analisis rangkaian listrik jilid 2
Post on 04-Oct-2015
110 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
-
Analisis Rangkaian
Listrik Jilid-2
Sudaryatno Sudirham
Darpublic Edisi Nopember 2012
-
i
Analisis Rangkaian Listrik Jilid 2 (Analisis Transien, Transformasi Laplace, Trans-formasi Fourier, Model Sistem)
oleh Sudaryatno Sudirham
-
ii Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
Hak cipta pada penulis.
SUDIRHAM, SUDARYATNO Analisis Rangkaian Listrik, Jilid 2 (Analisis Transien, Transformasi Laplace, Transformasi Fourier, Model Sistem) Darpublic, Kanayakan D-30, Bandung, 40135. www.darpublic.com
-
iii
Pengantar
Buku jilid ke-dua Analisis Rangkaian Listrik ini berisi materi lanjutan, ditujukan kepada pembaca yang telah mempelajari materi di buku jilid pertama. Materi bahasan disajikan dalam sebelas bab. Dua bab pertama berisi bahasan mengenai analisis transien, dengan sinyal dinyatakan sebagai fungsi waktu. Dua bab berikutnya membahas analisis rangkaian menggunakan transformasi Laplace, yang dapat digunakan untuk analisis keadaan mantap maupun transien; bahasan ini mencakup dasar-dasar transformasi Laplace sampai ke aplikasinya. Lima bab berikutnya membahas fungsi jaringan yang dilanjutkan dengan tanggapan frekuensi, serta pengenalan pada model sistem, termasuk persamaan ruang status. Dua bab terakhir membahas analisis rangkaian listrik menggunakan transformasi Fourier. Pengetahuan tentang aplikasi transformasi Fourier dalam analisis akan memperluas pemahaman mengenai tanggapan frekuensi, baik mengenai perilaku sinyal itu sendiri maupun rangkaiannya.
Tulisan ini dibuat untuk umum, dapat diunduh secara cuma-cuma di www.darpublic.com . Mudah-mudahan sajian ini bermanfaat bagi para pembaca. Penulis mengharap saran dan usulan para pembaca untuk perbaikan dalam publikasi selanjutnya.
Bandung, Nopember 2012 Wassalam,
Penulis.
-
iv Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
Darpublic Kanayakan D-30, Bandung, 40135
-
v
Daftar Isi Kata Pengantar iii
Daftar Isi v
Bab 1: Analisis Transien Rangkaian Orde-1 1 Rangkaian Orde-1: Contoh Rangkaian Orde-1. Tanggapan Alami, Tanggapan Paksa, Tanggapan Lengkap. Tanggapan Terhadap Sinyal Anak Tangga, Sinyal Sinus, Sinyal Ekspo-nensial. Tanggapan Masukan Nol, Tanggapan Status Nol.
Bab 2: Analisis Transien Rangkaian Orde-2 31 Rangkaian Orde-2: Contoh Rangkaian Orde-2. Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan. Tanggapan Terhadap Sinyal Anak Tangga, Sinyal Sinus, Sinyal Eksponensial.
Bab 3: Transformasi Laplace 55 Transformasi Laplace. Tabel Transformasi Laplace. Sifat-Sifat Transformasi Laplace. Transformasi Balik. Solusi Per-samaan Rangkaian Menggunakan Transformasi Laplace.
Bab 4: Analisis Menggunakan Transformasi Laplace 85 Hubungan Tegangan-Arus Elemen di Kawasan s. Konsep Impedansi di Kawasan s. Representasi Elemen di Kawasan s. Transformasi Rangkaian. Hukum Kirchhoff. Kaidah-Kaidah Rangkaian. Teorema Rangkaian. Metoda-Metoda Analisis.
Bab 5: Fungsi Jaringan 107 Pengertian dan Macam Fungsi Jaringan. Peran Fungsi Alih. Hubungan Bertingkat dan Kaidah Rantai . Fungsi Alih dan Hubungan Masukan-Keluaran di Kawasan Waktu. Tinjauan Umum Mengenai Hubungan Masukan-Keluaran.
Bab 6: Tanggapan Frekuensi Rangkaian Orde-1 123 Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus Keadaan Mantap. Pernyataan Tanggapan Frekuensi. Bode Plot.
-
vi Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
Bab 7: Tanggapan Frekuensi Rangkaian Orde-2 143 Rangkaian Orde-2 Dengan Pole Riil. Fungsi Alih Dengan Zero Riil Negatif . Tinjauan Umum Bode Plot dari Rangkaian Dengan Pole dan Zero Riil. Tinjauan Kualitatif Tanggapan Frekuensi di Bidang s. Rangkaian Orde-2 Yang Memiliki Pole Kompleks Konjugat.
Bab 8: Pengenalan Pada Sistem 165 Sinyal. Sistem. Model Sistem. Diagram Blok. Pembentukan Diagram Blok. Reduksi Diagram Blok. Sub-Sistem Statis dan Dinamis. Diagram Blok Integrator.
Bab 9: Sistem Dan Persamaan Ruang Status 187 Blok Integrator dan Blok Statis. Diagram Blok Integrator, Sinyal Sebagai Fungsi t. Membangun Persamaan Ruang Status. Membangun Diagram Blok dari Persamaan Ruang Status.
Bab 10: Transformasi Fourier 197 Deret Fourier. Transformasi Fourier. Transformasi Balik. Sifat-Sifat Transformasi Fourier. Ringkasan.
Bab 11: Analisis Menggunakan Transformasi Fourier 223 Transformasi Fourier dan Hukum Rangkaian. Konvolusi dan Fungsi Alih. Energi Sinyal.
Daftar Pustaka 237
Biodata Penulis 238
Indeks 239
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-1
1
BAB 1 Analisis Transien Rangkaian Orde-1
Yang dimaksud dengan analisis transien adalah analisis rangkaian yang sedang dalam keadaan peralihan atau keadaan transien. Gejala transien atau gejala peralihan merupakan salah satu peristiwa dalam rangkaian listrik yang perlu kita perhatikan. Peristiwa ini biasanya berlangsung hanya beberapa saat namun jika tidak ditangani secara baik dapat me-nyebabkan terjadinya hal-hal yang sangat merugikan berupa kerusakan peralatan.
Dalam sistem penyaluran energi, pemutusan dan penyambungan rangkaian merupakan hal yang sering terjadi. Operasi-operasi tersebut dapat menyebabkan terjadinya lonjakan tegangan yang biasa disebut te-gangan lebih. Tegangan lebih pada sistem juga terjadi manakala ada sambaran petir yang mengimbaskan tegangan pada saluran transmisi. Tegangan lebih seperti ini akan merambat sepanjang saluran transmisi berbentuk gelombang berjalan dan akan sampai ke beban-beban yang terhubung pada sistem tersebut. Piranti-piranti elektronik akan menderita karenanya. Di samping melalui saluran transmisi, sambaran petir juga mengimbaskan tegangan secara induktif maupun kapasitif pada peralatan-peralatan. Semua kejadian itu merupakan peristiwa-peristiwa peralihan.
Kita mengetahui bahwa kapasitor dan induktor adalah piranti-piranti dinamis dan rangkaian yang mengandung piranti-piranti jenis ini kita sebut rangkaian dinamis. Piranti dinamis mempunyai kemampuan untuk menyimpan energi dan melepaskan energi yang telah disimpan sebe-lumnya. Hal demikian tidak terjadi pada resistor, yang hanya dapat menyerap energi. Oleh karena itu, pada waktu terjadi operasi penutupan ataupun pemutusan rangkaian, perilaku rangkaian yang mengandung kapasitor maupun induktor berbeda dengan rangkaian yang hanya mengandung resistor saja. Karena hubungan antara arus dan tegangan pada induktor maupun kapasitor merupakan hubungan linier diferensial, maka persamaan rangkaian yang mengandung elemen-elemen ini juga merupakan persamaan diferensial. Persamaan diferensial ini dapat berupa persamaan diferensial orde-1 dan rangkaian yang demikian ini disebut rangkaian atau sistem orde-1. Jika persamaan rangkaian berbentuk persamaan
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-1
2 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
diferensial orde-2 maka rangkaian ini disebut rangkaian atau sistem orde-2. Perilaku kedua macam sistem tersebut akan kita pelajari berikut ini. Dengan mempelajari analisis transien orde-1, kita akan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan rangkaian orde-1.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan paksa dan tanggapan alami.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde-1.
1.1. Contoh Rangkaian Orde-1 Rangkaian RC Seri. Salah satu contoh rangkaian orde-1 dalam keadaan peralihan adalah rangkaian RC seri seperti pada Gb.1.1. Pada awalnya saklar S pada rangkaian ini terbuka; kemudian pada saat t = 0 ia ditutup sehingga terbentuk rangkaian tertutup terdiri dari sumber vs dan hubungan seri resistor R dan kapasitor C. Jadi mulai pada t = 0 terjadilah perubahan status pada sistem tersebut dan gejala yang timbul selama terjadinya perubahan itulah yang kita sebut gejala perubahan atau gejala transien. Gejala transien ini merupakan tanggapan rangkaian seri RC ini setelah saklar ditutup, yaitu pada t > 0. Aplikasi HTK pada pada rangkaian untuk t > 0 memberikan
0 =++=++ vdtdvRCvviRv ss atau svvdt
dvRC =+ (1.1)
Persamaan (1.1) adalah persamaan rangkaian seri RC dengan menggunakan tegangan kapasitor sebagai peubah. Alternatif lain untuk memperoleh persamaan rangkaian ini adalah menggunakan arus i sebagai peubah. Tetapi dalam analisis transien, kita memilih peubah yang merupakan peubah status dalam menyatakan persamaan rangkaian. Untuk rangkaian RC ini peubah statusnya adalah tegangan kapasitor, v. Pemilihan peubah status dalam melakukan analisis transien berkaitan dengan ada tidaknya simpanan energi dalam rangkaian yang sedang
C
R A
+ v
Gb.1.1. Rangkaian RC.
B
i iC
+
+ vin
S
vs
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-1
3
dianalisis, sesaat sebelum terjadinya perubahan. Hal ini akan kita lihat pada pembahasan selanjutnya. Persamaan (1.1) merupakan persamaan diferensial orde-1 tak homogen dengan koefisien konstan. Tegangan masukan vs merupakan sinyal sembarang, yang dapat berbentuk fungsi-fungsi yang pernah kita pelajari di Bab-1. Tugas kita dalam analisis rangkaian ini adalah mencari tegangan kapasitor, v, untuk t > 0.
Rangkaian RL Seri. Contoh lain rangkaian orde-1 adalah rangkaian RL seri seperti pada Gb.1.2. Saklar S ditutup pada t = 0 sehingga terbentuk rangkaian tertutup RL seri. Aplikasi HTK pada rangkaian ini untuk t > 0 memberikan :
0==dtdiLRivvRiv sLs
atau
svRidtdiL =+ (1.2)
Persamaan (1.2) adalah persamaan rangkaian RL seri dengan arus i se-bagai peubah. Sebagaimana kita ketahui, arus merupakan peubah status untuk induktor dan kita pilih ia sebagai peubah dalam analisis rangkaian RL.
Rangkaian Orde-1 yang Lain. Persamaan rangkaian RC dan RL meru-pakan persamaan diferensial orde-1 dan oleh karena itu rangkaian itu disebut rangkaian orde-1 atau sistem orde-1. Sudah barang tentu sistem orde-1 bukan hanya rangkaian RC dan RL saja, akan tetapi setiap rangkaian yang persamaannya berupa persamaan diferensial orde-1 ada-lah rangkaian atau sistem orde-1.
L
R A
Gb.1.2. Rangkaian RL seri.
B
i iL +
vs
S
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-1
4 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
1.2. Tinjauan Umum Tanggapan Rangkaian Orde-1 Secara umum, persamaan rangkaian orde-1 berbentuk
)(txbydtdy
a =+ (1.3)
Peubah y adalah keluaran atau tanggapan dari rangkaian yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk rangkaian. Fungsi x(t) adalah ma-sukan pada rangkaian yang dapat berupa tegangan ataupun arus dan dise-but fungsi pemaksa atau fungsi penggerak. Kita mengetahui bahwa persamaan diferensial seperti (1.3) mempunyai solusi total yang merupakan jumlah dari solusi khusus dan solusi homo-gen. Solusi khusus adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan (1.3) sedangkan solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persa-maan homogen
0=+ bydtdy
a (1.4)
Hal ini dapat difahami karena jika fungsi x1 memenuhi (1.3) dan fungsi x2 memenuhi (1.4), maka y = (x1+x2) akan memenuhi (1.3) sebab
( )
0
)(
11
22
11
2121
++=
+++=+++
=+
bxdtdx
a
bxdt
dxabx
dtdx
axxbdt
xxdaby
dtdy
a
Jadi y = (x1+x2) adalah solusi dari (1.3), dan kita sebut solusi total.
1.2.1. Tanggapan Alami, Tanggapan Paksa, Tanggapan Lengkap Dalam rangkaian listrik, solusi total persamaan diferensial (1.3) merupa-kan tanggapan lengkap (complete response) rangkaian, yang tidak lain adalah keluaran (tanggapan) rangkaian dalam kurun waktu setelah terjadi perubahan, atau kita katakan untuk t > 0. Tanggapan lengkap ini terdiri dua komponen yaitu tanggapan alami dan tanggapan paksa, sesuai dengan adanya solusi homogen dan solusi khusus dari (1.3). Tanggapan alami adalah solusi homogen dari persamaan homogen (1.4); disebut demikian karena ia merupakan tanggapan yang tidak ditentukan oleh fungsi pemaksa x(t) karena x(t) = 0. Komponen ini ditentukan oleh ele-
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-1
5
men rangkaian dan keadaannya sesaat setelah terjadinya perubahan atau kita katakan ditentukan oleh keadaan pada t = 0+. Tanggapan paksa ada-lah solusi khusus dari persamaan rangkaian (1.3); disebut demikian kare-na tanggapan ini merupakan tanggapan rangkaian atas adanya fungsi pemaksa x(t). Tanggapan Alami. Banyak cara untuk mencari solusi persamaan (1.4). Salah satu cara adalah memisahkan peubah dan kemudian melakukan integrasi. Di sini kita tidak menggunakan cara itu, tetapi kita akan menggunakan cara pendugaan. Persamaan (1.4) menyatakan bahwa y ditambah dengan suatu koefisien konstan kali dy/dt, sama dengan nol untuk semua nilai t. Hal ini hanya mungkin terjadi jika y dan dy/dt ber-bentuk sama. Fungsi yang turunannya mempunyai bentuk sama dengan fungsi itu sendiri adalah fungsi eksponensial. Jadi kita dapat menduga bahwa solusi dari (1.4) mempunyai bentuk eksponensial y = K1est . Jika solusi dugaan ini kita masukkan ke (1.4), kita peroleh
( ) 0 atau 0 111 =+=+ basyKebKseaK stst (1.5) Peubah y tidak mungkin bernilai nol untuk seluruh t dan K1 juga tidak boleh bernilai nol karena hal itu akan membuat y bernilai nol untuk se-luruh t. Satu-satunya cara agar persamaan (1.5) terpenuhi adalah
0=+ bas (1.6) Persamaan (1.6) ini disebut persamaan karakteristik sistem orde-1. Persamaan ini hanya mempunyai satu akar yaitu s = (b/a). Jadi tanggapan alami yang kita cari adalah
tabsta eKeKy
)/(11
== (1.7)
Nilai K1 masih harus kita tentukan melalui penerapan suatu persyaratan tertentu yang kita sebut kondisi awal yaitu kondisi pada t = 0+. Yang dimaksud dengan t = 0+ adalah sesaat setelah terjadinya perubahan keadaan; dalam kasus penutupan saklar S pada rangkaian Gb.1.1, t = 0+ adalah sesaat setelah saklar ditutup. Ada kemungkinan bahwa y telah mempunyai nilai tertentu pada t = 0+ sehingga nilai K1 haruslah sedemikian rupa sehingga nilai y pada t = 0+ tersebut dapat dipenuhi. Akan tetapi kondisi awal ini tidak dapat kita terapkan pada tanggapan alami karena tanggapan ini baru merupakan sebagian dari tanggapan rangkaian. Kondisi awal harus kita terapkan pada tanggapan lengkap dan bukan hanya untuk tanggapan alami saja. Oleh karena itu kita harus
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-1
6 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
mencari tanggapan paksa lebih dulu agar tanggapan lengkap dapat kita peroleh untuk kemudian menerapkan kondisi awal tersebut.
Tanggapan Paksa. Tanggapan paksa dari (1.3) tergantung dari bentuk fungsi pemaksa x(t). Seperti halnya dengan tanggapan alami, kita dapat melakukan pendugaan pada tanggapan paksa. Bentuk tanggapan paksa haruslah sedemikian rupa sehingga jika dimasukkan ke persamaan rangkaian (1.3) maka ruas kiri dan ruas kanan persamaan itu akan berisi bentuk fungsi yang sama. Jika tanggapan paksa kita sebut yp, maka yp dan turunannya harus mempunyai bentuk sama agar hal tersebut terpenuhi. Untuk berbagai bentuk fungsi pemaksa x(t), tanggapan paksa dugaan yp adalah sebagai berikut.
. cosinusmaupun sinus fungsi umumbentuk adalah sincos
sincos maka ,cos)( Jikasincos maka , sin)( Jika
aleksponensi maka al,eksponensi)( Jikakonstan maka konstan,)( Jika
0 maka , 0)( Jika
tKtKy
tKtKytAtx
tKtKytAtx
KeyAetx
KyAtx
ytx
sc
scp
scp
tp
t
p
p
+=
+==
+==
====
====
==
: Perhatikan
(1.8)
Tanggapan Lengkap. Jika tanggapan paksa kita sebut yp, maka tanggapan lengkap adalah
tspap eKyyyy
1+=+= (1.9)
Pada solusi lengkap inilah kita dapat menerapkan kondisi awal yang akan memberikan nilai K1.
Kondisi Awal. Peubah y adalah peubah status, bisa berupa tegangan kapasitor vC atau arus induktor iL. Kondisi awal adalah nilai y pada t = 0+. Sebagaimana telah kita pelajari di Bab-1, peubah status harus merupakan fungsi kontinyu. Jadi, sesaat sesudah dan sesaat sebelum terjadi perubahan pada t = 0, y harus bernilai sama. Dengan singkat dituliskan
)0()0(ataupun )0()0( : awal Kondisi ++ == LLCC iivv (1.10) Jika kondisi awal ini kita sebut y(0+) dan kita masukkan pada dugaan solusi lengkap (1.9) akan kita peroleh nilai K1.
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-1
7
)0()0( )0()0( 11 ++++ =+= pp yyKKyy (1.11)
Nilai y(0+) dan yp(0+) adalah tertentu (yaitu nilai pada t=0+). Jika kita sebut
0)0()0( Ayy p = ++ (1.12)
maka tanggapan lengkap menjadi ts
p eAyy
0 += (1.13)
1.3. Komponen Mantap dan Komponen Transien Tanggapan lengkap rangkaian seperti yang ditunjukkan oleh (1.13), terdiri dari dua komponen. Komponen yang pertama (ditunjukkan oleh suku pertama) kita sebut komponen mantap. Komponen yang kedua (ditunjukkan oleh suku kedua) kita sebut komponen transien atau komponen peralihan. Komponen transien ini berbentuk eksponensial dengan konstanta waktu yang besarnya ditentukan oleh parameter rangkaian, yaitu = a/b. Dengan pengertian konstanta waktu ini tanggapan rangkaian dapat kita tulis
+= /0 t
p eAyy (1.14)
Sebagaimana kita ketahui, fungsi eksponensial dapat kita anggap hanya berlangsung selama 5 kali konstanta waktunya karena pada saat itu nilainya sudah tinggal kurang dari 1% dari amplitudo awalnya. Jadi komponen transien boleh kita anggap hanya berlangsung selama 5, sedangkan komponen mantap tetap berlangsung walau komponen transien telah hilang (oleh karena itulah disebut komponen mantap). Komponen transien tidak lain adalah tanggapan alami, yang merupakan reaksi alamiah dari rangkaian terhadap adanya perubahan. Berikut ini kita akan melihat beberapa contoh analisis transien sistem orde-1.
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-1
8 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
1.4. Tanggapan Rangkaian Tanpa Fungsi Pemaksa, x(t) = 0 Persamaan rangkaian tanpa fungsi pemaksa ini berasal dari rangkaian tanpa masukan. Perubahan tegangan dan arus dalam rangkaian bisa terjadi karena ada pelepasan energi yang semula tersimpan dalam rangkaian dan tanggapan rangkaian yang akan kita peroleh hanyalah tanggapan alami saja. Walaupun demikian, dalam melakukan analisis kita akan menganggap bahwa fungsi pemaksa tetap ada, akan tetapi bernilai nol. Hal ini kita lakukan karena kondisi awal harus diterapkan pada tanggapan lengkap, sedangkan tanggapan lengkap harus terdiri dari tanggapan alami dan tanggapan paksa (walaupun mungkin bernilai nol). Kondisi awal tidak dapat diterapkan hanya pada tanggapan alami saja atau tanggapan paksa saja.
CONTOH-1.1: Saklar S pada rangkaian di samping ini telah lama berada pada posisi 1. Pada t = 0, saklar S dipindahkan ke posisi 2. Carilah tegangan kapasitor, v, untuk t > 0.
Solusi : Karena S telah lama pada posisi 1, maka kapasitor telah terisi penuh, arus kapasitor tidak lagi mengalir, dan tegangan kapasitor sama dengan tegangan sumber, yaitu 12 V; jadi v(0) = 12 V. Setelah saklar dipindahkan ke posisi 2, kita mempunyai rangkaian tanpa sumber (masukan) seperti di samping ini, yang akan memberikan persamaan rangkaian tanpa fungsi pemaksa. Aplikasi HTK pada rangkaian ini memberikan : 0=+ Riv R .
Karena dtdvCii CR == maka kita dapat menuliskan persamaan
rangkaian sebagai :
10k 0.1F
iR + v
+
12V 10k
0.1F
S 1 2
+ v
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-1
9
0=dtdvRCv atau 01 =+ v
RCdtdv
Dengan nilai elemen seperti diperlihatkan pada gambar, maka persamaan rangkaian menjadi :
01000 =+ vdtdv
Inilah persamaan rangkaian untuk t > 0. Pada rangkaian ini tidak ada fungsi pemaksa. Ini bisa dilihat dari gambar rangkaian ataupun dari persamaan rangkaian yang ruas kanannya bernilai nol.
V 12 : menjadi lengkap Tanggapan 12012 : memberikan
lengkapnggapan dugaan ta pada awal kondisi Penerapan V. 12)0()0( : awal Kondisi
0 : lengkapggapan Dugaan tan
pemaksa) fungsi ada tidak ( 0 : paksaggpan Dugaan tan : alamiggapan Dugaan tan
100001000 :tik karakteris Persamaan
100000
100000
10000
t
tstp
p
ta
ev
AA
vv
eAeAvv
v
eAv
ss
+
=
=+=
==
+=+=
=
=
==+
Pemahaman :
Rangkaian tidak mengandung fungsi pemaksa. Jadi sesungguhnya yang ada hanyalah tanggapan alami. Tanggapan paksa dinyatakan sebagai vp = 0. Kondisi awal harus diterapkan pada tanggapan lengkap aap vvvv +=+= 0 walaupun kita tahu bahwa hanya ada tanggapan alami dalam rangkaian ini.
CONTOH-1.2: Saklar S pada rangkaian berikut ini telah lama tertutup. Pada t = 0 saklar dibuka. Carilah arus dan tegangan induktor untuk t > 0.
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-1
10 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
Solusi : Saklar S telah lama tertutup, berarti keadaan mantap telah tercapai. Pada keadaan mantap ini tegangan induktor harus nol, karena sum-ber berupa sumber tegangan konstan. Jadi resistor 3 k terhubung singkat melalui induktor. Arus pada induktor dalam keadaan mantap ini (sebelum saklar dibuka) sama dengan arus yang melalui resistor 1 k yaitu mA 50
100050)0( ==i . Setelah saklar dibuka, rangkaian
tinggal induktor yang terhubung seri dengan resistor 3 k. Untuk
simpul A berlaku 03000
=+ ivA . Karena vA = vL = L di/dt, maka per-
samaan ini menjadi 06,03000
1=+
idtdi
atau
0 3000 0,6 =+ idtdi
mA 50 : menjadi lengkap Tanggapan 50 : memberikan
lengkapnggapan dugaan ta pada awal kondisi Penerapan .mA 50)0()0( : awal Kondisi
0 : lengkapnggapan Dugaan ta
pemaksa) fungsi ada(tak 0 : paksanggapan Dugaan ta : alamiggapan Dugaan tan
5000 030006,0 :tik karakteris Persamaan
50000
50000
50000
50000
t
ttp
p
ta
ei
A
ii
eAeAii
ieAi
ss
+
=
=
==
+=+=
=
=
==+
50 V 3 k
1 k
i
0.6 H
+
S
A
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-1
11
CONTOH-1.3: Tentukanlah tegangan kapasitor, v , dan arus kapasitor i untuk t > 0 pada rangkaian di samping ini jika diketahui bahwa kondisi awalnya adalah v(0+) = 10 V.
Solusi : Dalam soal ini tidak tergambar jelas mengenai terjadinya peru-bahan keadaan (penutupan saklar misalnya). Akan tetapi disebutkan bahwa kondisi awal v(0+) = 10 V. Jadi kita memahami bahwa rangkaian ini adalah rangkaian untuk keadaan pada t > 0 dengan kondisi awal sebagaimana disebutkan. Persamaan tegangan untuk simpul A adalah
0104
51
101
=+
+
iivA atau 063 =+ iv .
Karena i = C dv/dt = (1/6) dv/dt maka persamaan tersebut menjadi
03 =+ vdtdv
A 5)3(1061
: kapasitor Arus
V 10 : menjadi kapasitor) (tegangan lengkap Tanggapan 010 : memberikan awal kondisi Penerapan
V 10)0( : awal Kondisi : lengkapnggapan Dugaan ta
0 : paksanggapan Dugaan ta : alaminggapan Dugaan ta
303 :tik karakteris Persamaan
33
30
30
30
tt
t
tp
p
ta
eedtdvCi
ev
Av
eAvv
v
eAv
ss
+
===
=
+=
=
+=
=
=
==+
+
4 i
i
+ v
A
10
5 1/6 F
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-1
12 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
CONTOH-1.4: Tentukanlah arus induktor i(t) untuk t > 0 pada rangkaian di samping ini jika diketahui bahwa i(0+) = 2 A. Solusi : Sumber tegangan tak-bebas berada di anta-ra dua simpul yang bukan simpul referensi A dan B, dan kita jadikan simpul super. Dengan mengambil i sebagai peubah sinyal, kita peroleh:
ABB
RBA
BB
vvvivv
vivi
54
25,0 5,0
05 6 021
31
: ABSuper Simpul
===
=+=
++
02 3 =+ Avi Karena vA = L di/dt = 0,5 di/dt maka persamaan di atas menjadi
0 3 =+ idtdi
A 2 : menjadi lengkap Tanggapan 02 : memberikan awal kondisiPenerapan
A 2)0( awal Kondisi0 : lengkapnggapan Dugaan ta
0 : paksanggapan Dugaan ta : alaminggapan Dugaan ta
303 :tik karakteris Persamaan
30
30
30
30
t
ttp
p
ta
ei
Ai
eAeAvi
ieAi
ss
+
=
+=
=
+=+=
=
=
==+
1.5. Tanggapan Terhadap Sinyal Anak Tangga Fungsi anak tangga, Au(t), adalah fungsi yang bernilai 0 untuk t < 0 dan bernilai konstan A untuk t > 0. Masukan yang berupa tegangan dengan bentuk gelombang sinyal anak tangga dapat digambarkan dengan sebuah
+
0,5 H
3
2
0,5 iR i
A
B
iR
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-1
13
sumber tegangan konstan A V seri dengan saklar S yang ditutup pada t =0 yang akan memberikan tegangan masukan vs=Au(t). Rangkaian sum-ber ini dapat juga kita nyatakan dengan sebuah sumber tegangan bebas vs=Au(t). Kedua cara ini sering digunakan dalam menyatakan persoalan-persoalan rangkaian.
Jika kita hanya meninjau keadaan untuk t > 0 saja, maka masukan sinyal anak tangga vs = Au(t) dapat kita tuliskan sebagai vs = A (konstan) tanpa menuliskan faktor u(t) lagi. CONTOH-1.5: Saklar S pada
rangkaian di samping ini telah lama pada posisi 1. Pada t = 0, S dipindahkan ke posisi 2. Tentukan v (tegangan kapasi-tor) untuk t > 0. Solusi : Saklar S telah lama pada posisi 1 dan hal ini berarti bahwa tegangan kapasitor sebelum saklar dipindahkan ke posisi 2 adalah v(0) = 0. Setelah saklar pada posisi 2, aplikasi HTK memberikan persamaan rangkaian
01012 4 =++ vi .
Karena i = iC = C dv/dt, maka persamaan tersebut menjadi 0101,01012 64 =++ v
dtdv
atau
1210 3 =+ vdtdv
ta eAv
ss
10000
33
: alaminggapan Dugaan ta
100010/10110 :tik karakteris Persamaan
=
===+
Fungsi pemaksa bernilai konstan (=12). Kita dapat menduga bahwa tanggapan paksa akan bernilai konstan juga karena turunannya akan
A V + vs
+
S
+ vs
Au(t)V
+
12V
10k + v
S
2 1
+
0,1F
i
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-1
14 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
nol sehingga kedua ruas persamaan rangkaian tersebut di atas dapat berisi suatu nilai konstan.
V 1212 : menjadi lengkap Tanggapan 12120 : memberikan awal kondisi Penerapan
. 0)0()0( : awal KondisiV 12 : lengkapnggapan Dugaan ta
12 12 0 :rangkaian persamaan ke inidugaan Masukkan : paksanggapan Dugaan ta
100000
10000
t
t
pp
p
ev
AAvv
eAv
vKv
Kv
+
=
=+=
==
+=
==+
=
Pemahaman : a). Persamaan tegangan kapasitor ini menunjuk-kan perubahan tegangan pada waktu ia diisi, se-bagaimana terlihat pada gambar di samping ini.
b). Pemasukan suatu te-gangan konstan ke suatu rangkaian dengan menutup saklar pada t = 0 sama dengan memberikan bentuk gelombang tegangan anak tang-ga pada rangkaian. Pernyataan persoalan diatas dapat dinyatakan dengan sumber sinyal anak tangga dengan tambahan keterangan bahwa vC(0) = 0.
CONTOH-1.6: Tentukanlah tegan-gan kapasitor v untuk t > 0 pada rangkaian di samping ini jika v(0) = 4 V.
Solusi : Aplikasi HTK pada rangkaian ini memberikan
)(1210010)(12 34 tuvdtdv
vitu =+=++
Jika kita hanya meninjau keadaan untuk t > 0 saja, maka fungsi anak tangga dapat kita tuliskan sebagai suatu nilai konstan tanpa menulis-kan u(t) lagi. Jadi persamaan rangkaian di atas menjadi
12u(t) V
10k + v
0,1F
i
+
v
[V] 1212e1000t
t 0
12
0 0.002 0.004
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-1
15
1210 3 =+ vdtdv
V 812 : menjadi lengkapTanggapan 8124 : memberikan awal kondisiPenerapan
V. 4)0()0( : awal Kondisi12 : lengkapnggapan Dugaan ta
12120 konstan) pemaksa (fungsi : paksanggapan Dugaan ta
:alaminggapan Dugaan ta
100110 :tik karakteris Persamaan
100000
10000
10000
10000
33
t
ttp
p
p
ta
ev
AAvv
eAeAvv
vK
KveAv
ss
+
=
=+=
==
+=+=
==+
=
=
==+
CONTOH-1.7: Semula, rangkaian berikut ini tidak mempunyai simpanan energi awal dan saklar S terbuka (tidak pada posisi 1 maupun 2). Kemudian saklar S ditutup pada posisi 1 selama beberapa milidetik sampai arus yang mengalir pada resistor 15 mencapai 2,6 A. Segera setelah nilai arus ini dicapai, saklar dipindah ke posisi 2. Carilah tegangan kapasitor mulai saat saklar pada posisi 2.
Solusi : Persoalan menutup saklar ke posisi 1 adalah persoalan pengisian kapasitor. Kita tidak membahasnya lagi, dan selain itu berapa lama saklar ada di posisi 1 juga tidak dipermasalahkan. Informasi bahwa saklar ditutup pada posisi 1 sampai arus mencapai 2,6 A menunjukkan bahwa sesaat sebelum saklar dipindahkan ke posisi 2,
iC
S 15
1/30 F
50 V 10
1 2
+ v
A
100 V
+
+
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-1
16 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
tegangan di simpul A (yang berarti pula tegangan pada kapasitor v), telah mencapai nilai tertentu yaitu
V 116,21550)0( ==v . Setelah saklar ada di posisi 2, yaitu pada t > 0, persamaan tegangan untuk simpul A adalah:
320
61
atau 015
100101
151
=+=+
+ CCA iviv
Karena iC = C dv/dt , maka persamaan di atas menjadi
320
301
61
=+dtdv
v atau
2005 =+ vdtdv
V. 2940 : menjadi lengkapTanggapan 294011 : memberikan awal kondisi Penerapan
V 11)0()0( awal Kondisi40 : lengkapnggapan Dugaan ta
4020050 : paksanggapan Dugaan ta :alaminggapan Dugaan ta
505 :tik karakteris Persamaan
500
50
50
50
t
ttp
pp
ta
ev
A Avv
eAeAvv
vKKveAv
ss
+
=
=+=
==
+=+=
==+=
=
==+
CONTOH-1.8: Semula, rangkaian berikut ini tidak mempunyai sim-panan energi awal. Pada t = 0 saklar S ditutup di posisi 1 selama sa-tu detik kemudian dipindah ke posisi 2. Carilah tegangan kapasitor untuk t > 0.
iC
S 150
1/30 F
100 2 1
+ v
A
50 V
+
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-1
17
Solusi : Pada waktu saklar di posisi 1, persamaan tegangan simpul A adalah
0300100
301
3005
015050
1001
1501
=+
=+
+
dtdv
v
iv CA
atau 202 =+dtdv
v
[ ][ ] V )1()( 2020 : sebagai dituliskandapat atau 1 0untuk V 2020 : menjadi lengkap Tanggapan
20200awal kondisi Penerapan 0)0( : awal Kondisi
20 : lengkapnggapan Dugaan ta
200 : paksanggapan Dugaan ta : alaminggapan Dugaan ta
5,0021 :tik karakteris Persamaan
5.01
5.01
00
1
5,00
5,001
5,00
=
1, persamaan tegangan simpul A adalah
0301
30050
1001
1501
=+
=+
+
dtdv
viv CA atau
02 =+dtdv
v
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-1
18 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
[ ][ ]
)1( 9,7 : menjadi lengkapTanggapan 9,709,7 :)1( awal kondisi Penerapan
V 7,9)1()1( : awal Kondisi)1( 0
)1( : lengkap Tanggapan 0 : paksa Tanggapan
1( : sebagai dituliskandapat atau 1untuk , 0 1untuk , : alaminggapan Dugaan ta
5,0021 :tik karakteris Persamaan
)1( 5,02
0101
12
)1(5,001
)1(5,00112
1
)1( 5,001
5,001
=
=+==
==
+=
+=
=
=
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-1
19
1.5.1. Prinsip Superposisi Prinsip superposisi berlaku juga pada analisis transien. Jika rangkaian mengandung beberapa fungsi pemaksa, maka tanggapan total rangkaian adalah jumlah dari tanggapan lengkap dari masing-masing fungsi pemaksa yang ditinjau secara terpisah. CONTOH-1.9: Masukan pada rangkaian contoh 1.8. dapat dinyatakan
sebagai sebuah sinyal impuls yang muncul pada t = 0 dengan ampli-tudo 50 V dan durasinya 1 detik. Carilah v untuk t > 0. Solusi : Sinyal impuls ini dapat dinyatakan dengan fungsi anak tangga se-bagai
V )1(50)(50 = tutuvs Kita dapat memandang masukan ini sebagai terdiri dari dua sumber yaitu
V )1(50 dan V )(50 21 == tuvtuv ss Rangkaian ekivalennya dapat digambarkan seperti di bawah ini.
Untuk vs1 persamaan rangkaian adalah
015050
1001
1501
=+
+ CA iv )(202 tudt
dvv =+
Tanggapan lengkap dari persamaan ini telah diperoleh pada contoh 1.8. yaitu
( ) V )( 2020 5,0o1 tuev t= Untuk vs2 dengan peninjauan hanya pada t > 1, persamaan rangkaian adalah
iC
150
1/30 F
100 + v
A
50u(t) V
+
+ 50u(t1) V
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-1
20 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
015050
1001
1501
=++
+ CA iv atau
)1(202 =+ tudtdv
v
( )
( ) ( ) V )1( 2020)( 2020
: totalTanggapan V )1( 2020
: menjadi lengkap Tanggapan 202000)1( : awal Kondisi
)1(20 : lengkapnggapan Dugaan ta200 : paksanggapan Dugaan ta)1( : alaminggapan Dugaan ta
5,0012 :tik karakteris Persamaan
)1( 5,0 5,0o2o1
)1( 5,0o2
0101
)1( 5,001o2
222
)1( 5,001
++=
+=
+=
=+==
+=
=+=
=
==+
+
tuetue
vvv
tuev
AAv
tueAv
KKvtueAv
ss
tt
t
t
p
ta
Hasil ini sama dengan yang telah diperoleh pada contoh-1.8.
1.6. Tanggapan Rangkaian Orde-1 Terhadap Sinyal Sinus Berikut ini kita akan melihat tanggapan rangkaian terhadap sinyal sinus. Karena tanggapan alami tidak tergantung dari bentuk fungsi pemaksa, maka pencarian tanggapan alami dari rangkaian ini sama seperti apa yang kita lihat pada contoh-contoh sebelumnya,. Jadi dalam hal ini perhatian kita lebih kita tujukan pada pencarian tanggapan paksa. Bentuk umum dari fungsi sinus yang muncul pada t = 0 adalah
)()cos( tutAy += (1.15.a) Jika kita hanya meninjau keadaan untuk t > 0 saja, maka u(t) pada (1.15.a) tidak perlu dituliskan lagi, sehingga pernyataan fungsi sinus menjadi
)cos( += tAy (1.15.b) Fungsi sinus umum ini dapat kita tuliskan sebagai berikut.
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-1
21
{ }=+= sinsincoscos)cos( ttAtAy
==+=
sindan cosdengan sincos
AAAAtAtAy
sc
sc (1.16)
Dengan pernyataan umum seperti (1.16), kita terhindar dari perhitungan sudut fasa , karena sudut fasa ini tercakup dalam koefisien Ac dan As. Dalam analisis rangkaian yang melibatkan sinyal sinus, kita akan menggunakan bentuk umum sinyal sinus seperti (1.16). Koefisien Ac dan As tidak selalu ada. Jika sudut fasa = 0 maka As = 0 dan jika = 90o maka Ac = 0. Jika kita memerlukan nilai sudut fasa dari fungsi sinus yang dinyatakan dengan persamaan umum (1.16), kita menggunakan hubungan
c
s
AA
=tan (1.17)
Turunan fungsi sinus akan berbentuk sinus juga.
tAtAdt
yd
tAtAdtdy
tAtAy
sc
scsc
=
+=+=
sincos
cossin ; sincos
222
2 (1.18)
Oleh karena itu, penjumlahan y dan turunannya akan berbentuk fungsi sinus juga dan hal inilah yang membawa kita pada persamaan (1.8). CONTOH-1.10: Carilah
tegangan dan arus kapasitor untuk t > 0 pada rangkaian di bawah ini, jika diketahui bahwa vs=50cos10t u(t) V dan v(0+) = 0. Solusi : Persamaan tegangan simpul untuk simpul A adalah
1561
01510
1151 s
Cs
Cvivviv =+=+
+
Karena iC = C dv/dt , persamaan di atas dapat kita tulis
iC
A
15
1/30 F vs 10
+ v
+
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-1
22 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
15301
61 sv
dtdv
v =+ atau tvdtdv 10cos1005 =+
Faktor u(t) tak dituliskan lagi karena kita hanya melihat keadaan pada t > 0.
ta eAv
ss
50 : alaminggapan Dugaan ta
505 :tik karakteris Persamaan
=
==+
Fungsi pemaksa berbentuk sinus. Tanggapan paksa kita duga akan berbentuk Accost+Assint.
t
p
sccccs
cssc
scsc
scp
eAttv
ttv
AAAAAAAAAA
ttAtAtAtA
tAtAv
5010sin810cos4 : lengkapnggapan Dugaan ta
10sin810cos4 : paksa Tanggapan 8dan 4100520 2
100510dan 0510 10cos10010sin510cos510cos1010sin10 : memberikanrangkaian persamaan ke inidugaan tanggapanSubstitusi
10sin10cos : paksanggapan Dugaan ta
++=
+=
===+=
=+=+
=+++
+=
( )A 66,010cos66,210sin33,1
2010cos8010sin40301
: kapasitor Arus
V 410sin810cos4 : kapasitor tegangan Jadi
4 40 : awal kondisi Penerapan 0)0( awal Kondisi
5
5
500
t
tC
t
ett
ettdtdvCi
ettv
AAv
+
++=
++==
+=
=+=
=
CONTOH-1.11: Carilah tegangan dan arus kapasitor pada contoh-1.10. jika kondisi awalnya adalah v(0+) = 10 V. Solusi : Tanggapan lengkap telah diperoleh pada contoh-1.10.
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-1
23
( )A 10cos33,210sin33,1
3010cos8010sin40301
: kapasitor Arus
V 610sin810cos4 : Jadi
6 41010)0( awal Kondisi10sin810cos4 : lengkap Tanggapan
5
5
500
50
t
tC
t
t
ett
ettdtdvCi
ettv
AAv
eAttv
+
+=
+==
++=
=+==
++=
CONTOH-1.12: Carilah tegangan kapasitor pada contoh 1.10. jika vs = 50cos(10t + )u(t) V dan kondisi awalnya adalah v(0+) = 10 V. Solusi :
tAtAveAv
tt
tvdtdv
scp
ta
10sin10cos : paksanggapan Dugaan ta4.10.)contoh seperti (sama : alami Tanggapan
10sinsin10010coscos100
)10cos(1005 : rangkaian Persamaan
50
+=
=
=
+=+
t
t
sc
cccs
cssc
scsc
ettv
AAv
eAttv
AAAAAA
AAAAtt
tAtAtAtA
50
0
50
)sin8cos410()10sin(8)10cos(4 : Jadi)sin8cos4(10
sin8cos41010)0( awal Kondisi)10sin(8)10cos(4 : lengkap Tanggapan
cos8sin4dan sin84cos cos100520sin200dan 2sin20
cos100510dan sin10051010sinsin10010coscos100
10sin510cos510cos1010sin10 : memberikan
rangkaian persamaan ke inidugaan paksa tanggapanSubstitusi
+
++++=
+=++==
++++=
+=+==+++=
=+=+=
+++
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-1
24 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
1.7. Tanggapan Masukan Nol dan Tanggapan Status Nol Jika suatu rangkaian tidak mempunyai masukan, dan yang ada hanyalah simpanan energi dalam rangkaian, maka tanggapan rangkaian dalam peristiwa ini kita sebut tanggapan masukan nol. Bentuk tanggapan ini secara umum adalah
tabm eyy
)/(0 )0( += (1.19)
Sebagaimana kita ketahui y(0+) adalah kondisi awal, yang menyatakan adanya simpanan energi pada rangkaian pada t = 0. Jadi tanggapan masukan nol merupakan pelepasan energi yang semula tersimpan dalam rangkaian.
Jika rangkaian tidak mempunyai simpanan energi awal, atau kita katakan ber-status-nol, maka tanggapan rangkaian dalam peristiwa ini kita sebut tanggapan status nol. Bentuk tanggapan ini ditunjukkan oleh (1.13) yang kita tuliskan lagi sebagai
tabffs eyyy )/(0 )0( += (1.20)
dengan yf adalah tanggapan keadaan mantap atau keadaan final, yang telah kita sebut pula sebagai tanggapan paksa. Suku kedua adalah negatif dari nilai tanggapan mantap pada t = 0 yang menurun secara eksponensial. Ini merupakan reaksi alamiah rangkaian yang mencoba mempertahankan status-nol-nya pada saat muncul fungsi pemaksa pada t = 0. Jadi suku kedua ini tidak lain adalah tanggapan alamiah dalam status nol.
Tanggapan lengkap rangkaian seperti ditunjukkan oleh (1.12) dapat kita tuliskan kembali sebagai
tabtabffms eyeytyyyy )/( )/(00 )0( )0()( ++ +=+=
Pengertian mengenai tanggapan status nol dan tanggapan masukan nol tersebut di atas, mengingatkan kita pada prinsip superposisi. Rangkaian dapat kita pandang sebagai mengandung dua macam masukan; masukan yang pertama adalah sumber yang membangkitkan fungsi pemaksa x(t), dan masukan yang kedua adalah simpanan energi awal yang ada pada rangkaian. Dua macam masukan itu masing-masing dapat kita tinjau secara terpisah. Jika hanya ada fungsi pemaksa, kita akan mendapatkan
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-1
25
tanggapan status nol ys0 , dan jika hanya ada simpanan energi awal saja maka kita akan mendapatkan tanggapan masukan nol ym0. Tanggapan lengkap adalah jumlah dari tanggapan status nol dan tanggapan masukan nol, y = ys0 + ym0 . Sebagai contoh kita akan melihat lagi persoalan pada contoh 1.11. yang akan kita selesaikan dengan menggunakan pengertian tanggapan status nol dan tanggapan masukan nol.
CONTOH-1.13: Carilah tegangan dan arus kapasitor untuk t > 0 pada rangkaian di samping ini, jika diketahui bahwa v(0+) = 10 V dan vs=50cos10t u(t) V
Solusi : Persamaan rangkaian ini telah kita dapatkan untuk peninjauan pada t > 0, yaitu
tvdtdv 10cos1005 =+
tms
t
stffs
ff
sc
cccs
cssc
scsc
scf
tmm
m
tmm
ettvvv
ett
evvv
vttv
AAAAAA
AAAAt
tAtAtAtA
tAtAvevK
vv
eKv
ss
500
50
500
0
500
610sin810cos4 : lengkap Tanggapan
410sin810cos4
)0( : nol status Tanggapan 4)0(10sin810cos4 : mantap Tanggapan
84 100520100510
20510 10cos100
10sin510cos510cos1010sin10 10sin10cos : mantapnggapan Dugaan ta
10 10
10)0()0( : awal Kondisi : nolmasukan Tanggapan
505 :tik karakteris Persamaan
+
+
++
++=+=
+=
=
=+=
==
=+=+
==+
=
+++
+=
==
==
=
==+
iC 15
1/30 F vs 10
+ v
+
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-1
26 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
1.8. Ringkasan Mengenai Tanggapan Rangkaian Orde-1 Tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan paksa dan tanggapan alami. Tanggapan alami merupakan komponen transien dengan konstanta waktu yang ditentukan oleh nilai-nilai elemen rangkaian. Tanggapan paksa merupakan tanggapan rangkaian terhadap fungsi pemaksa dari luar dan merupakan komponen mantap atau kondisi final.
Tanggapan rangkaian juga dapat dipandang sebgai terdiri dari tanggapan status nol dan tanggapan masukan nol. Tanggapan status nol adalah tanggapan rangkaian tanpa simpanan energi awal. Tanggapan masukan nol adalah tanggapan rangkaian tanpa masukan atau dengan kata lain tanggapan rangkaian tanpa pengaruh fungsi pemaksa.
Tanggapan Paksa : ditentukan oleh fungsi pemaksa. merupakan komponen mantap; tetap ada untuk t .
Tanggapan Alami : tidak ditentukan oleh fungsi pemaksa. merupakan komponen transien; hilang pada t . konstanta waktu = a/b
+= / 0 )( tp eAtyy
++ += / / )0( )0()( ttpp eyeytyy
Tanggapan Status Nol : tanggapan rangkaian jika tidak ada simpanan energi awal.
Tanggapan Masukan Nol : tanggapan rangkaian jika tidak ada masukan. upaya rangkaian untuk melepaskan simpanan energinya.
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-1
27
Soal-Soal
1. Carilah bentuk gelombang tegangan / arus yang memenuhi persamaan diferensial berikut.
V 5)0( , 015 b).
V 10)0( , 010 .a)
==+
==+
+
+
vvdtdv
vvdtdv
mA 5)0( , 010 d).
A 2)0( , 08 .c)
4==+
==+
+
+
iidtdi
iidtdi
V 5)0( , )(1010 f).
0)0( , )(1010 .e)
==+
==+
+
+
vtuvdtdv
vtuvdtdv
mA 20)0( , )(10010 h).
0)0( , )(10010 .g)
4
4
==+
==+
+
+
ituidtdi
ituidtdi
V 5)0( , )()5cos(1010 j).
0)0( , )()5cos(105 .i)
==+
==+
+
+
vtutvdtdv
vtutvdtdv
A 5,0)0( , )( ]100[sin 10010 l).
0)0( , )( ]100[sin 10010 .k)
4
4
==+
==+
+
+
itutidtdi
itutidtdi
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-1
28 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
2. Saklar S pada rangkaian di bawah ini, telah lama berada pada posisi A. Pada t = 0, ia dipindahkan ke posisi B. Carilah vC untuk t > 0.
3. Saklar S pada rangkaian di bawah ini, telah lama tertutup. Pada t = 0, ia dibuka. Carilah iL untuk t > 0.
4. Saklar S pada rangkaian di bawah ini, telah lama tertutup. Pada t = 0, ia dibuka. Carilah vC untuk t > 0.
5. Saklar S pada rangkaian di bawah ini, telah lama terbuka. Pada t = 0, ia ditutup. Carilah vC untuk t > 0.
0,6k 0,5k
20 V
S
2k
+ vC
0,1F
+
2k
1k
18 V
S
2k
+ vC
+
1F
2k
1k
20 V
S
2k
1H
iL +
+ vC
1k
1k
10F
20 V
+
S
A B
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-1
29
6. Saklar S pada rangkaian di bawah ini, telah lama terbuka. Pada t = 0, ia ditutup. Carilah vo untuk t > 0.
7. Saklar S pada rangkaian di bawah ini, telah lama terbuka. Pada t = 0, ia ditutup. Carilah vo untuk t > 0.
8. Rangkaian di bawah ini telah lama dalam keadaan mantap dengan saklar dalam keadaan terbuka. Pada t = 0 saklar S ditutup. Tentukan i dan v untuk t > 0.
9. Sebuah kumparan mempunyai induktansi 10 H dan resistansi 10 . Pada t = 0, kumparan ini diberi tegangan 100 V. Berapa lama dibu-tuhkan waktu untuk mencapai arus setengah dari nilai akhirnya ?
10. Sebuah rele mempunyai kumparan dengan induktansi 1,2 H yang resis-tansinya 18 . Jangkar rele akan terangkat jika arus di kumparannya mencapai 50 mA. Rele ini dioperasikan dari jauh melalui kabel yang resistansi totalnya 45 dan dicatu oleh batere 12 V dengan resistansi internal 1 . Hitunglah selang waktu antara saat ditutupnya rangkaian dengan saat mulai beroperasinya rele.
1
i 12
4
+ v _
2 H
5A
5
S
10k
6k
20 V
S
20k
+ vo
+
3H
3k
8k
20 V
S
2k
+ vo
0,1F
+
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-1
30 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
11. Sebuah kapasitor 20 F terhubung paralel dengan resistor R. Rangkaian ini diberi tegangan searah 500 V dan setelah cukup lama sumber tegangan dilepaskan. Tegangan kapasitor menurun mencapai 300 V dalam waktu setengah menit. Hitunglah berapa M resistor yang terparalel dengan kapasitor ?
12. Pada kabel penyalur daya, konduktor dan pelindung metalnya membentuk suatu kapasitor. Suatu kabel penyalur daya searah sepanjang 10 km mempunyai kapasitansi 2,5 F dan resistansi isolasinya 80 M. Jika kabel ini dipakai untuk menyalurkan daya searah pada tegangan 20 kV, kemudian beban dilepaskan dan tegangan sumber juga dilepaskan, berapakah masih tersisa tegangan kabel 5 menit setelah dilepaskan dari sumber ?
13. Tegangan bolak-balik sinus dengan amplitudo 400 V dan frekuensi 50 Hz, diterapkan pada sebuah kumparan yang mempunyai induktansi 0,1 H dan resistansinya 10 . Bagaimanakah persamaan arus yang melalui kumparan itu beberapa saat setelah tegangan diterapkan ? Dihitung dari saat tegangan diterapkan, berapa lamakah keadaan mantap tercapai ?
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-2
31
BAB 2 Analisis Transien Rangkaian Orde-2
Dengan mempelajari analisis transien sistem orde ke-dua kita akan mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde-2. memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi. mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde-2.
2.1. Contoh Rangkaian Orde-2 Rangkaian RLC Seri. Kita lihat rangkaian seri RLC seperti pada Gb.2.1. Saklar S ditutup pada t = 0. Langkah pertama dalam mencari tanggapan rangkaian ini adalah mencari persamaan rangkaian. Karena rangkaian mengandung C dan L, maka ada dua peubah status, yaitu tegangan kapasitor dan arus induktor, yang dapat kita pilih untuk digunakan dalam mencari persamaan rangkaian,. Kita akan mencoba lebih dulu menggunakan tegangan kapasitor sebagai peubah rangkaian, kemudian melihat apa yang akan kita dapatkan jika arus induktor yang kita pilih. Aplikasi HTK untuk t > 0 pada rangkaian ini memberikan :
invvdtdiLRi =++ (2.1)
Karena i = iC = C dv/dt, maka persamaan (2. 1) menjadi :
Gb.2.1. Rangkaian RLC seri.
R i C
+ v
L
vs
+
S
+
vin
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-2
32 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
invvdtdvRC
dtvdLC =++2
2 (2.2)
Persamaan (2.2) adalah persamaan diferensial orde-2, yang merupakan diskripsi lengkap rangkaian, dengan tegangan kapasitor sebagai peubah. Untuk memperoleh persamaan rangkaian dengan arus induktor i sebagai peubah, kita manfaatkan hubungan arus-tegangan kapasitor, yaitu
=== idtCvdtdvCii C
1
sehingga (2.1) menjadi: invvidtC
RidtdiL =+++ )0(
1 atau
inin i
dtdvCi
dtdiRC
dtidLC ==++2
2 (2.3)
Persamaan (2.2) dan (2.3) sama bentuknya, hanya peubah sinyalnya yang berbeda. Hal ini berarti bahwa tegangan kapasitor ataupun arus induktor sebagai peubah akan memberikan persamaan rangkaian yang setara. Kita cukup mempelajari salah satu di antaranya. Rangkaian RLC Paralel. Perhatikan rangkaian RLC paralel seperti pada Gb.2.2. Aplikasi HAK pada simpul A mem-berikan
sCLR iiii =++
Hubungan ini dapat dinyatakan dengan arus induktor iL = i sebagai peubah, dengan me-manfaatkan hubungan v =vL =L di/dt, sehingga iR = v/R dan iC = C dv/dt .
R iL = i
C
+ v
L
iR iC
Gb.2.2. Rangkaian paralel RLC
A
B
is
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-2
33
s
s
iidtdi
RL
dtid
LC
idtdvCi
Rv
=++
=++
2
2
atau
(2.4)
Persamaan rangkaian paralel RLC juga merupakan persamaan diferensial orde-2.
2.2. Tinjauan Umum Tanggapan Rangkaian Orde-2 Secara umum rangkaian orde-2 mempunyai persamaan yang berbentuk
)(22
txcydtdyb
dtyd
a =++ (2.5) Pada sistem orde satu kita telah melihat bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari dua komponen yaitu tanggapan alami dan tanggapan paksa. Hal yang sama juga terjadi pada sistem orde-2 yang dengan mudah dapat ditunjukkan secara matematis seperti halnya pada sistem orde-1. Perbe-daan dari kedua sistem ini terletak pada kondisi awalnya. Karena rangkaian orde-2 mengandung dua elemen yang mampu menyimpan energi yaitu L dan C, maka dalam sistem ini baik arus induktor maupun tegangan kapasitor harus merupakan fungsi kontinyu. Oleh karena itu ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi, yaitu
)0()0(dan )0()0( ++ == LLCC iivv Dalam penerapannya, kedua kondisi awal ini harus dijadikan satu, artinya vC dinyatakan dalam iL atau sebaliknya iL dinyatakan dalam vC , tergantung dari apakah peubah y pada (2.25) berupa tegangan kapasitor ataukah arus induktor.
Sebagai contoh, pada rangkaian RLC seri hubungan antara vC dan iL ada-lah
Ci
dtdv
dtdvCiii CCCL
)0()0(atau )0()0()0()0(+
+++++====
Dengan demikian jika peubah y adalah tegangan kapasitor, dua kondisi awal yang harus diterapkan, adalah:
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-2
34 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
Ci
dtdv
vv LCCC)0()0(dan )0()0(
+++
== .
Contoh lain adalah rangkaian paralel RLC; hubungan antara vC dan iL adalah
Lv
dtdi
dtdiLvv CLLLC
)0()0(atau )0()0()0(+
++++===
Dengan demikian jika peubah y adalah arus induktor, dua kondisi awal yang harus diterapkan, adalah:
Lv
dtdiii CLLL
)0()0(dan )0()0(+
++== .
Secara umum, dua kondisi awal yang harus kita terapkan pada (2.5) ada-lah
rangkaianhubungan dari dicari )0('dengan
)0(')0(dan )0()0(+
+++==
y
ydtdyyy
(2.6)
Tanggapan Alami. Tanggapan alami diperoleh dari persamaan rangkaian dengan memberikan nilai nol pada ruas kanan dari persamaan (2.5), se-hingga persamaan menjadi
022
=++ cydtdyb
dtyd
a (2.7)
Agar persamaan ini dapat dipenuhi, y dan turunannya harus mempunyai bentuk sama sehingga dapat diduga y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai K dan s yang masih harus ditentukan. Kalau solusi ini dimasukkan ke (2.7) akan diperoleh :
( ) 0atau 0
2
2
=++
=++
cbsasKe
cKebKseeaKsst
ststst
(2.8)
Fungsi est tidak boleh nol untuk semua nilai t . Kondisi K = 0 juga tidak diperkenankan karena hal itu akan berarti ya = 0 untuk seluruh t. Satu-satunya jalan agar persamaan ini dipenuhi adalah
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-2
35
02 =++ cbsas (2.9)
Persamaan ini adalah persamaan karakteristik rangkaian orde-2. Secara umum, persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu mempunyai dua akar yaitu :
a
acbbss
24
,
221
= (2.10)
Akar-akar persamaan ini mempunyai tiga kemungkinan nilai, yaitu: dua akar riil berbeda, dua akar sama, atau dua akar kompleks konjugat. Konsekuensi dari masing-masing kemungkinan nilai akar ini terhadap bentuk gelombang tanggapan rangkaian akan kita lihat lebih lanjut. Untuk sementara ini kita melihat secara umum bahwa persamaan karakteristik mempunyai dua akar.
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai dua tanggapan alami, yaitu:
tsa
tsa eKyeKy 21 2211 dan ==
Jika ya1 merupakan solusi dan ya2 juga merupakan solusi, maka jumlah keduanya juga merupakan solusi. Jadi tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
tstsa eKeKy 21 21 += (2.11)
Konstanta K1 dan K2 kita cari melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap.
Tanggapan Paksa. Tanggapan paksa kita cari dari persamaan (2.5). Tanggapan paksa ini ditentukan oleh bentuk fungsi masukan. Cara menduga bentuk tanggapan paksa sama dengan apa yang kita pelajari pada rangkaian orde-1, yaitu relasi (2.8). Untuk keperluan pembahasan di sini, tanggapan paksa kita umpamakan sebagai ypaksa= yp.
Tanggapan Lengkap. Dengan pemisalan tanggapan paksa tersebut di atas maka tanggapan lengkap (tanggapan rangkaian) menjadi
tstspap eKeKyyyy 21 21 ++=+= (2.12)
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-2
36 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
2.3. Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan Sebagaimana disebutkan, akar-akar persamaan karakteristik yang bentuk umumnya adalah as2 + bs + c = 0 dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0; b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0; c). Dua akar kompleks konjugat s1 , s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan nilai akar tersebut akan memberikan tiga kemungkinan bentuk tanggapan yang akan kita lihat berikut ini, dengan contoh tanggapan rangkaian tanpa fungsi pemaksa.
Dua Akar Riil Berbeda. Kalau kondisi awal y(0+) dan dy/dt (0+) kita terapkan pada tanggapan lengkap (2.12), kita akan memperoleh dua persamaan yaitu
221121 )0()0('dan )0()0( KsKsyyKKyy pp ++=++= ++++
yang akan menentukan nilai K1 dan K2. Jika kita sebut
)0()0(dan )0()0( 00 ++++ == pp yyByyA (2.13)
maka kita peroleh 02211021 dan BKsKsAKK =+=+ dan dari sini kita memperoleh
21
0012
12
0021 dan
ss
BAsKss
BAsK
=
=
sehingga tanggapan lengkap menjadi tsts
p ess
BAse
ss
BAsyy 21
21
001
12
002
+
+= (2.14)
Berikut ini kita lihat suatu contoh. Seperti halnya pada rangkaian orde-1, pada rangkaian orde-2 ini kita juga mengartikan tanggapan rangkaian sebagai tanggapan lengkap. Hal ini didasari oleh pengertian tentang kon-disi awal, yang hanya dapat diterapkan pada tanggapan lengkap. Rangkaian-rangkaian yang hanya mempunyai tanggapan alami kita fahami sebagai rangkaian dengan tanggapan paksa yang bernilai nol.
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-2
37
CONTOH-2.1: Saklar S pada rangkaian di samping ini telah lama berada pada posisi 1. Pada t = 0 saklar dipin-dahkan ke posisi 2. Ten-tukan tegangan kapasitor , v , untuk t > 0.
Solusi : Kondisi mantap yang telah tercapai pada waktu saklar di posisi 1 membuat kapasitor bertegangan sebesar tegangan sumber, sementara induktor tidak dialiri arus. Jadi
0)0( ; V 15)0( == iv Setelah saklar di posisi 2, persamaan rangkaian adalah :
0=++ iRdtdiLv
Karena i = iC = C dv/dt , maka persamaan tersebut menjadi
0
0
2
2=++
=
+
+
vdtdvRC
dtvdLC
dtdvCR
dtdvC
dtdLv
Jika nilai-nilai elemen dimasukkan dan dikalikan dengan 4106 maka persamaan rangkaian menjadi
0104105,8 6322
=++ vdtdv
dtvd
+ v
iC
0,25 F 15 V 8,5 k
+
i
1 H S 1 2
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-2
38 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
alami).n tanggapadari terdirihanya ( V 16 : menjadi lengkap Tanggapan
115 168000500
)8000(1515
)15(0 0)0()0( )0(0)0()0( b).
15 15 V 15)0()0( a). : awal Kondisi
nol)) paksa (tanggapan 0 : lengkapnggapan Dugaan ta
berbeda). riilakar dua ( 8000 ,5004)25,4(104250, :akar -akar
0104105,8 :ik karkterist Persamaan
8000 500
1221
21
21112211
1221
80002
5001
2321
632
tt
CLL
tt
eev
KKss
sK
sKsKsKsKdtdv
dtdvCiii
KKKKvv
eKeKv
ss
ss
++++
+
=
===+
=
=
+=+=
=====
=+===
++=
==
=++
Dua Akar Riil Sama Besar. Kedua akar yang sama besar tersebut dapat kita tuliskan sebagai
0dengan ; dan 21 +== ssss (2.15) Dengan demikian maka tanggapan lengkap dapat kita tulis sebagai
tsstp
tstsp eKeKyeKeKyy
)(2121 21
+++=++= (2.16)
Kalau kondisi awal pertama y(0+) kita terapkan, kita akan memperoleh
02121 )0()0( )0()0( AyyKKKKyy pp ==+++= ++++
Jika kondisi awal kedua dy/dt (0+) kita terapkan, kita peroleh
0221
21
)0()0()( )()0()0(
ByyKsKK
sKsKyy
p
p
==++
+++=++
++
Dari kedua persamaan ini kita dapatkan
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-2
39
=
==+
sABAK
sABKBKsA
0001
002020
(2.17)
Tanggapan lengkap menjadi
stt
p
sttp
tsstp
ee
sABAy
eesABsAB
Ay
esAB
esABAyy
1)(
000
00000
)(00000
+
++=
+
+=
+
+=
+
(2.18.a)
Karena 1lim1lim 0
0t
ee tt=
=
+
maka tanggapan lengkap
(2.18.a) dapat kita tulis
[ ] stp etsABAyy )( 000 ++= (2.18.b) Tanggapan lengkap seperti dinyatakan oleh (2.18.b) merupakan bentuk khusus yang diperoleh jika persamaan karakteristik mempunyai dua akar sama besar. A0 dan B0 mempunyai nilai tertentu yang ditetapkan oleh kondisi awal. Dengan demikian kita dapat menuliskan (2.18.b) sebagai
[ ] stbap etKKyy ++= (2.18.c) dengan nilai Ka yang ditentukan oleh kondisi awal, dan nilai Kb ditentukan oleh kondisi awal dan s. Nilai s sendiri ditentukan oleh nilai elemen-elemen yang membentuk rangkaian dan tidak ada kaitannya dengan kondisi awal. Dengan kata lain, jika kita mengetahui bahwa persamaan karakteristik rangkaian mempunyai akar-akar yang sama besar (akar kembar) maka bentuk tanggapan rangkaian akan seperti yang ditunjukkan oleh (2.18.c).
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-2
40 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
CONTOH-2.2: Persoalan sama dengan contoh-2.1. akan tetapi resistor 8,5 k diganti dengan 4 k.
Solusi :
( ) ( )
( )( ) V 3000015 : Jadi 30000
0)0(
memberikan lengkap
n tanggapapada 0)0( kedua awal kondisi Aplikasi
.15)0( memberikan ini lengkapn tanggapapada pertama awal kondisi Aplikasi
.0 karena , 0
:berbentuk akan lengkap tanggapan itu karenaoleh besar samaakar dua terdapatsini Di
20001041042000, :akar -akar
01044000 :tik karakteris Persamaan
0104104 :adalah rangkaian Persamaan
2000
6621
62
632
2
tab
abst
bast
b
a
pst
bast
bap
etvsKK
sKKdtdv
estKKeKdtdv
dtdv
Kv
vetKKetKKvv
sss
ss
vdtdv
dtvd
+
+
+
+===
+==++=
=
==
=++=++=
===
=++
=++
Akar-Akar Kompleks Konjugat. Dua akar kompleks konjugat dapat dituliskan sebagai
=+= jsjs 21 dan Tanggapan lengkap dari situasi ini, menurut (2.32) adalah
( ) ttjtjptjtj
p
eeKeKy
eKeKyy+
+
++=
++=
2
1
)(2
)(1
(2.19)
Aplikasi kondisi awal yang pertama, y(0+), pada (2.19) memberikan ( )
021
21
)0()0( )0()0(
AyyKK
KKyy
p
p
==+
++=
++
++
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-2
41
Aplikasi kondisi awal yang kedua, )0()0( ++ = ydtdv
, pada (2.19) mem-berikan
( ) ( ) ttjtjttjtjp eeKeKeeKjeKjdt
dydtdy +++= 2121
( ) ( )( ) ( ) 02121
2121
)0()0(
)0()0()0(
ByyKKKKj
KKKjKjyydtdy
p
p
==+++++==
++
+++
Dari sini kita peroleh
( ) ( )
==++=+
jAB
KKBKKKKj
AKK
002102121
021
2/)(
;2
/)( 0002
0001
=
+=
jABAK
jABAK
Tanggapan lengkap menjadi
tp
ttjtjtjtj
p
ttjtjp
etAB
tAy
ejeeABeeAy
eejABA
ejABA
yy
++
+
++=
++
+=
+
++=
sin)(cos
2)(
2
2/)(
2/)(
000
00
0
000 000
(2.20)
A0 dan B0 mempunyai nilai tertentu yang ditetapkan oleh kondisi awal sedangkan dan ditentukan oleh nilai elemen rangkaian. Dengan demikian tanggapan lengkap (2.53) dapat kita tuliskan sebagai
( ) tbap etKtKyy ++= sincos (2.21) dengan Ka dan Kb yang masih harus ditentukan melalui penerapan kondi-si awal. Ini adalah bentuk tanggapan lengkap khusus untuk rangkaian dengan persamaan karakteristik yang mempunyai dua akar kompleks konjugat.
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-2
42 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
CONTOH-2.3: Persoalan sama dengan contoh 2.1. akan tetapi resistor 8,5 k diganti dengan 1 k.
Solusi : Dengan penggantian ini persamaan rangkaian menjadi
010410 6322
=++ vdtdv
dtvd
( )( )
( )( )
( ) V ) 15500sin(15) 15500cos(15 :adalah lengkapn tanggapaJadi
151550015500
0)0(
sincos
cossin
kedua awal kondisi Aplikasi 15)0( : memberikan pertama awal kondisi Aplikasi
sincos0
sincos
berbentukakan diduga lengkap Tanggapan 15500 ; 500dengan
:konjugat kompleksakar dua terdapatsini Di15500500
104500500, :akar -akar
01041000 :tik karakteris Persamaan
500
6221
62
t
abab
tba
tba
a
tba
tbap
ettv
KKKK
dtdv
etKtK
etKtKdtdv
Kv
etKtK
etKtKvv
j
jss
dtdv
s
+
+
+=
=
=
=+==
+++=
==
++=++=
==
=
=
=++
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-2
43
Contoh 2.1, 2.2, dan 2.3 menunjukkan tiga kemungkinan bentuk tangga-pan, yang ditentukan oleh akar-akar persamaan karakteristik. a). Jika persamaan karakteristik mempunyai dua akar yang berbeda, tanggapan alami akan merupakan jumlah dari dua suku yang masing-masing merupakan fungsi eksponenial. Dalam kasus seperti ini, tangga-pan rangkaian merupakan tanggapan amat teredam. b). Jika persamaan karakteristik mempunyai dua akar yang sama besar, maka tanggapan alami akan merupakan jumlah dari fungsi eksponensial dan ramp teredam. Tanggapan ini merupakan tanggapan teredam kritis. c). Jika persamaan karakteristik mempunyai dua akar kompleks konju-gat, maka tanggapan alami merupakan jumlah dari fungsi-fungsi sinus teredam. Jadi tanggapan rangkaian berosilasi terlebih dulu sebelum akhirnya mencapai nol, dan disebut tanggapan kurang teredam. Bagian riil dari akar persamaan karakteristik menentukan peredaman; sedangkan bagian imajinernya menentukan frekuensi osilasi. (Gambar di bawah ini menunjukkan perubahan v pada contoh-contoh di atas.)
2.4. Tanggapan Rangkaian Orde-2 Terhadap Sinyal Anak Tangga Bentuk umum sinyal anak tangga adalah Au(t). Jika kita hanya meninjau keadaan pada t > 0, maka faktor u(t) tidak perlu dituliskan lagi.
v
[V]
sangat teredam (contoh 2.1) teredam kritis (contoh 2.2)
kurang teredam (contoh 2.3) t [s]
-10
-5
0
510
15 20
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-2
44 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
CONTOH-2.4: Jika vs=10u(t) V, bagaimana-kah keluaran vo rangkaian di samping ini pada t > 0 untuk berbagai nilai ? Solusi :
Karena vo = vB maka kita mencari persamaan rangkaian dengan tegangan simpul B , yaitu vB , sebagai peubah. Persamaan tegangan simpul untuk simpul A dan B adalah
( )
dtdv
vv
vdt
dvv
viv
vvvvdtd
v
vviv
BBA
AB
BA
B
BsBAA
BsA
+=
=+=+
=+
=+
+
001010
1
0 2
0101010
110
1
626
66166
Dua persamaan diferensial orde satu ini jika digabungkan akan mem-berikan persamaan diferensial orde-2.
1022 22
==+++ sBBBBBB vvdtdv
dtvd
dtdv
dtdv
v atau
10)3(22
=++ BBB vdtdv
dtvd
10 1000 : paksanggapan Dugaan ta
: lengkapnggapan Dugaan ta2
4)3()3(,
01)3( :tik karakteris Pers.
33
s2
s1
2
1
2
21
=
=++=
++=
=
=++
Bp
Bp
ttBpB
s
v
KKv
eKeKvv
ss
ss
1M
+
1F
vB
B
A
vs
i2
i1
+ vo 1M
1F
+
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-2
45
( )
kritis. teredam s14)3( Jika teredam.kurang kompleks s,
14)3( Jika redam.sangat te s14)3( Jika
10
10 : lengkap Tanggapan
o212
o21
2o21
2
s2
s1o
s2
s1
21
21
vs
vs
vs
eKeKv
eKeKvtt
ttB
===
> 3 akan terjadi keadaan tak stabil karena akar-akar bernilai riil positif; peredaman tidak terjadi dan sinyal membesar tanpa batas.
CONTOH-2.5: Carilah vo pada contoh 2.4 jika = 2 dan tegangan awal kapasitor masing-masing adalah nol. Solusi : Persamaan rangkaian, dengan = 2, adalah
10)3(22
=++ BBB vdtdv
dtvd
atau
1022
=++ BBB v
dtdv
dtvd
( )
( ) tbaBBpBp
tbaBpB
s
etKtKv
vKKv
etKtKvv
j
jss
ss
++===++=
++=
====
=++
sincos10 : lengkap Tanggapan
101000 : paksaTanggapan sincos
: berbentuk diduga lengkap Tanggapan ) 35,0 ; 5,0 ; :konjugat kompleksakar (dua
35,05,02
411,
01 :tik karakteris Pers.
1
2
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-2
46 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
( ) ( )
tB
abab
B
tba
tba
B
aaB
BB
BB
AB
ettv
KKKKdt
dv
etKtKetKtKdt
dvKK)(v
dtdv
dtdv
viv
vvv
5.0
5
25
o
) 35,0sin(3
10) 35,0cos(1010
310
35,010)(0,5
0)0(
sincos cossin
10 1000 :memberikan
lengkapn tanggapake ini awal kondisi dua Penerapan
0)0( 00)0(100
0)0(2)0(10)0( 0)0()0(dan 0)0(
nol.n berteganga kapasitor kedua :adalah awalnya Kondisi
+
+
++
+++
+++
+=
=
=
=+==
+++==+==
==+
=+
==
2.5. Tanggapan Rangkaian Orde-2 Terhadap Sinyal Sinus Masukan sinyal sinus secara umum dapat kita nyatakan dengan x(t)
=
Acos(t+) u(t). Untuk peninjauan pada t > 0 faktor u(t) tak perlu ditulis lagi. Dengan demikian persamaan umum rangkaian orde-2 dengan ma-sukan sinyal sinus akan berbentuk
)cos(22
+=++ tAcydtdyb
dtyd
a
Persamaan karakterisik serta akar-akarnya tidak berbeda dengan apa yang telah kita bahas untuk sumber tegangan konstan, dan memberikan tanggapan alami yang berbentuk
tstsa eKeKv 21 21 +=
Untuk masukan sinus, tanggapan paksa diduga akan berbentuk
vp = Accost + Assint
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-2
47
CONTOH-2.6: Carilah v dan i untuk t > 0 pada rangkaian di samping ini jika vs = 26cos3t u(t) V sedangkan i(0) = 2 A dan v(0) = 6 V. Solusi : Aplikasi HTK untuk rangkaian ini akan memberikan
3cos2661
6505 2
2tv
dtvd
dtdv
vdtdiivs =++=+++ atau
tvdtdv
dtvd 3cos156652
2=++
( ) ( )
A 23cos53sin61
V 263sin103cos2 : lengkap Tanggapan
2 6 323012 : kedua awal kondisi Aplikasi
8 26 : pertama awal kondisi Aplikasi
12)0()0(612)0(dan 6)0( : awal Kondisi
3sin103cos2 : lengkap Tanggapan
10375
01565 ; 2
7530156
0315dan 156153 3cos1563sin61593cos6159
3sin3cos : paksanggapan Dugaan ta : lengkapggapan Dugaan tan
3 ,2, :akar -akar );3)(2(065 :tik karakteris Persamaan
32
3221
21
1221
32
21
32
21
21
2
tt
tt
tt
sc
scsc
scscsc
scp
ttp
eettdtdvi
eettv
KKKK
KKKKdtdv
dtdviv
eKeKttv
AA
AAAAttAAAtAAA
tAtAv
eKeKvv
ss
ssss
++++
+==
+++=
==
=
=++=
====
+++=
=
+
==
+=
==+
=++++
+=
++=
=
++==++
+
5 1H
F61
i
vs
+ v
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-2
48 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
CONTOH-2.7: Pada rangkaian di samping ini, vs = 10cos5t u(t) V. Ten-tukanlah tegangan kapasi-tor v untuk t > 0, jika te-gangan awal kapasitor dan arusawal induktor adalah nol. Solusi:
sB
Bs
vdtdv
vv
vv
dtdv
v
5,15,15,2
0644
161
41
:A Simpul
+=
=+
+
05,15,15,26
5,15,15,2 06
0606
)0(16
: B Simpul
=
++
+=+
=+=++
dtdv
vdtdv
v
vdtdv
vdtd
dtdv
vdt
dv
vdtvvvidtvL
v
s
sBB
BBLBB
dt
dvvv
dtdv
dtvd s
s 5,19155,105,1 22
+=++ atau
dtdv
vvdtdv
dtvd s
s +=++ 610722
Dengan tegangan masukan vs = 10cos5t maka persamaan rangkaian menjadi
-30-20-10
0102030
0 2 4 6 8 10
v [V] i [A]
t [s]
v
i
vs
4
+
B
A
vs + v
6
0,25F 1H
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-2
49
ttvdtdv
dtvd 5sin505cos601072
2=++
tt
sCL
tt
p
cs
cssc
scs
csc
scp
ttp
s
eettv
KK
KKKKdtdv
KKKKv
dtdv
dtdvvii
v
eKeKttv
ttv
AAAAAA
tAAAtAAA
tAtAv
eKeKvv
ss
ss
5221
1121
1221
52
21
52
21
21
2
383,45sin93,05cos83,1 :lengkap Tanggapan
3 83,4
)83.1(5235,5 5265,410)0(
83,1 83,10)0( : lengkapn tanggapapada ini awal kondisi kedua Aplikasi
10)0(
)0(415,2
410
4)0()0( 0)0( (2)
0)0( (1) : awal Kondisi
5sin93,05cos83,1 : lengkap Tanggapan
5sin93,05cos83,1 83,1 ; 0,93
503515dan 603515
50sin6t60cos6t6sin)103525(
6cos)103525(
5sin5cos : paksanggapan Dugaan ta : lengkapnggapan Dugaan ta
.5 , 2105,35,3,
0107 :tik karakteris Persamaan
+
+
+
++
++
+
++=
==
===
=++==
=
=====
=
+++=
+=
==
==+
=
++
++
+=
++=
==
=++
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-2
50 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
Soal-Soal 1. Carilah bentuk gelombang tegangan yang memenuhi persamaan
diferensial berikut.
V/s 5)0( V, 0)0(
, 054 c).
V/s 10)0( V, 0)0(
, 044 b).
V/s 15)0( ,0)0(
, 0107 .a)
2
2
2
2
2
2
========
====++++++++
========
====++++++++
========
====++++++++
++++++++
++++++++
++++++++
dtdv
v
vdtdv
dtvd
dtdv
v
vdtdv
dtvd
dtdv
v
vdtdv
dtvd
2. Ulangi soal 1 untuk persamaan berikut.
V/s 10)0( V, 5)0(
, )(100258 c).
V/s 10)0( V, 5)0(
, )(1002510 b).
V/s 25)0( ,5)0(
, )(1002410 .a)
2
2
2
2
2
2
========
====++++++++
========
====++++++++
========
====++++++++
++++
++++
++++
dtdv
v
tuvdtdv
dtvd
dtdv
v
tuvdtdv
dtvd
dtdv
v
tuvdtdv
dtvd
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-2
51
3. Ulangi soal 1 untuk persamaan berikut.
V/s 0)0( V, 0)0(
, )( ] 1000[cos100102 c).
V/s 0)0( V, 0)0(
, )( ] 1000[cos10096 b).
V/s 0)0( ,0)0(
, )( ] 1000[cos10086 .a)
2
2
2
2
2
2
========
====++++++++
========
====++++++++
========
====++++++++
++++++++
++++++++
++++++++
dtdv
v
tutvdtdv
dtvd
dtdv
v
tutvdtdv
dtvd
dtdv
v
tutvdtdv
dtvd
4. Saklar S pada rangkaian di bawah ini, telah berada pada posisi A da-lam waktu yang lama. Pada t = 0, ia dipindahkan ke posisi B. Caril-ah vC untuk t > 0
5. Saklar S pada rangkaian di bawah ini telah berada di posisi A dalam waktu yang lama. Pada t = 0 , saklar dipindahkan ke posisi B. Ten-tukan iL(t) untuk t > 0.
15V 10k
2 H 2,5k
iL
0,02 F
A B
S
+
+ vc
B 6k
6k
25pF 10 V
S A 0,4H
+
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-2
52 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
6. Saklar S pada rangkaian di bawah ini telah berada di posisi A dalam waktu yang lama. Pada t = 0 , saklar dipindahkan ke posisi B. Ten-tukan iL(t) untuk t > 0.
7. Saklar S pada rangkaian di bawah ini, telah lama terbuka. Pada t = 0, ia ditutup. Carilah vC untuk t > 0
8. Saklar S pada rangkaian di bawah ini telah berada di posisi A dalam waktu yang lama. Pada t = 0 , saklar dipindahkan ke posisi B. Ten-tukan vC untuk t > 0.
9. Tegangan masukan vs pada rangkaian di bawah ini adalah vs = 100u(t) V. Tentukan tegangan kapasitor untuk t>0.
+ vc
3k
3k
0,1F 10 V
S
0,4H +
15 V 0,4k
25k 0,01F
A B
S
+
+
15 V 10mH
+ vC
+ vC
4k
vs 50pF
+ 50mH
15 V 0,4k 25k
iL
0,01F
A B
S
+
+
15 V 10mH
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-2
53
10. Setelah terbuka dalam waktu cukup lama, saklar S pada rangkaian di bawah ini ditutup pada t = 0. Tentukan v1 dan v2 untuk t > 0.
11. Rangkaian berikut tidak mempunyai simpanan energi awal. Saklar S pada rangkaian berikut ditutup pada t = 0. Carilah i untuk t > 0.
12. Rangkaian di bawah ini tidak memiliki simpanan energi awal. Ten-tukan v untuk t > 0 jika is = [2cos2t] u(t) A dan vs = [6cos2t] u(t) V.
13. Sebuah kapasitor 1 F dimuati sampai mencapai tegangan 200 V. Muatan kapasitor ini kemudian dilepaskan melalui hubungan seri in-duktor 100 H dan resistor 20 . Berapa lama waktu diperlukan un-tuk menunrunkan jumlah muatan kapasitor hingga tinggal 10% dari jumlah muatan semula ?
+
is vs
v +
10
5H
10
0,05F
S
+ 12V
0,25F
+ v1
+
2v1 8
i
4
0,25F
+
6V
0,05F
4 12V
+
S
4
0,05F
+ v2
+ v1
-
Analisis Transien Rangkaian Orde-2
54 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
14. Sebuah kumparan mempunyai induktansi 9 H dan resistansi 0,1 , dihubungkan paralel dengan kapasitor 100 F. Hubungan paralel ini diberi tegangan searah sehingga di kumparan mengalir arus sebesar 1 A. Jika sumber tegangan diputus secara tiba-tiba, berapakah tegangan maksimum yang akan timbul di kapasitor dan pada frekuensi berapa arus berosilasi ?
15. Kabel sepanjang 2 kM digunakan untuk mencatu sebuah beban pada tegangan searah 20 kV. Resistansi beban 200 dan induktansinya 1 H (seri). Kabel penyalur daya ini mempunyai resistansi total 0,2 sedangkan antara konduktor dan pelindung metalnya membentuk ka-pasitor dengan kapasitansi total 0,5 F. Bagaimanakah perubahan te-gangan beban apabila tiba-tiba sumber terputus? (Kabel dimodelkan sebagai kapasitor; resistansi konduktor kabel diabaikan terhadap re-sistansi beban).
-
Transformasi Laplace
55
BAB 3 Transformasi Laplace
Kita telah melihat bahwa analisis di kawasan fasor lebih sederhana dibandingkan dengan analisis di kawasan waktu karena tidak melibatkan persamaan diferensial melainkan persamaan-persamaan aljabar biasa. Akan tetapi analisis ini terbatas hanya untuk sinyal sinus dalam keadaan mantap. Berikut ini kita akan mempelajari analisis rangkaian di kawasan s, yang dapat kita terapkan pada analisis rangkaian dengan sinyal sinus maupun bukan sinus, keadaan mantap maupun keadaan peralihan.
Dalam analisis di kawasan s ini, sinyal-sinyal fungsi waktu f(t), ditrans-formasikan ke kawasan s menjadi fungsi s, F(s). Sejalan dengan itu pernyataan elemen rangkaian juga mengalami penyesuaian yang mengantarkan kita pada konsep impedansi di kawasan s. Perubahan pernyataan suatu fungsi dari kawasan t ke kawasan s dilakukan melalui Transformasi Laplace, yang secara matematis didefinisikan sebagai suatu integral
=
0)()( dtetfs stF
dengan s merupakan peubah kompleks, s = + j. Batas bawah integrasi ini adalah nol yang berarti bahwa dalam analisis rangkaian di kawasan s kita hanya meninjau sinyal-sinyal kausal. Dengan melakukan transformasi sinyal dari kawasan t ke kawasan s, karakteristik i-v elemenpun mengalami penyesuaian dan mengantarkan kita pada konsep impedansi dimana karakteristik tersebut menjadi fungsi s. Dengan sinyal dan karakteristik elemen dinyatakan di kawasan s, maka persamaan rangkaian tidak lagi berbentuk persamaan integrodiferensial melainkan berbentuk persamaan aljabar biasa sehingga penanganannya menjadi lebih mudah. Hasil yang diperoleh sudah barang tentu akan merupakan fungsi-fungsi s. Jika kita menghendaki suatu hasil di kawasan waktu, maka kita lakukan transformasi balik yaitu transformasi dari fungsi s ke fungsi t.
Di bab ini kita akan membahas mengenai transformasi Laplace, sifat transformasi Laplace, pole dan zero, transformasi balik, solusi persamaan diferensial, serta transformasi bentuk gelombang dasar.
-
Transformasi Laplace
56 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
Setelah mempelajari analisis rangkaian menggunakan transformasi La-place bagian pertama ini, kita akan
memahami transformasi Laplace beserta sifat-sifatnya; mampu melakukan transformasi berbagai bentuk gelombang
sinyal dari kawasan t ke kawasan s. mampu mencari transformasi balik dari pernyataan bentuk ge-
lombang sinyal dari kawasan s ke kawasan t.
3.1. Transformasi Laplace Melalui transformasi Laplace kita menyatakan suatu fungsi yang semula dinyatakan sebagai fungsi waktu, t, menjadi suatu fungsi s di mana s ada-lah peubah kompleks. Kita ingat bahwa kita pernah mentransformasikan fungsi sinus di kawasan waktu menjadi fasor, dengan memanfaatkan bagian nyata dari bilangan kompleks. Dengan transformasi Laplace kita mentransformasikan tidak hanya fungsi sinus akan tetapi juga fungsi-fungsi yang bukan sinus.
Transformasi Laplace dari suatu fungsi f(t) didefinisikan sebagai
=
0)()( dtetfs stF (3.1)
dengan notasi :
==
0)()()]([ dtetfstf stFL (3.2)
Dengan mengikuti langsung definisi ini, kita dapat mencari transformasi Laplace dari suatu model sinyal, atau dengan kata lain mencari pern-yataan sinyal tersebut di kawasan s. Berikut ini kita akan mengaplikasi-kannya untuk bentuk-bentuk gelombang dasar.
3.1.1. Pernyataan Sinyal Anak Tangga di Kawasan s. Pernyataan sinyal anak tangga di kawasan t adalah )()( tAutv = . Transformasi Laplace dari bentuk gelombang ini adalah
+
+===
0
)(
00 )(][ j
AedtAedtetAuAu(t)tj
ststL
Batas atas, dengan > 0, memberikan nilai 0, sedangkan batas bawah memberikan nilai A/s.
-
Transformasi Laplace
57
Jadi s
AtAu = )]([L
(3.3)
3.1.2. Pernyataan Sinyal Eksponensial di Kawasan s Transformasi Laplace bentuk gelombang eksponensial beramplitudo A, yaitu v(t) = Aeatu(t) , adalah
+ +
+===
0
)(
0)(
0)( )]([
as
AeAedtetueAtuAetas
tasst-atatL
Dengan a > 0, batas atas memberikan nilai 0 sedangkan batas bawah memberikan A/(s+a).
Jadi as
AtuAe at
+=
])([L (3.4)
3.1.3. Sinyal Sinus di Kawasan s Transformasi Laplace bentuk gelombang sinus v(t)
= (A cos t) u(t) adalah :
[ ] dtetAdtetutAtutA stst
==
00 )cos( )()cos( )( )cos(L
Dengan memanfaatkan hubungan Euler 2/)(cos tjtj ee += , ruas kanan persamaan di atas menjadi
22
)(0
)(00
22
2
+=
+=+
s
As
dteAdteAdteeeA tsjtsjsttjtj
Jadi [ ] 22)( )cos( += ssAtutAL
(3.5)
Dengan cara yang sama,
top related