupaciones, para trabajar con inecuaciones, debe ser sí el modo de
operar es el mismo que en una ecuación. Y claramente la manera de operar sufre unas
anomalías o cambios.
Al momento de multiplicar o dividir por un número negativo deberé tener cuidado
con los signos representativos de la inecuación, ya que estos se cambiaran de sentido como
se muestra a continuación.
−𝑋 > 3
Si multiplicamos por “-1”, para encontrar el valor de “X” sucederá lo siguiente
𝑋 < −3
Para mantener la coherencia de lo que ya se ha enseñado en la recta numérica, en donde sí
𝑏 > 𝑎 entonces −𝑎 > −𝑏
Viendo lo anterior, surgen otras dudas acerca de las inecuaciones. ¿Cómo se
trabajará con la recta numérica en inecuaciones?
Duda la cual nos permitirá identificar lo siguiente:
Red Conceptual Para detallar más el proceso de
“Análisis de Contenido” es necesario y
conveniente entablar relaciones entre los
conceptos surgidos y los procedimientos a
seguir, para luego poder mostrar la
interdependencia entre éstos, como también su
complementariedad.
Para lograr ésta “relación” se requiere de ideas centrales y gracias a ellas poder
organizar lo que se quiere enseñar. Básicamente identificamos los conceptos fundamentales
y así lograr un orden y un resumen de los conceptos. Recordar además que sólo
trabajaremos con Inecuaciones Lineales.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN EN LA VIDA DIARIA
SOLUCIÓN ÚNICA
SOLUCIÓN INFINITA
MAYOR QUE
MENOR QUE
RECTA NÚMERICA
CONCEPTOS
DEMOSTRACIÓN RESOLUCIÓN
DESIGUALDADES
INECUACIONES LINEALES
SISTEMAS DE INECUACIONES
PROGRAMACIÓN LINEAL
Tal y como mencionamos anteriormente sólo se trabajará con Inecuaciones lineales,
se aprecia además la gran cantidad de conceptos que se deben manejar, los cuales
hipotéticamente son abordados en cursos anteriores, además se aprecia como uno de los
ejes principales “demostraciones” ítem importante dentro del tema, como también en la
matemática, pues antes de aprender algo se debe entender de donde proviene y finalmente
la resolución de problemas. Todo esto nos lleva inicialmente a resolver sistemas de
inecuaciones, pero lo más importante es relacionarlo con problemáticas de la vida diaria.
La red conceptual, finalmente, permite pronosticar en donde se puede aplicar el
concepto.
Anticipación de la aplicación Para poder seguir en el proceso de
análisis, deberemos limitarnos en lo que
son las inecuaciones lineales y en su
contexto de aplicación. Siendo en un
comienzo ejemplos muy explícitos,
de tal manera que los alumnos puedan ver
como se aplican algunos de los conceptos,
tales como las propiedades,
demostraciones o simbología.
Para ello propondremos tres
situaciones existentes en la vida cotidiana
y la presentaremos como una inecuación
lineal.
Gastos Mensuales
El común de las familias chilenas planifican sus gastos mensuales, discriminándolos
por ítem, necesidades y destinando cantidades dinero. En el caso de los alimentos, se
entiende que hay un mínimo de dinero a gastar, pero a su vez hay un límite (monto
máximo), pues de no tenerlo se sobrepasará del capital total. Entonces para entender como
fluctuará el monto (dinero) contemplado para la comida, se requiere de aplicar una simple
inecuación.
Vendedor
Alberto es un vendedor de una famosa multitienda, y su remuneración mensual está
compuesto por una comisión por ventas más un monto fijo (sueldo base). Por cada mes
Alberto asegura recibir $250.000, lo cual corresponde a la comisión ya mencionada y
también señala que juntando el
bono más el sueldo base no logra
aumentar en dos los $250.000.
Por último por conceptos de
gastos de alimentación y pago de
dividendo gasta $150.000
quedándole aproximadamente
$200.000 para sus otras
necesidades. ¿Entre qué valores
varia su sueldo?
La Furgoneta
Todo medio de transporte motorizado, dentro de sus características, especifica su
“tara” (peso que soporta con carga) y el usuario no deben exceder dicho peso en el
vehículo, pues afectará directamente al funcionamiento de éste, como también a su vida
útil.
Una furgoneta pesa 875 kg. La
diferencia entre el peso de la furgoneta
vacía y el peso de la carga que lleve no debe
ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar
cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede pesar,
como máximo, cada uno de ellos para poder
llevarlos en esa furgoneta?
Evaluar críticamente la validez del modelo
Al entrar a analizar críticamente el modelo entregado por el Ministerio de
Educación, no solo encontraremos algunos defectos que pueda poseer, debido a su falta de
estudio en algunos tipos de aula, sino que también podremos darnos cuenta de lo
importante que puede ser la aplicación de conceptos y estructuras matemáticas, ya que éstas
entraran a jugar un rol de suma importancia.
Es por esto que entraremos a analizar algunos conceptos pertenecientes a esta
unidad.
Intervalo: Será el conjunto de números, denotados como “soluciones”, las cuales tendrán
una determinada característica. Dependiendo de la problemática.
Generalmente, pueden aparecer preguntas como “¿Qué elementos pertenecen a este
conjunto?”.
Desequilibrio: este contenido permite que el estudiante tome conciencia del concepto de
desigualdad de dos expresiones algebraicas. Por supuesto que esto nos entrega una gama de
posibilidad al momento de resolver problemáticas cotidianas, siempre y cuando estas se
encuentren en un contexto de desigualdad.
Límite: al trabajar con inecuaciones, estos conceptos nos entregaran una base fundamental
para desarrollar el concepto de límite. Esto, puesto que cuando se utiliza constantemente:
“Esto no debe ser mayor que…”; “Como mínimo debemos tener….” El estudiante está
crean-do trabajando, intuitivamente, con el limite existen de una expresión.
Algunos errores que se pueden encontrar en los modelos ofrecidos en los “planes y
programas” del Ministerio es un como el siguiente:
En donde la intención era que el estudiante pudiese encontrar una aplicación de las
inecuaciones en la vida real o cotidiana. Pero como se puede captar a primera vista, este no
es un problema que se encontrará en la vida cotidiana de un estudiante y por consiguiente
podría provocar un desinterés en los mismos. Debido al poco nivel de asociación que
tendrán los alumnos en esta actividad.
Por lo dicho anteriormente, el estudiante podría recurrir a trabajar mecánicamente y
sabiendo que hacer en estos tipos de ejercicios, pero si se le llegare a presentar otro
ejercicio en donde quizás el desarrollo sea el mismo, pero el contexto sea totalmente
distinto, el alumno no podrá llegar a resolverlo.
Anticipar la evaluación en contextos auténticos
Finalmente y como en todo proceso, es necesario realizar una evaluación de
contenidos. Para ello, se basará en situaciones de la cotidianidad, de modo que el estudiante
comprenda que las “inecuaciones” son aplicables a la “vida real”, de no hacerlo, estaremos
enseñando a calcular y no a aprender significativamente las “inecuaciones lineales”.
Existen dos maneras de como se puede preguntar a los estudiantes, en el primer
caso, éste deberá poner a prueba si logra leer una inecuación y del mismo modo
transcribirla en lenguaje matemático. Mientras que para el segundo caso, deberán revolver
un problema cotidiano.
Ítem 1:
Traducir los siguientes enunciados en una inecuación y encontrar el conjunto solución en el
caso que lo requiera:
A. Un número disminuido en 5 veces en menor que 20.
B. Dentro de cinco años, Josefa tendrá no menos de ocho años.
C. Un padre tiene 48 años y su hijo 16 años. ¡Dentro de cuántos años como máximo la edad
del hijo será menor a la mitad de la del padre?
D. Obtener el mayor número entero, talque cinco más siete veces el número entero sea
menor que 40.
Ítem 2:
Una biblioteca tiene un presupuesto anual de
$500.000 para adquirir ejemplares de libros. Se
sabe que dicha biblioteca ésta interesada en
comprar una novela, la cual se ha impreso en
dos tomos (libros). En la primera edición, cada
libro tiene un valor de $30.000, mientras que
para el segundo tomo asciende a $25.000.
¿Cuántos ejemplares de cada uno podrá adquirir la biblioteca?
Represéntelo gráficamente e indique todas las posibles soluciones.
Bibliografía
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MINEDUC. (2004). Plan de Estudio Matemática, Tercer Año Medio. Santiago: MINEDUC.
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